Estimativas en espacios de dimensión infinita vía procesos Gaussianos

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSGRADO UNIDAD DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES. ESTIMATIVAS EN ESPACIOS DE DIMENSIÓN INFINITA VÍA PROCESOS GAUSSIANOS. Tesis presentada por el bachiller: Brito Elmer Sierra Huahuachampi Para optar el Grado Académico de Maestro en Ciencias: Matemáticas, con mención en Modelación Matemática. Asesor:. Dr.. Richard. Troncoso.. AREQUIPA – PERÚ 2019. Manuel. Mamani.

(2) “TITULO: ESTIMATIVAS EN ESPACIOS DE DIMENSIÓN INFINITA VÍA. PROCESOS GAUSSIANOS ”. Tesis presentada por :. Bach. Brito Elmer Sierra Huahuachampi. JURADO DICTAMINADOR:. -. Dra. Claudia Luque Justo. …..……………….….………….. (Presidente). -. Dr. Dugan Paul Nina Ortiz. -. Dr. Richard Manuel Mamani Troncoso (Asesor). .…..……………………….…….. …..……………….…….………..

(3) DEDICATORIA Mi tesis la dedico con todo mi amor y cariño a mi amada esposa Carina Viza por creer en mi capacidad brindándome comprensión, cariño y amor. A mis amados hijos Joaquín, Yvana por ser mi fuente de motivación e inspiración para poder superarme y así poder luchar para un futuro mejor. A mis padres por todo su apoyo y ejemplos de vida..

(4) AGRADECIMIENTO. A la primera persona, que quiero agradecer es a mi Asesor el Doctor Richard Manuel Mamani Troncoso, que sin su ayuda y conocimientos no hubiese sido posible realizar esta Tesis. A mis padres, por haberme proporcionado la mejor educación y lecciones de vida. A mis compañeros de clase, con los que he compartido grandes momentos. A la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa por ser mi Alma Mater de grandes conocimientos. Y a Dios por permitirme vivir para poder realizar todos estos proyectos. Gracias a todos..

(5) Índice general 0.1.. RESUMEN .. 0.2.. ABSTRAC. 0.3.. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Nociones básicas de análisis funcional y procesos Gaussianos. 5 7. 1.1. Espacios de Banach y Espacios de Hilbert: espacios funcionales lp y Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Los Espacios lp (1. 7. p < 1) . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.1.2. Los Espacios Lp ([a; b]) . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.1.3. Operadores lineales acotados . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.2. Operadores Lineales Compactos: Operadores lineales y. aco-. tados, entropía de un operador compacto . . . . . . . . . .. 23. 1.3. Espacios de Probabilidad: espacios medibles, variables aleatorias y distribuciones, media y varianza . . . . . . . . . . . . .. 24. 1.3.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 1.3.2. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 1.3.3. Tipos de variables aleatorias. . . . . . . . . . . .. 31. 1.3.4. Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 1.3.5. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 1.4. Procesos Estocásticos: procesos Gaussianos, distribuciones …nito dimencionales y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 1.4.1. Distribuciones …nito - dimensionales . . . . . . . . . . .. 36. 1.4.2. Procesos Gaussianos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 1.

(6) 2. Operadores Lineales entre Espacios de Banach-Hilbert.. 38. 2.1. Números de Aproximación: números de Gelfand, Números de Kolmogorov y números de entropía. . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 2.2. Relaciones entre números de aproximación: dominación de los números de entropía por los números de Gelfand y Kolmogorov. 41 2.3. Normas de Operadores sobre espacios de Hilbert: estimativas para la norma de un operador en términos de los números de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3. Estimación de Cotas Superiores e Inferiores para Integrales. 48 3.1. Geometría de los Espacios Normados: volúmenes de cuerpos convexos, Teorema de Dudley-Sudakov . . . . . . . . . . . . .. 2. 59.

(7) 0.1.. RESUMEN. En el presente trabajo presentamos los resultados de la teoría de los procesos Gaussianos principalmente utilizando el teorema de Dudley-Sudakov que proporciona tanto un límite inferior, como uno superior para integrales tales como EsupXi . t2B. Donde (Xt ) es un proceso Gaussiano indexado por el conjunto B. Estas estimaciones están dadas en términos de la métrica d(s; t) = kXt. Xs k2. sobre Be inducirá el menor número de bolas de radio " que son su…cientes para cubrir B. Palabras Claves: Procesos Gaussianos, indexado, métrica, números de aproximación.. 3.

(8) 0.2.. ABSTRAC. In the present work we present the results of the theory of Gaussian processes mainly using the Dudley-Sudakov theorem which provides both a lower limit and a higher limit for integrals such as EsupXi . t2B. Where (Xt ) is a Gaussian process indexed by set B:These estimates are given in terms of the metric d(s; t) = kXt. Xs k2. on Be will induce the smallest number of radius " balls that are enough to cover B. Keywords: Gaussian processes, indexed, metric, approximation numbers... 4.

(9) 0.3.. Introducción. Los procesos Gaussianos son de mucha importancia, pues, tuvieron su inicio en el estudio de predicciones y fueron ampliamente abordados por Wiener y Kolmogorov, a través de las series de tiempo alrededor de los años 1940. Posteriormente, alrededor de los años 1970 recobró mucha más importancia en el estudio de la tierra y los fenómenos climáticos a través de la geo-estadística y la meteorología desarrollada en el plano y el espacio, utilizando 2, 3-dimensiones, respectivamente; debido a lo cual fue denominado “kriging”. Pero más adelante se obtuvieron notables aplicaciones en estadística espacial. Así mismo, también fue ampliamente explorado en el análisis de regresión por O’Hagan alrededor de 1978 y a …nales de los años 1980-1989 los trabajos de Sacks estuvieron direccionados a la realización de algunos experimentos en computadoras (referidas a neutralizar el ruido), logrando así a que posteriormente se popularize recientemente en aplicaciones al aprendizaje computacional y resolución de problemas de regresión, a través de los trabajos de Williams-Rasmussen (1996) y Neal (1996), respectivamente. Así, entonces siguió su desarrollo hasta que fue relacionado con el análisis funcional que es la línea de estudio que seguimos en este trabajo de tesis; nos referimos a que Dudley consiguió probar una estimativa para la cota superior y conjeturó una estimativa para la cota inferior para el valor esperado de un supremo Gaussiano. Luego, Sudakov en 1973 también a…rmó que el valor esperado de un supremo Gaussiano, está delimitado inferiormente por una constante dada por una integral de entropía métrica y que posteriormente consiguió probarlo en 1976 y es en esa línea de estudio que pretendemos trabajar a lo largo de esta tesis. En este trabajo de tesis nos proponemos estudiar, desarrollar e ilustrar algunos resultados que permiten, posteriormente relacionar el volumen de cuerpos convexos en Rn , distribuciones Gaussianas y la geometría de los correspondientes espacios normados siguiendo la línea de estudio de Pisier G., a través del uso de ideas tradicionales desde la teoría de procesos Gaussianos y su relación con el análisis funcional referidos a el conocido teorema de Dudley5.

(10) Sudakov, en donde a través de la cual se dan estimativas superiores e inferiores para las integrales dadas por medias ponderadas a través de procesos Gaussianos y en términos de una métrica apropiada de…nida sobre una bola que envuelve números pequeños de bolas de d-radios, lo su…ciente como para cubrir la bola dada. Así mismo, se tratará de reformular esas desigualdades en términos de los números de entropía de operadores lineales compactos formalmente introducidos por Pietsch e inicialmente motivados por Mityagin B., siguiendo la línea de estudio de Dudley y Sudakov. El presente trabajo de tesis que deseamos desarrollar pretende motivar, incentivar y difundir el estudio de los procesos gaussianos y su interacción con el análisis funcional a través de la teoría de conjuntos convexos, probabilidades, teoría de aproximación y teoría local de espacios de Banach con la …nalidad de conseguir estimativas para las cotas superiores e inferiores del valor esperado del supremo de un proceso Gaussiano. Así mismo, se pretende establecer vínculos de trabajo con docentes de otras instituciones dedicados a este tema y/o a…nes con la …nalidad de lograr un avance y conocimiento profundo para luego obtener mejores resultados. El presente trabajo de tesis está estructurado en tres capítulos: En el primero se involucran nociones y contenidos que corresponden a las áreas del análisis funcional y espacios de probabilidad. En el segundo se presentan operadores lineales entre espacios de BanachHilbert. En el tercer capítulo se presenta las estimativas de cotas superiores e inferiores para integrales. Finalmente, se presenta las conclusiones. 6.

(11) Capítulo 1 Nociones básicas de análisis funcional y procesos Gaussianos Sea | el campo R de los números reales o el campo C de los números complejos y sea X un espacio vectorial sobre | (los elementos de | son llamados escalares); entonces introduciremos los espacios funcionales necesarios para el desarrollo del presente trabajo de Tesis.. 1.1.. Espacios de Banach y Espacios de Hilbert: espacios funcionales lp y Lp. De…nición 1 Si X es un espacio vectorial sobre | , una norma en X es una función k:k : X ! R. x ! kxk ;de X en R+ 0;. tal que satisface: N1) kxk. 0 , 8x 2 X;. kxk = 0 , x = 0. N2) k xk = j j kxk ( 2 |; x 2 X). N3) kx + yk. kxk + kyk ,8x; y 2 X (Desigualdad triangular). 7.

(12) Un espacio normado es un par (X; k:k) ;donde X es un espacio vectorial. y k:k es una norma en X:. De…nición 2 Sea X un espacio vectorial . Sean k:ka y k:kb dos normas en el espacio X . Se dice que k:ka y. k:kb son equivalentes cuando existen dos. constantes positivas c1 y c2 tales que c1 kxka. kxkb. c2 kxka ; 8x 2 X. Claramente dos normas equivalentes inducen la misma topologia en X: A partir de los espacios normados, podemos construir otros espacios normados como por ejemplo: Producto de espacios normados Sean (X; k:kX ) ; (Y; k:kY ) dos espacios normados.y X Dados (x; y) ; (x0 ; y 0 ) en X 0. 0. 0. Y = f(x; y) : x 2 X; y 2 Y g :. Y , c 2 |, de…nimos las operaciones. (x; y) + (x ; y ) = (x + x ; y + y 0 ) c (x; y) = (cx; cy) Entonces, el conjunto X. Y con esas operaciones es un espacio lineal. A. partir de aquí se de…nen las normas en X. Y:. k(x; y)k1 = kxkX + kykY k(x; y)k1 = max fkxkX , kykY g y a su vez estas son equivalentes. De…nición 3 Sea V. X; V es un subespacio lineal si V 6=. y V es estable. con respecto a las operaciones de suma y producto por un escalar (esto es lo que en algebra lineal usualmente se llama subespacio). A partir de aquí podemos decir que V. X es una variedad lineal, si la translación al origen. es un subespacio vectorial.. 8.

