UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA E
INDUSTRIA
CARRERA DE INGENIERÍA MECÁTRONICA
DISEÑO DE UNA ESTACIÓN PARA EL ESTUDIO DEL
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME CON EJECUCIÓN A
DISTANCIA Y FINES PEDAGÓGICOS
TRABAJO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN MECÁTRONICA
AUTOR: JUAN FERNANDO GUERRA VACA
DIRECTOR: ARMANDO MENDEZ GARCIA MSc.
DEDICATORIA
AGRADECIMIENTO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
BIBLIOTECA UNIVERSITARIA
FORMULARIO DE REGISTRO BIBLIOGRÁFICO PROYECTO DE TITULACIÓN
DATOS DE CONTACTO
CÉDULA DE IDENTIDAD: 0803029990
APELLIDO Y NOMBRES: GUERRA VACA JUAN FERNANDO
DIRECCIÓN: Pablo Sachum N4780 y Samuel Fritz
EMAIL: [email protected]
TELÉFONO FIJO: 022403847
TELÉFONO MOVIL: 0997957124
DATOS DE LA OBRA
TITULO: DISEÑO DE UNA ESTACIÓN PARA EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME CON EJECUCIÓN A
DISTANCIA Y FINES PEDAGÓGICOS
AUTOR O AUTORES: JUAN FERNANDO GUERRA VACA
FECHA DE ENTREGA DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:
30 mayo de 2016
DIRECTOR DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:
ING. ARMANDO MENDEZ GARCIA MSc
PROGRAMA PREGRADO POSGRADO
TITULO POR EL QUE OPTA: INGENIERO EN MECATRÓNICA
RESUMEN: En el diseño y construcción de un laboratorio remoto para el estudio de la
física y particularmente el movimiento
circular uniforme. El equipo se caracterizó
por haber hecho posible una nueva clase
de pedagogía para hacer laboratorio,
conocido como laboratorio remoto es
decir que puede ser controlado por el
operador cuando este se encuentra
ubicado en una posición geográfica
diferente a la del dispositivo físico, usando
una comunicación de red, logrando
reducir las distancias físicas y ofreciendo
mayor amplitud en los horarios para su
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
BIBLIOTECA UNIVERSITARIA
realización. La metodología de
experimentación que ofreció el control e
independencia en la ejecución de la
práctica que junto a las capacidades
personales de aprendizaje de cada
operador entregaron valiosa experiencia,
mejoró la comprensión y entendimiento
del fenómeno físico revisado previamente
en clases, usando recursos de apoyo
como un video tutorial, un manual de
usuario, y una guía para la realización de
la práctica de laboratorio. El laboratorio
remoto permitió compartir el acceso y
manipulación de la instalación entre
diferentes personas y computadores
siempre que posean un acceso a una
misma red, plasmó la posibilidad de
flexibilizar los horarios de los estudiantes
para la realización de las prácticas y
experimentos, salvando limitaciones muy
comunes como los tiempos de viaje para
la asistencia a clases presenciales
presentes en las grandes ciudades. Los
institutos educativos también se
benefician con las economías de escala,
disminución en la necesidad de espacios
físicos, reducción de costos en cuanto a la
adquisición de dispositivos y los salarios
de instructores.
PALABRAS CLAVES: Laboratorio, Remoto, Física
ABSTRACT: In the design and construction of a remote laboratory for the study of physics and
particularly uniform circular motion . The
equipment was characterized for having
made possible a new kind of pedagogy for
laboratory practice, known as remote
laboratory which can be controlled by the
operator when he is at a different location
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
i
ÍNDICE DE CONTENIDOS
PÁGINA
RESUMEN……….………viii
ABSTRACT……….………...ix
1. INTRODUCCIÓN ... 1
2. MARCO TEÓRICO ... 3
2.1 INSTRUCCIÓN TRADICIONAL (IT) ... 3
2.1.1 PROPÓSITO DEL LABORATORIO IT ... 3
2.1.2 REPORTE DE LABORATORIO IT ... 4
2.1.3 ADQUISICIÓN DE MEDIDAS Y DATOS IT ... 4
2.2 INSTRUCCIÓN COMPUTARIZADA (IC) ... 5
2.2.1 PROPÓSITO DE LABORATORIO IC ... 5
2.2.2 REPORTE DE LABORATORIO DIFERENCIAS IC CON IT ... 5
2.2.3 ADQUISICIÓN DE DATOS IC ... 6
2.3 INSTRUCCIÓN REMOTA (IR) ... 6
2.3.1 IOT (INTERNET OF THINGS) ... 6
2.3.2 LABORATORIOS REMOTOS ... 7
2.3.3 CONSIDERACIONES DE LOS LABORATORIOS REMOTOS ... 7
2.4 MEDICIONES ... 8
2.4.1 RAPIDEZ PROMEDIO ... 9
2.4.2 RAPIDEZ TANGENCIAL ... 10
2.5 INSTRUMENTOS DE MEDIDA ... 14
2.5.1 CARACTERÍSTICAS ... 14
2.5.2 ERROR ... 15
2.6 DISPOSITIVOS LABORATORIO ... 16
2.6.1 NO COMERCIALES ... 16
2.6.2 COMERCIALES ... 18
2.7 MATERIALES ... 19
2.7.1 MOTOR DE ROTACIÓN ... 19
2.7.2 DRIVER MOTOR DE ROTACIÓN ... 19
ii
2.7.4 DRIVER MOTOR TRASLACIÓN... 22
2.7.5 SENSOR DE ROTACIÓN ... 23
2.7.6 SENSOR DE TRASLACIÓN ... 24
2.7.7 MECANISMO ... 25
2.7.8 ELECTRÓNICA DE CONTROL ... 26
2.8 INTERFAZ DE USUARIO (UI) ... 27
3. METODOLOGÍA Y DISEÑO ... 28
3.1 MECATRÓNICA ... 28
3.1.1 Identificación del Problema ... 29
3.1.2 Requisitos ... 29
3.1.3 Especificaciones ... 29
3.2 DISEÑO MECÁNICO... 30
3.2.1 SOPORTE CORREDERA ELÍPTICA ... 30
3.2.2 SOPORTE MOTOR DE TRASLACIÓN ... 37
3.2.3 TORQUE MOTOR DE PASOS ... 43
3.2.4 TORQUE MOTOR DC ... 45
3.2.5 TORNILLO DEL ACOPLE DEL DISCO ... 46
3.2.6 TORNILLO DE SOPORTE DEL MOTOR DC ... 47
3.3 DISEÑO ELÉCTRICO Y ELECTRÓNICO... 48
3.3.1 MICROCONTROLADOR ... 49
3.3.2 MOTORES ... 50
3.3.3 DRIVERS ... 51
3.3.4 SENSORES ... 53
3.3.5 SUMINISTRO DE VOLTAJE ... 54
3.4 DISEÑO DE CONTROL ... 55
3.4.1 MOTOR DE ROTACIÓN ... 55
3.4.2 SENSOR DE ROTACION ... 59
3.4.3 SENSOR DE TRASLACIÓN ... 63
3.4.4 DIAGRAMA DE CONTROL ... 63
3.4.5 DIAGRAMA DE INTERFAZ DE USUARIO ... 66
iii
4.1 MOTORES ... 67
4.2 ANÁLISIS DEL DISPOSITIVO DE MEDICIÓN ... 67
4.2.1 PERIODO ... 67
4.2.2 LONGITUD DE ARCO Y RADIO ... 68
4.2.3 RAPIDEZ PROMEDIO Y TANGENCIAL ... 69
4.2.4 ERROR ENTRE RAPIDEZ PROMEDIO Y TANGENCIAL... 69
4.3 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE FUNCIONAMIENTO ... 70
4.3.1 Radio = 60mm ... 70
4.3.2 Radio = 100mm... 72
4.3.3 Radio = 145mm... 74
4.4 ESPECIFICACIONES DEL DISPOSITIVO ... 76
4.5 MANUAL DE USUARIO ... 76
4.6 PRACTICA DE LABORATORIO ... 77
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 78
5.1 CONCLUSIONES ... 78
5.2 RECOMENDACIONES ... 78
BIBLIOGRAFÍA………..80
iv
ÍNDICE DE TABLAS
PÁGINA
Tabla 3.1 Características de Microcontroladores ... 49
Tabla 3.2 Conexiones Microcontrolador Atmega 2560 ... 50
Tabla 3.3 Comparativa de motores ... 50
Tabla 3.4 Características del motor de Rotación ... 51
Tabla 3.5 Características de Motor de Traslación... 51
Tabla 3.6 Driver para motor de rotación ... 52
Tabla 3.7 Driver para motor de traslación ... 52
Tabla 3.8 Características de Transistor MOSFET IRZ44N ... 52
Tabla 3.9 Características del Módulo L298M ... 53
Tabla 3.10 Sensores ... 53
Tabla 3.11 Características del sensor CNY70 ... 54
Tabla 3.12 Medidas de Tiempos de Periodos ... 60
Tabla 3.13 Medidas de Tiempos en Alto ... 61
Tabla 3.14 Medidas de Tiempos en Bajo ... 62
Tabla 4.1 Mediciones con radio de 60mm ... 70
Tabla 4.2 Mediciones con radio de 100mm ... 72
v
ÍNDICE DE FIGURAS
PÁGINA
Figura 2.1 Línea de referencia para el desplazamiento angular ... 8
Figura 2.2 Relación entre grados y radianes en desplazamiento angular ... 8
Figura 2.3 Disco de rotación con franja blanca ... 9
Figura 2.4 Arco de circunferencia ... 10
Figura 2.5 Velocidad tangente a la trayectoria ... 10
Figura 2.6 Vectores de velocidad en puntos A y B ... 11
Figura 2.7 Variación de la velocidad vectorial ... 11
Figura 2.8 Perpendicularidad de la aceleración centrípeta ... 12
Figura 2.9 MCU vectores de velocidad y aceleración ... 13
