2 2

2 ₂ J. Conde Lago A. Fanjul Hevia L. López Somoza L. J. Pérez Pérez V. Sanmartín López

017 018

EDITORES

As matemáticas do veciño

Iniciación á Investigación Actas do Seminario de

A CTAS DO S EMINARIO DE

I NICIACI ´ ON ´ A I NVESTIGACI ´ ON

CURSO 2017 – 2018

Editores:

Jes´us Conde Lago Ar´ıs Fanjul Hevia Luc´ıa L´opez Somoza Luis Javier P´erez P´erez V´ıctor Sanmart´ın L´opez

Coordina:

Seminario de Iniciaci´on ´a Investigaci´on (SII) seminarios3c@gmail.com

Edita:

Instituto de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela

Imprime:

Imprenta Universitaria Pavill´on de Servizos s/n

Campus Vida

15782 Santiago de Compostela A Coru˜na

ISSN: 2171-6536 Dep´osito Legal: C 1539-2018

A mathematician is a device for turning coffee into theorems.

Paul Erd¨os (1913 – 1996)

We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering and technology. And there will always, always be mathematics.

Katherine Johnson (1918 – )

iii

Prefacio

Al recibir la invitaci´on del comit´e del SII me invadieron sentimientos encontra- dos: de alegr´ıa al comprobar que lo que comenzamos hace trece a˜nos, un grupo de becarios ingenuos y llenos de ilusi´on, contin´ua llev´andose a cabo. Pero tambi´en de cierto v´ertigo al escribir estas l´ıneas desde la distancia, tras casi diez a˜nos sin pisar las aulas del SII, sin saber c´omo se desarrolla ahora “nuestro” seminario. Pero descubro que todo sigue igual, cada quince d´ıas hay una charla, se tratan todas las aplicaciones de las matem´aticas posibles, se intenta dar un toque llamativo a los t´ıtulos (para que no sepas qu´e te puedes esperar), etc. Adem´as, mis compa˜neros de aventuras de ese a˜no 2005 tambi´en pasaron por este prefacio, poni´endome el trabajo de escribir estas l´ıneas a´un m´as dif´ıcil.

En estos momentos en los que parece repuntar la actividad divulgadora de la ciencia a la sociedad, este seminario es un ejemplo incre´ıble de c´omo el esfuerzo de contar la investigaci´on que realizamos a gente diferente a la habitual supone una gran responsabilidad. La ciencia, y en particular las matem´aticas, son una parte muy importante de los avances que conseguimos d´ıa a d´ıa como sociedad. El apoyar la ciencia y dar un futuro a nuestros j´ovenes investigadores deber´ıa ser un objetivo primordial hoy en d´ıa y para que esto sea posible, la sociedad debe conocer de primera mano el trabajo que realizamos. El resultado de estos trece a˜nos de esfuerzo por parte de los j´ovenes investigadores de la Facultad de Matem´aticas de la USC al contar su investigaci´on en las actas del SII demuestra el gran compromiso que estos j´ovenes tienen con la divulgaci´on de su trabajo, y por tanto, del conocimiento.

Seguid as´ı, todos queremos conocer lo que hac´eis y conoceros tambi´en a vosotros.

Zaragoza, julio de 2018

Mar´ıa Teresa S´anchez R´ua

v

´ Indice xeral

Introduci´on 1

Alberto Rodr´ıguez V´azquez

“Por que as pompas de xab´on son redondas?” 3

In´es Barbeito Cal

“O bootstrap para a estimaci´on non param´etrica da funci´on de raz´on de fallo” 9 Beatriz ´Alvarez D´ıaz

“E se as bandas de M¨obius fosen cilindros?” 15

Juan Ignacio Bedoya Cabanelas

“M´etodos de reducci´on de orden” 21

Erika Diz Pita´

“Reciclando modelos matem´aticos” 27

Borja Gand´on Villar

“Unha construci´on dos corpos finitos” 33

Andrea Meil´an Vila

“Testing linear spatial trends” 39

Jorge G´omez Crespo

“Interferometr´ıa Speckle no BAO: campa˜nas e resultados” 45 Carlos Franco Sanmart´ın

“Espazos estratificados” 51

Alicia Seijas V´azquez

“Ecuaciones de Fredholm y de Volterra” 57

Eduardo Dorrego L´opez

“Dilucidando π. Pruebas y conjeturas en la M´emoire de J. H. Lambert” 63 vii

Guido Novoa–Flores

“Pienso, luego optimizo” 75

Cristina Lois–Prados

“Una generalizaci´on del Teorema de punto fijo de Krasnosel’skii mediante el

uso de funcionales” 81

David Gonz´alez–Pe˜nas

“Dise˜no de una instalaci´on de aspiraci´on de gases mediante simulaci´on num´e-

rica” 87

Unha xornada de divulgaci´on

“Matem´aticas: habelas hainas, queremos contarchas!” 93

Agradecementos 95

Introduci´ on

E imposible que unha ´´ area das matem´aticas progrese se as achegas que se fan nela quedan esquecidas nos caix´ons dos seus descubridores. A comunicaci´on entre os investigadores ´e fundamental, pero tam´en o ´e a interdisciplinaridade, sobre todo entre os que comezan as s´uas carreiras investigadoras.

Con este esp´ırito nace o Seminario de Iniciaci´on a Investigaci´on (SII), unha entidade encadrada dentro do Instituto de Matem´aticas. O SII ten por finalidade que aqueles que se est´an a dar os seus primeiros pasos como investigadores te˜nan a oportunidade de escoitar aos seus compa˜neiros que traballan noutros departamentos e de expo˜ner as s´uas ideas.

As actividades do SII consisten nun conxunto de charlas que te˜nen lugar durante todo o curso acad´emico na Facultade de Matem´aticas da Universidade de Santiago de Compostela. Abertas a todo o mundo, estas reuni´ons, en xeral quincenais, son un lugar para a discusi´on, o afloramento de ideas e a vida social na Facultade al´en da rutina investigadora ou docente. Nelas, profesores, alumnos e investigadores te˜nen a oportunidade de co˜necerse, emprender proxectos com´uns e descubrir novos intereses. Ademais, para os po˜nentes sup´on unha oportunidade ´unica de desenvolver competencias transversais fundamentais para as s´uas carreiras como son falar en p´ublico, a capacidade argumentativa e a adecuaci´on ´a audiencia, pois cabe salientar que as charlas est´an destinadas a xente que non ´e especialista no tema do que tratan.

E imprescindible destacar ademais a riqueza da procedencia dos po˜nentes dos SII. Moi a mi´udo temos o pracer de poder escoitar a xente chegada doutras faculta- des ou incluso doutras universidades, o cal da idea da capacidade de convocatoria e o alcance transversal das actividades do SII.

O Comit´e do SII, encargado de organizar as actividades do SII, facelas p´ublicas e atender as necesidades lox´ısticas das mesmas, ´e tam´en o responsable de elaborar estas actas que reflicten o enorme esforzo que, entre po˜nentes, o´ıntes e organizadores, estamos a realizar para que este proxecto sexa posible. Os propios po˜nentes foron os encargados de revisar os resumos das charlas, de xeito que cada quen tivo que corrixir un correspondente a unha ´area distinta ´a da s´ua especialidade, asegurando as´ı que estes sexan comprensibles para todos.

Por ´ultimo engadir que, como non poder´ıa ser doutra maneira, o curso que v´en haber´a cambios destinados a mellorar as actividades que o SII leva a cabo. Quizais o m´ais importante ´e a renovaci´on do Comit´e Organizador, axudando as´ı a manter vivo o esp´ırito iniciador ao que previamente fac´ıamos alusi´on.

1

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

Por que as pompas de xab´ on son redondas?