(13) De…nición 4 Si M es una variedad lineal y M es cerrado. Sea (X; k:k) un espacio normado y sea M. X una variedad lineal,. de…nimos:. X=M = fx + M : x 2 Xg Denotaremos: [x] = x + M; la clase de equivalencia Si x; y 2 X;. un escalar de…nimos:. [x] + [y] = [x + y] [x] = [ x] : Con estas operaciones X = M es un espacio vectorial. Si además M es un subespacio , para [x] 2 X = M , podemos de…nir las. aplicaciones k[x]kX. =M. = d (x; M ) = nf kx + mkX , que evidentemente son normas m2M. Proposición 1 k:kX. es una norma en X = M:. =M. Demostración a) De forma directa k[x]kX. b) Si k[x]kX. =M. 0; 8 [x] 2 X = M. =M. = 0; entonces d (x; M ) = 0. Como M es cerrado tenemos que x 2 M . Se sigue [x] = 0: c) Dados. 2| y x2X. k[ x]kX. =M. =. nf k x + m kX = nf k x + mkX. m 2M. m2M. nf j j kx + mkX. m2M. = j j k[x]kX. =M. d) Dados x; y 2 X. Si m1 ; m2 2 M kx + y + m1 + m2 kX. kx + m1 kX + ky + m2 kX. De k[x] + [y]kX. =M. = k[x + y]kX. =M. = nf kx + y + mkX = nf kx + y + m1 + m2 kX m2M. nf kx + m1 kX + nf ky + m2 kX = k[x]kX. m1 2M. m2 2M. 9. m2M. =M. + k[y]kX. = M:.

(14) De…nición 5 Sea X un conjunto no vacio. Sea d : X. X. que d es una metrica en X cuando se veri…ca: d1) d(x; y) d2) d(x; z). ! R; decimos. 0, 8x; y 2 X; d(x; y) = d(y; x), 8x; y 2 X. d(x; y) + d(y; z), 8x; y; z 2 X. d3) d(x; y) = 0 () x = y. El numero real d(x; y) recibe el nombre de distancia entre x y. y:. En este caso se dice que el par (X; d) es un espacio métrico.. Claramente podemos ver que todo espacio normado (X; k:k) se convierte. automaticamente en un espacio metrico con la distancia inducida por la norma d (x; y) = kx. yk ; 8x; y 2 X:. De…nición 6 Sea fxn g una sucesión en X. Decimos que fxn g converge a un punto x 2 X si para todo " > 0 existe un número natural N tal que si n 2 N y n > N entonces d(xn ; x) < " l m xn = x. n!1. en. (X; d). De…nición 7 La sucesión fxn g en X es convergente si existe x 2 X tal que fxn g converge a x en (X; d).. Sea fxn g una sucesión en X. Decimos que fxn g es una sucesión de Cauchy. si para cada " > 0 existe N 2 N tal que d(xn ; xm ) < ", si n; m > N. Claramente podemos ver que toda sucesión de Cauchy que tenga una sub-. sucesión convergente resulta ser convergente. Además el límite de la sucesión coincide con el límite de la subsucesión. De…nición 8 Sea A. X. Decimos que A es completo cuando toda sucesión. de Cauchy es convergente en A De…nición 9 Sea X un espacio vectorial normado y sea d la métrica asociada. Si X es un espacio métrico completo con respecto a d se dice que X es un espacio de Banach.. 10.

(15) Ejemplo 1 Los siguientes espacios normados son espacios de Banach a) R con la norma dada por el valos absoluto. b) C con el modulo complejo. c) lpn = Rn ; k:kp donde k(x1 ; :::; xn )kp = para 1. p<1. n P. i=1. 1=p. jxi jp. n = (Rn ; k:k1 ) donde d) l1. k(x1 ; :::; xn )k1 = max fjx1 j ; ::: jxn jg e) Para 1 lp =. p < 1 sea. fxn gn. 1. 1 P. : xn 2 R y. donde para x = fxn gn 1=p 1 P p kxkp = jxi j. 1. i=1. jxi jp < 1. 2 lp se de…ne. i=1. Es necesario indicar que la desigualdad triangular no se cumple para 0 < p < 1:. Ejemplo 2 Sea l1 =. fxn gn. donde para x = fxn gn. 1. 1. : xn 2 R y sup jxn j < 1 n. 1. 2 l1 se de…ne la función kxk1 = sup jxn j n 1. n Ejemplo 3 Sea c = fxn gn. n Ejemplo 4 Sea c0 = fxn gn. 1. : xn 2 R y 1. : xn 2 R y. existe existe. l m xn. n !1. o. con k:k1. o l m xn = 0 con k:k1. n !1. En los ejemplos anteriores R puede ser reemplazado por C, tambien N puede ser reemplazado por Z y así surgen otros espacios de Banach Ejemplo 5 Para 1 `p (Z) =. p<1. fxn gn2Z : xn 2 C y. donde. P. n2Z. jxn jp < 1. x = fxn gn2Z 2 `p (Z) 11.

(16) Se de…ne P. kxkp =. n2Z. 1=p p. jxn j. La desigualdad triangular falla para 0 < p < 1: Ejemplo 6 C [a; b]= fg : [a; b] ! R; g es continuag donde a; b 2 R , a < b. kf k1 = max fjf (x)j ; x 2 [a; b]g. es un espacio de Banach.. Sea X un espacio normado, se tiene fxn g es una sucesión de elementos de. X, luego se de…ne una serie como una sucesión de sumas parciales; donde n P sn = x1 + ::: + xn = xk , es la n-ésima suma parcial de la serie. k=1. De…nición 10 Sea fxn gn 1 X +1 P La serie xn converge cuando la sucesión de sumas parciales fsn g es convergente. La serie. n=1. +1 P. xn. n=1. divergente.. diverge cuando la sucesión de sumas parciales fsn g es. Sea s 2 X; si la sucesión fsn g converge a s, entonces +1 P xn = s en X o l m sn = s en X n !+1. n=1. Signi…cando que: n P lm xk s. n !+1. k=1. = X. l m ksn. skX = 0. n !+1. Debemos tener claro que. a) s 2 X (s es un vector). b) s no se obtiene simplemente por adición, s es el límite de una sucesión de sumas De…nición 11 Sean fxn gn absolutamente cuando. 1 P. n=1. 1. X, decimos que la serie. kxn k < 1. 1 P. xn. n=1. esta convergencia es en R: 12. converge.

(17) Recalcamos que la serie. 1 P. n=1. kxn k no es una suma in…nita de vectores, sino. una suma in…nita de numeros reales y por tanto en el caso que converja su límite sera un número real. A continuación daremos dos resultados cuando X es completo, es decir cuando X es un espacio de Banach Teorema 1 (Criterio de Cauchy) SeanX un espacio de Banach y fxn gn 1 X: +1 P La serie xn converge en X si y sólo si para cada " > 0 existe un número n=1. natural no talque M P xn < "; si no n=K. K. M. X. Demostración : Si K M entonces M K M P P1 P sM sK 1 = xn xn = xn entonces ksM. n=1. n=1. M P. sK 1 k =. n=K. xn. n=K. Como X es completo, la serie. +1 P. xn converge si y sólo si la sucesión de. n=1. sumas parciales fsn g es de Cauchy .. De estos dos hechos es inmediato el resultado. Corolario 1 Sea X un espacio de Banach, si la serie. +1 P. xn converge en X. n=1. entonces l m xn = 0. n !1. Demostración 8n. 1; consideremos. kxn k = k(x1 + x2 + ksn Luego, 8" > 0; 9no. Tomando, m = n. + xn ). (x1 + x2 +. + xn 1 )k. sn 1 k 1 talque 8m; n. 1; n. no ; se cumple ksn. no ; se tiene kxn k = ksn 13. sm k < ". sn 1 k < "; 8n. no :.

(18) Proposición 2 Sea X un espacio de Banach , si la serie +1 P. entonces la serie. +1 P. n=1. xn converge en X.. kxn k converge. n=1. Demostración Supongamos que la serie numérica. +1 P. n=1. kxn k converge. Sea. " > 0 , por la desigualdad triangular y por el teorema anterior existe N 2 N. tal que que si m. m P. N entonces. k. xn. n=k. Por el teorema anterior tenemos. m P. n=k 1 P. kxn k < ". xn converge.. n=1. Teorema 2 Sea (X; k:k) un espacio normado, entonces X es completo si y sólo si toda serie en X absolutamente converge es convergente.. Demostración ()) Inmediatamente por la Proposición anterior (() Sea fxn gn. X una sucesión de Cauchy. 1. Sea n1 2 N tal que kxn. xn1 k <. 1 2. kxn. xn2 k <. 1 22. si n. n1. Sea n2 2 N tal que n2 > n1 y además si n. n2. Así, obtenemos una subsucesión fxnk g de fxn g tal que xnk+1. xnk <. Luego, 1 P xnk+1. xnk. k=1. 1 2k. 1 P. k=1. 1 2k. Donde la serie 1 P xnk+1 xnk es absolutamente convergente . Por lo tanto es converk=1. gente. Sea x= lm De N P. N P. N !1 k=1. xnk+1. xnk+1. xnk = xn N. xnk xn1. k=1. 14.

(19) se tiene que l m xn N = x + xn1. N !1. Por lo tanto fxnk g converge. Como fxn g es de Cauchy, entonces fxn g converge. De…nición 12 Sea X un espacio vectorial, decimos que X es un espacio de Hilbert si es un espacio vectorial con producto interno y que el espacio normado inducido es completo. Es decir, si d es la métrica inducida por la norma en X, inducida a su vez por el producto interno, entonces (X; d) es completo. Si X es un espacio con producto interno, escribiremos el producto interno de x; y 2 X como hx; yi : Proposición 3 (Identidad del paralelogramo) Si x; y 2 X, entonces kx + yk2 + kx. yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2. Demostración Sean x; y 2 X. Entonces. kx + yk2 + kx. yk2 = hx + y; x + yi + hx. y; x. yi. = hx; xi + hx; yi + hy; xi + hy; yi + hx; xi = 2 kxk2 + 2 kyk2. hx; yi. hy; xi + hy; yi. Dados x; y 2 X son ortogonales si hx; yi = 0 y lo denotamos x ? y Proposición 4 (Continuidad del producto Interno) Sea X un espacio con producto interno. Entonces h:; :i : X. X ! R es continua.. Demostración Es su…ciente con mostrar que, xn ! x. X, entonces (xn ; yn ) ! (x; y) en |:. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz j(xn ; yn ). (x; y)j. j(xn. x; yn )j + j(x; yn 15. y)j. y. yn ! y en.

