Cadena de un puente Grúa.

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(1)Laboratorio de Cálculo Numérico MA-33A Cadena de un puente Grúa.. 1. Introducción Un puente grúa es un sistema mecánico formado por una cuerda vertical cuyo extremo superior se mueve por un riel horizontal y que permite desplazar objetos pesados de un lugar a otro. En la figura siguiente se muestra una foto de un puente grúa en plena operación. En este trabajo nos interesará resolver numéricamente las ecuaciones que permiten conocer la forma que adopta la cadena (que soporta la carga) cuando el puente grúa arrastra una carga de un punto a otro.. a t. Esquemáticamente se puede ver un puente grúa como un carro A que se mueve por un riel horizontal y que en cada instante ocupa la posición a t . Desde ese carro cuelga una cadena homogénea de largo L y densidad de masa ρ, por unidad de largo, que tiene en su extremo inferior amarrada la carga que es un bloque de masa M.. A. O. X. Para resolver numéricamente este problema, se supone que los datos serán la posición del carro A en cada instante, la posición y velocidad inicial de la cuerda y las propiedades físicas del sistema (densidad de la cadena, masa de bloque, masa del carro).. M Z. 1.

(2) 2. Formulación matemática del problema Resolveremos numéricamente este problema usando las técnicas de EDOs. Para ello, comen zaremos por hacer una discretización física del dominio de cálculo. Esto es, en lugar de trabajar con una cadena homogénea, la modelaremos como un conjunto de N barras de largo L N, at. O. A X. x1 t x2 t x3 t. conectadas entre sí por articulaciones. Cada una de estas barras será sin masa. La masa de la cadena de supondrá concentrada en las N articulaciones y estará dada por mi. . . ρ si i 1

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(4) N 1 ρ 2 M si i N. xN. t. 1. xN t. M. (1) Z. Esta situación puede verse en la figura.. 2.1. Ecuaciones del movimiento mi 1 , posición: r i . En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre de una articulación. Como la masa está concentrada allí, la llamaremos partícula i.. Ti ri . En esta figura se ha llamado Ti a la tensión de la barra i (de largo ) que conecta a las partículas i 1 e i.. 1. r i. 1. mi , posición: r i. Si i 1

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(7) N 1 las fuerzas que actúan sobre esta partícula son las mostradas en la figura. En el caso i N no hay fuerza Ti 1 (ya que la cuerda se termina allí.. mi g. Ti . Denotaremos por r i t la posición de la partícula i en el instante t.. 1. 1 r i. ri. mi 1 , pocisión: r i . 1. Del diagrama de cuerpo libre se deduce que la ecuación diferencial para la partícula i es. "r i T r i "r i 1 # g i mi mi r ï t r i 1 Ti r i % &g mi ! Ti . 1. r i . 1. $ i. 1

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(10) N 1. si i N. (2). Si se conocieran las tensiones de las barras, estas ecuaciones se podrían programar en SCILAB simplemente mediante las lineas siguientes: 2.

(11) N=length(X); II=1:N-1; DX=X-[posa ; X(II) ]; DZ=Z-[0 ; Z(II) ]; T(N+1)=0;DX(N+1)=0;DZ(N+1)=0; //No hay partícula N+1 II=1:N; AccZ = ( T(II+1).*DZ(II+1) - T(II).*DZ(II) ) ./ M(II) /L +9.8; AccX = (ídem) El problema de estas ecuaciones es que las tensiones de las barras no son conocidas, por lo tanto debe escribirse un modelo para su cálculo. Este modelo para las tensiones puede deducirse a ' ' partir de la ecuación r i "r i 1 2 ( 2 Cte (3) $ i 1

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(14) N. En efecto, si se deriva dos veces la ecuación (3) se obtiene 2 r i %r i 1 * ) r ï r ï 1 + -,, r ˙i r ˙i 1 ,, . 0. $ i. 1

