Convección Natural en Sistemas Interconectados Edición Única

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(1)INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE GRADUADOS E INVESTIGACIÓN PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. CONVECCIÓN NATURAL EN SISTEMAS INTERCONECTADOS. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA JESÚS JOSÉ GONZÁLEZ VILLAFAÑA ASESOR DR. CARLOS IVÁN RIVERA SOLORIO.

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por Jesús José González Villafaña sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con especialidad en INGENIERÍA ENERGÉTICA Comité de tesis:. Dr. Carlos Iván Rivera Solorio Asesor. Dr. Alejandro García Cuéllar Sinodal. M.C. José Luis López Salinas Sinodal. Aprobado:. Dr. Federico Viramontes Brown Director de Programa de Graduados en Ingeniería II.

(3) Para mi mamá, quien ha impulsado todos mis sueños.. III.

(4) AGRADECIMIENTOS. Agradezco a Dios que todo sucede conforme a su voluntad y permitió que una ilusión se transformara en una realidad. A los catedráticos de la Maestría en Ciencias en Ingeniería Energética, en especial al Dr. Federico Viramontes, al Dr. Alejandro García, al Dr. Armando Llamas y al M.C. José Luis López. Muy especialmente agradezco al Dr. Carlos Iván Rivera, mi asesor, quien no sólo fue mi guía académica, sino también moral. De igual manera agradezco a las personas que hicieron que no me sintiera solo fuera de casa: mis compañeros de maestría Gloria, Alfredo, Daniel y Jaime, por supuesto a mis paisanos y amigos Diego, Gerardo y Roy. Por último a las personas que siempre están, mi familia: mi hermano Carlos, mis tíos Rolando y Silvia, mi abuelita Palmi, mi amiga Astrid y mi ángel en toda la maestría mi amiga Brenda.. IV.

(5) RESUMEN En este trabajo se estudió el problema de convección de calor en sistemas interconectados con el apoyo de simulaciones numéricas. Estos sistemas constan de dos volúmenes (un cilindro exterior y un paralelepípedo) conectados por sus paredes verticales mediante dos ductos, uno localizado en la parte superior y el otro en la parte inferior. Dentro del cilindro exterior existe otro cilindro más pequeño (núcleo) en donde se genera calor. El aceite en contacto con el núcleo disminuye su densidad y asciende para entrar al paralelepípedo por el ducto superior. El paralelepípedo hace la función de un radiador que disipa calor a la atmósfera a través de su superficie. El aceite al enfriarse desciende a través del radiador y entra por el ducto inferior del cilindro exterior. Es decir, se forma un circuito en donde el fluido transporta el calor generado en uno de los volúmenes y lo disipa a la atmósfera a través del otro volumen. Este tipo de problema se encuentra en los transformadores de potencia, calentadores de aceite y equipo electrónico. Las simulaciones numéricas se realizaron para distintas situaciones en donde se variaba el calor generado en el núcleo y el disipado en los radiadores. También se investigó el efecto en la transferencia de calor para el caso en que la posición del núcleo se acercaba o alejaba del radiador. Se presentan distribuciones de velocidades y temperaturas en diferentes secciones de los sistemas interconectados para diferentes tiempos. Además, se obtuvieron la respuesta en el tiempo de las siguientes variables: temperaturas del ducto superior e inferior y el flujo másico a través de los radiadores. De los resultados se concluyó que para tiempos grandes, la distribución de temperaturas en la parte superior del cilindro exterior es aproximadamente uniforme. El flujo másico se incrementó al aumentar la magnitud del calor generado en el núcleo y la diferencia de temperaturas entre el ducto superior y el inferior. Por su parte los tiempos de respuesta del flujo másico y de las temperaturas de los ductos superior e inferior disminuyeron al acercase el núcleo a los radiadores.. V.

(6) ÍNDICE Portada………………………………………………………………………………... I Agradecimientos……………………………………………………………………... IV Resumen……………………………………………………………………………… V Índice…………………………………………........................................................ VI Lista de Figuras………………………………………………………………………. VIII Lista de Tablas ………………………….…………………………………………… XII Nomenclatura………………………………………………………………………… XIII Páginas Capítulo I. INTRODUCCIÓN. 1.1 Antecedentes………………………...……………………………………………. 1 1.2 Objetivos y Alcances…………………………………………………………….... 3 1.3 Organización de la Tesis………...……………………………………………….. 4 Capítulo II. REVISIÓN LITERARIA. 2.1 Convección Natural…………………………….……………………………..…. 6 2.2 Convección Natural en Cavidades o Sistemas Cerrados……………….…… 10 Capítulo III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 3.1 Descripción del Dominio………….……………………………………………... 14 3.2 Suposiciones……………………..……………………………………..……….. 17 3.3 Ecuaciones Gobernantes……….…………..…………………………………… 18 3.4 Condiciones de Frontera…………………..…….……………………………… 19 Capítulo IV. MODELO NUMÉRICO. 4.1 Discretización del Dominio.....………………………….………………………. 22 4.2 Métodos de Discretización………………………………………………………. 23 4.3 Validación del Modelo ……..………………….……….……………………….. 25 Capítulo V. RESULTADOS. 5.1 Configuración I…………………………………………………………………... 36 5.1.1 Caso I…………………………………….……..……………………….. 37 5.1.2 Caso II………………………………….………..……………………….. 40 5.1.3 Caso III……….…………………………………..……………………….. 42 5.2 Configuración II…………………………………………………………………... 43 5.3 Configuración III…………………………………………………………………... 44 5.4 Comparación de Tiempo de Respuesta de las Configuraciones……………. 44 5.5 Discusión de Resultados………………………………………………………... 45. VI.

(7) Capítulo VI. CONCLUSIONES Y FUTURO TRABAJO. 6.1 Conclusiones………………………………………………..…………………… 75 6.2 Trabajo Futuro………………………………………….……………………...... 77 REFERENCIAS……………………..………………………………………………... 78 ANEXO I………..……………………………………………………………………... 80. VII.