Figura 2.10 Máquina de MCU usando un acelerómetro ... 17
Figura 2.11 Máquina de MCU usando un control de Nintendo Wii ... 17
Figura 2.12 Máquina de MCU usando una pelotita y velcro ... 18
Figura 2.13 Máquina del MCU comercialmente disponible ... 18
Figura 2.14 Transistores bipolar tipo NPN y PNP... 20
Figura 2.15 Conexión a un motor usando un transistor BJT ... 20
Figura 2.16 Transistores tipo MOSFET canal N y canal P ... 21
Figura 2.17 Conexión de un motor usando un transistor MOSFET ... 21
Figura 2.18 Descripción y configuración de un fotodiodo ... 23
Figura 2.19 Funcionamiento del mecanismo tornillo tuerca ... 26
Figura 3.1 Sistemas constituyentes de mecatrónica ... 28
Figura 3.2 Elementos clave de mecatrónica ... 28
Figura 3.3 Metodología usada en este proyecto ... 29
Figura 3.4 Diagrama de la viga del soporte de corredera ... 30
Figura 3.5 Soporte de corredera elíptica ... 31
Figura 3.6 Diagrama de la columna del soporte de corredera ... 34
Figura 3.7 Diagrama del soporte para motor de traslación ... 37
Figura 3.8 Soporte del motor de traslación... 37
Figura 3.9 Diagrama de columna para el motor de rotación ... 40
Figura 3.10 Diagrama de cargas para el cálculo de torque ... 43
Figura 3.11 Esquema del motor DC para cálculo de torque ... 45
Figura 3.12 PWM Modulación de Ancho de Pulso ... 55
vi
Figura 3.14 Obtención de la longitud del arco de circunferencia ... 59
Figura 3.15 Comparativa en barras de los tiempos del Periodo ... 61
Figura 3.16 Comparativa en barras de los tiempos de Pulso en Alto ... 62
Figura 3.17 Comparativa en barras de los tiempos de Pulso en Bajo ... 63
Figura 3.18 Diagrama de control Primera parte ... 64
Figura 3.19 Diagrama de control Segunda parte ... 65
Figura 3.20 Diagrama de Interfaz de Usuario primera parte ... 66
Figura 3.21 Diagrama de Interfaz de Usuario segunda parte ... 66
Figura 4.1 Relación de los porcentajes de tiempo en el Periodo ... 68
Figura 4.2 Relación del Radio con la Longitud de Arco ... 68
Figura 4.3 Relación entre rapidez tangencial y promedio ... 69
Figura 4.4 Error entre la rapidez Tangencial y Promedio ... 70
Figura 4.5 Tren de pulsos con r= 60mm... 71
Figura 4.6 Comparativa de Rapidez Tangencial y Promedio con r=60mm ... 71
Figura 4.7 Errores con r=60mm ... 72
Figura 4.8 Tren de pulsos con radio de 100mm ... 73
Figura 4.9 Comparativa de Rapidez Tangencial y Promedio con r=100mm .. 73
Figura 4.10 Errores con r=100mm ... 74
Figura 4.11 Tren de pulsos con radio de 145mm ... 75
vii
ÍNDICE DE ANEXOS
PÁGINA ANEXO 1 ... 84 Longitud de Arco de Circunferencia
ANEXO 2 ... 85 Diseño Mecánico
ANEXO 3 ... 116 Diseño Eléctrico
ANEXO 4 ... 117 Análisis de Dispositivo
ANEXO 5 ... 122 Especificaciones de Dispositivo
ANEXO 6 ... 126 Manual de Usuario
viii
RESUMEN
ix
ABSTRACT
1
1 Al presente se vive una disponibilidad de tiempo más escasa principalmente debido a la logística, además de costos crecientes en importación de tecnologías. La posibilidad de estaciones automatizadas de laboratorio capaces de ser controladas a distancia ofrece una flexibilidad de horarios y reducción de costo. Este trabajo de titulación se fundamenta en el diseño y construcción de una estación para el estudio del Movimiento Circular Uniforme con ejecución a distancia. La importancia de las prácticas de laboratorio consiste en el refuerzo de las teorías y conceptos estudiados en clase. Pero sin los recursos necesarios para la compra y el tiempo para su realización.
La metodología más adecuada donde cada estudiante trabaja con un dispositivo a veces resulta difícil de alcanzarse por razones varias como:
Costo de los equipos y materiales.
Limitaciones de espacio físico.
Horarios y tiempo necesario.
El objetivo general para el presente trabajo de titulación se han planteado de la siguiente manera:
Diseñar y construir de una estación para el estudio del movimiento circular uniforme en los laboratorios de física de la Universidad Tecnológica Equinoccial.
Los objetivos específicos para el presente trabajo de titulación se han planteado de la siguiente manera:
Analizar, estudiar y determinar los componentes y el funcionamiento de la estación.
Diseñar de la estación.
Comprar, fabricar, construir y ensamblar las partes de la estación.
Realizar pruebas de funcionamiento y presentación de resultados.
2
Breve historia del desarrollo de los laboratorios de física.
Metodologías clásicas y contemporáneas de prácticas de laboratorio.
Diseño, construcción y pruebas de la estación.
3
3 Históricamente en Grecia Tales de Mileto durante el periodo arcaico fue considerado como el “padre de las ciencias” por su negativa a aceptar explicaciones sobrenaturales, religiosas o mitológicas de fenómenos físicos y naturales. Arquímedes le sigue en el periodo clásico donde promovió la idea de que la observación de fenómenos físicos puede llevar al descubrimiento de las leyes de la naturaleza que los gobiernan. Newton conocido como el “padre de la física” introdujo la toma de medidas y adquisición de información para un subsecuente análisis con formulaciones matemáticas. Los físicos antes mencionados junto con otros han realizado importantes aportes al estudio de fenómenos físicos.
Para la investigación de fenómenos físicos se han desarrollado pasos que evolucionaron con el aporte de varios físicos a través de la historia; el primer paso consiste en la observación del fenómeno natural, seguido del planteamiento de un modelo o teoría que explique dicho fenómeno. Se realiza un experimento para probar una hipótesis, se recoge información y medidas para las realizar un análisis usando fórmulas matemáticas. Las conclusiones representan el fin último de esta metodología que consiste en la verificación de una teoría, mostrando congruencia entre las observaciones y las formulaciones matemáticas. (Sang, 2014)
2.1 INSTRUCCIÓN TRADICIONAL (IT)
2.1.1 PROPÓSITO DEL LABORATORIO IT
4
2.1.2 REPORTE DE LABORATORIO IT
Una hoja escrita entregada por el instructor para ser llenada con datos, gráficos y tablas. Se presentan en un formato de la siguiente manera:
a) Introducción.- describe de que se trata, cual es el fenómeno observado, y teorías que pueden describirlo. Incluyendo ecuaciones, definiciones, y símbolos o nomenclatura de existir.
b) Descripción del experimento.- incluye el equipo y los materiales usados (siendo lo más específico posible ya que a veces se necesita de la manipulación, ensamble y modificación de partes), además de una descripción del procedimiento paso a paso.
c) Datos.- su recolección es en tablas, para registrarse con cuidado en las correspondientes unidades de medida.
d) Resultados.- cálculos y gráficos corresponden a esta sección, sin olvidar las unidades.
e) Conclusiones.- siendo la parte más importante es donde se discuten los resultados, el significado de los cálculos y gráficos. Incluyendo además una discusión de los tipos de error. (Houston Community College System Physical Science Department Northwest College, 2004)
2.1.3 ADQUISICIÓN DE MEDIDAS Y DATOS IT
Los datos se escriben directamente en las tablas y formatos originales, evitando tomar apuntes en hojas diferentes. Cuando se trabaja en grupos, todos los integrantes deben contribuir al proceso de recepción de datos jugando un papel primordial la empatía sincronía y dinámica del equipo.
