FUNCIONES POLINÓMICAS Recordemos: 1)

(1)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Recordemos:

1) Sean A y B dos conjuntos. Llamamos relación de A en B (anotamos R:A→ ) a un conjunto de B pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B.

Mas sintéticamente:

R esuna relacióndeAenB ⇔ R⊆A×B

2) Consideramos R:A→ si (x,y)∈R decimos que y es imagen de x, y que x es preimagen de y. B

3) Sea R:A→ . Llamamos dominio de R ( anot. DB R) al conjunto de los elementos de A que tienen al menos una imagen en B.

Llamamos recorrido de R ( anot.R_R) al conjunto de los elementos de B que tienen al menos una preimagen en A.

Mas sintéticamente:

D

R =

{

^x∈^A^/∃^y∈^B^;⁽^x^,^y⁾∈^R

} R

R=

{

^y∈^B^/∃^x∈^A^;⁽^x^.^y⁾∈^R

}

4) Sea F:A→ . Decimos que F es una función si y solo si todo elemento de A tiene una y solo una B imagen en B.

Nota: Consideramos ahora ^F⁼

{

⁽^x^,^y⁾^∈^ℜ^×^ℜ^/^y⁼^x²

}

Observemos que F es una función de ℜ→ℜ; en donde abusando de la notación tenemos:

ℜ ℜ

1 1

2 4

x x

²

A F la anotaremos mas brevemente F:ℜ→ℜ;F(x)=x² Así con esta notación indicamos que la imagen de un x real cualquiera es

x

².

Por ejemplo si anotamos F(2) hacemos referencia a la imagen de 2 según F y la calculamos F(2)=2² =4 simplemente sustituyendo x por 2 en F(x)=x².

(2)

Definición

Consideramos: f:A→ℜ y g:B→ℜ siendo A y B dos conjuntos cualesquiera. Si C =A∩ B≠∅definimos:

{

x C/g(x) 0

}

' C ) con x ( g

) x ( ) f x g (

; f ' C g: f

) x ( g ).

x ( f ) x )(

g . f (

; C : g . f

) x ( g ) x ( f ) x )(

g f (

; C : g f

≠

∈

=

 =





 ℜ 

→

= ℜ

→

+

= + ℜ

→ +

Así por ejemplo

Entonces

Ejercicios: 1) Hallar en este caso particular:

g y f g . f

2) Si h:ℜ→ℜ;h(x)=x² y t:ℜ→ℜ;t(x)=2^x Determinar:

g y f g . f , g f+

Nota: Si A es un conjunto no vacío anotaremos F al conjunto de todas las funciones de _A A→ℜ Observaciones: Consideramos f,g∈F_A

1) f =g ⇔ f(x)=g(x) ∀x∈A

2) La suma y el producto de funciones son operaciones en F _A a

b c

2 3 5

A ℜ

f

a b d

4 7 8

B ℜ

g

a

b 3 7 10

6 4 2

= +

= + B

A

C= ∩ ℜ

g f+

(3)

Teorema

(

^FA^,+^,·

)

es un anillo conmutativo y con unidad.

Dem. (F_A,+)grupoconmutativo

Asociativa (f+g)+h=f+(g+h) ∀f,g,h∈F_A ⁽^f+^g⁾+^h=^f+⁽^g+^h⁾ ⇔

[

⁽^f+^g⁾+^h

]

⁽^x⁾=

[

^f+⁽^g+^h⁾

]

⁽^x⁾ ∀^x∈^A

[ ] [ ] [ ]

[

^f ⁽^g ^h⁾

]

⁽^x⁾ ^x ^A

) x )(

h g ( ) x ( f ) x ( h ) x ( g ) x ( f ) x ( h ) x ( g ) x ( f ) x ( h ) x )(

g f ( ) x ( h ) g f

( ₍ ₎

∈

∀ +

+

=

= + +

= +

+ _∗

(*) Asociativa de la suma de reales.

Conmutativa f+g=g+f ∀f,g∈F_A f+g=g+f ⇔ (f+g)(x)=(g+f)(x) ∀x∈A

(f+g)(x) = f(x)+g(x) =_(*) g(x)+f(x) = (g+f)(x) ∀x∈A (*) Conmutativa de la suma de reales.

Neutro ∃θ∈F_A /f+θ=f ∀f∈F_A

Definimos θ:A→ℜ;θ(x)=0 ∀x∈A A la cual denominaremos función nula.

(f+θ)(x) = f(x)+θ(x) = f(x)+0 = f(x) ∀x∈A ⇒ f+θ=f razonamiento válido ∀f∈F_A Opuesto ∀f∈F_A ∃−f∈F_A /f+(−f)=θ

Definimos −f:A→ℜ;(−f)(x)=−f(x) ∀x∈A

(

f+−(f)

)

(x) = f(x)+(−f)(x) =f(x)−f(x) = 0 = θ(x) ∀x∈A ⇒ f+(−f)=θ ,·)

F ( de

Asociativa _A f.(g.h)=(f.g).h ∀f.g,h∈F_A Demostración a cargo del lector.

A A,·) f.g g.f f,g F F

( de a

Conmutativ = ∀ ∈ “ “ “ “ “

A A

A,·) F /f. f f F

F ( de

Neutro ∃Γ∈ Γ= ∀ ∈

Definimos Γ:A→ℜ;Γ(x)=1 ∀x∈A

(f.Γ)(x)=f(x).Γ(x)=f(x).1=f(x) ∀x∈A ⇒ f.Γ=f razonamiento válido ∀f∈F_A

Ejercicio: 1) ¿Es necesariamente cierto que si f.g=θ ⇒ f=θ y/ó g=θ? 2) ¿(F_A,+,·) es un cuerpo?

3) ¿A que llamaría función polinómica? ¿Y grado de una función polinómica?