(20) kxn. xk kyn k + kxk kyn. Como (yn ) converge, es acotada digamos kyn k. yk M para todo n.. Entonces, dado " > 0, tomamos N tal que, para n kxn. xk <. " 2M +1. Entonces, si n j(xn ; yn ). 1.1.1.. kyn. kxn. xk kyn k + kxk kyn. N. (x; y)j. " 2kxk+1. y. " M 2M +1. yk <. N. yk. " + kxk 2kxk+1 <. " 2kxk+1. < ":. p < 1). Los Espacios lp (1 Para 1. p < 1, denotaremos por lp al espacio de las +1 P sucesiones fxn g tal que la serie jxn jp < 1 es convergente, es decir De…nición 13. lp =. (. n=1. fxn g :. +1 X n=1. ). jxn jp < 1. (1. p < 1). Si tomamos las sucesiones fxn g ; fyn g 2 lp ; c 2 | y de…nimos fxn g + fyn g = fxn + yn g. c fxn g = fcxn g ; entonces por la desigualdad de Minkowski, obtenemos: +1 X n=1. fxn + yn gp. ! p1. +1 X n=1. fxn gp. ! p1. +. +1 X n=1. para cualesquiera fxn g y fyn g de números reales y 1. fyn gp. ! p1. p < 1:. A partir de la desigualdad de Minkowski, es fácil deducir que lp es un. espacio vectorial sobre |: Luego de…niendo ! p1 +1 X kxn kp = jxn jp n=1. (xn 2 lp ). se obtiene una norma en lp :. Así mismo para p = 1, el espacio de sucesiones acotadas l1 con la suma. de sucesiones y multiplicación por un escalar es un espacio vectorial. Luego, si de…nimos la función: kxn k1 = sup jxn j n2 N. 16.

(21) Así, obtenemos una norma y por lo tanto, (l1 ; k:k1 ) es un espacio normado,. vamos ahora a demostrar que lp es un espacio de Banach.. Sea fxn g una sucesión de Cauchy en lp y …jamos k 2 N, consideremos la. sucesión de escalares fxn (k)g, donde fxn (k)g = (xn (1) ; xn (2) ; : : : ; xn (k) ; : : :) Para cualesquiera m; n 2 N es claro que jxn (k). xm (k)j. kxn. xm kp , así. que fxn (k)g es una sucesión de Cauchy en |, luego es una sucesión convergente.. Para cada k 2 N; tomamos x(k) = l m xn (k). Nuestro objetivo es comn!1. probar que:. nx 2 lp o kxn xkp ! 0.. Empezamos …jando un " > 0 y fxn g es una sucesión de Cauchy en lp. para encontrar un no 2 N tal que para n; m Para N 2 N tenemos: N P jxn (k) xm (k)jp. p. kxn. k=1. Fijado un natural n. xm kp. no se tenga kxn. xm kp < ".. < "p. no , la desigualdad anterior, es válida para m. no ;. esto nos permite escribir N X k=1. jxn (k). p. x (k)j = l m. m!1. N X. k=1. jxn (k). xm (k)jp. "p. puesto que N 2 N era arbitrario deducimos que: N X. k=1. Hemos probado que xn. x (k)jp. jxn (k). "p. x 2 lp , luego también x = xn. por la última desigualdad obtenemos kxn Como esto último es válido para n converge a x:. 17. xkp. ":. (xn. x) 2 lp ;. no , tenemos que la sucesión fxn g.

(22) 1.1.2.. Los Espacios Lp ([a; b]). Ahora consideremos el espacio de funciones medibles p-integrables de…nidos en el intervalo [a; b] y que toma valores escalares. Es decir, Lp ([a; b]), el espacio de funciones integrables de potencia p de Lebesgue en el intervalo [a; b] con la norma 0. kf kp = @. Zb. a. 11=p. jf (x)jp dxA. Para p = 1 el espacio L1 ([a; b]) consiste de todas las funciones medibles. son esencialmente acotadas en [a; b] según Lebesgue f : [a; b] ! R, es decir que f es acotada en [a; b] excepto posiblemente en un subconjunto de medida. nula. La norma en L1 ([a; b]) esta dada por la función. kf k1 = nf fM : jf (x)j. M en [a; b] g. Así el par Lp ([a; b]) ; j:jp es un espacio normado con la suma de funciones. y multiplicación por un escalar.. Teorema 3 (Riesz - Fisher) Los espacios funcionales Lp (X) son espacios de Banach Demostración Sea ffn g una sucesión de Cauchy en Lp (X), nuestro ob-. jetivo es demostrar que la sucesión es convergente.. Sabemos que una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es siempre convergente. Lo que haremos es extraer una subsucesión de ffn g convergente. Primero elegimos un índice N1 tal que kfn. fm k <. kfn. fm k <. 1 2. si n; m > N1. Enseguida elegimos un N2 > N1 tal que 1 2 2. si n; m > N2. y así sucesivamente . Costruimos una subsucesión. n o f^k de ffn gde la siguiente manera: 18.

(23) f^1 = fN1 +1 ,. f^2 = fN2 +1 , ..... , f^k = fNk +1 .... de donde obtenemos f^1 f^2 < 12 , f^2 f^3 <. 1 , 22. ... , f^k. f^k+1 <. 1 2k. .... Sea gk = f^k. f^k+1. Entonces: R kgk k = X. f^k. f^k+1. 1=p. p. dx. = f^k. f^k+1 <. 1 2k. Utilizando la desigualdad triangular kg1 + g2 + :::gn k Sea. G (x) = l m. kg1 k + ::: + kgn k <. n!1 k=1. k=1. tenemos que j lm j. n. (x)jp =. X. 1 22. 1 2n. +. <1. k=1. p nj 1 P. p. n+1 p. , .además el límite:. gk (x). k=1. se tiene Z. +. n 1 P P gk (x) = gk (x). Veremos que pertenece a Lp n P gk (x) (x) = n. n!1. 1 2. p. jGj dx =. Z. X. 1 X. p. gk (x) dx = l m. n!1. k=1. Z. X. n X. k=1. p. gk dx = l m (kg1 + ::: + gn k)p < +1 n!1. Resumiendo obtenemos la ecuación: 1 P G= f^k f^k+1 2 Lp (X). (1). k=1. Denotando 1 P jF (x)j = (f^k. 1 P. f^k+1 ). k=1. f^k. f^k+1. (2). k=1. Resulta facil ver que el mienbro de la izquierda es de potencia p integrable, entonces F (x) =. 1 P (f^k (x). f^k+1 (x)). k=1. Entonces,. F (x) = l m. n!1. Por lo tanto. 1 P (f^k (x). f^k+1 (x)) = l m. n!1. k=1. 19. (f^1 (x). f^n+1 (x)).

(24) l m f^n (x) = f^1 (x). n!1. Denotando: f (x) = f^1 (x). F (x). F (x). (3). viendo que l m f^n (x) = f (x). n o donde f (x) es el límite de f^k es de potencia p integrable. n!1. De (3) sigue jf jp = f^1 F. p. 2p (jf1 jp + jF jp ). y ambos jf1 jp ,. jF jp son integrables. n o Hasta ahora la subsucesión f^n de una sucesión de Cauchy ffn g con-. verge puntualmente a una función f 2 n Lp : o Pero todavía no podemos decir que f^n es convergente según la norma,. como debe suceder si Lp es completo. Usando la ecuación (1) nP1 f^1 f^n = (f^k f^k+1 ) k=1. nP 1. f^k. 1 P. f^k+1. k=1. f^k. f^k+1 = G. k=1. De las ecuaciones (3) ; (2) y (1) 1 P ^ f f^1 = jF j fk f^k+1 = G k=1. Juntando las dos últimas desigualdades f f^n = f f^1 + f^1 f^n f o f. f^n. p. f^1 + f^1. 2p jGjp. Como G 2 Lp , notamos que la sucesión. f. f^n. f^n. 2G. 2 jGj. p. dominada por una función integrable.. para n 2 N. está. Debido a la convergencia puntual f^n (x) ! f (x) l m f (x). n!1. f^n (x). p. =0. Por lo tanto, las condiciones del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue son satisfechas y tenemos Z Z p ^ lm f fn dx = 0dx = 0 n!1. 20.

(25) f^n ! 0, cuando n ! 1. n o Es decir la sucesión f^n converge según la norma a la función f , la cual. Esto signi…ca que f. hemos demostrado que pertenece an Lp .o La convergencia de la sucesión f^k implica la convergencia de la sucesión. de Cauchy original f fn g :. Por lo tanto Lp es un espacio de Banach.. 1.1.3.. Operadores lineales acotados. De…nición 14 Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert. Sea T una aplicación de H1 en H2 diremos que es lineal si se veri…ca que: T (x + y) = T (x) + T (y) ; 8x; y 2 H1 : T ( x) = T (x) ; 8x 2 H1 y. 2 C:. Observemos que cualquier operador lineal satisface T (0) = 0; pues T (0) = T (x. x) = T (x) + T ( x) = T (x). De…nición 15 Decimos que un operador T : H1 ! sup kT xkH2 : kxkH1. T (x) = 0: H2 es acotado si. 1 < 1:. A partir de ahí, podemos de…nir la función k:k : L (H1 ; H2 ) ! R la cual. satisface N1, N2 y N3, por lo que es una norma y es de…nida por kT k = sup kT xkH2 : kxkH1 Proposición 5 Sea T : H1 !. llamada norma del operador. 1. H2 un operador lineal, entonces su norma. veri…ca las siguientes propiedades: 1. kT k = sup kT xkH2 : kxkH1 = 1. 2. kT k = sup jhT x; yij : kxkH1 = kykH2 = 1 = sup jhT x; yij : kxkH1 3. Si kT xk. C kxk ; 8x 2 H1 ; entonces T es acotado y kT k. 4. Si T es un operador acotado entonces kT xk. 21. C:. kT k kxk ; 8x 2 H1. 1; kykH2. 1.

