CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I

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GRUPO DE TRABAJO INSTITUCIONAL PARA LA ELABORACIÓN DE CUADERNOS DE TRABAJO PARA LOS CURSOS DE MATEMÁTICAS I Y II DEL CCH SUR CICLO ESCOLAR 2020-2021.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS

Y HUMANIDADES PLANTEL SUR

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Coordinadores:

María de Jesús Figueroa Torres Roberto Guadalupe Garrido Carmona

Integrantes:

Roberto Gustavo Figueroa Torres María Antonia Rosalinda Gómez García

Alejandro Octavio Sánchez Nieto Clara Luz Quintanar Moreno María Dolores Miranda López

Patricia Castañeda López Elsa Marlene Escobar Cristiani

Josué Vázquez Téllez Lilian Mendoza Zaragoza

CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I

Agosto de 2021

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GRUPO DE TRABAJO INSTITUCIONAL

PARA LA ELABORACIÓN DE CUADERNOS DE TRABAJO PARA LOS CURSOS DE MATEMÁTICAS I Y II DEL CCH SUR

CICLO ESCOLAR 2020-2021.

CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I

Coordinadores:

María de Jesús Figueroa Torres Roberto Guadalupe Garrido Carmona

Integrantes:

Roberto Gustavo Figueroa Torres María Antonia Rosalinda Gómez García Alejandro Octavio Sánchez Nieto Clara Luz Quintanar Moreno

María Dolores Miranda López Patricia Castañeda López Elsa Marlene Escobar Cristiani Josué Vázquez Téllez Lilian Mendoza Zaragoza

Agosto de 2021

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2 CONTENIDO

Guía para su uso 3

Propósitos generales de la materia 3

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas 4

Aprendizajes relevantes de la Unidad 1 5

Estrategia 1. ¿Cómo resolver problemas utilizando el método de Polya? 6

Estrategia 2. ¿Cuáles son los números reales? 20

Estrategia 3. Los números reales 32

Estrategia 4. Los números figurados 38

Formas e instrumentos de evaluación. 48

Unidad 2. Variación directamente proporcional y funciones lineales 53

Estrategia 1. Tablas de dos entradas 55

Estrategia 2. El Movimiento Rectilíneo Uniforme y la Función Lineal 80 Estrategia 3. Los Bosques y el Cambio Climático 96 Unidad 3. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 115

Estrategia 1. El Tablero de Ecuaciones y la Balanza de Orlov 116

Estrategia 2. De camellos, panes y joyas 131

Estrategia 3. ¿Cómo resolver un problema por el método algebraico? 144

Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales 177

Estrategia 1. Movimiento Relativo 179

Estrategia 2. De maíz y de pollos 202

Estrategia 3. Sistemas de ecuaciones lineales de 3 × 3 231 Valoración del profesor de los resultados obtenidos. 273

Fuentes consultadas 275

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3 Guía para su uso

La resolución de los problemas de este material te ayudará a lograr los aprendizajes del Programa de Matemáticas I.

Es importante que realices las siguientes actividades para cubrir todo el material.

• Estudia los conceptos y revisa los aprendizajes.

• Estudia cuidadosamente los problemas resueltos. Es preferible que intentes resolverlos sin ver la solución y posteriormente compares tu solución.

• Resuelve los problemas propuestos utilizando las cuatro etapas del Modelo de Polya.

• Si resuelves correctamente el 65% o más de los problemas de una unidad, puedes continuar con la siguiente unidad. Si resuelves menos del 65%, tienes que volver a estudiar esta unidad.

• Para el paso 4 del modelo de Polya, resuelve cada problema por 2 métodos diferentes, de esta manera tendrás la comprobación del resultado del problema y una mayor comprensión.

• En todo momento, solicita el apoyo de tu profesora o profesor para que puedas avanzar y no te quedes atorado con muchas dudas. Recuerda que no hay malas preguntas o preguntas innecesarias.

Propósitos generales de la materia

En términos generales, la enseñanza de la matemática en el Colegio pretende:

• Desarrollar la capacidad de análisis–síntesis en los alumnos para un mejor desempeño en la resolución de problemas y comprensión de conceptos.

• Desarrollar una cultura básica matemática, esto es, un conjunto de conocimientos, habilidades intelectuales y destrezas que permita acceder a conocimientos más especializados y desempeñarse adecuadamente en situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

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4

• En los cuatro primeros semestres se trata de:

• Fomentar el trabajo en equipo como la forma de dinamizar la construcción del conocimiento en el contexto de la resolución de problemas.

• Revisar el conocimiento algebraico, ya visto en el ciclo escolar anterior con la perspectiva de generar sentido y actividad creativa en la resolución de problemas.

• Extender o ampliar el conocimiento algebraico con la inclusión del estudio de la geometría analítica, incorporando el lenguaje algebraico a las ideas geométricas, así como el estudio de funciones, para crear las bases de las asignaturas especializadas de quinto y sexto semestre.

• Desarrollar los pensamientos inductivo y deductivo en el alumno, en actividades de exploración y justificación, para incrementar las formas de argumentación del alumno en la resolución de problemas.

Unidad 1. El significado de los números y sus operaciones básicas. (30 hrs) Propósito: Al finalizar, el alumno: Será capaz de operar con los números racionales (enteros y no enteros) y resolver problemas aritméticos, aplicando algunas heurísti- cas para facilitar la comprensión, la búsqueda de un plan de resolución y su ejecución, con la finalidad de que haga suyos los recursos básicos para iniciarse en el uso del lenguaje algebraico para expresar la generalidad.

Temas

1. Significado de los números reales y su simbolización.

2. Operaciones con números racionales.

3. Potencias y radicales.

4. Significado contextual de las operaciones.

5. Patrones y fórmulas.

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5 Aprendizajes.

1.1.1 Comprende el significado de los números reales.

1.1.2 Usa correctamente las diversas simbolizaciones de un número racional, transitando entre sus equivalencias (cuando sea necesario) en problemas puramente aritméticos y en contexto.

1.1.3 Compara dos cantidades haciendo uso de las representaciones de un número racional.

1.2.1 Opera correctamente con los números racionales (enteros y no enteros), en los casos de una sola operación y una secuencia de operaciones.

1.3.1 Opera correctamente con potencias y radicales con la misma base.

1.4.1 Traduce, relaciones contextuales en operaciones entre números racionales (enteros y no enteros) y las resolverá correctamente.

1.4.2. Resuelve problemas aritméticos que involucren una secuencia de relaciones contextuales, auxiliándose de estrategias heurísticas en las etapas de comprensión, elaboración de un plan y su ejecución.

1.5.1 Reconoce patrones numéricos y geométricos en situaciones problemáticas y modelará su comportamiento.

Aprendizajes relevantes de la Unidad 1 de Matemáticas I

Con relación a los conocimientos, habilidades y destrezas, el alumno en función de la resolución de problemas:

1.1.1 Comprende el significado de los números reales.

1.4.2 Resuelve problemas aritméticos que involucren una secuencia de relaciones contextuales, auxiliándose de estrategias heurísticas en las etapas de comprensión, elaboración de un plan y su ejecución.

