Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas
Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja
XVIII Encuentros de An´alisis Real y Complejo M´alaga, 17-19 de mayo de 2018
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
El marco de trabajo
Una sucesi´on B = (xn)∞n=1 en un espacio de Banach X es una base (de Schauder) si para todo f ∈ X existe una ´unica sucesi´on
(an)∞n=1 tal que
f =
∞
X
n=1
anxn, en cuyo caso denotamos
x∗n(f ) = an.
Consideraremos siempre bases semi-normalizadas, i.e., 0 < ´ınf
n∈Nkxnk ≤ sup
n∈N
kxnk < ∞.
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
El algoritmo avaricioso
Sea f ∈ X. Puesto que l´ımn|x∗n(f )| = 0, existe σ : N → N tal que supp(f ) := {n ∈ N : x∗n(f ) 6= 0} ⊆ σ(N),
|x∗σ(1)(f )| ≥ |x∗σ(2)(f )| ≥ · · · ≥ |x∗σ(k)(f )| ≥ |x∗σ(k+1)(f )| ≥ · · ·
El algoritmo greedy es la sucesi´on (Gm(f ))∞m=1definida mediante Gm(f ) =
m
X
k=1
x∗σ(k)(f ) xσ(k)
(el criterio utilizado para determinar σ en caso de que no haya unicidad es irrelevante).
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
El algoritmo avaricioso
Sea f ∈ X. Puesto que l´ımn|x∗n(f )| = 0, existe σ : N → N tal que supp(f ) := {n ∈ N : x∗n(f ) 6= 0} ⊆ σ(N),
|x∗σ(1)(f )| ≥ |x∗σ(2)(f )| ≥ · · · ≥ |x∗σ(k)(f )| ≥ |x∗σ(k+1)(f )| ≥ · · · El algoritmo greedy es la sucesi´on (Gm(f ))∞m=1definida mediante
Gm(f ) =
m
X
k=1
x∗σ(k)(f ) xσ(k)
(el criterio utilizado para determinar σ en caso de que no haya unicidad es irrelevante).
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Conceptos de avaricia
Definici´on
Si existe C < ∞ tal que:
kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Aanxnk siempre que |A| = m decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es greedy.
kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Ax∗n(f ) xnk siempre que |A| = m decimos (tras Dilworth, Kalton, Kutzarova,Temlyakov, 2003) que la base es almost greedy.
kf − Gm(f )k ≤ C kf k para todo m ∈ N decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es quasi-greedy.
Greedy =⇒ Almost greedy =⇒ Quasi-greedy
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Conceptos de avaricia
Definici´on
Si existe C < ∞ tal que:
kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Aanxnk siempre que |A| = m decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es greedy.
kf − Gm(f )k ≤ C kf −Pn∈Ax∗n(f ) xnk siempre que |A| = m decimos (tras Dilworth, Kalton, Kutzarova,Temlyakov, 2003) que la base es almost greedy.
kf − Gm(f )k ≤ C kf k para todo m ∈ N decimos (tras Konyagin, Temlyakov, 1999) que la base es quasi-greedy.
Greedy =⇒ Almost greedy =⇒ Quasi-greedy
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Tres teoremas angulares
Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)
Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica. Teorema (Wojtaszczyk, 2000)
Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.
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Tres teoremas angulares
Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)
Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica.
Teorema (Wojtaszczyk, 2000)
Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.
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Tres teoremas angulares
Teorema (Konyagin, Temlyakov, 1999)
Una base es greedy si y s´olo si es incondicional y democr´atica.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, Temlyakov, 2003) Una base es almost greedy s´olo si es quasi-greedy y democr´atica.
Teorema (Wojtaszczyk, 2000)
Una base es quasi-greedy si y s´olo si el algoritmo greedy converge.
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Bases incondicionales
Definici´on
Una sucesi´on (xn)∞n=1 en un espacio de Banach X es una base incondicional si para todo f ∈ X existe ´unica sucesi´on (an)∞n=1 tal que, cualquiera que sea σ permutaci´on de N,
f =
∞
X
k=1
aσ(k)xσ(k).
