Límites en el infinito

Límites en el infinito

Muchas veces nos interesa conocer cómo se comporta la función cuando x crece mucho.

Por ejemplo, para saber qué va a pasar con la población de una especie en extinción, se elabora un modelo matemático que nos ayuda a predecir el tamaño de la población como una función del tiempo y lo que nos interesa saber es cuánto tiempo tenemos para tratar de incrementarla antes de que el tamaño de esa población sea igual a cero.

Ejemplo 1 Calcula:

x→∞lim

x²+1

• Este límite es evidente.

• Conforme x crece más, los valores de x²crecen todavía más.

• Así que conforme x se va a infinito, los valores de x²se van más rápido a infinito.

• Entonces,

x→∞lim

x²+1

=_∞

Ejemplo 2 Calcula:

x→lim∞

 1+x x²



• Podemos reescribir el límite de la siguiente manera:

x→lim∞

 1 x² + ^x

x²



= lim

x→∞

 1 x²+¹

x



• Y aplicando la propiedad III de los límites, obtenemos:

x→∞lim

 1 x²+¹

x



= lim

x→∞

 1 x²

 + lim

x→∞

 1 x



• Cuando x crece mucho, el cociente 1/x se va a cero rápidamente.

• Lo mismo le ocurre al cociente 1/x².

• Entonces,

x→∞lim

 1+x x²



= lim

x→∞

 1 x²

 + lim

x→∞

 1 x



=0+0=0

• Observa que el grado del denominador era mayor al grado del numerador.

• Como ya sabes, el polinomio de mayor grado crece más rápido.

• Esto nos debe indicar que la función:

y= ¹+x x² tiende a cero cuando los valores de x crecen mucho.

• La gráfica también sugiere eso:

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1 2 3 4 5

y= ¹+x x²

Cuando debemos calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito, es una buena idea observar primero el grado de cada polinomio que forma la función racional.

Cuando el grado del polinomio que está en el numerador es mayor al grado del polinomio que está en el denominador pasa lo ocurrió en el ejemplo anterior.

En caso de que el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador debemos usar otro truco.

Ejemplo 3

Calcula:

x→lim∞

x²−1 1+2 x

!

• En este caso, el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador de la función racional.

• Observa que el polinomio se puede factorizar, pero la factorización no nos ayuda a simpli- ficar la función:

y= ^x

2−1

1+2 x = (x+1)(x−1) 1+2 x

• Así que usaremos otro truco en este caso.

• El truco consiste en dividir cada uno de los términos de cada polinomio entre el monomio de mayor grado en el denominador de la función racional.

• En este caso, tendremos que dividir entre x:

x→∞lim

x²−1 1+2 x

!

= _lim

x→∞







 x²

x −¹ x 1 x +^{2 x}

x









= lim

x→∞







 x−¹

x 1 x +2









• Ahora aplicamos la propiedad V de los límites para obtener:

x→∞lim

x²−1 1+2 x

!

= lim

x→∞







 x−¹

x 1 x +2









=

x→∞lim

 x−¹

x



x→∞lim

 1 x +2



• Ya sabemos que cuando x tiende a infinito, el cociente 1/x tiende a cero, luego

x→∞lim

x²−1 1+2 x

!

=

x→∞lim

 x−¹

x



x→∞lim

 1 x +2



= ^∞−0 0+2

= _∞

• Con lo que

x→lim∞

x²−1 1+2 x

!

=∞

• En este caso, el polinomio que está en el numerador tiene mayor grado que el polinomio que está en el denominador de la función racional.

• Esto nos sugiere que la función debe crecer conforme x crece más.

• Ese argumento se sigue de que para valores de x suficientemente grandes, el numerador siempre será mayor que el denominador.

• El resultado está de acuerdo con este argumento.

El único caso que nos queda pendiente es en el que el grado del polinomio que está en el numera- dor sea igual al grado del que está en el denominador de la función racional.

Ejemplo 4 Calula:

x→∞lim

3 x⁴−2 x³+x²−7 1+2 x−3 x²+5 x³+7 x⁴

!

