04. La media de ventas diarias de un vendedor de grandes almacenes es de 950 euros y la desviación típica es 200 euros.
(a) Suponiendo que la distribución de ventas es normal, ¿cuál es la probabilidad de vender más de 1250 euros en un día?
ENCUADRANDO EL PROBLEMA
La variable en estudio sigue una distribución
N(950, 200)
Χ ≡ "Ventas diarias, en euros, de un vendedor"
Para calcular las diferentes probabilidades debemos de "tipificar" la variable y obtener las correspondientes probabilidades en la tabla de distribución N(0, 1).
RESOLUCIÓN apartado (a)
Suponiendo que la distribución de ventas es normal, ¿cuál es la probabilidad de vender más de 1250 euros en un día?
N(950, 200) ∼→ N(0, 1) P(X > 1250)
Tipificamos
P
> − 200
950
Z 1250 =
= P(Z > 1.5)
1.5
Las tablas de distribución de la normal nos dan la P(Z ≤ a),
1.5
= 1 – P (Ζ < 1.5)
= 1 – F(1.5) =
12163364 67447477 47474778 12163364 67447477 47464
En las tablas
= 1 – 0.9332 = 0.0668 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
La probabilidad de vender más de 1250 euros en un día es 0.0668
05. Para cierto modelo de lavadora se ha analizado el tiempo de funcionamiento que transcurre sin necesitar revisión técnica, llegando a la conclusión de que dicho tiempo es una variable Normal de media 5 040 horas de lavado con una desviación típica de 720 horas.
(a) Calcula la probabilidad de que una lavadora de ese modelo no supere las 6 480 horas sin necesitar revisión.
(b) ¿Y de que no supere las 3 960 horas?
(c) Calcula la probabilidad de que supere las 6480 horas sin necesitar revisión.
(d) Calcula la probabilidad de que funcione sin necesidad de revisión entre 5 760 y 6 120 horas.
ENCUADRANDO EL PROBLEMA
La variable en estudio sigue una distribución
N(5040, 720)
Χ ≡ "Número de horas de funcionamiento que transcurren sin que una lavadora en funcionamiento sea revisada"
Para calcular las diferentes probabilidades debemos de "tipificar" la variable y obtener las correspondientes probabilidades en la tabla de distribución N(0, 1).
RESOLUCIÓN apartado (a)
Calcula la probabilidad de que una lavadora de ese modelo no supere las 6 480 horas sin necesitar revisión.
N(5040, 720) ∼→ N(0, 1) P(Χ ≤ 6480)
Tipificamos
P
≤ −
720 040 5
Z 6480 =
= P(Z ≤ 2) =
F(2.00)
12163364 67447477 47474778 12163364 67447477 47464
En las tablas F(2.00) = 0.9772
En el enunciado F(2.00) = 0.9772 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
El 97.72% de las lavadoras necesitan una revisión tras las 6480 horas de funcionamiento.
RESOLUCIÓN apartado (b)
¿Y de que no supere las 3 960 horas?
N(5040, 720) ∼→ N(0, 1) P(Χ ≤ 3960)
Tipificamos
P
≤ −
720 040 5 960 Z 3
P(Ζ ≤ – 1.5)
– 1.5
1.5
= P(Z ≥ 1.5) = 1 – P(Z ≤ 1.5) =
= 1 – F(1.50) =
= 1 – 0.9332 =
= 0.0668 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
El 6.68% de las lavadoras necesitan ser revisadas tras las 3960 horas de funcionamiento
RESOLUCIÓN apartado (c)
Calcula la probabilidad de que supere las 6480 horas sin necesitar revisión.
N(5040, 720) ∼→ N(0, 1) P(Χ ≥ 6480)
Tipificamos
P
≥ −
720 040 5 480
Z 6 =
= P (Ζ ≥ 2)
2
Las tablas de distribución de la normal nos dan la P(Z ≤ a)
2 P(Z ≥ 2) =
= 1 – P(Ζ ≤ 2) = 1 – F(2) =
12163364 67447477 47474778 12163364 67447477 47464
En las tablas o en el enunciado
= 1 – 0.9772 =
= 0.0228 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
El 2.275% de las lavadoras superan las 6480 horas de funcionamiento sin necesidad de ser revisadas.
RESOLUCIÓN apartado (d)
Calcula la probabilidad de que funcione sin necesidad de revisión entre 5 760 y 6 120 horas.
N(5040, 720) ∼→ N(0, 1) P(5760 ≤ Χ ≤ 6120)
Tipificamos
P
− ≤ ≤ −
720 5040 6120 720
5040
5760 Z =
= P(1 ≤ Z ≤ 1.5)
1 1.5
P(1 ≤ Ζ ≤ 1.5) =
= P(Z ≤ 1.5) – P(Z ≤ 1) = F(1.5) – F(1) =
12163364 67447477 47474778 12163364 67447477 47464
En las tablas o en el enunciado 0.9332 – 0.8413 = 0.0919 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
El 9.19% de las lavadoras funcionan sin necesidad de ser revisadas entre 5760 y 6120 horas.
08 El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye según una variable normal de 17 minutos de media y desviación típica 3 minutos.
Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos.