Definición

A las funciones de ℜ→ℜcuya fórmula es f:f(x)=k (k∈ℜcte.)(Funciones constantes) o f:f(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ conn∈N^* y a_n,a_n₋₁,...,a₁.a₀∈ℜ las denominaremos funciones polinómicas reales.

Si f:f(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ conn∈N^* y a_n ≠ decimos que f tiene 0 grado n. En caso que f:f(x)=k (k∈ℜ;k≠0) diremos que f tiene grado 0.

Con respecto a la función nula (que es una función polinómica ) asumiremos que no tiene grado.

Nota: Al conjunto de todos las funciones polinómicas reales lo anotaremos P _ℜ

(4)

Observaciones:

1) P_ℜ ⊆ F_ℜ

2) Consideramos: f∈P_ℜf(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ y g∈P_ℜ tal que g(x)=b_nxⁿ +b_n₋₁xⁿ⁻¹+...+b₁x+b₀

Si f(x) g(x) x f g

b a

. ...

...

. ...

...

b a

0 0

1 1

1 n 1 n

n n

⇒ = ℜ

∈

∀

⇒ =











=

−

3) La suma y el producto de funciones polinómicas es una función polinómica.

Si f,g∈P_ℜ ⇒ f+g∈P_ℜ y además ^gr⁽^f+^g⁾≤^máx

{

^gr⁽^f^),^gr⁽^g⁾

}

ó f+ g=θ Si f,g∈P_ℜ ⇒ f.g∈P_ℜ y además gr(f.g)=gr(f)+gr(g) ó f.g=θ

4) (P_ℜ,+,·)es un anillo conmutativo y con unidad (Le solicitamos al lector que fundamente tal afirmación).

DIVISIÓN ENTERA

Así como se define la división entera entre números naturales

intentaremos definir una división entera entre funciones polinómicas reales. Un proyecto “razonable” podría ser:

Antes de adoptarla como definición demostremos el siguiente:

Teorema



 θ

≠

∈ _ℜ

g P g , ) f

H T)





θ

=

<

+

∈ =

∃ _ℜ

r ó ) g ( gr ) r ( gr ) ii

r gq f ) : i que tal P r ,

q

Dem.:

Consideramos H=

{

f−gt;t∈P_ℜ

}

Analicemos dos casos:

Siθ∈H ⇒ ∃t₀∈P_ℜ;f−g.t₀ =θ ⇒ f =f.t₀+θ

Por lo tanto en este caso ∃q=t₀ y r=θ que verifican la tesis.

Siθ∉H ⇒ todos las funciones polinómicas de H tienen grado. Denominemos J al conjunto de los grados de los elementos de H.

j mínJ

) J ) f ( gr H f . g f t tomar Basta ( J

N J

O . B .

P ∃ =

⇒





⇒ ∈

∈

= θ

⇒ − θ

=

∅

≠

⊆

Si j=mínJ ⇒ j∈J ⇒ ∃r∈H;gr(r)=j ⇒ ∃q∈P_ℜ /r=f−g.q ⇒ a b

q

r 

<

+

⇔ =

b r

r bq a

f g q

r 

θ

=

<

+

⇔ =

r ó ) g ( gr ) r ( gr

r q . g f

(5)

⇒ f =g.q+r Faltaría demostrar que gr(r)<gr(g) Llamamos n al grado de g. Probemos que j<n por absurdo.

Suponemos entonces que j≥n

Consideramos ahora x .g(x) b

) c x ( r ) x ( r :

r ^j ⁿ

n j 1

1

− −

= siendo c el coeficiente _j principal de r y b el de g. (termino que surge de proseguir el algoritmo de la _n división entera que conocemos)

Como r=f−gq ⇒ r(x)=f(x)−g(x).q(x) ∀x∈ℜ sustituyendo en la definición de r tenemos: ₁

∀ ∈ℜ











 −

−

=

−

= ⁻ x ⁻ x

b ) c x ( q ) x ( g ) x ( f ) x ( g b x ) c x ( q ).

x ( g ) x ( f ) x (

r ^j ⁿ

n n j

j n j 1

⇒ r₁∈H ⇒ gr(r₁)∈J

Pero por definición de r ₁ gr(r₁)<j=mínJ Lo cual es contradictorio.

Definición

Consideramos f,g∈P_ℜ;g≠θ Entendemos por realizar la división entera de f entre g a encontrar q,r∈ P_ℜ tal que: i) f=g.q+r

ii) gr(r)<gr(g) ó r=θ

Como sabemos q recibe el nombre de cociente y r el de resto. El teorema inmediato anterior nos asegura que dados dos funciones polinómicas cualesquiera f y g con g≠θ existen el cociente y el resto de la división entera de f entre g . Posteriormente demostraremos que dicho cociente y resto son únicos. No lo hacemos en este momento por carecer aún de los elementos necesarios para realizarlo.

Si f dividido g da cociente q y resto r lo esquematizamos Ejercicio: Realizar las siguientes divisiones:

1) 6x⁴+13x³−18x²−17x+20 entre 3x²+5x−7 2) 10x³+21x²+4x+2 entre 2x+1

3) x⁴+3x³+2x²+3x+6 entre x³+2x²−x+5

Definición

Consideramos: f∈P_ℜ y α∈ℜ Decimos que α es raíz de f ⇔ f(α)=0 Ejercicio:

1) Probar que 2 es raíz de f:f(x)=x³−5x²+7x−2

2) Demostrar que todos los reales son raíces de la función nula (θ ) 3) Probar:

Observación: Hallar todas las raíces de una función polinómica f es resolver en (ℜ,+,·,≤) la ecuación f(x)=0 Ejercicio: Consideramos f:f(x)=2x³+6x²−5x+3 1) Dividir f entre g:g(x)=x−2 y entre h:h(x)=x−1 2) ¿ Que particularidades observa sobre el cociente y el resto? 3) Calcular f(2) y f(1)

¿Qué observa?. 4) Elija otro polinomio f cualquiera y reitere las partes anteriores. ¿Las observaciones realizados serán una casualidad para estos casos particulares.?

f g q r

f g q

r αraízdeg ⇒ f(α)=r(α)

(6)

División entre x-αα αα

Un caso que nos interesa particularmente es la división entre una función polínomica del tipo α

−

= x ) x ( g :

g ya que presenta características y aplicaciones singulares.

