EC 2322 Definición Lineas de Transmisión pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 3.1. DEFINICIÓN Y GEOMETRÍA DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN UNIFORME Una Línea de Transmisión Uniforme (LTU) es una estructura. constituida por dos conductores metálicos y un material dieléctrico, dispuestos de manera que la sección transversal es invariante respecto a la dirección axial z, que coincide con la dirección de propagación de las ondas electromagnéticas. En la figura 3.1 se presentan cuatro ejemplos de LTU, en los cuales los dieléctricos se muestran en verde y los conductores en gris.. Fig. 3.1: Cuatro ejemplos de LTU. (a) Cable coaxial, (b) Stripline, (c) Línea bifilar, (d) Microstrip o microcinta. En la figura 3.1 se observa que todas las LTU mostradas tienen un dieléctrico sólido, el cual se requiere para mantener los conductores separados y para mantener constante la sección transversal de la estructura. El cable Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 31.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. coaxial y la Stripline son ejemplos de líneas blindadas en las que el campo electromagnético queda confinado al espacio entre los conductores, mientras que la línea bifilar y la microcinta son ejemplos de líneas abiertas, en las que el campo electromagnético se esparce en todo el espacio, ocupando dos dieléctricos: el dieléctrico sólido propio de la estructura y el aire circundante. 3.2. CAMPOS TEM EN UNA LTU.. 3.2.1 Ecuaciones para los campos Puede demostrarse que el modo TEM sólo puede propagarse en una LTU cuyo dieléctrico sea homogéneo, como el cable coaxial y la Stripline. El modo TEM no se propaga en dieléctricos heterogéneos como los de las líneas abiertas porque las condiciones de frontera no pueden cumplirse en la interfaz entre los dieléctricos con dos constantes de propagación distintas. Sin embargo, en las microcintas se aplica con frecuencia una aproximación cuasiTEM para el cálculo de los campos. Para calcular los campos TEM en una LTU se usa el sistema de coordenadas axial generalizado (u1 , u 2 , z ) , siendo z la dirección de propagación de las ondas electromagnéticas. Se supone que el dieléctrico es homogéneo y tiene parámetros (ε d , µ d ,σ d ) , y que los conductores son homogéneos y tienen parámetros (ε c , µ c ,σ c >> 1) . Se supone en primera instancia que los conductores son ideales (σ c → ∞) , con lo cual no hay campos en el interior de los conductores. Más adelante se analiza el efecto de Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 32.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. tener conductores no ideales. Bajo estas premisas, la teoría general de los modos TEM es válida, por lo cual los campos en el dieléctrico son:. ˆ ± = eˆ t ± e m γˆd z E. (3.1). ˆ± E ˆ ± ˆ H = ± 1z × = hˆ t ± e m γ d z ηˆd. (3.2). donde: eˆ t ± = −eˆ0 ± ∇ t φt , con ∇ t 2φt = 0. ηˆd =. µd εˆd. (3.3) (3.4a). γˆd = jω µ d εˆd = α d + jβ d. (3.4b). εˆd = ε d (1 − j tan δ d ) = ε d '− jε d ". (3.4c). De acuerdo con las ecuaciones 3.1 a 3.4, para determinar los campos TEM en una LTU es necesario en primer lugar calcular la función potencial. φt , la cual satisface la ecuación de Laplace escalar transversal. 3.2.2 Determinación de la función potencial φt Dado que φt satisface la ecuación de Laplace escalar, el Teorema de Unicidad de las soluciones a dicha ecuación establece que se debe conocer φt ó ∂φt ∂n en los contornos que se obtienen al interceptar la interfaz conductordieléctrico con cualquier plano z = cte. Las condiciones de frontera para los campos electromagnéticos en dichos contornos son: ˆ t± 1n × E. z = cte. =0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (3.5a). 33.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. ˆ t± 1n ⋅ H. z = cte. =0. (3.5b). Es fácil verificar con la ecuación 3.2 que la ecuación 3.5b se cumple automáticamente al cumplirse la ecuación 3.5a. La condición de frontera (3.5a), sin embargo, no es ninguna de las exigidas por el teorema de unicidad para las soluciones a la ecuación de Laplace. La ecuación 3.5a implica, al combinarla con la ecuación 3.1:. 