de throughput en
redes de Petri estocasticas
Carlos JosePerez Jimenez
TESIS DOCTORAL
DepartamentodeInformatica e Ingenierade Sistemas
Universidadde Zaragoza
Director: Dr. D. JavierCampos Laclaustra
Abril2002
Miagradecimientoen primer lugar a JavierCampos,directorde esta tesis,
por sus ense~nanzas, su constante disponibilidad para todo y por dejarme
trabajaramimanera. Sinsutrabajo,estatesisnosehabrapodidorealizar.
Ensegundolugar,megustaraagradeceratodoslosprofesores,becarios
ypersonal deadministraciondel Departamentode InformaticaeIngeniera
de Sistemaslaayuda,consejosyapoyoque mehan dadosiemprequelahe
necesitado.
Gracias ami familiayamigos porsuapoyomoral ysuschistes durante
los ultimosa~nos. Se vivemejorconhumor.
Por ultimo, me gustara agradecer el apoyo nanciero de las diversas
instituciones y proyectos que han colaborado durante la realizacion de es-
ta tesis: Beca predoctoral de investigacion BIT1192 de la Diputacion Ge-
neral de Aragon; proyectos TIC 0354/91, TIC 0242/94 y TAP 0679/98
de la Comision Interministerial de Ciencia y Tecnologa; accion integra-
da Hispano-Italiana HI 1998-0196 del Ministerio de Educacion y Cultura;
proyecto ESPRITBRA7269(QMIPS)ycontratoHCM CHRX-CT94-0452
(MATCH) de laComunidad Europea.
Los constantes avances tecnologicos conllevan la construccion y utilizacion
de sistemas reales cada vez mas complejos. Para el estudio y comprension
del funcionamiento de estos sistemas, se hace necesario el uso de tecnicas
formales. Las redesde Petriconstituyen un formalismoadecuadopara ata-
carestosproblemas. A~nadiendounainterpretaciontemporal estocastica,es
posible realizar estudios de evaluacion de prestaciones de los sistemas mo-
delados. El principal inconveniente de estas tecnicas es el conocido como
problema de la explosion del espacio de estados. Para reducir el efecto de
este problema,seutiliza una estrategia de divideyvenceras.
En estamemoria seatacaelproblemade evaluar elnumerodedisparos
porunidaddetiempo(throughput)enestadoestacionariodelastransiciones
deunareddePetriestocastica. Paraello,serealizaunadescomposiciondel
modelo original en varias componentes y, a partir de ellas, se construyen
varios sistemas agregados. Con los sistemas agregados, por medio de un
algoritmo iterativo de aproximacion deltiempo de respuesta, se calcula un
valoraproximadodelthroughputdelastransicionesdelmodelooriginal. Al
operarconmodelosmaspeque~nos, sepueden estudiarcasosmascomplejos
que con las tecnicas clasicas a costa de perder precision en los resultados
(calculoaproximado frentea analisisexacto).
Primero seestudian clasesparticulares de redescomo los grafos marca-
dos, losgrafos marcadosconpesos o lossistemasdeterministasde procesos
secuenciales. Por ultimo, se ataca el caso general de las redes de Petri es-
tocasticas. El caso general permitedesarrollar una vision estructurada del
grafodealcanzabilidadde cualquierreddePetria partirdeuna descompo-
sicionestructuralsuya. Estavision estructuradadelgrafodealcanzabilidad
puede utilizarse tambien para otro tipo de estudios, en particular la gene-
racion o almacenamiento e ciente del grafo de alcanzabilidad del modelo
original.
Indice General
1 Introduccion 1
2 Conceptos basicos y notaciones 9
2.1 Elementosde analisisyalgebra . . . 9
2.2 Redes dePetri . . . 11
2.2.1 Estructura deuna redlugar/transicion. . . 11
2.2.2 Marcado . . . 13
2.2.3 Propiedades basicasde redesde Petri . . . 15
2.2.4 Tecnicas de analisis . . . 16
2.2.5 Lugares implcitos . . . 20
2.3 Redes dePetriestocasticas . . . 21
2.4 Subclasesde redesde Petri . . . 30
2.4.1 Grafos marcados . . . 30
2.4.2 Maquinas de estados . . . 32
2.4.3 Grafos marcadosconpesos . . . 33
2.4.4 Sistemas deterministasde procesossecuenciales . . . . 34
3 Aproximacion de throughput en grafos marcados 37 3.1 Literatura previa . . . 38
3.2 Grafos marcadosy lugaresimplcitos . . . 41
3.3 Descomposicion estructural degrafos marcados . . . 43
3.4 Aproximacion iterativa del throughput . . . 67
3.5 Conclusiones . . . 81
4 Aproximacion de throughput engrafos marcadoscon pesos 83 4.1 Introduccion. . . 84
4.2 Ganancia,marcado ponderadoyresistencia . . . 86
4.3 Descomposicion estructural deWTS's . . . 106
4.4 Aproximacion iterativa delthroughput . . . 143
4.5 Conclusiones . . . 155
5 Aproximacion de throughput en DSSP's 157 5.1 Introduccion. . . 158
5.2 Reduccion parcial deSM's . . . 161
5.3 Reduccion totalde SM's . . . 172
5.4 Descomposicionestructural de DSSP's . . . 183
5.5 Aproximacion iterativa delthroughput . . . 187
5.6 Conclusiones . . . 192
6 Descomposicion del grafo de alcanzabilidad para el analisis numerico de redes de Petri estocasticas 195 6.1 Introduccion. . . 196
6.2 Descomposicionestructural de redesde Petri . . . 199
6.2.1 Visionestructurada de redesde Petri. . . 199
6.2.2 Regla dereduccion yvistasabstractas . . . 200
6.3 Garantizandolaergodicidadde lossistemasagregados . . . . 205
6.4 Vision estructurada delgrafo dealcanzabilidad . . . 209
6.5 Eliminacion de marcadosespurios. . . 231
6.6 Reduccion de secuenciasde disparoespurias . . . 236
6.7 Aplicacion a laaproximacion de throughput . . . 244
6.8 Conclusiones . . . 250
7 Comparacion numerica de tecnicas 253 7.1 Grafosmarcados . . . 254
7.2 Grafosmarcadosconpesos . . . 269
7.3 DSSP's . . . 295
7.4 Redesgenerales . . . 330
7.5 Conclusiones . . . 341
8 Conclusiones 343
Indice de Figuras
2.1 Seis transformacionesquepreservan vivacidad yk-limitacion. 18
2.2 Grafomarcado (MG). . . 31
2.3 Maquinade estados(SM). . . 32
2.4 Grafomarcado conpesos (WTS). . . 34
2.5 Sistemadeterminista de procesossecuenciales(DSSP). . . 35
3.1 Corte enun grafomarcado. . . 45
3.2 ES delMGde la gura 3.1 . . . 63
3.3 (a)LS 1 ,(b)LS 2 y(c) BS delMGde la gura 3.1. . . 65
4.1 Caminode ganancia1=3. . . 87
4.2 Caminode marcadoponderado3.. . . 88
4.3 (a)Un WTSysus (b)LS 1 ,(c)LS 2 y(d) BS. . . 93
4.4 Caminode resistencia10. . . 94
4.5 Resistenciaentretransiciones. . . 96
4.6 Contraejemploparael recproco del teorema4.21. . . 106
5.1 Cambio deestructura deun con icto. . . 162
5.2 Reducciontotalde una SM. . . 182
6.1 Un SAM. . . 200
6.2 (a)ES y(b)LS 1 del SAM dela gura6.1. . . 206
6.3 (a)Un SAM ysus (b)LS 1 y(c)BS. . . 209
6.4 Producto degrafos dirigidos etiquetados.. . . 214
6.5 Un SAM. . . 238
6.6 RGdelSAM de la gura 6.5. . . 239
7.1 Ejemplo1 de MG's. . . 256
7.2 ES delMGde la gura 7.1 . . . 260
7.3 (a)LS
1
,(b) LS
2
y(c)BS delMG de la gura7.1. . . 261
7.4 Ejemplo2 deMG's. . . 263
7.5 ES del MGde la gura7.4 . . . 266
7.6 (a)LS 1 ,(b) LS 2 y(c)BS delMG de la gura7.4. . . 267
7.7 Ejemplode WTS's. . . 270
7.8 ES del WTSde la gura7.7 (tecnicade WTS's). . . 284
7.9 (a)LS 1 ,(b) LS 2 y(c)BS delWTS dela gura7.7(tecnica deWTS's). . . 285
7.10 ES del WTSde la gura7.7 (tecnicas generales). . . 289
7.11 (a)LS 1 ,(b)LS 2 y(c)BS delWTSdela gura7.7(tecnicas generales). . . 290
7.12 Sistemadefabricacion. . . 296
7.13 DSSPquemodelaelsistema de la gura7.12. . . 297
7.14 (a)UnaSM y(b)sureduccion parcial.. . . 300
7.15 ES del DSSPde la gura7.13 (reduccion parcial). . . 302
7.16 (a)LS 1 y(b)LS 2 de la gura 7.13(reduccionparcial). . . . 303
7.17 (a)LS 3 y(b)BS de la gura 7.13. (reduccionparcial). . . . 304
7.18 (a)UnaSM enun DSSPy(b) sureducciontotal. . . 308
7.19 (a)LS 1 y(b)LS 2 de la gura 7.13. (reduccion total). . . 310
7.20 (a)LS 3 y(b)BS de la gura 7.13. (reducciontotal).. . . 311
7.21 ES del DSSPde la gura7.13 (tecnicasgenerales). . . 314
7.22 (a)LS 1 y(b)LS 2 de la gura 7.13. (tecnicas generales). . . 315