(26) Demostración Es una consecuencia de la de…nición del supremo. 1. Claramente, sup fkT xk : kxk = 1g. Por otro lado, sea x 6= 0 2 H1 con kxk kT xk. kT xk kxk. x = T kxk. sup fkT xk : kxk. 1 . Se tiene que. 1g = kT k. sup fkT xk : kxk = 1g. de donde obtenemos la otra desigualdad. 2. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que si kxkH1 = kxkH2 = 1 , entonces jhT x; yij. Luego, sup jhT x; yij : kxkH1 = kykH2 = 1. kT xk kyk = kT xk. kT k :. kT k :. Ahora, veamos la otra desigualdad. Sea x 2 H1 tal que kxk = 1. Entonces,. si T x = 0 claramente se cumple kT xk. jhT x; yij para todo y 2 H2 .. SupongamosDahora que E T x 6= 0, entonces Tx kT xk = T x; kT xk sup jhT x; yij : kxkH1 = kykH2 = 1 De aquí deducimos que kT k. sup jhT x; yij : kxkH1 = kykH2 = 1. Para probar que kT k = sup jhT x; yij : kxkH1. 1; kykH2. 1. se utiliza. el mismo argumento pero tomando en cuenta de que kT k que coincide con sup kT xkH2 : kxkH1 3. Si kT xk. 1 :. C kxk para todo 8x 2 H1 , entonces el conjunto fkT xk : kxk. está acotado por C y por lo tanto, kT k = sup fkT xk : kxk. x kxk. 1g. C:. 4. Si x = 0, como T (0) = 0 está claro. Supongamos ahora x 6= 0. Entonces es un vector unitario y por lo tanto. kT xk kxk. x = T kxk. kT k. de donde deducimos kT xk. kT k kxk :. De…nición 16 Denotaremos por L (H1 ; H2 ) al conjunto de operadores lineales y acotados entre H1 y. H2 :. Veamos algunos ejemplos de operadores lineales y acotados entre espacios de Hilbert. 22. 1g.

(27) Ejemplo 7 Todo operador lineal de…nido en un espacio de Hilbert de dimensión …nita es acotado. En efecto, sea T : H1 !. H2. un operador lineal. y fx1 ; :::; xn g una base ortonormal de H1 . Entonces cada x 2 H1 se puede n P hx; xi i xi y cuando aplicamos el operador T a esta escribir como x = i=1. combinación lineal obtenemos que: n P Tx = hx; xi i T xi . Así, i=1. kT xk =. n P. i=1. n P. hx; xi i T xi. i=1. n P. jhx; xi ij kT xi k. i=1. Por lo que T es un operador acotado.. kxk kxi k kT xi k = kxk. n P. i=1. kT xi k. Ejemplo 8 Sea fxn g una base ortonormal de un espacio de Hilbert H y sea una sucesión acotada de números complejos. Para cada x 2 H de…nimos. n. Tx =. X. k. k. hx; xk i xk. Claramente T está bien de…nido y es un operador lineal, luego vamos a probar que T también está acotado P kT xk2 = hT x; T xi = j k j2 jhx; xk ij2 k P sup fj k j : k 2 Ng2 jhx; xk ij2 k. Sea M = sup fj k j : k 2 Ng. dado ". kT k. 1.2.. 1 , por ser una sucesión acotada. Además. 0 , existe k 2 N tal que j k j > M kT xk k = j k j. M. sup fj k j : k 2 Ng2 kxk2 ": Luego. ": Y así kT k = M:. Operadores Lineales Compactos: Operadores lineales y. acotados, entropía de. un. operador compacto De…nición 17 Un operador T 2 L (H1 ; H2 ) es compacto si para cada sucesión fxn g acotada en H1 , la sucesión (T xn ) tiene una subsucesión convergente en H2 :. 23.

(28) Teorema 4 Sean T y P son operadores compactos en L (H1 ; H2 ). Entonces: 1. T + P es compacto. 2. Si Q 2 L (H3 ; H1 ) y R 2 L (H2 ; H3 ) entonces T Q y. son. RT. compactos.. Demostración Sea fxn g 0. H1 una sucesión acotada, entonces existe 0. 0. una subsucesión xn tal que T xn converge, llamemos y1 = l m T xn . La n!1. 0. subsucesión xn. siguensiendo o acotadany por o la compacidad del operador P 00 00 existe una subsucesión xn tal que P xn converge, llamemos 00. 00. y2 = l m P xn , a este límite. Entonces l m (T + P ) xn = y1 + y2 de donde n!1. n!1. deducimos que T + P es compacto. Ahora sea fzn g fQzn g. H3 una sucesión acotada; y como Q es acotado, entonces. H1 es una sucesión acotada en H1 y por la compacidad de T 0. 0. existe una subsucesión zn tal que T Qzn es convergente. A partir de ahí deducimos que T Q es compacto. Análogamente, sea fxn g una sucesión acotada en H1 , por la compacidad de 0. 0. T deducimos que existe xn una subsucesión tal que T xn converge. Luego 0. llamaremos yo = l m T xn y por la continuidad del operador R; tendríamos 0. n!1. que: l m RT xn = Ryo : Por lo tanto, RT es compacto. n!1. 1.3.. Espacios de Probabilidad: espacios medibles, variables aleatorias y distribuciones, media y varianza. Uno de los modelos matemáticos creados durante el primer tercio del siglo XX para estudiar los experimentos aleatorios es el así llamado espacio de probabilidad. Este modelo consiste de una terna ordenada, denotada usualmente por ( ; A; P ), donde. muestral, A es una. es un conjunto arbitrario, llamando espacio. a lg ebra de subconjuntos de. es una medida de probabilidad de…nida sobre A. 24. llamados eventos y P.

(29) Explicaremos a continuación brevemente cada uno de estos elementos, através del siguiente experimento: "Número de llamadas que llegan a una central telefonica". En este caso, el espacio muestral está dado por el conjunto. = f! : [0; 1i ! f0; 1; 2;. !(t) = n; para t 2 [tn ; tn+1 i. g ; 9 0 < t1 < t2 <. De…nición 18 (Espacio Muestral) El conjunto. < tn <. ; tal que tn ! 1g. es llamado espacio mues-. tral y tiene como elementos a todos los posibles resultados del experimento aleatorio. álgebra) Una colección A de subconjuntos de. De…nición 19 (. es una. álgebra si cumple las siguientes condiciones: 1.. 2A. 2. Si A 2 A, entonces Ac 2 A 3. Si A1 ; A2 ; ::: 2 A, entonces A los elementos. 1. [ An 2 A. n=1. álgebra se les llama eventos, sucesos o conjuntos. medibles. En este caso, la. álgebra de eventos está generada por los eventos. Aks;t = " . Llegan exactamente k llamadas en el intervalo hs; s + t] ", s; t. 0. que pueden ser descritos de la siguiente manera: Aks;t = f! 2 ; ! (s + t) De ahi que A =. Aks;t. ; s; t. ! (s) = kg ; s; t 0; k = 0; 1; 2; : : :. 0; k = 0; 1; 2; : : : : Por lo tanto, a la pare-. ja ( ; A) se le llama espacio medible De…nición 20 (Medida de Probabilidad) Una función P de…nida sobre una. álgebra A y con valores en el intervalo [0; 1] es una medida de proba-. bilidad si cumple las siguientes condiciones (i) P (A). 0. (ii) P ( ) = 1 25.

(30) (iii) P es. aditiva; es decir, dada la suceción de eventos A1 ; A2 ; ::: 2 A 1 1 S P disjuntos dos a dos (es decir, mutuamente exclusivos), entonces P An = P (An ) n=1. n=1. El número P (A) representa una forma de medir la posibilidad de ocurren-. cia del evento A; al efectuar una vez el experimento aleatorio. En nuestro caso la medida de probabilidad de…nida sobre la eventos A =. Aks;t. ; s; t. álgebra de. es la extención de la fun-. 0; k = 0; 1; 2; : : :. ción de conjunto de…nida por: P. Aks;t. ( t)k e = Pk (t) = k!. t. ;t. 0. De…nición 21 (Espacio de Probabilidad) Un espacio de probabilidad es una terna ( ; A; P ), en donde. de subconjuntos de. álgebra. es el espacio muestral, A es una. y P es una medida de probabilidad de…nida sobre A.. Ahora damos una caracterización de cada una de las condiciones que de…nen la noción de. álgebra.. Proposición 6 Sea A una 1.. álgebra de subconjuntos de. 2A. . Entonces. 1. 2. Si A1 ; A2 ; ::: 2 A , entonces \ An 2 A n=1. 3. Si A; B 2 A , entonces A. B 2 A, A B 2 A. Demostración 1. Como. 2 A y A es una colección de eventos cerrada bajo comple-. mentos, entonces. c. =. 2A. 1. 2. Si A1 ; A2 ; ::: 2 A, entonces Ac1 ; Ac2 ; ::: 2 A. Por lo tanto, [ Ac1 2 A. n=1. Luego, tomando complementos y usando las leyes de Morgan se obtiene el resultado. 3. Estas proposiciones siguen de lo demostrado antes y de las de…niciones A. B = A \ B c y A B = (A. B) [ (B. A). El siguiente resultado, justi…ca el hecho de que a partir de una colección de eventos, podemos generar una. álgebra que los contiene y la cual será 26.

(31) la menor. álgebra que contiene a los eventos dados, como por ejemplo. álgebra generada por los eventos Aks;t , con s; t Proposición 7 La intersección de una familia de Demostración Sea (Ai )i2I la familia de un mismo conjunto Entonces A =. . \ i2I. A. i. 0; k = 0; 1; 2; : : : álgebras es una. álgebra.. álgebras de subconjuntos de. es aquella colección de subconjuntos de. cuyos. elementos pertenecen a todos los Ai , para cada i 2 I: Demostraremos que A es un. 1. Como Ai son. cada i 2 I. Por lo tanto. 2. álgebra.. álgebras para cada i 2 I , entonces. \ i2I. A. 2 Ai para. i. 2. Sea A un elemento de. \. A i . Entonces A 2 Ai ; para cada i 2 I. i2I \ c Por lo tanto, A 2 Ai para cada i 2 I y Ac 2 Ai : i2I \ Ai 3. Sea A1 ; A2 ; ::: una sucesión de elementos en la intersección i2I. Entonces A1 ; A2 ; ::: 2 A i para cada i 2 I . 1. 1. n=1. n=1. Por lo tanto [ An 2 A i para cada i 2 I: Es decir , [ An 2. \ i2I. A i:. A continuación introduciremos el concepto de variable aleatoria que nos permite llevar muestras y eventos a un escenario estandar llamado espacio medible de Borel. La idea de variable aleatoria es la siguiente: Supongamos que tenemos como espacio muestral a la población de la región Arequipa y queremos hacer una medición de la cantidad de glucosa en la sangre, entonces elegimos una persona, tomamos una muestra de sangre para obtener sus resultado y si hacemos otra medición simultanera en la persona, entonces los resultados no necesariamente serán iguales pueden diferir en cantidades pequeñas. Así, entonces aparece la noción de variable aleatoria y que a continuación pasaremos a formalizar.. 27.