(8) LISTA DE FIGURAS Páginas. Figura 1.1 Patrón de flujo del aceite en sistemas interconectados…………………………….…... 2. Figura 2.1. Cavidad Inclinada…………………………………………………………………………....11 Figura 3.1. Geometría de los sistemas interconectados con medidas…………………………….. 15 Figura 3.2. Sistemas interconectados con el núcleo desplazado en dirección hacia el radiador (Configuración II)…………………………………………………………….…….... 16 Figura 3.3. Sistemas interconectados con el núcleo desplazado en dirección opuesta del radiador (Configuración III)……………………………………………………...………. 16 Figura 3.4. Esquema de los sistemas interconectados para representar las condiciones de frontera……………………………………………………………………...………….. 19 Figura 4.1. Malla y sección transversal de los sistemas interconectados……………………………………...……………………………………...…………… 23 Figura 4.2. Cavidad rectangular notación y condiciones de frontera………………………………. 25 Figura 4.3. Líneas de flujo para el caso de Ra = 0.1: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)…………………………..……… 27 Figura 4.4. Isotermas para el caso de Ra = 0.1: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)…………………………..……… 27 Figura 4.5. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 21: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)………………….……………… 28 Figura 4.6. Isotermas para el caso de Ra = 21: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)……………………….…………. 28 Figura 4.7. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 1000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)…………………………….……. 29 Figura 4.8. Isotermas para el caso de Ra = 1000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)……………………...………….. 29 Figura 4.9. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 14000: (a) resultados de la simulación de este trabajo (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)…………………………….………. 30 Figura 4.10. Isotermas para el caso de Ra = 14000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)………………………..………… 30 Figura 4.11. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 140000: (a) resultados las simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)………………………….…..…... 31 Figura 4.12. Isotermas para el caso de Ra = 140000. (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980)………….………………….…… 31. VIII.

(9) Figura 5.1. Esquema con la localización de los diferentes planos en los sistemas interconectados…………………………………………..……………….…….…….…….…….…….. 35 Figura 5.2. Contornos de Temperatura (K) para el Caso I (Configuración I): (a) 50 segundo, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos………………………………….. 47. Figura 5.3. Contornos de Temperatura (K) para el Caso I (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas………………………………………………….… 48 Figura 5.4. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración I): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos. ……………………………….… 49 Figura 5.5. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 50 Figura 5.6. Vectores de magnitudes de velocidades (m/s) en la parte superior del plano XY: (a) 50 s, (b) 1h y (c) 16 h (Caso I, Configuración I)……………………………….... 51 Figura 5.7. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración I): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos………………………………….. 52 Figura 5.8. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………….…… 53 Figura 5.9. Contornos de temperatura (vista isométrica) para t = 24 horas (Caso I, Configuración I)…………………………………………………………………………….….. 54 Figura 5.10. Contornos de magnitudes de velocidad (m/s) (vista isométrica) para 24 horas (Caso I, Configuración I)………………………………………………………………. 54 Figura 5.11. Contornos de Temperatura (K) para el Caso II (Configuración I): (a) 50 segundo, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos……………………………………. 55 Figura 5.12. Contornos de Temperatura (K) para el Caso II (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 56 Figura 5.13. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso II (Configuración I): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos…………………………………... 57 Figura 5.14. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso II (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 58 Figura 5.15. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso II (Configuración I): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos……………………………….….. 59 Figura 5.16. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso II (Configuración I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 60 Figura 5.17. Contornos de temperatura (vista isométrica) para t = 24 horas (Caso II, Configuración I)……………………………………………………………………………….. 61 Figura 5.18. Contornos de magnitudes de velocidad (m/s) (vista isométrica para t = 24 horas (Caso II, Configuración I)……………………………………………………………….. 61. IX.

(10) Figura 5.19. Contornos de Temperatura (K) para el Caso I (Configuración II): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos……………….……………………62 Figura 5.20. Contornos de Temperatura (K) para el Caso I (Configuración II): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas…………………………………………………… 63 Figura 5.21. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración II): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos…………………………..……. 64. Figura 5.22. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración II): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………..…….. 65 Figura 5.23. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración II): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos…………………………….……. 66 Figura 5.24. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración II): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas…………………………………………………… 67 Figura 5.25. Contornos de temperatura (vista isométrica) para t = 24 horas (Caso I, Configuración II). ……………………………………………………………………………... 68 Figura 5.26. Contornos de magnitudes de velocidades (m/s) (vista isométrica) para t = 24 horas (Caso I, Configuración II)………………………………………………………….. 68 Figura 5.27. Contornos de Temperatura (K) para la Configuración III (Caso I): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos…………………………………….69 Figura 5.28. Contornos de Temperatura (K) para la Configuración III (Caso I): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 70 Figura 5.29. Respuesta de la temperatura para la Configuración I para los 3 casos considerados para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b)…………………………...…. 71 Figura 5.30. Respuesta del flujo másico a través del radiador para la Configuración I para los 3 casos considerados…………………………………………….………… 72 Figura 5.31. Respuesta de la temperatura para el Caso I para las tres configuraciones consideradas para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b)………….………. 73 Figura 5.32. Respuesta del flujo másico a través del radiador para el Caso I para las tres configuraciones consideradas………………………………………………………….. 74 Figura A.1. Respuesta del flujo másico que entra y sale del radiador para la Configuración I para los 3 casos considerados, para un tiempo adimensional. t* =. t. τT. ………………………………………………………………………………………………….. 80. Figura A.2. Respuesta del flujo másico que entra y sale del radiador para la Configuración II para los 3 casos considerados………………………………..……………………. 81 Figura A.3. Respuesta de la temperatura para la Configuración II para los 3 casos considerados para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b)……………………………… 82. X.

(11) Figura A.4. Respuesta de la temperatura para la Configuración III para los 3 casos considerados para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b) …………………….……….. 83 Figura A.5. Respuesta del flujo másico que entra y sale del radiador para la Configuración III para los 3 casos considerados…………………………………..……….………… 84 Figura A.6. Respuesta del flujo másico para el Caso I para las 3 configuraciones Consideradas con un tiempo t* ………………….…………………………………………………….. 85 Figura A.7. Respuesta de la temperatura para el Caso I para las 3 Configuraciones consideradas para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b), para un tiempo adimensional t* =. t. τT. …………………………………………………………… 86. Figura A.8. Respuesta de la temperatura para el Caso II para las 3 Configuraciones para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b)..……………………………………………………... 87 Figura A.9. Respuesta del flujo másico que entra y sale del radiador para el caso II para las 3 configuraciones consideradas…………………………………………………… 88 Figura A.10. Respuesta de la temperatura para el Caso III para las 3 configuraciones para el ducto superior (a) y el ducto inferior (b)…………………...…………………………………. 89 Figura A.11. Respuesta del flujo másico que entra y sale del radiador para el Caso III para las 3 Configuraciones………………………..……………………….…………………. 90 Figura A.12. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración III): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos…………………………………... 91 Figura A.13. Contornos de Velocidad en X (m/s) para el Caso I (Configuración III): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 92 Figura A.14. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración III): (a) 50 segundos, (b) 5 minutos, (c) 15 minutos y (d) 30 minutos………………………………….. 93 Figura A.15. Contornos de Velocidad en Y (m/s) para el Caso I (Configuración III): (a) 1 hora, (b) 4 horas, (c) 8 horas y (d) 24 horas……………………………………………………. 94. XI.