Si g:g(x)=x−α ⇒ gr(r)=1 ⇒ gr(r)=0 ó r=θ ⇒ r es una función constante, en otras palabras )

fijo k ( x k ) x (

r = ∀ ∈ℜ ∈ℜ Además si gr(f)=n ⇒ gr(q)=n−1

Por otra parte si f =g.q+r ⇒ f(x)=g(x).q(x)+r(x) ∀x∈ℜ ⇒ f(x)=(x−α).q(x)+k ∀x∈ℜ k

) ( f k ) ( q . ) ( ) ( f

0

=

⇒ α + α α

− α

=

⇒ α

3 2 1

Proposición que podemos enunciar: “ el resto de dividir f entre x−αes f(α conocida como ley del resto. )"

Ejercicio: Demostrar: α es raíz de f ⇔ f es divisible entre g:g(x)= x−α (Teorema de Descartes) Esquema de Ruffini

Por todo lo dicho sería conveniente disponer de un procedimiento más eficiente para realizar la división entre x−α que el algoritmo de la división utilizado en ejercicios anteriores

Realizar la división entera de f :f(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀entre g:g(x)=x−αes determinar el cociente q y el resto r que cumplan con la definición.

Por lo dicho anteriormente; si gr(f) = n

ℜ

∈

∀ + + + +

⇒ =

−

⇒ gr(q)=n 1 q(x) b_nxⁿ⁻¹ b_n₋₂xⁿ⁻² ... b₁x b₀ x y además ℜ

∈

∀

∈

⇒ =

= θ

= ó gr(r) 0 r(x) k (k K) x r

⇔ ℜ

∈

∀ + + + + +

α

−

= + + + +

⇔ a_nxⁿ a_n₋₁xⁿ⁻¹ ... a₁x a₀ (x ).(b_n₋₁xⁿ⁻¹ b_n₋₂xⁿ⁻² ... b₁x b₀) k x

k b . x b . ....

x b . x b . x b x b ....

x b x b a x a ...

x a x

a_n ⁿ + _n ₁ ⁿ ¹+ + ₁ + ₀ = _n ₁ ⁿ + _n ₂ ⁿ ¹+ + ₁ ²+ ₀ −α _n ₁ ⁿ ¹−α _n ₂ ⁿ ² −α ₁ −α ₀+

⇔ ₋ ⁻ ₋ ₋ ⁻ ₋ ⁻ ₋ ⁻

ℜ

∈

∀ α

− + α

− + + α

− +

= + + + +

⇔ a_nxⁿ a_n₋₁xⁿ⁻¹ .... a₁x a₀ b_n₋₁xⁿ⁻¹ (b_n₋₂ .b_n₋₁).x ... (b₀ .b₁). k .b₀ x

Es inmediato que si se cumple:















α +

⇒ =

= α

−

α +

⇒ =

= α

−

α +

⇒ =

= α

−

=

−

0 0 0

0

1 1 0 1

1 0

1 n 1 n 2 n 1

n 1 n 2 n

n 1 n

b . a k a

b . k

b . a b a

b . b

...

b . a b a

b . b

a b

se verifica la igualdad

anterior para cualquier real

Resultados que suelen presentarse mediante el siguiente diagrama:

a n a_n₋₁ ... a ₁ a ₀ α α.b_n₋₁ ... α.b₁ α.b₀

{

1

bn

an

−

4 4 3 4 4 2 1

2

bn

1 n 1

n .b

a

−

− +α ...

43 42 1

b0

1 1 .b a +α

43 42 1

k 0 0 .b a +α

f g

q

r 

θ

=

<

+

⇒ =

r ó ) g ( gr ) r ( gr

r gq f

f g q r

⇔ ℜ

∈

∀ +

=

⇔ +

=

⇔ f g.q r f(x) g(x).q(x) r(x) x

(7)

Ejercicio Utilizando el esquema de Ruffini realizar las siguientes divisiones:

1) f:f(x)=2x⁴+x²−5x+3 entre g:g(x)=x−2 2) f entre g:g(x)=x+1

3) h:h(x)=x³+x+2 entre g:g(x)=x−1 y entre t:t(x)=x+2 3) f entre g:g(x)=2x−1

4) Deducir un procedimiento que nos permita utilizando el diagrama de Ruffini realizar la división de un polinomio P entre g:g(x)=ax+b Utilizando sus deducciones realizar las siguientes divisiones.

i) f:f(x)=4x³+6x²+10 entre g:g(x)=2x−1 ii) f:f(x)=9x³−x+4 entre g:g(x)=3x−2

Ejercicio: 1) Hallar todas las raíces reales de f:f(x)=x³+3x²−4x−12 sabiendo que admite raíz 2 2) “ “ “ “ “ “ f:f(x)=x³+2x²−x−2 “ “ “ “ -1

3) “ “ “ “ “ “ f:f(x)=4x⁴+4x³−25x²−x+6 sabiendo que tiene raíces 2 y –3 4) “ “ “ “ “ “ F:f(x)=x⁴−x³+11x²+9x+18 “ “ “ “ 3 y –3

EJERCICIOS REPARTIDO Nº 12 I) Sea P:P(x)=x³+3x²+ax−3. Hallar a∈ℜ para que P dividido entre x-1 da resto 3

II) Consideramos P:P(x)=2x³+ax−7 Determinar a∈ℜsabiendo que P(2)=17

III) Siendo :P(x)=2x³+ax²+bx−6. Hallar a y b reales sabiendo que P admite raíz –2 y P(−1)=4

IV) Sea P:P(x)=3x³−2x²−37x−12. Calcular todas las raíces de P sabiendo que una de ellas es –3 V) Dado P:P(x)=4x⁴+5x³−15x²−20x−4 Hallar todas sus raíces sabiendo que dos de ellas son 2 y − . ₄¹

VI) Un polinomio dividido entre x-1 y x-2 da resto 6 y 18 respectivamente. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre (x−1)(x−2).