(32) 1.3.1.. Variables aleatorias. De…nición 22 Una variable aleatoria real es una función X :. ! R tal que. para cualquier conjunto Boreliano B, se cumple que el conjunto X. 1. B es un. elemento de A. Ver Fig (1) Observación 1 Desde el punto de vista de la teoria de la medida, una variable aleatoria es una función medible. Proposición 8 Si X es una variable aleatoria y c es una constante, entonces cX también es variable aleatoria Demostración Es obvia.. 1.3.2.. Función de distribución. Una forma de codi…car la información dada por el espacio de probabilidad y la variable aleatoria es pasar esa información a un espacio de medida sobre R; es decir, (R; B (R) ; Px ) : Toda variable aleatoria tiene asociada una función llamada de distribución de probabilidad. De…nición 23 (Función de Distribución) La función de distribución de una variable aleatoria X , es la función F (x) : R ! [0; 1] de…nida por F (x) = P (X 28. x) :.

(33) Una vez introducido está noción podemos ver que la información dada por ( ; A; P ) y está codi…cada en la función de distribución y es natural pensar que. goza de algunas propiedades naturales de monotonia continua por la derecha y algunas propiedades asíntoticas y/o límites. Proposición 9 Sea F (x) la función de distribución de una variable aleatoria. Entonces 1. l m F (xn ) = 1 n!+1. 2. l m F (xn ) = 0 n! 1. 3. Si x1. x2 , entonces F (x1 ). F (x2 ). 4. F (x) es continua por la derecha , es decir F (x+) = F (x) Demostración 1. Sea x1 ; x2 ; ::: una sucesión de números reales creciente que tiende a in…nito y sean los eventos An = [X. xn ] :. Entonces fAn : n 2 Ng es una sucesión creciente de eventos cuyo límite es. . Luego, por la propiedad de continuidad se tiene: l m F (xn ) = l m P (An ) = P ( ) = 1. n!1. n!1. De ahí que F (x) converge a uno cuando x tiende a in…nito. 2. Sea ahora fxn g una sucesión decreciente de números reales que tiende a. 1, y sean los eventos An = [X. xn ] : Entonces An es una sucesión decre-. ciente de eventos que tiende al conjunto vacío. Nuevamente por la propiedad de continuidad l m F (xn ) = l m P (An ) = P ( ) = 0. n! 1. n! 1. Por lo tanto, F (x) converge a cero cuando x tiende a menos in…nito. 3. Para x1. x2 F (x1 ). F (x1 ) + P (x1 < X = P [(X. x1 ) [ (x1 < X. = P (X. x2 ) :. = F (x2 ) Por lo tanto F (x1 ). x2 ). F (x2 ) 29. x2 )].

(34) 4. Sea x1 ; x2 ; ::: una sucesión decreciente de números reales no negativos y que tiende a cero. Entonces, F (x + xn ) = F (x) + P (x < X en donde An = (x < X. x + xn ). x + xn ) es una sucesión decreciente de eventos. que tiende al conjunto vacío. Por lo tanto l m F (x + xn ) = F (x). n!1. Es decir F (x+) = F (x) Siendo así, podemos mencionar algunos ejemplos de funciones de distribución de probabilidad: Distribución normal y multinormal y/o Gaussiana Distribución de Poissón Distribución ji-Cuadrado Distribución t-Student En este trabajo nos interesa más la distribución normal multivariada, que a continuación pasamos a de…nir: Sean X1 ; X2 ; : : : ; Xn variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con distribución normal estandar N (0; 1), el vector aleatorio Y = (Y1 ; Y2 ; : : : ; Yn ) , con Yj = a1j X1 + a2j X2 +. + anj Xn +. j;. j = 1; 2; : : : ; n. posee distribución normal n-variada. Así, colocando las ecuaciones anteriores 2 a a a1n 6 11 12 6 a21 a22 a2n 6 en forma matricial y denotado por = ( 1 ; 2 ; : : : ; n ) y A = 6 . . .. .. .. 6 .. . . 4 an1 an2 ann tenemos que el vector aleatorio anterior tiene la forma: Y = XA + claramente se tiene que: n P Yj N ; akj : j k=1. 30. 3 7 7 7 7 7 5.

(35) La matriz de covarianza de Y es. P. Y. = AT A de aquí que, la matriz de. covarianza de un vector aleatorio Y se de…ne como la matriz de las covarianzas entre los componentes de Y , es decir, X. ij. = cov(Yi ; Yj ); 1. i. n; 1. j. n:. Por lo tanto, dadas las variables aleatorias X1 ; X2 ; : : : ; Xn independientes e identicamente distribuidas con Xj. N (0; 1) y sea Y el vector aleatorio. obtenido a partir del vector aleatorio X = (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) a traves de la transformación Y = XA + donde A es la matriz real n. ny. es un vector n dimencional. Entonces. diremos que Y tiene distribución normal n variada con media P P covarianza = AT A; Y N ( ; ):. 1.3.3.. y matriz de. Tipos de variables aleatorias. Una vez formulado la noción de variable aleatoria así como sus propiedades, es necesario distinguir sobre los valores que toma como observaciones que pueden ser en una cantidad numerable o no-numerable; de ahí que se introduce la siguiente de…nición: De…nición 24 (Variable Aleatoria Discreta) La variable aleatoria X se llama discreta si su correspondiente funciòn de distribuciòn F (x) es una función constante por pedazos. (Variable Aleatoria Continua) La variable aleatoria X se llama continua si su correspondiente funciòn de distribuciòn es una función continua.. 1.3.4.. Esperanza. La esperanza de una variable aleatoria es un número que representa al promedio ponderado de sus posibles valores. Es decir, cuando se tiene un espacio muestral, una. álgebra de eventos, una medida de probabilidad y una 31.

(36) variable aleatoria, vemos que la v.a. asume muchos valores en el espacio de estados para despues ver su tendencia, entonces lo natural es sacar su promedio ponderado con pesos dados según la medida de probabilidad dada. Siendo así, ese número obtenido es conocido como esperanza matemática o media que a continuación se formula: De…nición 25 Sea X con función de distribución F (x). La esperanza de X, 1 R x dF (x) : denotado por E (X) ; se de…ne como el número E (X) = 1. Cuando esta integral sea absolutamente convergente, es decir cuando. se dice que X es integrable o que tiene esperanza …nita.. 1 R. 1. jxj dF (x) < 1;. A la esperanza se le conoce tambièn con el nombre de media, valor esperado, valor promedio o valor medio y en general se usa la letra griega para denotarla. Cuando la variable aleatoria X es discreta con funciòn de probabilidad f (x) ; entonces la esperanza, si existe, entonces se calcula como sigue: E (x) = .. X. xf (x). Cuando X es absolutamente continua con función de densidad f (x), entonces la esperanza si existe y se calcula como sigue:. E (X) =. Z1. xf (x)dx. 1. Para tener una mejor visualización de estos conceptos, así como una ilustración de estos, vemos los siguientes ejemplos: Ejemplo 9 Sea X con valores en el conjunto f1; 2; :::g y con función de probabilidad f (x) = P (X = x) = E (X) =. 1 ; 2x. 1 X. para x. xf (x) =. x=1. 1 X x x=1. 32. 1. Entonces 2x. =2.

(37) Ejemplo 10 Sea X. continua con función de densidad f (x) = 2x, para. 0 < x < 1: Entonces, E (X) =. Z1. xf (x)dx =. 1. Z1. x 2xdx =. 2 3. 0. La integral o suma mencionados anteriormente pueden no existir y en ese caso se dice que la variable aleatoria no tiene esperanza …nita. Ahora, vemos algunas propiedades de la esperanza referidas a la linealidad y monotonia esencialmente Sean X y Y. con esperanza …nita, y sea c una constante. Entonces. 1. E (c) = c 2. E (cX) = cE (x) 3. Si X. 0 , entonces E (X). 4. Si X. Y , entonces E (X). 0 E (Y ). 5. E (X + Y ) = E (X) + E (Y ). 1.3.5.. Varianza. La varianza de una variable aleatoria es una medida del grado de dispersiòn de los diferentes valores tomados por la variable; es decir, que tan distantes estan de su valor promedio, atráves de un valor promedio de esa diferencia cuadrática. De…nición 26 La varianza de una variable aleatoria X, denotada por V ar (X), se de…ne como la siguiente esperanza, si ésta existe V ar (X) = E (X A continuación tenemos X y. Y. E (X))2. v.a. con varianza …nita y sea c una. constante. Entonces tenemos las siguientes propiedades 1. V ar (X). 0 33.

(38) 2. V ar (c) = 0 3. V ar (cX) = c2 V ar (X) 4. V ar (X + c) = V ar (X) 5. V ar (X) = E (X 2 ). E 2 (X). 6. En general, V ar (X + Y ) 6= V ar (X) + V ar (Y ). 1.4.. Procesos Estocásticos: procesos Gaussianos, distribuciones …nito dimencionales y sus propiedades.. De…nición 27 Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias fXt ; t 2 T g de…nidas sobre un espacio de probabilidad ( ; A,P ) : Para una ilustración de esta noción consideramos los siguientes ejemplos: Ejemplo 11 1. Número de accidentes automovilísticos en el día Xt : Número de accidentes automovilísticos en el día t A = f0; 1; 2; :::; M g Número de accidentes que pueden suceder. (Discreto). T = f0; 1; 2; 3g Día en el que sucedierón (Discreto) 2. Marcador de un partido de fútbol. Xt : Marcador de un partido de fútbol en el instante t A = f(x; y) =x; y = 0; 1; 2; :::g. x: goles del equipo 1. y: goles del equipo 2. (Discreto). T = [0; 90] minutos con segundos. (Continuo). 3. Supóngase una caja que se esta llenando de víveres para los damni…cados teniendo una capacidad de 500kg y se termina de llenar en 1 hora. Xt : Cantidad de peso en kg en la caja en el momento t A = [0; 500kg] kilogramos de carga (Continuo) T = [0; 60 m n] instante de llenado (Continuo). 34.

