• No se han encontrado resultados

Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas"

Copied!
45
0
0

Texto completo

(1)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja

XVIII Encuentros de An´alisis Real y Complejo M´alaga, 17-19 de mayo de 2018

(2)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El marco de trabajo

Una sucesi´on B = (xn)n=1 en un espacio de Banach X es una base (de Schauder) si para todo f ∈ X existe una ´unica sucesi´on

(an)n=1 tal que

f =

X

n=1

anxn, en cuyo caso denotamos

xn(f ) = an.

Consideraremos siempre bases semi-normalizadas, i.e., 0 < ´ınf

n∈Nkxnk ≤ sup

n∈N

kxnk < ∞.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(3)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El algoritmo avaricioso

Sea f ∈ X. Puesto que l´ımn|xn(f )| = 0, existe σ : N → N tal que supp(f ) := {n ∈ N : xn(f ) 6= 0} ⊆ σ(N),

|xσ(1)(f )| ≥ |xσ(2)(f )| ≥ · · · ≥ |xσ(k)(f )| ≥ |xσ(k+1)(f )| ≥ · · ·

El algoritmo greedy es la sucesi´on (Gm(f ))m=1definida mediante Gm(f ) =

m

X

k=1

xσ(k)(f ) xσ(k)

(el criterio utilizado para determinar σ en caso de que no haya unicidad es irrelevante).

(4)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El algoritmo avaricioso

Sea f ∈ X. Puesto que l´ımn|xn(f )| = 0, existe σ : N → N tal que supp(f ) := {n ∈ N : xn(f ) 6= 0} ⊆ σ(N),

|xσ(1)(f )| ≥ |xσ(2)(f )| ≥ · · · ≥ |xσ(k)(f )| ≥ |xσ(k+1)(f )| ≥ · · · El algoritmo greedy es la sucesi´on (Gm(f ))m=1definida mediante

Gm(f ) =

m

X

k=1

xσ(k)(f ) xσ(k)

(el criterio utilizado para determinar σ en caso de que no haya unicidad es irrelevante).

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(5)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Conceptos de avaricia

Definici´on

Si existe C < ∞ tal que:

kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Aanxnk siempre que |A| = m decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es greedy.

kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Axn(f ) xnk siempre que |A| = m decimos (tras Dilworth, Kalton, Kutzarova,Temlyakov, 2003) que la base es almost greedy.

kf − Gm(f )k ≤ C kf k para todo m ∈ N decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es quasi-greedy.

Greedy =⇒ Almost greedy =⇒ Quasi-greedy

(6)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Conceptos de avaricia

Definici´on

Si existe C < ∞ tal que:

kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Aanxnk siempre que |A| = m decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es greedy.

kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Axn(f ) xnk siempre que |A| = m decimos (tras Dilworth, Kalton, Kutzarova,Temlyakov, 2003) que la base es almost greedy.

kf − Gm(f )k ≤ C kf k para todo m ∈ N decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es quasi-greedy.

Greedy =⇒ Almost greedy =⇒ Quasi-greedy

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(7)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Tres teoremas angulares

Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)

Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica. Teorema (Wojtaszczyk, 2000)

Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.

(8)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Tres teoremas angulares

Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)

Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica.

Teorema (Wojtaszczyk, 2000)

Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(9)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Tres teoremas angulares

Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)

Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica.

Teorema (Wojtaszczyk, 2000)

Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.

(10)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases incondicionales

Definici´on

Una sucesi´on (xn)n=1 en un espacio de Banach X es una base incondicional si para todo f ∈ X existe ´unica sucesi´on (an)n=1 tal que, cualquiera que sea σ permutaci´on de N,

f =

X

k=1

aσ(k)xσ(k).

Una caracterizaci´on de las bases incondicionales

Una base B = (xn)n=1 es incondicional si y s´olo existe una constante C de modo que, para todo A ⊆ N finito y para todo

f ∈ X,

X

n∈A

xn(f ) xn

≤ C kf k.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(11)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases incondicionales

Definici´on

Una sucesi´on (xn)n=1 en un espacio de Banach X es una base incondicional si para todo f ∈ X existe ´unica sucesi´on (an)n=1 tal que, cualquiera que sea σ permutaci´on de N,

f =

X

k=1

aσ(k)xσ(k).

