5.9. Crecimiento y decrecimiento de una función.

Derivabilidad de Funciones 27 Miguel Álvarez García

5.9. Crecimiento y decrecimiento de una función.

Una función y f(x) es

creciente

en un intervalo si se verifica una de estas dos condiciones:

a) Si x₁ < x₂ entonces f (x₁)  f (x₂),  x₁, x₂  I b) Si x₁ > x₂ entonces f (x₁)  f (x₂),  x₁, x₂  I

En la gráfica adjunta podemos observar esta propiedad de las funciones.

Definición

Una función y f(x) es

decreciente

en un intervalo si se verifica una de estas dos condiciones::

a) Si x1 < x2 entonces f (x1)  f (x2),  x1, x2  I b) Si x₁ > x₂ entonces f (x₁)  f (x₂),  x₁, x₂  I

Aclaración

1. Una función y = f (x) puede ser creciente y decreciente en el mismo intervalo ]a, b[ como se puede comprobar en la figura adjunta. En ella la función es creciente en el intervalo ]

a

,

c

[ y decreciente en el intervalo ]

c

,

b

[

Definiciones

Una función se dice que es

monótona

si es creciente o decreciente.

A los intervalos donde la función crece o decrece se les denomina

intervalos de crecimiento

o

decrecimiento

, respectivamente.

La función representada en la Aclaración 1 es monótona creciente en el intervalo ]

a

,

c

[ y decreciente en el intervalo ]

c

,

b

[.

Teorema 1. Teorema de monotonía

Sea

y

= f (

x

) una función definida y derivable en el intervalo ]

a

,

b

[, y sea

c

]

a

,

b

[ ; entonces se verifica:

a) Si f ’(

c

) < 0  f (

x

) es estrictamente decreciente en

x

=

c

. b) Si f ’(

c

) > 0  f (

x

) es estrictamente creciente en

x

=

c

.

Interpretación geométrica

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, por tanto, si

f

’(

x

1) > 0, entonces la pendiente de la recta tangente es positiva y la recta tangente es creciente.

x1 x2

f(x1) f(x2)

f(x2)

x1 x2

f(x1)

a c b

a x

1

x

2 b

Derivabilidad de Funciones 28 Miguel Álvarez García

Si la derivada es negativa, la pendiente de la recta tangente es negativa y dicha recta es decreciente.

Consecuencias

– Si la derivada de una función es positiva en todos los puntos de un intervalo, la función es creciente en dicho intervalo.

Si

f

’(

x

) > 0 

x

 ]

a

,

b

[ 

f

’(

x

) es creciente en ]

a

,

b

[ .

– Si la derivada de una función es negativa en todos los puntos de un intervalo, la función es decreciente en dicho intervalo.

Si

f

’(

x

) < 0 

x

 ]

a

,

b

[ 

f

’(

x

) es decreciente en ]

a

,

b

[ .

Ejemplo

31. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f

(

x

)

x

³ 3

x

² 1.

Ejemplo

32. En una factoría la función de costes es

C

(

x

)

x

³ 3ln

x

, donde x0 es el número de toneladas que se producen.

a) Si la función de ingresos es I(x)x³12x escriba la función de beneficios.

b) Calcule los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente.

Derivabilidad de Funciones 29 Miguel Álvarez García

Ejercicios

24. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

f

(

x

)2

x

² 8

x

.

25. Sea la función



















 

] 4 , 1 [ 1

) 1 , 6 3 (

3 ) (

x si x

x x si

x x

f

a) Razone si

f

(x) es continua o discontinua en x 1 y en x4.

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) para los valores ^{x  }



^{6 , 1}



^.

26. Estudiar el crecimiento de la función:

f

(

x

)

e

^x

27. La demanda de un bien en función de su precio viene dada por

p p p

D

30 10

)

( 

 .

a) Demostrar que al aumentar el precio disminuye la demanda.

b) Suponiendo que el precio aumenta indefinidamente, decir qué ocurrirá con la demanda.

28. ¿Cuáles son los intervalos de monotonía de la función; f(x)ln(x)con

x

> 0?