Ondas electromagnéticas.

Ondas electromagnéticas.

Repaso de ecuaciones de la  electricidad y el magnetismo. 

•  Ley de Gauss.  •  Ley de Gauss  (o ley de conservación  del flujo magnético). 

•  Ley de Faraday (sólo f.e.m  debida a campos magnéticos  variables en el tiempo). 

total  o 

C 

I  l 

d 

B × = m

ò ^{r  r}

•  Ley de Ampere. 

0

=

ò   ×

S 

S  d  B  ^{r   r}

S  o 

S  Q  d 

E ^{× =} e

ò ^{r   r}

dt  d  F

-

e =

ò

ò ^{E  r ×   d  l  r = -} _dt  ^{d  B  r × d  S  r}

Electricidad  M agnetismo

Corriente de desplazamiento. 

Justificación (I). 

Maxwell, en el s. XIX, se dio  cuenta de que la ley de Ampere  no se cumple en algunas 

situaciones. 

Las superficies S ₁ y S ₂ se apoyan  en la curva C, luego ambas 

deberían ser válidas para aplicar  la Ley de Ampere. 

Para la superficie S ₁ : 

I 

= I 

Para la superficie S ₂ : 

I 

=   0

Sin embargo: 

Ejemplo: 

Condensador  total 

o  C 

I  l 

d 

B × = m

ò ^{r r}

Corriente de desplazamiento. 

Justificación (II). 

Esto plantea el problema de que  el resultado de aplicar la Ley de  Ampere depende de la superficie  que escojamos para calcular la  corriente que atraviesa la curva C. 

A Maxwell se le ocurrió corregir la Ley de Ampere incluyendo un  término que tuviera en cuenta que la superficie S ₂ la atraviesa un  campo eléctrico que varía con el tiempo. 

•  Para la 

superficie S ₁ : 

•  Para la 

superficie S ₂ : 

total  o 

C 

I  l 

d 

B × = m

ò ^{r  r}

0

=

ò   ×

C 

l 

d 

B  ^{r r}

Corriente de desplazamiento. 

Justificación (II). 

Maxwell propuso: 

Y a través de la superficie S ₂ :

ò

ò ^{B  ×   d  l  =}

^I 

⁺

_dt  ^{d  E  × d  S} 

C 

r r r r

e m m

Ahora, a través de la  superficie S ₁ : 

total  o 

C 

I  l 

d 

B × = m

ò ^{r r}

ò

ò ^{B  ×   d  l  =}

_dt  ^{d  E  × d  S} 

C 

r r r

r m   e

1 

S  

2 

S 

I 

A  E  ^r  

I

Corriente de desplazamiento. 

Justificación (III).  

o 

o 

A 

E Q 

e e

s = r   =

o 

EA  Q  S 

d 

E ^{× = =} e

ò ^{r r}

Dentro del condensador: 

dt  dQ  Q 

dt  l  d 

d 

B 

o  o 

o  C

e m e

m ÷ ÷ = ø ö ç ç

è

= æ

ò ^r × ^r

Y como es la corriente I la que  aporta la carga al condensador: 

dt 

I =   dQ  B  d  l 

I 

C

m

=

ò ^r  × ^r

1 

S  

2 

S 

I 

A  E  ^r  

I 

Queda: 

I gual que si hubiéramos  usado la superficie S ₁ .

Ecuaciones de Maxwell . 

A este conjunto de ecuaciones se las llama ecuaciones de M axw ell  (en forma integral). 

Con la modificación de Maxwell, las ecuaciones del  electromagnetismo quedan: 

•  Ley de Gauss.  •  Ley de Gauss. 

•  Ley de Faraday.

ò

ò ^{B  ×   d  l  =}

^I 

⁺

_dt  ^{d  E  × d  S} 

C 

r r r r

e m m

•  Ley de Ampere ­ Maxwell. 

0

=

ò   ×

S 

S  d  B  ^{r   r}

S  o 

S  Q  d 

E ^{× =} e

ò ^{r r}

ò

ò ^{E  r ×   d  l  r = -} _dt  ^{d  B  r × d  S  r}

Electricidad  M agnetismo

Ecuaciones de Maxwell ^. 

Particularización para el vacío. 

Las ecuaciones de Maxwell predicen que en el vacío, un campo  eléctrico que varía en el tiempo produce un campo magnético que  varía en el tiempo y viceversa. Esto permite la existencia de ondas  electromagnéticas. 

