a n = a 1 r n =

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 1

EL E L C CR RE EC CI IM MI IE EN NT TO O E EN N P PR RO OG GR RE E SI S ÓN N G GE EO OM ÉT T RI R IC CA A

El término general de una sucesión es la expresión an que permite conocer cualquier término en función de su posición n en la serie. Nos concentraremos ahora en unas sucesiones muy especiales: las PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón. Por ejemplo:

En general tenemos que:

Si conoces al primer término a1 y la razón r es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:

a

n

= a

1

· r

n-1

Las tablillas de arcilla de la época babilónica (2000 aC) muestran que los babilonios estudiaron las progresiones geométricas y ya habían hallado la suma de los términos de una progresión geométrica en problemas concretos, llegando a establecer la fórmula:

1+2+2

2

+ … +2

9

= 2

10

-1

Hemos analizado ya las SERIES asociadas a varias SUCESIONES. Volvamos a retomar esta idea, pero ahora para ver qué SERIES tienen asociadas las PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

Analicemos la PG an = 2n

Vemos que la suma de los n primeros términos es igual al siguiente menos dos.

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 2 Esto da idea de la ‘rapidez’ con que crece una PG: en cada paso avanza casi tanto como en todos los anteriores. IMPRESIONANTE, ¿no? Llevas diez pasos andados, y en el undécimo avanzas casi tanto como en los diez anteriores.

Un precioso nenúfar crece solitario en un estanque. Con todos los nutrientes para él sólo es capaz de duplicar su tamaño cada día. Con tan magnífico crecimiento, en un mes llena el estanque. ¿En idénticas condiciones, cuántos días tardarán dos nenúfares en realizar semejante proeza? ¿Y tres nenúfares? ¿Y si son cuatro?

El denominado problema del trigo y del tablero de ajedrez (a veces puede aparecer expresado en términos de granos de arroz), es un problema matemático que pretende ejemplificar, también, lo que significa el crecimiento en PG. El enunciado es el siguiente:

Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente, doblando la cantidad de granos en cada casilla, ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero al final?

Sólo en la última casilla habría:

Un poco más de 9 trillones en la escala numérica larga, lo que es una cifra mucho más alta de lo que la mayoría de la gente esperaría de forma intuitiva. Y en todos el tablero habría, según lo ya explicado

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilogramo de trigo hay unos 20 000 granos. Lo cual nos permite realizar los siguientes cálculos:

En toneladas métricas son:

La producción mundial de trigo de la cosecha del año 2017, según la FAO, fue de:

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 3 Por lo tanto, tomando este valor como cosecha anual media, se deberían poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:

Por lo tanto serían necesarias las cosechas mundiales de 1195 años para sumar esa cantidad de trigo.

Carl Sagan comenzaba su libro Miles de Millones. Pensamientos de vida y muerte en la antesala del milenio (1997) con una explicación sobre la necesidad de manejar grandes números para expresar con ellos las medidas del universo.

Sagan manifestaba la vaguedad y la imprecisión que suponía hablar de miles de millones, o de miles de miles de millones para describir números grandes, cuando realmente lo se quería indicar era cuantos ceros seguían a la unidad cuando escribimos ese número. Los números grandes se expresan habitualmente en notación exponencial.

En la naturaleza se dan muchas situaciones y muchos procesos en los que es necesario darles una notación exponencial, tal es el caso del crecimiento exponencial de una colonia de bacterias que duplica su número cada hora o la propagación de una noticia a través de las redes sociales. Se dice que el tamaño de una magnitud crece exponencialmente si en cada unidad de tiempo su tamaño se multiplica por una cantidad fija, llamada razón.

Por ejemplo, una población P de bacterias de se duplique cada hora seguirá la siguiente evolución:

POBLACIÓN

Inicial 1ª Hora 2ª Hora 3ª Hora … 10ª Hora … Hora enésima P 2·P 4·P = 22·P 8·P = 23·P … 1024·P = 210·P … 2n·P

El comportamiento del crecimiento exponencial se pone de manifiesto haciendo dobleces sucesivas en un papel. Doblaremos un papel por la mitad, luego ese papel dobldo otra vez por la mitad y seguimos indefinidamente ese proceso imaginario (Porque en la realidad ¿cuántas dobleces sucesivas se pueden hacer en un folio?)

Sabemos que un papel tiene aproximadamente un grosor de 0,1 mm. Si se hace una dobles el grosor será 0,2 mm, algo más de un centímetro. Si seguimos el proceso, con 13 dobles 0,1 · 213 = 819,2 mm = 0,8192 m, que se acerca al metro, pero en unos pocos pasos más, cuando hacemos (supuestamente) 42 dobleces alcanzamos un grosor de 0,1 mm · 213 = 439.804 Km, que más distancia que de la distancia de la Tierra a la Luna.

Tras los inocentes porcentajes también se esconde un crecimiento exponencial. Para ello nos plantemos una pregunta ¿Qué significa que el consumo de Energía Eléctrica aumenta en un país cada año el 7 % ?

Pues significa que si un año se consumen N KW de energía, al año siguiente se consumirán: (1 + 0,07) · N KW de energía. Lo que quiere decir que cada año se multiplica el consumo por una cantidad fija que es 1,07

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 4 En diez años, se habrá multiplicado el consumo diez veces por esa cantidad y el consumo será 1,0710· N = 1,97·N ≈ 2· N, es decir, que cada diez años, con un crecimiento anual de la demanda de energía del 7%, se duplica el consumo.

Puede calcularse que, con un crecimiento de la demanda del 7 %, el consumo en un siglo se multiplicará por mil.