5
2.2 INSTRUCCIÓN COMPUTARIZADA (IC)
2.2.1 PROPÓSITO DE LABORATORIO IC
El uso de instrucción con equipos computarizados se vuelve cada vez más popular en los laboratorios de física. Los experimentos se realizan en IT así como también en IC posteriormente, que consiste en la realización de un experimento usando equipo computarizado. La IT y la IC tratan generalmente los mismos principios pero desde perspectivas diferentes, dejando abierto la posibilidad de realizarlos solo por IT, por IC o ambos, dependiendo de los medios del instituto.
Se sugiere que los estudiantes desarrollen IT primero, para obtener el conocimiento básico sobre que está siendo medido. Es aquí donde la los parámetros físicos del experimento se asocian claramente con los principios y resultados. Una vez que los estudiantes poseen esta clase de experiencia en IT, podrán desenvolverse mejor y apreciar con mayor criterio el experimento desarrollado con IC. La IC puede realizarse como una comprobación del experimento en IT, o una simple demostración del instructor en caso de no haber suficientes estaciones de IC. (Wilson & Hernandez, 2015)
2.2.2 REPORTE DE LABORATORIO DIFERENCIAS IC CON IT
Es muy similar a la IT, con unas diferencias puntuales donde:
a) Descripción dependiendo de los laboratorios y sus estaciones muchas veces suelen ser montables, es decir que requieren un ensamblaje previo, el que viene descrito en la hoja guía o puede ser explicado por el instructor. En los experimentos con IC los equipos generalmente se encuentran ensamblados por completo, a pesar que en algunas ocasiones se precisa de un pequeño procedimiento.
6 c) Visualización de datos presentados en una pantalla reduce la tensión y estrés en el investigador junto con la necesidad del conocimiento previo de los elementos necesarios para realizar mediciones adecuadas.
2.2.3 ADQUISICIÓN DE DATOS IC
Las hojas de notas se llenan a partir de los datos entregados en la pantalla del ordenador, obteniendo la información de una forma clara y mucho más precisa que en la IT. Dependiendo del tiempo, número de investigadores, estaciones, y complejidad del manejo entre otros factores, es muy posible que ofrezca la oportunidad de receptar datos y medidas para cada investigador. El conocimiento de los elementos de medición no resulta tan indispensable para el manejo de estaciones con IC, mientras que el manejo del software necesario para el control de estación se convierte en un requisito indispensable. (Redish & Risley, 1990)
2.3 INSTRUCCIÓN REMOTA (IR)
2.3.1 IOT (INTERNET OF THINGS)
A partir del 2013 se volvió claro que el internet de las cosas conocido como IoT alcanzó gran reconocimiento, mientras continúa creciendo se vislumbra un gran potencial debido a su amplia área de aplicaciones, por lo que ha recibido incluso mayor atención. Se puede definir al IoT como un paradigma que considera la presencia en un ambiente de una variedad de cosas y objetos que usando conexiones a internet con direcciones únicas son capaces de interactuar y cooperar creando nuevas aplicaciones o servicios alcanzando objetivos comunes.
El objetivo del IoT es permitir que las cosas se conecten a cualquier momento y lugar con individuos que se encuentren conectados a internet.
7
2.3.2 LABORATORIOS REMOTOS
La ubicación geográfica limita el acceso a la educación y los costos a los materiales y equipos de laboratorio, la idea general detrás del laboratorio remoto consiste en la habilidad de acceder a un laboratorio con equipos físicos desde sitios o lugares distantes usando una infraestructura de comunicación adecuada con un ordenador conectado a una red que permite controlar un dispositivo físico en tiempo real.
Instituciones que ofrecen acceso remoto a alguna forma de equipos que pueden ser muy costosos para ser adquiridos por individuos o incluso empresas pequeñas. El acceso remoto a dispositivos por medio de una red representa una oportunidad única para resolver necesidades ingenieriles y científicas de acceder a determinadas estaciones salvando las distancias físicas. (Garcia & Alves, 2011)
2.3.3 CONSIDERACIONES DE LOS LABORATORIOS REMOTOS
Los grupos de investigación y desarrollo, poseen limitaciones por los administradores de sus instituciones, siendo un hecho que muchos todavía luchan con las políticas de firewalls, y con el acceso externo a los servidores de la institución para realizar el experimento cuando se requiere la apertura de determinados puertos TCP/IP. (Gomez & Garcia, 2007)
Se habrá de tener en cuenta que existe unos requerimientos mínimos para el usuario remoto a fin de conseguir una buena experiencia, como la potencia del ordenador, la velocidad de internet, y finalmente los proveedores de internet tanto de usuario remoto como de la institución que alberga la estación de laboratorio.
8
2.4 MEDICIONES
Para el estudio de las velocidades y aceleraciones en el movimiento circular uniforme, se precisa conocer de ciertos parámetros indispensables como el radio y el periodo.
El radio es la distancia desde el centro hacia el extremo de un circulo, conocido como eje radial por donde se puede desplazar linealmente hacia el interior o exterior, logrando modificar los valores de las velocidades y aceleraciones por dicho cambio de posición. Este desplazamiento suele expresarse grados y radianes (Figura 2.1) además puede hacerse en unidades de longitud como milímetros, centímetros, metros, pulgadas, y pies.
Figura 2.1 Línea de referencia para el desplazamiento angular
(College Physics, 2015)
El periodo es el tiempo que le toma al disco realizar una rotación completa partiendo de un punto específico sobre el eje radial y regresando al mismo punto. La rotación completa es conocida como una revolución que también puede entenderse como un desplazamiento de 360 grados o 2 π radianes (Figura 2.2) siendo esta última la unidad que suele utilizarse por convención.
Figura 2.2 Relación entre grados y radianes en desplazamiento angular
9 Si el ángulo θ se encuentra en radianes, la unidad de la velocidad angular es en radianes por segundo (𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ ). Otras unidades como son las revoluciones por minuto (𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛⁄ 𝑜𝑟 𝑟𝑝𝑚) suelen usarse comúnmente. Recordar que 1 𝑟𝑒𝑣 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, dos conversiones muy útiles serán:
1 𝑟𝑒𝑣 𝑠⁄ = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ [2.1]
1 𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛⁄ = 1 𝑟𝑝𝑚 = 2𝜋
60𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ [2.2]
(Young & Freedman, 2012)
Las mediciones del MCU se obtienen a partir de sus fórmulas sobre la superficie completa del disco (Figura 2.3), se usa la fórmula de rapidez promedio sobre una franja de color blanco. Posteriormente la rapidez promedio es comparada con la rapidez tangencial del disco, comparando y analizando el error obtenido.
Figura 2.3 Disco de rotación con franja blanca
2.4.1 RAPIDEZ PROMEDIO
La rapidez promedio de un objeto se define como la distancia total recorrida a lo largo de una trayectoria, dividida para el tiempo que le toma recorrer esa trayectoria.
𝑣 = 𝑑 𝑡⁄ [2.3]
10 de circunferencia, que se forma a partir de la lectura de un sensor ubicado sobre el disco al pasar sobre una franja (Figura 2.4) rectangular de color blanco ubicada sobre el eje radial, cuando el disco mantiene una velocidad de rotación constante.
Figura 2.4 Arco de circunferencia
2.4.2 RAPIDEZ TANGENCIAL
Se dice que un objeto se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante v experimenta un movimiento circular uniforme. En este caso, la magnitud de la velocidad permanece constante; pero la dirección de la velocidad cambia continuamente conforme el objeto se mueve alrededor del circulo (Figura 2.5). Dado que la aceleración se define como la tasa del cambio de la velocidad, un cambio en la dirección de esta última implica una aceleración. Así, un objeto que describe una trayectoria circular está acelerando constantemente, aun cuando la rapidez permanece constante, se obtiene la siguiente expresión:
𝑣2
⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 1
Figura 2.5 Velocidad tangente a la trayectoria
11 Ahora revisando la aceleración de manera cuantitativa de la siguiente manera:
𝑎⃑ = lim
∆𝑡→0
∆𝑣 ∆𝑡 =
𝑑𝑣 𝑑𝑡
Donde ∆𝑣 es el cambio en la velocidad durante el corto intervalo de tiempo ∆𝑡. Finalmente consideramos la situación en que ∆𝑡 tiendo a cero y, por lo tanto, obtendremos la aceleración instantánea. Durante el tiempo ∆𝑡 (Figura 2.6), la partícula se mueve desde el punto A hasta el punto B, y cubre una distancia ∆𝑙
a lo largo del arco que subtiende un ángulo ∆𝜃.