Area de Xeometr´ıa e Topolox´ıa´

Alberto Rodr´ıguez V´ azquez

Universidade de Santiago de Compostela 20 de setembro de 2017

Desigualdade isoperim´ etrica en R

²

Conta Virxilio na Eneida que tras unha guerra civil na cidade fenicia de Tiro (actual L´ıbano), o rei Pigmali´on venceu dando morte ´o sumo sacerdote Acerbas, apoder´andose as´ı das s´uas riquezas. Foi ent´on cando Dido, a irm´a de Pigmali´on e esposa de Acerbas, fuxiu cos seus partidarios e encabezou unha expedici´on que cruzou o Mediterr´aneo ata chegar ´as costas da actual T´unez. Al´ı, fundar´ıa a cidade que ser´ıa co˜necida como Cartago, a capital do gran imperio cartaxin´es. Dido ne- gociou co xefe da tribu local a adquisici´on de terras para fundar tal cidade. Este, receloso ´a chegada de forasteiros, concedeulles ´os nosos protagonistas a porci´on de terreo que puidesen abarcar cunha pel de touro. Dido, facendo uso dun gran inxenio, cortou a pel en forma de tiras e formou unha cinta de gran lonxitude de tal xeito que consegu´ıu delimitar unha extensa porci´on de terra. ¿Que curva debuxou Dido coa cinta da que dispo˜n´ıa para abarcar un recinto de ´area m´axima, considerando que se atopaba xunto ´o Mediterr´aneo? Os gregos co˜nec´ıan o feito de que no plano a curva que pecha maior ´area de entre todas as que te˜nen unha lonxitude fixa ´e a circunferencia. Isto p´odese reformular do seguinte xeito:

Teorema 1 (Desigualdade isoperim´etrica). Sexa Γ unha curva de Jordan rectificable que ten lonxitude l e pecha unha rexi´on de ´area A. Ent´on satisfaise a seguinte desigualdade

4πA ≤ l².

Unha proba moi breve foi dada polo matem´atico alem´an Hurwitz en 1902. Pri- meiro, precisaremos unha desigualdade moi utilizada no c´alculo de variaci´ons co-

˜

necida como desigualdade de Wirtinger que acota a norma L² dunha funci´on pola norma L² da s´ua derivada. A s´ua proba ´e moi sinxela e bas´ease en expresar a funci´on e a s´ua derivada en series de Fourier e utilizar a desigualdade de Bessel.

Proposici´on 1 (Desigualdade de Wirtinger). Sexa f unha funci´on real de variable real derivable a trozos con derivada continua de per´ıodo 2π. Sexa f = _2π¹ R2π

0 f (θ)dθ, o valor medio de f . Ent´on tense a seguinte desigualdade:

Z 2π 0

(f (θ) − f )²dθ ≤ Z 2π

0

(f⁰(θ))²dθ.

Palabras Clave: xeometr´ıa de superficies; tensi´on superficial; desigualdade isoperim´etrica.

3

A igualdade tense se e s´o se f (θ) = f + a cos(θ) + b sen θ con a, b ∈ R.

Lembremos que o Teorema de Green perm´ıtenos calcular a ´area da superficie pechada por unha curva de Jordan no plano. Se p e q son funci´ons diferenciables no plano e Γ ´e unha curva de Jordan de clase 1 acotando unha rexi´on Ω ⊂ R², ent´on

I

Γ

p(x, y)dx + q(x, y)dy = Z Z

Ω

q_x(x, y) − p_y(x, y)dxdy.

Agora, se tomamos p(x, y) = 0 e q(x, y) = x, tense que I

Γ

xdy = Z Z

Ω

dxdy = A(Ω).

Demostraci´on do Teorema 1. Supo˜namos que a curva fronteira ten lonxitude l e que est´a parametrizada polo par´ametro lonxitude de arco. Ent´on hai d´uas funci´ons x(s), y(s) que satisf´an (^dx_ds)² + (^dy_ds)² = 1. Definimos a partir destas funci´ons d´uas novas: f e g, de xeito que te˜nan per´ıodo 2π e as´ı poidamos empregar a desigualdade de Wirtinger.

f (θ) = x lθ 2π



, g(θ) = y lθ 2π

 . Por outro lado, aplicando a regra da cadea obtemos que

f⁰(θ)²+ g⁰(θ)² = l²

4π². (1)

Observemos tam´en que, por ser g de per´ıodo 2π, a integral de g⁰(θ) entre 0 e 2π

´e nula. Tendo en conta as consideraci´ons anteriores, empregando a identidade de polarizaci´on e aplicando a desigualdade de Wirtinger, temos o seguinte

2A =2 Z l

0

x(s)y⁰(s)ds = 2 Z l

0

f 2π l s

 g⁰ 2π

l s 2π l ds =

↓ θ = ^2πs_l

2 Z 2π

0

f (θ)g⁰(θ)dθ

=2 Z 2π

0

(f (θ) − f )g⁰(θ)dθ = Z 2π

0

(f (θ) − f )²+ (g⁰(θ))²− (f (θ) − f − g⁰(θ))²dθ

≤ Z 2π

0

f⁰(θ)²+ g⁰(θ)²dθ = Z 2π

0

l²

4π²dθ = l² 2π.

A igualdade desta ´ultima expresi´on forza ´a igualdade na desigualdade de Wirtinger.

Polo tanto, f (θ) = f + a cos θ + b sen θ para certos a, b ∈ R. A igualdade tam´en obriga a que R2π

0 (f − f − g⁰)²dθ = 0, polo que g⁰ = f − f . Polo tanto, g(θ) = g + a sen θ − b cos θ. Por ´ultimo, (1) implica que a²+ b² = _4π^l22. As´ı que (x(s), y(s))

´e a circunferencia de radio _2π^l , ´e dicir, a circunferencia de lonxitude l.

Alberto Rodr´ıguez V´azquez SII 5

A f´ısica e a qu´ımica das soluci´ ons xabonosas.

Se un d´ıa imos ´o r´ıo e este est´a suficientemente limpo, observaremos que sobre a superficie da auga hai unhas criaturas co˜necidas como zapateiros, que levan por nome cient´ıfico ‘Gerris lacustris’, que parecen cami˜nar sobre ela. Para n´os pode parecer imposible cami˜nar sobre a auga pero estes insectos poden facelo grazas a unha propiedade da mesma chamada tensi´on superficial. O que est´a ocurrindo ´e que a superficie da auga comp´ortase igual que un trampol´ın, ´e dicir, presenta certa flexibilidade e c´urvase polo peso do zapateiro. Supo˜namos que temos un recipiente cun l´ıquido ubicado nun medio gaseoso. Nesta situaci´on, as mol´eculas no interior do l´ıquido est´an sometidas a forzas de atracci´on que promediadas nun tempo macro- osc´opico ser´an nulas. Pola contra, se tomamos unha mol´ecula pr´oxima ´a superficie experimentar´a unha forza menor polo gas que hai enriba xa que a densidade do gas

´e menor que a do l´ıquido. Polo tanto, estas mol´eculas experimentar´an en promedio unha forza que as leva cara ´o interior do flu´ıdo, provocando que a ´area da superficie sexa reducida ata o m´ınimo posible.

A tensi´on superficial σ def´ınese como o m´odulo da forza F que act´ua tanxen- cialmente por unidade de lonxitude l no borde dunha superficie dun l´ıquido en equilibrio:

σ = F l .

As s´uas unidades son N · m⁻¹, J · m⁻². As soluci´ons xabonosas te˜nen a propiedade remarcable de formar pompas e pel´ıculas estables. Unha pel´ıcula xabonosa consiste en d´uas superficies separadas por unha fina capa de flu´ıdo que pode variar en grosor dende os 2·10⁻⁵˚A ata os 50˚A. O grosor m´aximo ocurrir´a xusto despois da formaci´on da pel´ıcula. Unha vez se forme esta, comezar´a a adelgazar. Os xab´ons son substan- cias surfactantes ou tensioactivas, ´e dicir, reducen a tensi´on superficial. Ademais, estabilizan as pel´ıculas xabonosas porque crean unha repulsi´on entre ambas super- ficies da pel´ıcula imped´ındolles adelgazar e, consecuentemente, que estoupen. Para m´ais informaci´on sobre o tema p´odese consultar [1].