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6 Conceptos clave:

• Significado de los números racionales e irracionales.

• Significado contextual de las operaciones.

• Razón entre dos cantidades.

• Método de resolución de problemas de Polya.

Estrategias de aprendizaje para la Unidad 1

Estrategia 1. ¿Cómo resolver problemas utilizando el método de Polya?

Apertura (Presentación y lectura comentada 20 minutos)

George Polya nació en Hungría en 1887. Estudió en la Universidad de Budapest.

Fue profesor en el Instituto Tecnológico Federal en Zurich, Suiza, en las Universidades de Brown y Stanford en EE.UU. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento. Advirtió que, para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, en su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados.

Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema; 2. Configurar un plan; 3.

Ejecutar el plan; 4. Mirar hacia atrás.

Polya¹ (1945) comentó que el proceso de resolución de problemas involucra el uso de métodos heurísticos: los casos especiales; el uso de diagramas; el trabajo hacia atrás; y el uso de métodos de contradicción.

1 Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton: Princeton University Press.

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7 Las estrategias heurísticas, tales como dibujar diagramas, dividir el problema en partes y considerar casos más simples, son fundamentales para representar un problema y diseñar un plan para su solución.

El énfasis en las instrucciones de las estrategias heurísticas para resolver problemas esta dado en la suposición de que por imitar la manera en que los expertos resuelven problemas, los principiantes y los estudiantes pueden llegar a ser mejores revolvedores de problemas.

La resolución de problemas como una meta, está fundamentada, en el reconocimiento de que la resolución de problemas es la principal actividad en el desarrollo y entendimiento de las matemáticas.

“desde un punto de vista histórico, el Álgebra debe entenderse principalmente como un método para resolver problemas.” Oller y Meavilla (2014. p. 104)

Al considerar la resolución de problemas como un proceso se da una atención especial a los métodos, procesos y estrategias utilizadas por los estudiantes cuando resuelven problemas matemáticos.

Se busca que los alumnos traten de seguir las cuatro etapas para su resolución:

entender el problema; diseñar un plan; llevar a cabo el plan; y analizar la solución obtenida, buscando otras alternativas de solución o resolver los problemas con al menos dos caminos diferentes de solución (aritmético, algebraico o geométrico).

Para el CCH la columna vertebral de la metodología didáctica es la resolución de problemas, que consiste en utilizar situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas para despertar el interés de los alumnos, y los invite a reflexionar.

“La columna vertebral de la metodología didáctica es la resolución de problemas, … contemplado como objeto de aprendizaje … Fomentar el trabajo en equipo como la forma de dinamizar la construcción del conocimiento” (Programas de Matemáticas I a IV. CCH. 2016. P. 6, 7 y 9).

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8 La resolución de problemas promueve el trabajo grupal, el diálogo entre alumnos, entre el maestro y los alumnos y apoya la construcción de un vínculo entre iguales para fomentar el trabajo en equipo.

En la resolución de problemas el estudiante debe transitar por las 4 etapas:

1) Comprensión del problema.

Mediante preguntas como: ¿cuáles son los datos?, ¿cuáles son las incógnitas?,

¿qué condiciones se deben satisfacer entre datos e incógnitas?, ¿es posible que estas condiciones se puedan satisfacer?

2) Trazar un plan.

Mediante preguntas y sugerencias como: ¿puede reducir el presente problema a uno que sabe resolver?; recurra a las definiciones para plantear el problema en términos más operativos; considere la condición en partes y observe la forma en que varía el elemento que se desea encontrar conforme a cada una de las partes y vea si esto le es útil para resolver el problema; trace un diagrama que ilustre las relaciones entre datos e incógnita y vea si esto le ayuda en la resolución del problema; considere casos particulares y vea si estos siguen un patrón; considere un problema análogo.

3) Ejecución del plan.

Sugiriendo el monitoreo del procedimiento escogido: justificando cada uno de los pasos, valorando el avance logrado a fin de seguir o cambiar de plan.

4) Retrospección.

Con sugerencias como: reflexione sobre lo realizado y piense si el método o la solución puede aplicarse en nuevos problemas; intente inventar otros problemas donde el procedimiento de solución sea el mismo; intente pensar en una situación práctica donde el problema pueda aplicarse; piense cómo puede generalizarse el problema.

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9 Desarrollo

En equipos de 4 personas, se resolverán problemas, aplicando las cuatro etapas del modelo de Polya. Las actividades resueltas se entregarán al final de la clase (una por equipo), para su revisión y calificación. Se podrán hacer preguntas para resolver correctamente los problemas.

Actividad 1: Observa con atención los videos²y después contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas (30 minutos).

Estrategias de Estudio: Método de Polya

https://www.youtube.com/watch?v=919CQtH2H2w Pasos para resolver problema matemáticos

https://www.youtube.com/watch?v=wP53ObASqxc Estrategias para resolver problemas

https://www.youtube.com/watch?v=wP53ObASqxc

Pregunta 1. ¿En qué consiste cada una de las etapas del modelo de Polya?

Pregunta 2. En el ejemplo 1, anterior, ¿qué se hizo en cada una de las etapas?

Pregunta 3. Si en lugar de 28 problemas fueran 36 problemas, ¿qué cambios se tendrían en las etapas?

Actividad 2. Revisa los ejemplos y resuelve, en tu cuaderno, los siguientes problemas, utilizando las 4 etapas del modelo de Polya. (60 minutos).

Ejemplos 1. Un alumno tiene que resolver 28 problemas. El primer día resuelve 8 problemas y el segundo día resuelve ³/4 de lo que quedó, ¿cuántos le faltan?

Se tienen que resolver 28 problemas.

El primer día resolvió 8 problemas.

Para el segundo día le quedan 20 y resuelve ³

4 de los problemas.

¿Cuántos le quedan por resolver?

2 Tomados de Youtube el 19 de mayo de 2021.

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10 2) Trazar un plan.

Método aritmético. Hacer las operaciones aritméticas de los datos del problema y obtener el número de problemas que falta por resolver.

Como para el segundo día le quedan 20 problemas de los 28 y se resuelven ³

4 de los problemas, se tiene que

(20)3 4=60

4 = 15 luego

28 − 8 − 15 = 5 Por lo que restan 5 problemas.

Para comprobar el problema obtendremos la solución por un método gráfico, considerando un rectángulo de 7 por 4 cuadritos.

Si cada cuadrito representa un problema, marquemos los ocho del primer día

Ahora marquemos 3 de las cuatro filas que quedaron

Observamos que quedan 5 cuadritos, luego faltan 5 problemas por resolver.

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11 Ejemplo 2. ¿Cuántas patas tienen en total un pollo, seis perros y siete papilgradis? Luis dice que son 44, Iván 72, Ana 65 y Paco 82. Si solo una respuesta es correcta, ¿cuántas patas tiene un papilgradi?

Se tienen un pollo, seis perros y siete papilgradis.

El pollo tiene 2 patas El perro tiene 4 patas

No se sabe el número de patas de un papilgradi En total el número de patas puede ser 44, 72, 65 u 82.

¿Cuántas patas tiene el papilgradi?

2) Trazar un plan.