7.23 (a)LS 3 y(b)BS de la gura 7.13. (tecnicas generales). . . . 316
7.24 DSSPconSM'stotalmentereducibles. . . 318
7.25 (a) Reduccion total de SM's de la gura 7.24 y (b) ES del WTSde (a)(tecnicade WTS's). . . 320
7.26 (a)LS 1 y(b)LS 2 de la gura 7.24. (reduccion total). . . 321
7.27 BS de la gura 7.24(reducciontotal). . . 322
7.28 ES del DSSPde la gura7.24 (tecnicasgenerales). . . 324
7.29 (a)LS 1 y(b)LS 2 de la gura 7.24. (tecnicas generales). . . 326
7.30 BS de la gura 7.24(tecnicas generales).. . . 327
7.31 Ejemplo1 deSAM's. . . 330
7.32 ES del SAMde la gura 7.31. . . 333
7.33 (a)LS 1 ,(b) LS 2 y(c)LS 3 del SAMde la gura 7.31. . . 334
7.34 BS del SAM dela gura7.31.. . . 335
7.35 Ejemplo2 deSAM's. . . 336
7.36 ES del SAMde la gura 7.35. . . 337
7.37 (a)LS ,(b) LS y(c)BS delSAM de la gura 7.35. . . 339
Indice de Tablas
7.1 Aproximacion de X para Fig.7.1. Tasas 1:0 . . . 260
7.2 Aproximacion de X para Fig.7.1. Tasas variables. . . 262
7.3 Aproximacion de X para Fig.7.4. Tasas 1:0 . . . 268
7.4 Aproximacion de X para Fig.7.4. Tasas 1 en N
1
y2en N
2
. . 268
7.5 Aproximacion de X para Fig. 7.4. Tasas 2 en T
11 , T
12 , T
21 ,
T
22 ,I
11 ,I
12 ,I
21 e I
22
. Restotasas1. . . 269
7.6 Aproximacion de X para Fig.7.7. Tasas 1:0(tecnicaWTS's). 286
7.7 AproximaciondeX paraFig.7.7. Tasas10enN
1
y0:1enN
2
(tecnicade WTS's). . . 287
7.8 AproximaciondeX paraFig.7.7. Tasasvariables(tecnicade
WTS's). . . 287
7.9 AproximaciondeX paraFig.7.7. Tasas1:0(tecnicageneral1).291
7.10 Aproximacion de X para Fig. 7.7. Tasas 1:0 (tecnicas gene-
rales2 y3). . . 292
7.11 AproximaciondeX paraFig.7.7. Tasas10enN
1
y0:1enN
2
(tecnicageneral1). . . 292
7.12 AproximaciondeX paraFig.7.7. Tasas10enN
1
y0:1enN
2
(tecnicasgenerales2 y3). . . 292
7.13 Aproximacion de X para Fig. 7.7. Tasas variables (tecnica
general1). . . 293
7.14 Aproximacion de X para Fig. 7.7. Tasas variables (tecnicas
generales2 y3). . . 293
7.15 Comparacion de tecnicas paraelWTS dela Fig.7.7. . . 294
7.16 Tasas de las transicionesdelDSSP dela Fig.7.13. . . 298
7.17 Aproximacion de X para Fig.7.13 (n=17,reduccion parcial).302
7.18 Aproximacionesparadiversosvaloresde n(reduccion parcial).305
7.19 Aproximacion de X para Fig.7.13 (n=17,reduccion total). 309
7.20 Aproximacionesparadiversosvaloresde n(reduccion total).. 312
7.21 Aproximacionde X paraFig.7.13(n=17,tecnicasgenerales).314
7.22 Aproximacionesparadiversosvaloresde n(tecnicasgenerales).317
7.23 Tasas de lastransiciones delDSSPde laFig. 7.24. . . 319
7.24 Aproximacion deX paraFig. 7.24. Tasas 1:0. . . 322
7.25 Aproximacion de X para Fig. 7.24. Tasas 100:0 en N 1 y 0:1 enN 2 . . . 323
7.26 Aproximacion deX paraFig. 7.24. Tasas de latabla 7.23. . . 323
7.27 Aproximacion deX paraFig.7.24. Tasas 1:0(tecnicasgene- rales1 y2). . . 325
7.28 AproximaciondeX paraFig.7.24. Tasas1:0(tecnicageneral3).327 7.29 Aproximacion de X para Fig. 7.24. Tasas 100 en N 1 y 0:1 enN 2 (tecnicas generales1y 2). . . 328
7.30 Aproximacion de X para Fig. 7.24. Tasas 100 en N 1 y 0:1 enN 2 (tecnicageneral 3). . . 328
7.31 Aproximacion de X para Fig. 7.24. Tasas de la tabla 7.23 (tecnicas generales1 y2). . . 329
7.32 Aproximacion de X para Fig. 7.24. Tasas de la tabla 7.23 (tecnicageneral 3). . . 329
7.33 Tasas de lastransiciones delSAM de laFig.7.31. . . 331
7.34 Aproximacion deX paraFig. 7.31(tecnicas generales).. . . . 335
7.35 Aproximacion deX paraFig. 7.35(tecnicageneral 1). . . 338
7.36 Aproximacion deX paraFig. 7.35(tecnicageneral 2). . . 338
7.37 Aproximacion deX paraFig. 7.35(tecnicageneral 3). . . 340
Introduccion
Los constantes avances tecnologicos conllevan la construccion y utilizacion
de sistemas reales cada vez mas complejos. Estos sistemas se pueden ob-
servaren campos tan diferentes como los sistemas de fabricacion, sistemas
informaticos,sistemasdetelecomunicacion,etc. Esta crecientecomplejidad
de los sistemas di culta todas las etapas de su ciclo de vida, desde el di-
se~no,pasandoporelmantenimiento,modi cacion,actualizacion,mejorade
su rendimiento, etc. Por lo tanto se hace necesario el empleo de tecnicas
formales que ayuden al analista a estudiar el funcionamiento de estos sis-
temas. Desde el punto de vista teorico todos estos sistemas pueden verse
comoproveedoresdeservicioscompuestosinternamenteporcomponenteso
subsistemasmassimplesqueevolucionaneneltiempodeformaconcurrente
y que tienen que compartir una serie de recursos. El uso de estos recur-
sos provoca la aparicion de fenomenosde competencia ycooperacion entre
las distintas componentes. Ademas, la evolucion de las componentes del
sistema debe sincronizarse para conseguirprestar los servicios globales del
sistema. Si el sistema no ha sido construido todava entonces es necesario
tener un modelo del mismo y poder estudiar a partir de el sus principales
propiedades. El modelado de un sistema depende del tipo de estudio que
quiera realizarse, ya que un modelo es una simpli cacion del sistema real
en elque seeliminan los aspectosirrelevantes del mismo. Elestudio de las
propiedades de un sistema a partir de un modelo del mismo es una tarea
quepuede serautomatizada sise disponende las tecnicas adecuadas.
El analista de sistemasnecesita estudiar basicamentedos tiposde pro-
piedades, las propiedades cualitativas y las cuantitativas. Las propiedades
cualitativasdelsistematienenqueverconunfuncionamientocorrectodesde
el punto de vista logico. Propiedades de este tipo son por ejemplo la au-
sencia de bloqueos, que todassus componentes puedanevolucionar perma-
nentemente,queno sedesbordeningunacomponente, etc. Laspropiedades
cuantitativas(evaluacion de prestaciones)del sistematienenque ver conel
funcionamiento temporal del sistema, por ejemplo la velocidad a la que el
sistemapuedeoperar,su abilidad,etc. Estetrabajosecentraenlaevalua-
cion de prestacionesde los modelospor loquese asumira queya tienenun
comportamientocualitativocorrecto.
En [Ho89] se distingue entre dos grandes grupos de sistemas, los siste-
mas dinamicos de eventos discretos (DEDS), y los sistemas dinamicos de
variable continua(CVDS). En los CVDSelestadodel sistemacambiacon-
tinuamenteen eltiempo yestos cambios dependende entradas o variables
continuas. La evolucion de los CVDSse describe tradicionalmenteporme-
dio de ecuacionesdiferenciales. En cambio, los DEDS evolucionan en base
alaocurrenciadeundeterminadoevento. Deestaforma,unDEDSperma-
neceen elmismoestadohastaque uneventolehacecambiaraotroestado.
Paralos DEDS nohayun formalismounico universalmenteaceptadocomo
las ecuaciones diferenciales para los CVDS. Entre los formalismos emplea-
dospara elestudiode losDEDS setienenlas redesde Petri(RdP)[Pet66],
redesde colas[Kan92], redesde automatas estocasticas[PS00],algebras de
procesosestocasticas[HHM95],etc.
LasRdPfuerondise~nadasoriginalmentepararealizaranalisiscualitativo
principalmente. Estasredespuedenextenderseposteriormentecondistintas
interpretaciones [ST96] dependiendodel objeto de estudio. Porejemplo,si
el propositoes realizarevaluacionde prestacionesseles asociaa cadatran-
sicion un tiempo de disparo estocastico. Para otrasaplicaciones se a~naden
tiemposde disparo deterministas, etc. Deesta formatodas las extensiones
compartenlastecnicasdeanalisiscualitativodelasRdP.Enestamemoriase
estudianDEDSmodeladosconRdPalasqueselea~nadeunainterpretacion
temporal estocastica. Ademas no se estudia el modelado y especi cacion
de sistemas,sino unicamentemetodosdeanalisispartiendo de modeloscon
funcionamientocualitativo correcto.
