Registros de representaciones semióticas en la enseñanza de productos notables
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(2) Teniendo en cuenta esto, el presente artículo aborda el contenido de Productos Notables apoyado en la teoría de Registros de Representaciones Semióticas, que permitirá a los estudiantes desarrollar la habilidad de cambio de registro de representación y comprender los productos notables estudiados en el primer año medio. En este artículo se da a conocer las distintas fases de la implementación de una unidad didáctica en la asignatura de matemática en el primer año de enseñanza media de un colegio municipal de la comuna de Puente Alto, el cual tiene como objetivo que los estudiantes comprendan que el objeto matemático en estudio se puede representar a través de diferentes registros que permiten la utilización de distintas estrategias, y permite que el estudiante indague, formule, conjeture, deduzca e interprete, contribuyendo de esta manera con el desarrollando del pensamiento matemático. Para lograr este aprendizaje y a la vez evidenciarlo, las clases se desarrollaron a través de exposiciones, trabajos en grupo y evaluaciones formativas y sumativas. Este trabajo cuenta con un marco teórico que invita a conocer la teoría de registro de representación semióticas en la cual se basó; además se presenta un diagnostico institucional y del curso que permiten dar a conocer el contexto en el cual se trabajó. También se describe la unidad didáctica, se dan a conocer los recursos para el aprendizaje y se presenta un análisis reflexivo y autocrítico de esta implementación tomando en consideración la enseñanza para la comprensión.. 1. Punto de partida 1.1. Teoría de Registro de Representaciones Semióticas El trabajo que se llevó a cabo en I° Medio A tuvo su apoyo en la Teoría de Registro de Representaciones Semióticas cuyo principal representante es Raymond Duval, profesor de la universidad del Litoral y director de la Academia de Lila, Francia. Consolidó su trayectoria investigativa en el instituto de Investigaciones en educación matemática a través de observaciones a docentes y alumnos. El análisis del funcionamiento cognitivo del pensamiento presente en su libro Semiosis y Pensamiento Humano sistematiza su trabajo y sus condiciones en torno a las investigaciones realizadas en psicología cognitiva y en inteligencia artificial (http://sintesis.univalle.edu.co/saladelectura/semiosis.html). Esta teoría nace para dar respuesta al funcionamiento cognitivo del pensamiento humano, puesto que el aprendizaje de las matemáticas necesita utilizar sistemas de expresión y de representación distinta a los del lenguaje natural o de las imágenes. Entre los años 1924 y 1926, Piaget realiza un estudio sobre representaciones mentales de niños pequeños, sobre sus creencias y explicaciones acerca de fenómenos físicos y naturales a través de entrevistas donde las respuestas entregadas por los niños fueron tomadas por Piaget como una manera distinta de ver las cosas o desde otra lógica. Es decir, que la teoría Piagetana del desarrollo de la inteligencia se articula en torno a la oposición entre el plano de la acción y el de la representación (Duval, 1999)..
(3) “A partir de 1955–1960, se presentó como representación interna o computacional, respecto a la transformación que realiza un sistema para generar una respuesta adaptada” (Guarin & Ríos, 2006, P. 31). Desde 1985, aparece como representación semiótica gracias a trabajos realizados sobre la adquisición de los conocimientos matemáticos y los problemas que conlleva su aprendizaje (Gordillo & Restrepo, 2012). Estas representaciones semióticas hacen referencia a todas aquellas construcciones de sistemas de expresión y representación que pueden incluir diferentes sistemas de escritura, números, notaciones simbólicas, representaciones tridimensionales, graficas, etc. Cumplen funciones de comunicación, expresión, objetivación y tratamiento (Tamayo, 2006). Sin embargo las representaciones semióticas no solo son indispensables para fines comunicacionales, sino también son necesarias para desarrollar actividades matemáticas mismas; vale decir que al realizar transformaciones sobre un objeto matemático necesariamente dependerá del sistema de registro semiótico utilizado (Duval, 1999), puesto que al existir diversos sistemas semióticos generan la existencia de diferentes representaciones de un mismo objeto, lo que trae como consecuencia un desarrollo mayor de capacidades cognitivas en los sujetos. Algunos de los elementos presentes en esta teoría son Noesis que corresponde a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto y Semiosis que corresponde a procesos de producción de representaciones externas, ambas se encuentran en estrecha relación dada las necesidades de las representaciones semióticas para algunas funciones cognitivas fundamentales, donde las representaciones mentales no pueden ser independiente de las representaciones semióticas, por tanto es la Semiosis la que determina las condiciones de posibilidades y de ejercicio de la noesis, por tanto no existe noesis sin semiosis, pues esta última determina las condiciones de posibilidad y ejercicio de la noesis (Duval, 1999). Para que un sistema semiótico sea un sistema de representación, según Duval (1999), debe permitir la realización de las tres actividades cognitivas ligadas a la semiosis: identificación de la presencia de una representación que permiten seleccionar rasgos del contenido a representar; tratamiento, el cual ocurre cuando la transformación se realiza al interior de un mismo registro semiótico y conversión de una representación, que se da cuando la transformación se realiza entre dos registros semióticos diferentes. Dentro de los registros de representación que podemos encontrar en matemáticas, Duval caracteriza los siguientes: lenguaje natural, tabular, algebraico, geométrico y gráfico. Duval nos plantea que para comprender verdaderamente el objeto matemático es necesario que el sujeto pueda representar ese objeto utilizando al menos dos de estos registros. Es por ello que la implementación de esta unidad didáctica se basó en tres de estos registros: Registro algebraico que permite realizar generalizaciones, modelizaciones y señalar carteristas particulares del objeto que representa. Registro geométrico que admite operaciones de reconfiguración y manipulación que facilitan la comprensión y el establecimiento de conexiones lógicas entre diferentes objetos y.
