EJERCICIOS 1. Calcula el determinante de las siguientes matrices:
1
2
1
0
4
1
-3
0
1
=
A
2
0
1
1
3
6
4
1
0
=
B
2
2
1
1
6
4
2
2
1
1
0
=
C
3
1
2
1
4
3
0
1
-1
=
D
2. Expresa como determinante de orden 2 la igualdad sen2x+cos2x=1.
3. Comprueba la igualdad:
=
(
x
-
y
)
1
1
1
y
2
y
+
x
x
2
y
y
x
x
3 2 2
4. Utilizando las propiedades resuelve:
a)
3
0
1
2
4
0
1
6
3
0
1
2
4
7
5
1
. b)
0
1
0
0
4
-6
2
-1
6
-0
3
-0
2
4
1
3
c)
2
-3
-1
-2
5
4
1
2
3
0
1
6
3
1
0
4
. d)
6
5
1
-3
5
6
4
1
2
11
3
4
2
1
1
-1
5. ¿Qué diferencia existen entre el producto de un escalar por una matriz y el producto de un escalar por un determinante?
6. Siendo:
3
2
0
5
4
0
3
2
1
=
A
y
1
0
8
3
4
7
0
0
1
=
B
, calcula de la forma más rápida posible │AB│.7. Sabiendo que
=
1
1
1
1
3
0
5
z
y
x
. Calcula sin desarrollar el valor de los determinantes:
8. Prueba sin desarrollar que:
=
0
b
a+
c
1
a
c+
b
1
c
b+
a
1
,
x
z+
z
y+
y
x+
p
r+
r
q+
q
p+
a
c+
c
b+
b
a+
=2
z
y
x
r
q
p
c
b
a
.
9. Una matriz cuadrada A verifica que A2=A. Demuestra que entonces │A│=0 ó │A│=1. Razona la respuesta indicando qué propiedad se aplica.
10. Si
1
0
1
-1
3
2
-1
1
-2
0
1
0
1
-7
4
1
=
A
, obtén: α11, α32, α24, A11, A22, A23 y A44. (α es un menor)11. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
3
2
1
1
3
2
1
1
-2
1
1
-2
0
3
4
1
=
A
2
-1
1
2
1
0
1
3
2
1
0
1
1
-0
1
2
=
B
4
3
2
1
1
-1
-2
2
1
0
1
0
0
1
0
1
=
C
1
2
1
1
0
1
-3
4
1
0
1
2
1
-1
1
-1
=
D
12. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
2
-1
1
0
0
1
-1
-1
1
1
1
1
a
0
0
a
=
A
35
15
5
1
20
10
4
1
10
6
3
1
4
3
2
1
=
B
1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
1
1
=
C
13. Resuelve los siguientes determinantes:
14. Resuelve los siguientes determinantes: a)
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
1
1
1
1
1
4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 b)
625
256
81
16
1
125
64
27
8
1
25
16
9
4
1
5
4
3
2
1
1
1
1
1
1
c)
625
256
81
16
1
125
64
27
8
1
-25
16
9
4
1
5
4
3
2
1
-1
1
1
1
1
.
15. Si
d
c
b
a
=
A
y
y
d
c
x
b
a
=
B
, ¿cuánto vale r(B)-r(A)?16. Calcula el rango de las siguientes matrices:
2
-0
8
-2
1
0
4
1
-3
2
1
0
=
A
,
0
1
7
2
-5
4
4
0
1
-3
0
1
=
B
,
8
4
1
2
1
2
2
3
1
0
12
8
7
4
1
2
2
-8
-1
-1
=
C
17. ¿Qué condición deben cumplir los términos a, b, c y d para que el rango de la matriz
d
z
t
r
0
c
x
y
0
0
b
x
0
0
0
a
sea 3?
18. Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores de t:
1
4
-3
2
-2
-8
6
-4
0
t
0
t
=
A
,
1
t
2
0
t
1
0
1
3
4
=
B
19. Calcula el rango de la siguiente matriz:
2
5
-1
4
4
1
-1
3
2
4
0
1
-6
3
1
2
.
20. Calcula el rango de la matriz
1
6
-10
1
5
t
1
-2
2
1
-t
1
21. Calcula el rango de la matriz:
50
4
-19
-5
10
-2
5
-2
1
1
-0
1
1
0
10
1
2
-1
=
A
.22. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
6
1
9
0
1
-5
3
1
2
=
A
,
0
3
2
0
1
0
1
1
-1
=
B
,
1
1
1
0
1
2
0
1
0
=
C
.23. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices:
2
1
0
0
1
1
-3
0
1
=
A
,
3
1
2
1
2
-1
2
0
4
0
1
=
B
,
cos
sen
sen
-cos
=
C
.