VII) Sea P:P(x)=2x⁴+ax³−4x²−1. Determinar a∈ℜpara que P(−3)=44

VIII) Consideramos P:P(x)=x³−2x²+ax−18. Hallar a∈ℜy las raíces de P sabiendo que una de ellas es 2.

IX) Dado P:P(x)=x⁴+x³−15x²+ax+b. Determinar a ,b reales y las raíces de P sabiendo que dos de ellas son 2 y -3.

X) Un polinomio P dividido entre x-2 da resto 5, dividido entre x-4 da resto 7, y dividido entre x-5 da resto 8. Hallar el resto de dividir P entre (x−2)(x−4)(x−5).

Si además se sabe que P es de tercer grado y que P(0)=−77; hallar P.

(8)

Nota: Consideramos f∈P_ℜ;f(x)=a_nxⁿ +a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ una función polinómica de grado n.

1) Si α (α∈ℜ) es raíz de f ⇒_T_de_Descartes f es divisible entre g:g(x)= x−α ⇒ ∃q∈P_ℜ /f =g.q ⇒ f(x)=g(x).q(x)=(x−α)q(x) ∀x∈ℜ

Además sabemos que gr(q)=n−1 y q(x)=a_nxⁿ⁻¹+...

En resumen:

2) Consideramos ahora dos raíces distintas de f α,β∈ℜ α≠β

Si α (α∈ℜ) es raíz de f ⇒ ∃q∈P_ℜ ;gr(q)=n−1 y q(x)=a_nxⁿ⁻¹+... tal que f(x)=(x−α)q(x) ∀x∈ℜ ⇒ f(β)=(β−α)q(β) Como β es raíz de f ⇒ f(β)=0 ⇒ ⇒ β−α β = ⇒ β = ⇒ β

≠

0 ) ( q 0 ) q ) (

0

3 2

1 es raíz de q ⇒

⇒ ∃q'∈P_ℜ;gr(q')=n−2 y q'(x)=a_nxⁿ⁻²+... tal que q(x)=(x−β).q'(x) ∀x∈ℜ Como f(x)=(x−α).q(x) ∀x∈ℜ sustituyendo nos queda f(x)=(x−α).(x−β).q'(x) ∀x∈ℜ

En resumen:

Probar que:

Parece entonces razonable enunciar el siguiente teorema:

0 1 1

n 1 n n

nx a x ... a x a a

) x ( f

; P

f∈ _ℜ = + ₋ ⁻ + + + una función polinómica de grado n

Si α (α∈ℜ) es raíz de f ⇒ ∃q∈P_ℜ;gr(q)=n−1 y q(x)=a_nxⁿ⁻¹+... tal que f(x)=(x−α)q(x) ∀x∈ℜ

0 1 1

n 1 n n

nx a x ... a x a a

) x ( f

; P

Si αyβ(α≠β) son raíces de f ⇒ ∃q′∈P_ℜ;gr(q′)=n−2 y q′(x)=a_nxⁿ⁻²+... tal que ℜ

∈

′ ∀ β

− α

−

=(x ).(x ).q(x) x )

x ( f

0 1 1

n 1 n n

nx a x ... a x a a

) x ( f

; P

Si α,β,γ son raíces de f distintas dos a dos ⇒ ∃q∈P_ℜ;gr(q)=n−3 y q(x)=a_nxⁿ⁻³+...

tal que f(x)=(x−α).(x−β).(x−γ).q(x) ∀x∈ℜ

(9)

Teotema 1 de descomposición factorial

H) 





≤ α

α α

= +

+ + +

=

∈ _ℜ ₋ ⁻

n p f de dos a dos diferentes raíces

p ,..., ,

n ) f ( gr a x a ...

x a x a ) x ( f

; P f

p 2

1

0 1 1

n 1 n n n

T)





−

=

ℜ

∈

∀ α

− α

−

=

∈

∃ _ℜ

n p 2

1

a principar e

coeficient y

p n ) q ( gr con

x ) x ( q ).

x ( )...

x ).(

x ( ) x ( f

; P q

Dem:

Intentaremos una demostración por inducción completa sobre p. (la cantidad de raíces).

1º paso p=1 Proposición demostrada en la nota inmediata anterior 2º paso H) La proposición se verifica para p=h

T) La proposición se cumple para p=h+1

En otras palabras suponiendo que el teorema es cierto para h raíces debemos demostrar que lo es para h+1 raíces Debemos probar entonces:

 ⇒





≤ + +

α α α

α

= +

+ + +

=

∈

+

−

− ℜ

n 1 h f de dos a dos diferentes raíces

1 h ,

,..., ,

n ) f ( gr a x a ...

x a x a ) x ( f

; P f

1 h h 2

1

0 1 1

n 1 n n n





+

−

=

ℜ

∈

∀ α

− α

−

=

∈

⇒ ∃ ^ℜ ⁺

n 1 h h 2

1

a principar e

coeficient y

) 1 h ( n ) q ( gr con

x ) x ( q ).

x )(

x ( )...

x ).(

x ( ) x ( f

; P q

Como α₁,α₂,...,α_h,α_h₊₁ son raíces distintas dos a dos de f ⇒ α₁,α₂,...,α_h son raíces distintas dos a dos de f. Además si h+1≤n ⇒ h≤n Estamos pues en condiciones de aplicar la hipótesis inductiva.