Figura 2.6 Vectores de velocidad en puntos A y B
(Giancoli, 2009)
El cambio en el vector de velocidad (Figura 2.7).es descrito por 𝑣⃗⃗⃗⃗ − 𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ = ∆𝑣1 ⃗⃗⃗⃗
Figura 2.7 Variación de la velocidad vectorial
(Giancoli, 2009)
Si hacemos que ∆𝑡 se reduzca considerablemente (es decir, si tiende a cero), entonces ∆𝑙 y ∆𝜃 también serán muy pequeños, y 𝑣⃗⃗⃗⃗ 2 será casi paralelo a 𝑣⃗⃗⃗⃗ 1
(Figura 2.8). Será ∆𝑣⃗⃗⃗⃗ esencialmente perpendicular a ellos. De esta forma, ∆𝑣⃗⃗⃗⃗
12 Dado que por definición 𝑎 , está en la misma dirección que ∆𝑣⃗⃗⃗⃗ , entonces también debe apuntar hacia el centro del círculo. Por esta razón, a esta aceleración se le llama aceleración centrípeta (aceleración “que apunta hacia el centro”), o aceleración radial (ya que se dirige a lo largo del radio, hacia el centro del circulo), y se le denota como 𝑎𝑐. (Giancoli, 2009).
Figura 2.8 Perpendicularidad de la aceleración centrípeta (Giancoli, 2009)
A continuación, determinamos la magnitud de la aceleración centrípeta (radial),
𝑎𝑅. Puesto que el segmento CA (Figura 2.6) es perpendicular a 𝑣⃗⃗⃗⃗ 1, y CB es
perpendicular a 𝑣⃗⃗⃗⃗ 2, se sigue que el ángulo ∆𝜃, definido como el ángulo entre CA y CB, también es el ángulo entre ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 y 𝑣⃗⃗⃗⃗ 2. Por lo tanto los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1, 𝑣⃗⃗⃗⃗ 2 y ∆𝑣⃗⃗⃗⃗
(Figura 2.7) forman un triángulo que es geométricamente similar al triangulo CAB (Figura 2.8). Si tomamos ∆𝜃 muy pequeño (es decir un ∆𝑡 muy pequeño) y se establece que 𝑣 = 𝑣1 = 𝑣2 pues la magnitud del a velocidad no cambia, escribimos:
∆𝑣
𝑣 ≈
∆𝑙 𝑟
O reordenando los términos para despejar la variación de la velocidad:
∆𝑣 ≈ 𝑣 𝑟∆𝑙
13 aceleración instantánea, 𝑎𝑅, de manera que utilizamos la expresión anterior para escribir:
𝑎𝑅 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡 = lim∆𝑡→0
𝑣 𝑟
∆𝑙 ∆𝑡
Entonces como lim
∆𝑡→0 ∆𝑙
∆𝑡 es justo rapidez lineal v, del objeto tenemos que la
aceleración centrípeta (radial) es:
𝑎𝑅 =𝑣2
𝑟 [2.4]
La ecuación (2.4) es válida incluso cuando 𝑣 no es constante. Para resumir un objeto que se mueve en un círculo de radio 𝑟 con rapidez constante 𝑣 tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro el círculo. No debe sorprender que esta aceleración dependa de 𝑣 y de 𝑟. Cuanto mayor sea el radio, menos rápidamente cambiara de dirección la velocidad.
Figura 2.9 MCU vectores de velocidad y aceleración (Giancoli, 2009)
El vector aceleración apunta hacia el centro del círculo; sin embargo, el vector velocidad siempre apuntará en la dirección de movimiento, que es tangencial al círculo. Así, los vectores de velocidad y de aceleración son perpendiculares entre sí, en cada punto de la trayectoria para el movimiento circular uniforme (Figura 2.9).
14
𝑇 =1
𝑓 [2.5]
Por ejemplo, para un objeto que da vueltas en un círculo (circunferencia 2πr) con rapidez constante 𝑣 = 𝑣𝑡 conocida como rapidez tangencial, podemos escribir
que:
𝑣 =2𝜋𝑟
𝑇 [2.6]
Si se divide para el r en ambos lados ecuación (2.), se obtiene la velocidad angular ω en radianes por segundo, podemos escribir que:
1 𝑟∗ 𝑣 = 1 𝑟∗ 2𝜋𝑟 𝑇
𝜔 =2𝜋
𝑇 [2.7]
2.5 INSTRUMENTOS DE MEDIDA
2.5.1 CARACTERÍSTICAS
El comportamiento de un sistema de medición trae como limitante el sensor usado, el mismo posee características tales como:
a) Exactitud. Es la cualidad que caracteriza la capacidad de un instrumento de medida para dar indicaciones que se aproximen al valor verdadero de la magnitud medida.
b) Fidelidad. Se caracteriza por la capacidad de un instrumento de medida para obtener el mismo valor de la magnitud medida, al medir varias veces bajo las mismas condiciones.
c) Repetibilidad. Se refiere a lo mismo de la fidelidad, pero cuando las medidas se realizan en un intervalo corto de tiempo.
d) Reproducibilidad. Es el grado de coincidencia de distintas lecturas individuales cuando se determina el mismo parámetro con un método concreto, conjunto de medidas de largo plazo tomadas por personas diferentes con distintos aparatos.
15 I. La resolución o discriminación es el incremento mínimo de la medición de la magnitud de entrada para la que se obtiene un cambio en la magnitud de la medición de salida. Cuando el incremento de la entrada se produce a partir de cero, se habla de umbral.
II. La histéresis es la diferencia de la salida para una misma entrada, según la dirección en que se le alcance.
(Pallas, 2003)
2.5.2 ERROR
La discrepancia entre el valor indicado por un instrumento y el verdadero valor de una magnitud medida se denomina “error”. La diferencia de los valores anteriores se denomina “error absoluto” descrito en ecuación 2.8.
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 = 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 − 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 [2.8]
Sin embargo, lo más común es especificar el error como cociente entre el error absoluto y el verdadero valor de la magnitud medida, cociente que se denomina error relativo en la ecuación (2.9). En ocasiones se obtiene un error que resulta de la resta del error teórico para el experimental dividido para el teórico y multiplicado por cien, para obtener error porcentual. Éste suele tener dos términos: uno dado como porcentaje (tanto por ciento) de la lectura, y otro constante, que puede estar especificado como porcentaje del fondo de escala o un umbral, o un número de “cuentas” en el caso de instrumentos digitales.
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟⁄ [2.9]
16 b) Errores aleatorios. Son los que permanecen una vez eliminadas las causas de los errores sistemáticos. Se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma magnitud con el mismo instrumento y el mismo método, presentando las siguientes propiedades:
I. Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la misma probabilidad de producirse.
II. Los errores aleatorios son tanto menos probables cuanto mayor sea su valor.
III. Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores aleatorios de una muestra o conjunto de medidas tiende a cero.
Los errores aleatorios se denominan también como errores accidentales o fortuitos, y ello da a entender que son inevitables. (Pallas, 2003)
2.6 DISPOSITIVOS LABORATORIO
Los dispositivos y equipos usados para realizar prácticas del Movimiento Circular Uniforme (MCU), a continuación se exponen algunos de los modelos no comerciales y comerciales construidos por entusiastas y desarrolladores usando varios materiales de uso común mecánicos como electrónicos sin precisiones ni tolerancias, y aquellos disponibles a la venta con una construcción más comercial y estandarizada que traen consigo pedagogía para la enseñanza del fenómeno físico estudiado.
2.6.1 NO COMERCIALES
Las creaciones e invenciones de varios aficionados de una máquina o equipo para el estudio del movimiento circular uniforme, varía dependiendo de sus capacidades y conocimiento sobre el manejo de sensores, actuadores, interfaces de usuario entre otros.