(4) Lenguaje Natural que permite introducir definiciones, así como hacer descripciones o designaciones (Sánchez, 2014). Para poder realizar transformaciones del objeto matemático es necesario utilizar el sistema de representaciones semióticas; por lo tanto es importante reconocer el mismo objeto a través de representaciones semióticas diferentes, pero pueden presentarse algunas dificultades en los cambios de registros puesto que si no se logra realizar esa conexión se genera el fenómeno de no congruencia entre las representaciones de un mismo objeto que proviene de sistemas semióticos diferentes. Para que no se genere esta no congruencia deben cumplirse tres condiciones: correspondencia semántica, igual orden de aprehensiones de estas unidades en las dos representaciones y convertir una unidad significante en la representación de partida en una sola unidad significante en la representación de llegada (Duval, 1999). Por lo general el que un alumno adquiera un conocimiento matemático determinado no implica que desarrolle el pensamiento matemático y por tanto no desarrollan la habilidad para cambiar el registro de representación, es por eso que se han escrito algunos trabajos basándose en esta teoría, que permitirán comprender el objeto matemático a través de diferentes representaciones. Así podemos mencionar, por ejemplo, trabajos como representaciones semióticas en el aprendizaje del teorema de Pitágoras (Osorio, 2013), representaciones semióticas en el aprendizaje del concepto función lineal (Ospina, 2012) o una propuesta para mejorar la comprensión del lenguaje matemático de función lineal mediante el manejo de terminología especializada con perspectiva semántica (Coronel, 2013).. 2. Objeto Matemático Las actividades matemáticas implican un cambio de registro de representación es por ellos que el trabajo realizado con primero medio se llevó a cabo en la unidad de álgebra, concebida, según Sessa (2005), como un conjunto de prácticas asociadas a un espacio de problemas que se constituyen a partir de un conjunto de conceptos con sus propiedades. Prácticas que se inscriben en un determinado lenguaje simbólico, con leyes de tratamiento específicas que rigen la configuración de un conjunto de técnicas (Sessa, 2005). Pero como este contenido es bastante amplio, la unidad didáctica se basó específicamente en Productos Notables definidos como una multiplicación de dos expresiones algebraicas que se pueden resolver mediantes pasos, sin efectuar la multiplicación término a término ( Del Valle, Muñoz & Santis, 2014). Sessa (2005) nos plantea algunas propiedades que hoy se corresponden fórmulas algebraicas como por ejemplo la relación entre las áreas de los rectángulos y los cuadrados con el cuadrado de binomio o la diferencia de cuadrados. Para abordar este objeto matemático es importante tomar en cuenta el álgebra geométrica mencionada en Boyer (1986), donde se esboza que los antiguos griegos presentan la identidad algebraica (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 , la cual resulta de la figura que muestra los tres cuadrados y los dos rectángulos iguales (figura 1) en el cuál damos cuenta que al sumar todas las áreas.
(5) interiores es igual al área del cuadrado original (MINEDUC, 2002), esto es lo que hoy conocemos como Cuadrado de Binomio definido como el cuadrado de la suma o la diferencia de dos números siempre será igual al cuadrado del primer término más o menos el doble del producto del primero por el segundo término más el segundo término al cuadrado (MINEDUC, 2002).. Figura 1: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2. Para el caso de la identidad 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) (figura 2), conocida como Suma por su Diferencia, definida como el cuadrado de dos términos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo (MINEDUC, 2002), encontramos la siguiente representación geométrica:. Figura 2: 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏). Y finalmente el Binomio con Término Común (figura 3), el cual se puede expresar elevando al cuadrado el término común sumando o restando los términos no comunes multiplicado por el término común para finalmente multiplica los términos no comunes (MINEDUC, 2002), puede representarse de la siguiente manera:.
(6) Figura 3: (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 )(𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) = 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎𝑎𝑎. Al momento de trabajar con este contenido específico se consideraron aspectos relevantes que fueron tomados en cuenta para su enseñanza en la escuela, lo cual implicó que los alumnos debieron reconocer qué es un término algebraico, identificando su coeficiente numérico y su factor literal; además los alumnos identificaron que una expresión algebraica es el resultado de operaciones de adición o sustracción de uno o más términos algebraicos. Otro aspecto importante que se consideró fue la multiplicación de expresiones algebraicas, donde debieron utilizar propiedades de las potencias, propiedad distributiva y reducción de términos semejantes. Por lo general el trabajo que se realiza en la escuela sobre este objeto matemático, es enseñar de forma mecánica este contenido, vale decir, entregar la fórmula de los productos notables, para que sea memorizada por los estudiantes sin antes analizar y comprender los patrones implicados en la resolución de Productos Notables. Esto puede evidenciarse en el tratamiento realizado a este objeto en los diferentes libros de texto para el estudiante y en las sugerencias entregadas para el profesor donde se les pide a los estudiantes que calculen el área total de una figura o calcular el producto de cuadrados de binomios, binomios con término común y suma por diferencia de cuadrados y en ningún caso les pide realizar o construir las representaciones geométricas asociadas a las distintas expresiones algebraicas. Esto puede deberse a que las escuelas hoy en día se encuentran en una constante evaluación a través de pruebas estandarizadas, por lo que han debido replantearse el proceso de enseñanza–aprendizaje, dándole una mayor importancia a este tipo de evaluaciones, lo cual trae como consecuencia que los estudiantes trabajen con un formato de pruebas o guías similares a las pruebas estandarizadas y no dándole la importancia necesaria al razonamiento, análisis y comprensión de los contenidos u objetos estudiados. En muchos casos, infortunadamente, también los profesores nos entregamos a la parte negativa de este tipo de procesos y pocas veces exigimos y motivamos a nuestros estudiantes hacia los aspectos de análisis y razonamiento que exige el estudio de la matemática. 3. Diagnóstico Institucional 3.1. Centro Educacional.