Una caracterizaci´on de las bases incondicionales
Una base B = (xn)∞n=1 es incondicional si y s´olo existe una constante C de modo que, para todo A ⊆ N finito y para todo
f ∈ X,
X
n∈A
x∗n(f ) xn
≤ C kf k.
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Bases incondicionales
Definici´on
Una sucesi´on (xn)∞n=1 en un espacio de Banach X es una base incondicional si para todo f ∈ X existe ´unica sucesi´on (an)∞n=1 tal que, cualquiera que sea σ permutaci´on de N,
f =
∞
X
k=1
aσ(k)xσ(k).
Una caracterizaci´on de las bases incondicionales
Una base B = (xn)∞n=1 es incondicional si y s´olo existe una constante C de modo que, para todo A ⊆ N finito y para todo
f ∈ X,
X
n∈A
x∗n(f ) xn
≤ C kf k.
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Bases democr´ aticas
Definici´on
Una base es democr´atica si existe una constante C tal que
X
n∈A
xn
≤ C
X
n∈B
xn
, |A| = |B| < ∞.
Una base es democr´atica si y solo existe (λm)∞m=1 tal que
X
n∈A
xn
≈ λ|A|, A ⊆ N finito, en cuyo caso
λm ≈ ϕm:= sup
|A|≤m
X
n∈A
xn . (φm)∞m=1 se llama funci´on fundamental de la base.
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La selva de las bases de tipo avaricioso
Quasi-Greedy
Unconditional Almost Greedy
Greedy
Subsymmetric
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Decimos (tras Singer, 1962) que una base es sim´etrica si
∞
X
n=1
anen
≈
∞
X
n=1
aneφ(n)
, φ biyectiva.
Decimos (tras Singer, 1968) que una base es sub-sim´etrica si
∞
X
n=1
anen
≈
∞
X
n=1
εnaneφ(n)
, |εn| = 1, φ creciente.
Sim´etrica =⇒ Sub-sim´etrica =⇒ Greedy
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Midiendo la incondicionalidad de una base
Definici´on
La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)∞n=1 es km= sup
f ∈X,|A|≤m
kPn∈Ax∗n(f ) xnk
kf k .
Toda base cumple km. m.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que
km ≤ C log m, m ≥ 2. Pregunta
¿El teorema de DKK es ´optimo?
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Midiendo la incondicionalidad de una base
Definici´on
La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)∞n=1 es km= sup
f ∈X,|A|≤m
kPn∈Ax∗n(f ) xnk
kf k .
Toda base cumple km. m.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que
km ≤ C log m, m ≥ 2. Pregunta
¿El teorema de DKK es ´optimo?
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Midiendo la incondicionalidad de una base
Definici´on
La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)∞n=1 es km= sup
f ∈X,|A|≤m
kPn∈Ax∗n(f ) xnk
kf k .
Toda base cumple km. m.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que
km ≤ C log m, m ≥ 2.
Pregunta
¿El teorema de DKK es ´optimo?
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Midiendo la incondicionalidad de una base
Definici´on
La m-´esima constante de condicionalidad de una base (xn)∞n=1 es km= sup
f ∈X,|A|≤m
kPn∈Ax∗n(f ) xnk
kf k .
Toda base cumple km. m.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK), 2003) Para toda base quasi-greedy existe C < ∞ tal que
km ≤ C log m, m ≥ 2.
Pregunta
¿El teorema de DKK es ´optimo?
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La base de Lindenstrauss
ln= en− e2n+1+ e2n+2
2 , n ∈ N
en `1 es almost greedy y verifica km≈ log m (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).
La base de Haar en BV (Rd), d ≥ 2, es almost greedy y verifica km ≈ log m. (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).
(⊕∞n=1`n1)p, 1 < p < ∞ tiene una base quasi-greedy con km ≈ log m. (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja 2016).
`1 tiene una base almost greedy on km≈ log m (AAGHR).
Pregunta
¿La estimaci´on del teorema de DKK puede mejorarse imponiendo ciertas propiedades al espacio de Banach?
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La base de Lindenstrauss
ln= en− e2n+1+ e2n+2
2 , n ∈ N
en `1 es almost greedy y verifica km≈ log m (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).