24. Dada la matriz
2
0
0
t
0
1
0
t
2
1
=
A
, averigua para qué valores de t no tiene inversa. Obtén A-1 para t=2 ypara t=
2
1
, si ello fuera posible.
25. Dos matrices A y B son inversas. Si │A│=3, ¿cuánto vale │B│? Razona la respuesta.
26. Sea A una matriz cuadrada de orden n, At su traspuesta y A-1 su inversa. ¿Qué relaciones tienen los determinantes │A│, │At│ y │A-1│. ¿Por qué?
27. Escribe la matriz inversa de
3
2
-1
-2
=
28. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
=
A
,
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
=
B
,
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
=
C
,
3
-1
1
1
1
3
-1
1
1
1
3
-1
1
1
1
3
=
D
.29. Calcula el determinante de cada una de las siguientes matrices:
t
z
y
x
z
z
y
x
y
y
y
x
x
x
x
x
=
A
,
d
0
c
0
0
d
0
c
b
0
a
0
0
b
0
a
=
B
,
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
1
1
1
1
a
+
1
=
C
.30. Comprueba sin desarrollar que es nulo el determinante de cada una de las siguientes matrices:
4
2
1
13
5
4
11
7
2
=
A
,
b
a+
a
c+
c
b+
c
b
a
1
1
1
=
B
,
3
5
1
4
4
3
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
=
C
,
9
8
7
6
5
4
3
2
1
=
D
.31. Demuestra sin desarrollar que:
0
=
6
0
2
0
1
3
9
1
6
.
32. Demuestra sin desarrollar que:
33. Resuelve la ecuación
=
0
x
1
1
1
x
1
1
1
1
2
sin desarrollar el determinante.
34. Se considera la matriz
5
3
2
1
=
A
. Calcula: (AtA-1)2A.35. Dadas las matrices
3
2
2
-1
0
1
=
A
y
2
1
-0
0
1
2
=
B
obtén si procede: (BA)-1.36. Todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n se multiplican por -1. ¿Cómo queda afectado el valor de su determinante?
37. a) Resuelve la ecuación:
=
0
c
0
0
x
0
b
0
x
0
a
a
x
1
1
1
1
.
b) Calcula el determinante:
a
ab
ab
b
ab
a
b
ab
ab
b
a
ab
b
ab
ab
a
2 2
2 2
2 2
2 2
, utilizando las propiedades.
38. Explica razonadamente cómo calcular el siguiente determinante sin necesidad de hacer largos cálculos:
49
36
25
16
36
25
16
9
25
16
9
4
16
9
4
1
39. No siempre el método que se deduce de la definición es el mejor para calcular un determinante. Explica cómo
calcular
64
8
-27
8
16
4
9
4
4
2
-3
2
1
1
1
1
40. Sabiendo que:
=
7
c
b
a
c
b
a
c
b
a
. Calcula:c
+
c
2
b
+
b
2
b
2
+
b
+
a
2
+
a
c
-c
b
-b
b
-b
+
a
-a
c
b
b
+
a
.41. Calcula los valores de t para los que el determinante
1
0
3
-1
2
t
-0
t
2
toma valores positivos. Calcula el
máximo valor que alcanza.
42. Dado el valor del primer determinante calcular, razonadamente, el valor del segundo:
25
=
w
v
u
r
q
p
c
b
a
w
2
v
2
u
2
r
2
q
2
p
2
c
2
b
2
a
2
43. Siendo
=
D
i
h
g
f
e
d
c
b
a
, calcula razonadamente el valor de:
g
i
h
d
f
e
a
c
b
,
i
-h
-g
-c
-b
-a
-f
-e
-d
.
44. Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n vale D, ¿cuál es el valor del determinante de la matriz que se obtiene multiplicando por 5 todos los elementos de la anterior? Razónalo.
45. Calcula el valor del determinante:
)
300
log
(
)
30
log
(
)
3
log
(
300
log
30
log
3
log
1
1
1
2 2
2
.
46. Obtén simplificado el desarrollo del determinante:
c
b
a
3
c
b
-c
b
b
a
-b
2
c
b
-a
b
a
-c
b
a
2 2 2
2 2
2
.