(7) El Colegio en el cuál se desarrolló esta experiencia es una institución educacional con más de 90 años en el sistema escolar municipal brindando educación desde la Prebásica hasta la Enseñanza Media. La primera escuela básica de la comuna de Puente Alto. Incorporando en el año 2008 la Educación Media (PEI, 2013). La misión de este colegio es otorgar una educación de calidad a los hijos(as) de familias de estrato socioeconómico medio–bajo de la comuna de Puente Alto. Su quehacer se centra en el aprendizaje significativo e integral de los alumnos(as) con metodologías activas e innovadoras, en un clima de sana convivencia y promoviendo una opción de vida saludable. Estimulando en ellos la autonomía, el respeto por las tradiciones, la aceptación de la diversidad y la vivencia de los valores del respeto, responsabilidad, honradez y perseverancia, buscando que los jóvenes sean los constructores de su proyecto de vida (PEI, 2013). Su visión es brindar una educación pública integral y de excelencia, en un marco de sana convivencia y de valoración de la diversidad, que trascienda en el tiempo para que sus egresados enfrenten con éxito la vida y espíritu positivo (PEI, 2013). Los estudiantes que forman parte de este establecimiento educacional, presentan altos niveles de vulnerabilidad socioeconómica, además un porcentaje no menor de jóvenes proviene de familias disfuncionales, lo que repercute en su proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto trae como consecuencia que la labor del docente no solo sea entregar conocimientos específicos acerca de un contenido, sino también el de apoyar y contener de cierta manera a aquellos estudiantes que atraviesan un período complejo en su vida. 3.2. El Curso El curso en el cual se realizó la intervención para la realización de este trabajo fue I° Medio A, el cual cuenta con 44 alumnos, de los cuales siete presentan N.E.E 2, los cuales son apoyados a través del proyecto PIE. El grupo curso por lo general, es bastante conversador e inquietos, por lo cual están sentados estratégicamente para reducir los índices de conversación y las distracciones que se puedan generar. Cerca del 30 % de los alumnos de este curso llega retrasado al aula, perdiendo entre 15 a 45 minutos de clases durante la primera hora, sumado a que también ingresan 10 a 15 minutos tarde después de cada recreo, esta situación genera un retraso en el proceso de enseñanza-aprendizaje, puesto que al ingresar atrasados a clases generan una distracción en el resto de sus compañeros, además de interrumpir la clase, la cual debe volver a retomarse nuevamente, así como también pierden parte de la explicación de un determinado contenido, lo que provoca un vacío en su aprendizaje, que le perjudicara más adelante. Si bien no todos los estudiantes de I° Medio A participan durante la clase, existe un porcentaje de alumnos que muestra bastante interés en los contenidos tratados, siendo ellos los que 2. N. E. E: Necesidades Educativas Especiales, referidas a todo aquel que precisa ayuda y recursos adicionales, ya sean humanos, materiales o pedagógicos para conducir su proceso de desarrollo y aprendizaje y contribuir al logro de los fines de la educación..
(8) preferentemente interactúan durante la clase, demostrando iniciativa, preocupación e interés por los contenidos tratados, se entusiasman al presentarles nuevos desafíos; pero también existe un grupo de jóvenes que se distraen con facilidad, no prestan atención durante la clase, son alumnos desmotivados que sienten que no pueden aprender, aludiendo a que las matemáticas son demasiado complejas. Esta falta de interés o poca motivación que presentan los estudiantes se debe en algunos casos al poco apoyo que reciben por parte de sus familias y esto lo expresan diciendo que no quieren seguir estudiando, entregando evaluaciones sumativas en blanco o simplemente no entregando los trabajos pedidos durante la hora de matemática. Otra situación bastante recurrente durante la clase es el uso de celulares para escuchar música, jugar o conectarse a redes sociales, lo que perjudica el proceso de enseñanza–aprendizaje, ya que es un distractor, a lo cual el docente está autorizado a retirar este medio de comunicación, el cual debe ser entregado posteriormente al apoderado.. 4. Descripción de la Unidad Didáctica La unidad didáctica en la cual se trabajó fue Álgebra y corresponde a la segunda unidad de primer año de enseñanza media cuyo objeto matemático son los Productos Notables; para esto fue necesario previamente trabajar con lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, reducción de expresiones algebraicas y multiplicación de expresiones algebraicas con el fin de contribuir con el desarrollo de habilidades como: comprender, analizar, interpretar, deducir y establecer productos notables. La implementación de la unidad didáctica se llevó a cabo en 11 sesiones centrada en el aprendizaje esperado Identificar patrones en multiplicación de expresiones algebraicas no fraccionarias (Mineduc, 2011). Cuyo objetivo de la unidad es que los estudiantes reconozcan y comprendan el mismo objeto matemático en diferentes representaciones a partir de cálculo de área de un cuadrado y de un rectángulo, sin necesidad de memorizar la representación algebraica que caracteriza a los productos notables. El desarrollo de la unidad se inició con la introducción de expresiones algebraicas que permitieron a los estudiantes desarrollar diversas actividades tanto individuales como grupales que involucraban la valorización, multiplicación y reducción de expresiones algebraicas; también permitió que los alumnos trabajaran con la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Pero para lograr la implementación de esta unidad fue necesario reforzar el cálculo de área de figuras planas como el cuadrado y rectángulo, con el fin de poder trabajar los diferentes registros en las evaluaciones formativas, para finalmente poder aplicar lo aprendido en la evaluación sumativa. A través del diseño de la unidad se logró observar el desempeño, habilidades, competencias y comprensión de los estudiantes. Este proceso siempre fue acompañado por la docente, retroalimentando constantemente a los estudiantes, donde se pudo evidenciar que gran parte de ellos pudieron relacionar que en las diferentes representaciones trabajadas existía una secuencia.