En el vacío no hay cargas ni corrientes, así que queda:

ò

ò ^{B  ×   d  l  =}

_dt  ^{d  E  × d  S} 

C 

r r r

r m   e

0

=

ò   ×

S 

S  d  B  ^{r  r} 0

=

ò   ×

S 

S  d  E  ^{r r}

ò

ò ^{E  r  ×   d  l  r = -} _dt  ^{d  B  r × d  S  r}

•  Ley de Gauss.  •  Ley de Gauss. 

•  Ley de Faraday.  •  Ley de Ampere ­ Maxwell. 

Electricidad  M agnetismo

Ondas electromagnéticas. 

Ejemplo. Radiación de un dipolo oscilante. 

Las cargas del dipolo en movimiento representan una corriente. El  sentido de la corriente en cada instante está indicado por la flecha. 

Flechas rojas: 

campo eléctrico. 

Flechas azules: 

campo magnético. 

Sentido de la corriente.

Ondas electromagnéticas. 

Ortogonalidad de  E  y  B . 

En el ejemplo que hemos presentado, el campo eléctrico y el campo  magnético son perpendiculares en todo momento y en todos los 

puntos del espacio. 

Flechas rojas: 

campo eléctrico. 

Flechas azules: 

campo magnético. 

Puede demostrarse  que esto es cierto  para todas las ondas  electromagnéticas.

Ecuación de ondas. 

Vamos a centrarnos a 

estudiar la propagación de los  campos eléctrico y magnético  en una dirección. 

Por simplificar vamos a considerar que los  campos varían en el espacio sólo a lo largo  de la dirección de propagación, lo que no es  cierto en el caso de la radiación de un 

dipolo oscilante. 

Ox  Oy 

Oz 

Flechas rojas: campo eléctrico. 

Flechas azules: campo magnético.

Ecuación de ondas. 

Deducción (I).

ò

ò ^{E  r ×   d  l  r = -} _dt  ^{d  B  r × d  S  r}

Aplicando la Ley de Faraday:

( ) ^{x  y  E}  ( ) ^{x    y} 

E  l 

d 

E × = D - D

ò  ^{r r}

Para el primer  término: 

El camino de integración  es el de la figura. 

Ox  Oy 

Oz  

1 

x   x 

E  ^r  

A  F 

C  D 

y  x  x 

l  E  d 

E D D

¶

» ¶

ò ^r × ^r

ò ò

ò ò

ò ^{×   = × + × + × + ×}

A 

F  F 

D  D 

C  C 

A 

l  d  E  l 

d  E  l 

d  E  l 

d  E  l 

d 

E  ^{r r r r r r r r r r}

0  0

Ecuación de ondas. 

Deducción (II). 

Para el segundo término de la Ley de Faraday:

ò ^{× = -} ò ^{× = - ¶} _¶ ^{D D}

-   x  y 

t  e  B 

dS  e 

dt  B  S  d 

d  dt  B 

d 

z  z 

r r r

r  

Ox  Oy 

Oz 

B  ^r  

A  F 

C  D  

1 

x   x 

Nota: DxDy es el área del rectángulo ACDF 

Luego la ley de  Faraday queda: 

t  B  x 

E

¶ - ¶

¶ =

¶

Ecuación de ondas. 

Deducción (III). 

Usando la Ley de Ampere­Maxwell:

ò ^{B  ×   d  l  =}

_dt  ^d  ò ^{E  × d  S} 

C 

r r r r

e m

Para el  primer  término:

( ) ^{x  z  B}  ( ) ^{x    z} 

B  l 

d  B 

C

D -

D

=

ò  ^r   × ^r

Ox  Oy 

Oz 

B  ^r  

A  F 

C  D  

1 

x   x 

z  x  x 

l  B  d  B 

C

D

¶ D - ¶

=

ò ^r × ^r

El camino de integración es el  de la figura.

ò ò

ò ò

ò ^{×   = × + × + × + ×}

A 

F  F 

D  D 

C  C 

A  C 

l  d  B  l 

d  B  l 

d  B  l 

d  B  l 

d 

B  ^{r r r r r r r r r r}

0  0

Ecuación de ondas. 

Deducción (IV). 

Para el segundo término de la Ley de Ampere­Maxwell:

ò ^{E  ×   d  S  =} _dt  ^d  ò ^{E  e  × dS  e  = ¶} _¶ ^E  _t  ^{D x  D z} 

dt  d 

o  o  y 

y  o 

o  o 

o

e m e m e

m ^{r   r r r}

t  E  x 

B 

o 

o

¶

- ¶

¶ =

¶ m e

Nota: DxDy es el área del rectángulo ACDF 

Luego la ley de Ampere­ 

Maxwell queda: 

Ox  Oy 

Oz   x

x 

A  F 

C  D  E  ^r

Ecuación de ondas. 

Deducción (V). 