En cuanto a la extension estocastica empleada, se asocian tiempos de
evolucion de las redes distribuidos exponencialmente obteniendose las re-
des de Petri estocasticas (SPN) o las redes de Petri estocasticas generali-
zadas (GSPN). Con las SPN's y GSPN's se obtiene a bajo nivel procesos
estocasticos que son cadenas de Markov en tiempo continuo (CTMC). La
tecnicasdeanalisisyherramientasexistentesparalasCTMC's[Chi87]. Pa-
ra cualquier CTMC es posible calcular su comportamiento transitorio (en
tiempo nito) o, bajo ciertas condiciones (condiciones de ergodicidad), su
comportamiento en estado estacionario (comportamiento lmite cuando el
tiempo tiende ain nito). En esta memoria se analizaran comportamientos
en estadoestacionariode los modelos, asumiendoque estoscomportamien-
tos existen (ergodicidad). De esta forma el analisis numerico de SPN's y
GSPN's se realiza en cuatro etapas; generacion del grafo de alcanzabilidad
delaSPNoGSPN,generaciondelaCTMCasociada,calculodelcomporta-
mientoestacionario de la CTMC ycalculode losndices de prestaciones
deseados a partir de . En esta memoria elndice de prestaciones que se
analiza es el numero de disparos por unidad de tiempo de las transiciones
delaredinicial,esdecir,elthroughput 1
de lastransiciones. Elproblemade
estetipodeanalisisnumericoconsisteenqueesnecesariocalcular todoslos
estados alcanzables de la red de Petri, y este numero de estados crece, en
general,exponencialmenteconeltama~node lared. Este hechoes conocido
como elproblemade laexplosion del espaciode estados.
Unaformade reducirel efecto delproblemade la explosion del espacio
deestadosesusarunaestrategiadedivideyvenceras. Paraelloesnecesario
disponerdeunmetododedescomposiciondelmodelooriginalencomponen-
tesdemenorcomplejidadydeunatecnicadecomposiciondelasoluciondel
modelo originala partir delas soluciones de las componentes. Lastecnicas
desarrolladas en esta memoria se basanen una descomposicion delmodelo
inicial.
Existen diversas tecnicas en la literatura para el calculo de ndices de
prestaciones basadasen tecnicas de descomposicion. Esta tecnicas pueden
clasi carseconrespectoa distintos criterios (propuestosen [SC98]).
Calidad de losresultados obtenidos.
Informacion delentorno en lascomponentes.
Existenciade unavision abstractade alto niveldelmodelo.
Particiondel modelo porlugares o transiciones.
1
Semantiene elterminoingles throughput por su difciltraduccion cortaalespa~nol,
porque es ampliamente conocido por los expertos en el tema y porque se utiliza con
El primer criterio de clasi cacion (calidad de los resultados obtenidos)
puedeemplearse paratodaslas tecnicasde analisisexistentes,enparticular
para tecnicas de descomposicion. En base a este criterio setienen tecnicas
exactas, aproximaciones y cotas. Las tecnicas de descomposicion exactas
consiguen la solucion del modelo original a partir de las soluciones de las
componentes. Normalmenteson las tecnicas demayorcomplejidad compu-
tacional tantoen espaciocomoen tiempo,peroobviamentelasquemejores
resultados consiguen en terminosde exactitud. Un ejemplode este tipo de
tecnicas se puede ver en [Don94] donde se utiliza una descomposicion del
modelo (normalmente subredes generadas porp-semi ujos) de nida por el
analizadoroporconstruccion delmodeloparaelcalculoexactode ladistri-
bucion enestadoestacionariodelmodelooriginalapartirdelainformacion
obtenida de las componentes. Las tecnicas de aproximacion no consiguen
en generallasolucionexactadelmodelooriginalsinounicamente unaapro-
ximacion. La ventaja de este tipo de tecnicas reside en la posibilidad de
reducir la complejidad computacional de los algoritmos de calculo. Ejem-
plosde estetipodetecnicaspuedenverseen[CCJS94,LW95,PJC99a]. Las
tecnicasdecalculode cotassonlasmase cientes,ytambienlasquemasse
alejan en generalde la solucion del modelo. En algunoscasos elcalculo de
cotasessu ciente. Porejemplo,en las primerasetapasdedise~node unsis-
tema, elcalculode cotaspermite eliminarlas alternativasque nopermitan
obtener las prestaciones deseadas del sistema. En [CCS91] se utiliza una
descomposicion delmodelooriginal en p-semi ujospara elcalculode cotas
de throughput de las transiciones del modelo, asociando distribuciones de
probabilidad arbitrariasaltiempode disparodelas transiciones. Atendien-
do aestecriteriodeclasi cacion,lastecnicasdesarrolladasenesta memoria
son tecnicas deaproximacion.
Respecto al segundo criterio de clasi cacion (informacion del entorno
contenidaen lascomponentes)haytecnicas enlas quelascomponentes son
directamente las subredes generadas por la descomposicion del modelo, es
decir,ningunacomponentetieneinformacionadicionaldelrestodelmodelo.
Ejemplos de este tipo de tecnicas son: el analisis exacto de GSPN super-
puestas(unasubclasedeGSPN)en[Don94],elanalisisaproximadodeSPN
por mediode agregacion de ujo equivalente en [JD91], o el calculo de co-
tas basado en tecnicas de programacion lineal en [CCS91]. En otroscasos,
las subredessecomplementanconobjetode resumirelcomportamientodel
resto del modelo. Ejemplosde este tipo de tecnicas son [CDS99] donde se
nentesydespuesrealizarunanalisisexacto,o[PJC98]queemplealamisma
vision pero para analisis aproximado. Otros ejemplos son [CS93] para la
mejoradecotaso [LW95]paraanalisisaproximado. En lastecnicasde esta
memoria,todoslossistemasagregadoscontieneninformaciondelentornoen
las componentes.
Para poder emplear una tecnica de descomposicion se debe disponer
tambien de una tecnica de composicion de la solucion del modelo original
a partir de las soluciones de las componentes. Por lo tanto, otro crite-
rio de clasi cacion puede ser la existencia o no de una vision abstractade
alto nivel del modelo en la fase de integracion. Ejemplos de tecnicas sin
esta vision abstracta de alto nivel son: el calculo de cotas presentado en
[CCS91]ysumejoraen [CS93],olatecnicadeaproximacionpresentadaen
[LW95]. Ejemplos de tecnicas con la vision abstracta de alto nivel son: el
analisisaproximadodeSPNpormediodeagregacionde ujoequivalenteen
[JD91],latecnicadeaproximacionbasada en formaproducto en [BD96],el
analisis exacto de SPN con vision estructurada de [CDS99], y las tecnicas
de analisis aproximado para WTS[PJCS96b], DSSP [PJCS96c, PJCS96a],
o SPN [PJC98, PJC99a]. Todaslas tecnicas de esta memoria emplean una
vision abstractade altoniveldel sistemainicial.
ComolaestructuradeunareddePetritienedostiposdenodos(lugares
y transiciones), otro criterio de clasi cacion de tecnicas de descomposicion
puede ser la seleccion de lugares o transiciones para realizar la descompo-
sicion del modelo. Existen tecnicas en la literatura que descomponen el
modeloporlugaresoportransiciones. Lastecnicasquesepresentanenesta
memoriadescomponenlasredespormediode lugares.
El trabajo desarrollado en esta memoria tiene su punto de partida en
[CCJS94] donde sedesarrolla una tecnica de aproximacion del throughput
de las transiciones de un grafo marcado. La tecnica se basa en una des-
composicion estructural del modelo inicial en varias subredes, a partir de
lascualesseconstruyenvariossistemasagregados. Conestossistemasagre-
gados, por medio de un algoritmo numerico iterativo de aproximacion del
tiempo de respuesta de las subredes reducidas, se aproxima el throughput
de las transiciones del grafo marcado inicial. El objetivo consista en ex-
tender la tecnica a clases de redes cada vez mas generales. Siguiendo con
tecnicas de descomposicionestructural del modelo originalen variassubre-
desseconsiguioextender latecnicaagrafos marcadosconpesos [PJCS96b]
y a sistemas deterministas de procesos secuenciales [PJCS96c, PJCS96a].
[CDS99]. En este trabajo, por medio de una descomposicion estructural
del modelo inicial en varias componentes es posible resolver la CTMC de
la SPN inicial a partir de las CTMC's de sus componentes. De esta ma-
nera se reduce drasticamente la complejidad en espacio del problema. En
[PJC98, PJC99a] se adaptan los sistemas agregados de [CDS99] para po-
der realizar calculos aproximados. Recientemente, en [FZ01] ha aparecido
una tecnicade aproximaciondelthroughputdelastransicionesde unaSPN
fuertementeinspiradaenestetipodetecnicas. Allseincluyenligerasmodi-
caciones enelalgoritmo numericodeaproximacion. En [FZ98]seextiende
el algoritmo de aproximacion del tiempo de respuesta a una subclase de
redesde Petricoloreadasparaobtener aproximacionesde throughput.
La memoriaesta estructuradaen los siguientes7 captulos:
En elcaptulo 2 seintroducen formalmentelos conceptos basicos,nota-
cionesytecnicasutilizadasalolargodelamemoria. Sede neelformalismo
de las redes de Petri y se exponen las principales tecnicas de analisis em-
pleadas en la memoria,as como lainterpretacion temporal de los modelos
ylas subclases de redesqueseestudian en captulos posteriores.