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(16). . N. (4). En esta expresión, podemos reemplazar las ecuaciones del movimiento (2) para obtener diferentes relaciones para diferentes valores de i. En el caso i 1 el reemplazo entrega la ecuación. r r %r %r 2 r i %r i 1 /)10 Ti 1 i m1 i i Ti i mi i 1 &g a ¨ t 23 ,, r ˙i r ˙i 1 ,, 0 donde el valor de a ¨ t corresponde a la aceleración del carro A. En el caso en que i varía entre 2 y N 1 el reemplazo de la ecuación del movimiento (2) en la relación (4) entrega una expresión un. poco más larga de escribir, a saber:. r r "r r "r r %r %r r i %r i 1 * )*0 Ti 1 i m1 i i Ti i mi i 1 Ti imi 1i 1 Ti 1 i m1 i 1 i Finalmente, si i N el reemplazo entrega la ecuación %r r %r r %r r r i %r i 1 /)10 0 Ti i mi i 1 Ti imi 1i 1 Ti 1 i m1 i 1 i 2 25 Estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como. 677 77 77 778. a1 b1 0 b1 a2 b2. 0. . b 2 a3 . . .. .. .. . . . .. . aN 1 bN 1 0 b N 1 aN. 0 0 0. 9;:: 76 :: 77 :: 77 :: 787. 0 0. <. T1 T2 T3 .. . .. . TN. 9 :: :: :: : <. 78. 77. 77. 677. 2. 24 ,, r ˙i r ˙i 1 ,, 2 . ,, r ˙i r ˙i 1 ,, 2 d1 d2 d3 .. . .. . dN. 9 :: :: :: :. 0. 0. (5). <. donde la matriz tridiagonal simétrica tiene los siguientes coeficientes ai. . bi. . =)?>. 1 mi 1 mi. si i 1 si i 2

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(19) . N. mi 1 r i %r i 1 /) r i 1 "r i mi 1. 3. $ i. (6) 1

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(21) N 1 . (7).

(22) y el lado derecho es el vector de componentes di. . @,,. r ˙i r ˙i . 1. . r 1 Aa t 1)CB a ¨ t /Ag D. ,, 2. 0. si i 1 si i 2

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(24) . N. (8). En SCILAB estas ecuaciones se pueden programar como: II=1:(N-1); va=-L./m - [0; L./ m(II)]; DX=X-[posa;X(II)]; DZ=Z-[0;Z(II)]; vb=( DX(II).*DX(II+1) + DZ(II).*DZ(II+1) ) ./ m(II) /L; DU=U-[vela; U(II)]; DW=W-[0;W(II)]; vd=-( DU.^2 +DW.^2 ) + [ DX(1)*acca - DZ(1) * 9.8 ; zeros(I’) ]; Esta última ecuación completa el modelo matemático del puente grúa. En efecto las ecuaciones 5 entregan las tensiones de las barras en función de EFr i G N ˙i K NiH 1 y los datos del problema. i H 1 JI r Con estas tensiones la ecuación 2 se transforman en un sistema de 2N ecuaciones diferenciales de segundo orden.. 3. Solución Numérica y actividades a realizar Definiendo los vectores X,Z,U,W LNM O aquellos de componentes. Q. i i. N. . . (vectores de números flotantes de N componentes) como. ri ) ıˆ r˙i ) ıˆ. P i #r i ) kˆ R i r ˙i ) kˆ. El problema numérico a resolver con SCILAB consiste en, dados ∆t S 0, L, ρ, M LUT y n N LUV fijos, más las condiciones iniciales X(0), Z(0), U(0), V(0) y la función a t , se desea encontrar los vectores X, Z, U y W de la posición y velocidad de la cuerda para los instantes t ∆t 2∆t ?