La base de Haar en BV (Rd), d ≥ 2, es almost greedy y verifica km ≈ log m. (Garrig´os, Hern´andez, Oikberg, 2013).
(⊕∞n=1`n1)p, 1 < p < ∞ tiene una base quasi-greedy con km ≈ log m. (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja 2016).
`1 tiene una base almost greedy on km≈ log m (AAGHR).
Pregunta
¿La estimaci´on del teorema de DKK puede mejorarse imponiendo ciertas propiedades al espacio de Banach?
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El papel de la geometr´ıa del espacio de Banach
Teorema (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja, 2016) Dada una base en un espacio super-reflexivo, existen ε > 0 y C < ∞ tales que
km≤ C (log m)1−ε, m ≥ 2.
Pregunta
¿El teorema de AAGHR es ´optimo?
¿Puede debilitarse la condici´on sobre el espacio de Banach?
¿Puede mejorarse la estimaci´on obtenida?
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El papel de la geometr´ıa del espacio de Banach
Teorema (Albiac, A, Garrig´os, Hern´andez, Raja, 2016) Dada una base en un espacio super-reflexivo, existen ε > 0 y C < ∞ tales que
km≤ C (log m)1−ε, m ≥ 2.
Pregunta
¿El teorema de AAGHR es ´optimo?
¿Puede debilitarse la condici´on sobre el espacio de Banach?
¿Puede mejorarse la estimaci´on obtenida?
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El m´ etodo de Garrig´ os, Wojtaszczyk (GW)
Ingredientes
B = (xn)∞n=1 base de un espacio X.
(en)∞n=1 base ortonormal de un espacio de Hilbert.
Ok matriz de Olevskii de dimensi´on 2k−1. Resultado
Una base ˜B = (yn)∞n=1.
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
e1,
|{z}
e2, e3,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,
| {z }
. . .
x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . . x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . .
y1,
|{z}
y2,y3,
| {z }
. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,
| {z }
. . .
O1 O2 Ok
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e1,
|{z}
e2, e3,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,
| {z }
. . .
x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . .
x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . .
y1,
|{z}
y2,y3,
| {z }
. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,
| {z }
. . .
O1 O2 Ok
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e1,
|{z}
e2, e3,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2, e2k−1,
| {z }
. . .
x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . . x1,
|{z}
e2,x2,
| {z }
. . . , e2k−1, . . . , e2k−2,xk,
| {z }
. . .
y1,
|{z}
y2,y3,
| {z }
. . . , y2k−1, . . . ,y2k−2,y2k−1,
| {z }
. . .
O1 O2 Ok
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Una nueva medida de la condicionalidad k˜m= sup
A⊆{1,...,m}
x∗n(f )=0 for n>m
kPn∈Ax∗n(f ) xnk kf k ≤ km.
Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)
B es una base de Schauder quasi-greedy para X ⊕ `˜ 2. k˜m[B] & δ(m) =⇒ ˜km[ ˜B] & δ(log(m)) (δ funci´on doblante).
B es democr´˜ atica con funci´on fundamental del orden de m 7→ m1/2.
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Bases condicionales en espacios de Hilbert
Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)
Para todo ε > 0 existe una base para `2 con ˜km & m1−ε.
Teorema (GW, 2015)
Para todo ε > 0 existe una almost greedy para `2 con k˜m& (log m)1−ε.
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Bases condicionales en espacios de Hilbert
Teorema (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015)
Para todo ε > 0 existe una base para `2 con ˜km & m1−ε. Teorema (GW, 2015)
Para todo ε > 0 existe una almost greedy para `2 con k˜m& (log m)1−ε.
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Bases de tipo P
Definici´on (Singer, 1961)
Una base (xn)∞n=1 es de tipo P si
´ınfn kxnk > 0, sup
n
kx1+ · · · + xnk < ∞.
La sistema can´onico (en)∞n=1 es una base de tipo P para c0. El sistema suma (e1+ · · · + en)∞n=1 es una base de c0 que cumple ˜km ≈ m.
El sistema diferencia (en− en−1)∞n=1 es una base de `1 es de tipo P; adem´as cumple ˜km ≈ m.
Teorema (Pe lczy´nski, 1962)
Un espacio no es reflexivo si y s´olo si posee una sucesi´on b´asica de tipo P.
