UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO INTEGRAL
PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO
1221
Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno Ing. Sergio Carlos Crail Corzas
22 de septiembre de 2016 Semestre 2017-1
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.
1.
Obtener la serie de Maclaurin de la función:
g x ln 1 x
15 puntos
2. .
Sea la función
2
g x sen x
definida en el intervalo
2 , 2
. Calcular el valor medio de la función en el intervalo dado y determinar el valor de C que se encuentra en dicho intervalo para el cual se cumple el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.
15 puntos
1EE17-1 3. Determine
2 2 2
3
3 2 4
x dx
a ) dx b )
x x x x
20 Puntos
3. Calcular el área de la región del plano cartesiano limitada por la gráfica de la función
24 ,
el eje de las abscisas y las rectas1 , 3
f x
x
x
x
15 Puntos
5. Obtener la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie
x
2 y
2 z
2 169,
en el punto de coordenadasP 12, 4, 3
15 Puntos
6. Calcular la derivada direccional de la función f
x y z, ,
x y2
z en el puntoQ 2, 1, 1
y en la dirección del vectoru
u1,u2,u3
, del cual se sabe que sus ángulos directores son:45 , 60 , 0,
2
o o
20 Puntos
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL
1221
Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2017 – 1
1.
2
1
1
1
Si ln 1
1 1
' 1 1
''( ) 1
1
( 1)!
( ) ( 1)!
(1 )
Sea la serie de Maclaurin
ln 1 0 (0) pero 0 ( 1)!
! ln 1 0 1 !
! ln 1
n n
n
n n n
n
n n
n n
g
g x x
g x x x
g x
x
g x n g c n
x
x g x g n
n
x n x
n x x
n
15 puntos
S1EE17-1 2.
2
2
2 2
Si el valor medio
(2 )
2 cos
2 2
(0) (0) 2
2
sea 2 = 2 0
senx dx
x x dx
g c
g c
sen c c
15 puntos 3. a) Por fracciones parciales
5
4
Sea la fracción:
3 , entonces
1 2 1 2
3 2 1
2 1
5 4
Por lo que la integral queda
4 5
1 2
4 ln 1 5 ln 2
ln 2 10 puntos
1
x A B
x x x x
x A x B x
si x si x
B A
I dx dx
x x
I x x c
I x c
x
10 puntos
2
2
2 2
2 2
2 1
2
b) Por sustitución trigonométrica 2
4 2
1 2 1
Entonces
4 2 4
1
1 1
4 4
1 1 1
4 1 4 4
4 4 x tan
x sec
sec sec
I d d
tan sec tan
I cos dx sen cos d
sen cos
I sen c c csc c
sen
I x c
x
10 puntos 4. Sea la región
2 3
2 3 3 3
2 2
1 2 1 2
3 3 3
2
Entonces el área es
( 4) ( 4) 4 4
3 3
2 1 3 2
4(2) 4 4 3 4 2
3 3 3 3
8 1 8
8 4 3 12 8
3 3 3
x x
A x dx x dx x x
A
A
S1EE17-1
2
8 8
3 12 17 12 9 5
3 3
8 42 8 34 14 3 3 3 3 A
A u
15 puntos 5. Sean
2 2 2
( , , ) 0 (12, 4, 3)
169 2 , 2 , 2
evaluadas en P se obtienen: 24 8 6 la ecuación quedará
24 12 8 ( 4) 6 3 0
24 288 8 32 6 18 0, finalmente 24 8 6 338 ó 1
F x y z y P
F F F
F x y z x y z
x y z
a b c
x y z
x y z
x y z
2x 4y 3z 169
15 puntos 6. Para la dirección se tiene que debe cumplirse
2 2 2
2
2 2
2 2
2
cos 45 cos 60 cos 1 1 1
cos 1 de donde 2 4
2 1 1
cos 1 cos , como 0, , entonces 0
4 4 4 2
arg cos1 60 2
Sea la derivada direccional . y si 2
y
u
u
f f u
s
f f f xy x x y
f i j k f i j k
x y z z z z
u
1 1 1
, , 4, 4, 4
2 2 2
1 1 1
4, 4, 4 , , 4 2 2
2 2 2
f p
d f d s
20 puntos