Vexamos m´ais polo m´ıudo como a tensi´on superficial provoca que a ´area dunha pel´ıcula de xab´on sexa minimizada. Para obter unha expresi´on para a enerx´ıa da pel´ıcula xabonosa consideremos unha que te˜na por bordo un arame rectangular ABCD de lonxitude l, cun dos dous lados do arame libre para se mover na direcci´on perpendicular a BC como na Figura 1. Se este lado est´a a unha distancia inicial x do lado paralelo fixado e experimenta un desprazamento δx, o traballo realizado contra a tensi´on ser´a

δW = F δx = 2σlδx = 2σδA,

onde 2σ ´e a tensi´on superficial do flu´ıdo multiplicada por 2, xa que a pel´ıcula consta de d´uas superficies.

Polo tanto, o traballo necesario para incrementar a ´area dunha pel´ıcula xabonosa de 0 ata A v´en dado por

W = Z A

0

2σdA.

Figure 1: Enerx´ıa dunha pel´ıcula xabonosa.

Se a concentraci´on de mol´eculas tensioactivas ´e grande tense que σ non depende da

´

area, polo que

W = 2σA.

A enerx´ıa dunha pel´ıcula de xab´on ´e propocional ´a s´ua ´area. Polo tanto, para que a pel´ıcula de xab´on estea en equilibrio estable, deber´a minimizar a s´ua enerx´ıa, e como consecuencia, minimizar a s´ua ´area.

A desigualdade isoperim´ etrica en R

³

Dada unha superficie M en R³ sabemos que H, a curvatura media de M , non

´e m´ais que a media aritm´etica dos autovalores do operador forma. Nesta secci´on daremos un resultado que clasifica as superficies compactas de curvatura media constante. Para comezar, reparemos no feito de que se unha superficie ´e minimal,

´e dicir H ≡ 0, a s´ua curvatura de Gauss, K, ´e non positiva. Sabemos ademais que toda superficie compacta M ten polo menos un punto el´ıptico, ´e dicir, existe p ∈ M tal que K(p) > 0. Polo tanto, se unha superficie ´e minimal non pode ser compacta.

Ent´on se a nosa superficie ´e compacta e ten curvatura media constante esa constante

´e distinta de 0.

Como son as superficies compactas con curvatura media constante? O Teorema de Alexandrov responder´a a esta pregunta. Para iso ser´a necesario botar man de dous resultados cl´asicos que se obte˜nen a partir do estudo das propiedades dos operadores diferenciais el´ıpticos, o principio do m´aximo interior e o principio do m´aximo na fronteira.

Toda superficie regular M pode ser expresada localmente como o grafo dunha funci´on diferenciable ϕ nunha veci˜nanza do cero. Dicimos que M₁≤ M₂se ϕ₁ ≤ ϕ₂. A demostraci´on dos seguintes resultados pode ser atopada en [3].

Teorema 2 (Principio do m´aximo interior). Sexan M₁, M₂ superficies regulares de R³, con curvaturas medias H₁, H₂ respectivamente. Supo˜namos que H₁≥ H₂ e que

Alberto Rodr´ıguez V´azquez SII 7

existe p ∈ M₁∩ M₂, tal que M₁ ≤ M₂ en p. Ent´on existe O, veci˜nanza de p en R³, tal que M1 e M2 coinciden en O.

Por outra banda, tam´en ser´a necesario empregar a seguinte caracterizaci´on da esfera.

Teorema 3 ([3]). Sexa M unha superficie conexa e compacta. Se para cada direcci´on d ∈ S² existe un plano πdnormal a d, de xeito que M sexa sim´etrica respecto a πd, ent´on M ´e unha esfera.

Teorema 4 (Teorema de Alexandrov). Sexa M unha superficie conexa e compacta con curvatura media constante, ent´on M ´e unha esfera.

Demostraci´on. Escollamos unha direcci´on d e un plano π perpendicular a d que non interseque a M . Pola compacidade de M temos garantido que se deslizamos π

´

o longo de d haber´a un primeiro punto de contacto entre M e π. Seguimos movendo o plano unha distancia ε > 0 na direcci´on de d. Chamaremos a este plano π_ε. O plano πεinterseca a M . Reflexamos M sobre πε e chamamos a imaxe de M por esta reflexi´on Mε. Agora incrementamos ε ata que ocorra que o lado de Mε que queda por enriba de π_ε toca a M nun punto que non estea sobre o plano π_ε.

Figure 2: Caso de punto com´un no interior.

Nese caso temos un punto de contacto interior entre M e M_ε. Polo Teorema 2 temos que existir´a unha veci˜nanza com´un a M_ε e M , xa que M e M_ε te˜nen a mesma curvatura media. Como a direcci´on d foi tomada de xeito arbitrario, temos que para cada direcci´on hai un plano de simetr´ıa e polo Teorema 3, conclu´ımos que M ´e unha esfera por un argumento de compacidade.

Antes de probar que a esfera ´e a soluci´on do problema isoperim´etrico en R³, observemos que ´e equivalente atopar un conxunto que maximice o volume para unha ´area dada e atopar un conxunto que minimice ´area para un volume dado.

Teorema 5 (Osserman, [2]). Se M ten menor ´area de entre todas as superficies que pechan un volume dado, M ´e unha esfera.

Demostraci´on. Supo˜namos un dominio Ω en R³ limitado por unha superficie M con parametrizaci´on X que satisfai a propiedade do enunciado. Sexa h : M −→ R unha funci´on diferenciable e denotemos por M_t a superficie dada pola parametrizaci´on X^t(u, v) = X(u, v) + th(u, v)N (u, v), onde N ´e o vector normal a M . Se A(t) ´e a

´

area de Mt e V (t) o volume pechado por Mt, as f´ormulas da primeira variaci´on da

´

area e o volume son, respectivamente A⁰(0) = −

Z

M

hHdA, V⁰(0) =

Z

M

hdA.

Supo˜namos que existe h tal que V⁰(0) = 0 e A⁰(0) 6= 0. Aplicando unha homotecia de raz´on (V /V (t))¹³ a Mt obtemos unha superficie ˆMt que limita un volume V e unha ´area ˆA(t). Para valores pequenos de t ser´a m´ais grande ou m´ais pequena que A segundo o signo de t. Polo tanto, para que a nosa superficie te˜na ´area m´ınima de entre todas as que acotan un volume V deber´a ser certo que se R

MhdA = 0 e ent´onR

MhHdA = 0. Vexamos que isto implica que H ´e constante. Supo˜namos que existen dous puntos, p e q en M con H(p) 6= H(q). Nese caso, podemos tomar unha funci´on h tal que sexa nula ag´as nunha veci˜nanza de p e de q, onde toma valores opostos. Deste xeito teremos que R

MhdA = 0, pero R

MhHdA > 0. Xa vimos que isto non pode suceder se M minimiza ´area para un volume prefixado. Ent´on como M ´e compacta e ten curvatura media constante, polo Teorema 4 ´e unha esfera.

Deste xeito, como as pompas de xab´on tenden a minimizar a s´ua ´area, tense que estas adoptar´an forma esf´erica.

Bibliograf´ıa

[1] C. Isenberg (1992). The science of soap films and soap bubbles, Dover Publica- tions, Inc., New York, 1992.

[2] R. Osserman (1978). The isoperimetric inequality, Bulletin of the American Mathematical Society, 84(6), 1182-1238.

[3] J. P´erez (2017). Superficies m´ınimas y de curvatura media constante en R³, http://wpd.ugr.es/~jperez/wordpress/wp-content/uploads/todo.pdf (Notas). Consultado por ´ultima vez: setembro 2017.

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

O bootstrap para a estimaci´ on non param´ etrica da funci´ on de raz´ on de fallo

Area de Estat´ıstica e Investigaci´´ on Operativa

In´ es Barbeito Cal

Universidade da Coru˜na 4 de outubro de 2017

Introduci´ on

O principal obxectivo da Inferencia Estat´ıstica ´e intentar extraer conclusi´ons para unha determinada poboaci´on a partir dunha mostra da mesma. Algunhas das s´uas principais finalidades son: a estimaci´on puntual dun par´ametro, a construci´on de intervalos de confianza para o mesmo, e a realizaci´on de contrastes de hip´oteses.

Por´en, para facer este tipo de tarefas prec´ısase do co˜necemento dalgunha das fun- ci´ons que caracterizan a distribuci´on que segue a poboaci´on a estudar (como son a funci´on de densidade, ou a funci´on de distribuci´on), e que na pr´actica non sempre resultan co˜necidas.