47. Dada la matriz
m
-1
4
3
m
0
1
-0
1
=
48. Calcula
1
0
1
1
n
. ¿Qué método puedes utilizar para establecer rigurosamente el resultado? ¿Es necesario
efectuar la potencia para conocer el valor de su determinante? Si no es así, explica en que propiedad te basas.
49. Calcula el determinante:
a
b
-c
d
b
a
d
-c
c
-d
a
b
d
-c
-b
-a
. Sugerencia. Realiza previamente el producto AAt.
50. Calcula el rango de las siguientes matrices:
4
-2
-0
8
-2
2
1
0
4
1
-4
3
2
1
0
=
A
,
1
-1
4
0
1
7
2
-5
4
4
0
1
-3
0
1
=
B
,
3
3
0
1
4
2
5
-7
0
2
-1
2
-3
0
1
-1
0
1
0
4
0
1
-1
1
-1
=
C
,
0
1
0
4
1
3
-7
9
5
8
5
1
0
2
1
4
3
1
1
2
0
1
0
0
6
5
4
3
2
1
=
D
.51. Dada la matriz
2
0
0
t
0
1
0
t
2
1
=
A
, averigua para qué valores de t no tiene inversa. Obtén A-1 para t=2 ypara t=½, si ello fuera posible.
52. Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores de m.
1
0
4
2
1
+
m
0
1
-3
m
=
A
,
3
-2
1
1
0
1
2
-3
4
m
2
3
=
B
.53. Halla el valor de x e y para que la matriz
2
3
x
1
y
1
0
1
4
1
1
2
=
54.- Averigua para qué valores de x existe la inversa de A y calcúlala cuando x= 3:
55.- Sabiendo que , averigua sin desarrollar el valor de
56.- Determina los valores de t para los que es incompatible el sistema:
57.- Resuelve por CRAMER previo paso por la discusión de los rangos:
58.- Calcula la inversa por determinantes de:
SOLUCIONES
1. │A│=-14, │B│=-23, │C│=
2
1
, │D│=18
2.
cos
cos
senx
x
x
senx
=1.
3. x3 - 3·x2 ·y + 3·x·y2 - y3 = (x-y)3
4. a) 2ª y 4ª filas iguales , det=0. b) 2ª y 4ª columnas proporcionales , det=0 c) 3ªF=1ªF-4ªF , det=0. d) 21ªC+2ªC=3ªC det=0
5. El escalar multiplica todos los términos de la matriz y solo una fila del determinante
6. │A││B│=24=8.
7. 3 , 1 , 1
8. A la 3ª columna le sumamos la 2ª, se obtienen dos columnas proporcionales; suma de dos determinantes con permuta de la primera columna.
9. │A2│=│A││A│ │A││A│-│A│=0 │A│(│A│-1)=0 │A│=0 ó │A│=1.
10. α11 = 2; α32 = 14; α24 = -10; A11 = 2; A22 = 24; A23 = -20 y A44 = 5
11. │A│= -22. │B│= -1. │C│=0. │D│=21.
12. │A│=0. │B│=1 restando de cada fila la anterior. │C│=-16.
13. a) (b-a)(c-a)(c-b). b) 2. c) 30. d) 240.
14. a) enorme . b) 288. c) 4.320.
15. 0 ó 1
16. r(A)=2. r(B)=3. r(C)=2.
17. Alguno de ellos debe ser nulo.
18. Si t=0 rg(A)=1, si no rg(A)=2. Si t=
2 1
, rg(B)= 2, si no rg(B)=3
19. 2
21. 2
22. A-1 no existe. , . .
23.
5
/
1
5
/
1
5
/
1
5
/
3
5
/
2
5
/
2
5
/
3
5
/
3
5
/
2
=
A
1 ,
95
/
12
95
/
3
95
/
24
95
/
6
95
/
46
95
/
12
95
/
48
95
/
12
95
/
1
=
B
1 ,
cos
sen
sen
cos
=
C
1
.
24. │A│=-4t. A no tiene inversa para t=0.
2
/
1
0
0
4
/
1
1
1
4
/
1
1
0
=
A
125. │B│=1/3.
26. │A│=│At│=
A
1
1 - .
27.
2
1
2
1
4
1
4
3
=
A
-128. │A│=-3. │B│=-3. │C│=8. │D│=0.
29. │A│=x(x-y)(y-z)(z-t). │B│=a2d2-2abcd+b2c2. │C│=a4+4a3.