ℜ

∈

∀ α

− α

−

=

∈

⇒ ∃q' P_ℜ /f(x) (x ₁).(x ₂)...(x _h).q'(x) (*) x con gr(q')=n−h y coeficiente principal a . _n

Teniendo en cuenta que α_h₊₁ es raíz de f ⇒ f(α_h₊₁)=0 ⇒

0 ) ( ' q ).

)...(

).(

( ) (

f _h ₁

0 h 1 h 0

2 1 h 0

1 h 1

h = α −α₁ α −α α −α α =

⇒ α ₊ ₊

≠ +

+ 14243 14243 14243 ⇒ α = ⇒

+ ) 0 (

'

q _h ₁

1 h+

⇒ α es raíz de q’ Aplicando ahora el teorema para p=1 sobre q’ tenemos que:

ℜ

∈

∀ α

−

=

∈

∃q P_ℜ ;q'(x) (x _h₊₁).q(x) x con gr(q)=(n−h)−1=n−(h+1) y coeficiente principal a _n Sustituyendo en (*) nos queda:

ℜ

∈

∀ α

− α

−

=(x ).(x )...(x ).(x ₊ ).q(x) x )

x (

f ₁ ₂ _h _h ₁

con gr(q)=(n−h)−1=n−(h+1) y coeficiente principal a l-q.q.d. _n

Un caso que nos interesa particularmente es para p=n (la cantidad de raíces coincide con el grado de la función polinómica)

(10)

Teorema 2 de descomposición factorial

H) 





α α

α

= +

+ + +

=

∈ _ℜ ₋ ⁻

f de dos a dos diferentes raíces

n ,..., ,

n ) f ( gr a x a ...

x a x a ) x ( f

; P f

n 2

1

0 1 1

n 1 n n n

T) f(x)=a_n(x−α₁).(x−α₂)...(x−α_n) ∀x∈ℜ Teorema

“Un polinomio de grado n no acepta mas de n raíces distintas”

Dem:

Por absurdo. Suponemos que f∈P_ℜ;f(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ gr(f)=n acepta raíces α₁,α₂,...,α_n,α_n₊₁ distintas dos a dos .

Como α₁,α₂,...,α_n son raíces distintas dos a dos de f ⇒_T_.₂_de_D_._F_.

) )...(

).(

( a ) ( f x

) x ..(

)...

x ).(

x ( a ) x (

f = _n −α₁ −α₂ −α_n ∀ ∈ℜ ⇒ α_n ₁ = _n α_n ₁−α₁ α_n ₁−α₂ α_n ₁−α_n

⇒ ₊ ₊ ₊ ₊

Además α_n₊₁ es raíz de f a ( ).( )...( ) 0 a_n 0

0 n 1 n 0

2 1 n 0

1 1 n

n α −α α −α α −α = ⇒ =

⇒

≠ +

≠

+ 43 14243 14243

42 1 Lo cual es contradictorio pues gr(f)=n Teorema

Consideramos: f∈P_ℜ;f(x)=a_nxⁿ +a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀

Si ∃α₁,α₂,...,α_n,α_n₊₁∈ℜ raíces distintas dos a dos de f











=

⇒

−

0 a

...

0 a

0 1 1 n n

Dem:

Si a_i ≠0 para algún i entre 0 y n ⇒ ∃gr(f) y además gr(f)≤n Tendríamos entonces una función polinómica de grado menor o igual que n con n+1 raíces lo cual contradice el teorema inmediato anterior.

Teorema de identidad de polinomios

Consideramos: f∈P_ℜ:f(x)=a_nxⁿ +a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ gr(f)=n g∈P_ℜ;f(x)=b_mx^m+b_m₋₁x^m⁻¹+...+b₁x+b₀ gr(g)=m











=

⇔

=

−

0 0

1 1

1 n 1 n

n n

b a

...

b a

y m n g

f

Dem:(⇒ Por absurdo Consideramos ) h=f−g

Si n≠m ó a_i ≠b_i para algún i de 1 a n ⇒ ∃gr(h)=k Consideramos ahora α₁,α₂,...,α_k,α_k₊₁ k+1 reales distintos dos a dos.

(11)

Como ⇒











= α

− α

= α

− α

= α

− α

= α

− α

= α

ℜ ⇒

∈

∀

−

⇒ =

−

=

+ +

+ ) f( ) g( ) 0

( h

0 ) ( g ) ( f ) ( h

...

0 ) ( g ) ( f ) ( h

x ) x ( g ) x ( f ) x ( h g

f h

1 k 1 k 1 k

k k k

2 2 2

1 1 1

⇒ α₁,α₂,...,α_k,α_k₊₁ son k+1 raíces distintas dos a dos de h . Pero gr(h)=k lo cual es contradictorio

EJERCICIOS REPARTIDO Nº 13 I) Hallar a, b, c ∈ℜ sabiendo que : (x²+ax+1)(x+b)=x³+cx²+3x+1 ∀x∈ℜ

II) Determinar una función polinómica de coeficientes reales y tercer grado sabiendo que:

P(x+1)=3x³+11x²+12x+8

III) Sea Q:Q(x)=cx²+dx+2 Hallar c y d reales sabiendo que: Q(x−1)−Q(x+1)=6−4x

IV) Determinar una función polinómica P de coeficientes reales sabiendo que: P(2x)−P(x+1)=6x²−x−P(0)+2 V) Sea P:P(x)=x³+5x²+ax+b Hallar a y b reales sabiendo que P dividido entre x² +2x da igual cociente que Resto.

Relaciones entre coeficientes y raíces

Consideramos f∈P_ℜ;f(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ una función polinómica real de 3º grado con raíces γ

β

α, y distintas dos a dos.