1n × eˆ t ± = 0. (3.5c). Para cumplir simultáneamente con las exigencias del teorema de unicidad y con la condición de frontera 3.5c, basta con analizar las implicaciones de que el campo eléctrico sea nulo dentro de los conductores. Suponiendo que aunque los campos son nulos en los conductores las ondas son TEM, se cumple eˆ t ± (cond.) = −eˆ0 ± ∇ t φt (cond.) = 0 , por lo que. φt (cond.) = cte . Como la función potencial φt es continua en la interfaz conductor-dieléctrico, entonces φt interfaz = cte . Dado que en el dieléctrico. eˆ t ± = −eˆ0 ± ∇ t φt y el gradiente de una función escalar es normal a las superficies equipotenciales, entonces se cumple también la ecuación 3.5c. En resumen, al hacer φt (cond.) = cte en ambos conductores se cumplen simultáneamente la ecuación 3.5c y el requerimiento del Teorema de Unicidad de las soluciones a la ecuación de Laplace. La elección de las constantes es arbitraria, ya que la función potencial φt no tiene por sí misma significado. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 34.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. físico y además la constante compleja ê0 ± puede usarse para ajustar la amplitud y fase del campo eléctrico. La elección de constantes más sencilla es:. φt (conductor 1) = 1  . φt (conductor 2) = 0. (3.6). Usualmente, en líneas blindadas se asigna el potencial 0 al conductor que sirve de blindaje. Con todo lo anterior, queda resuelto el problema de determinar la función potencial φt de manera que satisfaga la ecuación de Laplace y se cumplan las condiciones de frontera en cada interfaz conductor-aislante.. Ejemplo 3.1: Campos electromagnéticos en un cable coaxial Se tiene un cable coaxial con dieléctrico homogéneo en el cual el conductor interno tiene radio a y el conductor externo o blindaje tiene radio interno b (a<b). Se desea calcular los campos TEM en el dieléctrico, suponiendo que los conductores son ideales y que el dieléctrico tiene constante de propagación γˆd e impedancia intrínseca η̂ d . Solución En primer lugar debe determinarse la función potencial φt de manera que satisfaga la ecuación de Laplace y las condiciones de frontera, las cuales en este caso son φt (a ) = 1 y φt (b) = 0 . Como φt depende sólo de la coordenada radial, la solución es la solución trivial φt ( ρ ) = A + B ln ρ . Al Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 35.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. aplicar las condiciones de frontera para determinar las constantes A y B y luego aplicar propiedades de los logaritmos, queda:. φt ( ρ ) =. ln( ρ b ) ln(b ρ ) = ,a< ρ <b ln(a b ) ln(b a ). Al aplicar conjuntamente las ecuaciones 3.3 y 3.1, el campo eléctrico resulta:. (. ). ˆ ± = − eˆ0 ± ∇ t φt e m γˆd z = 1ρ E. eˆ0 ± ˆ emγ d z ρ ln(b / a ). Para obtener el campo magnético se aplica la ecuación 3.2: ˆ± eˆ0 ± ˆ ˆ ± = ± 1z × E = ± 1φ H emγ d z ηˆd ρ ηˆd ln(b / a ) Es fácil verificar que el campo electromagnético obtenido es una onda plana no uniforme. La no uniformidad de las ondas es una propiedad de los campos electromagnéticos en el dieléctrico de cualquier línea de transmisión homogénea, con la excepción de aquella constituida por un par de láminas conductoras infinitas paralelas, la cual sin embargo no es realizable físicamente. En la figura 3.2 se muestran los campos electromagnéticos instantáneos (campo eléctrico en rojo, campo magnético en azul) para el instante t=0 en el interior de un cable coaxial sin pérdidas.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 36.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. z=0. z=λ/6 nulo en z=λ/4 z=λ/3. z=λ/2. z=2λ/3 nulo en z=3λ/4 z=5λ/6. z=λ. (a). (b). Fig. 3.2: Campos electromagnéticos en el interior de un cable coaxial sin pérdidas. (a) Patrones de campo transversal. (b) Variación longitudinal del campo eléctrico Es importante mencionar que como se supuso que los conductores son ideales, el grosor de los mismos no es importante. Sin embargo, en una línea de transmisión con conductores reales, el grosor de los mismos debe ser Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 37.