(12) LISTA DE TABLAS Páginas Tabla 4.1. Rayleigh y diferencia de temperaturas empleadas en este trabajo…………………. 26. Tabla 4.2. Números de Nusselt obtenidos en este trabajo y los correspondientes de la literatura (Patterson e Imberger, 1980) para los valores de Ra considerados en este trabajo………………………………………………………………………………….……….. 32 Tabla 5.1. Planos en la figura 5.1 …..……………………………………………………….…………. 35 Tabla 5.2. Temperaturas de los ductos superior e inferior y el flujo másico a través del radiador para el Caso I (Configuración I)………………………………………………………….….. 40 Tabla 5.3. Temperaturas de los ductos superior e inferior y el flujo másico a través del radiador para el Caso II (Configuración I)…………………………………………………………….. 41 Tabla 5.4. Temperaturas de los ductos superior e inferior y el flujo másico a través del radiador para el Caso III Configuración I……………………………………..………………………. 42. XII.

(13) NOMENCLATURA Cp = calor específico a presión constante, J/kg K D = diámetro, m g = aceleración de la gravedad, m²/s Gr= número de Grashof hc = coeficiente de transferencia de calor por convección, W/m² K H = altura de la geometría, m m& = flujo Masico, kg/s. Nu= número de Nusselt p = presión del fluido, Pa Pr= número de Prandtl, Cp µ /k. q = flujo de calor, W/ m² R = radio del cilindro, m Ra= Número de Rayleigh Re= número de Reynolds. S = tensor de esfuerzos T = temperatura, oK t = tiempo, h t* = tiempo adimensional V = Velocidad del fluido, m/s W = ancho de la geometría, m X = coordenada en el eje X Y = coordenada en el eje Y Z = Coordenada axial Símbolos griegos: α = difusividad térmica, m²/s. β = coeficiente de expansión volumétrica, 1/K. ρ = densidad del fluido, kg/m3. XIII.

(14) µ = viscosidad, kg/m s κ = Conductividad térmica, J/m s K τ T = Constante de tiempo característica, s. XIV.

(15) Capítulo I INTRODUCCIÓN. En este trabajo se investiga mediante simulaciones numéricas el mecanismo de convección natural que existe entre sistemas interconectados. La motivación de esta investigación surge debido a la necesidad de entender el funcionamiento del sistema interno de enfriamiento de un transformador. Es decir, la forma en que el fluido (aceite) transporta el calor generado dentro del transformador a una región en donde se disipa al ambiente mediante radiadores externos. El estudio está enfocado a estudiar los fundamentos de convección natural en sistemas interconectados, por lo que este trabajo no se limita solamente a transformadores de potencia sino que incluye otros sistemas de enfriamiento de equipos eléctricos y electrónicos. 1.1 Antecedentes Un transformador es un dispositivo que convierte la potencia eléctrica de corriente alterna, de un voltaje determinada a otro, que puede ser más bajo o más alto a través de la acción de un campo magnético. Estos dispositivos tienen eficiencias que llegan a superar el 99% (Ras, 1995). Las pérdidas resultan de la diferencia entre la energía necesaria para producir la inducción electromagnética en el núcleo del transformador y la energía disipada por los conductores de los devanados al circular la corriente por ellos. Este 1% llega a tomar importancia cuando consideramos equipos de alta capacidad (por ejemplo con un equipo de 250 MVA tendríamos pérdidas de 2.5 MVA), esta energía provoca un calentamiento que podría dañar de manera permanente el transformador o acortar su vida útil. La manera más común de enfriar los transformadores es mediante el uso de fluidos (aire en los de pequeña capacidad y aceite en los de alta). Estos fluidos circulan en el transformador a causa de la convección natural. 1.

(16) como se muestra en el esquema simplificado de la figura 1.1. El aceite que se encuentra en contacto con las paredes del núcleo se calienta. Debido al incremento de temperatura, la densidad del aceite en la región cercana al núcleo disminuye con respecto a la región alejada de las paredes. A consecuencia de esta diferencia de densidades, el aceite asciende y sale por el conducto superior que conecta la caja del transformador y el radiador anexo. El aceite que entra al radiador se enfría al disipar calor a la atmósfera a través de la superficie expuesta del radiador. Al disminuir su temperatura, su densidad se incrementa y por gravedad desciende por los conductos del radiador. El aceite sale por el conducto inferior del radiador que conecta a éste con la caja del transformador. El aceite que entra a la caja del transformador y que entra en contacto con el núcleo se vuelve a calentar y el proceso se repite. La circulación de aceite se da por el efecto termosifón entre el transformador y los radiadores, es decir entre dos sistemas interconectados.. Figura 1.1 Patrón de flujo del aceite en sistemas interconectados.. Se han realizado estudios de transferencia de calor de partes específicas del sistema de enfriamiento del transformador. Castellanos (1994) y Cruz (1993). 2.

(17) efectuaron simulaciones numéricas en dos dimensiones de la transferencia de calor en estado transitorio y estacionario en un transformador eléctrico mediante la técnica de elementos finitos por medio del código computacional ANSYS. Estos estudios se enfocaron al conjunto del núcleo del transformador (bobinas y líquido aislante) en donde consideraron las fuentes generadoras de calor como un bloque homogéneo. Obtuvieron los siguientes resultados: coeficientes de transferencia de calor, el punto más caliente, distribución de velocidades e isotermas de temperatura. En la literatura existe una gran cantidad de estudios relacionados con los aspectos térmicos de los transformadores de potencia (Pierce, 1994; Radakovic 2003; Tylavsky 2000; Swift 2001; Zhang 2004). La mayoría de estos trabajos están enfocados a predecir variables como la temperatura de aceite superior, TOT, (Top Oil Temperatura) y la temperatura de la zona caliente, HST (Hot Spot Temperatura). El TOT se refiere a la temperatura del aceite en la parte superior de la caja del transformador y el HST se refiere al punto en las bobinas en donde la temperatura es máxima. Para la obtención de estas temperaturas se emplean las ecuaciones de la Guía de Transformadores de Carga (IEEE Std. C57.911995). Estas ecuaciones diferenciales se obtuvieron de realizar un balance de energía basándose en el método de parámetros concentrados. A partir de estas ecuaciones se obtiene una expresión en forma exponencial que nos da la respuesta en el tiempo del TOT y del HST al producirse una variación en la carga del transformador. Los modelos utilizados en los estudios mencionados no proporcionan información sobre las distribuciones de temperaturas y velocidades del aceite en el transformador ni de la evolución de éstos con el tiempo. 1.2 Objetivos y Alcances Aunque la inspiración de esta investigación proviene del proceso de enfriamiento de un transformador de potencia, lo que se pretende en esta tesis es entender los fundamentos de la convección natural en sistemas interconectados para mejorar el diseño de equipos que se basen en estos. 3.