Pretendemos averiguar si existe una vinculación entre las raíces de f α ,,βγy sus coeficientes a₃,a₂,a₁,a₀ Si α,βyγ son raíces distintas dos a dos de f ⇒_T_._de_D_._F_.₂ f(x)=a₃(x−α).(x−β).(x−γ) ∀x∈ℜ ⇒

[

⁻^α ⁻^β ⁺^α^β ⁻^γ ⁺^α^γ ⁺^β^γ ⁻^α^β^γ

]

^∀ ^∈^ℜ ^⇒

= γ

− β α + β

− α

−

⇒ f(x)=a₃(x² .x .x . ).(x ) a₃ x³ .x² .x² . .x .x² ..x . .x . . x

Polinomios de Identidad de . T 0

1 2 2 3 3

3 3

2 3

3 3

x a

x a x a x a ) x ( f Como

x .

. . a ) . . . ( a x ).

( a x a ) x (

f ⇒





 ℜ

∈

∀ +

+ +

=

ℜ

∈

∀ γ β α

− γ β + γ α + β α + γ + β + α

−

⇒ =











−

= γ β

⇒ α

= γ β α

−

= γ β + γ α + β

⇒ α

= γ β + γ α + β α

−

= γ + β +

⇒ α

= γ + β + α

−

=

⇒

3 0 0

3

3 1 1

3

3 2 2

3 3 3

a . a . a

. . . a

a . a . . a

) . . . ( a

a a a

) .(

a a a

(12)

En resumen si f∈P_ℜ;f(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ es una función polinómica real de 3º grado con raíces γ

β

α, y distintas dos a dos se cumple que:

Análogamente se demuestra que si f∈P_ℜ;f(x)=a₂x²+a₁x+a₀ es una función polinómica real de 2ºgrado con raíces α y β distintas estas cumplen:

Y también si f∈P_ℜ ;f(x)=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ es una función polinómica real de 4º grado con raíces δ

γ β

α, , y distintas dos a dos se verifica:

EJERCICIOS REPARTIDO 14 I) Sea P:P(x)=x³−6x²+11x−6 con raíces α,β yγ que cumplen: α=β+γ . Hallar α,β,γ y la descomposición factorial de P.

II) Consideramos P:P(x)=2x³+ax² −2x−4. Hallar a y las raíces de P sabiendo que el producto de dos de ellas es –1.

III) Con P:P(x)=2x³−7x² +ax+10 de raíces α,β y γ. Determinar a , las raíces de P y su descomposición factorial; sabiendo que: 2α+2β+γ =9.

3 0

3 1 3 2

a . a

.

a . a . .

a a

−

= γ β α

= γ β + γ α + β α

−

= γ + β + α

2 0

2 1

a . a

a a

= β α

−

= β + α

4 0

4 1 4 2 4

3

a . a . .

a . a

. . . . . . .

a . a . . . . .

a a

= δ γ β α

−

= δ γ β + δ γ α + δ β α + γ β α

= δ γ + δ β + γ β + δ α + γ α + β α

−

= δ + γ + β + α

(13)

IV) Sea P:P(x)=x³+2x²+x+c. Hallar c y las raíces de P α, y β γ sabiendo que cumplen:

α² +β² =γ².

V) Consideramos P:P(x)=2x³+ax²−2bx−b. Hallar a y b para que

3 1 1 1

1 =−

+βγ +αγ

αβ y

P(0)+P(1)=−33 siendo α,β y γ las raíces de P.

VI) Sea P:P(x)=x³−11x²+36x−36 con raíces α,β y γ que cumplen: αβ =γ . Hallar las raíces y la descomposición factorial de P.

VII) Con P:P(x)=x³+ax²+bx+ab ;P(0)≠0 de raíces α,β y γ . i) Hallar a para que: α²βγ+αβ²γ+αβγ² =−2P(0)

ii) Determinar b sabiendo que P dividido entre x²− x5 +5 da igual cociente que resto.

iii) Resolver en (ℜ,+,·,≤) P(x)=0 y escribir la descomposición factorial de P.

VIII) Consideramos P:P(x)=x³+a²−4x+b de raíces α,β y γ. i) Determinar β >0 para que: + + =−1

γ β γ α β α

ii) Hallar a<0 y b para que x⁴−5x²+4 sea divisible entre P.

Nota

Cabe destacar que las fórmulas anteriores también son válidas cuando alguna o todas las raíces son iguales. Así también como el teorema de descomposición factorial. No lo demostraremos en este caso; pues dicha demostración involucra elementos de divisibilidad en polinomios, cuyo tratamiento, en nuestra opinión excede los objetivos del curso.

También es posible deducir fórmulas de relaciones entre coeficientes y raíces para funciones polinómicas de grado mayor que cuatro; pero rara vez dichas fórmulas son usadas.

Ejercicio:

Consideramos: f∈P_ℜ;f(x)=a_nxⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀ Probar:

1) 0 es raíz de f ⇔ a₀ =0

2) 1 es raíz de f ⇔ a_n +a_n₋₁+...+a₁+a₀ =0 3) i) Si

•

= 2

n -1 es raíz de f ⇔ a_n+a_n₋₂+...+a₂+a₀=a_n₋₁+a_n₋₃+...+a₁ ii) Si

•

≠ 2

n -1 es raíz de f ⇔ a_n₋₁+a_n₋₃+...+a₂+a₀ =a_n+a_n₋₁+...+a₁ Ejercicio:

Hallar la descomposición factorial de:

1) f:f(x)=2x³+5x²+2x 2) g:g(x)=4x³−4x²−x+1 3) h:h(x)=2x³+2x²+3x+3

4) t:t(x)=x⁴+5x³+5x²−5x−6 5) w:w(x)=x⁵+2x³−3x

(14)

Nota También es posible demostrar:



⇒ 















∈

= α

∈

+ + + +

=

∈

−

− − ℜ

) a a divide q ( a / q

) a a divide p ( a / p

si entre primos enteros q y p con

; f de raíz q Q

p

Z a , a ,..., a

, a

a x a ...

x a x a ) x ( f

; P f

n n

0 0

0 1 1

n n

0 1 1

1 n n n n

Proposición conocida como teorema de la raíz racional. No haremos la demostración; ya que la misma involucra conceptos de divisibilidad que no tratamos anteriormente. Pero si lo utilizaremos.