17 Figura 2.10 Máquina de MCU usando un acelerómetro
(Mechanic Experiments, 2016)
El dispositivo consiste en tecnología desarrollada a partir de popular control del videojuego Nintendo Wii (Figura 2.11), ubicado sobre una plataforma de rotación y recogiendo las medidas su correspondiente receptor.
Figura 2.11 Máquina de MCU usando un control de Nintendo Wii
(WiiMote Physics, 2016)
18 Figura 2.12 Máquina de MCU usando una pelotita y velcro
(ucsb.edu, 2016)
2.6.2 COMERCIALES
Los dispositivos comerciales ofrecen uno que posee un disco giratorio y un sensor desplazable sobre el eje radial (Figura 2.13) permitiendo la lectura de magnitudes sobre diferentes puntos del eje radial. La estación se encuentra a la venta en la página web de Ward Science por un precio $196.99.00 dólares.
Figura 2.13 Máquina del MCU comercialmente disponible
19
2.7 MATERIALES
Los materiales requeridos para el diseño y construcción de la estación, se consiguieron en tiendas nacionales, los procesos de manufactura y acabados fueron realizados por técnicos locales. Construyendo lo mejor que se puede con lo que se tiene, de tal manera que el mantenimiento y reparación pueda realizarse localmente.
2.7.1 MOTOR DE ROTACIÓN
La rotación del disco es controlada por el operador, el peso y tamaño total de la estación compromete la selección del motor junto al método usado para el control de la velocidad variable. Los motores en DC poseen un mejor control para velocidad. En general son usados para variaciones de velocidades cuando se requiere ajustes precisos. (Brumbach, 2011) Motores DC sin escobillas y de imanes permanentes experimentan un crecimiento en el uso para situaciones que requieren de alto rendimiento con bajos costos de mantenimiento. Debido a la ausencia de escobillas, son silenciosos y capaces de alcanzar altas velocidades. (Kuttan, 2007)
2.7.2 DRIVER MOTOR DE ROTACIÓN
20 de la base hacia el emisor, pero no fluye en dirección contraria del emisor hacia la base. La flecha en el emisor muestra la dirección de flujo de corriente. En operaciones normales, la corriente que fluye a través de las terminales del colector hacia el emisor es controlada por una corriente fluyendo a través de la terminal base. Corrientes relativamente pequeñas de base controlan corrientes relativamente grandes de colector. Es correcto pensar en el transistor como un dispositivo amplificador de corriente en donde la corriente de base controla la corriente del colector. (William, 1998) El transistor es usado como un dispositivo intermedio entre el microcontrolador y una carga inductiva que puede ser un motor (Figura 2.15) en cuyo caso se usa un diodo también, para entregar una corriente proporcional de la fuente de alimentación externa. (Perea, 2015)
Figura 2.14 Transistores bipolar tipo NPN y PNP
(Garcia A. , 2016)
Figura 2.15 Conexión a un motor usando un transistor BJT
(rwb Electronic, 2016)
21 flecha del símbolo. A diferencia de los BJT, que son controlados por la corriente de base, los MOSFET son controlados por el voltaje de compuerta-fuente.
Figura 2.16 Transistores tipo MOSFET canal N y canal P
(Bolton, 2006)
Figura 2.17 Conexión de un motor usando un transistor MOSFET
(rwb Electronic, 2016)
Para encender el dispositivo, el voltaje de compuerta-fuente debe ser considerablemente superior a un voltaje umbral. Cuando el voltaje es aplicado primero a la terminal compuerta, el flujo de corriente es parásito a las capacitancias de compuerta-fuente y compuerta-drenaje, pero una vez cargadas estas capacitancias la corriente dirigida hacia compuerta es despreciable, así que el estado estable de la compuerta conduce la energía al mínimo.
22
2.7.3 MOTOR DE TRASLACIÓN
El eje de un motor de pasos se mueve entre diferentes posiciones discretas de rotación, típicamente separadas por unos pocos grados. Debido a este preciso control de posición, los motores de pasos son los mejores para tareas que necesitan de una alta precisión de posicionamiento, los motores a pasos son usados en escáneres, plotters, floppy y posicionamiento sobre discos duros e impresoras entre otras numerosas aplicaciones más.
Los motores de pasos tienen varias bobinas electromagnéticas que deben ser energizadas de forma secuencial para lograr el giro del motor, o paso, de una posición a la siguiente. Revirtiendo el orden en el que se energiza a las bobinas, un motor a pasos puede rotar en dirección opuesta si se lo precisa. La rapidez a la que las bobinas son energizadas determina la velocidad del motor. Usualmente los motores de pasos poseen dos o cuatro bobinas. (Appin Knowledge Solutions, 2007)
2.7.4 DRIVER MOTOR TRASLACIÓN
23 posible corriente de regreso. Un circuito lógico de compuerta XOR es añadido a la entrada para prevenir dos señales de alto sean aplicadas al mismo tiempo. Los puentes H pueden ser adquiridos en circuitos integrados como L293 con doble puente H de SGS Thompson para controlar motores a paso bipolares que consuman hasta 1A por devanado y un voltaje máximo de 36 V. El puente H similar al L293 es el L298 que puede soportar hasta 2A por devanado. El LMD18200 puente H de National Semiconductors puede soportar hasta 3A, y a diferencia del L293 y L298, posee una protección de diodos incluida. (Scherz, 2000)
2.7.5 SENSOR DE ROTACIÓN
La luz infrarroja puede ser usada para una variedad de mediciones en desplazamientos lineales y rotacionales. Típicamente un LED o foto emisor es usado como fuente y un dispositivo sensible a la luz infrarroja es usado como detector. El detector puede ser un foto resistor o una fotocelda e incluso un resistor variable que cambie la resistencia dependiendo de la intensidad de la luz (posiblemente infrarroja o visible). Un fotodiodo (Figura 2.18) que permite el flujo de corriente eléctrica en una dirección cuando existe la presencia de luz infrarroja y que de otra forma actúa como un circuito abierto. Un fototransistor la luz infrarroja reflejada actúa como la corriente base de un transistor, permitiendo el flujo de la corriente proporcional hacia el colector dependiendo de la intensidad de la luz infrarroja recibida.
Figura 2.18 Descripción y configuración de un fotodiodo
24 Si el emisor y el detector se encuentran uno frente al otro, se los puede usar como un interruptor de rayo, para detectar si algo pasa entre ellos. Esto es conocido como fotointerruptor. Si el emisor y el detector se pueden desplazar a través de una línea que los conecte, la intensidad de la luz reflejada puede ser usada para medir la distancia que los separa. Los detectores infrarrojos pueden ser sensibles a la luz de ambiente, a pesar de esto para distinguir la luz del foto emisor de la luz ambiente puede modularse la fuente para que el detector responda solamente a dicha fuente infrarroja modulada.
Si el emisor y el receptor se encuentran orientados en la misma dirección pueden ser usados para medir la distancia cercana a la superficie por la intensidad de la luz reflejada. Este es conocido como foto reflector. Alternativamente, este sensor puede ser usado para detectar luz absorbente o luz reflejante de superficies a una distancia constante, como un robot móvil seguidor de línea.
Los foto interruptores y foto reflectores puede ser comprados en un solo paquete o ensamblados por partes usando un LED infrarrojo y un fotodiodo o fototransistor, una vez revisado que el detector sea sensible a la onda producida por el LED. Estos sensores son manufacturados por Sharp y Hamamatsu. (Bishop, 2002)
2.7.6 SENSOR DE TRASLACIÓN
Un transductor de posición o desplazamiento puede ser construido con un potenciómetro lineal o rotacional. El principio operativo de este sensor está basado en un cable de resistencia. Un objeto en movimiento es mecánicamente acoplado al cable del potenciómetro, de tal forma que los movimientos generen un cambio en la resistencia medida. En la mayoría de los casos la medición del cambio de resistencia es sustituida por el cambio en el voltaje que resulta proporcional al desplazamiento.
25 un robot o una extremidad del mismo han alcanzado el límite de su desplazamiento. Para mediciones a distancia sin necesidad de contacto un sensor activo que transmite una clase de señal piloto y recibe un reflejo de dicha señal del objeto puede ser diseñado.