Una caracterizaci´on de las bases incondicionales

Una base B = (xn)n=1 es incondicional si y s´olo existe una constante C de modo que, para todo A ⊆ N finito y para todo

f ∈ X,

X

n∈A

xn(f ) xn

≤ C kf k.

(12)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases democr´ aticas

Definici´on

Una base es democr´atica si existe una constante C tal que

X

n∈A

xn

≤ C

X

n∈B

xn

, |A| = |B| < ∞.

Una base es democr´atica si y solo existe (λm)m=1 tal que

X

n∈A

xn

≈ λ|A|, A ⊆ N finito, en cuyo caso

λm ≈ ϕm:= sup

|A|≤m

X

n∈A

xn . (φm)m=1 se llama funci´on fundamental de la base.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(13)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

La selva de las bases de tipo avaricioso

Quasi-Greedy

Unconditional Almost Greedy

Greedy

Subsymmetric

(14)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Decimos (tras Singer, 1962) que una base es sim´etrica si

X

n=1

anen

X

n=1

aneφ(n)

, φ biyectiva.

Decimos (tras Singer, 1968) que una base es sub-sim´etrica si

X

n=1

anen

X

n=1

εnaneφ(n)

, |εn| = 1, φ creciente.

Sim´etrica =⇒ Sub-sim´etrica =⇒ Greedy

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(15)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Midiendo la incondicionalidad de una base

Definici´on

La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)n=1 es km= sup

f ∈X,|A|≤m

kPn∈Axn(f ) xnk

kf k .

Toda base cumple km. m.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que

km ≤ C log m, m ≥ 2. Pregunta

¿El teorema de DKK es ´optimo?

(16)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Midiendo la incondicionalidad de una base

Definici´on

La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)n=1 es km= sup

f ∈X,|A|≤m

kPn∈Axn(f ) xnk

kf k .

Toda base cumple km. m.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que

km ≤ C log m, m ≥ 2. Pregunta

¿El teorema de DKK es ´optimo?

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(17)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Midiendo la incondicionalidad de una base

Definici´on

La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)n=1 es km= sup

f ∈X,|A|≤m

kPn∈Axn(f ) xnk

kf k .

Toda base cumple km. m.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que

km ≤ C log m, m ≥ 2.

Pregunta

¿El teorema de DKK es ´optimo?

(18)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Midiendo la incondicionalidad de una base

Definici´on

La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)n=1 es km= sup

f ∈X,|A|≤m

kPn∈Axn(f ) xnk

kf k .

Toda base cumple km. m.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que

km ≤ C log m, m ≥ 2.

Pregunta

¿El teorema de DKK es ´optimo?

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(19)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

La base de Lindenstrauss

ln= en− e2n+1+ e2n+2

2 , n ∈ N

en `1 es almost greedy y verifica km≈ log m (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).

La base de Haar en BV (Rd), d ≥ 2, es almost greedy y verifica km ≈ log m. (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).

(⊕n=1`n1)p, 1 < p < ∞ tiene una base quasi-greedy con km ≈ log m. (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja 2016).

`1 tiene una base almost greedy on km≈ log m (AAGHR).

Pregunta

¿La estimaci´on del teorema de DKK puede mejorarse imponiendo ciertas propiedades al espacio de Banach?

(20)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

La base de Lindenstrauss

ln= en− e2n+1+ e2n+2

2 , n ∈ N

en `1 es almost greedy y verifica km≈ log m (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).

La base de Haar en BV (Rd), d ≥ 2, es almost greedy y verifica km ≈ log m. (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).

(⊕n=1`n1)p, 1 < p < ∞ tiene una base quasi-greedy con km ≈ log m. (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja 2016).

`1 tiene una base almost greedy on km≈ log m (AAGHR).

Pregunta

¿La estimaci´on del teorema de DKK puede mejorarse imponiendo ciertas propiedades al espacio de Banach?

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(21)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El papel de la geometr´ıa del espacio de Banach

Teorema (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja, 2016) Dada una base en un espacio super-reflexivo, existen ε > 0 y C < ∞ tales que

km≤ C (log m)1−ε, m ≥ 2.