30. │A│=0, 3ªcol.=21ªcol.+2ªcol. │B│=0 . │C│= 0 . En el │D│=0, restando la 1ª fila a las otras dos..
31. 1ªC=32ªC+
3
1
3ªC.
32. 1ªF+3ªF=2ªF.
33. x=1, x=1, x=-1.
34.
10
3
7
2
2
/
1
2
/
5
1
0
1
0
2
/
1
2
/
3
0
=
B
1
2
/
1
2
/
1
0
0
1
0
2
/
1
2
/
1
=
35.
10
1
10
1
-15
1
15
4
36. Si n es par, no varía, si no cambia de signo.
37. a)
a
+
c
c
a
=
x
. b) (a2-b2)4. También: 1) Sumando a la primera columna las otras tres. 2) Sacando factor común. 3) Restando a cada fila la primera.
38. 0. Restando de cada fila la anterior y repitiéndolo para las dos últimas obtenidas, se obtienen dos filas iguales.
39. 240
40. 0 - 27 = -14.
41. t<-1 ó t>4. Tiende a si t .
42. 200
43. D, D
44. 5D
45. 2
46. 2a2b4c2.
47. Para m1 y m3.
2
1
-8
-3
-2
12
2
1
-7
=
A
-1 .48. Inducción. No. │AB│=│A││B│, en este caso
1
0
1
1
n
= 1n = 1
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50. r(A)=2. r(B)=3. r(C)=3. r(D)=3.
51. Está repe.
52. r(A)=3. r(B)=2 si m=1, r(B)=3 si m1.
53. x= -2, y=2
54.- No existe para 5
4
/
3
4
/
5
4
/
3
2
/
5
2
/
9
2
/
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
1
A
55.- - 2
56.- Para 0 y -1/3
57.- Resuelve por CRAMER previo paso por la discusión de los rangos:
a) r=3 x= 2, y= 2, z=0 b) r=2, r’=3, no sol. c) r=2, r’=3, no sol.
a) r=2 x= 2, y= 1 b) r=2, x= (a+4)/3, y= -a-2, z=a c) r=2, r’=3, no sol.
a) r=3 x= -1, y= 3, z=1 b) r=3, r’=4, no sol.
a) r=2 x= 2, y= 1/2 b) r=2, x= 3-2a, y= -1+2a, z=a c) r=2, r’=3, no sol.
a) r=3 x= -1, y= 4, z= 1 b) r=2, x= (11-2a)/7, y= (3a-13)/7, z=a c) r=3, x= 17/3, y= 1/3, z=0.
58.- Calcula la inversa por determinantes de:
2
/
1
2
/
3
2
/
1
1
0
0
1
1
0
3
2
2
2
2
1
1
1
1
2
3
2
6
10
5
1
2
1
)
7
(
1
1
2
1
3
1
1
3
3
2
2
6
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
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EJERCICIOS
1.
Dado el sistema de ecuaciones lineales2x–3y+4z = 1
4x+3y+3z = 3
Se pide:a) Añádele una ecuación para que el sistema sea incompatible.
b) Añádele una ecuación para que el sistema sea compatible indeterminado. c) Añádele una ecuación para que el sistema sea compatible determinado.
2. Halla un número de tres cifras sabiendo que éstas suman 18. Además, la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos y, por último, si a este número le restamos el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el resultado es 99.
3. Una compañía aeronáutica dispone de 10 aviones destinados a vuelos charter para directivos de grandes empresas y equipos deportivos. Dispone de tres tipos de aviones: el modelo A es un reactor con capacidad para 30 pasajeros y cuya tripulación está formada por 3 pilotos; el modelo B es un turbohélice bimotor con capacidad para 20 pasajeros y su tripulación la forman 2 pilotos; el modelo C es una pequeña avioneta-taxi con capacidad para 4 pasajeros y un piloto. Ayer, por la mañana, despegaron todos los aviones completos. En ellos iban 140 pasajeros y 17 pilotos. ¿Cuántos aviones de cada modelo tiene la compañía?
4. La suma de las edades de tres hermanos es de 32 años. La edad del mayor es igual a la
suma de las edades de sus hermanos menores. Dentro de 8 años, el mayor doblará la edad del menor. Calcula la edad actual de cada uno de los hermanos.