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(26) . n∆t. Para esto realice lo siguiente:. W. W. Comenzaremos por dar la condición inicila de la cadena del puente grua. Para ello, escriba (en el archivo funciones.sci) una función en SCILAB (llámela function [X,Z,U,W]=condicion_inicial(flag,N,L)) que dependiendo de la variable flag(=1,2,

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(28) ), el número N de partículas y el largo L de cada trozo de cuerda entregue las diferentes condiciones iniciales para la cuerda que se detallan a continuación: si flag=1: r i 0 i )X , r ˙i 0 0 si flag=2: r i i )YC i )YZ[]\ 2, r ˙i 0 0 si flag=3: Alguna condición inicial que usted mismo invente. Para probar su programación hay disponible en la página del laboratorio un programa llamado visualiza_ci.sce. Uselo cambiando el valor de la variable flag en la llamada a su función para obtener sus condiciones iniciales. Puede agregar estos gráficos en su informe. 4.

(29) W. W. Escriba en el archivo funciones.sci una función SCILAB (llámela function T=tension(X,Z,U,W,M,L,posa,vela,acca)) que permita calcular las tensiones de las barras, usando las ecuaciones (6)–(8), en función de la posición y velocidad de las partículas (X,Z,U,W), las masas de las partículas (vector columna M) el largo de las barras (escalar L) y la posición, velocidad y aceleración del carro A (escalares posa, vela y acca respectivamente). Es recomendable comenzar por calcular los vectores VA, VB y VD definidos en las ecuaciones (6), (7) y (8) respectivamente. Luego definir la matriz MAB de la ecuación (5) y resolver dicho sistema con la instrucción “T=MAB\VD”.. W. Para usar esta función deben conocerse todos los parámetros del puente grúa. Como esto aun no lo hemos hecho, hay una programa SCILAB escrito anteriormente, que llama a esta función y permite verificar la programación. Esta programa se llama verifica_tensiones.sce. Si lo ejecuta, debería obtener como resultado el vector de tensiones igual a: T’=[98 88.2 78.4 68.6 58.8 49 39.2 29.4 19.6 9.8]. W. Escriba ahora una función SCILAB llamada aceleracion ( function [AccX,AccZ]=aceleracion(X,Z,T,M,posa)) que calcule las aceleraciones horizontal (AccX) y vertical (AccZ) de las masas. Para esto use la fórmula (2) y las indicaciones SCILAB correspondientes.. W. Pruebe la función aceleracion que ha escrito mediante el programa verifica_aceleraciones.sce. Debería obtener el vector AccX’=-4.9*ones(1:10); AccZ’= 4.9*ones(1:10); ¡Cuidado con los signos, ya que puede haber puesto la gravedad en un a direccion que no corresponde!. W. Para ejecutar en forma mas operativa las funciones tension() y aceleracion() escriba una única función udot(t,XX) que use las dos funciones anteriores del modo siguiente: function ud=udot(t,XX) II=1:Nbarras; X=XX(II); Z=XX(II+Nbarras); U=XX(II+2*Nbarras); W=XX(II+3*Nbarras); Tension=tension(X,Z,U,W,M,L,posa,vela,acca); [AccX,AccZ]=aceleracion(X,Z,Tension,M,posa); ud=[U;W;AccX;AccZ]; Note que aquí la variable XX contiene todo el estado de la cuerda, o sea, posiciones X,Z y velocidades U,W. En la página del laboratorio hay un programa llamado programa1.sce, donde se ha programado el método de euler para resolver la EDO. Bajelo y ejecutelo. Notará que este programa funciona pero al final la forma de la cadena es un poco extraña. Esto se debe a las 5.