Ejercicio: Resolver en (ℜ,+,·,≤): i)3x³+2x²−6x−4=0 ii)6x⁴−x³−26x²+4x+8=0 iii) 6x⁴−x³+5x²−x−1=0

Teorema

f,g∈P_ℜ f ≠θ y g≠θ ⇒ f.g≠θ Dem:

f≠θ ⇒ ∃grf=n ⇒ f acepta a lo sumo n raíces distintas g≠θ ⇒ ∃grg=m ⇒ g acepta a lo sumo m raíces distintas Consideramos α∈ℜ que no sea raíz de f ni de g.

θ

⇒ ≠

≠ α α

=

⇒ α

≠ α

≠

⇒ f(α) 0 y g( ) 0 (f.g)( ) f( ).g( ) 0 f.g Corolario







θ

= θ

= θ ⇒

=

∈ _ℜ

g ó f g

. f P g , f

Dem: Es el contrarecíproco del teorema inmediato anterior.

Nota:

¿ Si f y g no son funciones polinómicas la proposición anterior es necesariamente cierta?

Sugerencia Analizar





− ℜ

∈

=

∈

=





− ℜ

∈

=

∈

=

Q x

si 0 ) x ( g

Q x si 1 ) x ( : g g Q y x si 1 ) x ( f

Q x si 0 ) x ( : f f

Ahora sí estamos en condiciones de probar la unicidad del cociente y el resto de la división entera Teorema

f g q’`

r’

f g q r

y ⇒ q=q' y r=r'

f g q

r 

<

θ

= +

⇒ =

g gr r gr ó r

r q . g

f f g

q’

r’ 

<

θ

= +

⇒ =

g gr ' r gr ó ' r

' r ' q . g f Dem

:

Por lo tanto g.q+r=g.q'+r' ⇒ g.(q−q')=r'−r

Ahora si q≠q' ⇒ q−q'≠θ ⇒ ∃gr(q−q') como además g≠θ (q−q').g≠θ y )

g ( gr ) ' q q ( gr ) g ( gr ) ' q q .(

g

gr − = + − ≥ Como g.(q−q')=r'−r≠θ ⇒ grg.(q−q')=gr(r'−r) )

g ( gr ) r ' r (

gr − ≥

⇒ Pero gr(r'−r)≤máx

{

gr(r),gr(r')

}

<gr(g) lo que es contradictorio ⇒ '

r r ' q

q= ⇒ =

⇒

(15)

EJERCICIOS REPARTIDO Nº 15

I) i) Probar:







⇒ α µ + λ α

⇒







α ℜ

∈ µ

λ esraizdeR

Q R

B Si A ) 2

B . A . de raiz es ) 1

B y A a comun raiz ,

reales es coeficient de

polinomios B

, A

ii) Sean: A:A(x)=2x³+x²−18x−9, B:B(x)=4x³+12x²−x−3 y C:C(x)=2x⁴−2x³−11x²−x−6 Hallar las raíces de A,B, C y su descomposición factorial sabiendo que A y B como también A y C admiten raíces comunes.

II) Consideramos: P:P(x)=m²x⁴+2m²x³−(m²+m+1)x²−(2m²+m+1)x+2m+2 i) Hallar todas las raíces de P sabiendo que admite dos raíces independientes de m.

ii) Hallar el o los valores de m para los cuales P admite una raíz doble.

III) Dado P:P(x)=2x³+3x²+(−2m²−2m+1)x−m²−m

i) Investigar si P admite una raíz independiente de m . En caso afirmativo hallarla.

ii) Probar que P admite tres raíces reales ∀m∈ℜ. iii) Determinar m∈ℜ⁺ para que:

+βγ +αγ

=αβ +γ +β α

11 11 11 3 3 3

IV) Sea P:P(x)=(6m²+3m)x⁴+(15m²+2m+1)x³+(3m²−m)x²+(−6m²+13m−2)x+4−2m i) Hallar α raíz independiente de m.

ii) Verificar que m 3

−1

β= es raíz de P ∀m∈ℜ^∗

iii) Si llamamos Q al cociente de dividir P entre (x−α)(3mx+1).

a) ¿Para que valores de m , Q acepta dos raíces reales del mismo signo?

b) ¿Para que valores de m Q(x)<0 ∀x∈ℜ?

V) Consideramos: P:P(x)=(2m+2)x³+(3m−1)x²−4mx+m i) Probar que P admite una raíz independiente de m ; hallarla.

ii) Hallar los valores de m para los cuales P admite tres raíces reales positivas.

EJERCICIOS REPARTIDO Nº 16

I) Sea P:P(x)=−35x²+45xⁿ+4x³ⁿ⁺¹−ax⁴ⁿ⁻¹−14+a i) Probar que P es divisible entre x-1.

ii)Determinar n y a sabiendo que el cociente de dividir P entre x-2 es de tercer grado y el resto vale –35 iii) Resolver en (ℜ,+,·,≤) P(x)=0

(16)

II) Consideramos: ^P^:^P⁽^x⁾⁼

(

^x²⁺₂¹^x⁻₂¹

) (

^h ⁺ ^x²⁻₂¹^x⁻¹₂

)

^h⁻¹

i) Demostrar que P es divisible entre x²−1 ∀h∈N ii) Sea Q:Q(x)=mP(x)+3x(x²−1)

a) Calcular h para que Q sea de cuarto grado y escribir la descomposición factorial de P para ese valor de h.

b) Para dicho valor de h determinar los valores de m para los cuales Q tiene cuatro raíces reales.

c) Determinar todos los valores de m para los cuales Q tiene una raíz doble.

III) Sea P:P(x)=x³+px+q

i) Probar que si P es divisible entre x²+mx−1 entonces P(m)= 0

ii) En el caso anterior calcular p,q y m si además p²+q²+m² =33 y m∈ℜ⁻.