Pregunta

¿El teorema de AAGHR es ´optimo?

¿Puede debilitarse la condici´on sobre el espacio de Banach?

¿Puede mejorarse la estimaci´on obtenida?

(22)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El papel de la geometr´ıa del espacio de Banach

Teorema (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja, 2016) Dada una base en un espacio super-reflexivo, existen ε > 0 y C < ∞ tales que

km≤ C (log m)1−ε, m ≥ 2.

Pregunta

¿El teorema de AAGHR es ´optimo?

¿Puede debilitarse la condici´on sobre el espacio de Banach?

¿Puede mejorarse la estimaci´on obtenida?

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(23)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El m´ etodo de Garrig´ os, Wojtaszczyk (GW)

Ingredientes

B = (xn)n=1 base de un espacio X.

(en)n=1 base ortonormal de un espacio de Hilbert.

Ok matriz de Olevskii de dimensi´on 2k−1. Resultado

Una base ˜B = (yn)n=1.

(24)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

e1,

|{z}

e2, e3,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,

| {z }

. . .

x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . . x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . .

y1,

|{z}

y2,y3,

| {z }

. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,

| {z }

. . .

O1 O2 Ok

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(25)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

e1,

|{z}

e2, e3,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,

| {z }

. . .

x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . .

x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . .

y1,

|{z}

y2,y3,

| {z }

. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,

| {z }

. . .

O1 O2 Ok

(26)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

e1,

|{z}

e2, e3,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,

| {z }

. . .

x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . . x1,

|{z}

e2,x2,

| {z }

. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,

| {z }

. . .

y1,

|{z}

y2,y3,

| {z }

. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,

| {z }

. . .

O1 O2 Ok

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(27)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Una nueva medida de la condicionalidad k˜m= sup

A⊆{1,...,m}

xn(f )=0 for n>m

kPn∈Axn(f ) xnk kf k ≤ km.

Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)

B es una base de Schauder quasi-greedy para X ⊕ `˜ 2. k˜m[B] & δ(m) =⇒ ˜km[ ˜B] & δ(log(m)) (δ funci´on doblante).

B es democr´˜ atica con funci´on fundamental del orden de m 7→ m1/2.

(28)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases condicionales en espacios de Hilbert

Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)

Para todo ε > 0 existe una base para `2 con ˜km & m1−ε.

Teorema (GW, 2015)

Para todo ε > 0 existe una almost greedy para `2 con k˜m& (log m)1−ε.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(29)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases condicionales en espacios de Hilbert

Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)

Para todo ε > 0 existe una base para `2 con ˜km & m1−ε. Teorema (GW, 2015)

Para todo ε > 0 existe una almost greedy para `2 con k˜m& (log m)1−ε.

(30)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases de tipo P

Definici´on (Singer, 1961)

Una base (xn)n=1 es de tipo P si

´ınfn kxnk > 0, sup

n

kx1+ · · · + xnk < ∞.

La sistema can´onico (en)n=1 es una base de tipo P para c0. El sistema suma (e1+ · · · + en)n=1 es una base de c0 que cumple ˜km ≈ m.

El sistema diferencia (en− en−1)n=1 es una base de `1 es de tipo P; adem´as cumple ˜km ≈ m.

Teorema (Pe lczy´nski, 1962)

Un espacio no es reflexivo si y s´olo si posee una sucesi´on b´asica de tipo P.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(31)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Bases de tipo P

Definici´on (Singer, 1961)

Una base (xn)n=1 es de tipo P si

´ınfn kxnk > 0, sup

n

kx1+ · · · + xnk < ∞.

La sistema can´onico (en)n=1 es una base de tipo P para c0. El sistema suma (e1+ · · · + en)n=1 es una base de c0 que cumple ˜km ≈ m.

El sistema diferencia (en− en−1)n=1 es una base de `1 es de tipo P; adem´as cumple ˜km ≈ m.

Teorema (Pe lczy´nski, 1962)

Un espacio no es reflexivo si y s´olo si posee una sucesi´on b´asica de tipo P.