(9) que resultaba ser un cuadrado de binomio, suma por su diferencia o un binomio con término común.. 4.1. Descripción de la Implementación La implementación de la unidad comenzó con una clase expositiva en la cual se presentó el objetivo de la clase y la actividad motivacional, para luego dar a conocer qué es un término algebraico y cómo está constituido. A partir de esto los estudiantes dieron algunos ejemplos, para posteriormente clasificar las expresiones algebraicas. Finalmente se realizó una reflexión acerca de la importancia del álgebra y en que escenarios diarios se podrían aplicar. A partir de los conceptos ya instaurados, los estudiantes reconocieron qué es un término semejante a través de algunos ejemplos presentados por la docente y a partir de esto se les pidió que fueran ellos quienes dieran ejemplos de términos semejantes. Continuando con la secuencia los estudiantes comienzan a trabajar de forma individual en la reducción de términos semejantes presentados de forma algebraica y también a través del cálculo de perímetro de diferentes figuras geométricas, esta actividad fue monitoreada constantemente por la docente y fue socializada por los estudiantes en el pizarrón lo que generó una reflexión acerca de las ventajas de reducir términos semejantes. Seguido de lo anterior se les entregó a los estudiantes una hoja en la cual se presentaban algunas frases en lenguaje natural y cómo se representaban en lenguaje algebraico, ésta fue analizada y a partir de ello los alumnos comenzaron a trabajar de forma individual bajo la supervisión de la docente en algunos ejercicios donde debían representar en lenguaje algebraico un enunciado y representar en lenguaje natural una expresión algebraica, todo esto permitió que los estudiantes comprendieran la utilización y la importancia del lenguaje algebraico. Durante la unidad de álgebra también fue necesario trabajar con la multiplicación de expresiones algebraicas para lo cual se trabajó con el cálculo de área de figuras planas como el cuadrado y rectángulo, pero previo a esto se debió realizar un breve repaso del cálculo de área. Al trabajar con la multiplicación de expresiones algebraicas los estudiantes recordaron y aplicaron aquellas reglas de la potenciación y también dedujeron que no solo podían multiplicar expresiones algebraicas, sino también reducir términos semejantes cuando fuese necesario. Todo este trabajo fue necesario para poder trabajar con el objeto matemático, el cual corresponde a Productos Notables, de los cuales se trabajaron cuadrado de binomio, suma por su diferencia y binomio con término común, los cuales fueron presentados a los estudiantes, para luego comenzar a trabajar en la primera evaluación formativa, la cual se realizó en grupo de tres estudiantes. Esta consistió en que los estudiantes construyeran un cuadrado dada la medida de su lado, calcularan el área y describieran el procedimiento utilizado, luego se les pedía que a partir de dos números construyeran un cuadrado, calcularan su área y describieran el procedimiento. Los siguientes ejercicios de esta evaluación consistían en la construcción y cálculo de área de un.
(10) rectángulo a partir de dos números y la construcción y cálculo de un rectángulo a partir de tres números. Esta guía fue aplicada en dos clases (Ver anexo 1). La siguiente evaluación formativa consistía en construir un cuadrado, calcular su área y describir el procedimiento utilizado, luego debían construir un rectángulo y calcular su área pero ahora este trabajo se realizaba utilizando expresiones algebraicas y en el último ítem se les entregaba la figura y los estudiantes solo debía calcular el área (ver anexo 2). Para esta guía los estudiantes debieron utilizar registros algebraico y geométrico, esto les permitió relacionar directamente la geometría con el álgebra. La última evaluación formativa consistió en resolución de problemas, donde los estudiantes debían calcular el área de un cuadrado y de un rectángulo a partir de diferentes problemas presentados en lenguaje natural para ser representado de forma algebraica; para esto los estudiantes debieron trabajar con el registro lenguaje natural y a su vez con el registro algebraico. Todas estas evaluaciones formativas tenían como objetivo que los estudiantes identificaran, dedujeran y comprendieran que un producto notable puede ser representado de diferentes maneras sin necesidad de realizar un aprendizaje memorístico. Además, con las representaciones geométricas los estudiantes encontraban un mayor sentido a las fórmulas, pues se daban cuenta de dónde salían, e iban más allá de la memorización, llegando a la comprensión. Para finalizar esta implementación se aplicó una evaluación sumativa a través de preguntas de alternativa, pero se les pidió a los estudiantes que realizaran el desarrollo de los ejercicios en la prueba. En ella se pudo evidenciar los cambios de registros que los estudiantes utilizaron en las evaluaciones formativas, cuál registro dominaban de mejor manera, además a través de esta evaluación también se pudo observar si los estudiantes comprendieron el contenido tratado. 5. Análisis de los Resultados de Aprendizajes Antes de comenzar con en análisis de resultados es importante dejar claro que el instrumento de evaluación fue construido según lo instituido por el establecimiento educacional cuyo formato son pruebas de alternativas, por lo cual hay ciertas evidencias que solo se pueden visualizar en las evaluaciones formativas. La primera evaluación formativa consistía en la construcción de cuadrados y rectángulos, cálculo de área y descripción del procedimiento utilizado bajo la rama de la aritmética. Se les presenta la evaluación y pese a que se leyeron las instrucciones, los estudiantes no lograban comprender lo que debían hacer, esto era algo esperado, puesto que durante este año no habían trabajado con este tipo de guías, para lo cual se debió presentar un ejemplo que les aclaró el trabajo que debían realizar en dicha evaluación. No presentaron mayores dificultades en el desarrollo de la guía, salvo en dos preguntas en las cuales se debía construir un cuadrado con dos números y construir un rectángulo a partir de tres números (figura 4), esta situación se presentó en gran parte del estudiantado, para lo cual se debió interrumpir la clase y pedir la intervención de aquellos.
(11) alumnos que resolvieron de manera correcta el ejercicio. Aclarado esto, los estudiantes siguieron trabajando sin dificultades.. Figura 4: Ejemplo de preguntas en guía 1 La segunda evaluación formativa se realizó bajo el mismo formato que la primera, pero utilizando expresiones algebraicas. En esta guía se pudo observar que algunos estudiantes no comprendían que un cuadrado pudiera tener lado 𝑎𝑎 y 2, para lo cual se debió explicar que el lado del cuadrado se forma por dos segmentos uno de valor a unidades y otro de valor 2 unidades y que al sumarse conforman la medida del lado del cuadrado (𝑎𝑎 + 2). Una vez comprendido esto comenzaron a trabajar en la guía de ejercicios. En esta evaluación se puede evidenciar que los estudiantes presentaron dificultades en la construcción de un cuadrado o rectángulo, vale decir que un 44% de los estudiantes no realizó esta actividad correctamente, puesto que sus representaciones geométricas estaban distorsionadas, por lo cual no se apreciaban las características en dichas figuras (Figura5). Del 56% restante, solo un 20% logro representar geométricamente el cuadrado de binomio, binomio con término común y suma por su diferencia y un 36% de los estudiantes representaron correctamente solo el cuadrado de binomio cuando es cuadrado de una suma, no así cuando es cuadrado de una diferencia. No obstante, cuando utilizaron el registro algebraico en el cálculo de área no tuvieron dificultades.. Figura 5: Ejemplo de respuesta de los estudiantes En la tercera evaluación formativa, que consistía en resolución de problemas, se observaron mayores dificultades al realizar el cambio de registro desde lenguaje natural a lenguaje algebraico..