Método aritmético. Hacer una lista de las posibles sumas de patas menos la suma de patas del pollo y los perros y determinar la suma correcta, considerando que se tienen siete papilgradis.

La suma de patas del pollo y los seis perros es 1(2) + 6(4) = 26 44 − 26

7 = 18

7 = 2.57 72 − 26

7 = 46

7 = 6.57 65 − 26

7 = 39

7 = 5.57 82 − 26

7 = 56 7 = 8

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12 Como no se puede tener una fracción de pata, la única posibilidad es 82.

El número de patas de un papilgradi es 8.

Método algebraico. Si planteamos una ecuación de primer grado se tendría 1(2) + 6(4) + 7𝑥 = 𝑇

Donde T es el total de patas propuesto

26 + 7𝑥 = 𝑇 7𝑥 = 𝑇 − 26

𝑥 =𝑇 − 26 7

Si queremos que x sea un número entero (patas) entonces la única posibilidad es que T sea 82 luego

𝑥 =82 − 26 7 = 8

Por lo que el total de patas es 82 y el número de patas de un papilgradi es 8.

Problema 1. Miguel gastó la mitad de su dinero en la feria. Después gastó en dulces la tercera parte de lo que le quedaba. Si le quedaron $27, ¿cuánto dinero tenía?

1. Comprensión del problema.

2. Trazar un plan.

3. Ejecución del plan.

4. Retrospección.

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13 Problema 2. En una comida cada persona consumió media porción de ensalada, un tercio de porción de sopa y un cuarto de porción de guisado. Si en total se sirvieron 65 porciones, ¿cuántas personas comieron?

2. Trazar un plan.

4. Retrospección.

Actividad 3: Revisa los ejemplos y resuelve, en tu cuaderno, los siguientes problemas, utilizando las 4 etapas del modelo de Polya. (60 minutos).

Ejemplo 3. Escribir la razón entre el área formada por el cuadrado rojo y el triángulo azul con el área del cuadrado del completo del siguiente Tangram.

1) Comprensión del problema. Se trata de escribir un cociente entre dos áreas: el área formada por el cuadrado rojo y el triángulo azul (numerador) y el área total (denominador).

2) Trazar un plan. Hacer trazos para tratar de encontrar figuras de área iguales.

3) Ejecución del plan. Se pueden hacer los siguientes trazos

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14 Obteniendo 16 triángulos iguales. Si el área de uno de los triángulos es A, se tiene que el cociente solicitado es

3𝐴 16𝐴= 3

16

Por lo que, la razón entre el área formada por el cuadrado rojo y el triángulo azul con el área del cuadrado del completo es

3 16

4) Retrospección. Si el lado del cuadrado total (tangram) es 10 centímetros, podemos calcular el área total, el área del cuadrado rojo y el área del triángulo azul.

Si denotamos con 𝐴_𝑇 el área total, se tiene que 𝐴_𝑇 = 10(10) = 100

Si denotamos con 𝑇_𝑎 el área del triángulo azul, se tiene que 𝑇_𝑎 =5(2.5)

2 =12.5 2 =25

4

Si denotamos con 𝐴_𝑟 el área del cuadrado rojo, se tiene que calcular uno de los catetos del triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que

5² = 𝑙²+ 𝑙² = 2𝑙² Simplificando, se tiene que

25 2 = 𝑙²

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15 Por lo que, el área del cuadrado rojo es

𝐴_𝑟 = 𝑙² = 25 2 El cociente solicitado es

25 2 +

25 4

100 =

50 4 +

25 4 100 =

75 4

100 = 75 400= 3

16

Por lo que, la razón entre el área formada por el cuadrado rojo y el triángulo azul con el área del cuadrado del completo es

3 16

Ejemplo 4. Carlos y su amiga Laura compraron una caja con 60 chocolates. En una semana, Carlos se comió ²

5 de los chocolates y Laura ²

6. ¿Cuántos chocolates quedan?

Comprensión del problema.

▪ Una caja tiene 90 chocolates

▪ Carlos y Laura comieron una fracción del total de los chocolates y el número de chocolates que esta representa

▪ Se debe hallar el número de chocolates que sobraron

1. Trazar un plan

Sumar las fracciones de chocolates que se comieron Carlos y Laura Multiplicar la fracción resultante por 60, que es el número de chocolates Restar a 60 el resultado del paso anterior

Interpretar el resultado de las operaciones para resolver el problema

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16 2. Ejecución del plan

2 5+2

6= 12 + 10 30 =22

30= 11 15

11

15(60) = 44; esto significa que se comieron 44 chocolates 60 − 44 = 16

Por lo tanto, sobraron 16 chocolates

3. Retrospección

▪ Carlos se comió ²

5 de los chocolates, que equivale a comerse 24 chocolates.

La siguiente imagen representa los 60 chocolates:

▪ Laura se comió ²

6 de los chocolates, que equivale a comerse 20 de estos. La siguiente imagen representa los chocolates que se comió Carlos más lo que se comió Laura

▪ Por lo tanto, la suma de las fracciones es: ⁴⁴

60=¹¹

15

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17

▪ Esto significa que se comieron 44 chocolates. Entonces, al restarle esta cantidad al total resulta: 60 − 44 = 16 chocolates.

▪ Por lo tanto, quedan 16 chocolates en la caja.

4. Retrospección

Consideramos un rectángulo de 30 × 2 para representar los 60 chocolates. Si Carlos se comió ²

5 partes y 30 = 5(6), se tiene que se comió 2 veces 6, esto es 12 partes.

En la figura 1, se muestra con amarillo la parte de chocolates que se comió Carlos.

Figura 1 Si Laura se comió ²

6 partes y 30 = 6(5), se tiene que se comió 2 veces 5, esto es 10 partes. En la figura 2, se muestra con azul la parte de chocolates que se comió Laura.

Figura 2

En la figura (2), observamos que quedaron 8 partes en color blanco, lo cual nos dice que quedaron 16 chocolates en la caja.

Finalmente, observemos que 2 veces 6 que es 12 nos llevó a ²

5, 2 veces 5 que es 10 nos llevó a ²

6 y 2 veces 4 que es 8 ¿a qué número racional nos lleva?

Para responder la pregunta, obtengamos el valor de 𝑥, en la siguiente ecuación.

2 5+2

6+ 𝑥 = 1

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18 𝑥 = 1 −2

5−2

6=30 − 12 − 10

30 = 8

30= 4 15 𝑥 = 4

15 Tenemos que:

Carlos se comió ²

6= ²⁰

60, esto es, 20 chocolates.

Laura se comió ²

5= ²⁴

Quedaron ⁴

15= ¹⁶

Problema 3. Samuel gastó la mitad de su dinero en la feria. Después gastó en dulces la tercera parte de lo que le quedaba. Si al final tiene 600 pesos, ¿cuánto dinero tenía?

Problema 4. Ernesto caminó durante tres días. En el primer día recorrió ¹

3 del camino. El segundo día recorrió ³

5 de lo que recorrió el primer día. ¿qué parte del camino recorrió el tercer día?