ENCUADRANDO EL PROBLEMA
La variable en estudio sigue una distribución N(17, 3)
Χ ≡ "Minutos necesarios para que una ambulancia llegue a un centro sanitario"
Para calcular las diferentes probabilidades debemos de "tipificar" la variable y obtener las correspondientes probabilidades en la tabla de distribución N(0, 1).
RESOLUCIÓN apartado (a)
Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos.
N(17, 3) ∼→ N(0, 1) P(13 ≤ Χ ≤ 21)
P
− ≤ ≤ −
3 17 21 3
17 13
Z =
= P(– 1.33 ≤ Z ≤ 1.33)
1.33 - 1.33 P(Z ≤ 1.33) – P(Z ≤ – 1.33) =
- 1.33
1.33 1.33
P(Z ≤ 1.33) – P(Z ≤ – 1.33) = P(Z ≤ 1.33) – [1 – P(Z ≤ 1.33)] =
= 2 P(Z ≤ 1.33) – 1
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas
= 0.8164 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
La probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 y 21 minutos es 10 Un estudio antropológico de una tribu ha constatado que la longitud del dedo corazón de los adultos sigue una ley normal de 60 mm de media y desviación típica de 3 mm.
Si hay 800 adultos en esa tribu, determina cuántos tienen el dedo corazón:
(a) Más largo de 62 mm.
(b) Más corto de 57 mm.
(c) Entre 60 y 66 mm.
ENCUADRANDO EL PROBLEMA
La variable en estudio sigue una distribución N(60, 3)
Χ ≡ "Longitud del dedo corazón de los adultos, en mm"
Para calcular las diferentes probabilidades debemos de "tipificar" la variable y obtener las correspondientes probabilidades en la tabla de distribución N(0, 1).
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Más largo de 62 mm.
N(60, 3) ∼→ N(0, 1) P(Χ > 62) Tipificamos
P
> − 3
60
Z 62 =
= P(Z > 0.67)
0.67
0.67
1 – P(Z ≤ 0.67) =
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas
= 1 – 0.7486 =
= 0.2514 En 800 adultos:
0.2514 · 800 = 201.12 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Hay 201 individuos adultos con el dedo corazón más largo de 62 mm.
RESOLUCIÓN del apartado (b)
Más corto de 57 mm.
N(60, 3) ∼→ N(0, 1) Tipificamos
P(Χ < 57)
P
< − 3
60 57
Z =
P(Z < – 1)
- 1
Efecto espejo... pues las tablas no me dan los valores menores que cero
1
1
P(Z ≤ – 1) =
= 1 – P(Z ≤ 1) =
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas 1 – 0.8413 =
0.1587 En 800 adultos:
= 126.96 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Hay 127 individuos adultos con el dedo corazón más corto de 57 mm.
RESOLUCIÓN del apartado (c)
Entre 60 y 66 mm.
N(60, 3) ∼→ N(0, 1) P(60 ≤ Χ ≤ 66)
Tipificamos
P
− ≤ ≤ −
3 60 66 3
60
60 Z =
= P(0 ≤ Z ≤ 2) =
= P(Z < 2) – 0.5 =
= F(2) – 0.5 =
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas
= 0.4772 En 800 adultos:
0.4773 · 800 = 381.84 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Hay 382 individuos adultos con el dedo corazón Entre 60 y 66 mm
11 El peso teórico de la tableta de cierto medicamento es 234 mg. Si suponemos que los pesos de las tabletas siguen una distribución normal de desviación típica 10 mg por tableta:
(a) ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso menor o igual a 210 mg?
(b) ¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso superior a 240 gramos?
ENCUADRANDO EL PROBLEMA
La variable en estudio sigue una distribución
N(234, 10)
Χ ≡ "Peso teórico de la tableta de cierto medicamento, en gramos"
Para calcular las diferentes probabilidades debemos de "tipificar" la variable y obtener las correspondientes probabilidades en la tabla de distribución N(0, 1).
RESOLUCIÓN apartado (a)
¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso menor o igual a 210 mg?
N(234, 10) ∼→ N(0, 1) P(Χ ≤ 210) Tipificamos
P
≤ −
10 234
Z 210 =
= P(Z ≤ – 2.4)
- 2.4
Efecto espejo... pues las tablas no me dan los valores menores que cero
2.4
2.4
P(Z ≤ – 2.4)=
= 1 – P(Z ≤ 2.4) =
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas
= 1 – 0.9918 =
= 0.0082 → 0.82%
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Se espera que haya un 0.82% de tabletas con peso menor o igual a 210 mg.
RESOLUCIÓN del apartado (b)
¿Cuál será el tanto por ciento de tabletas con peso superior a 240 gramos?
N(234, 10) ∼→ N(0, 1) P(Χ ≥ 240) Tipificamos
P
≥ −
10 234 Z 240 =
= P(Z ≥ 0.6)
0.6
0.6
1 – P(Z ≤ 0.6) =
1 2 16 33 64 6 7 44 74 77 4 7 47 47 78 1 2 1 6 33 64 6 7 4 4 74 77 4 7 4 6 4
En las tablas
= 1 – 0.7257 =
= 0.2743 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Se espera que haya un 27.43% de tabletas con peso superior a 240 mg