(18) principios, con tal motivo se realizaron simulaciones numéricas para un sistema simplificado en donde se presenta este proceso de convección natural (termosifón). Es decir, el calor generado en un recinto es transportado mediante el flujo de un fluido a otro recinto en donde se disipa a la atmósfera formando una recirculación del fluido generada por las fuerza de flotación. Se pretende en investigaciones futuras realizar la experimentación, por lo que las simulaciones se realizaron para un sistema o equipo que se pueda instrumentar en el laboratorio de termo-fluidos con dimensiones que son mucho menores que las de un transformador de potencia. En estas simulaciones se obtuvieron las distribuciones de velocidades y temperaturas del fluido (aceite) y su variación en el tiempo para el sistema mencionado para diferentes condiciones de frontera térmicas y diferentes configuraciones que se refieren a la localización de la fuente generadora de calor (núcleo) en el sistema. Además se obtuvieron resultados sobre los flujos másicos del aceite que circula a través de los radiadores. Para obtener estos resultados se resolvieron numéricamente las ecuaciones de momento lineal y la de la energía. Las simulaciones se complican debido a que es un problema transitorio de transferencia de calor en tres dimensiones en donde se considera la dependencia de las propiedades del fluido con la temperatura.. 1.3 Organización de la Tesis Los capítulos de la tesis son organizados de la siguiente forma. En el Capítulo I se presentan antecedentes, motivación y expectativas de este trabajo. En el Capitulo II se lleva acabo una revisión de la literatura sobre el mecanismo de la convección natural y los parámetros adimensionales relevantes. Además se revisa la convección natural en cavidades o sistemas cerrados. En el Capitulo III se define el problema a resolver. Se indican las suposiciones utilizadas y se describe el sistema o dominio de solución. Se plantean las ecuaciones gobernantes y se especifican las condiciones de frontera. En el Capitulo IV, se presenta la forma en que se resolvieron numéricamente las ecuaciones 4.

(19) gobernantes mediante un programa especializado de dinámica de fluidos computacional. Además se muestran las simulaciones numéricas que se realizaron para verificar el uso correcto del programa. En el Capítulo V, se presentan los resultados de las simulaciones numéricas para el problema de sistemas interconectados para las diferentes configuraciones y condiciones de frontera consideradas en este trabajo. Por último en el Capítulo VI, se exponen las conclusiones obtenidas y las expectativas para futuros trabajos.. 5.

(20) Capítulo II REVISIÓN LITERARIA. En este capítulo se revisan conceptos fundamentales de convección natural libre y convección natural en cavidades. También se repasan algunos artículos sobre estos temas donde se observa la evolución en este campo. 2.1 Convección Natural Los flujos de convección natural en recintos cerrados son un ejemplo de tipos complicados de flujo. Una de las características de los flujos en recintos cerrados, es que para la mayor parte de los componentes de velocidad, tienen esencialmente los mismos órdenes de magnitud, excepto en algunas subregiones del flujo. Antes de presentar los conceptos de convección natural en recintos cerrados o cavidades, se introducen algunos conceptos sobre convección natural externa. Las ecuaciones gobernantes para la capa límite por convección libre, asumiendo que el fluido es de una sola especie y newtoniano, y que el campo de flujo es de dos dimensiones y en estado estable son: la ecuación de continuidad ∂ ( ρu ) ∂ ( ρ v ) + = 0, ∂x ∂y. la ecuación de momentum, incluyendo Χ = − ρ g. (2.1). (una fuerza de cuerpo. gravitacional orientada en la dirección vertical negativa de x ). pu. dP ∂u ∂u ∂  ∂u  + pv =− − gρ +  µ  , dx ∂x ∂y ∂y  ∂y . (2.2). 6.

(21) y la ecuación de la energía, asumiendo un calor especifico constante. ρ cu. ∂T ∂T ∂  ∂T + ρ cv = k ∂x ∂y ∂y  ∂y.  . . (2.3). Aproximación de Boussinesq. Es una simplificación de la combinación de las fuerzas de cuerpo, los términos de gradientes de presión y la ecuación de movimiento, para flujos con convección libre. Aquí se consideran constantes todas las variables de las tres ecuaciones a excepción de la densidad en la ecuación de momentum ( ρ − ρ ∞ ), y se aproximan los términos de diferencia de densidad con una ecuación de estado simplificada, que resulta en,. pu. ∂u ∂u ∂  ∂u  + pv = g ( ρ∞ − ρ ) +  µ  . ∂x ∂y ∂y  ∂y . (2.4). Número de Prandtl. Es una manera de describir el espesor relativo de las capas límite hidrodinámica y térmica. Es adimensional y resulta de la división de la difusividad molecular de la cantidad de movimiento y la difusividad molecular del calor de la siguiente manera:. Pr =. v. α. =. µC p k. .. (2.5). Número de Reynold. Cantidad adimensional donde el régimen de flujo depende principalmente de la razón de las fuerzas de inercia con respecto a las fuerzas viscosas del fluido. Es usado para determinar si el flujo es laminar o turbulento y se define de la siguiente manera:. Re =. VLc ρVLc = . µ v. (2.6). 7.

(22) Número de Grashof. Es un número adimensional que caracteriza el flujo de convección natural en forma equivalente al número de Reynolds. Este número se deriva de la siguiente forma: primero, se dividen todas las variables dependientes e independientes entre cantidades constantes apropiadas. Por ejemplo, todas las longitudes entre una longitud característica LC , todas las velocidades entre una velocidad característica. La temperatura se normaliza con una diferencia de temperaturas ( Ts − T∞ ), obteniéndose el siguiente grupo de variables adimensionales:. x* =. x Lc. y* =. y Lc. u* =. u V. v* =. v V. y T* =. T − T∞ Ts − T∞. (2.7). En donde los asteriscos se usan para denotar variables no dimensionales. Sustituyendo en la ecuación de la cantidad de movimiento y simplificando se obtiene:. u*. 3 ∂u * * ∂u *  g β (Ts − T∞ ) Lc  T * 1 ∂ 2u * + = + v .   2 *2 ∂x* ∂y*  v2  Re L Re L ∂y. (2.8). El parámetro adimensional que se encuentra entre corchetes representa los efectos de la convección natural y se llama número de Grashof, GrL ,. GrL =. g β (Ts − T∞ ) L3c . v2. (2.9). Número de Rayleigh. Es el producto de los números de Grashof y Prandtl:. RaL = GrL Pr =. g β (Ts − T∞ ) L3c Pr . v2. (2.10). 8.