Enelcaptulo3seexplicaendetalleeltrabajodesarrolladoen[CCJS94]
sobre aproximacion de throughput en grafos marcados. Este es el trabajo
que motiva el desarrollo de esta memoria y se aprovecha la exposicion pa-
ra introducir algunas mejoras tecnicas y el analisis de funcionamiento del
algoritmo numericodeaproximacion.
Enelcaptulo4seextiendelatecnicade aproximacion dethroughputa
la subclase de los grafos marcadoscon pesos (WTS). Esta tecnica, presen-
tada en [PJCS96b], se basa igualmente en una descomposicion estructural
del WTS original, la generacion de varios WTS'smas peque~nosy la apro-
ximacion delthroughputdelas transicionesdelWTSoriginalpormediode
un algoritmo iterativoque opera sobre losWTS'sagregados.
En el captulo 5 se desarrollan dos tecnicas de reduccion de maquinas
de estados que permiten extender las tecnicas anteriores a la subclase de
los sistemasdeterministas de procesos secuenciales (DSSP). Estas tecnicas
sepresentaronen[PJCS95,PJCS96c,PJCS96a]ytambiensebasanen una
descomposicion estructural delmodelo original.
Enel captulo6 seabordalageneralizacion acualquier redde Petridel
problema de descomposicion y generacion de los sistemas agregados. Son
las tecnicas presentadas en [PJC98, PJC99a, PJC99b]. Para algunas sub-
clases de redesesposible realizar ladescomposicion delmodelo inicialy la
la estructura y marcado inicial del modelo. Para realizar la misma tarea
en sistemas generales es necesario operar a nivel de su grafo de alcanza-
bilidad. En este captulo se estudia como una descomposicion estructural
del modelo inicial induce una estructura en su grafo de alcanzabilidad que
permitesualmacenamientode formadescompuestaysintener quegenerar
todos los estados alcanzables. Esta descripcion del grafo de alcanzabilidad
se puede emplear para propositos mas generales que el calculo aproxima-
do del throughput de las transiciones del modelo inicial. De esta forma,
seexponeun algoritmo de generacion delgrafo de alcanzabilidad delsiste-
maoriginalmase cientequeel clasico, tantoen memoriacomo en tiempo.
Posteriormente, ladescripcion descompuestadel grafode alcanzabilidadse
utiliza para generar directamente los sistemasagregados. Se exponen tres
tecnicas distintas de generacion de los sistemasagregados dependiendo del
tipo de propiedades que se deseen preservar en los mismos. Por ultimo,
las tres tecnicas de generacion de sistemas agregados se aplican al calculo
aproximado delthroughputde lastransicionesdelaredinicial. Paraelloes
necesarioadaptarelalgoritmo numericoa lanueva situacion.
En el captulo 7 se desarrolla una batera de ejemplos con todas las
tecnicasdesarrolladas,comparandoenalgunosdeellostodaslastecnicasde
descomposicion queles sean aplicables.
Por ultimo, en el captulo 8 se exponenlas conclusiones de la memoria
yeltrabajo quehabraque realizaren elfuturo.
Conceptos basicos y
notaciones
En este captulo se introducen los conceptos basicos, notaciones ytecnicas
utilizadas a lo largo de la memoria. La distribucion del captulo es la si-
guiente. Enlaseccion 2.1seexponenlosprincipalesresultadosdealgebray
analisisempleadosenlamemoria,enlaseccion2.2seintroducenlasnotacio-
nes, de niciones, principales propiedades ytecnicas de analisisde las redes
lugar/transicionautonomas. Enlaseccion2.3seintroducelainterpretacion
temporal que se le va a dar a las redes a lo largo de esta memoria. Por
ultimo,enlaseccion2.4sede nenyexponenlasprincipalespropiedadesde
las distintas subclasesde redesque aparecenen lamemoria.
2.1 Elementos de analisis y algebra
En esta seccion se indicaran las notaciones, de niciones y resultados ele-
mentalesdeanalisisyalgebraqueaparecenenlamemoria. Se asumequeel
lectortieneconocimientoselementalesdeestasmaterias(ver[Kla86,Gre76]
parauna introduccion).
Notacion 2.1 Se denotaranpor IN, ZZ, Qy IR a los conjuntosde numeros
naturales, enteros, racionales y reales respectivamente. Se entiende que 0
no es un numero natural. Ademas, se denotaran por ZZ +
, Q +
y IR +
a los
conjuntosde enteros, racionales y realesno negativosrespectivamente.
Notacion 2.2 Sea P un conjunto. Se denota por jPj al cardinal del con-
junto (numero de elementos).
Teorema 2.3 [Kla86] Axioma del supremo.
Sea V IR, V 6=; acotadosuperiormente. Entonces V posee supremo.
Corolario 2.4 [Kla86] Sea V IR, V 6=; acotado inferiormente. Enton-
ces V poseen mo.
Teorema 2.5 [Kla86] Algoritmo de la division.
Sean a;b 2ZZ con b>0. Entonces existen q;r 2 ZZ tales que a=bq+r y
0r <b.
Notacion 2.6 Division entera.
Seana;b2ZZconb>0. Sedenotaporb a
b
calmayorenteroq talqueq a
b .
De nicion 2.7 [Kla86] Norma in nito.
Sea v=(v
1
;v
2
;:::;v
n )2IR
n
un vector de n componentesreales. Se de ne
la norma in nito de v como jjvjj
1
=max n
i=1 fjv
i jg.
Teorema 2.8 [Kla86] Teorema de la funcion inversa.
Sea f : D ! IR continua e inyectiva en D compacto. Entonces existe
f 1
:f(D) !D yes continua.
Teorema 2.9 [Kla86] Propiedad de Darboux.
Sea f : [a;b] ! IR continua y h 2 IR cumpliendo f(a) < h < f(b) o
f(b)<h<f(a). Entonces existex2(a;b) tal que f(x)=h.
Teorema 2.10 [Sma74] Teorema del punto jo de Brouwer.
Sea f :D IR n
! IR n
una funcion continua en D compacto, convexo y
no vaco tal que f(D)D. Entonces existe x2D tal quef(x)=x.
Notacion 2.11 Sea V un K-espacio vectorial (K cuerpo). Se denota por
dim(V) a ladimension deV.
Notacion 2.12 Sea f : V ! W aplicacion lineal entre dos K-espacios
vectoriales (K cuerpo). Seutilizan las siguientes notaciones:
i) Imf =ff(v)jv2Vg. rankf =dim(Imf).
Teorema 2.13 [Gre76] Sea V un K-espacio vectorial (K cuerpo) de di-
mensionn. Entonces V es isomorfo a K n
(denotado por V
= K
n
).
Teorema 2.14 [Gre76] Primer teorema de isomorfa.
Sean V, W K-espacios vectoriales (K cuerpo) y f : V ! W aplicacion
lineal. Entonces V=Kerf
= Imf.
Corolario 2.15 [Gre76] Sean V, W K-espacios vectoriales (K cuerpo) y
f :V !W aplicacionlineal. Entonces dim(V)=dim(Kerf)+dim(Imf).
2.2 Redes de Petri
Enestamemoriaseasumequeellectorestafamiliarizadoconlosconceptos
basicos de redes de Petri (ver [Pet81, Sil85 , Mur89, DHP +
93] para una
introduccion). En esta seccion se introducen las de niciones, notaciones y
principales propiedadesqueserande utilidad en lossiguientes captulos.
2.2.1 Estructura de una red lugar/transicion
Enesta seccion seexponenlasde niciones, notacionesyprincipales propie-
dadesde las redesde Petrino temporizadas.
Existendosde nicionesderedeslugar/transicion,unaorientadaagrafos
yotra amatrices.
De nicion 2.16 P/T red orientada a grafos.
Unaredlugar/transicion(P/Tred)esunacuadruplaN =hP;T;F;Widon-
deP yT sonconjuntosdisjuntos, nitosnovacosdelugaresytransiciones,
F (PT)[(TP)eselconjuntodearcosdirigidosyW :F !INasig-
naacadaarcoun peso. Alos elementosdelconjuntoP[T selesdenomina
nodos.
De nicion 2.17 P/T red orientada a matrices.
UnaP/TredesunacuadruplaN =hP;T;Pre;PostidondeP yT soncomo
en la de nicion 2.16 y Pre, Post son las matrices de incidencia anterior
e incidencia posterior respectivamente (ambas de enteros no negativos de
tama~no jPjjTj).
Se utilizara una de nicion u otra dependiendode las necesidades. Una
Los lugares se representan mediante crculos y las transiciones mediante
rectanguloso barras. PorcadaelementoPre(p;t)6=0 hayunarco dirigido
del lugar p a la transicion t de peso Pre(p;t) = W(p;t). Analogamente,
por cada elemento Post(p;t) 6= 0 hay un arco dirigido de la transicion t
al lugar p de peso Post(p;t) = W(t;p). Un arco sin peso tiene asociado
por defecto peso 1. Se puede suponer, sin perdida de generalidad, que las
P/Tredessonconexas,esdecir,quesepuedeirdeunnodoacualquierotro
de la red atravesando arcos sin tener en cuenta el sentido de los mismos.
En elfondounaP/T redquenoesconexasepuededescomponerentantas
redescomo componentesconexas tenga yestudiarcada unaporseparado.