(12) La principal dificultad fue la extracción de la información necesaria, ya que no lograban seleccionar la información relevante para poder organizarla y posteriormente representarla como un producto notable, lo cual genero una sobredemanda hacia la profesora, no lográndose que los estudiantes trabajaran de manera autónoma. Pese a que en este trabajo no se les solicitaba representar geométricamente de todas maneras algunos alumnos realizaron esta construcción donde nuevamente queda en evidencia que el registro geométrico no se representa correctamente, pero sí resulta de gran ayuda al momento de resolver algebraicamente los problemas planteados (figura 6).. Figura 6 Ahora bien, al analizar la evaluación sumativa, pese a ser de alternativas, los estudiantes realizaron el desarrollo del ejercicio, se evidencia que un 30,5% de los estudiantes no logro establecer regularidades en la multiplicación de expresiones algebraicas que les permitieran establecer los productos notables (obteniendo una calificacion inferior a 4,0). Sin embargo, de este 30,5% de notas insuficientes, parte de ellos obtuvieron resultados satisfactorios en las evaluaciones sumativas. Algunos errores más recurrentes en estos estudiantes fueron las representaciones algebraicas al momento de extraerlas de una figura, puesto que no estaban bien formuladas; otros errores fueron que confundieron el producto notable suma por su diferencia con cuadrado de binomio, aplicaron incorrectamente la regla de los signos y en algunos casos no utilizaron de manera adecuada las propiedades de las potencias en el producto de factores literales. Esto nos permite notar que aunque la estructura de los productos notables estudiados podría haberse alcanzado, existen deficiencias anteriores que requieren ser superadas para lograr una comprension de los objetos a estudiar. Al seguir analizando al evaluación sumativa, en aquellas preguntas del tipo ¿Cuál gráfico representa mejor la expresión? Un 16% de los estudiantes resolvieron todos los graficos para encontrar la respuesta correcta, esto indica que aún no logran desarrollar ciertas habilidades cognitivas relacionadas con el paso de lo concreto a lo abstracto. El resto del estudiantado dedujo sin dificultades la respuesta correcta (figura 7). En este tipo de preguntas los estudiantes respondieron correctamente..
(13) Figura 7 Al tipo de pregunta: “La expresión algebraica que corresponde al siguiente grafico es”, el 60% de los estudiantes calcularon el área total de la figura y el 40% restante calculo el área de cada parte que comprendía al gráfico (figigura 8). Además en este tipo de preguntas los estudiantes no tuvieron dificultades para encontrar la respuesta correcta, ya que al estar presente la figura no cometieron errores en la aplicación de los signos ni en la multiplicación de binomios.. Figura 8 Al trabajar con el registro algebraico los estudiantes no presentaron mayores problemas, puesto que resolvieron de manera adecuada el ejercicio planteado; sin embargo, los errores más frecuentes que se presentaron bajo este tipo de representación ocurrieron al aplicar la multiplicación de binomios usando equivocadamente la regla de los signos y en algunos casos no aplicaron correctamente algunas propiedades de las potencias. Estos dos últimos errores no.
(14) estaban consierados al momento de realizar esta evaluación, puesto que no se presentaron durante las evaluaciones formativas. De acuerdo a los resultados obtenidos en la prueba, se pudo observar que cerca del 70% de los estudiantes logro darse cuenta por sí mismos que un cuadrado de binomio (𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏)2 es lo mismo que (𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) y que 𝑎𝑎 2 ± 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 . Así como también cuando trabajaron con suma por su diferencia los alumnos relacionaron que 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 es lo mismo que el producto entre (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏), además en el binomio con término común los alumnos utilizaron correctamente el algoritmo para este tipo de producto notable. A partir de todo el trabajo realizado en las evaluaciones formativas se pudo evidenciar que en la prueba los estudiantes presentaron un adecuado manejo en el uso de la propiedad distributiva, además gran parte de ellos aplicaron de manera adecuada el algoritmo en la resolución de productos notables, así como también lograron identificar los productos notables, aunque aún existen estudiantes que confunden un cuadrado de binomio con una suma por su diferencia. Cabe destacar que solo seis estudiantes de este grupo curso obtuvieron nota insuficiente situación positiva en comparación con las evaluaciones anteriores donde un porcentaje no menor de estudiantes, alrededor de doce de ellos obtenían nota por debajo del 4.0.. 6. Análisis Reflexivo de la Enseñanza Tal como lo plantea el Marco para la Buena Enseñanza es importante tomar en cuenta en este análisis reflexivo acerca de la implementación de la unidad didáctica al grupo curso y el contexto en el cual se diseñan las actividades de enseñanza, es por ello que el trabajo realizado tomó en consideración el contexto socio cultural, habilidades, competencias y trabajo en grupo para la implementación de la unidad didáctica. Al momento de implementar la unidad de álgebra la docente se basó en los planes y programas del Ministerio de Educación para la planificación de las clases tomando en consideración los aprendizajes esperados para poder desarrollar secuencialmente la unidad de aprendizaje con actividades acorde al grupo curso. Donde los instrumentos de evaluación fueron visados y validados tanto por el profesor de didáctica, así como también por la Unidad Técnico Pedagógica del establecimiento educacional que también es docente de matemática. Durante este proceso la docente trabajó los contenidos tomando en consideración lo aprendido por los estudiantes en años anteriores, con el fin de lograr un aprendizaje significativo en los educandos al asimilar un conocimiento previo con un nuevo conocimiento. Otro aspecto a considerar durante la implementación fue el desarrollo de las clases en base a preguntas específicas y dirigidas que favorecían la participación de los estudiantes y a la vez una interacción entre pares y entre docente–estudiante. Este proceso de implementación fue medido a través de evaluaciones formativas, me refiero con esto al desarrollo de guías, las cuales se llevaron a cabo a través de trabajos en grupos de tres.