(23) Número de Nusselt. Es el coeficiente adimensional de la convección de calor e indica que tan eficientemente se transfiere el calor de una superficie al fluido (o viceversa) debido al movimiento de éste. Considere una capa de fluido de espesor L y una diferencia de temperatura ∆T = T2 − T1 . La transferencia de calor a través de la capa del fluido se realiza por convección cuando ésta última tenga algún movimiento y por conducción cuando esté inmóvil. En ambos casos, el flujo de calor se representa mediante:. qconv = h∆T. y. qcond = k. ∆T . L. (2.11). A partir de estas ecuaciones se obtiene el número de Nusselt, qconv h∆T hL = = = Nu . qcond k ∆T k L. (2.12). Una correlación empírica sencilla para obtener el número de Nusselt está dada por:. Nu =. hLc n = C ( GrL Pr ) = CRaLn . k. (2.13). Bejan (1984) presenta para el caso de convección natural en un canal vertical la siguiente expresión para evaluar el flujo másico,. ρgβ D 3 (T pared − Tamb ) m& = 12ν. (2.14). en donde D es el ancho del canal. Para la derivación de esta ecuación se utilizó la aproximación de Boussinesq y se supone que el flujo es en dos dimensiones, no transitorio y se encuentra desarrollado térmicamente.. 9.

(24) 2.2 Convección Natural en Cavidades o Sistemas Cerrados Kays et al (2005) presenta los resultados obtenidos por Catton, quien realizó un análisis relacionado con la interacción de las inestabilidades hidrodinámicas y térmicas para convección en cavidades rectangulares cerradas, obteniendo resultados para un rango de Rayleigh de hasta 1010, ángulos de 0o hasta 180o y relación H/W (alto y ancho) fija. La figura 2.1 muestra un esquema de este tipo de cavidades. De los resultados se determinó que cuando los ángulos son pequeños, de 0o a 30º, la transferencia de calor resulta solamente por conducción. Al incrementar el ángulo, la convección comienza a obtener relevancia debido al incremento de las fuerzas de flotación a lo largo de las paredes isotérmicas. Cuando se llega a 90º las fuerzas de flotación se encuentran en su punto máximo, pero el efecto de estratificación continua, por lo cual se encuentra la máxima transferencia de calor en ángulos mayores a 90º. Finalmente se muestra una correlación para NuH de la transferencia de calor en cavidades con circulación de la siguiente forma:. ( ).   Nu H 90o   1+ −1 para 0<γ ≤90o H /W  NuH ( γ )    . = o H /W Nu 90 H  1/ 4 o  H / W ( Sinγ ) para 90 ≤γ <γ c . ( ). (2.15). En función de Pr y Ra se tiene la siguiente correlación para cavidades verticales:.  Pr  Nuw = 0.18    0.2 + Pr . 0.29. ( Raw ). 0.29. ,. (2.16). válida para 1 < H/W < 2, 10-3 < Pr < 105 y 103 < Pr/(0.2+Pr)Raw, y. 10.

(25)  Pr  Nuw = 0.22    0.2 + Pr . 0.28. H   W . −1/ 4. ( Raw ). 0.28. ,. (2.17). que es válida para 2 < H/W < 10, Pr < 105 y Raw < 1010.. Figura 2.1. Cavidad Inclinada.. Bejan (1979) estudió de forma analítica el régimen de la capa límite para convección libre en cavidades rectangulares verticales con paredes verticales a diferentes temperaturas y las otras paredes adiabáticas e impermeables. Su investigación se basa en la suposición de que un fluido estratificado existe en el núcleo, lejos de las paredes verticales de la cavidad. Así mismo, encuentra soluciones para la capa límite del flujo cerca de las paredes verticales. T. H. Kuehn y R. J. Goldstein (1978) realizaron estudios experimentales de convección natural en cilindros concéntricos y excéntricos con números de Rayleigh de 2.2 X 102 hasta 7.7 X 107. Ellos usaron métodos ópticos para estudiar los campos de temperatura entre los cilindros, obteniendo resultados del flujo y. de los coeficientes de transferencia de calor para tiempos. instantáneos y promedios. Un interferómetro fue usado para obtener interferogramas del gas, además de un láser de He-Ne de 5 mW. Los resultados que obtuvieron nos muestran regiones de conducción, convección laminar y convección con turbulencia parcial. En este experimento se obtienen líneas de flujo e isotermas para distintos valores de Rayleigh y excentricidades.. 11.

(26) John Patterson y Jorg Imberger (1980) investigaron flujos por convección natural en cavidades rectangulares con una relación H/W menor o igual a la unidad usando un análisis de escalas para obtener algunos datos de su comportamiento.. Con. parámetros. no. dimensionales. describen. el. flujo. dependiendo del valor de Ra en relación con varias combinaciones de Pr y H/W. De estos regímenes se obtiene una clasificación de flujos entre la conducción y convección, dependiendo de los valores relativos de Ra y del número crítico de Rayleigh Rac, donde Rac = max  Pr 2 , ( H / W ) . −12.  . Para el caso, Ra < 1, el flujo es . descrito por un pequeño movimiento giratorio hacia arriba y la conducción es el proceso de transferencia de calor dominante. La velocidad del fluido se incrementa poco a poco. Cuando domina la convección Ra > Rac, se forman capas límite verticales. Bajorek y Lloyd (1982) estudiaron la convección natural en cavidades con particiones, en donde el flujo es afectado por la presencia de un obstáculo vertical dentro del sistema cerrado. Determinaron que si una pared parcial es puesta en el piso del sistema cerrado, el fluido en el lado frío del obstáculo queda atrapado e inactivo con respecto al transporte por convección natural. En comparación con una caja sin obstrucciones internas, donde el fluido fluye por toda la cavidad, en este tipo de cavidades, se encuentran zonas donde el fluido está inactivo. Ozoe (1983) realizó una serie de estudios numéricos y experimentales de flujos boyantes en cavidades rectangulares cerradas. Chang et al (1983) emplearon el método de elemento finito Galerkin para analizar la transferencia de calor por convección en una cavidad irregular cerrada formada por dos cilindros isotérmicos concéntricos. Amarayo et al (2003) realizaron una simulación numérica del problema de convección natural transitoria en una cavidad rectángular, obteniendo soluciones para un flujo en el rango 102 < Ra < 109, Pr = 0.7 y para las razones aspecto H/W igual a 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 y 1. Estudiaron el flujo de calor local y global en la superficie inclinada y en la base, a través del análisis del número de Nusselt por convección. En los resultados obtenidos podemos observar que a medida que. 12.