5. Resuelve e interpreta geométricamente:
x+ 2y– 3z = 0 2x+3y–6z = 4 2x–3y–4z = 3 4x+3y–5z = 4
3x–2y+ z = 0 5x–4y+2z = 3 3x+y –9z = –9 2x–4y+2z = 3
2x–4y+4z = 0 –3x+7y–8z = 6 3x–4y–4z = 1 –2x–7y+7z = –1
–x+6y–7z = 0
6. Discute e interpreta geométricamente:
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SOLUCIONES
1.
a) 4x–15y+13z = 2 b) 4x–15y+13z = 1 c) x+y+z = 0
2. 594
3. modelo A = 2, modelo B = 3, modelo C = 5
4. 16, 12 y 4
5. Resuelve e interpreta geométricamente:
SCI: SI SCD SCI
x=2p y=5p z=4p x=–5 y=–3 z=–1 x=(25+14p)/22, y…
6. Discute e interpreta geométricamente:
SCD siempre
x= –1/5 Tres planos que se cortan en un punto
y= –(m+11)/5 z= –2(m+8)/5
Si m=1 SI, paralelas
Si m≠1 SCD x= (3m-1)/(m-1) y= (2m-1)/(1-m) se cruzan
Si m= –3 ó 2 SI ver debajo
Si m= 0 SCI x= 2–2p y= 1+p z=p ver debajo
Otros SCD x= 3/(m+3) y= (2m–9)/(m2+m–6) z= (4m–3)/(m2+m-6)
Se cortan en un punto
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Si m=1 SCD Si m≠1 SI x=1/3
y=–2/3
se cortan en un punto
Si m=1 SCD Si m≠1 SI x=9/7
y=3/7
se cortan en un punto
SCD siempre
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EJERCICIOS
1. De tres amigas se sabe lo siguiente: El doble de la edad de Ana, más el triple de la edad de Begoña es tres años superior a cuatro veces la edad de Claudia; el triple de la edad de Claudia, menos el doble de la edad de Begoña es siete años inferior al doble de la edad de Ana; el doble de la edad de Ana, más el doble de la edad de Claudia es tres años inferior a cinco veces la edad de Begoña. Halla la edad de las tres amigas.
2. Una empresa tiene delegaciones en tres ciudades, A, B y C. el número total de empleados es 31. Para que el número de empleados de B fuese igual al de A, tendrían que trasladarse 3 de A a B. además, sabemos que el número de los de A excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos empleados hay en cada ciudad?
3. Discute los siguientes sistemas:
0
4
10
3
0
2
0
z
y
x
z
y
x
z
y
mx
0
2
0
2
0
az
y
x
z
ax
z
y
x
0
3
4
0
2
0
3
z
ay
x
z
y
ax
z
ay
x
1
)
1
(
0
1
m
mz
y
m
x
z
mx
y
x
a
z
y
x
az
y
x
a
z
ay
x
3
3
2
2 2 22
)
1
(
)
1
(
a
az
y
ax
a
z
a
y
a
x
a
z
y
ax
4. Resuelve los siguientes sistemas:
5
10
4
8
5
10
7
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
2
3
2
3
3
2
5
2
3
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
0
6
3
6
2
y
x
y
x
y
x
5. Discute los siguientes sistemas:
0
2
2
1
1
t
az
t
z
ay
t
z
ay
t
z
ax
2
4
3
2
0
0
3
2
z
y
x
z
ay
x
z
y
x
0
4
3
0
3
2
0
5
2
az
y
x
z
y
z
y
x
6. Interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
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SOLUCIONES
1. Ana 17, Begoña 15, Claudia 19.
2. A 16, B 10 y C 5.
3. Discute los siguientes sistemas: Si m= –2’5 SCI
x= –p/2; y= –p/4; z= p Si m≠ –2’5 SCD x=y=z=0
Si m= –1 SCI x= p; y= –p; z= p Si m≠ –1 SCD x= 0, y= 1, z= 0
Si m= –3 SCI
x= 2p/3; y= –5p/3; z= p Si m= 2 SCI
x= –p; y= 0; z= p Si m≠ –3 ó 2 SCD x=y=z=0
Si m= 1 SCI
x= 3–p–q; y= q; z= p Si m≠ 1 SCD
x= 3a+5, y= –2, z= –3
Si m= 1/4 SCI
x= –2p/5; y= 4p/5; z= p Si m= 1 SCI
x= –2p/5; y= p/5; z= p Si m≠ 1/4 ó 1 SCD x=y=z=0
Si a= 1 SI Si a≠ 1 SCD
1 , ) 1 )(
1 (
) 2 ( ,
1 ) 2
( 2
2 2 2
2
a a z a a a
a a y a a
a a x
4. Resuelve los siguientes sistemas:
SI SI SI
5. Discute los siguientes sistemas: Si a= 0 SI
Si a≠ 0 SCD
1 , 1 , 1 , 1 2
2
2
t
a z a y a a x
Si a= 1 SI Si a≠ 0 SCD
a a z a y a x
1 2 , 1
2 , 3 1 1
Si a= –45/4 SCI x= –7p/4; y= 3p/2; z= p Si a≠ –45/4 SCD x= y= z= 0
6. Interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
SCD SI
SI
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EJERCICIOS
1.- Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea:
a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible
Justifica en cada caso tus respuestas.