(39) Ejemplo 12 Número de llamadas que llegan a una central telefónica en un tiempo t, t. 0:. Clasi…cación de proceso s estocásticos Para distinguir las clases de procesos estocásticos consideramos el espacio de estados, así como el conjunto de parámetros. Es decir, El espacio de estados A, puede ser continuo o discreto El espacio paramétrico T puede ser continuo o discreto. Ver …g(2) Así, entonces la primera clasi…cación de los procesos estocásticos toma como referencia para establecer los criterios el tipo de variables involucradas y la dimensión del -índice. De acuerdo con ellos se pueden establecer cuatro tipos: (Ver Fig (3)). 35.

(40) 1.4.1.. Distribuciones …nito - dimensionales. Al igual que el caso de una variable aleatoria, un proceso estocástico determina distribuciones …nito dimensionales que gozan las propiedades de simétria y compatibilidad; las cuales son también condiciones su…cientes para la existencia de un determinado proceso estocástico. Siendo así un proceso estocàstico se describe a partir de las distribuciones de probabilidad que induce sobre Rn . Si ft1 ; t2 ; :::; tn g. T. es un subconjunto …nito cualquiera de índices, la. distribución conjunta del vector aleatorio (Xt1 ; Xt2 ; :::; Xtn ) vendrá dada por Ft1 ;t2 ; :::;tn (xt1 ; xt2 ; :::; xtn ) = P (Xt1. xt1 ; :::; Xtn. xtn ). que recibe el nombre de distribución …nito-dimensional del proceso. Estas distribuciones pueden igualmente venir en términos de la funciones de densidad o distribuciones de probabilidad conjuntas del vector aleatorio. Así, entonces un proceso estocástico se describe especi…cando sus distribuciones …nito-dimensionales, que permiten obtener la probabilidad de cualquier suceso involucrado en el proceso. No obstante, hay que advertir que el conjunto de distribuciones …nito-dimensionales no determina por completo las características del proceso, por lo que en ocasiones hay que de…nir ciertas condiciones o propiedades adicionales. Si el proceso se puede especi…car completamente a partir de dichas distribuciones, decimos que el proceso es separable y esto esta relacionado con el teorema de consistencia de Kolmogorov que da una caracterización del proceso estocástico, a partir de una familia de distribuciones de probabilidad que satisface las condiciones de simétria y compatibilidad.. 1.4.2.. Procesos Gaussianos:. Un proceso estocástico con valores en Rd es llamado proceso Gaussiano si existen distribuciones …nitas dimencionales con distribuciones normales. De ahi que, la distribución conjunta de Xt1 ; Xt2 ; :::; Xtn tiene la siguiente función. 36.

(41) caracteristica: i. 't1 ;t2 ;:::;tn (u1 ; : : : ; un ) = e. n P. k=1. u0k !(tk ). 1 2. n P n P. k=1 j=1. u0k c((tk ;tj )uj ). u1 ; u2 ; : : : ; un 2 Rd ; t1 ; t2 ; :::; tn 2 [k; T ] : siendo así las dirtibuciones …nito di-. mencionales de un proceso Gaussiano son determinados unicamente por las funciones ! (t) y c (t; s) :. 37.

(42) Capítulo 2 Operadores Lineales entre Espacios de Banach-Hilbert. Sean u : X ! Y un operador entre espacios de Banach y k. 1 un entero. (recordar la de…nición de aproximación de números de un operador u:) ak (u) = nf fku. 2.1.. vk =v : X ! Y. ran ( ) < kg. Números de Aproximación: números de Gelfand, Números de Kolmogorov y números de entropía.. De…nición 28 Los números de Gelfand de u son de…nidos como ck (u) = nf fkus k ; S Para cualquier subespacio (cerrado) S. X; y dim (S) < kg Y . Denotamos por QS al cociente de. la aplicación de Y sobre Y/S. De…nición 29 Los números de Kolmogorov de u, están dados por: dk (u) = nf fkQS uk ; S 38. Y; dim (S) < kg :.

(43) Así, las sucesiones fak (u)g ; fck (u)g ; fdk (u)g son todos no crecientes y. satisfacen las relaciones a1 (u) = c1 (u) = d1 (u) = kuk ; ck (u) dk (u). ak (u) ;. ak (u) : Además, tenemos ck (u) = dk (u ) (u es adjunta de u)y si u. es compacto, tenemos ck (u ) = dk (u) y dk (u) = ak (u ) Denotamos por Sk cualquiera de las sucesiones ak ; dk ó ck : Luego es claro que para cualquier operador u : X Banach tenemos. sk+n. 1. (. u). !Y y v:X. sk ( ) sn (u). ! Y entre espacios de. 8k; n. (1). 1:. Similarmente, si u1 y u2 son operadores de X en Y, entonces sk+n. 1. (u1 + u2 ). sk (u1 ) + sn (u2 ). 8k; n. 1:. (2). Si u es un operador compacto, entonces ck (u) ! 0 y dk (u) ! 0. cuando k ! 1 y la rapidez de la convergencia proviene de la medida del grado de compacidad del operador u.. También, para nuestro desarrollo necesitamos otros números llamados números de entropía que ahora de…niremos. Sea K1 ; K2 dos subconjuntos de un espacio de Banach Y. Denotamos por N (K1 ; K2 ) el menor número N tal que existen puntos y1 ; y2 ; : : : ; yN en Y tal que K1. [i. N. (yi + K2 ). Denotamos BX a la bola unitaria cerrada en X De…nición 30 (Entropía de Número) Se de…ne número de entropía de un operador u : X ! Y como sigue ek (u) = nf " > 0=N (u (Bx ) ; "By ) Note que kuk = e1 (u). e2 (u). ek (u) ! 0; cuando k ! 1:. 39. 2k. 1. : : : ; claramente u es compacto si.

(44) Ahora, observamos el siguiente hecho elemental válido cuando K1 ; K2 ; K3 son subconjuntos arbitrarios de un espacio Y. Es decir, N (K1 ; K3 ). N (K1 ; K2 )N (K2 ; K3 ). (3). Este hecho implica inmediatamente que para la composición de dos operadores u : X ! Y y v : Y. ! Z entre espacios de Banach, tenemos. en+k. 1. (uv). en (u) ek (v) :. (4). Similarmente, observamos que si K4 es otro subconjunto de Y, entonces N (K1 + K2 ; K3 + K4 ). N (K1 ; K3 )N (K2 ; K4 ). (5). y esto implica que para todos los operadores u1 , u2 de X en Y en+k. 1. (u1 + u2 ). en (u1 ) + ek (u2 ). (6). Por lo tanto, la entropía de números se comportan como los números ak ; ck ; y dk . Sea sk denota cualquiera de los números ak ; ck ; dk o ek : Así mismo, sea Sp (X; Y ) la clase de todos los operadores u de X en Y P talque sk (u)p < 1: Entonces una facil aplicación de las desigualdades precedentes con la misma notación que la anterior implica que: u 2 Sp (X; Y ) ; v 2 Sq (Y; Z) =) vu 2 Sr (X; Z) con. (i). 1 1 1 = + ; p > 0; q > 0 y r > 0: r p q u1 ; u2 2 Sp (X; Y ) =) u1 + u2 2 Sp (X; Y ). Además, tenemos sk (vu). kvk sk (u) y sk (vu). (ii). kuk sk (u) así que Sp (X; Y ). tiene la propiedad ideal, es decir es estable por la composición en ambos lados, con operadores acotados. Sea E un espacio normado n-dimencional, entonces claramente se tiene que ck (u) = dk (u) = ak (u) = 0 para todo k > n y para cada operador u sobre 40.

(45) E. Para la entropía de números, el mismo hecho es claramente incorrecto, pero un fenomeno análogo sostiene que: Los números ek (u) disminuyen muy rapido cuando k > n: Esto se puede apreciar mejor cuando se estudia el operador identidad IE : Sea BE la bola unitaria de E. Notamos que para todo 0 < " N (BE ; "BE ). 1. 2 1+ ". n. (7). Claramente (7) implica ek (IE ) Por otra parte. n vol(B1 ) vol(B2 ). 2 2. k 1 n. 1. 1. ; 8k > 1. card(A) implica, para todo 0 < " ". n. (8) 1;. N (BE ; "BE ) ;. y por lo tanto 2. 2.2.. 1 k n. ek (IE ) ; 8k. 1:. Relaciones entre números de aproximación: dominación de los números de entropía por los números de Gelfand y Kolmogorov.. Proposición 10 Sea X,X1 ,Y,Y1 espacios de Banach, asumimos que X es isométrico a un cociente de X1 y Y es isométrico a un sub espacio de Y1 : Denotamos por q : X1 ! X la aplicación cociente y por j : Y. ! Y1 la in-. mersión isométrica. Entonces para cualquier operador u : X ! Y Tenemos ek (u) = ek (uq) y. 1 ek (u) 2. ek (ju) 41. ek (u) ; 8k. 1:.

(46) Sin embargo, si X1 = `1 (I) para algún conjunto I, se cumple dk (u) = ak (uq) si mientras Y1 = `1 (I) ; se cumple ak (ju) = ck (u) : Demostración La primera parte es inmediata ya que q (BX1 ) = BX : Tamkjk ek (u) = ek (u) note que si ju (Bx ) esta cubierto por 2k. bién ek (ju). bolas de radio " en Y1 ; entonces u (Bx ) es la unión de 2k diametro 2"; por lo tanto ek (u). 1. 1. sub conjuntos de. 2ek (ju) :. El siguiente resultado de Carl será muy util más adelante, puesto que muestra que los números ck ; dk o ak dominan en cierto sentido los números de entropía. Teorema 5 Sea sk , denotamos por ck ; dk o ak : para cada constante. > 0 existe una. tal que para todo operador u : X ! Y entre espacios de Banach. se tiene:. supk sk (u) 8n. sup k ek (u) k n. (2.1). 1. k n. Generalmente para cualquier 0 < q < 1; existe una constante. q. tal que. para todo u como arriba tenemos. X. k. 1. ( k ek (u))q. 1 q. En particular, hay una constante X. q 0 q. X. k. 1. (k sk (u))q. 1 q. (2.2). tal que. ek (u)q. 0 q. X. sk (u)q. Demostración Por la proposición anterior, es su…ciente probar esta a…rmación para sk = ak (recordar que cualquier espacio de Banach X es isometrico a un cociente de `1 (I) ; y similarmente cualquier Y son inmersiones isométricas en `1 (I) para algunos conjuntos I). Considerando u : X. ! Y . Asumimos que sup k ak (u) < 1 y n = 2N , k n. para algùn N. 0: Luego para cualquier m hay un operador vm : X m. con rango menor a 2 tal que ku Sean las inmersiones. y k. mk. 2. +1. 2. m. 0. vm k < 2. = v0 ; : : : ;. y ran (. m). m. m. :. = vm vm 1 ; Así, tenemos u =. < 2m+1 : Sea K = u(BX ); Km = 42. !Y P. m N. m (BX ). m. +u. vN.