Tenemos dos ecuaciones: 

t  B  x 

E

¶ - ¶

¶ =

¶  

t  E  x 

B 

o 

o

¶

- ¶

¶ =

¶ m e

(I)  (II)

÷ = ø ç ö

è æ

¶

¶

¶

¶  

x 

E  

2 

x  E

¶

¶ 

2 

t  E  x 

B  t 

t  B 

x 

¶

= ¶

÷ ø ç ö

è æ

¶

¶

¶

= ¶

÷ ø ç ö

è æ

¶

¶

¶ - ¶

= m e

Haciendo: 

Queda: 

2  2  2 

2 

t  E  x 

E 

o 

o

¶

= ¶

¶

¶ m e

Por un 

procedimiento  análogo se  llega a: 

2  2  2 

2 

t  B  x 

B 

o 

o

¶

= ¶

¶

¶ m e

Ecuación de ondas. 

Velocidad de propagación. 

Se llaman ecuaciones de ondas, porque sus soluciones son ondas que  se propaga con velocidad v. 

2  2  2  2 

2 

1  

t  f  c 

x  f

¶

= ¶

¶

Las ecuaciones del tipo: 

¶

Como hemos encontrado: 

2  2  2 

2 

t  E  x 

E 

o 

o

¶

= ¶

¶

¶ m e

Conclusión: Las ecuaciones de Maxwell en el vacío predicen la  existencia de ondas electromagnéticas cuya velocidad es: 

km/s  000 

,  300  10 

4  10 

85  .  8 

1  1 

7 

12

=

´

´

´

=

=

m p

e 

c

Ecuación de ondas. 

Solución general. 

2  2  2  2 

2 

1  

t  f  c 

x  f

¶

= ¶

¶

La solución general de la ecuación: 

¶

Es:  O bien: 

Frecuencia angular (rad/s). 

Frecuencia natural (Hz)  Período 

Número de ondas (m ^­1 ).  Longitud de onda (m) 

k w

p w  

=   2 f 

k l   2 p

=

w p  

=   2 T

( ) ^{x  t  A}  ( ^{t  kx}  )  

f ,  = cos  w   -

Ondas que se propagan en el  sentido positivo del eje Ox.

( ) x  t  A  ( t  kx  )  

f ,  = cos  w   +

Ondas que se propagan en el  sentido negativo del eje Ox.

Ecuación de ondas. 

Solución general. Ejemplo. 

Ejemplo:

^f ( ) ^{t  = A  cos} ( ^{2  p t    - 2  p x}  )  

Dirección de  propagación.

Ecuación de ondas. 

Longitud de onda. 

La longitud de onda es la distancia entre dos crestas 

(máximos) o dos valles (mínimos) consecutivos de la onda.

( ) ^{t  A}  ( ^{t  x}  )  

f = cos 2  p   - 2  p

l

Ecuación de ondas. 

Relación de dispersión.

( ^{t  kx}  )  

A  x  k 

f = - -

¶

¶

cos  w  

2 

Sustituyendo en la ecuación de ondas:

f ( ) x  , t  = A  cos  ( w t    - kx  )  

( ^{t  kx}  )  

c  A  t 

f 

c ¶ ^{= - -}

¶ w   w

1 

cos 

2  2 

2  2 

Luego ha de 

cumplirse:  O bien: 

Ambas fórmulas reciben el nombre de relación de dispersión. 

La relación de dispersión establece una dependencia entre la  longitud de onda, el período y la velocidad de propagación. 

k w c 

=  

T l c 

=

Ecuación de ondas. 

Relación entre  E  y  B . 

En nuestro ejemplo, tenemos:

E  ( ) t  =  E 

cos  ( kx  - w t  )  

Para hallar el campo magnético, hacemos:

( ^{kx  t}  )  

k  t  E 

B  x 

E 

o

- w

-

¶ = - ¶

¶ =

¶  seno ^B  ( ) ^{x  , t  =}   ò ^E 

^{k  seno}  ( ^{kx  - w t}    ) ^dt  ( ) ^{x  t  E  k}  ( ^{kx  t}  )  

B 

w

w ^-

=  cos 

, 

Conclusión: El campo eléctrico y el  magnético oscilan en fase y sus  amplitudes están relacionadas por: 

c  B 

=   E 

Ox  Oy 

Oz 

E  ^r  

B  ^r

Dirección de  propagación.

Ecuación de ondas. 

Energía transportada por una onda  electromagnética. 

Como:

E  ( ) t  =  E 

cos ( kx  - w t  )   ^B  ( ) ^{x  ,   t  =  B} 

^cos  ( ^{kx  - w t}  )  

Ox  Oy 

Oz 

E  ^r  

B  ^r

Dirección de  propagación. 