• No tienes por qué entrar en pánico al ver un ejercicio así.

• Solamente debes usar el mismo truco que usamos en el ejemplo anterior.

• Vamos a dividir ambos polinomios entre el monomio de mayor grado.

• En este caso vamos a dividir entre x⁴:

x→∞lim

3 x⁴−2 x³+x²−7 1+2 x−3 x²+5 x³+7 x⁴

!

= lim

x→∞









3 x⁴ x⁴ −^{2 x3}

x⁴ +^x

2

x⁴ − ⁷ x⁴ 1

x⁴+^{2 x} x⁴ −^{3 x}

2

x⁴ +^{5 x}

3

x⁴ +^{7 x}

4

x⁴









= lim

x→∞









3−² x + ¹

x² − ⁷ x⁴ 1

x⁴+ ² x³− ³

x² +⁵ x +7









• Ahora observa que todos los cocientes que tienen a x o alguna de sus potencias en el denominador se hacen cero cuando x tiende a infinito.

x→lim∞

3 x⁴−2 x³+x²−7 1+2 x−3 x²+5 x³+7 x⁴

!

= lim

x→∞









3− ² x+ ¹

x²− ⁷ x⁴ 1

x⁴ + ² x³− ³

x²+⁵ x +7









= ³−0+0−0 0+0−0+0+7 = ³

7

• Entonces,

x→lim∞

3 x⁴−2 x³+x²−7 1+2 x−3 x²+5 x³+7 x⁴

!

= ³ 7

• Se te queda como ejercicio graficar la función para el intervalo 10≤x ≤100 dando valores de 10 en 10.

Podemos generalizar el resultado del ejemplo anterior con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5

Calcula:

x→lim∞

a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ b3x³+b2x²+b1x+b0

!

• De nuevo, tenemos una función racional con polinomios en el numerador como el denomina- dor de igual grado.

• Así que vamos a dividir entre el monomio de mayor grado: x³

x→lim∞

a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ b3x³+b2x²+b1x+b0

!

= lim

x→∞







 a3x³

x³ +^a2x

2

x³ + ^a1x x³ + ^a0

x³ b3x³

x³ +^b2x

2

x³ +^b1x x³ + ^b0

x³









= _lim

x→∞







 a3+^a2

x + ^a1 x²+ ^a0

x³ b3+^b2

x + ^b1 x² +^b0

x³









• Cuando x tiende a infinito, cada cociente que incluye a x en el denominador se hace cero y obtenemos:

x→lim∞

a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ b3x³+b2x²+b1x+b0

!

= _lim

x→∞







 a3+^a2

x + ^a1 x²+ ^a0

x³ b3+^b2

x + ^b1 x² + ^b0

x³









= ^a3+0+0+0 b3+0+0+0

= ^a3 b3

• En otras palabras, el limite de una función racional con polinomios en el numerador y denominador del mismo grado tiende al cociente de los coeficientes principales de los poli- nomios que definen la función.

• Matemáticamente, para polinomios de tercer grado, tenemos:

x→∞lim

a3x³+a2x²+a1x+a0

b₃x³+b₂x²+b₁x+b₀

!

= ^a3 b3

• Es muy sencillo generalizar este resultado a polinomios de grado n.

• Ese es tu ejercicio.

Ejemplo 6 Una fábrica de ventiladores ha encontrado que cuando invierte x millones de pesos tiene ventas

por V(x)millones de pesos por cada millón invertido, donde

V(x) = ^{7 x}

2−3 x+10 2 x²+3 x+5

¿Cuál es la máxima venta que puede esperar tener esa compañía?

• Obviamente, mientras más invierta esa fábrica, mayores ventas debe tener.

• Si eso es cierto, entonces necesitamos conocer a qué valor se aproxima la función de ventas cuando lo que invierte la compañía es muy grande.

• Matemáticamente, necesitamos calcular:

x→lim∞V(x) = lim

x→∞

7 x²−3 x+10 2 x²+3 x+5

!