(32)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Una caracterizaci´ on de la super-reflexividad

Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)

Si un espacio de Banach posee una base de tipo P, tambi´en posee una base con ˜km ≈ m.

Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)

Si un espacio de Banach X no es super-reflexivo existe un espacio Y finitamente representable en X y una base almost greedy para Y con km ≈ log m.

Demostraci´on.

Constru´ımos una base para espacio Z finitamente representable en X con ˜km ≈ m.

El m´etodo GW da una base para Z ⊕ `2 con ˜km ≈ log m.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(33)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Una caracterizaci´ on de la super-reflexividad

Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)

Si un espacio de Banach posee una base de tipo P, tambi´en posee una base con ˜km ≈ m.

Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)

Si un espacio de Banach X no es super-reflexivo existe un espacio Y finitamente representable en X y una base almost greedy para Y con km≈ log m.

Demostraci´on.

Constru´ımos una base para espacio Z finitamente representable en X con ˜km ≈ m.

El m´etodo GW da una base para Z ⊕ `2 con ˜km ≈ log m.

(34)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Nota

Existe una base almost greedy para un espacio de tipo de Rademacher no trivial con km ≈ log m.

Nota

Dados un espacio de Banach super-reflexivo X y ε > 0, existe una base almost greedy para un espacio Y finitamente representable en X con km & (log m)1−ε (basta tomar Y = `2).

Pregunta

Fijamos un espacio de Banach X. ¿Existe bases almost greedy para X con constantes de condicionalidad tan grandes como permiten los teoremas de DKK y de AAGHR?

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(35)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Nota

Existe una base almost greedy para un espacio de tipo de Rademacher no trivial con km ≈ log m.

Nota

Dados un espacio de Banach super-reflexivo X y ε > 0, existe una base almost greedy para un espacio Y finitamente representable en X con km & (log m)1−ε (basta tomar Y = `2).

Pregunta

Fijamos un espacio de Banach X. ¿Existe bases almost greedy para X con constantes de condicionalidad tan grandes como permiten los teoremas de DKK y de AAGHR?

(36)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Espacios de Banach con bases casi avariciosas tan condicionales como es posible

Un espacio de Banach tiene la propiedad M si o bien es super-reflexivo y para todo ε > 0 posee una base quasi-greedy que cumple km& (log m)1−ε, o bien no es super-reflexivo y tiene una base quasi-greedy que cumple km & log m.

En caso de que las bases sean almost greedy, decimos que el espacio tiene la propiedad M+.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(37)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

`1, BV (Rd), `2 tienen la propiedad M+.

(⊕n=1`n1)p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M.

`p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).

`1⊕ `2⊕ c0 tienen la propiedad M+ (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).

(v1, `)θ,q⊕ (v1, `)θ,q⊕ `2 tiene la propiedad M+ (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018).

c0, C(K ) y A(D) no tienen la propiedad M.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, 2003)

Si X tiene la propiedad del teorema de Grothendick, entonces toda base quasi-greedy en X es equivalente a la base can´onica de c0.

(38)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

`1, BV (Rd), `2 tienen la propiedad M+.

(⊕n=1`n1)p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M.

`p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).

`1⊕ `2⊕ c0 tienen la propiedad M+ (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).

(v1, `)θ,q⊕ (v1, `)θ,q⊕ `2 tiene la propiedad M+ (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018).

c0, C(K ) y A(D) no tienen la propiedad M.

Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, 2003)

Si X tiene la propiedad del teorema de Grothendick, entonces toda base quasi-greedy en X es equivalente a la base can´onica de c0.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(39)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

El m´ etodo de Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK)

Sea (S, k · kS) un espacio de Banach de sucesiones para el que la base can´onica (en)n=1 es sub-sim´etrica. Llamamos P a la

proyecci´on que consiste en promediar sucesiones en cada intervalo di´adico Ik = [2k−1, 2k− 1]. Esto es,

a1,

|{z}

a2, a3,

| {z }

. . . , a2k−1, . . . , aj, . . . , a2k−1,

| {z }

. . .

a1,

|{z}

a2+ a3

2 ,a2+ a3

2 ,

| {z }

. . . ,

P2k−1 j =2k−1aj

2k− 1 , . . . , P2k−1

j =2k−1aj

2k − 1 ,

| {z }

. . .