Problema 5. En un salón del CCH 3

2 de los alumnos son hombres. Un muchacho dijo: “si llegaran 4 hombres y 9 mujeres, la mitad de mis compañeros serían hombres”. ¿Cuántas mujeres hay en el salón?

2. Trazar un plan.

4. Retrospección.

Cierre (20 minutos)

Algunos alumnos pasarán al pizarrón a resolver los problemas y los demás harán preguntas y observaciones. Posteriormente el profesor guiará una discusión grupal en la cual se explicarán los resultados de los problemas.

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19 Actividad 4: Resuelve, en tu cuaderno, los siguientes problemas, utilizando las 4 etapas del modelo de Polya. (40 minutos).

Problema 6. Saúl escribe, en su cuaderno, la lista de números 5,12,19, 26 ,33, 40, . . . ¿Cuáles de los siguientes números aparecerán en la lista? 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020.

2. Trazar un plan.

4. Retrospección.

Problema 7. Jorge jugó 75 juegos contra su computadora y ganó 50 de ellos. Si quiere jugar en total 105 juegos y haber ganado el 60% de ellos, ¿cuántos juegos más tiene que ganar?

2. Trazar un plan.

4. Retrospección.

Algunos alumnos pasarán al pizarrón a resolver los problemas y los demás harán preguntas y observaciones, posteriormente el profesor guiará una discusión grupal en la cual se explicarán los resultados de los problemas.

Evaluación:

Diagnóstica. Al inicio del curso, se aplicó un examen de diagnóstico, con la finalidad de determinar los conocimientos previos de los alumnos y valorar en qué medida podrían llevar a cabo las actividades. Los alumnos que obtuvieron un puntaje inferior al 33% del total del examen, se les dará un curso de regularización para tratar de nivelar sus conocimientos en resolución de problemas algebraicos y con ello tener mejores posibilidades de llevar con éxito el curso de Matemáticas I.

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20 Formativa. Durante las actividades se pasará a los equipos a revisar el trabajo y se darán pistas e indicaciones para que los alumnos no se queden atorados en la resolución de los problemas y puedan resolver satisfactoriamente la mayoría de las tareas asignadas. Al final, de cada una de las actividades, se resolverá de manera resumida, cada uno de los problemas y se pedirá a los alumnos escribirlos de manera amplia en su casa y presentarlos como un trabajo final con fines de calificación.

Sumativa. Al final de cada unidad se aplicará un examen para determinar en que medida se lograron los aprendizajes. Con el resultado del examen, las notas obtenidas durante las clases y los trabajos resueltos en casa se tendrá una valoración del avance de cada uno de los alumnos y estaremos en condiciones de asignar una nota con fines de promediar al final del curso y obtener la calificación final del curso de Matemáticas I.

Estrategia 2. ¿Cuáles son los números reales?

Estarán de acuerdo, en que los primeros números utilizados fueron los enteros positivos, también llamados naturales, que en forma de conjunto se escriben como ℕ = {1, 2, 3, 4, … , ∞}. Después se utilizaron los enteros negativos, llegando finalmente a utilizar el cero, ya sea por los mayas en el año 36 a.c. o por Brahmagupta en la India en el año 598 d.c. completándose el conjunto de números enteros ℤ = {−∞, … , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … , ∞}.

Es muy conocida la anécdota de que un profesor puso a sumar al joven Carl Friedrich Gauss, los números naturales del 1 al 100 y que él, de inmediato le dio la respuesta 5050. Al parecer puso los números del 1 al 100 y luego del 100 al 1, finalmente sumo cada columna, como se muestra en la siguiente tabla

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21 Como son 100 términos, la última fila suma 100(101)=10100

y dividiendo entre 2 se obtiene ¹⁰¹⁰⁰

2 = 5050

Si en lugar del número 100, ponemos 𝑁 para considerar cualquier número, se obtiene la fórmula de Gauss para la suma desde el 1 hasta el número 𝑁

∑ 𝑖

𝑁

𝑖=1

= 𝑁(𝑁 + 1) 2

La división de números enteros introdujo la necesidad de otros números, por ejemplo, ¹

2, ¹

3, ¹

4, ²

3, ⁵

3, ⁻¹

7, ⁶

−5, etc., esto es números que surgen de la división entre dos enteros, los cuales son llamados números racionales ℚ.

La siguiente figura, muestra un arreglo de los números racionales

Es importante notar que los números racionales incluyen a los números enteros, ya que, si el numerador es múltiplo del denominador, se tiene como resultado un número entero, por ejemplo, ⁸

1, ²⁵

5 y ⁻²⁸

7 son 8, 5 y -4, respectivamente.

El numerador puede ser cero, pero el denominador nunca puede ser cero.

(23)

22 El porcentaje % se representa como un número racional, por ejemplo, el veinte por ciento de 50 se escribe 20% de 50 y se expresa

50(0.20) = (50) 20

100= (50)1

5= 10 Esto es, el veinte por ciento de 50 es la quinta parte de 50.

Los números racionales se pueden simplificar, dividiendo por un mismo número entero tanto el numerador como el denominador, por ejemplo

9 12=6

8= 3 4 60

100=15 25=3

5

En la resolución de un problema, es conveniente simplificar los números racionales para expresar la respuesta del problema.

Las raíces cuadradas introducen dos problemas: las positivas no exactas no son números racionales, por ejemplo, como veremos posteriormente, √2 no es racional ya que no existen dos números enteros 𝑎 y 𝑏 tales que √2 =^𝑎_𝑏, el conjunto de raíces no exactas forma parte del conjunto de números llamados irracionales ℚ´ y la raíz cuadrada de un número negativo no es un número racional, ni tampoco un número irracional, en este caso se trata de un conjunto de números llamado imaginarios ℂ.

Los números racionales se pueden expresar como decimales periódicos, esto es, se puede saber cuál es el número que sigue en su expansión decimal, algunos ejemplos son

3

4= 0.75000 … ⁵

2 = 2.5000 … −²

3= −0.666 … ⁷

66= 0.1060606 …

Los números irracionales no se pueden representar con decimales periódicos.

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23 El número pi 𝜋 que se obtiene al dividir el perímetro P de cualquier circunferencia con su diámetro d es un número irracional, esto es

𝑃 𝑑 = 𝜋𝑑

𝑑 = 𝜋

Es común decir que si unimos el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales se tiene el conjunto de números reales ℝ.

También se dice que los números reales son todos los números que se pueden asociar a los puntos de una recta, conocida como recta real, como se muestra en la siguiente figura

Desarrollo

Actividad 1. Observa con atención los videos³ y después resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios y problemas. (60 minutos).

Mínimo múltiplo común y máximo divisor común https://www.youtube.com/watch?v=VNEu5Xj8hV8

¿Qué son los números irracionales?

https://www.youtube.com/watch?v=3VBEXSGmR6o Conjunto de números reales racionales e irracionales https://www.youtube.com/watch?v=_oaNZbrQ5u4

Ejercicio 1. Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que escribas todas las operaciones.

