1102121mmmMse pide:a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro m

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(1)

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la matriz:





1 1 0

2 1

2 1 m

m m

M se pide:

a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible.

b) (0,5 puntos). Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M25 es invertible.

c) (1,25 puntos). Para m = –1 calcular, si es posible, la matriz inversa M-1 de M.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la función:

 

 

 

 

 2 0 1

0 0 1 1

ln

)( 2

x si

x y ax x si

bx ax x

f

se pide:

a) (1,5 puntos). Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en x = 0.

b) (1,5 puntos). Para a = b = 1, estudiar si la función f es derivable en x = 0 aplicando la definición de derivada.

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.

Dadas las rectas:

a z y rx 

2

1 ,

1 3 1

3

 

 

y z

b s x

determinar los valores de los parámetros a, b para los cuales las rectas r, s se cortan

(2)

perpendicularmente.

(3)

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.

Dado el plano  = 2x – y + 2z + 1 = 0 hallar las ecuaciones de los planos paralelos a  que se encuentran a 3 unidades de .

OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

a) (1,5 puntos). Dada la función:

1 2

)

( x

x x

f  

hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente sea 1.

b) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0.

c) (1,5 puntos). Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0; 2) tal que g’(c) = 1.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la recta

1 1 1

1 y z

r x



 

y el plano x y2z10, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano .

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.

Dado el sistema:

 

 

0 2

0 2

0 2

z y x

z y x

z y x

se pide:

a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0 :

b) (1 punto). Resolver el sistema para = 5.

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.

Dadas las matrices:

1 , 3

2 , 4

1 1

2

4 

 

 



 

 

B

A

obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A X B = A + B.

(4)

SOLUCIONES DE LA OPCIÓN B ANALISIS

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

a) (1,5 puntos). Dada la función:

1 2

)

( x

x x

f  

hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente sea 1.

b) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 0.

c) (1,5 puntos). Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0; 2) tal que g’(c) = 1.

a) La recta tangente tendrá por pendiente la derivada de 2 ) 1

( x

x x

f  

 

   

1 1

1

3 0

3

0 0, 3

1 1 1

2 ) 1

(

' 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2

2              

 

  x x x x x x x x

x x x

x x x x

f

Luego para x0,x 3la recta tangente a f(x) tendrá por pendiente 1.

b) La recta tangente tiene la forma y = mx + n, donde, para x = 0, la pendiente de la recta tangente vale m = 1. Por otro lado, si sustituimos en f(x) el valor de x = 0, obtenemos: f(0)0

Luego 0 = n, por lo que la recta tangente en (0, 0) es y = x.

c) Utilizamos el teorema del valor medio, pues la función dada es continua y derivable en todo R:

2 1 0 2 0

2

) 0 ( ) 2 ) ( (

'  

 

gg

c

g , c  (0, 2)

GEOMETRIA

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la recta

1 1 1

1 y z

r x



 

y el plano x y2z10, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano .

Hallamos el vector director de r y la normal del plano: vr

1,1,1

y n

1,1,2

. Comprobamos si la recta corta al plano o es paralela:

n

v ·r  (1, –1, 1)·(1, 1, –2) = 1 – 1 – 2 = –2 ≠ 0, luego la recta corta al plano en un punto.

(5)

La recta en paramétricas es

 

 

z y x r

1

. Luego si sustituimos los valores de las coordenadas de r en la

ecuación del plano obtendremos el punto de corte:

1,,

1212201

El punto de corte es P = (2, –1, 1)

A continuación hallaremos el punto simétrico (Ps) de un punto de la recta r, Pr = (1, 0, 0), respecto del plano.

(El dibujo de las rectas y el plano se detalla a continuación):

- Hallamos la recta que pasa por Pr(1, 0, 0) y es perpendicular a por lo que su vector director será

la normal del plano:

 

 

 2 1 z y x t

- El punto M de corte de t y  será:

 

3 0 1

6 2 1 4 1

2 , ,

1         



 

 

 3

,2 3 , 1 3 M 2

- Como M es punto medio de PrPs (x1,y,z), entonces, si Ps = (x, y, z):



 

 



 

 



 

 

 3

,4 3 , 2 3 1 ,2

,2 2

1 3

,2 3 , 1 3 2

Ps

z y M x

Pr

Ps

P M

s

r

(6)

Una vez obtenidos los dos puntos de la recta simétrica s, su ecuación la obtenemos a partir de los dos puntos por los que pasa (P y Ps):

Su vector director será:

5,1,1

3 ,1 3 ,1 3

5  

 

 

s

r PP

v

Luego

 

 

 1

1 5 2 z y x s

ALGEBRA

Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos.

Dado el sistema:

 

 

0 2

0 2

0 2

z y x

z y x

z y x

se pide:

a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0 :

b) (1 punto). Resolver el sistema para = 5.

a) 



0 2 1

0 2 1

0 1 2 '

M

1



5

0 1, 5

5 6 2

1

2 1

1 2

2

     

M .

 Para  ≠ 1,  ≠ 5, rag (M’) = rag (M). El sistema tendrá como única solución la trivial, por ser un sistema homogéneo.

 Para  = 1,





2 1 1

2 1 1

1 2 1

M . Escogemos un menor de la matriz M, 11 21 0. Luego rag(M) = 2

rag(M’) = rag(M) = 2 < nº incógnitas, por lo que será compatible indeterminado.

ELsistema queda:

 

 

0 2

0 2

0 2

z y x

z y x

z y x

que se puede reducir a:

 

0 2

0 2

z y x

z

y

x

(7)

 

 

 

 

 





z x y

z y x

y x

3

5

3

2

2

(8)

Para  = 5,





2 5 1

2 1 5

1 2 5

M . Escogemos un menor de la matriz M, 55 21 0. Luego rag(M) = 2

rag(M’) = rag(M) = 2 < nº incógnitas, por lo que será compatible indeterminado.

El sistema queda:

 

 

0 2 5

0 2 5

0 2

5

z y x

z y x

z y x

que se puede reducir a:

 

0 2 5

0 2

5

z y x

z y x

Resolvemos en función de z:

 

 

 

 

 





z x y

z y x

y x

3 3 2 5

2 5

b) Ya resuelto en el apartado a) ALGEBRA

Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos.

Dadas las matrices:

1 , 3

2 , 4

1 1

2

4 

 

 



 

 

B

A

obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial A X B = A + B.

Operando AXB ABA1AXB A1

AB

XB A1AA1BXBIA1B

1 1 1

1 1

1

IBA BBXBA

XBB

Hallamos las inversas de A y B, teniendo en cuenta que

 

A A AdjA

t

1 :

(9)









 

 

 



 



 









 



 

 



 

 

2 2 3 2 1

1 2

4 3

2 1

1 3

2 4

4 2

3 1 ,

3 2 6

1 3 1 6 1 6

4 1

2 1

1 1

2 4

4 2

1 1

1 1

t t

B A

Luego



 



 



 



 

 



 



 

 

 

3 4 3

5 3

2 3

1

3 2 6

1 3 1 6 1

2 2 3 2 1

1

1

1

A

B

X

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