(27) se incrementa la razón H/W, el régimen de convección laminar se mantiene para valores decrecientes de Ra. Se encuentra que a un determinado Ra, no es posible llegar al estado estacionario debido a la aparición de oscilaciones de alta frecuencia. Ampofo y Karayiannis (2003) realizaron estudios de convección natural turbulenta en una cavidad rectangular, cuadrada vertical, tridimensional. La cavidad es de 0.75 m de alto × 0.75 m de ancho × 1.5 m de espesor. Las paredes fría y caliente son isotérmicas a 50 y 10 C, respectivamente dando un número de Rayleigh de 1.58 × 109. La velocidad local y la temperatura fueron medidas simultáneamente en diferentes puntos de la cavidad. Se obtiene el número local y promedio de Nusselt. De los resultados experimentales se obtienen datos de referencia que permiten validar códigos de fluidos dinámicos computacionales. Lloyd (2003) realizó una simulación numérica de la interacción de la convección natural y de la radiación en pequeñas cavidades rectangulares cerradas con una obstrucción en dos y tres dimensiones mediante el código de CFD (Computational Fluid Dynamics) Fluent. La obstrucción se localiza en el centro de la cavidad, siendo representada por un círculo en el modelo de dos dimensiones y un cilindro en el de tres dimensiones, con un diámetro variable. El número de Rayleigh fue variado entre 0.005 y 300, y el rango del coeficiente de transferencia de calor por convección estuvo entre 2 y 25 W/m2K. Determinaron coeficientes de transferencia de calor y obtuvieron líneas de flujo e isotermas de las distintas simulaciones que realizaron.. 13.

(28) Capítulo III PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El propósito de este trabajo es investigar mediante simulaciones numéricas el proceso de convección natural en sistemas interconectados. Se pretende,. en. investigaciones. posteriores,. complementar. los. resultados. numéricos con datos obtenidos de experimentos de convección natural en un equipo de sistemas interconectados construido en el laboratorio con esta finalidad. Este equipo se instrumentaría para realizar mediciones de temperatura del fluido para diferentes tiempos. Debido a lo costoso y difícil de realizar el experimento en condiciones controladas utilizando un transformador de potencia, las dimensiones de este equipo experimental de laboratorio serían considerablemente menores. Sin embargo el equipo proporcionaría información importante sobre el proceso de convección natural en sistemas interconectados. 3.1 Descripción del Dominio Considerando las características del equipo experimental mencionadas, las simulaciones se realizaron para una geometría como la que se muestra en la figura 3.1. Se tiene un cilindro vertical de 0.88 m de altura con un diámetro de 0.6 m. En el interior de este cilindro en la parte inferior se encuentra otro cilindro vertical más pequeño con una altura de 0.44 m y un diámetro de 0.2 m. El cilindro exterior se encuentra conectado a un paralelepípedo mediante dos tubos en la parte superior e inferior. Los tubos tienen un diámetro y un largo de 0.05 m. El paralelepípedo tiene una base de 0.2 m por 0.05 m y una altura de 0.78 m. El cilindro exterior corresponde al sistema que contiene el fluido al que se está incrementando la temperatura mediante el calor generado en el cilindro interior. Esta parte del sistema sería la equivalente de la caja del transformador y del núcleo. El paralelepípedo corresponde a la parte del sistema en la que se disipa el calor y sería el equivalente a un radiador muy simplificado.. 14.

(29) Figura 3.1. Geometría de los sistemas interconectados con medidas.. Esta geometría de los sistemas interconectados en donde el cilindro interior se encuentra en la parte inferior en el centro, se denota como Configuración I. Para estudiar el efecto en la dinámica de fluidos y en la transferencia de calor para la situación en la que el núcleo no se encuentra en el centro, se consideraron dos configuraciones adicionales. En la Configuración II el cilindro interior se trasladó 0.15 m hacia la dirección del radiador como se muestra en la figura 3.2. En la Configuración III el cilindro interior se trasladó 0.15 m en dirección opuesta a donde se encuentra localizado el radiador como se ilustra en la figura 3.3.. 15.

(30) Figura 3.2. Sistemas interconectados con el núcleo desplazado en dirección hacia el radiador (Configuración II).. Figura 3.3. Sistemas interconectados con el núcleo desplazado en dirección opuesta del radiador (Configuración III).. 16.

(31) 3.2 Suposiciones Para los dominios de las diferentes configuraciones consideradas se presenta la siguiente lista de suposiciones que se realizaron para resolver el problema: 1. Las dimensiones y la geometría fueron especificadas pensando en la construcción e instrumentación del equipo experimental. No es un modelo a escala de un transformador de potencia, sin embargo este modelo simplificado permite estudiar el fenómeno de convección natural en sistemas interconectados. 2. El núcleo en donde se está generando el calor, está representado por un cilindro sólido. Esta es una representación simplificada del núcleo de un transformador en donde se tiene una gran cantidad de ductos por donde circula el aceite en su interior. 3. El cilindro exterior es una representación simplificada de la caja del transformador, en donde la geometría generalmente corresponde a la de un paralelepípedo. 4. El radiador es una geometría muy simplificada de los bancos de radiadores que están conectados a los transformadores. En estos radiadores las superficies no son planas sino corrugadas. 5. El flujo del fluido es incompresible. Las magnitudes de las velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad del sonido. 6. El fluido se considera newtoniano. Los esfuerzos cortantes en el fluido son proporcionales a la rapidez de deformación de éste. 7. No se consideran la radiación ni el calor generado en las paredes del cilindro exterior debido a los efectos magnéticos. 8. Las propiedades del fluido se consideran dependientes de la temperatura. 9. Se desprecian los efectos de disipación viscosa.. 17.

(32) 3.3 Ecuaciones Gobernantes Para el dominio de sistemas interconectados y las suposiciones consideradas, se presentan las ecuaciones gobernantes del problema. Ecuación de Continuidad. r ∂ρ r + ∇ ⋅ ( ρV ) = 0 . ∂t. (3.1). Ecuaciones de Navier Stokes. r r v  ∂V r v r  r 2r v r ρ + V ⋅ ∇V  = −∇p − ∇( µ∇ ⋅ V ) + 2∇ ⋅ ( µ S ) + ρg . 3  ∂t . (3.2). Ecuación de la energía térmica r 2 r r Dp  ∂T r r  r , + V ⋅ ∇T  = ∇ ⋅ (κ∇T ) − µ (∇ ⋅ V ) 2 + 2 µ S : S + βT 3 Dt   ∂t. ρc p . (3.3). en donde:. S = ∂ iV j = tensor de esfuerzos. ρ = densidad del fluido r V = vector velocidad. t = tiempo p = presión del fluido g = aceleración de la gravedad. Cp = calor específico a presión constante T = temperatura. κ = conductividad térmica. 18.