3 Tomados de Youtube el 19 de mayo de 2021.

# Operaciones aritméticas Resultado 1 10[16 − (4 + 6)] − (−8)[12 − (4 + 14)] = 12

2 {2[(1 − 3)²− 6(2 + 3)] + 5} − 7 = −54

(25)

24 Prioridad de operaciones

▪ Primero se realizan las operaciones que están dentro de símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.). Si la expresión contiene símbolos de agrupación anidados, primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación más internos.

▪ Después se realizan las potencias y raíces.

▪ A continuación, se efectúan las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparezcan, de izquierda a derecha.

▪ Finalmente, se efectúan las sumas y restas de izquierda a derecha.

Problema 8. Carlos, Verónica y Alan fueron los ganadores de los tres primeros lugares de un concurso de matemáticas. Si sus puntuaciones finales fueron ⁹

11, ²⁰

23 y

15

17, respectivamente, ¿en qué lugar quedó cada uno?

Problema 9. Andrea tiene dos pelotas, la más pequeña alcanza la mitad de su altura en cada rebote; la grande alcanza sólo un cuarto de su altura en cada rebote. Si se sueltan desde una misma altura de 10 metros, calcular su diferencia de alturas al tercer rebote.

Algunos alumnos pasarán al pizarrón a resolver los problemas y los demás harán preguntas y observaciones, posteriormente el profesor guiará una discusión grupal en la cual se explicarán los resultados de cada uno de los problemas.

Actividad 2. Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, los siguientes ejercicios y problemas, es importante que escribas todas las operaciones y esquemas utilizados (30 minutos).

(26)

25 Ejercicio 2. Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que escribas todas las operaciones.

# Operaciones aritméticas Resultado

3 [¹

3− (+¹

3)] + (⁴

5−¹²

15) + (³

9×⁸¹

27) + (⁷

9+²

9) = 2 4 ⁵

3×⁷

4−²

5+⁵

9[³

4÷⁵

7] = 31

10 5 [¹

5− (+¹

4)] + (⁴

6−³

2) = −53

60

Ejercicio 3. Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que escribas todas las operaciones.

6 2 (1 −¹

2) + 3 (1 −¹

3) + 4 (1 −¹

4) + ⋯ + 2020 (1 − ¹

2020) = 2039190 7 (²³⁺²²⁻³

2²−2 ) − (²⁵

2³×^√2⁴

√2²) − [4³+ (√4)² + (√5²+ √125³ )] = −163 2

(27)

26 Otras reglas de los exponentes

𝑎⁰ = 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0

𝑎^−𝑛 = 1

𝑎^𝑛 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 (𝑎^𝑚)^𝑛 = 𝑎^𝑚𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 son números reales y, 𝑚 𝑦 𝑛 son enteros.

Ejemplo 4. Calcula el área de un triángulo con altura ℎ = √18 𝑐𝑚, y base 𝑏 =

√12 𝑐𝑚. Expresar el resultado con las raíces simplificadas.

1. Comprensión del problema.

▪ Hay que calcular el área de un triángulo

▪ Verificar que se tienen los datos suficientes

▪ Se deben simplificar las raíces usando propiedades de los radicales

2. Trazar un plan

▪ Escribir la fórmula para calcular el área del triángulo

▪ Sustituir los valores correspondientes en la fórmula

▪ Expresar las cantidades como producto de números primos para simplificar los radicales

▪ Simplificar las raíces para obtener el resultado

▪ Hacer las operaciones con números decimales para verificar el resultado.

3. Ejecución del plan

▪ La fórmula para calcular el área de un triángulo es: 𝐴 =^𝑏∙ℎ

2

▪ Al sustituir los valores se obtiene:

𝐴 =√18 ∙ √12 2

▪ Expresar la multiplicación en una sola raíz y expresar el resultado como producto de números primos

(28)

27 𝐴 =√2²∙ 3²∙ 2 ∙ 3

2

▪ Separamos las raíces para simplificar los términos cuadrados 𝐴 =√2²√3²√2 ∙ 3

2

▪ Cancelamos los cuadrados con las raíces correspondientes:

𝐴 = 2 ∙ 3 ∙ √2 ∙ 3 2

▪ Realizamos las operaciones y simplificamos 𝐴 =6 ∙ √6

2 = 3 ∙ √6

▪ Interpretamos el resultado para expresar el área resultante con las correspondientes unidades de medición.

▪ Por lo tanto, el área del triángulo es:

𝐴 = 3 ∙ √6 𝑐𝑚² 4. Retrospección

Reflexión sobre lo realizado

▪ Verificar usando números decimales:

ℎ = √18 ≅ 4.24 𝑏 = √12 ≅ 3.46

▪ Entonces, al calcular el área:

𝐴 =3.46 × 4.24 2 𝐴 = 7.33 𝑐𝑚²

▪ El área expresada con raíces en su aproximación decimal es:

𝐴 = 3 ∙ √6 ≅ 3 × 2.44 = 7.32 𝑐𝑚²

▪ Por lo tanto, como las áreas difieren en 1 centésimo, podemos decir que el resultado es correcto.

(29)

28 Problema 10. En una comida cada persona consumió media porción de ensalada, un tercio de porción de sopa y un cuarto de porción de guisado. Si en total se sirvieron 65 porciones, ¿cuántas personas comieron?

Problema 11. Una sucesión inicia con el número 2021 y el siguiente número es la suma de los cuadrados de los dígitos del número anterior. Los primeros 4 términos de la sucesión son 2021, 9, 81, 65, … ¿Cuál número se encuentra en el término 2021?

Actividad 3. Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, los siguientes problemas, es importante que escribas todas las operaciones y esquemas utilizados (40 minutos).

Problema 12. Se tienen 24 dulces en 3 montones. Si del primer montón paso al segundo tantos dulces como hay en el segundo, luego paso del segundo al tercero tantos dulces como hay en el tercero y finalmente paso del tercero al primero tantos dulces como hay en el primero, resulta que quedan 8 dulces en cada montón.

¿Cuántos dulces había al principio en cada montón?

Utiliza 24 fichas, repartidas en tres montones y sigue las instrucciones del problema.

¿Cuál fue tu resultado?

Problema 13. Se tienen 192 dulces en 3 montones. Si del primer montón paso al segundo tantos dulces como hay en el segundo, luego paso del segundo al tercero tantos dulces como hay en el tercero y finalmente paso del tercero al primero tantos

(30)

29 dulces como hay en el primero, resulta que quedan 64 dulces en cada montón.

¿Cuántos dulces había al principio en cada montón?

Problema 14. Se tienen tres rectángulos. Si del primer rectángulo paso al segundo rectángulo tanta área como la que hay en el segundo rectángulo, luego paso del segundo rectángulo al tercero rectángulo tanta área como la que hay en el tercer rectángulo y finalmente paso del tercero rectángulo al primer rectángulo tanta área como la que hay en el primero rectángulo, resulta que quedan tres cuadrados iguales. ¿cuáles son las dimensiones de los tres rectángulos?

Actividad 4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios y problemas. (60 minutos).

Ejercicio 4. Lleva a cabo, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que escribas todas las operaciones intermedias de cada una de las igualdades del punto (8) y grafica en una recta real el número irracional. Resuelve en tu cuaderno el problema del punto (9).

