Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias

Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias

Departamento de Matem ´aticas

Inducci ´on Matem ´atica: Sucesiones y Sumatorias– p.1/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros.

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres,

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Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos,

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

Inducci ´on Matem ´atica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente.

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

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Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente".

Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón:

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Sucesiones: Idea

Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,

dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .

El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón:

Posición en el renglón 1 2 3 4 5 6 7 . . . Número de ancestros 2 4 8 16 32 64 128 . . .

Sucesión: definición

Definici ´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . , a_n (1)

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Sucesión: definición

Definici ´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . , a_n (1)

Cada elemento a_k (léase “a sub k”) se llama término.

Sucesión: definición

Definici ´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . , a_n (1)

Cada elemento a_k (léase “a sub k”) se llama

término. La letra k en a_k se conoce como subíndice o índice.

Inducci ´on Matem ´atica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15

Sucesión: definición

Definici ´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . , a_n (1)

Cada elemento a_k (léase “a sub k”) se llama

término. La letra k en a_k se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial.

Sucesión: definición

Definici ´on

Una sucesión es una lista ordenada de elementos:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . , a_n (1)

Cada elemento a_k (léase “a sub k”) se llama

término. La letra k en a_k se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. n es el súbíndice del término final.

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Sucesión infinita: definición

Definici ´on

Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . (2)

Sucesión infinita: definición

Definici ´on

Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista:

a_m, a_m+1, a_m+2, . . . (2)

Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es una fórmula en función de k que

evaluada en k da el término a_k.

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Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula:

a_n = 3 bn

3 c, para n ≥ 4

Ejemplo

Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula:

a_n = blog₂(n)c, para n ≥ 4

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Ejemplo

Determine en orden la fórmula general de la

sucesión a₁, a₂, a₃, . . . dados los términos iniciales:

a) ¹₂, −²₃, ³₄, −⁴₅, ⁵₆, −⁶₇, . . . b) ¹₃, ²₉, ₂₇³ , ₈₁⁴ , ₂₄₃⁵ , ₇₂₉⁶ , . . .

c) −6, 6, −6, 6, −6, 6, . . . Ubicándola en la lista 1. a_n = ₃ⁿⁿ

2. a_n = 6 × (−1)ⁿ

3. a_n = 3 (−1)ⁿ (−1 + n) 4. a_n = (−1)⁽¹⁺ⁿ⁾ _1+nⁿ

Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

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Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

representa la suma desarrollada

a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n

Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

representa la suma desarrollada

a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L.

Lagrange.

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Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

representa la suma desarrollada

a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,

Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

representa la suma desarrollada

a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma,

Inducci ´on Matem ´atica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15

Notación de Suma

La notación:

n

X

k=m

a_k (3)

representa la suma desarrollada

a_m + a_m+1 + a_m+2 + · · · + a_n

Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.

L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice superior de la suma.

Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a_k (4)

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Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a_k (4)

representa la producto desarrollada

a_m · a_m+1 · a_m+2 · · · a_n

Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a_k (4)

representa la producto desarrollada

a_m · a_m+1 · a_m+2 · · · a_n

En la notación de producto, k se llama índice,

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Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a_k (4)

representa la producto desarrollada

a_m · a_m+1 · a_m+2 · · · a_n

En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto,

Notación del Producto

La notación:

n

Y

k=m

a_k (4)

representa la producto desarrollada

a_m · a_m+1 · a_m+2 · · · a_n

En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto, n se llama el índice superior del producto.

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Ejemplo

Determine en orden la evaluación de cada fórmula:

1. ^Q3_n=1 n²

2. ^P0_n=0 2ⁿ (3 + n) 3. ^P5_n=1 n (1 + n)

Ejemplo

Indique en orden la versión compacta de cada desarrollo:

a) 1 − r + r² − r³ + r⁴ b) 1³ + 2³ + 3³ + . . . + k³

c) 1² + 2² + 3² + . . . + k² dentro de la lista:

1. ^P4_i=0(−1)ⁱrⁱ 2. ^Pk_n=1 n³

3. ^Pn_i=3 i 4. ^Pn_i=1 i² 5. ^Pk_n=1 n²

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Ejemplo

Indique en orden la versión desarrollada de cada forma compacta:

a) ^Q4_n=1(n³ − 1) b) ^Q4_n=2(n² − 1) c) ^Q4_n=1(1 − t⁴) dentro de la lista:

1. (2² − 1) · (3² − 1) · (4² − 1) 2. 1 + 2 + 3 + . . . + n

3. (1 − t) · (1 − t²) · (1 − t³) · (1 − t⁴) 4. (1 − t²) · (1 − t³) · (1 − t⁴)

5. (1³ − 1) · (2³ − 1) · (3³ − 1) · (4³ − 1)

Propiedades de las Sumatorias

Si a_m, a_m+1,. . . y b_m, b_m+1, b_m+2,. . . son sucesiones de

números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:

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Propiedades de las Sumatorias

Si a_m, a_m+1,. . . y b_m, b_m+1, b_m+2,. . . son sucesiones de

números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:

n

X

k=m

a_k +

n

X

k=m

b_k =

n

X

k=m

(a_k + b_k) ⁽⁷⁾

Propiedades de las Sumatorias

Si a_m, a_m+1,. . . y b_m, b_m+1, b_m+2,. . . son sucesiones de

números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:

n

X

k=m

a_k +

n

X

k=m

b_k =

n

X

k=m

(a_k + b_k) ⁽⁷⁾

c

n

X

k=m

a_k =

n

X

k=m

c a_k (7)

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Propiedades de las Sumatorias

Si a_m, a_m+1,. . . y b_m, b_m+1, b_m+2,. . . son sucesiones de

números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple:

n

X

k=m

a_k +

n

X

k=m

b_k =

n

X

k=m

(a_k + b_k) ⁽⁷⁾

c

n

X

k=m

a_k =

n

X

k=m

c a_k (7)

à _n Y

k=m

a_k

!

·

à _n Y

k=m

b_k

!

=

n

Y

k=m

(a_k · b_k) ⁽⁷⁾

Ejemplo de corrimiento de índice

Ejemplo

Indique a cuáles sumatorias es equivalente la siquiente:

12

X

n=1

(2 + 5 n)

dentro de la lista:

1. ^P22_j=11 (−48 + 5 j) 2. ^P7_i=−4 (27 + 5 i) 3. ^P17_n=6 (−23 + 5 n) 4. ^P2_k=−9 (52 + 5 k) 5. ^P23_m=12 (−53 + 5 m)

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Ejemplo

Determine en orden los valores de A, B y C para que

A

X

k=0

(C + B k) se igual a la suma :

−2

12

X

j=3

(3 − 5 j) +

6

X

j=−3

(4 + j)