Unha das formas de resolver este problema ´e supo˜ner que a funci´on de distribu- ci´on pertence a unha familia param´etrica e estimar eses par´ametros. Non obstante, nesta comunicaci´on empregaremos un enfoque non param´etrico, no cal estimaremos algunhas das curvas que caracterizan a poboaci´on (en particular, a funci´on de raz´on de fallo), sen necesidade de supo˜ner que a funci´on de distribuci´on pertence a unha familia param´etrica.

Consideremos (X1, X2, ... , Xn) unha mostra aleatoria simple que prov´en dunha poboaci´on con densidade f e unha funci´on de distribuci´on F . O noso obxectivo ser´a estimar a funci´on de raz´on de fallo, r (ver [8], [9]), que se expresa como segue:

r(x) = l´ım

δ→0⁺

P (X ≤ x + δ |X > x )

δ = f (x)

1 − F (x).

Se ademais non supo˜nemos ningunha hip´otese param´etrica sobre a distribuci´on subxacente, un xeito natural de proceder ser´ıa estimar a funci´on r de xeito non param´etrico:

ˆ

r_h(x) = fˆ_h(x)

1 − ˆFh(x), (1)

Palabras Clave: selector de vent´a; erro cadr´atico medio integrado; raz´on de fallo; bootstrap suavizado.

9

onde ˆf_h(x) = 1 n

n

P

i=1

K_h(x − X_i) ´e o estimador non param´etrico da funci´on da densidade de Parzen-Rosenblatt (ver [6],[7]), sendo K unha funci´on tipo n´ucleo (Kh(u) = ¹_hK(^u_h)). Pola s´ua banda, h > 0 ´e o par´ametro de suavizado (ou par´ame- tro vent´a) que regula o tama˜no do entorno que se usa para levar a cabo a estimaci´on, e ser´a moi importante para unha correcta estimaci´on. Ademais, ´e habitual esixir que a funci´on n´ucleo, K, sexa sim´etrica en torno ´o cero, non negativa e que a s´ua integral sexa 1 (trat´andose as´ı dunha densidade).

Ademais, ˆF_h(x) = 1 n

n

P

i=1

K x − X_i h



´

e o estimador non param´etrico tipo n´ucleo da funci´on de distribuci´on, onde K(t) = R_t

−∞K(u)du ´e a funci´on de distribuci´on acumulativa asociada a K.

Unha das aplicaci´ons m´ais interesantes da estimaci´on non param´etrica da raz´on de fallo ´e poder extraer conclusi´ons para unha determinada poboaci´on a partir dunha mostra que sexa representativa da mesma. Isto ´e de especial relevancia xa que en numerosas ocasi´ons non ´e posible obter os datos de toda a poboaci´on de estudo.

Cobran gran importancia neste ´ambito as chamadas t´ecnicas de remostraxe, entre as que destaca o bootstrap (ver [3]). Con elas, a partir dunha mostra que sexa representativa da poboaci´on, ´e posible xerar tantos datos como se queira cunha distribuci´on similar ´a distribuci´on da poboaci´on orixinal.

Centrar´emonos neste tipo de t´ecnicas nesta comunicaci´on, co fin de establecer o par´ametro de suavizado, h, para o cal se minimice un criterio de erro a saber, o erro cadr´atico medio integrado (ou M ISEw):

M ISEw(h) = E

Z

(ˆr_h(x) − r(x))² w(x) dx



, (2)

sendo w unha funci´on de peso.

Na Secci´on 2 descr´ıbese a metodolox´ıa bootstrap nun contexto non param´etrico.

Seguidamente, nas Secci´ons 3 e 4 establ´ecense dous novos par´ametros vent´a boots- trap para a funci´on de raz´on de fallo. Finalmente, na Secci´on 5, levarase a cabo un estudo de simulaci´on ilustrativo.

Bootstrap suavizado

ConsideremosX= (X^→ 1, ... , Xn) unha mostra aleatoria simple procedente dunha poboaci´on con distribuci´on F , desco˜necida, e supo˜namos que queremos facer infe- rencia sobre un estat´ıstico R = R(X, F ). Non obstante, como a distribuci´^→ on F ´e desco˜necida, teremos que estimala dalg´un xeito. Un dos m´etodos que imos empregar

´e o m´etodo bootstrap. Para iso, consideramos ˆF unha estimaci´on de F , e condicio- nalmente a esta mostra aleatoria simple obteremos unha remostraX^→

∗

= (X₁^∗, ... , X_n^∗) con distribuci´on ˆF . Consideramos a distribuci´on na remostraxe (distribuci´on boots- trap) do estat´ıstico R^∗ = R(X^→

∗

, ˆF ), e aproximaremos a distribuci´on na mostraxe de R pola distribuci´on bootstrap de R^∗.

In´es Barbeito Cal SII 11

No caso de que F sexa unha distribuci´on continua debemos introducir esa infor- maci´on ´a hora de proceder por bootstrap. Polo tanto, empregaremos o estimador da funci´on de densidade de Parzen-Rosenblatt e remostrexaremos del o que se co˜nece como bootstrap suavizado, que conta co seguinte plan de remostraxe:

1. A partir da mostra (X₁, ... , X_n) e empregando un valor h > 0 como par´ametro de suavizado, calc´ulase o estimador de Parzen-Rosenblatt, ˆfh.

2. X´eranse remostras bootstrapX^→

∗

= (X₁^∗, ... , X_n^∗) a partir da densidade ˆf_h. 3. Obtense o estat´ıstico na remostraxe R^∗= R(X^→

∗

, ˆF_h).

De non ser posible o c´alculo directo da distribuci´on bootstrap do estat´ıstico R^∗, procederemos a aproximala por Monte Carlo, ´e dicir, repetiremos B veces os pasos 1-3 para obter r´eplicas bootstrap R^∗(1), ... , R^∗(B); e empregaremos estas r´eplicas para aproximar a distribuci´on na remostraxe de R^∗.

A continuaci´on, presentaremos a metodolox´ıa bootstrap usada para seleccionar o par´ametro de suavizado, h. A idea b´asica consiste en dese˜nar un plan de remos- traxe, do tipo bootstrap suavizado, para estimar o erro cadr´atico medio integrado (M ISEw). Seguiremos a proposta de Cao ([2]), que procede deste xeito:

1. A partir da mostra (X1, ... , Xn) independente e identicamente distribu´ıda (iid), e empregando unha vent´a g > 0 ´a que denominaremos vent´a piloto, calc´ulase o estimador da funci´on de densidade de Parzen-Rosenblatt, ˆf_g. 2. X´eranse remostras bootstrap (X₁^∗, ... , X_n^∗) a partir da densidade ˆfg.

3. Para cada h > 0, obtense o an´alogo bootstrap do estimador da funci´on de raz´on de fallo:

ˆ r^∗_h=

fˆ_h^∗(x) 1 − ˆF_h^∗(x) =

1 n

n

P

i=1

K_h(x − X_i^∗) 1 − 1

n

n

P

i=1

K x − X_i^∗ h

 .

4. Constr´uese a versi´on bootstrap do M ISE_w, resultando:

M ISE_w^∗(h) = Z

E^∗ h

(ˆr^∗_h(x) − ˆr_g(x))² w(x)i dx.

5. Minim´ızase o M ISE_w^∗(h) en h > 0, e obtense o selector bootstrap:

h^∗_{M ISEw} = arg m´ın_h>0M ISE_w^∗(h).

Primeiro selector de vent´ a bootstrap

Consideremos o seguinte estimador ‘non observable’ na pr´actica da funci´on de raz´on de fallo:

˜

r_h,1(x) = fˆ_h(x)

1 − F (x). (3)

Como podemos ver en (3), o denominador segue dependendo dalg´un xeito da funci´on de distribuci´on te´orica subxacente, F . Logo, non se trata dun estimador real, sen´on dunha versi´on te´orica de (1), xa que depende de cantidades poboacionais.

Versi´on bootstrap do MISE

Consideremos (X₁^∗, ... , X_n^∗) unha remostra bootstrap suavizada, que depende dunha vent´a piloto, g, e a versi´on bootstrap do estimador ˜rh,1 dado en (3):

˜

r_h,1^∗ (x) =

fˆ_h^∗(x) 1 − ˆFg(x).