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. mucho mayor que la profundidad de penetración a la frecuencia de operación, como se verá más adelante. 3.3. VOLTAJE, CORRIENTE, IMPEDANCIA Y COEFICIENTE DE REFLEXIÓN EN UNA LTU CARGADA. 3.3.1 Geometría y diagrama circuital de un sistema de LTU que alimenta a una carga. En la figura 3.3 se muestra la sección longitudinal de un sistema de LTU conectadas en cascada alimentando a una carga. En colores se muestran los dieléctricos de las líneas, y como área rayada a los conductores. Todas las LTU tienen la misma sección transversal, y el conjunto está alimentado desde el extremo izquierdo por un generador. Se ha supuesto que la longitud de los conectores que hay entre cada par de líneas consecutivas es despreciable.. Fig. 3.3: Sección longitudinal de un sistema de líneas de transmisión conectadas en cascada alimentando una carga. Puede verse en la figura 3.3 la similitud entre el problema de líneas de transmisión conectadas en cascada alimentando una carga con el problema de. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 38.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. incidencia normal sobre múltiples medios. La diferencia fundamental entre ambos problemas es que en las líneas de transmisión las ondas son no uniformes debido a la presencia de los conductores, mientras que son uniformes en el problema de múltiples medios. En ambos problemas se tiene una onda incidente y una onda reflejada en cada medio, producto de las diferencias entre las impedancias intrínsecas, con patrones de onda estacionaria para el caso de medios sin pérdidas. El método recursivo que utiliza los conceptos de coeficiente de reflexión generalizado e impedancia generalizada es entonces aplicable al problema de líneas de transmisión conectadas en cascada. En la figura 3.4 se muestra el diagrama circuital correspondiente al sistema de líneas de transmisión de la figura 3.3. l2. l1. (2). (1). ZL. z=0. Fig. 3.4: Diagrama circuital del sistema de líneas de transmisión alimentando a una carga mostrado en la figura 3.2 Nótese que el símbolo de cada línea de transmisión es simplemente dos “cables” gruesos paralelos terminados en terminales, con indicación de la longitud y otros parámetros de la línea. Sin embargo, debido a los fenómenos Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 39.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. de interacción entre ondas incidentes y reflejadas en el interior de cada línea de transmisión, es un error interpretarlas como un par de cables paralelos. Lo. correcto es concebir a cada línea de transmisión como un cuadripolo. Como todo cuadripolo, un segmento de línea de transmisión se puede caracterizar mediante matrices de impedancia, admitancia, transmisión, etc. Para hacer posible dicha caracterización es necesario definir voltajes, corrientes e impedancias asociados a las líneas de transmisión. El hecho de definir voltajes y corrientes además simplifica la solución recursiva, al no tener que tratarse con campos vectoriales no uniformes que ameritan la solución a la Ecuación de Laplace escalar. Como se verá más adelante, también es posible calcular la potencia transmitida en un segmento de línea de transmisión en función de los voltajes y las corrientes, con lo cual se hace innecesario trabajar con los campos electromagnéticos. A continuación se definen los voltajes y corrientes en un segmento de línea de transmisión en términos de sus campos electromagnéticos. 3.3.2 Voltajes incidentes y reflejados El voltaje incidente o reflejado en la k-ésima línea de transmisión se define en el dominio fasorial como:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 40.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Vˆk± ( z k ) ≡. c2. ±. ∫ Eˆ k (r) ⋅ dl. c1. (3.7) z k = cte. donde c1 y c2 son cualquier punto tomado sobre los contornos de los conductores 1 y 2, respectivamente. Al usar las ecuaciones 3.1 y 3.3 queda:. Vˆk± ( z k ) =. c2. ∫ − eˆ0. ±. ∇ t φt e. m γˆ k z. ± m γˆ k z. ⋅ dl. c1. = eˆ0 e. c1. ∫ dφt. c2. z k = cte. ˆ ˆ Vˆk± ( z k ) = eˆ0 ± e m γ k z = Vˆ0 ± e m γ k z. (3.8). Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.7 es similar a la utilizada en electrostática para definir diferencia de potencial, se diferencia por la evaluación de la integral en zk=cte, la cual es necesaria porque el campo eléctrico sólo es conservativo en los planos zk=cte. La ecuación 3.8 establece que el voltaje incidente o reflejado en una línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en sincronía con el campo eléctrico incidente o reflejado, según corresponda, y además tiene su misma amplitud y fase. Esto puede corroborarse obteniendo la expresión para el voltaje incidente o reflejado instantáneo:. (. vk± ( z k , t ) = Vˆ0 ± e mα k z k cos ω t m β k z k + arg(Vˆ0 ± ). ). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (3.9). 41.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 3.3.3 Voltaje total El voltaje total en la k-ésima línea de transmisión se define en el dominio fasorial como la suma del voltaje incidente más el voltaje reflejado: Vˆk ( z k ) ≡ Vˆk+ ( z k ) + Vˆk− ( z k ). (3.10). Al sustituir los voltajes incidentes y reflejados dados por la ecuación 3.8, se tiene: ˆ ˆ Vˆk ( z k ) = Vˆ0 + e −γ k z + Vˆ0 − e + γ k z. (3.11a). o equivalentemente:.  Vˆ − + 2γˆ + − γˆk z  k ˆ ˆ Vk ( z k ) = V0 e 1+ 0 e  Vˆ + 0 . . z.  . (3.11b). 3.3.4 Corrientes incidentes y reflejadas La corriente incidente o reflejada en la k-ésima línea de transmisión se define en el dominio fasorial como:. Iˆk± ( z k ) ≡. ±. ∫ Hˆ k (r) ⋅ dl. ∂c1. (3.12) z k = cte. donde ∂c1 es el contorno del conductor 1 (al cual se le asignó φt (c1 ) = 1 ) en el plano zk=cte. Al usar las ecuaciones 3.1 a 3.3, queda:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 42.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Iˆk± ( z k ) = ±. ∫. ∂c1. ˆ − eˆ0 ± ∇ t φt e m γ k z 1z × ⋅ dl ηˆk. ˆ eˆ0 ± e m γ k z =± ηˆk. z k = cte. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. ∂c1. ˆ I k± ( z k ) = Iˆ0 ± e m γ k z. (3.13). e ± Î 0 ± = ± ˆ0 ηˆ k. (3.14). donde:. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. ∂c1. Nótese que aunque la definición dada por la ecuación 3.12 es similar a la Ley de Ampère en estática, se diferencia por la evaluación de la integral en zk=cte, la cual es necesaria porque el campo eléctrico sólo es conservativo en los planos zk=cte. La ecuación 3.13 establece que la corriente incidente o reflejada en una línea de transmisión es una onda plana uniforme escalar que se propaga en sincronía con el campo magnético incidente o reflejado, según corresponda, y además tiene fase igual y amplitud proporcional a la amplitud de dicho campo. Lo anterior puede corroborarse obteniendo la expresión para la corriente incidente o reflejada instantánea:. (. ik± ( z k , t ) = Iˆ0 ± e mα k z k cos ω t m β k z k + arg( Iˆ0 ± ). ). (3.15). donde: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 43.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. e ± Î 0 ± = ˆ0 ηˆk. ±. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl = hˆ0 ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. ∂c1. ∂c1. arg( Iˆ0 ± ) = arg(hˆ0 ± ) = arg(eˆ0 ± ) − arg(ηˆk ) 3.3.5 Corriente total La corriente total en la k-ésima línea de transmisión se define en el dominio fasorial como la suma de la corriente incidente más la corriente reflejada: Iˆk ( z k ) ≡ Iˆk+ ( z k ) + Iˆk− ( z k ). (3.16). Al sustituir las corrientes incidentes y reflejadas dadas por la ecuación 3.13, se tiene: ˆ ˆ Iˆk ( z k ) = Iˆ0 + e −γ k z k + Iˆ0 − e + γ k z k. (3.17a). o equivalentemente:  ˆ Iˆk ( z k ) = Iˆ0 + e −γ k z k 1 +  . Iˆ0 − + 2γˆk z k  e  Î 0 + . (3.17b). Partiendo de la ecuación 3.14 puede verse que:. Iˆ0 − eˆ0 − Vˆ0 − =− =− Iˆ0 + eˆ0 + Vˆ0 + 3.3.6 Coeficiente de reflexión generalizado. Se define como coeficiente de reflexión generalizado en la k-ésima línea de transmisión al cociente de su voltaje reflejado entre su voltaje incidente:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 44.