Transmisión y recepción de energía ultrasónica es la base de varios medidores a distancia, y detectores de velocidad. Las ondas de ultrasonido son ondas mecánicas acústicas que cubren un rango de frecuencia muy por encima de las capacidades del oído humano, sobre los 20 KHz, pero pueden ser percibidas por animales como perros, gatos, roedores y pequeños insectos. De hecho los detectores ultrasónicos son dispositivos de medición biológicos de los murciélagos y delfines. Cuando una onda incide sobre un objeto, parte de la energía es reflejada. En muchos casos prácticos es reflejada de una manera difusa. Quiere decir que sin importar la dirección de donde viene la energía, el reflejo es uniforme dentro de un Angulo que se acerca a los 180 grados. (Fraden, 2010)
2.7.7 MECANISMO
26 Figura 2.19 Funcionamiento del mecanismo tornillo tuerca
(elmundoactualch, 2016)
Elementos a considerarse en todas las etapas de diseño del mecanismo son: su dinámica, fricción, rigidez, rectitud, suavidad y capacidad de carga. Además de la cantidad de trabajo que puede necesitar en la preparación de la máquina para su instalación y su funcionamiento. La estructura sobre la que se ubique la máquina compromete el rendimiento del mecanismo y su sistema. Una superficie diseñada especialmente para albergar el mecanismo, o una plataforma de soporte sería muy deseable, para actuar como barrera para aislando al mecanismo del ambiente y reduciendo el posible impacto de las perturbaciones externas. (Sclater, 2007)
2.7.8 ELECTRÓNICA DE CONTROL
Los microprocesadores y los microcontroladores poseen mucho en común, a pesar de esto poseen unas diferencias características entre ellos. Un microprocesador es lo que su nombre delimita, un procesador de información. Diseñados para procesar grandes cantidades de compleja información en tiempos cortos, necesitando de otras unidades como memoria y puertos para conformar un sistema funcional.
27
2.8 INTERFAZ DE USUARIO (UI)
Los sistemas embebidos poseen interfaces desde las que se dedican a una sola tarea, hasta las más complejas que presentan un entorno similar al de un escritorio de ordenador. Un ejemplo sencillo, tenemos los sistemas embebidos que usan botones para controlar encendido y apagado LEDs, o una pantalla pequeña para mostrar algunos caracteres de salida donde un simple menú puede ser suficiente.
28
28
3.1 MECATRÓNICA
La metodología Mecatrónica es usada para lograr un diseño óptimo de productos electromecánicos. Siendo una colección de prácticas, procedimientos, y reglas usadas por aquellos que trabajan en un área particular de conocimiento o disciplina.
El sistema mecatrónico es multidisciplinar (Figura 3.1), comprende cuatro disciplinas fundamentales como son: eléctrica, mecánica, ciencias de la computación, y tecnologías de la información.
Figura 3.1 Sistemas constituyentes de mecatrónica
(Kolk & Shetty, 2011)
Figura 3.2 Elementos clave de mecatrónica
(Kolk & Shetty, 2011)
29 A partir de la premisa que cada investigación posee ciertas particularidades, se ha desarrollo una metodología particular para este proyecto (Figura 3.3).
Figura 3.3 Metodología usada en este proyecto
3.1.1 Identificación del Problema
a) Costos de implementación y mantenimiento de laboratorios. b) Tiempo en horario de clases para laboratorio.
c) Tráfico en la movilización dentro de la ciudad.
d) Seguridad para el estudiante y equipo de laboratorio.
3.1.2 Requisitos
a) Ser manipulada y visualizada remotamente. b) Estudiar el MCU o movimiento circular uniforme. c) La estación debe de tener fines educativos. d) Manejo desde diferentes sistemas operativos.
3.1.3 Especificaciones
a) Dimensiones transportable menor de 80cm por lado y 50cm de altura. b) Un peso total inferior a 50 kg.
30
3.2 DISEÑO MECÁNICO
Revisión de diagramas y componentes en ANEXO 2. Se buscó características como el menor tamaño, peso, complejidad de ensamble y mantenimiento, con opciones como la manivela balancín, piñón cremallera, y tornillo tuerca entre otras. Finalmente se escogió el mecanismo tornillo tuerca. Que junto con una corredera elíptica hacen posible el desplazamiento lineal sobre el eje radial del disco. Para la construcción de los soporte de viga y columna se utilizó un perfil de 25mm de ancho con un espesor de 3mm.
3.2.1 SOPORTE CORREDERA ELÍPTICA
La pieza a fabricarse (Figura 3.5) y el análisis de esfuerzos para viga (Figura 3.4) y columna (Figura 3.6).
31 Figura 3.5 Soporte de corredera elíptica
VIGA soporte
Carga distribuida:
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (250 + 400 + 290 + 60) 𝑔𝑟
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 875 𝑔𝑟 = 0,875 𝑘𝑔
𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 [3.1]
𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 0,875𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 8,575 𝑁
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎=
8,575 𝑁 0,235 𝑚
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎= 36,4894 𝑁 𝑚⁄
Reacción en los apoyos:
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =𝑤∗𝑙
2 [3.2]
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =
32
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 4,2875 𝑁
Fuerzas cortantes:
𝑉 = 𝑤∗𝑙
2 − 𝑤 ∗ 𝑥 [3.3]
𝑉𝐴=
36,4894 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,235 𝑚
2 − 36,4894 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0 𝑚
𝑉𝐴= 4,2875 𝑁
𝑉𝐵 =36,4894 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,235 𝑚
2 − 36,4894 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,235 𝑚
𝑉𝐴= − 4,2875 𝑁
Momento:
𝑀 =𝑤∗𝑥
2 ∗ (𝑙 − 𝑥) [3.4]
𝑆𝑖 𝑥 = 0,1175 𝑚
𝑀 =36,4894 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,1175 𝑚
2 ∗ (0,235 𝑚 − 0,1175 𝑚)
𝑀 = 0,25189 𝑁𝑚
Esfuerzo al cortante:
𝜏 =𝑉∗𝑄
𝐼∗𝑡 [3.5]
Calculo de Q:
𝑄 =𝑡∗ℎ2
8 [3.6]
𝑄 =0,025 𝑚 ∗ (0,003 𝑚)
2
8
𝑄 = 28,125 𝑥 10−9 𝑚3
Calculo de I:
𝐼 =𝑡∗ℎ3
33
𝐼 =0,025 𝑚 ∗ (0,003 𝑚)
3
8
𝐼 = 56,25 𝑥 10−9 𝑚4
Regresando al cálculo del cortante:
𝜏 =4,2875 𝑁 ∗ 28,125 𝑥 10
−9 𝑚3
56,25 𝑥 10−9 𝑚4 ∗ 0,003 𝑚
𝜏 = 85,75 𝑥 103 𝑃𝑎
Verificación del esfuerzo al cortante:
𝜏 =3∗𝑉
2∗𝐴 [3.8]
𝜏 = 3 ∗ 4,2875 𝑁
2 ∗ (0,003 𝑚 ∗ 0,025 𝑚)
𝜏 = 85,75 𝑥 103 𝑃𝑎
𝜏 ≤ 𝜏𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 [3.9]
85,75 𝑀𝑃𝑎 ≤ 393 𝑀𝑃𝑎
Esfuerzo de flexión
𝜎 = 𝑀∗𝑐
𝐼 [3.10]
𝑆𝑖 𝑐 = 0,0015 𝑚
𝜎 = 0,25189 𝑁𝑚 ∗ 0,0015 𝑚 56,25 𝑥 10−9 𝑚4
𝜎 = 6,717 𝑥 103 𝑃𝑎
Verificando:
𝜎 ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 [3.11]
34 Figura 3.6 Diagrama de la columna del soporte de corredera
Carga distribuida:
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (250 + 400 + 290 + 60) 𝑔𝑟
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1000 𝑔𝑟 = 1 𝑘𝑔
La citada ecuación (4.1), volveré a utilizar 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 1 𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 9,8 𝑁
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎=
9,8 𝑁 0,235 𝑚
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎= 41,7021 𝑁 𝑚⁄
Reacción en los apoyos:
La citada ecuación (4.2), volveré a utilizar 𝑅𝐴= 𝑅𝐵 = 𝑤∗𝑙
2
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =41,7021 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,235 𝑚 2
35 Datos:
𝑠𝑦 = 160 𝑀𝑃𝑎, 𝐸 = 110 𝑀𝑃𝑎, 𝑘 = 0,65
𝐹 = 4,9 𝑁, 𝑁 = 3, 𝑏 = 0,025 𝑚, ℎ = 0,095 𝑚
Radio:
𝑟 = √𝐼
𝐴 [3.12]
𝐼 =𝑏∗ℎ3
12 [3.13]
𝐼 =0,025 𝑚 ∗ (0,095 𝑚)
3
12 = 1,7862 𝑥 10
−6 𝑚4
𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ [3.14]
𝐴 = 0,025 𝑚 ∗ 0,095 𝑚
𝐴 = 2,375 𝑥 10−3 𝑚2
𝑟 = √1,7862 𝑥 10
−6 𝑚4
2,375 𝑥 10−3 𝑚2
𝑟 = 27,4241 𝑥 10−3 𝑚
Relación de esbeltez:
𝑘∗𝐿
𝑟 [3.15]
0,65 ∗ 0,095 𝑚
27,4241 𝑥 10−3 𝑚= 2,25167
Cc:
𝐶𝑐= √2∗𝜋𝑠2∗𝐸
36
𝐶𝑐= √2 ∗ 𝜋
2∗ 110 𝑀𝑃𝑎
160 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝑐= 3,6838
Comparativa para determinar columna corta o larga:
𝑘∗𝐿
𝑟 ≥ 𝐶𝑐 [3.17]
2,25167 ≥ 3,6838
Desde que no se cumple la relación se determina que se trata de una columna corta, por lo que se procede de la siguiente manera.