P

(40)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Teorema (Lindenstrauss, Tzafriri, 1977) P : S → S es acotada.

Interpretaci´on

Construimos un sistema bi-ortogonal (vk, vk)n=1 mediante

vk = 1 ck

2k−1

X

n=2k−1

ek, vk = ck 2k−1

2k−1

X

n=2k−1

ek, kvkkS= 1.

Se tiene

kf kS≈ kf − P(f )kS+

X

k=1

vk(f ) vk S

.

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(41)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Teorema (Lindenstrauss, Tzafriri, 1977) P : S → S es acotada.

Interpretaci´on

Construimos un sistema bi-ortogonal (vk, vk)n=1 mediante

vk = 1 ck

2k−1

X

n=2k−1

ek, vk = ck 2k−1

2k−1

X

n=2k−1

ek, kvkkS= 1.

Se tiene

kf kS≈ kf − P(f )kS+

X

k=1

vk(f ) vk S

.

(42)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Definici´on (DKK, 2003)

Dada una base (xn)n=1 de un espacio X, y una base sub-sim´etrica para un espacio de sucesiones S construimos un espacio de sucesiones Y mediante

kf kY≈ kf − P(f )kS+

X

k=1

vk(f )xk X

.

Teorema (Albiac, A, Dilworth, Kutzarova) Y ≈ Ker P ⊕ X.

Supongamos que o bien S tiene tipo no trivial o bien S = `1. Entonces E = (en)n=1 es una base de Schauder almost greedy de Y, con funci´on fundamental del orden de

m 7→ ke1+ · · · + emkS.

m[B] & δ(m) =⇒ ˜km[E ] & δ(log(m)) (δ funci´on doblante).

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(43)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Una condici´ on que permite identificar el espacio Y

Supongamos que

S .c X, de modo que X ≈ S ⊕ Z, y que (xn)n=1 es una base de X.

Aplicamos el m´etodo DKK a la base de P(S) ⊕ X dada por (v1, x1, v2, x2, . . . , vn, xn, . . . ).

Se tiene que

Y ≈ Ker P ⊕ (P (S) ⊕ X) ≈ (Ker P ⊕ P (S)) ⊕ (S ⊕ Z)

≈ (S ⊕ S) ⊕ Z ≈ S ⊕ Z ≈ X.

(44)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Ejemplos

`p, Lp (1 ≤ p < ∞), H1, VMO, espacios de Triebel-Likorkin, espacios de Lorentz, espacios de James pseudo-reflexivos, espacios de Pisier-Xu tienen la propiedad M+.

Los espacios `p⊕ `q, `p(`q) tienen la propiedad M+

(1 ≤ p 6= q ≤ ∞).

(⊕n=1`np)q tiene la propiedad M+ (1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞).

(⊕n=1`np)0 tiene la Propiedad M (1 ≤ p < ∞).

Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas

(45)

Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso

Referencias

Documento similar

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR. José Leandro de

Por otra parte, como una sucesi´on de funciones continuas que converge uni- formemente tiene como l´ımite una funci´on continua (teorema A.15), s´ olo podemos esperar

Seguidamente damos un teorema que establece condiciones de existencia y unicidad de soluciones para un problema de valores iniciales2.

Entonces el área del cuadrado de lado c construido sobre el lado AC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lados a y b construidos sobre los lados AB y BC del

Proposition 6.1.9. Assume now that B is w-disjoint-super- democratic.. For this reason we introduce the characterization with the w-SLC. B is w-greedy if and only if B is

El Teorema 1.4 de Gerschgorin puede ser aplicado a la matriz X −1 AX para cualquier matriz no singular X ∈ C n×n , para estimar el conjunto de autovalores de A y este corolario es

Demostraci´ on: Si G es metac´ıclico entonces existe un subgrupo normal c´ıclico C contenido en G tal que el grupo cociente G/C es c´ clico, y entonces tenemos que 1/C /G una

Non-linear approximation, greedy algorithm, democratic bases, Jackson and Bernstein inequalities, discrete Lorentz spaces, wavelets.. Research supported by Grant MTM2007-60952