• Calcular el límite es sencillo:

x→lim∞V(x) = lim

x→∞

7 x²−3 x+10 2 x²+3 x+5

!

= lim

x→∞







 7 x²

x² −^{3 x} x² +¹⁰

x² 2 x²

x² +^{3 x} x² + ⁵

x²









= lim

x→∞







 7−³

x +¹⁰ x² 2+ ³

x+ ⁵ x²









= ⁷−0+0 2+0+0 = ⁷

2

• Entonces, por más que invierta, nunca podrá vender más de 3.5 millones de pesos por cada millón que invierta.

• Cuando x crece mucho, V(x)tiende a 3.5 millones.

• Geométricamente tenemos que y=3.5 es una asíntota horizontal:

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

y

1 2 3

V(x) = ^{7 x}

2−3 x+10 2 x²+3 x+5

Los límites al infinito, entonces, pueden ayudarnos a graficar una función racional, pues nos dicen cómo se comporta la función para valores de x muy grandes.

Ejemplo 7

Encuentra las asíntotas horizontales de la función:

y= ^{3 x}−2 x+1

• Cuando x tiende a−∞, tenemos:

x→−lim∞y(x) = lim

x→−∞

 3 x−2 x+₁



• Dividiremos cada término del numerador como del denominador entre x y después simpli- ficamos:

x→−∞lim y(x) = lim

x→−∞

 3 x−2 x+1



= lim

x→−∞







 3 x

x −² x x x +¹

x









= lim

x→−∞







 3−²

x 1+¹ x









• Cuando x tiende a+_{∞ o}−∞, obtenemos:

x→−∞lim y(x) = lim

x→−∞

 3+0 1−0



=3 lim

x→∞y(x) = lim

x→∞

 3−0 1+0



=3

• Así que y=3 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función:

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 x y

−2

−1 1 2 3 4 5

y= ^{3 x}−2 x+1

Ejemplo 8 Un fabricante de tenis deportivos ha encontrado que el costo C(x)de producción de x pares de

tenis es de:

C(x) =275 x+25 000

Calcula el costo promedio de producción de cada par de tenis deportivos.

• Para calcular el costo promedio de producción tenemos que dividir el costo de producción de todos los pares de tenis entre el número de tenis producidos:

C¯(x) = ^{275 x}+25 000 x

• Cuando el número x de pares de tenis producidos es muy grande, el promedio se aproxima a:

x→∞limC¯(x) = lim

x→∞

 275 x+25 000 x



= lim

x→∞





 275 x

x +^{25 000} x x x







= ²⁷⁵+₀ 1 =275

• El precio promedio cuando produce muchos pares de tenis se acerca a $275.00 pesos.

• ¿Puedes decir, a partir de la siguiente gráfica, si producir más le hace más barato o más caro el precio de producción promedio?

x

2000 4000 6000 8000 10000

y

100 200 300 400 500

C¯(x) = ^{275 x}+25 000 x

Profesor:

Si el fabricante decide vender cada par de tenis en $300.00 pesos, debe producir al menos mil pares.

¿Cuál es la ganan- cia si produce x>1000 pares de tenis? ¿Qué valor de x sugieren los estudiantes?

Permita que ellos justifiquen ese valor.

Un concepto de administración que surge en este contexto es el de utilidad marginal, que consiste en la ganancia que tiene un fabricante al vender un par de tenis más. Si el precio de venta de cada par de tenis es de $300 pesos, y se producen mil pares de tenis, la utilidad es cero, porque el precio de producción es igual al precio de venta.

Si aumentamos a 4 000 pares, el costo de producción disminuye, y la diferencia entre el precio de producción menos el precio de venta es la utilidad unitaria. Al multiplicar la utilidad unitaria por el número de tenis vendidos (supongamos que se vende todo lo que se produce), tendremos la utilidad total.

Si vendemos un par de tenis más, tendremos una pequeña utilidad por la venta de este par adicional. Esa utilidad que se obtiene al vender un par más de tenis es la utilidad marginal.