(47) y sea "m > 0 que se especi…cara más adelante. Deducimos de (7) ya que Km. k. m k BY. 8" > 0 N (Km ; " k. 2 1+ ". m k BY ). rk(. m). 2 1+ ". 2m+1. (2.3) d. Sea 0 < r < 1 que se especi…carán más adelante y que (note que (1 + t)d. 2 1+ ". 2m+1. r. 2 ". < exp. (1 + tr ) r ). 2m+1 r. por la desigualdad triangular tenemos K. N X. Km + (u. vN ) BX. m=0. Por simplicidad, sea N (") = N (K; "BY ) ya que ku. vN k < 2. (2.3) tenemos N. N X. m=1. "k. mk. +2. ahora elegimos. >. !. N. N Y. m=0. N (Km ; " k. m k BY ). < exp. (. N. N X. m=0. ; por (5) y. 2 "m. r. 2m+1 r (2.4). y 0 < r < 1; su…cientemente pequeño para que r < 1 :. Sea t > 0 arbitrario. Hacemos la elección "m = t2m 2 N X. m=0. "m k. mk. +2. N. 2. N. N. esto da. (c1 t + 1). y N X. m=0. 2 "m. r. 2m+1 r. c2 t r 2N. para algunas constantes c1 ; c2 dependiendo solo de ;. y r:. Finalmente, elegimos t = T con T su…cientemente grande (T depende de ;. y r) tal que 2 exp c2 t r 2N 43. N. 22 = 2n ;. ).

(48) entonces (2.4) implica en (u). N. 2. (c1 T + 1) = n. (c1 T + 1). por homogeneidad, hemos demostrado para n = 2N que: n en (u). (c1 T + 1) supk ak (u) : k n. Claramente a partir de (2.1) se extiende el último resultado para valores arbitrarios de n:. P 1 Ahora pasamos a la segunda estimación (2.2), notamos que k (k ak (u))q P n es claramente equivalente a (2 a2n (u))q ; y de manera similar para (ek (u)) : Asumimos que. X. entonces. k. X. 1. (k ak (u))q. 2j a2j (u). 1. q. c3. j 0. para alguna constante c3 dependiendo solo de Escogemos. y q:. > :Sea n. =2. n. sup 2k a2k (u) 0 k n. usando la desigualdad q n. =2. n q. X. 2k q a2k (u)q. k n. encontramos que: X n 0. (2n. q n). X j 0. 2n. q. ". n q. 2. X. #. 2k q a2k (u)q a2j (u)q. k n. c4. X. 2k q a2k (u)q. k 0. Ahora, por la primera parte de la prueba, sabemos que e2n (u) 44. 00. n. c4 c3.

(49) 00. para alguna constante. : Luego concluimos que X. Finalmente. q. n. (2 a2n (u)). X. k. 1. 1 q. (k ek (u))q. c4 c3 1 q. 00. ;. c5. Por homogeneidad, esto concluye la prueba de (2.2). La última a…rmación es un caso particular de (2.2) (basta tomar q = 1).. Observación 2 Es necesario tener en cuenta que (2.2) y compara las cuasinormas de ek (u) y sk (u) en el espacio de sucesiones de Lorentz `pq , para p=. 1. :. Sea T : X. ! X un operador compacto y sea. T reordenando la sucesión j. n. n. (T ) los autovalores de. (T )j de modo que sea no creciente y que cada. autovalor se repita según su multiplicidad. Consideramos primero el caso especial cuando X es de dimenciòn "n" sobre RyT :X 1. (T ) ; : : : ;. ! X es R n. lineal (posiblemente complejo) con valores propios. (T ) :. Claramente tenemos n Y vol (T (Bx )) = jdet (T )j = vol (Bx ) i=1. i. (T ) :. Aqui el volumen se entiende en Rn : Usando la de…nición de en (T ) ; encontramos que: en (T )n 2n 1 vol (Bx ). vol (T (Bx )) Por lo tanto: j. n. (T )j. n Y. 1 n. i. (T ). i=1. 45. 2en (T ) :.

(50) Asumimos mas generalmente que X es de dimensión n sobre C: Entonces, usando el volumen en Cn = R2n encontramos que: vol (T (Bx )) Y = j vol (Bx ) i=1 n. i. (T )j2 ;. De ahí el mismo argumento nos da en este caso N Y i=1. j. i. (T )j2 = 2n 1 en (T )2n. Por lo tanto j. n. (T )j. n Y. 1 n. i. 1. (T ). 2 2 en (T ) :. i=1. En lo sucesivo cuando se trata de valores propios siempre asumimos que estamos en el caso complejo.. 2.3.. Normas de Operadores sobre espacios de Hilbert: estimativas para la norma de un operador en términos de los números de entropía.. Teorema 6 Sea T : X ! X un operador compacto en un espacio de Banach complejo. Entonces para todo n j. n. (T )j. 1. n Y. 1 n. i. 3. (T ). 2 2 en (T ). i=1. Demostración Sea E un sub espacio espectral para T de dimención n tal que TjE : E. ! E admite exactamente. 1. (T ) ; : : : ;. n. (T ) como sus valores. propios. Entonces el teorema 6 sigue inmediatamente a la observaciòn anterior ya que en en (T jE ). en (T ) por la proposición 10. Como una consecuencia del Teorema anterior que provee estimativas para el. espectro y los números de entropía de operadores se tiene el siguiente corolario 46.

(51) Corolario 2 Sea T : H1 Hilbert. Sea 0 < X. k. 1. ! H2 operador compacto entre dos espacios de. < 1 y 0 < q < 1: Entonces. (k ek (u))q < 1. si y solo si. En particular (ek (T )) 2 `q si y solo si. X k. k. 1. (k. k. (jT j))q < 1. (jT j) 2 `q :. Demostración Es una consecuencia inmediata del Teorema 5. por el. contrario, podemos utilizar la descomposición polar T = U jT j de T: Por el. Teorema 6 encontramos n. (jT j). 4en (jT j) = 4en (jU T j) 4en (T ) ya que kU k. de esto la implicación inversa sigue inmediatamente.. 47. 1.

(52) Capítulo 3 Estimación de Cotas Superiores e Inferiores para Integrales. Sea u : H ! X un operador de…nido sobre un espacio de Hilbert H. Si. dim H = n < 1 podemos identi…car H en `n2 y ya hemos de…nido 0. ` (u) = @. Z. Rn. ku (x)k2 d. n. si H es in…nito-dimensional, hemos establecido ` (u) = sup f` (ujE ) jE. 1 12. (x)A. dim (E) < 1g. H. El siguiente resultado da una estimación bilateral para ` (u) en términos de números de entropía. Teorema 7 Existen constantes absolutas C1 > 0; C2 > 0; tal que cualquier operador u : H ! X (De un espacio de Hilbert H sobre un espacio de Banach. X) satisface. 1. C1 sup n 2 en (u ). ` (u). n 1. C2. X n 1. 48. n. 1 2. en (u ) :.

(53) Observación 3 Si ` (u) es …nito, entonces el teorema precedente implica en (u) ! 0 ; cuando n ! 1:. Por tanto, en particular u es compacto siempre que ` (u) es …nito.. Observación 4 Consideramos u : `n2. ! X y sea K = u (Bx ). `n2 ; en-. tonces, si denotamos por ek la base canónica de `n2 ; tenemos claramente: 0 2. ` (u) = @E 4sup < t; Ahora, puesto que Zt =< t;. t2K. n P. n X 1. gk ek >=. 1. 2. 31 21. gk ek > 5A. P. gk tk es una variable aleatoria. Gaussiana, vemos que ` (u) no es más que la L2. norma del supremo de un. familia Gaussiana. por el teorema 7, esto no es sino una reformulación de un teorema clásico en la teoria de procesos Estocásticos Gaussianos . En lo que sigue, vamos a introducir una terminología, necesario para el desarrollo de este trabajo de tesís. Sea fZi ; i 2 Ig es una colección de variables aleatorias de valor real index-. adas por un conjunto I y de…nido sobre un espacio de probabilidad ( ; A; P ) :. Decimos que fZi ; i 2 Ig es un proceso Gaussiano si todas las combinaciones. lineales de las variables fZi g son Gaussianas. (Por la notación de la obsern P vación anterior), si colocamos Zt = gk tk para t 2 Rn , entonces fZt ; t 2 Rn g 1. es un proceso Gaussiano.. Denotamos por Kz el conjunto fZi ; i 2 Ig considerado como un sub con-. junto de L2 : Para cualquier " > 0; denotamos simplemente. NZ (") = N (KZ ; "BL2 ). Entonces a partir de ahí podemos a…rmar la siguiente estimativa. Teorema 8 Existen constantes absolutas C10 > 0 y C20 > 0; talque para cualquier proceso Gaussiano fZi ; i 2 Ig indexado por un conjunto …nito o contable I, se. 49.

(54) tiene que: C10 sup" (log NZ (")). 1 2. C20. EsupZi. ">0. i2I. Z1. 1. (13). log NZ (") 2 d":. 0. Observación 5 Más generalmente, el resultado precedente todavía se sostiene si simplemente asumimos que Z sea separable, es decir, si existe un conjunto ~ = fZi ; i 2 Ig sea denso en KZ : De contable J I tal que para cualquier K ~ "BL2 hecho, tenemos N K;. = NZ (") : Si de…nimos Z = supZi como el i2I. supremo en la red de Banach. L1 claramente supZi = supZj i2I. i2J. y (13) aún. mantiene. Para el limite inferior en (13). El siguiente lema es crucial. se origina escencialmente en la obra de Slepian. Lema 1 Sea fXi ; 1. ng y fYi ; 1. i. talque. kYi. Y j k2. kXi. i. ng. dos procesos Gaussianos. Xj k2 ; 8i; j. (14). entonces E (sup Yi ). 2E (sup Xi ). Si asumimos ademas que kYi k2 para todos (Ci ) 2 Rn. kXi k2 ; 8i. (15). n. tenemos. P (fY1 > C1 g [ : : : [ fYn > Cn g). P (fX1 > C1 g [ : : : [ fXn > Cn g) (16). Observación 6 El resultado anterior es conocido el factor 2, pero esta mejora no será utilizada en la secuencia. Observación 7 Ahora vale la pena observar por simétria que E sup jXi i;j. Xj j. = E sup (Xi i;j. 50. Xj ). = 2E (sup Xi ). (17).