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Bases de tipo P
Definici´on (Singer, 1961)
Una base (xn)∞n=1 es de tipo P si
´ınfn kxnk > 0, sup
n
kx1+ · · · + xnk < ∞.
La sistema can´onico (en)∞n=1 es una base de tipo P para c0. El sistema suma (e1+ · · · + en)∞n=1 es una base de c0 que cumple ˜km ≈ m.
El sistema diferencia (en− en−1)∞n=1 es una base de `1 es de tipo P; adem´as cumple ˜km ≈ m.
Teorema (Pe lczy´nski, 1962)
Un espacio no es reflexivo si y s´olo si posee una sucesi´on b´asica de tipo P.
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Una caracterizaci´ on de la super-reflexividad
Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)
Si un espacio de Banach posee una base de tipo P, tambi´en posee una base con ˜km ≈ m.
Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)
Si un espacio de Banach X no es super-reflexivo existe un espacio Y finitamente representable en X y una base almost greedy para Y con km ≈ log m.
Demostraci´on.
Constru´ımos una base para espacio Z finitamente representable en X con ˜km ≈ m.
El m´etodo GW da una base para Z ⊕ `2 con ˜km ≈ log m.
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Una caracterizaci´ on de la super-reflexividad
Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)
Si un espacio de Banach posee una base de tipo P, tambi´en posee una base con ˜km ≈ m.
Teorema (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018)
Si un espacio de Banach X no es super-reflexivo existe un espacio Y finitamente representable en X y una base almost greedy para Y con km≈ log m.
Demostraci´on.
Constru´ımos una base para espacio Z finitamente representable en X con ˜km ≈ m.
El m´etodo GW da una base para Z ⊕ `2 con ˜km ≈ log m.
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Nota
Existe una base almost greedy para un espacio de tipo de Rademacher no trivial con km ≈ log m.
Nota
Dados un espacio de Banach super-reflexivo X y ε > 0, existe una base almost greedy para un espacio Y finitamente representable en X con km & (log m)1−ε (basta tomar Y = `2).
Pregunta
Fijamos un espacio de Banach X. ¿Existe bases almost greedy para X con constantes de condicionalidad tan grandes como permiten los teoremas de DKK y de AAGHR?
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Nota
Existe una base almost greedy para un espacio de tipo de Rademacher no trivial con km ≈ log m.
Nota
Dados un espacio de Banach super-reflexivo X y ε > 0, existe una base almost greedy para un espacio Y finitamente representable en X con km & (log m)1−ε (basta tomar Y = `2).
Pregunta
Fijamos un espacio de Banach X. ¿Existe bases almost greedy para X con constantes de condicionalidad tan grandes como permiten los teoremas de DKK y de AAGHR?
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Espacios de Banach con bases casi avariciosas tan condicionales como es posible
Un espacio de Banach tiene la propiedad M si o bien es super-reflexivo y para todo ε > 0 posee una base quasi-greedy que cumple km& (log m)1−ε, o bien no es super-reflexivo y tiene una base quasi-greedy que cumple km & log m.
En caso de que las bases sean almost greedy, decimos que el espacio tiene la propiedad M+.
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
`1, BV (Rd), `2 tienen la propiedad M+.
(⊕∞n=1`n1)p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M.
`p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).
`1⊕ `2⊕ c0 tienen la propiedad M+ (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).
(v1, `∞)θ,q⊕ (v1, `∞)θ,q⊕ `2 tiene la propiedad M+ (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018).
c0, C(K ) y A(D) no tienen la propiedad M.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, 2003)
Si X∗ tiene la propiedad del teorema de Grothendick, entonces toda base quasi-greedy en X es equivalente a la base can´onica de c0.
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
`1, BV (Rd), `2 tienen la propiedad M+.
(⊕∞n=1`n1)p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M.
`p, 1 < p < ∞, tiene la propiedad M (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).
`1⊕ `2⊕ c0 tienen la propiedad M+ (Garrig´os, Wojtaszczyk, 2015).
(v1, `∞)θ,q⊕ (v1, `∞)θ,q⊕ `2 tiene la propiedad M+ (Albiac, A, Wojtaszczyk, 2018).
c0, C(K ) y A(D) no tienen la propiedad M.