Resuelve, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes problemas, es importante que escribas todas las operaciones y esquemas utilizados.

8 1

2+√16 4 −√8

8 =4 + 8 − 2√2

8 =12 − 2√2

8 = 2(6 − √2)

8 = 6 − √2 4

6 − √2 4 9 Un cuadrado tiene área de 160, ¿cuánto mide cada lado? 4√10

(31)

30 Problema 15. Considera un número natural N de 5 dígitos y construye un número natural P de 6 dígitos poniendo un 1 en el extremo derecho de N y un número natural Q de 6 dígitos poniendo un 1 en el extremo izquierdo de N. Si P = 3Q, ¿cuál es el número N?

Problema 16. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado de lado 7 y contiene a 4 rectángulos iguales cuyo lado más grande mide 4. Si 𝑎 es el área del cuadrilátero EFGH y 𝑏 es el área del cuadrado ABCD, ¿cuánto mide ^𝑎

𝑏+1 ?

Algunos alumnos pasarán al pizarrón a resolver los problemas y los demás harán preguntas y observaciones, posteriormente el profesor guiará una discusión grupal en la cual se explicarán los resultados de cada uno de los problemas.

Actividad 5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. (60 minutos).

Problema 17. Se tiene un cuadrado de área igual a 2 y en uno de sus lados se construye un triángulo rectángulo isósceles, como el de la figura. ¿Cuánto miden cada uno de los lados del triángulo? (grafica en una recta real los números de la solución).

(32)

31 Problema 18. Un perro se encuentra atado con una cadena de 8 metros en la esquina de su casita cuadrada de 4 metros de lado. ¿Cuál es el área de la superficie por la cual se puede desplazar el perro?

En las 5 actividades, anteriores, aprendimos que la solución de algunos problemas pueden ser en números enteros, en números racionales o en números irracionales.

En el caso de los números racionales e irracionales es importante simplificar y no transformar el número a su representación decimal, ya que en caso de que la transformación no sea exacta, se obtendría una aproximación de la solución, que en el caso de algunas aplicaciones, se puede convertir en una fuente de error.

Evaluación:

Formativa. Durante las actividades se pasará a los equipos a revisar el trabajo y se darán pistas e indicaciones para que los alumnos no se queden atorados en la resolución de los problemas y puedan resolver satisfactoriamente la mayoría de las tareas asignadas. Al final, de cada una de las actividades, se resolverá de manera resumida, cada uno de los problemas y se pedirá a los alumnos escribirlos de manera amplia en su casa y presentarlos como un trabajo final con fines de calificación.

Sumativa. Al final de cada unidad se aplicará un examen para determinar en qué medida se lograron los aprendizajes. Con el resultado del examen, las notas obtenidas durante las clases y los trabajos resueltos en casa se tendrá una valoración del avance de cada uno de los alumnos y estaremos en condiciones de asignar una nota con fines de promediar al final del curso y obtener la calificación final del curso de Matemáticas I.

(33)

32 Estrategia 3. Los números reales

Podemos leer en la página 627 de Historia de la matemática de Boyer⁴ “Un día, con objeto de mantener la clase atareada y en silencio durante un buen rato, el maestro tuvo la idea de hacer sumar a sus alumnos todos los números del 1 al 100, ordenándoles además que, según fueran terminando cada uno esta tarea, deberían colocar su pizarra sobre la mesa del maestro. Casi inmediatamente colocó Carl (Gauss) su pizarra sobre la mesa, diciendo: Ya está; el maestro lo miró desdeñosamente mientras los demás trabajaban con ahínco. Cuando todos hubieron terminado y el maestro revisó al fin los resultados obtenidos, se encontró con la sorpresa notable de que la única pizarra en la que aparecía la respuesta, 5050, sin ningún cálculo accesorio, era la de Gauss. El muchachito de diez años había hecho evidentemente el cálculo mental de sumar la progresión aritmética

1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100 Posiblemente Gauss utilizó la fórmula

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1) 2 Obteniendo

100(101)

2 = 10100

2 = 5050

Otras dos fórmulas útiles son: la suma de los primeros 𝑛 cuadrados

1 + 4 + 9 + ⋯ + 𝑛² =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

Por ejemplo, si 𝑛 = 10 se tendrá

4 Tomado de la página 627 del libro Historia de la matemática de Carl B. Boyer (2010) Alianza Editorial. España.

(34)

33 1 + 4 + 9 + ⋯ + 10² = 10(10 + 1)(2(10) + 1)

6 = 2310

6 = 385 y la suma de los primeros 𝑛 cubos.

1 + 8 + 27 + ⋯ + 𝑛³ = (𝑛(𝑛 + 1)

2 )

2

Por ejemplo, si 𝑛 = 10 se tendrá

1 + 8 + 27 + ⋯ + 10³ = (10(10 + 1)

2 )

2

=110²

4 = 3025

Estos tres ejemplos, nos dicen como sumar un número finito de términos y nos permite mostrar dos relaciones de los números, conocidas como sucesiones (𝑎_𝑛) y series (∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑛), esto es

Primer caso (suma de los primeros números naturales).

Índice 𝑖 1 2 3 4 5 … 𝑛 Siguiente 𝑎_𝑛 1 2 3 4 5 … 𝑛 Suma

∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

1 3 6 10 15 … 𝑛(𝑛 + 1) 2

Segundo caso (suma de los primeros números naturales al cuadrado).

Índice 𝑖 1 2 3 4 5 … 𝑛

Siguiente 𝑎_𝑛 1 4 9 16 25 … 𝑛² Suma

∑ 𝑎_𝑛

𝑛

𝑖=1

1 5 14 30 55 … 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

Tercer caso (suma de los primeros números naturales al cubo).

(35)

34

Índice 𝑖 1 2 3 4 5 … 𝑛

Siguiente 𝑎_𝑛 1 8 27 64 125 𝑛³ Suma

∑ 𝑎_𝑛

𝑛

𝑖=1

1 9 36 100 225 …

(𝑛(𝑛 + 1)

2 )

2

Desarrollo

Actividad 1 (60 minutos). Observa los videos⁵ anotando, en tu cuaderno, los aspectos importantes y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios y problemas. (60 minutos).

Raíz de 2 es irracional

https://www.youtube.com/watch?v=BLMvd3Szn7o

Representación gráfica de los números irracionales: raíz de 7 https://www.youtube.com/watch?v=5s69u9jRWcc

¿Qué son realmente los números reales?

https://www.youtube.com/watch?v=xOjQ3u7jSLQ

Ejercicio 5. Lleva a cabo, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que simplifiques el resultado.

10 5

6+1 9−2

3+ 5

18= 5

9

11 −2

3(7 6−5

4) = 1

18 12 [2 ÷ (3 +4

5)]2

5= 4

19 13

11 25−³₅ 11 25+³

5

+ ²

13= 0

14 1

18+ 1

2 − 1 3 1 −

1 4

= 2

3

5 Tomados de Youtube el 27 de julio de 2021.

(36)

35 Recuerda que

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= ^𝑎𝑑

𝑏𝑐

Ejercicio 6. Lleva a cabo, en tú cuaderno sin usar calculadora, las siguientes operaciones con números reales, es importante que simplifiques el resultado.