O seguinte resultado presenta unha expresi´on pechada para o MISE^∗_r˜

h,1,w(h) no caso iid, moi ´util xa que con ela non precisamos da aproximaci´on de Monte Carlo para obter as remostras bootstrap. Deste xeito af´orrase tempo de execuci´on e ob- tense un par´ametro vent´a m´ais preciso, sen erros de aproximaci´on.

Teorema 1. Consideremos unha funci´on de peso w que toma valores non negati- vos, est´a limitada e existe alg´un intervalo compacto [a, b] tal que soporte(w) ⊂ [a, b].

Ademais, sexa K unha funci´on de densidade sim´etrica e limitada, e f unha densi- dade limitada. Se F (b) < 1, ent´on a versi´on bootstrap suavizada do MISE para ˜r_h,1 admite a seguinte expresi´on pechada:

MISE^∗_˜rh,1,w(h) = Z "

1 n(1 − ˆFg(x))

n

X

i=1

(K_h∗ K_g(x − X_i) − K_g(x − X_i))

#2

w(x)dx

+ 1 nh

Z "

1 n(1 − ˆFg(x))²

n

X

i=1

K_h²∗ K_g(x − X_i)

#

w(x) dx

−1 n

Z "

1 n(1 − ˆFg(x))

n

X

i=1

K_h∗ K_g(x − Xi)

#2

w(x) dx.

O selector de vent´a resulta: h_{BOOT 1}= h_MISE^∗

rh,1,w˜ = arg m´ın_h>0MISE^∗_˜r

h,1,w(h).

In´es Barbeito Cal SII 13

Segundo selector de vent´ a bootstrap

A principal diferenza co estimador dado en (3) ´e que usaremos unha versi´on aproximada da expresi´on ˆr_h(x) − r(x), onde ˆr_h ´e o estimador non param´etrico da funci´on de fallo dada en (1). Usaremos o feito de que ˆFh ´e o estimador tipo n´ucleo de F . O estimador aproximado, ˜r_h,2, v´en dado por:

˜

r_h,2(x) = (ˆr_h(x) − r(x))1 − ˆF_h(x)

1 − F (x) + r(x) (4)

= 1

1 − F (x)

fˆh(x) + f (x) (1 − F (x))²

Fˆh(x) − f (x)

(1 − F (x))² + r(x).

Versi´on bootstrap do MISE

Consideremos unha vent´a piloto, g, unha remostra suavizada bootstrap (X₁^∗, ... , X_n^∗), e a versi´on bootstrap da expresi´on dada en (4), que resulta:

˜

r^∗_h,2(x) = 1 1 − ˆFg(x)

fˆ_h^∗(x) + fˆg(x) (1 − ˆFg(x))²

Fˆ_h^∗(x) − fˆg(x) (1 − ˆFg(x))².

En [1] p´odese atopar un teorema similar ao presentado na Secci´on 3, no que se prop´on unha expresi´on expl´ıcita para MISE^∗_r˜

h,2,w(h) no contexto de datos iid (coa que podemos evitar o uso de Monte Carlo). Analogamente, establ´ecese un par´ametro vent´a h definido como segue: h_{BOOT 2}= h_MISE^∗

rh,2,w˜ = arg m´ın

h>0MISE^∗_r˜

h,2,w(h).

Simulaci´ ons

A continuaci´on, l´evase a cabo un breve estudo de simulaci´on coa fin de comprobar o comportamento emp´ırico dos novos selectores de vent´a propostos en cada caso, h_{BOOT 1} e h_{BOOT 2}, e tam´en para comparar o seu comportamento na pr´actica cos par´ametros vent´a xa existentes ata o momento: a vent´a de validaci´on cruzada de Patil ([5]) e a vent´a bootstrap de Gonz´alez-Manteiga et al ([4]), denotadas por hCV e h^∗_GCM, respectivamente. Consid´eranse que a mostra prov´en dunha normal est´andar e a seguinte funci´on de peso: w(x) = I(^{−∞, ˆ}Q3] (x), ondeQˆ3´e o estimador do terceiro cuartil, denominado Q₃.

Mostraranse os seguintes resultados aproximados por simulaci´on: log(ˆh/hM ISEw) e log(M ISE_w(ˆh)/M ISE_w(h_{M ISEw})), onde h_{M ISEw} ´e o par´ametro vent´a que mini- miza a funci´on M ISE_w dada en (2) e ˆh ∈ {h_{BOOT 1}, h_{BOOT 2}, h_CV, h^∗_GCM}. A si- tuaci´on ´optima ser´ıa que os diagramas de caixas fosen estreitos e que se atopasen o m´ais preto posible do 0.

A Figura 1 amosa que o par´ametro de suavizado con mellor comportamento na pr´actica ´e hBOOT 1, seguido por hBOOT 2 e h^∗_GCM. Por outra banda, hCV ´e, sen lugar a d´ubidas, o peor.

CV BOOT1 BOOT2 GCM

−3−2−10123

CV BOOT1 BOOT2 GCM

01234

BOOT1 BOOT2 GCM

0.00.51.01.5

Figure 1: Boxplots de log(ˆh/h_{M ISE}) (lado esquerdo) e log(M ISE(ˆh)/M ISE(h_{M ISE})) (centro), considerando 1000 mostras aleato- rias simples de tama˜no n = 200 e vent´a piloto g = 0,2 ˆIQRn^−1/7. A figura do panel dereito ´e un zoom da figura do panel do centro.

Bibliograf´ıa

[1] Barbeito, I. and Cao, R. (2018). Smoothed bootstrap bandwidth selection for hazard rate estimation. Preprint.

[2] Cao, R. (1993). Bootstrapping the mean integrated squared error. J. Mult.

Anal. 45, 137-160.

[3] Efron, B. and Tibishirani (1993). An Introduction to the Bootstrap, Chapman

& Hall, New York.

[4] Gonz´alez-Manteiga, W., Cao, R. and Marron, J. (1996). Bootstrap selection of the smoothing parameter in nonparametric hazard rate estimation, J. Am. Stat.

Assoc., 91, pp. 1130–1140.

[5] Patil, P. (1993). On the least squares cross-validation bandwidth in hazard rate estimation, Ann. Statist., 21, pp. 1792–1810.

[6] Parzen, E. (1962). Estimation of a probability density-function and mode, Ann.

Math. Statist., 33, pp. 1065–1076.

[7] Rosenblatt, M. (1956). Estimation of a probability density-function and mode, Ann. Math. Statist., 27, pp. 832–837.

[8] Watson, G. and Leadbetter, M. (1964a). Hazard analysis i, Biometrika, 51, pp.

175–184.

[9] Watson, G. and Leadbetter, M. (1964a). Hazard analysis ii, Sankhya Ser. A, 26, pp. 101–116.

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

E se as bandas de M¨ obius fosen cilindros?

Area de ´´ Alxebra

Beatriz ´ Alvarez D´ıaz

Universidade de Santiago de Compostela 18 de outubro de 2017

Que ocorrer´ıa se todos os fibrados vectoriais sobre unha circunferencia fosen triviais? Isto implicar´ıa que a banda de M¨obius e o cilindro son homemomorfos, cousa que non ´e certa. Por´en, si poder´ıa ocorrer con outras variedades como, por exemplo, co espazo af´ın.

Dita especulaci´on ´e a que deu lugar ´a Conxetura de Serre: “todos os fibrados vectoriais sobre o espazo af´ın son triviais”. Durante d´ecadas o problema alx´ebrico asociado a dita conxetura foise resolvendo parcialmente, culminando coa s´ua demos- traci´on en 1976. Nos anos posteriores xorden novas formas de demostraci´on, como a proba elemental de Suslin. O obxetivo ser´a abordar a idea de dita demostraci´on, coa que xorde tam´en unha nova ferramenta matem´atica: as filas unimodulares.

Todos os aneis considerados ser´an conmutativos e ademais unitarios, ´e dicir, conte˜nen un elemento neutro para o produto distinto do neutro para a suma.

Interpretaci´ on xeom´ etrica do problema

Imos comezar introducindo un concepto imprescidible para entender a interpre- taci´on xeom´etrica do problema a abordar: o concepto de fibrado vectorial.