(33) β = coeficiente de expansión volumétrica µ = viscosidad r ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∇= i+ j+ k. ∂z ∂x ∂y. 3.4 Condiciones de Frontera Para facilitar la descripción de las condiciones de frontera se presenta el diagrama de la figura 3.4 en donde se muestran los nombres de las diferentes partes del sistema interconectado para tenerlas como referencia.. Figura 3.4. Esquema de los sistemas interconectados para representar las condiciones de frontera.. Condiciones Iniciales y de Frontera La temperatura ambiente, Tamb, se supone constante y con un valor de 293 K. El aceite inicialmente tiene un valor igual a la temperatura del ambiente. Para las paredes del sistema interconectado se tienen las siguientes condiciones de frontera:. 19.

(34) 1. Para las paredes y tapa del cilindro exterior (excepto el piso), las paredes del radiador y de los ductos que conectan los dos sistemas, se tiene una condición del tercer tipo o mixta :. r − κ (∇T ) n = hc (T pared − Tamb ) ,. (3.4). En donde n , es la coordenada en la dirección normal a la pared y hc es el coeficiente de transferencia de calor por convección.. Este. coeficiente depende de la situación que se desea representar. Por ejemplo en los radiadores se selecciona un valor representativo (en el orden de magnitud) de convección forzada que representa la situación en la que se hace circular aire proveniente de los abanicos sobre las paredes del radiador. En las paredes del cilindro exterior se selecciona un valor de hc de un orden de magnitud representativo de la situación en que se tiene. convección natural en las paredes. 2. El piso del cilindro se considera que está aislado, es decir, q "piso = 0 .. (3.5). 3. En el núcleo se considera un flujo de calor uniforme en su pared lateral y otro de diferente magnitud en la tapa de éste. q "pared lateral nucleo = q1 ,. (3.6). " q tapa nucleo = q 2 .. (3.7). Las magnitudes de los coeficientes de convección y de flujo de calor se proporcionan en el Capítulo V. Los valores de estas magnitudes varían para. 20.

(35) tener tres casos que representan tres situaciones que se pueden presentar en los sistemas interconectados.. 21.

(36) Capítulo IV MODELO NUMÉRICO El problema de convección natural en sistemas interconectados que se está resolviendo tiene las siguientes características que dificultan su solución numérica. Primero, el dominio es en tres dimensiones y la discretización de éste es compleja debido a que se conectan dos sistemas con diferentes geometrías y en donde existe otro elemento dentro de uno de ellos. Segundo, es un problema transitorio que requiere de un gran número de iteraciones para poder observar la evolución del campo de velocidades y la distribución de la temperatura. Tercero, las propiedades del fluido son dependientes de la temperatura. Finalmente, las variaciones de la temperatura son importantes por lo que la simplificación del modelo de Boussinesq resulta cuestionable. Debido a esto se deben resolver en forma completa las ecuaciones de Navier-Stokes y la de la energía. Para la solución de las ecuaciones gobernantes de este trabajo de investigación, se empleó el programa FLUENT. Este programa de dinámica de fluidos computacional CFD (Computacional Fluid Dynamics) se basa en el método de volúmenes finitos (Ferziger and Peric, 1999). FLUENT permite desarrollar una gran variedad de cálculos de fluidos dinámicos para diferentes tipos de fluidos, en donde se puede modelar la convección natural, conducción, convección forzada, y radiación. Todo esto para geometrías en dos y tres dimensiones tanto en estado estable como en estado transitorio. Para finalizar, son muy útiles los procesos que se pueden realizar al termino de la simulación, pues tienen una amplia gama de visualización (líneas de flujo, isotermas, vectores, etc.). 4.1 Discretización del Dominio La discretización del dominio (generación de una malla apropiada) es importante en la búsqueda de la convergencia correcta de la solución numérica.. 22.

(37) En simulaciones del tipo de problema considerado en esta investigación, es necesario que el dominio tenga la cantidad suficiente de nodos que permitan resolver los gradientes pronunciados de velocidad y temperatura que se presentan, sin embargo, el utilizar demasiados nodos incrementa el tiempo de cómputo. En la figura 4.1 se muestra la malla del dominio del problema considerado, la cual fue generada por medio del paquete computacional GAMBIT. La forma en que se discretizó el dominio y se asignaron los nodos fue la siguiente: 120 nodos en las circunferencias del cilindro exterior y las del núcleo, 176 nodos en la altura del cilindro exterior, 86 nodos en la altura de núcleo, 30 nodos en las circunferencias de los ductos y 10 nodos en la dirección axial de los ductos. En el radiador se tienen en la base 40 nodos en uno de los extremos y 10 nodos en el otro, mientras que se asignaron 156 nodos para su altura.. Figura 4.1. Malla y sección transversal de los sistemas interconectados.. 4. 2 Métodos de Discretización Las ecuaciones gobernantes son discretizadas basándose en la técnica de volúmenes finitos. Primero, las ecuaciones diferenciales parciales se integran. 23.

(38) para un volumen finito. Después, estas ecuaciones se discretizan y se hacen lineales para obtener un sistema de ecuaciones algebráicas las cuales se resuelven con diferentes algoritmos. Este proceso se ilustra con el siguiente ejemplo tomado del manual de Fluent. La ecuación de transporte de una cantidad escalar se integra sobre un volumen de control finito,. ∫ ρφ v ⋅ dA = ∫ Γφ ∇φ ⋅ dA + ∫. V. Sφ dV .. (4.1). Esta ecuación se discretiza obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones: N caras. N caras. f. f. ∑ φ v f Af =. ∑ Γφ ( ∇ φ ) A. f. + Sφ dV .. (4.2). En estas ecuaciones, el subíndice f representa una cara del volumen de control y N caras es el número total de caras. El valor para el área y el volumen vienen desde la formulación del volumen del control. En el caso de la discretización de la derivada temporal de una variable escalar φ se puede utilizar una aproximación de primer orden dada por. ∂φ φ s +1 − φ s ≈ , ∆t ∂t. (4.3). mientras que la aproximación de segundo orden (empleada en este trabajo) se representa como ∂φ 3φ s +1 − 4φ s − φ s +1 . ≈ ∆t ∂t. (4.4). 24.