15 5

6+1 9−2

3+ 5

18= 5

9

16 −2

3(7 6−5

4) = 1

18

17 [2 ÷ (3 +4

5)]2 5

4 19

18 11

25−3 5 11 25+3

5 + 2

13

0

19 1

18+ 1

2 − 1 3 −1

4

= 1

18+ 1

2 − 1

12 − 1 4

= 2

3

Actividad 2 (30 minutos): Resuelve los siguientes problemas.

Problema 16. ¿Cómo se pueden dividir 7 manzanas entre 12 niños de modo que cada uno de ellos reciba la misma cantidad y ninguna manzana sea dividida en más de 4 partes?

(37)

36 Problema 17. Un granjero distribuyó cierto número de metros cuadrados de tierra entre sus tres hijos. Julia recibió ²

3 de la tierra distribuida, Enrique ⁴

7 de lo que quedó y por último Ricardo se quedó con los restantes (180 metros cuadrados). ¿Cuántos metros cuadrados recibió Julia?

Problema 18. Juan pasó frente a una casa llevando un número infinito de balones numerados 1, 2, 3, … . A las 11:30 (esto es a las 12 −¹

2) lanzó los balones 1, 2, 3,

…, 10 por la ventana, pero alguien lanzó el balón 1 hacia afuera. A las 11:45 (esto es a las 12 −¹

4) lanzó los balones 11, 12, 13, …, 20 por la ventana, pero alguien lanzó el balón 2 hacia afuera. A las las 12 −¹

8 lanzó los balones 21, 22, 23, …, 30 por la ventana, pero alguien lanzó el balón 3 hacia afuera. Juan continuó este patrón, lanzando 10 balones nuevos cada vez y siempre el balón con el número más bajo que aún estaba en la casa salió por la ventana.

Ejercicio 7. A partir de la demostración de que √2 es irracional, vista en uno de los videos anteriores, lleva a cabo la demostración de que √3 es irracional.

Problema 19. Una persona gasta al mes, ¹

6 de su salario en ropa, ¹

4 en comida, y ¹

5 en diversión, y en 4 meses ahorra $ 13,800 pesos, ¿de cuánto es su salario mensual?

Problema 20. Pedro toma 20 litros de agua en 14 días. Junto con su esposa se toma esta misma cantidad de agua en 10 días. ¿En cuántos días la esposa se toma esta misma cantidad de agua?

(38)

37 Problema 21. De una finca de 70 hectáreas se vende el 23% y de lo que queda se alquilan ²

5 partes, ¿cuánto terreno queda?

Ejercicio 8. Sea  la operación exponenciación, esto es, 𝑎  b = 𝑎^b. Calcula

20 4  3 = 64

21 2  3 = 8

22 2(3  2) = 18

23 2(4  2) = 32

24 2  (3  2) = 512

25 5  (4  2) = 5¹⁶

Ejercicio 9. Sea  la operación exponenciación, esto es, 𝑎  b = 𝑎^b. Contesta las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

a) ¿Es  conmutativa? b) ¿Es  asociativa? c) ¿es  distributivo?

Evaluación:

Formativa. Durante las actividades se pasará a los equipos a revisar el trabajo y se darán pistas e indicaciones para que los alumnos no se queden atorados en la resolución de los problemas y puedan resolver satisfactoriamente la mayoría de las tareas asignadas. Al final, de cada una de las actividades, se resolverá de manera resumida, cada uno de los problemas y se pedirá a los alumnos escribirlos de

(39)

38 manera amplia en su casa y presentarlos como un trabajo final con fines de calificación.

Sumativa. Al final de cada unidad se aplicará un examen para determinar en que medida se lograron los aprendizajes. Con el resultado del examen, las notas obtenidas durante las clases y los trabajos resueltos en casa se tendrá una valoración del avance de cada uno de los alumnos y estaremos en condiciones de asignar una nota con fines de promediar al final del curso y obtener la calificación final del curso de Matemáticas I.

Estrategia 4. Los números figurados⁶

La idea de número en el pensamiento de los pitagóricos se puede ilustrarse por su interés en los números figurados. Aunque no se pueda formar ningún triángulo con menos de tres puntos, sí es posible construir triángulos con un número de puntos mayor, como con seis, diez o quince puntos, como se muestra en la figura

Los números tales como tres, seis, diez, quince y, en general, los números dados por la fórmula

6 Tomado de las páginas 84 y 85 del libro Historia de la matemática de Carl B. Boyer (2010) Alianza Editorial. España.

(40)

39 𝑁 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2 Esto es

1, 3, 6, 10, 15, 21, … ,𝑛(𝑛 + 1) 2 recibieron el nombre de números triangulares.

Otra categoría de números son los números cuadrados, que se obtienen sumando los números impares

1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛²

Entonces al agregar cada uno de los números impares se forma un cuadrado, como se muestra en la siguiente figura.

Esto es, los números cuadrados son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … , 400, …, 𝑛²

Si ahora consideramos la suma de los números pares 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Sumando los términos se obtendrá lo que los griegos llamaron un número oblongo, esto es, los números oblongos son

(41)

40 2, 6, 12, 20, 30, … , 𝑛(𝑛 + 1)

Podemos observar que cada uno de los números oblongos es el doble de un número triangular, como se muestra en la siguiente figura

Lo cual, también se puede observar al considerar la fórmula de número triangular multiplicada por 2, esto es

2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛) = 2 [𝑛(𝑛 + 1)

2 ] = 𝑛(𝑛 + 1) Los números pentagonales, están dados por la sumas de la sucesión

𝑁 = 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3𝑛 − 2) =𝑛(3𝑛 − 1) 2 Estos son

1, 5, 12, 22, 35, 51, … ,𝑛(3𝑛 − 1) 2

Los números hexagonales se obtienen a la vez de la sumas de la sucesión

(42)

41 𝑁 = 1 + 5 + 9 + ⋯ + (4𝑛 − 3) = 2𝑛²− 𝑛

Estos son

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, … , 2𝑛² − 𝑛

De una manera análoga, se van obteniendo los números poligonales de todos los órdenes.

Otros patrones geométricos interesantes son el que se obtiene al obtener la fórmula para determinar el número de diagonales de un polígono y para obtener la suma de los ángulos exteriores de un polígono.

Para el primer caso es necesario recordar que una diagonal es la recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono, por lo que el triángulo no tiene diagonales y el cuadrado tiene dos diagonales.

Para el segundo caso, recordemos que un ángulo exterior de un polígono es el que se forma con la prolongación de uno de los lados del polígono y el lado consecutivo, para el caso del triángulo se tienen tres ángulos exteriores.

(43)

42 Desarrollo

Actividad 1. Observen con atención los videos⁷ que su profesor(a) proyectará, marquen los datos más importantes y resuelva los ejercicios (60 minutos).