(15) estudiantes, puesto que es importante que los jóvenes puedan interactuar con sus pares para así poder conjeturar, buscar diversas estrategias, intercambiar opiniones que favorezca la autonomía en ellos. Esta interacción entre pares durante el desarrollo de las guías siempre fue acompañada por la docente. Durante la aplicación de las guías se pudo observar que los estudiantes comprendieron que los productos notables no solo pueden ser resueltos aplicando las fórmulas que los caracterizan utilizando solo el registro algebraico, sino también, pueden obtener aquellas unidades significantes a partir de otro tipo de representaciones como lo son el registro geométrico y el registro lenguaje natural. Una parte de estas guías consistía en la construcción de cuadrados y rectángulos, para lo cual los estudiantes debían trabajar con el registro geométrico. En esta etapa los educandos tuvieron en cuenta las unidades significantes, pero no siempre las representan de manera correcta, lo cual se pudo evidenciar en la figura 6 expuesta anteriormente, en la cual los estudiantes tienen claro el concepto de cuadrado y rectángulo, pero los segmentos no se trazan de manera correcta, generándose una distorsión en la figura geométrica, no lográndose en este caso una buena representación geométrica aunque sí permite realizar una buena deducción algebraica. Un alto porcentaje de los estudiantes son capaces de transitar de manera simultánea entre registros, vale decir, hacer un cambio de registro de manera espontánea, puesto que reconocen el mismo objeto matemático a través de las diferentes representaciones utilizadas, esto nos habla de que existe una congruencia entre representaciones. Bajo este alero se puedo evidenciar a través de las guías y la prueba que el registro geométrico prima en ellos, pese a que no siempre la construyen de forma adecuada, lo utilizan para apoyarse en las representaciones algebraicas y lenguaje natural. Durante el proceso de conversión desde el registro geométrico al registro algebraico los estudiantes demostraron un mayor dominio, puesto que no presentaron dificultades en el desarrollo del ejercicio, utilizando adecuadamente la propiedad distributiva en la multiplicación de expresiones algebraicas y reducción de ellas. Sin embargo, en la guía de resolución de problemas, los estudiantes presentaron mayores dificultades para realizar el cambio de registro, puesto que presentaron problemas para interpretar, comprender y extraer la información necesaria que les permitía cambiar de registro lenguaje natural a lenguaje algebraico, sin embargo tenían claro que el resultado era un producto notable que se obtenía a través de la multiplicación de expresiones algebraicas. Esta dificultad presentada en la guía de resolución de problemas tuvo como consecuencia que los estudiantes sintieran una mayor inseguridad en sus conocimientos preguntando constantemente a la docente, lo cual me lleva a concluir que aún hace falta fortalecer autonomía y la confianza en los estudiantes. Otro aspecto que no se logró en la primera guía fue el tiempo estimado para resolverla. Si bien la unidad fue diseñada tomando en cuenta los ritmos de trabajo de los estudiantes, solo cuatro de ellos lograron terminarla durante la clase, el resto de ellos debió concluir esta evaluación al inicio de la clase siguiente trayendo como consecuencia que no se cerrara adecuadamente el proceso..
(16) Tomando en cuenta lo planteado en el Marco para la Buena Enseñanza es indispensable crear un ambiente propicio para el aprendizaje, en ciertas situaciones no fue logrado, en el sentido que al haber trabajado grupo de tres estudiantes se generó mucha conversación entre ellos así como también hubo estudiantes que no acompañaron del todo a su grupo, generándose distracciones y ruidos molestos que en definitiva perjudicaron el trabajo de los demás. Durante todo este proceso se pudo lograr una mayor participación del estudiantado, presentando un mayor interés en su proceso de enseñanza y aprendizaje, lográndose la participación de aquellos estudiantes que por lo general no prefieren trabajar ni participar durante la clase. Sin embargo no se logró la participación de todo el grupo curso. Todo el trabajo previo utilizando los diferentes registros de representación conllevó a que en la evaluación final los estudiantes realizaran la prueba en un tiempo menor al que generalmente les tomaba realizar una evaluación sumativa; además aquellos estudiantes que por lo general no desarrollaban la prueba, ahora la contestaron toda y obtuvieron notas entre el 4.0 y el 5,5. Otro indicador de logros es que los estudiantes logran multiplicar expresiones algebraicas y reducir el resultado, además de reconocer un patrón en estas multiplicaciones que les permitía obtener el producto notable buscado.. 7. Propuesta de Mejora La reflexión pedagógica es fundamental a la hora de mirar la práctica docente, puesto que a través de ella el/la docente tendrán una mirada crítica acerca de su quehacer pedagógico que permitirá reformular, corregir y mejorar aquellos aspectos que aún no se han logrado o que no fueron alcanzados en su totalidad. Esta reflexión ha permitido tener una visión de aquellos aspectos no logrados durante la implementación de la unidad didáctica, para lo cual se han tomado diversas estrategias que apuntan a mejorar el diseño de la unidad. Dentro de aquellos aspectos no logrados en la implementación se encuentra que el trabajo realizado en grupos de tres estudiantes definitivamente no dio el resultado esperado, puesto que se generaron dificultades en el ambiente de trabajo, al ser un curso numeroso, con alumnos inquietos y conversadores se distraen con facilidad; para esto es necesario redistribuir de mejor manera a los estudiantes en la sala de clases, así como también será necesario que los estudiantes trabajen en parejas con el fin de que se potencien mutuamente y ambos asuman la responsabilidad que implica el trabajo en clases y la importancia que tiene cada integrante para poder desarrollar dicho trabajo. Se espera que todo esto favorezca el manejo de los tiempos así como también que beneficie el que más adelante puedan trabajar en grupos más amplios donde asuman un compromiso con su enseñanza y aprendizaje. Otro aspecto a mejorar es la intervención de aquellos estudiantes que no participan durante la clase para lo cual será necesario fomentar la motivación en ellos, captar su atención con.