IV) i) Hallar a,b y c para que P:P(x)=(x+1)²ⁿ+ax²ⁿ+bx+c sea divisible entre 2x³+3x²+x ii) Para a,b y c hallados calcular:

x x 3 x 2

c bx ax ) 1 x (

2 3

6 6

+ +

+ + +

+ .

V) i) Probar que: ⁿ

[

^P⁽ⁱ ¹⁾ ^P⁽ⁱ⁾

]

^P⁽ⁿ ¹⁾ ^P⁽⁰⁾ ⁿ ^N

0 i

∈

∀

− +

=

−

∑

+

=

siendo P un polinomio cualquiera.

ii) Determinar un polinomio P de tercer grado sabiendo que:

[

P(i 1) P(i)

]

n³ 6n² 8n 5P(0) n N

n

2 i

∈

∀ +

+ +

=

−

∑

+

=

VI) Sea A un polinomio de tercer grado y B otro polinomio no nulo tal que: A B C C i) Probar: α raíz de C ⇒ α raíz de A

ii) ¿Es posible que B sea de primer grado? Deducir y justificar el grado de B.

iii) Determinar B sabiendo que su coeficiente principal es 1 B(0)=1 y todas sus raíces son iguales y negativas.

iv) Determinar A sabiendo que su coeficiente principal es 2 y que C( ) 0

2 1 = .

VII) Sean P y Q dos polinomios no nulos de los cuales se sabe que P Q -1 Q i) Probar:







−

= α

⇔ α

1 ) ( Q

o / y

1 ) ( Q P

de raiz

ii) Determinar Q de coeficiente principal positivo sabiendo que P:P(x)=x⁴+2x³−x²−2x

iii) Resolver en (ℜ,+,·,≤) P(x)=0 y escribir la descomposición factorial de P.

(17)

VIII) Sea P:P(x)=x³+ax²+bx+ab i) Probar que x+a divide a P.

ii) Probar que si b>0 P acepta solamente una raíz real.

iii) Hallar a y b no nulos sabiendo que: α²βγ+αβ²γ+αβγ²=2P(0) y que b b b 2

γ = β+

α+ siendo α, y γ las raíces de P. β

iv) Resolver en

4 2 2

: ) ,·, , (

x ) x ( P <

≤ + ℜ

IX) i) Sea P:P(x)=x³+ax²−12x+36 Determinar a y las raíces de P α ,,β γ sabiendo que

= γ +β α

1 1 1

ii) Si A B a) Probar que si B(δ)= 1− ^⇒ δ es raíz de A

C C b) Probar: εraíz de A y B(ε)≠−1 ⇒ ε es raíz de C.

iii) Determinar un polinomio Q sabiendo que P dividido Q da igual cociente que resto y Q(γ)≠−1 siendo γ el valor hallado en i).

iv) Resolver en 1

1 ) x ( Q

) x ( : P ) ,·, ,

( ≥

≤ + + ℜ

X) i) Determinar un polinomio Q de segundo grado sabiendo que Q(1)=1 Q(0)=0 y Q(−1)=3 ii) Sea P:P(x)=Q(x)xⁿ ⁺

[

^Q⁽^x⁾⁻¹

]

^xⁿ⁻¹⁺^fx⁺^g

Hallar f y g sabiendo que P es divisible entre x²− . x

iii) a) Probar que si n es impar entonces P es divisible entre x³− x b) Para n par hallar el resto de dividir P entre x+ 1

iv) Determinar P sabiendo que P dividido ente x³− da cociente x Q(−x)+1 v) Para P hallado resolver en 7

x x

) x ( ) P ,·, ,

( 3 ≤

−

≤ + ℜ

XI) Sea ^P⁽^x⁾⁼

[

⁽^x⁻¹⁾²^h⁺^x^h

] [

⁽^x⁻¹⁾²^h⁻^x^h

]

⁺^ax⁺^b

i) Hallar a y b sabiendo que P es divisible entre x²− x

ii) Determinar P y su descomposición factorial sabiendo que el cociente de la división indicada anteriormente es de segundo grado.

XII) i) Determinar un polinomio de tercer grado y coeficientes reales sabiendo que: * Tiene coeficiente principal 6 ** La suma de sus raíces vale ⁻¹₆ *** Dividido x - 2 da resto 45 **** P(1)=4.

ii) Escribir la descomposición factorial de P y resolver en (ℜ,+,·,≤) log^P_x⁽₊^x₁⁾ ≤2

XIII) Completar el siguiente esquema de Ruffini.

1 2

-8 10

4 11

(18)

XIV) Determinar dos polinomios P y Q sabiendo que: P(x)+Q(x)=6x³−x²+5x−3 P(x)−Q(x)=2x⁴+7x²−3x+1

XV) Hallar un polinomio P de tercer grado y otro Q de segundo grado sabiendo que al dividir P entre Q el cociente es 5x+ y el resto es 1 10x+ . Además 2 P(x)−xQ(x)=4x³+x²−10x−3

XVI) Hallar un polinomio A de tercer grado divisible entre x²−2 y x+1 Además A dividido entre x da resto 20.

XVII) Sean P y Q dos polinomios tales que Q es de cuarto grado, P y Q admiten raíces comunes 2,3 y 7;

P dividido Q da cociente C y resto R.

i) Hallar R sabiendo además que su coeficiente principal es –2 ii) Determinar Q si además se sabe que: Q(1)=0 y Q(0)=42 iii) Hallar P si C:C(x)=2x-1

iv) Hallar las raíces de H:H(x)=P(x)−Q(x)

XVIII) Hallar un polinomio P de cuarto grado, coeficiente principal –2 que cumple:

* P(x)=Q(x).(−2x)+R(x) con R de primer grado. ** P y Q tienen una raíz común ***P(−1)=0 **** Q(−1)=−6 ***** P(0)=10 ****** La suma de las otras dos raíces de Q vale –1.