“Números Triangulares” https://www.youtube.com/watch?v=RDYwPDIk4zw

“Números Poligonales” https://www.youtube.com/watch?v=3KlkDQop96k

“Números Piramidales” https://www.youtube.com/watch?v=VHSvewi6uOo

Ejercicio 10. En el video de números piramidales, muestra que en la imagen de la maqueta:

1. La pirámide de base triangular tiene 364 bolitas.

2. La pirámide de base cuadrada tiene 650 bolitas.

Ejercicio 11. Dibuja la figura y observa que tiene el número de diagonales que se indica.

figura Número de diagonales pentágono 5

hexágono 9 heptágono 14

Ejercicio 12. Dibuja un triángulo, un cuadrado y un pentágono y en cada caso encuentra la suma de sus ángulos exteriores, lo que te permitirá observar que la suma de ángulos exteriores de un polígono de 𝑛 lados es 360.

7 consultados el 27 de julio de 2021.

(44)

43 Actividad 2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios y problemas. (60 minutos).

Ejercicio 13. Llena la tabla para obtener los primeros 5 números triangulares y obtén su fórmula.

Ejercicio 14. Llenen la tabla para obtener los primeros 5 números cuadrados y obtén su fórmula.

(45)

44 Ejercicio 16. Llenen la tabla para obtener los primeros 5 números oblongos y obtén su fórmula (recuerda que cada número oblongo es el doble del número triangular).

Algunos alumnos pasarán al pizarrón a resolver los ejercicios y los demás harán preguntas y observaciones, posteriormente el profesor guiará una discusión grupal en la cual se explicarán los resultados de cada uno de los ejercicios.

Problema 22. Utiliza la siguiente figura, para mostrar que un número: a) cuadrado 𝐶_𝑛 es la suma del número triangular 𝑇_𝑛 con el número triangular 𝑇_𝑛−1, esto es

𝐶_𝑛 = 𝑇_𝑛+ 𝑇_𝑛−1

b) oblongo 𝑂_𝑛 es el doble del número triangular 𝑇_𝑛. Esto es 𝑂_𝑛 = 2𝑇_𝑛

(46)

45 Ejercicio 17. Llenen la tabla para obtener el número de diagonales de los primeros 5 polígonos de más de tres lados y obtén la fórmula para el número de diagonales de un polígono de 𝑛 lados con 𝑛 ≥ 3.

Problema 23. Utiliza las siguientes figuras para obtener la suma de los ángulos exteriores de los primeros 2 polígonos de tres o más lados y posteriormente obtén la fórmula para calcular la suma de los ángulos exteriores de un polígono de 𝑛 lados con 𝑛 ≥ 3.

Recuerda que un ángulo exterior se forma con la prolongación de uno de los lados y el lado consecutivo del polígono y que la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.

(47)

46 Problema 24. Considera el siguiente patrón de figuras triangulares y completa la tabla.

Problema 25. Las siguientes figuras fueron construidas con cerillos. Completa la tabla

(48)

47 Actividad 4. Resuelve los siguientes problemas (40 minutos).

Problema 26. Se construyen cuadrados con palillos, como se muestra en la figura.

¿Cuántos palillos se requieren para pasar de la figura 30 a la figura 31?

Llenen la siguiente tabla para obtener la fórmula y con ella resolver el problema.

Problema 27. Las figuras siguientes se construyeron con palillos. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que se obtiene con 496 palillos?

(49)

48 Llenen la tabla para obtener la fórmula y con ella resuelvan el problema.

Formas e instrumentos de evaluación.

Evaluación formativa. Durante las actividades se pasará a los equipos a revisar el trabajo y se darán pistas e indicaciones para que los alumnos no se queden atorados en la resolución de los problemas y puedan resolver satisfactoriamente la mayoría de las tareas asignadas. Al final, de cada una de las actividades, se resolverá de manera resumida, cada uno de los problemas y se pedirá a los alumnos escribirlos de manera amplia en su casa y presentarlos como un trabajo final con fines de calificación.

Evaluación sumativa. Al final de cada unidad se aplicará un examen para determinar en qué medida, se lograron los aprendizajes. Con el resultado del examen, las notas obtenidas durante las clases y los trabajos resueltos en casa se

(50)

49 tendrá una valoración del avance de cada uno de los alumnos y estaremos en condiciones de asignar una nota con fines de promediar al final del curso y obtener la calificación final del curso de Matemáticas I.

Examen Diagnóstico de Álgebra.

Nombre _________________________________ Grupo _______ agosto de 2021.

La tabla muestra la calificación para de cada una de las preguntas y los problemas.

Descripción Ptos Descripción Ptos

Desarrollo o justificación bien y respuesta correcta.

10 Desarrollo o justificación bien y respuesta incorrecta.

8

Desarrollo o justificación mal y respuesta correcta.

6 Respuesta correcta sin desarrollo o justificación.

4

Desarrollo o justificación mal y respuesta incorrecta.

2 Problema o pregunta sin contestar.

0

Para las operaciones, no debes utilizar celular ni calculadora.

Escribe el número de cada pregunta o problema en tu cuaderno, resuélvelo y obtén una foto de cada página utilizada y mándala por el Chad privado.

No olvides poner tu nombre en cada página.

Contesta las siguientes preguntas y justifica tus respuestas.

1. Si 𝑒 + 𝑓 = 8 entonces 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 =

2. Si 𝑟 = 𝑠 + 𝑡 entonces 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 30 , entonces 𝑟 =

3. Si 𝑐 + 𝑑 = 10 y 𝑐 es menor que 𝑑, ¿qué puedes decir de 𝑐?

4. ¿𝐿 + 𝑀 + 𝑁 = 𝐿 + 𝑃 + 𝑁 es verdadero: a) siempre; b) algunas veces; c) nunca?

5. El área del rectángulo que se muestra en la figura es

(51)

50 6. La siguiente figura es un polígono de n lados y cada lado es de longitud 2, entonces el perímetro del polígono es

7. Si 𝑥 → 𝑥 + 2 entonces 6 →

8. El perímetro de la siguiente figura es 𝑝 =

9. Si 𝑚 = 3𝑛 + 1 y 𝑛 = 4 entonces 𝑚 =

10. Al agregar 4 a 𝑛 + 5 obtenemos

11. Los pasteles cuestan 𝑝 pesos cada uno y los bollos cuestan 𝑏 pesos cada uno.

Si compro 4 pasteles y 3 bollos, ¿que representa 4𝑝 + 3𝑏?

12. Multiplica 𝑛 + 5 por 4

13. Los lápices azules cuestan 5 pesos cada uno y los lápices rojos cuestan 6 pesos cada uno. Compro algunos lápices azules y algunos lápices rojos y en total me cuestan 90 pesos. Si 𝑏 es el número de lápices azules comprados, y si 𝑟 es el número de lápices rojos comprados, ¿qué puedes escribir a cerca de 𝑏 y 𝑟?

14. El salario base de Mary es de £20 libras por semana y £2 libras por cada hora extra que trabaja. Si ℎ es el número total de horas extra que trabajó y si 𝑊 es su salario semanal en libras, escribe una ecuación que relacione 𝑊 y ℎ.

15. ¿Cuál es más grande, 2𝑛 o 𝑛 + 2?

Resuelve los siguientes problemas.

1. ¿En cuánto aumentará el área de un rectángulo si su largo aumenta 20% y su ancho aumenta en 15%?