(17) actividades que se relacionen con sus intereses, sin perder el objetivo de la clase. Para este tipo de estudiantes que no sienten un interés por ser parte de la clase se le asignarán tareas específicas que permitan que el estudiante se involucre en este proceso, reforzando positivamente aquellos aspectos logrados durante la clase e instándolo a seguir esforzándose haciéndole ver sus habilidades y competencias. Para complementar lo mencionado en los párrafos anteriores será de importancia trabajar con autoevaluaciones y coevaluaciones cuyo fin será que los estudiantes vean sus fortalezas y debilidades, comprendan, tomen conciencia y participen activamente de su propio aprendizaje. También será necesario que los estudiantes lleguen a realizar una buena representación geométrica, para lo cual será necesario reforzar las características de cada figura geométrica tratada, la cual será apoyada mediante programas como geogebra o cabri, así como también reforzar la construcción manual de dichas figuras utilizando regla y hojas de papel milimetrado. Para mejorar esta implementación en el ámbito de resolución de problemas, en primer lugar se propondrá un trabajo de forma transversal con la docente de lenguaje con el fin de mejorar la interpretación del lenguaje natural, así como también trabajar la comprensión lectora que favorecerá un análisis adecuado de la información. A esto también se le sumará un trabajo donde los estudiantes solo deban traducir del lenguaje natural al lenguaje geométrico, para después pasar al algebraico, pues se pudo evidenciar que este último paso es más natural para los estudiantes; posteriormente se podrá trabajar con el enunciado de un problema donde deberán identificar datos y para qué sirven a través de preguntas dirigidas por la docente, para luego trabajar en parejas.. Conclusiones El aprendizaje de las matemáticas siempre genera dificultad en los estudiantes ya que al no comprender lo que están aprendiendo genera en ellos una pérdida de sentido, desinterés y desmotivación, siendo fundamental la labor del docente para revertir esta situación. El aprendizaje de las matemáticas conlleva el desarrollo de habilidades cognitivas que necesitan utilizar diferentes formas de representación, por tanto para que un objeto matemático pueda ser comprendido por los estudiantes es necesario que lo puedan reconocer a través de diferentes representaciones. Es por ello que esta implementación se basó en la teoría de registro de representaciones semióticas donde el trabajo realizado en la ejecución de la unidad didáctica arrojó buenos resultados en comparación con evaluaciones anteriores; esto se puede observar en el siguiente gráfico..
(18) Al comparar los promedios generales del curso en las diferentes pruebas aplicadas en el segundo semestre, queda de manifiesto que en las cuatro primeras evaluaciones los estudiantes obtuvieron promedios desde 4,2 a 4,6, pero en la quinta evaluación el promedio general del curso fue de 5,5 evidenciándose una mejora en los resultados al utilizar la teoría de registro de representaciones semióticas. Ahora bien, de este grupo curso hubo cinco estudiantes que en las cuatro primeras evaluaciones no obtuvieron notas sobre 4.0, situación que se revirtió en la última prueba, puesto que lograron obtener notas entre 4,5 y 5,5 esta mejora en el rendimiento se debió a que comprendieron los productos notables utilizando los diferentes registros de representación. También se puede concluir que los estudiantes, al trabajar apoyados en la teoría de representaciones semióticas, lograron comprender que un objeto matemático puede tener diferentes formas de representación; además lograron comprender que los productos notables son multiplicaciones abreviadas de expresiones algebraicas. Todos estos logros fueron obtenidos mediante el uso de la teoría de Registros de Representaciones Semióticas, puesto que se logró en un gran porcentaje del grupo curso una coordinación entre el registro geométrico, algebraico y lenguaje natural, evidenciándose tanto en las guías de trabajo como en la prueba que los estudiantes tenían un mayor dominio del contenido, lo cual generó que un mayor interés por parte de los estudiantes en los trabajos realizados y en la prueba. Sin lugar a dudas la utilización de estos tres registros aplicados a los productos notables fue de gran ayuda para los estudiantes, pero el que más utilizaron y el más favorable para ellos fue el registro geométrico, ya que ellos lo aplicaban bastante para apoyar los otros dos registros: algebraico y lenguaje natural. Por ende es necesario potenciar el registro geométrico ya que al utilizarlo los estudiantes no presentaron errores en el uso de la regla de los signos, aplicaron correctamente el algoritmo llegando finalmente al resultado esperado; esta situación no se presentó en los otros dos registros, donde los estudiantes sí presentaron errores en la aplicación de los signos..
(19) Este dominio del contenido en los estudiantes también se vio reflejado al momento de realizar la prueba, puesto que tardaron menos tiempo de lo habitual en desarrollarla, fue contestada en su totalidad por un 92% de los estudiantes, situación que en evaluaciones anteriores no se observaba, puesto que entregaban las pruebas en blanco o contestaban una parte de la prueba. El obtener esta mejora en los resultados apoyándonos en la aplicación de la teoría de registro de representaciones semióticas, indica que es necesario aplicarla de manera continua en la enseñanza de las matemáticas ya que favorece el aprendizaje en los estudiantes. Por tanto es de vital importancia utilizar diferentes estrategias didácticas que favorezcan una coordinación entre registro para que los estudiantes puedan realizar la conversión de las representaciones, pues si esto no ocurre los estudiantes no lograran ver el mismo objeto matemático en las distintas formas de representación, lo que generará confusión en ellos y por ende no se logrará un aprendizaje significativo. Durante esta implementación queda de manifiesto las dificultades que presentan los estudiantes a la hora de resolver un problema, dificultades que se generaron principalmente por una falta de dominio del lenguaje algebraico. Para revertir esta situación se debe hacer un trabajo con los estudiantes de modo que adquieran la capacidad de comprender, analizar y razonar el planteamiento de un problema que permita finalmente traducir la lengua natural a un lenguaje algebraico. Es labor del docente realizar un diagnóstico tanto institucional como de grupo curso, que permitirá tener claridad tanto de los conocimientos como de las características de los estudiantes con el fin de diseñar la unidad didáctica con variadas estrategias de enseñanza con actividades y recursos pedagógicos, además de un ambiente adecuado que favorezca el aprendizaje significativo de los educandos. Lo mencionado anteriormente está estrechamente relacionado con las competencias pedagógicas que debe poseer un docente, vale decir un dominio disciplinar, así como también del marco curricular nacional, pero estas competencias pedagógicas deben ser complementadas con un análisis y una reflexión acerca de su actuar pedagógico que finalmente le permitirán mejorar las acciones docentes en el aula.. Bibliografía Boyer, C. (2010). Historia de la matemática. Alianza editorial. Madrid, España. Coronel, R. (2013). Propuesta para mejorar la comprensión del lenguaje matemático de funciones lineales mediante elmanejo de terminología especializada con perspectiva semántica. Universidad de Cuenca.Cuenca, Ecuador. Del Valle, J., Muñoz, G., Santis, M. (2014). Matemática 1° medio. SM. Santiago, Chile..