Teorema (Dilworth, Kalton, Kutzarova, 2003)
Si X∗ tiene la propiedad del teorema de Grothendick, entonces toda base quasi-greedy en X es equivalente a la base can´onica de c0.
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
El m´ etodo de Dilworth, Kalton, Kutzarova (DKK)
Sea (S, k · kS) un espacio de Banach de sucesiones para el que la base can´onica (en)∞n=1 es sub-sim´etrica. Llamamos P a la
proyecci´on que consiste en promediar sucesiones en cada intervalo di´adico Ik = [2k−1, 2k− 1]. Esto es,
a1,
|{z}
a2, a3,
| {z }
. . . , a2k−1, . . . , aj, . . . , a2k−1,
| {z }
. . .
a1,
|{z}
a2+ a3
2 ,a2+ a3
2 ,
| {z }
. . . ,
P2k−1 j =2k−1aj
2k− 1 , . . . , P2k−1
j =2k−1aj
2k − 1 ,
| {z }
. . .
P
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Teorema (Lindenstrauss, Tzafriri, 1977) P : S → S es acotada.
Interpretaci´on
Construimos un sistema bi-ortogonal (vk, v∗k)∞n=1 mediante
vk = 1 ck
2k−1
X
n=2k−1
ek, v∗k = ck 2k−1
2k−1
X
n=2k−1
e∗k, kvkkS= 1.
Se tiene
kf kS≈ kf − P(f )kS+
∞
X
k=1
v∗k(f ) vk S
.
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Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Teorema (Lindenstrauss, Tzafriri, 1977) P : S → S es acotada.
Interpretaci´on
Construimos un sistema bi-ortogonal (vk, v∗k)∞n=1 mediante
vk = 1 ck
2k−1
X
n=2k−1
ek, v∗k = ck 2k−1
2k−1
X
n=2k−1
e∗k, kvkkS= 1.
Se tiene
kf kS≈ kf − P(f )kS+
∞
X
k=1
v∗k(f ) vk S
.
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Definici´on (DKK, 2003)
Dada una base (xn)∞n=1 de un espacio X, y una base sub-sim´etrica para un espacio de sucesiones S construimos un espacio de sucesiones Y mediante
kf kY≈ kf − P(f )kS+
∞
X
k=1
v∗k(f )xk X
.
Teorema (Albiac, A, Dilworth, Kutzarova) Y ≈ Ker P ⊕ X.
Supongamos que o bien S tiene tipo no trivial o bien S = `1. Entonces E = (en)∞n=1 es una base de Schauder almost greedy de Y, con funci´on fundamental del orden de
m 7→ ke1+ · · · + emkS.
k˜m[B] & δ(m) =⇒ ˜km[E ] & δ(log(m)) (δ funci´on doblante).
Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Una condici´ on que permite identificar el espacio Y
Supongamos que
S .c X, de modo que X ≈ S ⊕ Z, y que (xn)∞n=1 es una base de X.
Aplicamos el m´etodo DKK a la base de P(S) ⊕ X dada por (v1, x1, v2, x2, . . . , vn, xn, . . . ).
Se tiene que
Y ≈ Ker P ⊕ (P (S) ⊕ X) ≈ (Ker P ⊕ P (S)) ⊕ (S ⊕ Z)
≈ (S ⊕ S) ⊕ Z ≈ S ⊕ Z ≈ X.
Bases de tipo avaricioso Propiedades de tipo incondicional de bases cuasi-avaricioso
Ejemplos
`p, Lp (1 ≤ p < ∞), H1, VMO, espacios de Triebel-Likorkin, espacios de Lorentz, espacios de James pseudo-reflexivos, espacios de Pisier-Xu tienen la propiedad M+.
Los espacios `p⊕ `q, `p(`q) tienen la propiedad M+
(1 ≤ p 6= q ≤ ∞).
(⊕∞n=1`np)q tiene la propiedad M+ (1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞).
(⊕∞n=1`np)0 tiene la Propiedad M (1 ≤ p < ∞).
Jos´e L. Ansorena Universidad de La Rioja Constantes de condicionalidad de bases cuasi-avariciosas
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