De nicion 2.18 Una P/T red N es ordinaria si y solo si todos sus arcos
tienen pesoasociado1. Se denotara por N =hP;T;Fi.
Se sueleutilizar notacionesconpuntos para losconjuntosde incidencia
anterior yposterior de unnodo oconjuntodenodos.
Notacion 2.19 Sea N una P/T redy v2P[T unnodode N. Sedenota
por:
i)
v=fu2P [Tj(u;v)2Fg.
ii) v
=fu2P [Tj(v;u)2Fg.
Notacion 2.20 Sea N una P/Tred yV P[T un subconjunto denodos
de N. Sedenota por:
i)
V =fu2P[T j9v 2V tal que (u;v)2Fg.
ii) V
=fu2P[T j9v 2V tal que (v;u)2Fg.
De nicion 2.21 Sea N una P/T red.
i) Un lugarp2P se dice seleccion siy solosi jp
j>1.
ii) Un lugarp2P se dice atribucion si y solo si j
pj>1.
iii) Una transicion t2T se dice distribucion siy solosi jt
j>1.
iv) Una transicion t2T se dice conjuncion siy solosi j
tj>1.
De nicion 2.22 Una P/T red N es pura si ninguna transicion contiene
De nicion 2.23 Sea N una P/T red. La matriz de incidencia de N es
C = Post Pre. Las las (columnas) de C se denominan vectores de
incidencia dellugar (transicion) correspondiente.
En la matriz de incidencia C de una P/T red, los elementos positivos
secorrespondenconlos de la matrizPost de incidenciaposteriormientras
que los elementos negativos se corresponden con los de la matriz Pre de
incidenciaanterior.
Notarqueunaredpuraestacompletamentecaracterizadaporsumatriz
de incidencia, mientras que si la redno es pura, parte de su estructura no
apareceen lamatrizde incidencia(la correspondientea loslugares queson
simultaneamentede entrada ysalidade una mismatransicion).
De nicion 2.24 Sean N =hP;T;Pre;Posti y N 0
=hP 0
;T 0
;Pre 0
;Post 0
i
dos P/T redes. N 0
se dice subred deN (denotado por N 0
N)si:
i) P 0
P y T 0
T.
ii) Pre 0
=Pre[P 0
;T 0
]y Post 0
=Post[P 0
;T 0
].
De nicion 2.25 Sea N =hP;T;Pre;Posti una P/T red y V P [T un
subconjunto de nodos. La subred N 0
=hP 0
;T 0
;Pre 0
;Post 0
i de N generada
por V es una subred tal que:
i) P 0
=V \P yT 0
=V \T.
ii) Pre 0
=Pre[P 0
;T 0
]y Post 0
=Post[P 0
;T 0
].
Si V contiene solo un tipo de nodos, se entiende que N 0
es la red generada
por V [
V [V
.
2.2.2 Marcado
Laestructuradeunaredesestatica. Parapodermodelarsistemasdinamicos
esnecesario de nir un estado inicialen el modelo y una reglade evolucion
de esteestado. Este eselcontenidode esta seccion.
De nicion 2.26 Marcado y P/T sistema.
SeaN unaP/Tred. Un marcadodeN esunvectorm2fZZ +
g jPj
queasigna
a cada lugar p 2 P un entero no negativo. Un sistema lugar/transicion
(P/T sistema)es un par S=hN;m i donde m es el marcadoinicial.
El numero m[p] asociado al lugar p 2 P constituye el estado local del
lugar. El estado del P/T sistema se compone de los estados individuales
de cada lugar. Por lo tanto, el vector m constituye el estado del sistema
modelado por el P/T sistema S. El estado local del lugar p se representa
gra camenteconm[p]marcas (puntos) dentrodelcrculo querepresentaal
lugar p.
LaevoluciondeunP/Tsistemavienede nidoporlaregladedisparo de
sus transiciones.
De nicion 2.27 Sensibilizacion y disparo.
Sea S =hN;mi un P/T sistema. Una transicion t 2T esta sensibilizada
en m si y solo si mPre[P;t]. Se de ne el grado de sensibilizacion de t
en m como e(m)[t]=maxfk 2ZZ +
jm kPre[P;t]g. Una transicion t
sensibilizadaenunmarcadompuededispararseproduciendounnuevomar-
cado m 0
=m+C[P;t]. Este disparose denota por m t
! m
0
.
En un P/T sistema puede haber varias transiciones sensibilizadas si-
multaneamentey por lo tantosera posible el disparo simultaneo de varias
transiciones. EnlaevoluciondeunP/Tsistemasesupondraqueenundeter-
minadomomentosolosedispara unatransicion,esdecir, queelobservador
puede distinguir cada disparo de cada transicion de forma independiente.
Esta interpretacionseconocecomo semantica deentrelazado (\interleaving
semantics").
De nicion 2.28 Secuencias de disparo.
Sea S =hN;m
0
i un P/T sistema. Una secuencia de disparo desde m
0 es
una sucesion nita = ft
i g
n
i=1
de transiciones tales que m
i 1 t
i
! m
i para
1in. En esecaso se diceque m
n
es un marcadoalcanzabledesde m
0
y se denota por m
0
! m
n .
De nicion 2.29 Sea S =hN;m
0
i un P/T sistema y una secuencia de
disparo desde m
0
. El vector caracterstico o vector contador de disparos
de es talque[t]es elnumero devecesquelatransiciontapareceen.
Si en un P/T sistema m t
! m
0
, entonces se tiene que m 0
= m+C[t].
Generalizando estaexpresionasecuencias dedisparoseobtienelaecuacion
de estado de un P/Tsistema.
Teorema 2.30 [Sil85] Ecuacion de estado de un P/T sistema.
Sea S = hN;m
0
i un P/T sistema y una secuencia de disparo desde m
0
de vector caracterstico . Si m
m entonces m=m +C.
De nicion 2.31 Sea S =hN;m
0
i unP/Tsistema. El lenguaje deS esel
conjunto L(S) desecuenciasde disparo desde m
0 .
De nicion 2.32 SeaS =hN;m
0
iunP/Tsistema. El conjuntodeestados
alcanzables de S es R(S)=fmjm
0
!
m con 2L(S)g.
De nicion 2.33 Sea S =hN;m
0
i unP/Tsistema. El grafodealcanzabi-
lidadRG(S)es ungrafodirigidoetiquetadocuyos verticessonloselementos
deR(S)yhayunaaristadirigidaetiquetadacontdelverticemalverticem 0
siy solo sim t
! m
0
.
2.2.3 Propiedades basicas de redes de Petri
De nicion 2.34 Vivacidad.
Sea S=hN;m
0
i unP/T sistema. Unatransiciont2T es viva siysolosi
para todom2R(S) existe 2L(N;m) talque t2. S esvivosiy solosi
todas sus transicionesson vivas.
La propiedad de vivacidad asegura la posible repeticion futura de cada
accion individual delsistema.
De nicion 2.35 Un P/T sistema S se dice libre de bloqueo si y solo si
para todo m2R(S) existe t2T sensibilizada enm.
La propiedad de ser libre de bloqueo es claramente necesaria para la
vivacidad.
De nicion 2.36 Limitacion.
Sea S =hN;m
0
i un P/T sistema. Un lugar p 2P se dice k-limitado si y
solo si m[p] k para todo m 2 R(S). El P/T sistema es k-limitado si y
solo si todos sus lugares son k-limitados. Un lugar o un P/T sistema son
limitadossi y solo si son k-limitados para algun k2IN.
La propiedad de limitacion impide desbordamientos debidos al creci-
mientoilimitadodelcontenidodecualquier componentedelsistema.
De nicion 2.37 Estados recurrentes y reversibilidad.
SeaS=hN;m
0
iunP/Tsistema. Unmarcadoalcanzablem2R(S)sedice
estado recurrente (\home state") si y solo si es alcanzable desde cualquier
marcadodeR(S),esdecir,siysolosiparatodom 0
2R(S)setienem 0
! m
con 2L(N;m 0
). Un P/T sistema S se dice reversible si y solo si m
0 es
La existencia de estados recurrentes indica la posibilidad de regresar
siempreaciertosestadosdelsistemaylareversibilidadindicalaposibilidad
de regresarsiemprea cualquier estadodelsistema.
De nicion 2.38 SeaS =hN;m
0
i unP/Tsistema. Dostransicionestyt 0
estan en con icto efectivo en S si y solo si existe un marcado alcanza-
ble m tal que m Pre[P;t] y m Pre[P;t 0
] pero no se veri ca que
mPre[P;t]+Pre[P;t 0
].
Dostransiciones estan en con ictoefectivo siestan sensibilizadasen un
marcado alcanzableyeldisparo deuna desensibiliza laotra.
De nicion 2.39 SeaS =hN;m
0
i unP/Tsistema. Dostransicionestyt 0
son concurrentes en S si y solo si existe un marcado alcanzable m tal que
mPre[P;t]+Pre[P;t 0
].
Dostransicionessonconcurrentessieldisparode unano desensibilizaa
la otra.
De nicion 2.40 Sea S = hN;mi un P/T sistema. Un paso es un mul-
ticonjunto de transiciones que podran dispararse simultaneamente en S.
Puede representarse por un vector s de jTj enteros no negativos de forma
ques[t]eselnumero devecesquelatransiciontapareceens. En estecaso,
el paso s esta sensibilizadoenmsiysolosimPres. Eldisparodes se
denota por m s
! m
0
o por m
! m
0
donde es cualquier secuencializacion
de s.
