Microeconomía I. Consumo intertemporal. Activos …nancieros y principio de no arbitraje. De…niciones y principales teoremas (enunciados).

Microeconomía I. Consumo intertemporal. Activos …nancieros y principio de no arbitraje. De…niciones y principales teoremas (enunciados).

Enrique Kawamura Semestre de Otoño

1 Consumo intertemporal

Supuesto Existen dos períodos denotados como t = 0; 1;

De…nition 1 Un bien se dice perecedero si la cantidad no consumida en t = 0 se pierde totalmente en t = 1.

Supuesto Existe en cada período un único bien de consumo "físico" perecedero.

De…nition 2 Un par (c 0 ; c 1 ) denota una canasta de consumo intertemporal de este único bien, donde c 0 es la cantidad consumida en t = 0 y c 1 es la cantidad consumida en t = 1:

Supuesto El consumidor cuyo comportamiento se analiza está caracterizado por:

1. poseer preferencias racionales y continuas sobre todas las canastas no negativas (c 0 ; c 1 ) ; 2. recibir una dotación intertemporal (! 0 ; ! 1 ) 2 R ² + ; donde ! t > 0 para al menos un t = 0; 1,

3. en t = 0 el consumidor conoce perfectamente el valor de ! 1 como así también los valores de todo el resto de las variables en t = 1 relevantes para su elección (ver abajo)

De…nition 3 Un banco es una institución que toma depósitos y presta en unidades del bien de consumo perecedero a una misma tasa neta de interés r 0:

De…nition 4 El ahorro se de…ne como la cantidad de bien recibida en t = 0 no consumida en ese período; el préstamo que toma del banco se de…ne como ahorro negativo (la diferencia entre la dotación del bien en t = 0 y su consumo en ese mismo período). Se la denota como s.

De…nition 5 La restricción presupuestaria intra temporal del período t = 0 en presencia de un banco se de…ne como:

c ₀ + s ! ₀ (1)

De…nition 6 La restricción presupuestaria intra temporal del período t = 0 en presencia de un banco se de…ne como:

c 1 ! 1 + s (1 + r) (2)

Proposition 7 Si las dos restricciones prespuestarias intra temporales se veri…can con igualdad, entonces ambas restric- ciones implican la restricción

c ₀ + c 1

1 + r = ! ₀ + ! 1

1 + r (3)

Esta ecuación representa la recta presupuestaria intertemporal en valor presente.

Proposition 8 La ecuación de la recta presupuestaria intertemporal en valor presente es equivalente a cualquiera de las siguientes dos ecuaciones:

(1 + r) c ₀ + c ₁ = (1 + r) ! ₀ + ! ₁ (4)

c 1 = (1 + r) ! 0 + ! 1 (1 + r) c 0 (5)

La forma de la ecuación (4) se la denomina ecuación de la recta presupuestaria intertemporal en valor futuro.

Supuesto El consumidor cuyo comportamiento se analiza posee preferencias sobre canastas de consumo intertemporales (c ₀ ; c ₁ ) que satisface los axiomas de racionalidad, continuidad y monotonicidad débil. Sea U (c ₀ ; c ₁ ) una de las funciones de utilidad que representa a tales preferencias.

De…nition 9 El problema de decisión óptima de consumo intertemporal para un agente con acceso perfecto a un banco se plantea del siguiente modo

max

(c

;c

) 2R

U (c ₀ ; c ₁ ) sujeto a (1 + r) c ₀ + c ₁ = (1 + r) ! ₀ + ! ₁ (6)

1

De…nition 10 Sea (c ₀ (1 + r; (1 + r) ! ₀ + ! ₁ ) ; c ₁ (1 + r; (1 + r) ! ₀ + ! ₁ )) una canasta solución del problema planteado en (6). El ahorro óptimo entonces se de…ne como

s (1 + r; (1 + r) ! ₀ + ! ₁ ) ! ₀ c ₀ (1 + r; (1 + r) ! ₀ + ! ₁ ) (7) Proposition 11 La función de…nida en (7) es la solución del problema

max s 2R U (! 0 s; ! 1 + s (1 + r)) (8)

De esta solución se obtiene la canasta óptima den consumo intertemporal:

c ₀ (1 + r; (1 + r) ! 0 + ! 1 ) = ! 0 s (1 + r; (1 + r) ! 0 + ! 1 ) (9) c ₁ (1 + r; (1 + r) ! 0 + ! 1 ) = ! 1 + (1 + r) s (1 + r; (1 + r) ! 0 + ! 1 ) (10) Proposition 12 (Ecuación de Slutsky) El efecto de una variación (estática in…nitesimal) de 1 + r en c ₀ está deter- minado por

@c ₀

@ (1 + r) = @c ^h ₀

@ (1 + r) + s @c ₀

@m (11)

donde m (1 + r) ! ₀ + ! ₁ y donde c ^h ₀ es el consumo hicksiano que proviene de la solución del problema min

(c

;c

) 2R

(1 + r) c 0 + c 1 sujeto a U (c 0 ; c 1 ) = U (12)

Corollary 13 Si el consumo del período 0 es un bien normal, entonces el signo de la derivada _@(1+r) ^@s es indeterminado si s > 0:

2 Activos …nancieros y principio de no arbitraje

De…nition 14 Un activo …nanciero (real) se de…ne como un título valor que, emitido y transado en un mercado a un precio P en t = 0; paga una dada cantidad de unidades del bien de consumo C en t = 1 por cada unidad del título comprado en t = 0:

De…nition 15 Una operación de venta en corto de un activo …nanciero realizada en t = 0 es una transacción en la que el vendedor recibe P b bienes en t = 0 a cambio de la promesa de entregar b unidades del activo …nanciero en t = 1 o su equivalente en bienes de t = 1 (en caso de que el activo …nanciero vence en t = 1 pagando C bienes en t = 1 por título, esta promesa equivale a la de entregar b C unidades del bien de t = 1 en t = 1).

Supuesto Considere el planteo del consumidor de la sección anterior. Además del acceso al banco se supone que este consumidor:

tiene acceso al mercado de un activo …nanciero cuyo precio por unidad en t = 0 es de P unidades del bien en t = 0, y cada título transado en t = 0 paga C unidades del bien de consumo en t = 1,

puede tanto comprar como vender en corto en t = 0 al precio P tantas unidades del activo como desee, sin costo de transacción alguna.

De…nition 16 Una operación combinada entre los depósitos/préstamos del banco y compra/venta en el mercado de activo

…nanciero implica una oportunidad de arbitraje si:

1. el costo neto de la operación en t = 0 es igual a 0,

2. el resultado neto de la operación en t = 1 es estrictamente positivo (una ganancia positiva).

Proposition 17 Dada la tasa de interés del banco r y el pago del activo …nanciero en t = 1; C; un precio P que implique oportunidades de arbitraje no es consistente con el equilibrio en el sistema …nanciero.

Proposition 18 Dados los supuestos previos, el precio P que excluye oportunidades de arbitraje debe veri…car

P = C

1 + r (13)

2