(15) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Vˆk− ( z k ) Vˆ0 − + 2γˆ k z k Γˆ k ( z k ) ≡ = e = Γˆ k (0 −k ) e + 2γˆ k z k Vˆ + ( z k ) Vˆ0 +. (3.18). k. En términos del coeficiente de reflexión generalizado, el voltaje total y la corriente total resultan ser:. (. Vˆk ( z k ) = Vˆk+ ( z k ) 1 + Γˆ k ( z k ). (. ). ˆ ˆ = Vˆ0 + e −γ k z k 1 + Γˆ k (0 k− ) e + 2γ k z k. (. ). Iˆk ( z k ) = Iˆk+ ( z k ) 1 − Γˆ k ( z k ) =. (. ˆ ˆ = Iˆ0 + e −γ k z k 1 − Γˆ k (0 k− ) e + 2γ k z k. ). (3.19). ). (3.20). Puede verse que el voltaje total y la corriente total en una línea de transmisión, al tener expresiones similares a las de las componentes del campo eléctrico y del campo magnético en un problema de incidencia normal con múltiples medios, tienen el mismo comportamiento de éstos últimos. En particular, para líneas de transmisión sin pérdidas el voltaje total y la corriente total tienen un patrón de onda estacionaria con período espacial igual a λk/2, de tal manera que los máximos adyacentes del voltaje y la corriente están separados una distancia igual a λk/4. 3.3.7 Impedancia generalizada. Se define como impedancia generalizada en la k-ésima línea de transmisión al cociente del voltaje total entre la corriente total: Vˆk ( z k ) Vˆ0 +k 1 + Γˆ k ( z k ) 1 + Γˆ k ( z k ) ˆ Z k ( zk ) ≡ = = Zˆ 0 k + Iˆk ( z k ) Iˆ0 k 1 − Γˆ k ( z k ) 1 − Γˆ k ( z k ) Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (3.21). 45.

(16) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. donde el parámetro Zˆ 0 k se denomina impedancia característica de la línea, y viene dado por: Vˆ0 k+ ˆ Z0k = = Iˆ0 + k. ηˆk. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. (3.22). ∂ c1. De la ecuación 3.21 se obtiene que: Zˆ ( z k ) − Zˆ 0 k Γˆ k ( z k ) = k Zˆ k ( z k ) + Zˆ 0 k. (3.23). Es importante destacar que la ecuación 3.21 para la impedancia generalizada es idéntica a la de la impedancia generalizada en el problema de incidencia normal sobre múltiples medios, salvo que la impedancia intrínseca del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea. De la misma manera, la ecuación 3.23 que relaciona al coeficiente de reflexión generalizado con la impedancia generalizada es idéntica a la del problema de incidencia normal sobre múltiples medios, excepto en que la impedancia intrínseca del medio es reemplazada por la impedancia intrínseca de la línea. De acuerdo con la ecuación 3.22, la impedancia característica es proporcional a la impedancia intrínseca, con un factor de proporcionalidad que depende de la geometría de la línea, la cual determina la forma de ∇ t φt . A manera de ejemplo, a continuación se calcula la impedancia característica de un cable coaxial.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 46.

(17) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Ejemplo 3.2: Impedancia característica de un cable coaxial Para un cable coaxial de radios a y b se obtuvo en el ejemplo 3.1 que la función φt viene dada por:. φt ( ρ ) =. ln(b ρ ) ,a< ρ <b ln(b a ). y su gradiente es:. ∇ t φt = −1ρ. 1 ρ ln(b / a ). Por lo tanto, la impedancia característica de un cable coaxial es: Zˆ 0 k =. ηˆk. ∫ (∇t φt × 1z ) ⋅ dl. =. ∂c1. =. ηˆk   1  − 1ρ × 1z  ⋅ dl ρ ln(b / a )   ∂c1. ∫. =. ηˆk ln(b / a ) 2π. ρ dφ ρ ρ =a 0. ∫. = ηˆk. ln(b / a ) 2π. De acuerdo con este resultado, puede ajustarse el módulo de la impedancia característica de una línea de transmisión coaxial construida con un material dieléctrico dado ajustando el cociente b/a. Adicionalmente, para valores fijos de b y a, como en el caso de líneas de transmisión conectadas en cascada, para ajustar la impedancia característica es necesario utilizar distintos materiales dieléctricos.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 47.

(18) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. A fin de hacer posible a gran escala la interconexión en cascada de líneas de transmisión con generadores y cargas, se ha recurrido a la estandarización del tipo de conectores y de impedancias. Los tipos de conectores más comunes son el BNC, como el del cable del osciloscopio, el F utilizado para señales de televisión y el tipo N, usado fundamentalmente en microondas. Cada tipo de conector está asociado a unas dimensiones específicas de cable, de manera que los distintos cables reciben las mismas denominaciones que sus conectores. Por su parte, las impedancias características más empleadas son las de 50 ohm, 75 ohm y 300 ohm. La importancia de la normalización de impedancias se hará más patente cuando se calcule la potencia transmitida en un sistema de líneas de transmisión y se deduzca la condición para máxima transferencia de potencia. Nótese que las impedancias características estándar son reales, esto implica que se supone que a las frecuencias normales de operación el dieléctrico es un buen aislante y puede despreciarse el ángulo de su impedancia intrínseca. 3.3.8 Solución de problemas de redes con LTU Las redes que incorporan LTU generalmente incluyen generadores de señales y dispositivos pasivos lineales conectados mediante conductores. Los tipos de interconexión más comunes son las conexiones en cascada y conexiones en paralelo. Entre los tipos de problemas más comunes se Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 48.