Definici´on 1. Dado un espazo topol´oxico, denominado base, e dado un espazo vec- torial para cada punto de dito espazo base, chamaremos fibrado vectorial ´a uni´on de todos estes espazos vectoriais de xeito que constit´uan un novo espazo topol´oxico cuxa proxecci´on sobre o espazo base sexa continua

O exemplo m´ais sinxelo de fibrado vectorial ´e o fibrado tanxente. Se pensamos, por exemplo, no caso particular das superficies a cada punto podemos asociarlle un plano tanxente. A uni´on de todos eses planos formar´a o fibrado tanxente asociado

´

a superficie.

Pensemos agora nun caso m´ais f´acil de visualizar: na circunferencia de raio uni- dade, S¹. Se a cada punto de dita circunferencia lle asociamos o espazo vectorial R e “pegamos” as rectas reais verticalmente obteremos como fibrado vectorial un cilindro. Se “pegamos” ditas rectas doutro xeito, cunha certa inclinaci´on, podemos obter outro fibrado vectorial distinto: o que se co˜nece como unha banda de M¨obius.

Palabras Clave: Conxectura de Serre; m´odulos proxectivos; m´odulos libres; fibrados vecto- riais; m´odulos establemente libres.

15

O primeiro destes fibrados ten ademais unha particularidade que non ten a banda de M¨obius: o cilindro p´odese escribir como produto cartesiano do espazo topol´oxico inicial e o espazo vectorial que lle asociamos, ´e dicir, S¹× R. Os fibrados que te˜nen esta propiedade denom´ınanse fibrados vectoriais triviais.

A traduci´on do problema xeom´etrico ao poblema de car´acter alx´ebrico far´emola a trav´es dos seguintes resultados:

Os fibrados vectoriais sobre un espazo topol´oxico X est´an en correspondencia bixectiva cos m´odulos proxectivos finitamente xerados sobre o anel de funci´ons C^∞(X).

Os fibrados vectoriais triviais corresp´ondense ´a s´ua vez bixectivamente cos m´odulos libres finitamente xerados sobre o devandito anel.

Definamos formalmente estes dous novos conceptos que acabamos de introducir:

Definici´on 2. Diremos que M ´e libre se ten unha base, ou equivalentemente, se M ∼=L

i∈I

Mi, onde Mi ∼= A. Se M ´e finitamente xerado ser´a libre se

M ∼= A ⊕ ··· ⊕ A.

Definici´on 3. Un A-m´odulo P ´e proxectivo se ´e sumando directo dun A-m´odulo libre L, ´e dicir, se se verifica que L ∼= P ⊕ Q, para alg´un A-m´odulo Q. Se P ´e finitamente xerado ser´a proxectivo se existen un enteiro n e outro A-m´odulo Q tales que

Aⁿ∼= P ⊕ Q.

Das propias definici´ons s´eguese que un m´odulo libre ´e sempre proxectivo. Que ocorrer´ıa se para un espazo topol´oxico todos os m´odulos proxectivos finitamente xerados sobre o anel C^∞(X) fosen libres? Dos resultados anteriores podemos deducir que nese caso todos os fibrados vectoriais sobre X ser´ıan triviais.

Reflexionemos sobre esta posibilidade de novo co exemplo de S¹ e os dous fi- brados vectoriais constru´ıdos. Se todos os fibrados vectoriais sobre S¹ fosen triviais, ent´on a banda de M¨obius ser´ıa homeomorfa ao cilindro. Isto non ocorre e unha das formas de probalo ´e ver que a banda de M¨obius ten unha ´unica cara mentras que o cilindro ten d´uas.

Logo para S¹ existen m´odulos proxectivos finitamente xerados sobre o anel de funci´ons co que estamos traballando que non son libres. Sobre que espazos topol´o- xicos todos os fibrados vectoriais son triviais? Ocorrer´a sobre o espazo af´ın?

Esta ´ultima pregunta foi plantexada por Jean-Pierre Serre nos anos 50 na s´ua versi´on alx´ebrica. O noso obxectivo ser´a agora ver que efectivamente o espazo af´ın

´e un espazo topol´oxico que ten esta propiedade e para iso faremos unha breve introduci´on hist´orica da resoluci´on de dito problema.

Beatriz ´Alvarez D´ıaz SII 17

A Conxectura de Serre

“Ignoramos se existen A-m´odulos proxectivos finitamente xerados que non sexan libres” ´e a declaraci´on de Jean-Pierre Serre que deu lugar ´a co˜necida como Conxec- tura de Serre, ou como el prefer´ıa que se denominara, Problema de Serre. Foi no ano 1955 cando nun dos seus artigos m´ais salientables, Faisceaux alg´ebriques coh´erents, deixou constancia desta reflexi´on refer´ındose con A ao anel de polinomios en varias variables k[t1, ... , tn] sobre un corpo k.

A falta dunha topolox´ıa axeitada no corpo k, contamos polo menos coas funci´ons definidas por polinomios. No caso do espazo af´ın, para estudar os fibrados vectoriais e os seus m´odulos asociados podemos substitu´ır os aneis de funci´ons C^∞(kⁿ) por este anel de polinomios.

A evoluci´on desta conxectura tivo lugar nas d´uas d´ecadas posteriores: o caso dunha variable ´e elemental e durante os primeiros anos o problema foise resolven- do para outros casos particulares. Curiosamente, ningunha destas demostraci´ons chegaba a xeneralizar as anteriores.

Entre os anos 1957 e 1958 a combinaci´on dun teorema de Hilbert e outro de Serre permitiu demostrar que todo m´odulo proxectivo finitamente xerado sobre k[t1, ... , tn]

´e establemente libre (ver Definici´on 4). Volveremos posteriormente a este resultado e veremos que foi un resultado clave para chegar a demostrar a conxectura.

Finalmente en 1976, Daniel Quillen en Cambridge e Andrei Suslin en San Pe- tesburgo, cada un dun lado do Tel´on de Aceiro demostraron de forma simult´anea e independente que a Conxectura de Serre se verificaba para un n´umero arbitrario de variables n e calquera corpo k.

A partir dese momento, xorden novas demostraci´ons, m´ais elementais que as orixinais, que servir´an de punto de partida para novas li˜nas de investigaci´on. ´E o caso das demostraci´ons elementais de Vaserstein e da que d´a o propio Suslin apenas un ano despois, que ser´a na que centraremos a nosa atenci´on.

M´ odulos establemente libres

Das mesmas definici´ons podemos deducir que os m´odulos establemente libres son un concepto intermedio entre os m´odulos proxectivos e os libres:

Definici´on 4. Un m´odulo finitamente xerado M ´e establemente libre sobre un anel A se existen enteiros m e n tales que M ⊕ A^m ∼= Aⁿ. Se m ´e o menor dos enteiros que o verifica, M dirase de tipo m.

Todo m´odulo libre ´e claramente establemente libre. Ademais os m´odulos esta- blemente libres non son m´ais que sumandos directos de libres con complemento libre. ´E sinxelo ver que son proxectivos, pois estes ´ultimos son realmente sumandos directos de m´odulos libres aos que non lles esiximos ningunha condici´on adicional ao complemento.

O seguinte esquema para m´odulos finitamente xerados sobre o anel A pode axudar a entender esta cadea de implicaci´ons:

Ademais sobre o noso anel de polinomios verif´ıcase tam´en o rec´ıproco da ´ultima das implicaci´ons. Chegados a este punto resta s´o ver a implicaci´on coa interrogante.

Para levar a cabo dita proba transformaremos de novo o problema actual, que con- siste en ver que todo m´odulo finitamente xerado establemente libre sobre k[t₁, ... , t_n]

´e libre, nun m´ais sinxelo de ´alxebra lineal sobre aneis.

Antes de nada imos inclu´ır un resultado que non imos probar, pero que se pode demostrar facilmente facendo uso de sucesi´ons exactas cortas escindidas.

Lema 1. Un A-m´odulo finitamente xerado M ´e establemente libre de tipo m se, e s´o se, se verifica que M ∼= ker(Aⁿ−→ A^{ω m}) para alg´un epimorfismo ω. Ademais este epimorfismo ω ´e unha retracci´on.