De nicion 2.41 Sea N una P/T red. Un camino en N es una sucesion
fx
i g
n
i=1
de nodos deN tales que (x
i
;x
i+1
)2F para 1i<n. Un camino
se dice ciclo si (x
n
;x
1
)2F. Un camino (ciclo) se dice simple si todos sus
elementos son diferentes.
De nicion 2.42 SeaN unaP/Tred. N es fuertementeconexasiysolosi
para cualesquiera x;y2P[T existeun camino enN que conecta x cony.
2.2.4 Tecnicas de analisis
Enesta seccionsevanaexponerlastecnicasdeanalisisutilizadasalolargo
de la memoria. Las tecnicas para el analisis de los P/T sistemas (analisis
Enprimerlugarsetienenlastecnicasenumerativas. Sebasanenlagene-
racion delgrafodealcanzabilidadparasistemaslimitadosodelgrafo deco-
bertura parasistemasnolimitados[Fin93]. Estastecnicassepuedenaplicar
enteora,peroenlapracticaestanlimitadasasistemas\peque~nos"debidoa
suelevada complejidad computacional(altamenteexponencial normalmen-
te). Esteproblemaseconoceconelnombrede problemade laexplosiondel
espacio de estados.
Ensegundolugarsetienenlastecnicasdetransformacion. Enestegrupo
de tecnicas el objetivo es reducir el tama~no de los modelos mediante de
reglas de reduccion que preserven las propiedades que se quieren estudiar
(ver [Sil85 ,Ber86]para ejemplosdeeste tipode tecnicas).
En tercer lugar se tienen las tecnicas estructurales. En este grupo de
tecnicaselobjetivoesobtenerlamaximainformaciondelmodeloutilizando
unicamentesuestructuraymarcado inicial.
En esta memoriase empleanprincipalmentetecnicas de analisis estruc-
tural,peroenalgunaocasionesnecesarioconoceralgunatecnicadetransfor-
macion. Enla gura2.1puedeobservarseunconjuntosencillodeseisreglas
dereduccionore namientoquepreservanvivacidad yk-limitaciontomadas
de[Sil85]. Coneste conjuntodereglas esposiblereducir lacomplejidaddel
calculode lavivacidad ylimitacion deun P/T sistema.
A continuacion se expondran las tecnicas de analisisestructural que se
utilizaran alolargo de lamemoria.
De nicion 2.43 UnaP/TredN es estructuralmentevivasiysolosiexiste
un marcado m talque hN;mi es vivo.
La vivacidad estructural de una P/T red asegura la existencia de un
marcadoinicialqueproduceun P/Tsistemavivo. Noseconoceuna carac-
terizacionalgebraica generalparala vivacidadestructural.
De nicion 2.44 Una P/Tred N es estructuralmentelimitada siy solosi
para todo marcado m hN;mi es limitado.
La limitacion estructural de una P/T red asegura la limitacion de un
P/T sistema independientemente del marcado inicialque se utilice. Existe
una caracterizacion algebraicapara lalimitacion estructural que severaen
elsiguienteteorema. Peroantessevaatratarunacuestionsobrelanotacion
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura 2.1: Seis transformacionesque preservanvivacidad yk-limitacion.
Es habitual en las tecnicas estructurales operar con productos de una
matriz por un vector tanto a izquierda como a derecha. La notacion ma-
tematica habitual para estos productos consiste en considerar los vectores
como matrices columna y por lo tanto los productos vector por matriz se
denotan de la forma y t
C (y es el vector y C la matriz). En el campo
concreto que se esta desarrollando, esta notacion supone poner constante-
mentesuperndicesalos vectores,porloquelacomunidadinternacionalha
decididocambiarlanotacion yeliminarestossuperndices,entendiendoque
cuando un vector columna multiplica una matriz porla izquierda hay que
lolargo de toda lamemoriacomo yC.
El siguiente teoremada una caracterizacion algebraica de la limitacion
estructural.
Teorema 2.45 [Mur89] Una P/T red N es estructuralmente limitada si
y solo si existeun vector y>0 tal queyC0.
De nicion 2.46 Una P/T red N es conservativa si y solo si existe un
vector y1 tal que yC=0.
De nicion 2.47 Una P/T red N es consistente siy solo siexiste un vec-
torx1 tal que Cx=0.
Elsiguienteteoremaestablecelaexistenciadeuninvariantedemarcado
paracualquier P/Tsistema consistente.
Teorema 2.48 [Mur89] Sea S =hN;m
0
i unP/T sistema con N consis-
tente. Entonces existex1 tal que mx=m
0
xpara todom2R(S).
Los siguientes teoremasestablecen relacionesentre algunaspropiedades
de nidasanteriormentevalidas paracualquier P/Tred oP/T sistema.
Teorema 2.49 [Mur89] Sea N una P/T red estructuralmente viva y es-
tructuralmentelimitada. Entonces N es consistentey conservativa.
Teorema 2.50 [Shi87, Ter94] Sea S un P/T sistema vivo y limitado.
Entonces S es fuertemente conexo yconsistente.
De nicion 2.51 Sea N una P/T red. Un p-semi ujo o componente con-
servativa deN es un vector y0, y6=0 tal queyC=0.
De nicion 2.52 Sea N una P/T red. Un t-semi ujo o componenterepe-
titiva de N es un vector x0, x6=0 tal que Cx=0.
De nicion 2.53 Sedenomina soportedeunvectorvalconjuntodendices
de sus componentesno nulas. jjvjj=fijv[i]6=0g.
De nicion 2.54 Un p-semi ujo(t-semi ujo) es mnimosiy solo sisu so-
porte no es un superconjunto propio de otro p-semi ujo (t-semi ujo) y el
Algoritmo 2.55 [MS82] Calculo de p-semi ujos mnimos.
input: MatrizCde incidencia deN.
n:=jPj;m:=jTj
A:=C
D:=I
n
(matrizidentidadde dimension n).
for i:=1 to ndo
A~nadir a [DjA]todaslas las queresultende una combinacion lineal
positiva depares de las de [DjA]y queanulenlacolumna ide A.
Eliminarde [DjA] todaslas lascuya columnaide A seano nula.
end for
Las las de D sonp-semi ujosde N. Trasuna eventual normalizacion
seobtienen losp-semi ujosmnimos.
output:Matriz D
2.2.5 Lugares implcitos
Notacion 2.56 Sea S =hN;m
0
i unP/T sistema y p62P un lugar quese
quierea~nadir a N con vector de incidencia l
p
y marcado inicial m
0 [p]. Se
denota por S
p
=hN
p
;m
0 [m
0
[p]i alP/T sistema extendido en ellugar p.
De nicion 2.57 [Sil85] Lugar implcito(IP).
Sea S
p
un P/T sistema. El lugar p es implcito si y solo si L(S
p
)=L(S).
Esto equivale a que para todo m marcado alcanzable en S, si m Pre[t
k ]
entonces m[p]Pre[t
k ].
Por lo tanto, un lugar impcito nunca es el unico lugar que impide la
sensibilizacion de una transicion. Unlugar puede ser implcito o no depen-
diendo de sumarcadoinicial.
De nicion 2.58 [CS91] Lugar estructuralmente implcito (SIP).
Sea N
p
una P/T red. El lugar p es estructuralmente implcito si y solo si
para todom
0
de N existem
0
[p]2ZZ +
talque p es implcito enel P/T sis-
tema hN
p
;m
0 [m
0 [p]i.
Existe una caracterizacionalgebraica paralos SIP's.
Teorema 2.59 [CS91]UnlugarpesSIPenN
p
siysolosiexisteunvector
y0 tal queyCl .
Todo SIPadmite un marcadoinicialquelohace implcito. Seraintere-
sante entonces conocer el mnimo marcado inicial que hace implcito a un
SIP.En general solo puede calcularse por mediode tecnicas enumerativas,
peroempleandounproblemade programacionlineal esposiblecalcular una
cotasuperior deeste marcado mnimo inicial.
Algoritmo 2.60 [CS91] Cota superior param
0
[p] (p un SIP).
input: S,l
p
v=min ym
0
+sujeto a
yCl
p
y0
yPre[t
k
]+Pre[p;t
k ] 8t
k 2p
output: m
0
[p]maxfv;0g
De nicion 2.61 [CS91] Lugar SIP marcado (MSIP).
Sea S un P/T sistema y p un lugar con vector de incidencia l
p
. El lugar p
es un lugar estructuralmenteimplcito marcado (MSIP) en S
p
si y solo si
existey0 tal quey[p]=0 y l
p
=yC.
En cualquier marcadoalcanzablede S
p
,el marcadode un MSIPes una
funcion lineal del marcado de un conjunto de lugares de S, por lo que el
marcadode un MSIPes unavariable de estadoredundante.
De nicion 2.62 Sea hN;m
0
i unP/T sistemay p;q;r 2P treslugares del
mismo. Se dicequep es implcito respecto a q yr siy solo si pes un lugar
implcito en elsistema generado por p;q y r.
2.3 Redes de Petri estocasticas
Enlaseccionanteriorsehandesarrolladolosprincipalesconceptosypropie-
dadesde las redesde Petrino temporizadas. Sisequieren realizarestudios
sobre las prestacionesde los sistemas,es necesariointroducir una interpre-
tacion temporal alos modelos. Este sera elpropositode esta seccion.
Ensude nicionoriginal,lasredesdePetrinoincluanlanociondetiem-
po y por lo tanto, solo se poda modelar el comportamiento logico de los
sistemas. Historicamenteha habido dos formasde introducir una interpre-
taciontemporalalasredesdePetri;asociandoeltiempoaloslugares[Sif78]
las actividades del sistema, parece mas natural asociar la duracion de las
actividadesa lastransicionesdelmodelo. Estaseralainterpretacion quese
emplearaa lolargo de lamemoria.