(19) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. encuentran la determinación de impedancias desconocidas partiendo de datos del patrón de onda estacionaria de voltaje o de corriente, y el cálculo de voltajes y/o corrientes en algunos de los elementos de la red. La solución de problemas de redes con LTU invariablemente conllevan el cálculo de impedancias y coeficientes de reflexión en los extremos de cada segmento de línea de transmisión (ecuaciones 3.18, 3.21 y 3.23). Con frecuencia también se trabaja con las definiciones de voltaje y corriente total en términos del coeficiente de reflexión (ecuaciones 3.19 y 3.20). Todos estos conceptos se utilizan en conjunto con los fundamentos del análisis de circuitos en corriente alterna (C.A.). A continuación se presentan tres ejemplos de solución de problemas de redes de C.A. con líneas de transmisión. Ejemplo 3.3: Cálculo de impedancia de entrada Calcular la impedancia de entrada en el circuito de la figura 3.5. λ1/8. λ2/4. (Z01=75 Ω ). (Z02=50 Ω ). ZL=40+j80 Ω. Zin. Fig. 3.5: Circuito para el ejemplo 3.3 Solución a) Se calcula el coeficiente de reflexión en la carga. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 49.

(20) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Zˆ − Zˆ 02 40 + j80 − 50 Γˆ L = L = = 0,6695∠55,4915° Zˆ L + Zˆ 02 40 + j80 + 50 b) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la línea 2.. Γˆ 2 (−λ2 / 4) = Γˆ L exp(− j 2 β 2 λ2 / 4 ) = −Γˆ L = −0,6695∠55,4915° Según el resultado obtenido, un trozo de línea de transmisión sin pérdidas de ¼ de longitud de onda tiene en su puerto de entrada el negativo del coeficiente de reflexión que tiene en su puerto de salida. Este resultado siempre puede utilizarse en situaciones similares. 1 + Γˆ 2 (−λ2 / 4) 1 − 0,6695∠55,4915° Zˆ 2 (−λ2 / 4) = Zˆ 02 = 50 Ω = 1 − Γˆ 2 (−λ2 / 4) 1 + 0,6695∠55,4915° = 12,5023 − j 25,0012 Ω Como método alterno de solución, puede demostrarse (se dejan los detalles como ejercicio para el estudiante) que la impedancia de entrada de cualquier segmento de línea de transmisión sin pérdidas de ¼ de longitud de onda es: Z 02 Zˆ (−λ / 4) = Zˆ (0) En este caso queda Zˆ 2 (−λ2 / 4) = 12,5 − j 25 Ω . La diferencia en los decimales con el resultado anterior se debe a errores numéricos de aproximación.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 50.

(21) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. c) Se calcula el coeficiente de reflexión en el extremo derecho de la primera línea. Zˆ (−λ / 4) − Zˆ 01 12,5 − j 25 − 75 Γˆ1 (01− ) = 2 = = 0,7397∠ − 142,2532° Zˆ 2 (−λ / 4) + Zˆ 01 12,5 − j 25 + 75 d) Se calcula el coeficiente de reflexión y la impedancia a la entrada de la línea 1, que es la impedancia de entrada del circuito.. (. ). Γˆ1 − (λ1 / 8) + = Γˆ1 (01− ) exp(− j 2 β 2 λ2 / 8 ) = Γˆ1 (01− ) exp(− jπ / 2 ) = 0,7397∠ − 232,2532° = 0,7397∠127,7468°. ( (. ) ). ˆ1 (−λ1 / 8) + 1 + Γ 1 + 0,7397∠127,7468° Zîn = Zˆ1 (−λ1 / 8) = Zˆ 01 = 75 Ω 1 − 0,7397∠127,7468° 1 − Γˆ1 (−λ1 / 8) + = 39,8871 Ω∠67,8336° = 15,0493 + j 36,9391 Ω. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 51.

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