(39) En estas ecuaciones los superíndices representan el número de intervalo de tiempo y ∆t es la duración de este intervalo. En la presente simulación se utilizó un esquema upwind de segundo orden para minimizar la difusión artificial que se presenta en este tipo de problemas. El término difusivo se aproximó utilizando un método de diferencias finitas centradas de segundo orden. En el tiempo se utilizó un esquema implícito de segundo orden para discretizar las ecuaciones en el tiempo. 4.3 Validación del Modelo Para verificar que se está haciendo un uso correcto del programa de CFD, se realizaron simulaciones de un problema de prueba. de convección. natural en cavidades y los resultados se compararon con los obtenidos por Patterson e Imberger (1980), mencionados en el Capítulo II. El problema que se resolvió corresponde a una cavidad en dos dimensiones en donde se tiene una temperatura inicial. Después se aplica una diferencia de temperatura en las paredes verticales, mientras que la de arriba y la de abajo se encuentran aisladas. En la figura 4.2 se muestra un esquema de la cavidad con sus respectivas condiciones de frontera, en donde, u = velocidad en x, v = velocidad en y.. Figura 4.2. Cavidad rectangular con notación y condiciones de frontera. (Patterson e Imberger, 1980). 25.

(40) Se realizó una geometría con la misma relación de altura y ancho que la empleada por Patterson e Imberger, discretizando el dominio mediante el programa GAMBIT. Las ecuaciones se resolvieron utilizando el programa de Fluent en donde se buscó satisfacer los mismos números de Rayleigh que los empleados por Patterson e Imberger definiendo la diferencia de temperaturas entre las paredes como se muestra en la tabla 4.1. Rayleigh. ∆T. 0.1. 0.5. 21. 1. 1000. 28. 14000. 28. 140000. 79. Tabla 4.1. Rayleigh y diferencia de temperaturas empleadas en este trabajo.. Es importante mencionar que aunque en la simulación se emplearon los mismos números de Ra, la forma de obtenerlos fue diferente. Por ejemplo en el trabajo de Patterson e Imberger se varian las longitudes, temperaturas o los valores de gravedad para obtener los números de Ra deseados en forma diferente que en las simulaciones de este trabajo. A continuación se muestran los resultados con figuras de líneas de corriente y distribuciones de temperatura del fluido en las cavidades a fin de comparar en forma cualitativa los resultados obtenidos en esta simulación y los de Patterson e Imberger para los números de Ra mencionados. Posteriormente se muestran los números de Nusselt de ambos trabajos para tener un mejor criterio de comparación. En la figura 4.3 se muestran las líneas de corriente obtenidas de los resultados de la simulación de este trabajo y de los de Patterson e Imberger. Es importante mencionar que las líneas de corriente se normalizaron de diferente forma en ambos trabajos por lo que las magnitudes son diferentes, sin embargo permite comparar los resultados en forma cualitativa. En el trabajo de Patterson. 26.

(41) e Imberger no se proporciona suficiente información para tener la misma normalización. Para este valor de Ra = 0.1 , las líneas de corriente forman un patrón de flujo circular con valores muy pequeños de la velocidad y nulo movimiento en el centro. Las isotermas de temperatura se muestran en la figura 4.4. De forma similar que para el caso de las líneas de corriente, la temperatura se encuentra normalizada en forma diferente en ambas figuras. El mecanismo que domina la transferencia de calor es principalmente por conducción, por lo que se tiene una variación lineal de la temperatura disminuyendo su valor de izquierda a derecha.. (a). (b). Figura 4.3. Líneas de flujo para el caso de Ra = 0.1: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. (a). (b). Figura 4.4. Isotermas para el caso de Ra = 0.1: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. 27.

(42) En las figuras 4.5 y 4.6 se muestran las líneas de corriente y las isotermas de temperaturas para un número de Ra = 21 . En forma similar que para el caso de un número de Ra de 0.1, la conducción es el mecanismo que domina principalmente la transferencia de calor con un efecto muy pequeño del mecanismo de transferencia por convección. Aunque existe un pequeño incremento en las velocidades del fluido, el patrón de flujo es muy similar al caso analizado previamente.. (a). (b). Figura 4.5. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 21: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. (a). (b). Figura 4.6. Isotermas para el caso de Ra = 21: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. 28.

(43) En la figura 4.7 se muestran las líneas de corriente para el caso en que Ra = 1000 , en donde se puede observar que el movimiento del fluido es más. intenso que en los casos anteriores. Los respectivos contornos de temperatura para este valor de Ra, se presentan en la figura 4.8. Se puede observar que los efectos convectivos están presentes de forma más importante que en los casos anteriores. Se observa la formación de una capa límite térmica en la pared vertical izquierda (pared caliente). El espesor de esta región aumenta conforme. (a). (b). Figura 4.7. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 1000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. (a). (b). Figura 4.8. Isotermas para el caso de Ra = 1000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. 29.

(44) el fluido está ascendiendo debido a las fuerzas de flotación generadas. En la pared del lado derecho (pared fría) se sigue un comportamiento similar, pero la dirección del flujo se invierte y el espesor se incrementa conforme el fluido desciende al enfriarse. En la figura 4.9 y figura 4.10 se muestran las líneas de corriente y contornos de temperatura para Ra = 14000 . Se puede observar que como en el. (a). (b). Figura 4.9. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 14000: (a) resultados de la simulación de este trabajo (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. (a). (b). Figura 4.10. Isotermas para el caso de Ra = 14000: (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. 30.

(45) caso anterior se forman dos capas límite térmicas, una en cada pared vertical, pero con un espesor más pequeño al principio del recorrido del fluido hasta la mitad de la altura de la pared. Posteriormente se incrementa el espesor de esta capa límite térmica debido al movimiento circular del fluido que en la parte superior tiende a alejar el fluido de la pared izquierda y en la parte inferior tiende a hacer lo mismo en la pared del lado derecho. En las figuras 4.11 y 4.12 se muestran las líneas de corriente y contornos de temperatura para un valor de Ra = 140000 (para números de Ra mayores de 106 el flujo se encuentra en la etapa de transición y para números más grandes es turbulento). Se tiene un comportamiento similar al del caso anterior, pero con. (a). (b). Figura 4.11. Líneas de Flujo para el caso de Ra = 140000: (a) resultados la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. (a). (b). Figura 4.12. Isotermas para el caso de Ra = 140000. (a) resultados de la simulación de este trabajo y (b) resultados de Patterson e Imberger (1980).. 31.