Se tomamos M a matriz m × n asociada a dita retracci´on obteremos una matriz inversible pola dereita, ´e dicir, existir´a unha matriz N de tama˜no n × m tal que MN = I_m, sendo Im a identidade m × m.

Do mesmo xeito, se temos M unha matriz m × n invertible pola dereita, esta define un A-m´odulo finitamente xerado M : o conxunto de soluci´ons da ecuaci´on matricial M · x = 0, ´e dicir,

M = {v ∈ Aⁿ | M · v = 0}

considerando v como un vector columna. Dita matriz define unha aplicaci´on sobre- xectiva ωM e, como M = ker(A^{n ω}−→ A^{M m}), polo lema previo temos probado que M

´e establemente libre de tipo m.

Comezamos as´ı a ver a correspondencia que existe entre A-m´odulos establemente libres e matrices invertibles pola dereita sobre A.

Proposici´on 1. Un A-m´odulo ker(Aⁿ−→ A^{ω m}) ´e libre se e s´o se existe un isomor- fismo ˆω : Aⁿ→ A^m⊕ A^r, para alg´un enteiro r, tal que π₁◦ ˆω = ω.

A^m⊕ A^r

Aⁿ _ω A^m 0

π1

ˆ ω

Demostraci´on:

Supo˜namos que existe o isomorfismo ˆω descrito na proposici´on, tal que π1◦ ˆω = ω.

Ent´on ker ω ∼= ker π1= A^r para alg´un r.

Rec´ıprocamente, se K := ker(Aⁿ −→ A^{ω m}) ´e libre existen un enteiro r e un isomorfismo g : K → A^r de forma que K ∼= A^r. Podemos definir un A-m´odulo Q tal que Aⁿ= Q ⊕ K e as´ı a restrici´on de ω a Q, denot´emola por f : Q → A^m, ´e un isomorfismo. Logo f ⊕ g : Aⁿ→ A^m⊕ A^r ´e o isomorfismo ˆω buscado. 2

Beatriz ´Alvarez D´ıaz SII 19

Denotemos por M_ω a matriz asociada a ω e por N_ωˆ a matriz n × n asociada ao isomorfismo ˆω, se este existe. A condici´on de que π1◦ ˆω = ω implica que Mω ´e unha submatriz de N_ωˆ formada polas m primeras filas.

Por outra banda, a condici´on de que ˆω sexa un isomorfismo garantiza que N_ωˆ ´e unha matriz invertible ou, equivalentemente, que existe unha matriz N⁰ de tama˜no n × n tal que N_ωˆN⁰ = I_n e N⁰N_ωˆ = I_n. Desta forma podemos establecer unha versi´on matricial da proposici´on anterior do seguinte xeito:

Proposici´on 2. Para calquera matriz m × n invertible pola dereita M, o espazo de soluci´ons da ecuaci´on M · x = 0

M = {x ∈ Aⁿ | M · x = 0}

´e libre se e s´o se M se pode completar ata obter unha matriz invertible engadindo un n´umero adecuado de filas.

Demostraci´on:

Supo˜namos que M ´e unha matriz m × n invertible pola dereita. Ent´on existe unha matriz M⁰ de tama˜no n × m tal que MM⁰ = I_m e polo tanto M define un ho- momorfismo f : Aⁿ → A^m que ´e retracci´on. Polo Lema 1 o espazo de soluci´ons M = ker f ser´a un A-m´odulo finitamente xerado establemente libre de tipo m.

Este A-m´odulo ser´a libre se e s´o se, como temos explicado previamente, existe unha matriz N invertible (asociada ao isomorfismo ˆω do diagrama da Proposici´on 1)

da cal M sup´on as s´uas m primeiras filas. 2

En particular, no caso de que a matriz M invertible pola dereita sexa 1 × n:

Definici´on 5. Diremos que (a1, ... , an) ´e unha fila unimodular se existen c1, ... , cn∈ A tales que c1a1+ ··· + cnan= 1.

Recopilando estes ´ultimos resultados:

Corolario 1. Para calquera anel A, as seguintes afirmaci´ons son equivalentes:

1. Todo A-m´odulo finitamente xerado establemente libre ´e libre.

2. Todo A-m´odulo finitamente xerado establemente libre de tipo 1 ´e libre.

3. Toda fila unimodular sobre A se pode completar ata obter unha matriz inver- tible, engadindo un n´umero adecuado de filas.

Demostraci´on:

1 ⇒ 2. Se se cumpre para todos, en particular tam´en para os de tipo 1.

2 ⇒ 1. Probar´emolo por inducci´on no tipo n. Para o caso n = 1 temos por hip´otese que todo A-m´odulo finitamente xerado ´e libre. Tomemos agora M un A- m´odulo de tipo n, que por ser establemente libre e finitamente xerado verifica que M ⊕ Aⁿ∼= A^m. Por hip´otese de inducci´on M ⊕ Aⁿ⁻¹´e libre e do caso n = 1 ded´ucese que M ⊕ Aⁿ⁻¹⊕ A tam´en o ´e.

2 ⇒ 3. Sexa α unha fila unimodular sobre A. Por definici´on α ´e unha matriz 1 × n invertible pola dereita. O espazo de soluci´ons de α · x = 0 ´e un A-m´odulo establemente libre e polo tanto, por hip´otese, libre. Pola Proposici´on 2 tense que dita fila unimodular ´e completable a unha matriz invertible.

3 ⇒ 2. Sexa M un A-m´odulo establemente libre finitamente xerado de tipo 1.

Polo Lema 1, temos que M ∼= ker(Aⁿ−→ A) con ω unha retracci´^ω on. Dito epimorfis- mo define unha matriz invertible pola dereita 1×n, ´e dicir, unha fila unimodular. Por hip´otese esta fila ´e completable a unha matriz invertible e de novo pola Proposici´on 2 temos que ker(Aⁿ−→ A) ´^ω e libre e ´a s´ua vez tam´en M . 2 Diremos que un anel ´e hermitiano se verifica as condici´ons do Corolario 1.

Podemos dicir logo que buscamos probar que o anel k[t₁, ... , t_n] ´e hermitiano.

As filas unimodulares foron a clave da demostraci´on elemental de Suslin da Conxectura. Co obxectivo de traballar con elas denotaremos GL_n(A) o grupo de matrices n×n invertibles con entradas no anel A e introducimos a seguinte notaci´on:

Definici´on 6. Sexa G un subgrupo de GLn(A). Se α e β son filas unimodulares sobre A, escribirase α ∼_Gβ se existe M ∈ G tal que αM = β.

Cando as filas unimodulares son completables ent´on a matrices invertibles? Ou o que ´e mismo, cando son completables a unha matriz de GL_n(A)?

Proposici´on 3. Sexa α unha fila unimodular e G un subgrupo de GLn(A). Ent´on α p´odese completar a unha matriz de G se e s´o se α ∼_G (1, 0, ... , 0).

Demostraci´on:

Supo˜namos que existe M tal que αM = (1, ... , 0). Por ser G un subgrupo de GL_n existe M⁻¹ a matriz inversa de M. Para completar a fila α a unha matriz de G basta tomar unha matriz M⁰ cuxa primeira fila ser´a α e o resto as correspondentes de M⁻¹. As´ı, M⁰M = I_n e M⁰= M⁻¹ ∈ G.

Rec´ıprocamente, sexa N a matriz na cal imos supo˜ner, sen p´erdida de xene- ralidade, que α ´e a primera fila. De novo N ten unha inversa N⁻¹ de forma que

N N⁻¹ = I_n e polo tanto αN⁻¹= (1, ... , 0). 2

A idea de Suslin foi precisamente, estudando certas propiedades do grupo GL_n(A) e traballando coas s´uas matrices, probar esta proposici´on para o noso anel:

Teorema 1 (de Suslin). Para toda fila unimodular α sobre k[t₁, ... , t_n] tense que α ∼_GLn (1, 0, ... , 0). Equivalentemente, p´odese completar a unha matriz invertible.

Por tanto k[t1, ... , tn] ´e hermitiano e todo k[t1, ... , tn]-m´odulo establemente libre

´e libre. Os detalles desta proba p´odense consultar no Cap´ıtulo 1 (Secci´on 4 e Secci´on 5) e no Cap´ıtulo 3 (Secci´on 1) de [1].