Otra forma de visualizar este crecimiento tan característico de las PG es mediante una gráfica. Si colocamos en un banco un capital inicial CI a un rédito r, el capital al terminar el periodo sería

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período:

Repitiendo esto para un tercer período continuo:

Por lo que el capital al final del enésimo período es:

Vemos que el capital crece en PG. Si el capital inicial fuese 100 000 euros al 10% de rédito anual tendríamos la siguiente tabla y su correspondiente gráfica

100.000

110.000

121.000

133.100

146.410

161.051

177.156,1

194.871,71

…..

……

……

……

Ahora que ya nos hemos entrenado, vamos a suponer que depositamos 1€ en un banco que nos da el 100% de interés (¡!) Imposible, ya lo sabemos, pero nos va a venir muy bien para ver dónde se esconde nuestro famoso número e.

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 5 Vamos a hacer los periodos de capitalización cada vez más cortos y veremos cuánto tendríamos en cada caso al finalizar un año.

Capitalización Periodos Interés Fórmula Capital al cabo de 1 año

Anual 1 1 2

Semestral 2 1:2 2,25

Trimestral 4 1:4 2,44140625

Mensual 12 1:12

2,61303529

Diario 365 1:365 2,714567482

Cada hora 8760 1:8760

2,718126692 Cada minuto 525600 1:525600

2,718279243 Cada segundo 31536000 1:31536000

2,718281781

Si observamos la cifra que obtenemos al finalizar el año, vemos que va creciendo, que cuanto más pequeño es el periodo de capitalización, más favorable es para nosotros. Pero también es cierto que esa cifra se va estabilizando, que nunca llegaremos a 2,72€.

Si nos fijamos bien en la sucesión de capitales que hemos formado, vemos que si el periodo de capitalización fuera una décima de segundo, apostaríamos a que el capital final sería 2,7182…

pero no sabríamos con certeza cuál es la cifra que sigue.

Si llamamos n al número de periodos de capitalización, el término general de la sucesión es

Podríamos acortar tanto el tiempo de los periodos de capitalización hasta considerarlos instantáneos. Hablaríamos entonces de interés continuo. En ese caso, el número de periodos de capitalización es muy grande —es decir, tiende a infinito— y los términos de la sucesión se van aproximando a un número, pero del que no podemos saber todas sus cifras decimales porque son infinitas y no periódicas. Se trata de un número irracional, el número e.

El número e podemos definirlo como

Ahora podemos DEFINIR la función exponencial como el siguiente límite:

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 6 Esto nos permitirá calcular en cuánto se convierte nuestro euro cuando vayamos a una entidad financiera real y nos paguen un interés anual real. Claro que ninguna entidad te aplica la capitalización continúa, pero si así fuese, veamos qué pasaría.

Si te dan, como actualmente, un 0% de interés, al final del primer año tendrías: e0= 1. ¡El euro depositado!

Si te dan un 10% es que el banco va a quebrar, pero tendrías: e0,1=1,11. El centimillo se lo tienes que agradecer a la capitalización continua.

Para esto valen las funciones. Son como cajas negras, tú metes por la ranura de entrada el valor de la variable independiente, el rédito anual que te pagan; y la caja negra te devuelve el valor que toma la función para ese valor. [VER]

Veamos ahora que la función exponencial de base natural es una función muy, pero que muy, muy especial. Porque es la única función (y = ex) para la que su derivada (y’ = dy/dx =ex) y su integral (∫ ex dx = ex + C) coinciden con la función misma. Así que:

Es decir, en un punto cualquiera x, ex representa tanto el valor de la función en ese punto, como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, como el área encerrada en entre la curva, el eje de abscisas y la recta x = x.

Por ejemplo, si x = 1, en ese punto la función vale e, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1, e) es también e. Y el área encerrada por la curva, el eje de la X y la recta x = 1 es, también, e unidades cuadradas (esos cuadraditos que tienes en la imagen llenando todo el plano) Si x= 0, en ese punto la función vale 1; la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (0, 1) es 1 (la recta tangente forma un ángulo de 45º con la horizontal); y el área encerrada entre la curva, el eje X y la recta x=0, es una unidad cuadrada (uno de esos cuadraditos que tienes en la imagen)

Que la derivada de esta función sea ella misma, la emparenta con la PG {an = 2n

} que estamos estudiando, ya que si calculamos sus DIFERENCIAS de cualquier orden tenemos que:

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El Crecimiento en Progresión Geométrica 7 las diferencias de cualquier orden ‘reproducen’ la sucesión original. Esta maravillosa propiedad es característica de las PG: se reproducen a sí mismas en las ‘diferencias parciales’.

Otra PROGRESIÓN GEOMÉTRICA muy interesante es

Ya que es la ÚNICA PG ‘sumativa de dos tiempos’: un término cualquiera es igual a la suma de los dos anteriores (lo que la emparenta con la sucesión de Fibonacci Fn = Fn−1 + Fn−2)

Esto, por sí sólo, te permite calcular el valor de Φ. ¡Hazlo! Un poco más difícil es probar que esta fórmula también te da el valor de Φ. ¡Ya ves, existen FÓRMULAS INACABADAS!

Al ser ésta una PG ‘sumativa de dos términos’ se propaga con suma elegancia allí donde ‘anida’

poniendo orden y armonía en la belleza:

La PROGRESIÓN GEOMÉTRICA de razón Φ tiene PROPIEDADES SORPRENDENTES.

¡Estúdialas en profundidad! Te sorprenderás [VER]

Funciones-Logaritmicas-Exponenciales

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