INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.
Calificación total máxima: 10 puntos.
Tiempo: Hora y media.
OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la matriz:
1 1 0
2 1
2 1 m
m m
M se pide:
a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible.
b) (0,5 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M25 es invertible.
c) (1,25 puntos). Para m = –1 calcular, si es posible, la matriz inversa M-1 de M.
Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función:
2 0 1
0 0 1 1
ln
)( 2
x si
x y ax x si
bx ax x
f
se pide:
a) (1,5 puntos). Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en x = 0.
b) (1,5 puntos). Para a = b = 1, estudiar si la función f es derivable en x = 0 aplicando la definición de derivada.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Dadas las rectas:
a z y r x
2
1 ,
1 3 1
3
y z
b s x
determinar los valores de los parámetros a, b para los cuales las rectas r, s se cortan
perpendicularmente.
Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Dado el plano = 2x – y + 2z + 1 = 0 hallar las ecuaciones de los planos paralelos a que se encuentran a 3 unidades de .
OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
a) (1,5 puntos). Dada la función:
1 2
)
( x
x x
f
hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente sea 1.
b) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0.
c) (1,5 puntos). Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0; 2) tal que g’(c) = 1.
Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la recta
1 1 1
1 y z
r x
y el plano x y2z10, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano .
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Dado el sistema:
0 2
0 2
0 2
z y x
z y x
z y x
se pide:
a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0 :
b) (1 punto). Resolver el sistema para = 5.
Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Dadas las matrices:
1 , 3
2 , 4
1 1
2
4
B
A
obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A X B = A + B.
SOLUCIONES DE LA OPCIÓN B ANALISIS
Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.
a) (1,5 puntos). Dada la función:
1 2
)
( x
x x
f
hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente sea 1.
b) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0.
c) (1,5 puntos). Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0; 2) tal que g’(c) = 1.
a) La recta tangente tendrá por pendiente la derivada de 2 ) 1
( x
x x
f
1 1
1
3 0
3
0 0, 31 1 1
2 ) 1
(
' 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2
2
x x x x x x x x
x x x
x x x x
f
Luego para x0,x 3la recta tangente a f(x) tendrá por pendiente 1.
b) La recta tangente tiene la forma y = mx + n, donde, para x = 0, la pendiente de la recta tangente vale m = 1. Por otro lado, si sustituimos en f(x) el valor de x = 0, obtenemos: f(0)0
Luego 0 = n, por lo que la recta tangente en (0, 0) es y = x.
c) Utilizamos el teorema del valor medio, pues la función dada es continua y derivable en todo R:
2 1 0 2 0
2
) 0 ( ) 2 ) ( (
'
g g
c
g , c (0, 2)
GEOMETRIA
Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la recta
1 1 1
1 y z
r x
y el plano x y2z10, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano .
Hallamos el vector director de r y la normal del plano: vr
1,1,1
y n
1,1,2
. Comprobamos si la recta corta al plano o es paralela: n
v ·r (1, –1, 1)·(1, 1, –2) = 1 – 1 – 2 = –2 ≠ 0, luego la recta corta al plano en un punto.
La recta en paramétricas es
z y x r
1
. Luego si sustituimos los valores de las coordenadas de r en la
ecuación del plano obtendremos el punto de corte:
1,,
1212201
El punto de corte es P = (2, –1, 1)
A continuación hallaremos el punto simétrico (Ps) de un punto de la recta r, Pr = (1, 0, 0), respecto del plano.
(El dibujo de las rectas y el plano se detalla a continuación):
- Hallamos la recta que pasa por Pr(1, 0, 0) y es perpendicular a por lo que su vector director será
la normal del plano:
2 1 z y x t
- El punto M de corte de t y será:
3 0 1
6 2 1 4 1
2 , ,
1
3
,2 3 , 1 3 M 2
- Como M es punto medio de PrPs (x1,y,z), entonces, si Ps = (x, y, z):
3
,4 3 , 2 3 1 ,2
,2 2
1 3
,2 3 , 1 3 2
Ps
z y M x
Pr
Ps
P M
s
r
Una vez obtenidos los dos puntos de la recta simétrica s, su ecuación la obtenemos a partir de los dos puntos por los que pasa (P y Ps):
Su vector director será:
5,1,1
3 ,1 3 ,1 3
5
s
r PP
v
Luego
1
1 5 2 z y x s
ALGEBRA
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.
Dado el sistema:
0 2
0 2
0 2
z y x
z y x
z y x
se pide:
a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0 :
b) (1 punto). Resolver el sistema para = 5.
a)
0 2 1
0 2 1
0 1 2 '
M
1
5
0 1, 55 6 2
1
2 1
1 2
2
M .
Para ≠ 1, ≠ 5, rag (M’) = rag (M). El sistema tendrá como única solución la trivial, por ser un sistema homogéneo.
Para = 1,
2 1 1
2 1 1
1 2 1
M . Escogemos un menor de la matriz M, 11 21 0. Luego rag(M) = 2
rag(M’) = rag(M) = 2 < nº incógnitas, por lo que será compatible indeterminado.
ELsistema queda:
0 2
0 2
0 2
z y x
z y x
z y x
que se puede reducir a:
0 2
0 2
z y x
z
y
x
z x y
z y x
y x
3
5
3
2
2
Para = 5,
2 5 1
2 1 5
1 2 5
M . Escogemos un menor de la matriz M, 55 21 0. Luego rag(M) = 2
rag(M’) = rag(M) = 2 < nº incógnitas, por lo que será compatible indeterminado.
El sistema queda:
0 2 5
0 2 5
0 2
5
z y x
z y x
z y x
que se puede reducir a:
0 2 5
0 2
5
z y x
z y x
Resolvemos en función de z:
z x y
z y x
y x
3 3 2 5
2 5
b) Ya resuelto en el apartado a) ALGEBRA
Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.
Dadas las matrices:
1 , 3
2 , 4
1 1
2
4
B
A
obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A X B = A + B.
Operando AXB ABA1AXB A1
AB
XB A1AA1BXBIA1B1 1 1
1 1
1
IB A BB X B A
XBB
Hallamos las inversas de A y B, teniendo en cuenta que
A A AdjA
t
1 :
2 2 3 2 1
1 2
4 3
2 1
1 3
2 4
4 2
3 1 ,
3 2 6
1 3 1 6 1 6
4 1
2 1
1 1
2 4
4 2
1 1
1 1
t t
B A
Luego
3 4 3
5 3
2 3
1
3 2 6
1 3 1 6 1
2 2 3 2 1
1
1
1