La inclusion de tiemposen redes de Petri permite dos interpretaciones
diferentes para la regla de disparo; el disparo en tres fases o el disparo
atomico. En el disparo en tres fases, cuando una transicion esta sensibili-
zada toma las marcas necesarias de sus lugares de entrada y los retiene el
tiempoque durasuactividad. Pasado estetiemposeproduce eldisparode
latransicionyporlotantolasalidade marcasa loslugaresdesalida. En el
disparoatomico,lasmarcasdelos lugaresdeentrada delatransicionsensi-
bilizada permanecenen susitiomientras durelaactividad de latransicion.
Transcurridoeste tiemposeproduce eldisparode latransicion yelcambio
de marcas en tiempo 0. En esta memoria se utilizara la interpretacion de
disparo atomico.
Tambien existen diferentes interpretaciones porlo que respecta a lare-
solucion decon ictos[AMBB +
89]. Laprimeraconsisteen considerarinme-
diatas (sedisparanen tiempo0)lastransicionesencon icto. Deestaforma
las transiciones inmediatas tienen prioridad de disparo sobre las tempori-
zadas. Para resolver los con ictos entre transiciones inmediatas se asocia
a cada transicion un peso que permitecalcular su probabilidad de disparo
(redesdePetriestocasticasgeneralizadas [AMBC84,AMBCC87]). Conesta
polticala resolucion de con ictosse separade laduracion de las activida-
des. Lasegundapolticaderesoluciondecon ictossehaceentretransiciones
temporizadas y se llama poltica de carrera. En esta interpretacion dadas
dos transiciones en con icto, se dispara primero la que antes termine su
actividad. A lo largo de esta memoria se emplearan las dos polticas. Si
hay un con icto entre transiciones temporizadas se supone que se resuelve
por poltica de carrera y si el con icto es entre transiciones inmediatas se
emplean los pesos asociadosa cadatransicion pararesolverlo.
Laultimaambiguedadquepuedeapareceren lainterpretaciontemporal
de las redes de Petri tiene que ver con el grado de sensibilizacion de las
transiciones (ver de nicion 2.27). Se puede suponer que cada transicion
tiene un solo servidor por lo que trabaja una velocidad independiente del
gradodesensibilizacion,oquetienevariosservidoresporloquesuvelocidad
detrabajodependedelgradodesensibilizacion,esdecir,delmarcadodesus
lugaresdeentrada. Enelprimercasosetienesemanticadeunsoloservidor
[Mol82, FN85a] y en el segundo caso semantica de varios servidores o, en
utiliza semantica de in nitos servidores, es posible modelar una transicion
dekservidoresa~nadiendounlugarde entrada ysalidaalatransicionconk
marcas. Porlotanto,desdeelpuntodevistademodelado,lasemanticamas
general es la de in nitos servidores, que es la que se asumira en todos los
desarrollosteoricosde lamemoria. Enlos ejemplospracticos delcaptulo7
seemplearasemanticade un soloservidor pormotivosde implementacion.
Porloquerespectaaladuraciondelasactividades,enlaliteraturaapa-
recendiversasformasdeasociartiemposalastransiciones,normalmentede-
pendiendodelcampodeaplicaciondelosmodelosyeltipodeestudioquese
pretende realizar. Se puedenasociar duracionesdeterministas o aleatorias.
Enelcaso deduracionesaleatorias,sepuedenempleardiversasdistribucio-
nes. Un caso particular es elque se emplea a lolargo de esta memoria,en
elquelastransicionestemporizadastienenasociadostiemposaleatoriosdis-
tribuidos exponencialmente. Al asociar variablesaleatorias exponenciales a
lastransicionesdelmodelosepuedenutilizartecnicasderesolucionbasadas
en cadenas de Markov entiempo continuo (CTMC).
Siguiendo las interpretaciones anteriores,a lo largo de esta memoria se
emplearan redesde Petriestocasticas (SPN) [Mol81,FN85b,BT81] o redes
de Petri estocasticas generalizadas (GSPN) [AMBC84, AMBCC87] cuyas
de nicionesformalesse exponenahora.
De nicion 2.63 Redes de Petri estocasticas (SPN).
Unared dePetriestocastica(SPN)esunparhS;widondeS esunP/T sis-
tema y w : T ! (0;1) es una funcion real estrictamente positiva que
asociaa cadatransiciont2T untiempodedisparodistribuidoexponencial-
mente contasa w(t).
Una SPN es un P/T sistema en el que se asocia un tiempo de disparo
distribuido exponencialmente a cadatransicion. Unavariable aleatoriaex-
ponencial X seespeci caporsutasa oporsuvalor medio E[X]=1=y
eslaunica variablealeatoria continua sin memoria.
De nicion 2.64 SPN's generalizadas (GSPN).
Unared de Petri estocastica generalizada (GSPN) es una ocho-tupla
hP;T;Pre;Post;Inh;m
0
;;wi
donde P yT son conjuntos disjuntos, nitos no vacos de lugares y transi-
posterior einhibicionrespectivamente (todas deenteros nonegativos de ta-
ma~no jPjjTj). El vector m
0 2fZZ
+
g jPj
es el marcado inicial,que asocia
a cada lugar un entero no negativo, el vector 2 f0;1g jTj
asocia a cada
transicion una prioridad en f0;1g y w :T ! (0;1) es una funcion real
estrictamente positiva que asigna a cada transicion t 2 T un peso w(t).
Lastransicionesdeprioridad 0se llamantemporizadasy las deprioridad1
inmediatas.
Las GSPN's se representan gra camente como las P/T redes diferen-
ciando las transiciones inmediatas de las temporizadas. Las transiciones
inmediatas serepresentanpormediodebarrasdelgadasnegrasylastempo-
rizadas concajasrectangulares. Los nuevosarcos inhibidores (matrizInh )
se representan como los arcos de una P/T red a~nadiendo un circulo en el
extremocorrespondientealatransiciondelarco. Enlade nicionde GSPN
hayque notaruna interpretacion de lafuncion wligeramentediferentea la
de SPN's. Si latransiciont2T es temporizada,w(t)es latasade laexpo-
nencialasociadaaladuraciondesuactividadysitesinmediata,w(t)esel
pesoasociadoa sudisparopara laresolucionde con ictos.
La inclusion de prioridades en las transiciones modi ca ligeramente la
regla de sensibilizacion y disparo en GSPN's. Las transiciones inmediatas
tienen prioridad de disparo sobre las temporizadas, por lo que si en un
marcado alcanzablemhayuna transicion inmediatat
1
sensibilizada, todas
las transiciones sensibilizadasen m deben ser inmediatas. Denotando este
conjuntode transicionessensibilizadasenmporft
i g
k
i=1
,laprobabilidadde
que sedispare latransicioninmediata t
j
con1jk es
Probft
j
sedispara enmg= w(t
j )
P
k
i=1 w(t
i )
:
Las GSPN's suponen una extension de las SPN's por loque respecta a
las transicionesinmediatas yarcosinhibidores. Enrealidad,alolargode la
memoriasetrabajaconSPN'soconextensionesdeellaspormediodetran-
siciones inmediatas para la resolucion de con ictos, esdecir, no se trabaja
conarcosinhibidores,loquepermitirade nirunasubclasedeGSPN'smas
sencilla.
Unavezsea~nadeuna interpretaciontemporal a lossistemas, esposible
realizar estudios sobre la evolucion en el tiempo de los mismos e intentar
calcular medidas ondices deprestaciones sobrelosmismos. Sevanaexpo-
De nicion 2.65 Throughput de una transicion.
Dada una SPN o GSPN, el throughput de la transicion t 2 T, denotado
por X(t), es el numero mediode disparos por unidad de tiempo que realiza
latransiciont.
De nicion 2.66 Throughput relativo o ratio de visita.
Dada una SPN o GSPN y t
1
2 T una transicion de referencia, la ratio
de visita o throughput relativo de la transicion t2 T normalizada para la
transiciont
1
ydenotada porv(t) (1)
, es v(t) (1)
=X(t)=X(t
1
). Sedenota por
v2(IR +
) jT1j
al vectorde ratiosde visita.
Normalmentelasratiosdevisitasesupondrannormalizadasparalapri-
meratransicionde lared yseeliminara elsuperndice.
La diferencia entre el vectorde ratios de visita y un t-semi ujo es que
los t-semi ujossonvectores de enteros nonegativos yelde ratios de visita
esde realesno negativosen general.
Teorema 2.67 [Cam90] Dada una SPN limitada y v su vector de ratios
de visita, se cumpleCv=0.
De nicion 2.68 Utilizacion de una transicion.
Dada una SPN o GSPN,la utilizacion de latransiciont2T, denotadopor
U(t),es la probabilidad de encontrar latransicion sensibilizada.
De nicion 2.69 Dada una SPN o GSPN, la demanda media de servicio
de la transicion t 2 T, denotado por D(t), es D(t)= v(t)s(t) = v(t)=w(t)
donde s(t)=1=w(t) es eltiempo mediode serviciode latransiciont.
Laventajadeasociaralastransicionesuntiempodedisparodistribuido
exponencialmenteconsisteen quelaevoluciontemporalde laSPNo GSPN
esequivalentealdeunacadenadeMarkoventiempocontinuo. Sevanadar
ahora las principales de niciones y propiedades de las cadenas de Markov
en tiempo continuo.