(20) Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Universidad del Valle, Grupo de Educación Matemática. Cali, Colombia. Gordillo, A. & Restrepo, J. Comprensión lectora y concepciones de estudiantes universitarios sobre enunciados matemáticos. Revista del instituto de estudios en educación, Universidad del Norte, núm. 17 (jul-ago), 2012, Pp.2-23. Guarín, M. & Ríos, G. Representaciones mentales sobre los problemas matemáticos en niños de 4° grado de básica primaria. Centro de estudios avanzados en niñez y juventud alianza de la Universidad de Manizales y el CINDE. Manizales, Colombia. Ministerio de Educación (2008). Marco para la Buena Enseñanza. Santiago, Chile. Ministerio de Educación. (2002). Proyecto Fier. Mi diario de álgebra. Arica, Chile. Ministerio de Educación (2011). Matemática. Programa de estudio primer año medio. Santiago, Chile. Muñoz, V.&Santis, M. (2014). Guía didáctica del docente. Matemática 1° medio. SM. Santiago, Chile. Osorio, L. (2013). Representaciones semióticas en el aprendizaje del teorema de Pitágoras. Maestría en enseñanza de las ciencias. Universidad Autónoma de Manizales. Manizales, Colombia. Ospina, D. (2012). Representaciones semióticas en el aprendizaje del concepto función lineal. Maestría en enseñanza de las ciencias. Universidad Autónoma de Manizales. Manizales, Colombia. Proyecto Educativo Institucional. (2013). Colegio Maipo. Santiago, Chile Tamayo, O. Representaciones semióticas y evolución conceptual en la enseñanza de las ciencias y las matemáticas. Revista Educación y Pedagogía, Medellín, Universidad de Antioquia, Facultad de Educación, Vol. XVIII, núm. 45 (may-ago), 2006, Pp. 37-49. Sánchez, J. (2014). Los registros semióticos en matemática como elemento de personalización en el aprendizaje. Revista de investigación educativa conectad@2. La Rioja, Argentina. Sessa, C. (2005). Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Libros del Zorzal. BuenosAires, Argentina. Recursos en línea Semiosis y pensamiento humano recuperado de http://sintesis.univalle.edu.co/saladelectura/semiosis.html.
(21) Anexo 1 Guía de trabajo Matemática Nombre: ……………………………………………………… Curso:1°. Fecha: ………..….. INSTRUCCIONES: Desarrolla los siguientes ejercicios en tu cuaderno. No utilices calculadora ni otro tipo de herramienta tecnológica. 1.- Construya un cuadrado cuya medida de sus lados sea: a) 2. b) 5. c) 2500. d) “a”. 2.- A partir del ejercicio anterior describa el procedimiento a utilizar para resolver los ejercicios y calcula el área de cada uno de los cuadrados que construiste. 3.- Construya un cuadrado con los números: a) 2 y 3. Utilizando solo estos númerosindica el procedimiento y calcula el área del cuadrado b) 7 y 6. Utilizando solo estos númerosindica el procedimiento y calcula el área del cuadrado c) 50 y 10. Utilizando solo estos númerosindica el procedimiento y calcula el área del cuadrado d) “a” y “b”. Utilizando solo estos númerosindica el procedimiento y calcula el área del cuadrado 4.- Construya un rectángulo a partir de los números: a) 2 y 5. b) 4 y 3. c) 12 y 16. d) p y q. 5.- A partir del ejercicio anterior calcula el área de cada uno de los rectángulos que construiste. 6.- Construya un rectángulo a partir de los números: a) 4, 2 y 3. Utilizando solo estos númeroscalcula el área total del rectángulo b) 8, 6 y 2. Utilizando solo estos númeroscalcula el área total del rectángulo c) 5, 7 y 13. Utilizando solo estos númeroscalcula el área total del rectángulo d) e, f y g. Utilizando solo estos númeroscalcula el área total del rectángulo.
(22) Anexo 2 Guía de Productos Notables Nombre: ……………………………………………………… Curso: 1°. Fecha: ………..….. INSTRUCCIONES: Desarrolla los siguientes ejercicios en tu cuaderno. No utilices calculadora ni otro tipo de herramienta tecnológica. 1.- Construya un cuadrado con los términos: a) a y 2. b) 2c y -3. 𝟐𝟐. c) a y 2b. d) 𝟑𝟑 h y 4i. 2.- A partir del ejercicio anterior describe el procedimiento a utilizar para resolver los ejercicios y calcula el área de cada uno de los cuadrados que construiste. 3.- Construya un rectángulo cuya medida de sus lados sea: a) (a+2) y (a – 2) b) (x – 3y) y (x + 3y) c) (2x – 4y) y (2x + 4y) 1 d) (2a + 2b) y (0.5a – 2b). 4.- A partir del ejercicio anterior calcula el área de cada uno de los rectángulos que construiste. 5.- Construya un rectángulo y luego Calcula su área a partir de las siguientes medidas: a) b) c) d). Ancho: a y 2; Largo: a y 4 4 4 Ancho: 5a y 4; Largo: 5a y 5 Ancho: b y 2; Largo: b y -3 Ancho: 13k y -5a Largo: 13k y 2b. 6.- Calcula el área total de cada figura a). x. b). Cuadrado. c). Rectángulo. Rectángulo.
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