Conclu´ımos finalmente as´ı que todo fibrado vectorial sobre o espazo af´ın ´e trivial.

Bibliograf´ıa

[1] Lam, T. Y. (2006). Serre’s problem on projective modules, Springer.

Actas do Seminario de Iniciaci´ on a Investigaci´ ´ on

- ISSN 2171-6536

M´ etodos de reducci´ on de orden

Area de Matem´´ atica Aplicada

Juan Ignacio Bedoya Cabanelas

Universidade de Santiago de Compostela 2 de noviembre de 2017

Introducci´ on

En muchas situaciones se desean realizar varias simulaciones de un mismo pro- ceso transitorio en funci´on de diversos par´ametros o datos. Esto conlleva un elevado coste computacional, puesto que se ha de repetir el proceso para cada par´ametro en todo paso de tiempo. Los m´etodos de reducci´on de orden se basan en la proyecci´on sobre un espacio de dimensi´on reducida, que se encarga de aproximar de la mejor manera posible el espacio generado para la discretizaci´on del problema. De este modo, se produce una reducci´on del coste computacional necesario para resolverlo.

En este trabajo se detallan los pasos a seguir para plantear la reducci´on de orden sobre un problema transitorio no lineal. Para ello, se utiliza la Proper Ortogonal Decomposition (POD) de cara a la construcci´on del espacio reducido. Por otra parte, como el ahorro en coste computacional no es significativo debido al car´acter no lineal del problema, se introduce el m´etodo Trajectory Piecewise Linearization (TPWL).

Proper Orthogonal Decomposition (POD)

La descomposici´on ortogonal propia es una t´ecnica utilizada frecuentemente para reducir la dimensi´on de un conjunto de datos dado. Asimismo, tambi´en se puede emplear para reducir la dimensi´on de un problema de contorno, que se efect´ua mediante la proyecci´on del problema sobre un espacio de dimensi´on menor. Dicho espacio viene generado por una base ortonormal, la cual se escoge de tal forma que recoja la mayor parte de la energ´ıa (informaci´on) de los datos o del problema del cual se pretende reducir la dimensi´on.

El objetivo consiste en aplicar POD sobre un problema de contorno transitorio.

Para resolverlo, se usa un m´etodo de elementos finitos. Sea, por ejemplo, el problema definido por la siguiente EDP:

Mdϕ

dt + ∇ · φ(ϕ, ∇ϕ) = q(u), (1)

donde ϕ es la soluci´on del problema, M denota una matriz no singular y φ es un operador no lineal que depende de la soluci´on y de su gradiente. El campo u representa un dato.

Palabras Clave: m´etodos num´ericos; POD; TPWL; reducci´on de orden.

21

Supongamos que la dimensi´on del problema espacial es N (hay N grados de libertad en la malla) y consideremos el siguiente conjunto Ξt= {t1, ... , tnt} formado por los nt instantes temporales que discretizan el dominio temporal.

El objetivo es crear un espacio V_N que permita resolver la ecuaci´on para cual- quier dato u(·, t) que proporcionemos en un cierto conjunto de datos admisibles.

Para ello, el punto de partida es la realizaci´on de una serie de s ensayos (resolucio- nes) del problema donde se var´ıa u(·, t). Los ensayos se deben escoger de tal manera que las soluciones visitadas exploren con la mayor fidelidad posible la variedad

M_tot = {ϕ(t), t ∈ Ξ_t, donde u(·, t) es un dato admisible},

donde ϕ(t) representa la soluci´on espacial del problema en el instante de tiempo t.

En general esto necesita conocimiento a priori de c´omo es la soluci´on del proble- ma. Las soluciones para dichos ensayos se almacenan en una matriz C de dimensi´on N × q, donde q = nt · s, de tal forma que cada una de las columnas de dicha matriz se correspondan con las soluciones espaciales del problema en un cierto instante de tiempo para un ensayo determinado. De este modo, la matriz C es tal que

C = [ϕ¹₁| ... |ϕ¹_nt

| {z } ensayo 1

| ... | ϕ^s₁| ... |ϕ^s_nt

| {z } ensayo s

],

con

ϕ^j_i = (ϕ^j_h,1(t^j_i), ... , ϕ^j_h,k(t^j_i), ... , ϕ^j_h,N(t^j_i))^t.

Cada columna de C recibir´a el nombre de instant´anea o snapshot. Por tanto, el objetivo ahora consiste en construir una base del espacio reducido de tal forma que contenga la mayor parte de la informaci´on almacenada en C.

La base reducida de dicho espacio viene dada por los autovectores asociados a los autovalores de mayor magnitud de la matriz de covarianzas de la muestra, es decir, de la matriz CC^t (los resultados son an´alogos para la matriz C^tC, ver [1]).

Estos autovectores marcar´an las direcciones donde se produzca la m´axima variaci´on de los datos muestrales.

Puesto que la matriz de covarianzas es sim´etrica y definida positiva, se puede calcular una diagonalizaci´on de la misma para obtener as´ı los autovectores asociados a los autovalores no nulos. El problema radica en que la matriz de covarianzas es de dimensi´on N × N , por lo que calcular sus autovectores puede llegar a ser un proceso muy costoso desde el punto de vista computacional. Es aqu´ı donde entra en juego la descomposici´on en valores singulares (SVD) de la matriz C, ya que los autovectores por la izquierda de dicha descomposici´on coinciden con los autovectores de la matriz cuadrada CC^t. La descomposici´on en valores singulares de C toma la forma

C = UΣV^t, donde

U = [U1| ... |U_N] ∈ R^{N ×N}, V = [V1| ... |V_q] ∈ R^q×q,

Σ = diag(σ₁, ... , σ_r) ∈ R^{N ×q}, con r ≤ min(N , q).

Juan Ignacio Bedoya Cabanelas SII 23

Por una parte, U y V son matrices ortogonales y Σ es una matriz diagonal formada por los valores singulares de C ordenados de mayor a menor. El valor que toma r caracteriza el rango de la matriz C.

En consecuencia, para cualquier N ≤ r, la base del espacio reducido se define como el conjunto formado por los N primeros autovectores por la izquierda de la descomposici´on en valores singulares de la matriz C

V_N = {U1, ... , U_N}.

Por construcci´on, esta base es ortonormal, y cada componente mide la direcci´on donde se produce una m´axima varianza de los datos. Con la base reducida se cons- truye la matriz [Φ] ∈ R^{N ×N} que representa al operador definido sobre el espacio reducido

Φ : VN −→ V_h

z ϕ = [Φ]z.

Debido a que este operador es ortogonal, su inversa coincide con su traspuesta, y es por ello que el operador de proyecci´on sobre el espacio reducido vendr´a representado por la matriz [Φ]^t∈ R^{N ×N}.

Φ^t: Vh −→ V_N

ϕ z = [Φ]^tϕ.

A partir de este punto, denotaremos a las matrices asociadas a los operadores an- teriormente definidos por Φ y Φ^t respectivamente.

El hecho de poder plantear este problema nos lleva a resolver un sistema de orden N × N en lugar de N × N . Esto deber´ıa suponer una reducci´on del coste computacional siempre y cuando N << N .

Apliquemos ahora esta t´ecnica sobre el problema (1), que supondremos se re- suelve utilizando un m´etodo de elementos finitos sobre su formulaci´on variacional.

La derivada temporal se discretiza con un m´etodo de Euler impl´ıcito con paso ∆t, de forma que el problema se puede reducir a

Mϕⁿ⁺¹_h − ϕⁿ_h

∆t + F(ϕⁿ⁺¹_h ) = Q(uⁿ⁺¹),

donde F es un operador vectorial no lineal y Q un operador vectorial aplicados sobre la soluci´on aproximada ϕ^h, resultado de realizar la discretizaci´on espacial y temporal del problema.

El problema se puede enfocar como el c´alculo de los ceros de un cierto funcional G(ϕⁿ⁺¹_h , ϕⁿ_h, uⁿ⁺¹) = 0,

donde en este caso G es igual a

G = G_ϕ+ G_u,