De nicion 2.70 Un proceso estocastico es una familia de variables alea-
toriasfX(t)jt2gsobreel mismoespacio deprobabilidad, indexadas por
el parametro t que vara en un conjunto ordenado de ndices . Si es
discreto (continuo) el procesoestocastico se dicede tiempo discreto(conti-
Normalmenteel conjunto es IR y se interpreta como tiempo. La va-
riable aleatoria X(t) esla observacion del proceso estocastico en el instan-
te t. Los valores que pueden tomar las variables aleatorias de un proceso
estocastico constituyen el espacio de estados del proceso. Este espacio de
estados puede sercontinuo o discreto. En esta memoriaseasumira quelos
espaciosde estados son nitos, porlotantodiscretos.
De nicion 2.71 Un proceso estocastico fX(t) jt 2g cumple la propie-
dad de Markovsi para cualesquiera t
0
<t
1
<<t
n
<tse cumple:
ProbfX(t)xjX(t
i )x
i
;0ing =
ProbfX(t)xjX(t
n )x
n g
La evolucion de un proceso estocasticocon lapropiedad de Markov de-
pendeunicamentede laultimaobservacionrealizadaynode lasanteriores.
De nicion 2.72 (CTMC).
Una cadena de Markov en tiempo continuo (CTMC) es un proceso es-
tocastico de tiempo continuo que cumplela propiedad deMarkov.
Notacion 2.73 En una cadena de Markov en tiempo continuo se denota
por p
ij
(t;s) a laprobabilidad ProbfX(s)=jjX(t)=ig.
De nicion 2.74 Una cadena de Markov en tiempo continuo se dice ho-
mogeneasi ysolo sip
ij
(t;s)=p
ij
(t+u;s+u)para todo t;s;u2.
Las CTMC's que aparecen a lo largo de la memoria son homogeneas,
por lo que se hablara de CTMC's para referirse a CTMC's homogeneas.
En las CTMC's homogeneas la probabilidad de paso de un estado a otro
no depende, por lade nicion anterior, del tiempo que se lleva en el estado
origen, por lo que el tiempo de paso de un estado a otro esta distribuido
exponencialmente(porlapropiedaddefaltadememoriadelavariablealea-
toria exponencial). Por lo tanto, la evolucion de una CTMC homogenea
viene determinadaporlastasas depaso entreestados.
Notacion 2.75 En una cadena de Markov en tiempo continuo homogenea
se denota por p a la tasa depaso del estado ial j.
Una CTMC se puede representar gra camente por medio de un grafo
dirigido etiquetadocuyosverticessonlos estadosdelaCTMC ycuyasaris-
tas describen los cambios de estado. Las aristas van etiquetadas con las
tasasde pasoentreestados. DesdeunestadolaCTMCpuedeevolucionar a
distintos estadoscondistintas tasasde paso. En estascondiciones,el tiem-
po de permanencia en un estado i esta distribuido exponencialmente con
tasa P
j p
ij
(porque el mnimo de variables aleatorias exponenciales tiene
distribucion exponencial de tasa la suma de las tasas de las variables que
intervienen). Las transiciones de un estado a el mismo pueden eliminarse
facilmentedebidoalapropiedaddeMarkov,loquepermiterepresentaruna
CTMC por medio de una matriz Q con las tasas de paso entre estados,
llamada generadorin nitesimal de laCTMC.
De nicion 2.76 El generadorin nitesimal deuna CTMChomogeneaden
estados (n 2 IN) es la matriz Q de tama~no nn tal que Q[i;j] = p
ij si
i6=j y Q[i;i]= P
n
j=1 p
ij
con1i;jn. Por lo tantoQ1=0.
EnlasCTMC'sesposiblerealizarestudiosdesuestadotransitorio(tiem-
po nito)yenestadoestacionario(comportamientolmitecuandoeltiempo
tiendeain nito). Enestamemoriaseestudiaunicamenteelcomportamiento
lmiteoenestadoestacionariodelossistemas,porloquesolointeresacono-
cerlosfundamentosdelaevolucionenestadoestacionariodeunaCTMC.La
exposicion quese haceacontinuacion no estotalmenteformalpara reducir
suextension(ver[KS76]paraun desarrolloen profundidad).
De nicion 2.77 Sea fX(t)jt2IR +
g una CTMChomogenea de espacio de
estados 1 i n (i 2 IN). El estado i se dice transitorio si y solo si
ProbfX(t)6=i8t>0jX(0)=ig>0.
UnestadodeunaCTMCestransitoriosiexisteunaprobabilidadestric-
tamentepositiva de quela CTMCno regrese alestado.
De nicion 2.78 Sea fX(t)jt2IR +
g una CTMChomogenea de espacio de
estados1in(i2IN). El estadoisedice absorbentesiysolosip
ij
=0
para todo 1jn y j6=i.
Si una CTMC tiene un estado absorbente, una vez llega al estado la
CTMC no puede salir de el, por lo que en ese caso es sencillo calcular la
Teorema 2.79 [KS76]Sea iunestado transitorio deuna cadenade Mar-
kov entiempo continuo homogenea. Entonces lim
t!1
ProbfX(t)=ig=0.
Desde el punto de vista de la evolucion en estado estacionario de una
CTMC, los estados transitorios no suponen ningun problema, ya que la
CTMC losabandona conprobabilidad 1,esdecir,laprobabilidadde quela
CTMC seencuentreen elestadotransitoriocuando eltiempo essu ciente-
mentegrande tiendea0.
De nicion 2.80 Una CTMC homogenea se dice ergodica si y solo si su
grafo asociado es fuertemente conexo.
LasCTMC'sergodicastienenuncomportamientoenestadoestacionario
unico quees posible calcular.
Teorema 2.81 [KS76]SeafX(t)jt2IR +
gunaCTMCergodicadeespacio
de estados 1 i n (i 2 IN). En estas condiciones existen los lmites
i
=lim
t!1
ProbfX(t)=ig y son estrictamente positivos para 1in.
De nicion 2.82 SeafX(t)jt2IR +
guna CTMCergodicadeespaciodees-
tados1in(i2IN). La probabilidadenestadoestacionariodelestadoi
es el valor
i
del teorema anterior. Al vector con las probabilidades en
estado estacionario de todos los estados se le llama distribucion en estado
estacionario de laCTMC.
Teorema 2.83 [KS76] Sea fX(t)jt2IR +
0g una CTMC ergodica de esta-
dos 1 i n (i 2 IN). La distribucion en estado estacionario cumple
Q=0 y 1=1.
Porlotanto,esposiblecalcularladistribucionenestadoestacionariode
una CTMC ergodica resolviendo un sistema de n+1 ecuaciones (siempre
hay una ecuacion redundante) con n incognitas donde n es el numero de
estadosdelaCTMC.Engeneralesposiblecalcularladistribucionenestado
estacionario en CTMC's que no sean ergodicas siempre y cuando su grafo
asociado tenga unos estados transitorios que desemboquen todos en una
unica componente fuertemente conexa terminal (que la CTMC no pueda
abandonar). En ese caso las probabilidades lmite son 0 para los estados
Con la distribucion en estado estacionario de una CTMC ergodica es
posible calcular el valor en estadoestacionario de cualquierndice de pres-
taciones quepuedaponersecomo funcionde los elementosde .
Se esta en condiciones de exponer la relacion entre SPN's, GSPN's y
CTMC's.
De nicion 2.84 Sea hS;wi una SPN. La CTMC isomorfa a hS;wi es la
que tiene como grafo dirigido etiquetado asociado RG(S) sustituyendo en
cada etiqueta m t
! m
0
la transicion t 2T por w(t) si se utiliza semantica
de un solo servidor o por e(m)[t]w(t) si se utiliza semantica de in nitos
servidores.
Teorema 2.85 [AMBC +
95] Sea hS;wi una SPN limitada y con estados
recurrentes. Entonces su CTMC isomorfa es nita y tiene una unica dis-
tribucion en estado estacionario. Ademas, si S es reversible entonces su
CTMCisomorfa es ergodica.
Por lotanto, parapodercalcular el comportamientoen estadoestacio-
nariodeunaSPNesnecesarioquetengaestadosrecurrentes,loqueasegura
la existencia de una unica componente fuertemente conexa terminal (que
no puede abandonarse) en su RG y por lo tanto en su CTMC isomorfa.
Como mucho habra algunos estados transitorios que desembocan, despues
del disparo de algunas transiciones, en un estado recurrente m. Como es
evidentequehN;miesreversibleentoncesRG(N,m)esfuertementeconexo
yporlotantosuCTMCisomorfaesergodica. Lahipotesisde limitacionse
a~nade para que la CTMC isomorfa sea nita y sea posible el calculo de la
distribucion en estadoestacionario.
De nicion 2.86 Sea hS;wi una SPN limitada y con estados recurrentes.
La distribucionen estadoestacionariodehS;wi es elvector 2(IR +
) jR(S)j
de probabilidadesen estado estacionariode su CTMC isomorfa.
En el casode GSPN's el problemadelcalculo de suCTMC isomorfaes
un poco mas complicado, ya que su RG contiene estados tangibles (en los
todaslastransicionessensibilizadassontemporizadas)yestados intangibles
(enlosquehayalgunatransicioninmediatatemporizada). Desdeelpuntode
vistadeevaluaciondeprestacionespuedeneliminarselosestadosintangibles
porque el tiempo que el sistema pasa en ellos es 0. Por ello para generar