(30) W. inestabilidades numéricas presentes en el método de euler. Normalmente esta inestabilidades dependen de ∆t T n (en SCILAB dt=T/Ntime). W. Visualice en forma explícita estas inestabilidades aumentando gradualmente la variable T desde 0.75 hasta 0.80 por incrementos de 0.01. Vera que cada vez que reejecuta su programa las inestabilidades son más importantes. Anote todos los comentarios pertinentes en su informe.. W. Si se desea resolver el problema hasta T=2, hay que aumentar el valor de Ntime a uno más grande para que el método de Euler sea capaz de describir la oscilación completa de la cadena. Busque que valor de Ntime permite resolver satisfactoriamente el problema. Indique en su informedicho valor y cuanto tiempo se demora el computador en hacer cálculo (dicho tiempo se llama “tiempo de cálculo” (tc ), el cual puede ser mayor o menor que T=2, que se llama “tiempo de simulación” (ts ). Cuando tc ^ ts de dice que el cálculo se puede realizar en tiempo real).. W. Copie su programa1.sce a programa2.sce. Allí cambie el Método de Euler por el de Runge-Kutta de orden 2 m1=udot(tk,XX); m2=udot(tk+dt,XX+dt*m1); XX=XX+dt*(m1+m2)/2;. W. Ejecute este programa con T=4 y Ntime=900. Comente sus resultados. Vea si se puede aumentar T y Ntime para cálculos más largos (no sobrepase Ntime=3500).. W. W. Copie su programa2.sce a programa3.sce. Allí cambie el Método de Runge-Kutta de orden 2 por el de orden 4 m1=udot(tk,XX); m2=udot(tk+dt/2,XX+m1*dt/2); m3=udot(tk+dt/2,XX+m2*dt/2); m4=udot(tk+dt ,XX+m3*dt); XX=XX+dt*(m1+2*m2+2*m3+m4)/6; Ejecute este programa con T=10 y Ntime=500. Comente sus resultados. Vea ahora si es posible llegar a T=30 aumentando Ntime (no sobrepase Ntime=3500). Copie su programa1.sce a programa4.sce. Ahora implementaremos una versión de Euler implícito. Recordemos que esta versión corresponde a uk . 1. . uk ∆tF tk ∆t uk . 1. . es decir, se debe despejar uk 1 de una ecuación no lineal. Usaremos una técnica de aproximaciones sucesivas. Usaremos las iteraciones. . s0 u k sn 1 uk ∆tF tk ∆t sn 6.

(31) W. La idea es que cuando n _ ∞ se obtiene que sn SSn=XX;err=1; while err>1e-4 then SS=XX+dt*udot(tk+dt,SSn); err=max(SS-SSn);SSn=SS; end; XX=SS;. _. uk 1 . Use la implementación siguiente:. W. Encuentre hasta que valor de T se puede resolver el problema tomando Ntime=2000; Comente sus resultado respecto de los métodos anteriores en su informe. Incorpore al archivo funciones.sce una función que calcule la posición, velocidad y aceleración del carro superior. Considere las funciones v t `. W. λt 2 a T. t 2 . λT 4 b s2 2s3 s4 c ;. s. s5 ; 5f. . a t d. λT 3 b 2s 6s2 4s3 c. x t `. λT 5. e s3 3. s4 2. . x T g λT 5. 1 30. t T. D. Llame a esta función function [posa,vela,acca]=carro(t,D,T). Pruébela con el programa prueba_posa.sce. Incorpore el gráfico obtenido en su informe interpretando las curvas que allí aparecen. Modifique el programa3.sce. Guárdelo como programa_final.sce. Incorpore el movimiento del carro superior y láncelo para valores razonables de T y N.. 4. Plazos Esta tarea debe ser entregada en la forma de un informe en papel el dia lunes de la primera semana de clases del semestre 2005/01 (que es fijado por la escuela de ingeniería y ciencias). En este informe, escrito en word u otro software similar, se deben incluir: 1. Introducción, descripción general del problema 2. La formulación matemática del problema. Esta parte debe estar escrita a mano (pueden incluirse estas páginas sin numerar al momento de compaginar el informe) 3. Todo el desarrollo computacional, incluyendo graficos, resultados y comentarios puntuales. 4. Conclusión, incluyendo apreciaciones técnicas sobre los métodos numéricos usados, descripción de extensiones del trabajo hacia otros dominios o bien usando otros métodos numéricos y apreciaciones personales sobre el trabajo realizado. 7.

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