En un instante dado, la densidad de energía en un punto vale:

[ ( ) ] 

2  1  

t  E 

u 

= e

[ ( ) ] 

2  1  

t  B  u 

o 

m

⁼ m

( ) t    u 

u 

u = +

Normalmente resulta más útil  saber los valores medios, que  usando los valores eficaces del  campo eléctrico y el magnético  son: 

2 

4  1  

o  o 

E 

E 

u =  e

4  1  

o  o 

m 

B 

u ⁼ m

Ecuación de ondas. 

Intensidad de una onda electromagnética.  

Ox  Oy 

Oz 

E  ^r  

B  ^r

Dirección de  propagación. 

Luego la densidad media de energía electromagnética en un  punto alcanzado por la onda es: 

2  2  2 

2  2 

4  1  4 

1  4 

1  4 

1  

c  E  E 

B  E 

u 

o  o 

o  o 

o  o 

o

e m

e + m = +

=

Se llama intensidad I de la onda  a la cantidad de energía por 

unidad de superficie y tiempo que  pasa por un determinado punto  alcanzado por la onda. 

2 

2  1  

o  o 

cE  c 

u 

I = = e

(Vatios/m ² ) 

2 

2  1  

o  o 

E 

u = e

Ecuación de ondas. 

Vector de Poynting. 

Si tenemos en cuenta el carácter  vectorial de los campos, en nuestro 

ejemplo: 

Ox  Oy 

Oz 

E  ^r  

B  ^r

Dirección de  propagación.

( ) t  B  e  ( kx  t  )  

B  r = 

r

cos  - w

( ) ^{t  E  e}  ( ^{kx  t}  )  

E  r = 

r

cos  - w

Resulta que el  vector: 

•  Apunta siempre en la dirección  hacia la que se propaga la 

onda. 

•  El valor medio de su módulo  es  la intensidad de la onda. 

Que recibe el nombre de  vector de P oynting: 

B  E 

G 

o 

r r r

´

= m   1 

Estas propiedades se cumplen  también para cualquier otra onda  electromagnética.

Ondas planas. 

Definición. 

El ejemplo que hemos estado utilizando es una onda plana. 

Una onda plana es aquella en la que, en un instante dado, el  campo eléctrico y el magnético son constantes en cada plano  perpendicular a la dirección de propagación. 

•  La ecuación general de una onda plana es: 

Los planos perpendiculares a la dirección de propagación reciben el  nombre de frentes de ondas.

( ^{t  k  r}  )  

E 

E  ^r = ^r

cos   w   - ^r × ^{r B  r = B  r}

^cos  ( ^{w   t  - k  r × r  r} )   r  ^r = x  e  ^r

+ y  e  ^r

+ z  e  ^r

Recibe el nombre de vector de onda. Su módulo es el número  de ondas k y apunta en la dirección de propagación. 

k  ^r

E y B deben ser perpendiculares y cumplir ExB // k.

Ondas planas. 

Ejemplo. 

Flechas rojas: campo  eléctrico. 

Flechas azules: campo  magnético. 

Frentes de ondas. 

k  ^r

Ondas planas. 

Ejemplo en ondas en líquidos. 

Frentes de ondas.

Espectro electromagnético. 

Todas las ondas electromagnéticas tienen la misma 

naturaleza, la única diferencia esencial entre ellas radica en su  frecuencia (o longitud de onda). 

Sin embargo, dependiendo de su longitud de onda, varían: 

•  Los efectos que producen sobre la materia. 

•  La forma en la que interaccionan con la materia. 

•  Los fenómenos físicos que la producen. 

Se llama espectro electromagnético a la clasificación de las  ondas electromagnéticas según su longitud de onda, de acuerdo  con sus efectos y fenómenos que las producen.

Espectro electromagnético. 

Corrientes libres 

Fenómenos nucleares 

Transiciones electrónicas de  capas internas,  aceleración  sobre cargas moviéndose a  velocidades relativistas. 

Transiciones electrónicas de  capas superficiales. 

Excitaciones  rotacionales y  vibracionales de  moléculas.

Espectro electromagnético. 

•  La razón última de las diferencias entre unas ondas y otras se debe a  que las ondas electromagnéticas son producidas por la materia e 

interaccionan con ella como partículas (fotones). 

•  La energía E de los fotones está relacionada con su frecuencia f  en la forma: 

hf  E =

Constante de P lanck (6.63x10 ^­34 J .s) 

P ara producir radiación electromagnética de una frecuencia f  hace falta un proceso microscópico que involucre una energía E. 

h