(55) Demostración (Del Lema 1) Asumimos (14) y (15). Primero probaremos (16) asumimos sin perdida de generalidad que X = (Xi )i. n. y Y = (Yi )i. son independientes entre si. Entonces introducimos para cualquier 0 el vector aleatorio X (t) = (Xi (t))i. Establecemos p (t) = P (X1 (t). 1. de…nido por. n 1. Xi (t) = (1. t. n. 1. t) 2 Xi + (t) 2 Yi Cn ) : Mostraremos que. C1 ; : : : ; Xn (t). p(t), es una función no-decreciente con respecto a t. Ahora, podemos asumir claramente (por un argumento de permutación) que la distribución X es absolutamente continua, por tanto lo mismo es cierto para X (t) : Siendo así, denotamos por 'X la densidad del vector Gaussiano X. Entonces la clave de la prueba radica en la siguiente identidad: X d 'X(t) (y) = (E (Yi Yj ) dt i<j. E (Xi Xj )). @2 ' (y) ; 8y 2 Rn @yi @yj X(t). (18). Esta identidad se veri…ca a través de la transformada inversa de Fourier Z 1 'X(t) (y) = exp i < ; y > E < ; X (t) >2 d ; (19) 2 donde d denota una (adecuada normalización) medida de Haar en Rn : De hecho, para comprobar que (19) implica (18) todo lo que nececitamos es observar que (15) implica: E < ; X (t) >2 = E Ahora sea. ij. = EYi Yj. X. 2 i Xi. + 2t. X. i jE. (Yi Yj. EXi Xj y note que. ij. 0; entonces por (13) y. (15) y usando (18) encontramos que: d d p(t) = dt dt =. Zc1 1. Zc1 1. Xi Xj ) :. i<j. Zcn. 'X(t) (y)dy. 1. Zcn X 1. 51. @ 2 'X(t) (y)dy ij @yi @yj.

(56) Pero cada término en la última suma es. 0: Por ejemplo, el término corre-. spondiente a i = 1; j = 2 es igual a 12. Zc1. Zcn. 1. 'X(t) (c1 ; c2 ; y3; : : : ; yn )dy3. dyn. 0. 1. y es positivo ya que la densidad es positiva. Por lo tanto, concluimos que p (0). p (1) por (16).. Una vez desarrollado algunos preliminares de la prueba, pasamos ahora a la primera parte del Lema. Siendo así podemos asumir claramente (reemplazando X1 ) que Yi = 0; Xi = 0 y EYi2. Yi por Yi Y1 y Xi por Xi i. EXi2 para todo. n. Entonces sea g una variable Gaussiana auxiliar standar independiente. de (Xi ) y (Yi ). Luego establecemos que el número: C 2 = sup E Xi2 i n. y sea ~ i = Xi + g C 2 X. EXi2 + EYi2. 1 2. (Observese la positividad del coe…ciente de g) y Y~i = Yi + gC Por otro lado, claramente tenemos Y~i. Y~j. 2. = kYi. Y j k2. kXi. Xj k2. ~i X. ~j X. 2. y Y~i. 2. ~i = X. ; 2. por lo que, de la primera parte de la prueba tenemos 8c 2 R. P sup Y~i > c. ~i > c P sup X. Integrando con respecto a c y utilizando la siguiente fórmula valida para todo M en el espacio L1 E (M ) =. Z1. P (M > c) dc +. 0. Z0. 1. 52. [P (M > c). 1] dc;.

(57) encontramos que E sup Y~i. ~i E sup X. (20). Finalmente, obtenemos la siguiente relación E sup Y~i. E (sup Yi + gC) = E (sup Yi ). (21). y ~i E sup X donde g = g +. E (sup Xi ) + Eg + C;. g : A partir de ahí, obtenemos el resultado anunciado siempre. que. EXi+ + n Eg. C = sup kXi k2 = sup i n. i. Eg +. 1. E sup Xi+. Así mismo debemos recordar que X1 = 0; para obtener C. Eg +. 1. E (sup Xi ). Por lo tanto, (20) y (21) implican E (sup Yi ). 2E (sup Xi ). Ahora procedemos a demostrar el teorema 8 enunciado al inicio de este capítulo Demostración (Del teorema 8) Es su…ciente probar la a…rmación para el caso cuando I es …nito I = f1; 2; : : : ; ng siempre y cuando las constantes que obtengamos no dependan de "n" y para esto usaremos el siguiente hecho bien conocido Existe una constante c > 0 tal que si (gn ) es una sucesión de variables aleatorias Gaussianas independientes, tenemos que C. 1. 1. (log n) 2. E supgi i n. 53. 1. C (log n) 2 ; 8n. 1:. (22).

(58) Este resultado implica que, si (Z1 ; : : : ; Zn ) es un proceso Gaussiano …nito arbitrario entonces p 2 2C. 1. 1. (log n) 2. nf kZi. Z j k2. i6=j n. p. EsupZi i n. 1. 2C sup kZi. Zj k2 (log n) 2. i6=j n. (23) A partirt de ahí podemos de…nir las variables aleatorias 1 2. Yi = gi 2. nf kZi. Z j k2. sup kZi. Z j k2. i6=j. y 1 2. Xi = gi 2. i6=j. y podemos ver claramente que: kYi. Y j k2. kZi. Z j k2. kXi. Xj k2. Luego, por el Lema 1 se obtiene: 1 E sup Yi 2. E sup Zi. 2E sup Xi. Por lo tanto, (23) se sigue de (22). Por otro lado notamos que el lado izquierdo de (13) sigue inmediatamente de (23). En efecto, sea fZ1 ; : : : ; Zn g un subconjunto máximo de fZi ; i 2 Ig tal que kZi. Zj k2. " para todo i 6= j. N: Por la propiedad de maximalidad,. tenemos necesariamente que NZ (") p " 2 2C. 1. N . También, por (23) obtenemos: 1. (log N ) 2. EsupZi. EsupZi. i N. i2I. p Así esto demuestra el lado izquierdo de (13) con C10 = 2 2C. 1. .. Pasamos ahora al lado derecho de (13) . Coloquemos D = sup kZi i;j2I. Luego, sea "n = 2. n. D (n. 0) y Nn = NZ ("n ) : Por de…nición de NZ ("n ),. podemos encontrar un subconjunto In 8i 2 I; 9j 2 In talque kZi. Zj k2. Z j k2. 2"n . 54. I. con card (In ). Nn. talque.

(59) En la linea anterior denotamos j =. n. (i) y Zin = Z. n (i). el conjunto.. Entonces podemos escribir Zin k2. kZi y. Zi = Zio +. X. 2"n. Zin. Zin. 1. n 1. Notemos que. Zio. no depende de i; desde No = 1: Así denotamos por. Zio = z = supZi . Por lo tanto, i2I. supZi. z+. i2I. X. E supZi i2I. 1. Zin. 1. ;. Esup Zin. Zin. 1. :. E sup Zi. i2I. i2I. n 1. debido a que Zin. sup Zin. n 1. De ahí que:. E sup Zin. X. Zj ; i 2 In ; j 2 In 1 ; kZi. Z j k2. 4"n ;. De aqui por (17) y (23) se obtiene que: p 1 2 2C (log Nn Nn 1 ) 2 4"n implica E supZi i2I. 16C. 1 X. 1. 16C (log Nn ) 2 "n. 1. "n (log Nn ) 2. n=1. Luego, comparando la última serie con la integral Z1. 1. (log NZ (")) 2 d". 0. obtenemos el resultado deseado. Una vez establecido el Teorema 8, ahora procedemos a demostrar el Teorema 7. 55.

(60) Demostración (Prueba del Teorema 7) Para conseguir las relaciones deseadas basta probar estas estimaciones para operadores u : `n2 ! X con con-. stantes independientes de n. Siendo así, tenemos que: n X. E. gk u (ek ). ` (u). K (2) E. n X. gk u (ek ). (3.1). 1. 1. Ahora, sea I = u (BX ) y sea Z =. ;. n P. para. gk ek. en I. Note que. 1. Z. 1. Z. 2. 2. =k. 1. 2 k`n 2. ; 8 1;. 2I. 2. Así que NZ (") = N u (BX ) ; "B`N2 : Esto implica que existen constantes positivas. 1. 1 X. n. 1 2. Z1. en (u ). n=1. 1;. talque:. 2;. 1. (log NZ (")) 2 d". 2. 1 X. n. 1 2. en (u ). (3.2). en (u ). (3.3). n=1. 0. y 1. sup n. 1 2. 1. en (u ). sup (log NZ (")) 2. 2. sup n. 1 2. ">0. Finalmente, observamos que: E. n X. gk u (ek ) = EsupZ ;. (3.4). 2I. 1. entonces, recordando la observación anterior que sigue al Teorema 8, y obtener. .. el Teorema 7 En efecto tenemos H = `n2 y combinemos (13) con (3.1), (3.2), (3.3) y (3.4) .. Ahora nos dedicaremos a mejorar la minoración de Sudakov’s (el limite inferior en el Teorema 7 o 8) para luego obtener el siguiente resultado importante: 56.

(61) Teorema 9 Existe una constante C0 tal que para todos los espacios Banach E; para todo n. 1 y para todos u : `n2 ! E; tenemos supk. 1 2. ck (u ). C 0 ` (u) :. k 1. La demostración utiliza varios lemas de interes independiente, por lo que pasamos a enunciarlos y posteriormente demostrarlos. Lema 2 Sea fgij g una doble secuencia y sea la sucesión normal Gaussiana, de variables aleatorias en algún espacio de probabilidad ( ; A; P ) : Sea k; n enteros, G = (gij )i. n. : Consideramos la matriz G como un (aleatorio) operador. de `k2 en `n2 . Sea u : `n2 ! E un operador con valores en el espacio de Banach E. Entonces existe una constante K1 > 0; tal que, con probabilidad > tenemos.. 2 ; 3. h i 1 K1 ` (u) + k 2 kuk :. kuGkB (`k ;E ) 2. Demostración Existe un subconjunto A de la esfera de `k2 el cual es 1 2. red y tiene cardinalidad card (A). v : `n2 ! E. 5k : Luego, para cualquier. tenemos 2sup kv (x)k :. kvkB (`k ;E ) 2. (3.5). x2A. Ahora usaremos este hecho para v = uG. Sea entonces n X. Xj =. gij u (ei ) :. i=1. una sucesión de variables aleatorias. Claramente podemos ver que X1 ; : : : ; Xk son independientes y tienen la misma distribución que la variable aleatoria X=. n X. gi u (ei ). 1. Consideremos un punto x en A y recordemos que: k X. x2j = 1. 1. 57.