Pcr:
𝑃𝑐𝑟 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑦 ∗ [1 −𝑠𝑦∗(
𝑘∗𝐿 𝑟 )
2
4∗𝜋2∗𝐸 ] [3.18]
𝑃𝑐𝑟 = 2,375 𝑥 10−3 𝑚2∗ 160 𝑀𝑃𝑎 ∗
[ 1 −
160 𝑀𝑃𝑎 ∗ ( 0,65 ∗ 0,095 𝑚 27,4241 𝑥 10−3 𝑚)
2
4 ∗ 𝜋2∗ 110 𝑀𝑃𝑎
]
𝑃𝑐𝑟 = 309,016 𝑥 103 𝑁
Pa:
𝑃𝑎 =𝑃𝑐𝑟
𝑁 [3.19]
𝑃𝑎 =309,016 𝑥 10
3 𝑁
3
𝑃𝑎 = 103,005 𝑥 103 𝑁
𝑃𝑎 ≥ 𝐹 [3.20]
37
3.2.2 SOPORTE MOTOR DE TRASLACIÓN
La pieza a fabricarse (Figura 3.8) y el análisis de esfuerzos para viga (Figura 3.7) y columna (Figura 3.9).
Figura 3.7 Diagrama del soporte para motor de traslación
38 VIGA
Carga distribuida:
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (120 + 230) 𝑔𝑟
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 350 𝑔𝑟 = 0,35 𝑘𝑔
La citada ecuación (4.1) que volveré a utilizar 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 0,35𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 3,43 𝑁
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎= 3,43 𝑁 0,055 𝑚
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎= 62,346 𝑁 𝑚⁄
Reacción en los apoyos:
La citada ecuación (4.2) que volveré a utilizar 𝑅𝐴= 𝑅𝐵= 𝑤∗𝑙
2
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =
62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,055 𝑚 2
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 1,715 𝑁
Fuerzas cortantes:
La citada ecuación (4.3) que volveré a utilizar 𝑉 = 𝑤∗𝑙
2 − 𝑤 ∗ 𝑥
𝑉𝐴= 62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,055 𝑚
2 − 62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0 𝑚
𝑉𝐴= 1,715 𝑁
𝑉𝐵 =
62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,055 𝑚
2 − 62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,055 𝑚
𝑉𝐵 = − 1,715 𝑁
Momento:
La citada ecuación (4.4) que volveré a utilizar 𝑀 = 𝑤∗𝑥
39
𝑆𝑖 𝑥 = 0,0275 𝑚
𝑀 =62,346 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,0275 𝑚
2 ∗ (0,055 𝑚 − 0,0275 𝑚)
𝑀 = 0,02358 𝑁𝑚
Esfuerzo al cortante:
La citada ecuación (4.5) que volveré a utilizar 𝜏 = 𝑉∗𝑄
𝐼∗𝑡
La citada ecuación (4.6) que volveré a utilizar 𝑄 = 𝑡∗ℎ2
8
𝑄 =0,025 𝑚 ∗ (0,003 𝑚)
2
8 = 28,125 𝑥 10
−9 𝑚3
La citada ecuación (4.7) que volveré a utilizar 𝐼 =𝑡∗ℎ3
8
𝐼 =0,025 𝑚 ∗ (0,003 𝑚)
3
8 = 56,25 𝑥 10
−9 𝑚4
Regresando al cálculo del cortante:
𝜏 =1,715 𝑁 ∗ 28,125 𝑥 10
−9 𝑚3
56,25 𝑥 10−9 𝑚4∗ 0,003 𝑚
𝜏 = 34,3 𝑥 103 𝑃𝑎
Verificación del esfuerzo al cortante:
La citada ecuación (4.8) que volveré a utilizar 𝜏 = 3∗𝑉
2∗𝐴
𝜏 = 3 ∗ 1,715 𝑁
2 ∗ (0,003 𝑚 ∗ 0,025 𝑚)
𝜏 = 34,3 𝑥 103 𝑃𝑎
La citada ecuación (4.9) que volveré a utilizar τ ≤ τmaterial
34,3 𝑀𝑃𝑎 ≤ 393 𝑀𝑃𝑎
40 La citada ecuación (4.10) que volveré a utilizar 𝜎 =𝑀∗𝑐
𝐼
𝑆𝑖 𝑐 = 0,0015 𝑚
𝜎 = 0,02358 𝑁𝑚 ∗ 0,0015 𝑚 56,25 𝑥 10−9 𝑚4
𝜎 = 628,8 𝑃𝑎
La citada ecuación (4.11) que volveré a utilizar 𝜎 ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
628,8 𝑃𝑎 ≤ 965 𝑀𝑃𝑎
Figura 3.9 Diagrama de columna para el motor de rotación
Carga distribuida:
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (230 + 270) 𝑔𝑟
𝑚𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 500 𝑔𝑟 = 0,5 𝑘𝑔
La citada ecuación (4.1) que volveré a utilizar 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 0,5 𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
𝑤𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 9,8 𝑁
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎=
41
𝑤𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑎= 89, 0909 𝑁 𝑚⁄
Reacción en los apoyos:
La citada ecuación (4.2) que volveré a utilizar 𝑅𝐴= 𝑅𝐵= 𝑤∗𝑙
2
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =89, 0909 𝑁 𝑚⁄ ∗ 0,055 𝑚 2
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 2,45 𝑁
Datos:
𝑠𝑦 = 160 𝑀𝑃𝑎, 𝐸 = 110 𝑀𝑃𝑎, 𝑘 = 0,65
𝐹 = 2,45 𝑁, 𝑁 = 3, 𝑏 = 0,025 𝑚, ℎ = 0,095 𝑚
Radio:
La citada ecuación (4.13) que volveré a utilizar 𝑟 = √𝐼
𝐴
La citada ecuación (4.14) que volveré a utilizar 𝐼 =𝑏∗ℎ3
12
𝐼 =0,025 𝑚 ∗ (0,095 𝑚)
3
12 = 1,7862 𝑥 10
−6 𝑚4
La citada ecuación (4.15) que volveré a utilizar 𝐴 = 𝑏 ∗ ℎ 𝐴 = 0,025 𝑚 ∗ 0,095 𝑚 = 2,375 𝑥 10−3 𝑚2
𝑟 = √1,7862 𝑥 10
−6 𝑚4
2,375 𝑥 10−3 𝑚2
𝑟 = 27,4241 𝑥 10−3 𝑚
Relación de esbeltez:
La citada ecuación (4.16) que volveré a utilizar 𝑘∗𝐿
42
0,65 ∗ 0,095 𝑚
27,4241 𝑥 10−3 𝑚= 2,25167
Cc:
La citada ecuación (4.17), que volveré a utilizar 𝐶𝑐 = √ 2∗𝜋2∗𝐸
𝑠𝑦
𝐶𝑐= √2 ∗ 𝜋
2∗ 110 𝑀𝑃𝑎
160 𝑀𝑃𝑎
𝐶𝑐= 3,6838
Comparativa para determinar columna corta o larga: La citada ecuación (4.18) que volveré a utilizar 𝑘∗𝐿
𝑟 ≥ 𝐶𝑐
2,25167 ≥ 3,6838
Desde que no se cumple la relación establecida para verificación se determina que se trata de una columna corta, se procede:
Pcr:
La citada ecuación (4.19) que volveré a utilizar 𝑃𝑐𝑟 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑦∗ [1 −𝑠𝑦∗(
𝑘∗𝐿 𝑟 )
2
4∗𝜋2∗𝐸 ]
𝑃𝑐𝑟 = 2,375 𝑥 10−3 𝑚2∗ 160 𝑀𝑃𝑎 ∗
[ 1 −
160 𝑀𝑃𝑎 ∗ ( 0,65 ∗ 0,095 𝑚 27,4241 𝑥 10−3 𝑚)
2
4 ∗ 𝜋2∗ 110 𝑀𝑃𝑎
]
𝑃𝑐𝑟 = 309,016 𝑥 103 𝑁
Pa:
La citada ecuación (4.20) que volveré a utilizar 𝑃𝑎 = 𝑃𝑐𝑟
43
𝑃𝑎 =
309,016 𝑥 103 𝑁
3
𝑃𝑎 = 103,005 𝑥 103 𝑁
La citada ecuación (4.21) que volveré a utilizar 𝑃𝑎 ≥ 𝐹 103,005 𝑥 103 𝑁 ≥ 2,45 𝑁
3.2.3 TORQUE MOTOR DE PASOS
El torque que necesita el motor a pasos para mover el sistema (Figura 3.10).