Ejemplo 9

Calcula:

x→∞lim

e^−x2/2

• Empezamos observando que el exponente de la función es negativo.

• Esto nos indica que podemos escribir:

x→lim∞

 e^−x2/2

= lim

x→∞

 1 e^x2/2



• Cuando x crece mucho, x²/2 crece todavía más y e^x2/2crece mucho más.

• Así que estamos calculando el resultado de dividir 1 entre un número que crece muy rápido.

• Entonces, conforme x tienda a infinito, esperamos que e^−x2/2se vaya a cero muy rápido.

• La gráfica de la función nos da la misma información.:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x y

1 y=e^−x2/2

• Entonces,

x→∞lim

e^−x2/2

=0

Ejemplo 10 Calcula:

x→lim∞

 3

2 +_5e^−2t



• Empezamos aplicando las propiedades de los límites:

x→∞lim

 3

2+5e^−2t



= lim

x→∞

 3 2

 + lim

x→∞5e^−2t

= ³ 2 + lim

x→∞5e^−2t

= ³

2 +5· lim

x→∞e^−2t

• Cuando t tiende a infinito e^−2t =1/e^2ttiende a cero, porque e^2tcrece muy rápido. Entonces,

x→∞lim

 3

2+5e^−2t



= ³

2+5· lim

x→∞e^−2t= ³

2+5· (0) =³ 2

• Se te queda como ejercicio graficar la función y = ³

2 +5e^−2x y verificar gráficamente el resultado.

Ejemplo 11 La producción de un trabajador de ensamble de juguetes después de t días es de:

P(t) =35·^1−e^−0.25t

en cada hora de trabajo. ¿Cuál es el número máximo de juguetes que puede ensamblar en una hora un experto ensamblador?

• Para calcular el número de juguetes que puede ensamblar un experto, consideramos que tiene mucho tiempo de práctica ensamblando juguetes.

• Así que tenemos que calcular:

t→lim∞P(t) = lim

t→∞

h

35·^1−e^−0.25ti

• Aplicando las propiedades de los límites obtenemos:

t→∞limP(t) = lim

t→∞

h35·^1−e^−0.25ti

= 35·lim

t→∞

h1−e^−0.25ti

= 35·



t→∞lim(1) − lim

t→∞

e^−0.25t

= 35·

 1−lim

t→∞

e^−0.25t

• Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir:

t→lim∞P(t) = 35·

 1−lim

t→∞

e^−0.25t

= 35·

 1−lim

t→∞

 1 e^0.25t



• Cuando t tiende a infinito, el cociente 1/e^0.25ttiende a cero, entonces,

t→∞limP(t) =35· [1−0] =35· (1) =35

• Con el paso del tiempo un trabajador puede ensamblar a lo más 35 juguetes por hora.

• Verifica geométricamente el resultado graficando la función P(t) =35·^1−e^−0.25t .

Ejemplo 12

Si p es el precio de una caja de cereal, el número de unidades demandadas por los clientes está relacionada con el precio de acuerdo a la siguiente función:

p(x) = ¹⁰⁰ ln(x+5) Si la demanda crece mucho, ¿qué pasa con el precio?

• Necesitamos calcular el siguiente límite:

x→∞lim p(x) = lim

x→∞

 100 ln(x+5)



• Empezamos graficando la función:

x

0 20 40 60 80 100

y

10 20 30 40 50

y= ¹⁰⁰ ln(x+5)

• Ya sabemos que la función y=ln(x+5)se va a infinito cuando x tiende a infinito.

• Entonces, 100

ln(x+5) tiende a cero cuando x tiende a infinito, porque el denominador crece más y más.

x→∞lim p(x) = lim

x→∞

 100 ln(x+5)



=0

• Evidentemente, en la realidad esto nunca ocurre.

Créditos

Albert Einstein Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com- partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar.

Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.

Productor general: Efraín Soto Apolinar.

Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente.

Última revisión: 01 de agosto de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:

efrain@aprendematematicas.org.mx