Figura 3.10 Diagrama de cargas para el cálculo de torque
Datos:
𝑑 = 0,00635 𝑚, 𝑚 = 0,06 𝑘𝑔, 𝐿 = 0,45 𝑚,
𝐽𝑀 = 4,8 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2, 𝜌 = 7850 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3, 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
La inercia de la carga:
𝐽𝐿 =1
8∗ 𝑚 ∗ 𝑑
44
𝐽𝐿 =1
8∗ 0,06 𝑘𝑔 ∗ (0,00635 𝑚)
2
𝐽𝐿 = 563,867 𝑥 10−9 𝑘𝑔𝑚2
Inercia del sistema:
𝐽𝑇 = 𝐽𝐿+ 𝐽𝑀 [3.22]
𝐽𝑇 = 563,867 𝑥 10−9 𝑘𝑔𝑚2+ 4,8 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2
𝐽𝑇 = 5,36 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2
Torque de aceleración:
𝑇𝑎= 𝐽𝑇∗ 𝑎 = 𝐽𝑇∗ 𝑤𝑓−𝑤𝑜
2 [3.23]
𝑇𝑎= 5,36 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2 ∗
10 𝑠 − 5 𝑠 2
𝑇𝑎= 893,978 𝑥 10−9 𝑁𝑚
Torque total:
𝑇𝑇 = 𝑇𝐿+ 𝑇𝑎 [3.24]
𝑇𝐿 =
𝑚𝐿∗𝑔∗𝑑∗(𝑠𝑖𝑛 𝛼+𝜇∗𝑐𝑜𝑠 𝛼)
2∗ɳ [3.25]
ɳ = 0,85 (𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎), 𝜇 = 0,08 (𝑟𝑜𝑠𝑐𝑎𝑠), 𝛼 = 0ᵒ
𝑇𝐿 =
0,06 𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2∗ 0,00635 𝑚 ∗ (sin 0ᵒ + 0,08 ∗ cos 0ᵒ)
2 ∗ 0,85
𝑇𝐿 = 27,67 𝑥 10−3 𝑁𝑚
𝑇𝑇 = 27,67 𝑥 10−3 𝑁𝑚 + 893,978 𝑥 10−9 𝑁𝑚
𝑇𝑇 = 27,679 𝑥 10−3 𝑁𝑚
Torque requerido por el motor si 𝑆𝐹 = 3:
𝑇𝑀 = 𝑇𝑇∗ 𝑆𝐹 [3.26]
𝑇𝑀 = 27,679 𝑥 10−3 𝑁𝑚 ∗ 3
45 Verificación:
𝑇𝑀 ≤ 𝑇𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 [3.27]
0,083012 𝑁𝑚 ≤ 0,314 𝑁𝑚
3.2.4 TORQUE MOTOR DC
El torque que necesita el motor DC para hacer rotar el disco (Figura 3.11).
Figura 3.11 Esquema del motor DC para cálculo de torque
Datos:
𝑤 = 4884 𝑟𝑝𝑚 = 511,45 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ , 𝑣 = 76,7178 𝑚 𝑠⁄ ,
𝑚 = 0,13 𝑘𝑔, 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2, 𝑇 = 0,50657 𝑁𝑚
Calculo de inercia del acople del motor DC:
𝐼𝑇 = 𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜+ 𝐼𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 [3.28]
𝐼𝑇 = (1
2) ∗ 𝑚 ∗ 𝑟
2+ (1
2) ∗ 𝑚 ∗ (𝑟𝑖𝑛
2 − 𝑟 𝑜𝑢𝑡2 )
𝐼𝑇 = (1
2) ∗ 𝑚 ∗ [𝑟
2+ (𝑟
𝑖𝑛2 − 𝑟𝑜𝑢𝑡2 )]
46
𝐼𝑇 = (1
2) ∗ 0,13 𝑘𝑔 ∗ [(0,052 𝑚)
2+ ((0,0065 𝑚)2− (0,03 𝑚)2)]
𝐼𝑇 = 94,666 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2
Aceleración angular:
𝑇 = 𝐼 ∗ 𝛼 [3.29]
𝑇 = (1
2∗ 𝑚 ∗ 𝑟
2) ∗ 𝛼 [3.30]
𝛼 = 𝑇
(12 ∗ 𝑚 ∗ 𝑟2)
𝑟 = 0,15 𝑚, 𝑚𝑇 = (0,06 + 0,13 + 0,07) 𝑘𝑔 = 0,260 𝑘𝑔
𝛼 = 0,50657 𝑁𝑚
(12 ∗ 0,260 𝑘𝑔 ∗(0,15 𝑚)2)
𝛼 = 86,598 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 2
Torque necesario para el motor DC:
𝜏𝑀 = 𝐼𝑇∗ 𝛼 [3.31]
𝜏𝑀 = 94,666 𝑥 10−6 𝑘𝑔𝑚2∗ 86,598 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 2
𝜏𝑀 = 8,19743 𝑥 10−3 𝑁𝑚
Verificación:
𝜏𝑀 ≤ 𝜏𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 [3.32]
0,00819743 𝑁𝑚 ≤ 0,07483 𝑁𝑚
3.2.5 TORNILLO DEL ACOPLE DEL DISCO
CORTANTE Datos:
47
𝑚 = 0,02 𝑘𝑔, 𝑟 = 0,022 𝑚, 𝜏𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 = 362,85 𝑀𝑃𝑎
Calculo de la Fuerza Centrípeta:
𝐹𝑐= 𝑚 ∗ 𝑎𝑐 [3.33]
𝐹𝑐= 𝑚 ∗ (𝑣2
𝑟) [3.34]
𝐹𝑐= 0,02 𝑘𝑔 ∗ ((76,7178 𝑚 𝑠⁄ )
2
0,022 𝑚 )
𝐹𝑐= 5,35 𝑥 103 𝑁
Calculo del Esfuerzo Cortante:
𝜏 =𝑉
𝐴 [3.35]
𝜏 = 𝐹𝑐
(𝜋∗𝑑24 ) [3.36]
𝑑 = 0,005 𝑚
𝜏 = 5,35 𝑥 10
3 𝑁
(𝜋 ∗ (0,005 𝑚)2
4 )
𝜏 = 272,502 𝑀𝑃𝑎
Verificación:
La citada ecuación (4.9) que volveré a utilizar 𝜏 ≤ 𝜏𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
272,502 𝑀𝑃𝑎 ≤ 965 𝑀𝑃𝑎
3.2.6 TORNILLO DE SOPORTE DEL MOTOR DC
TRACCIÓN Datos:
𝑚𝑇 = (0,06 + 0,13 + 0,07 + 0,8) 𝑘𝑔 = 1,06 𝑘𝑔, 𝑛 = 4,
48 Calculo de peso total:
La citada como ecuación (4.1) que volveré a utilizar 𝑤 = 𝑚𝑇∗ 𝑔
𝑤𝑇 = 1,06 𝑘𝑔 ∗ 9,8 𝑚 𝑠⁄ 2
𝑤𝑇 = 10,388 𝑁
Calculo de peso para cada tornillo:
𝑤 = 𝑤𝑇
𝑛 [3.37]
𝑤 = 10,388 𝑁 4
𝑤 = 2,597 𝑁
Esfuerzo de tracción:
𝜎 = 𝐹
𝐴 [3.38]
𝜎 = 𝐹
(𝜋∗𝑑2
4 )
[3.39]
𝑑 = 0,004 𝑚
𝜎 = 2,597 𝑁
(𝜋 ∗ (0,004 𝑚)4 2)
𝜎 = 206,633 𝐾𝑃𝑎
Verificación:
La citada como ecuación (4.11) que volveré a utilizar 𝜎 ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 206,633 𝐾𝑃𝑎 ≤ 393 𝑀𝑃𝑎