2.- Resuelve por Gauss e interpreta geométricamente el sistema:
3.- Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:
4.- En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?
b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?
(Haz uso de Gauss para resolverlo)
5.- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:
Resuélvelos por Gauss e interprétalos geométricamente.
6.- Utiliza el método de Gauss para resolver los sistemas:
7.- Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.
3 2 6 2
5 4
4 3
z y x
y x
z y x
1 8 2 7
1 2
3 2
b)
0 3
6 2
5
4 3
a)
t z y x
t y
x
t z y x
z y x
z y x
z y x
2 3
4 3
b)
1 5 3
0 2 a)
x y
z x
y x
y x
y x
1 2
3 4 2
2 b)
5 2 4 3
3 2 4
a)
t z x
t z x
z y x
z y x
z y x
z y x
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8.- Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretación geométrica de los mismos:
9.- En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.
b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.
10.- Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:
¿Podríamos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Razónalo.
11.- Resuelve el siguiente sistema e interprétalo geométricamente:
12.- Resuelve estos sistemas, mediante el método de Gauss:
13.- Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C.
¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
14.- Un grupo de personas se reune para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema.
2 3 2 b)
3 2
4 4
5 2 3 a)
y x
z x
y x
y x
y x
1 3 2
3 4
2
6 4 2 3
z y x
z y x
z y x
2 5 2
5 3 2
1
z y
z x
z y x
11 3 11 6
9 2 4
1 2 3
5 2
b)
2 4 2
10 3
6 3 5
a)
z y x
z y x
y x
z y x
z y x
z y x
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15.- Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
16.- Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus términos independientes:
a) Plantea la matriz de coeficientes ampliada del sistema.
b) Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos
17.- Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 cent/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 cent. El peso total de la misma 9 kg. Además, compró 1 kg. más de naranjas que de manzanas.
a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema.
18.- La matriz de coeficientes A, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, así como la de sus términos independientes B son las siguientes:
Deduce las ecuaciones del sistema y resuélvelo.
19.- En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 cent. y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 cent:
Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo y resolver el problema.
20.- El precio de entrada a cierta exposición es de 200 cent. para los niños, 500 para los adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposición fue visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a 73.500 cent.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día.
b) Resolver el problema.
21.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
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22.- En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la siguiente información: el número total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio del paquete A 500 cent; y el importe total de la oferta 440.000 cent. Pero en sus anotaciones no aparece reflejado claramente el precio del paquete B.
a) Plantear un sistema para determinar el número de paquetes vendidos de cada marca. Discutir su compatibilidad
b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 o 408 cent. ¿cuántos paquetes se vendieron?
23.- La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es:
(si no lo ves plantéalo en clase)
a) Obtener las ecuaciones del sistema.
c) Deducir razonadamente si admite soluciones y en qué número.
24.- La matriz de los coeficientes μ de un sistema de ecuaciones lineales es:
y la de los términos independientes es:
a) Plantear las ecuaciones del sistema.
b) Estudiar su compatibilidad según los valores de a. ¿En qué casos tiene solución única? c) Resolverlo si a= 2.
25.- En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en tres estaciones de servicio (A, B y C). El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 120 cent/litro y el precio de la gasolina en B de 118 cent/litro, pero ha olvidado el precio en C. (Supongamos que son ”m” cent/litro). También recuerda que:
- la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó en 4680 cent. al gasto en C.
- el número de litro de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C. - el gasto de litros en A superó al de B en 1260 cent.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de ”m”) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera.
b) Estudiar la compatibilidad del sistema en función de ”m”. ¿Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C?
26.- Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 cent. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 60.000 cent. Se desconoce la prima cuando la operación es un alquiler.
Este mes el número total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en 200.000 cent. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el número de operaciones de cada tipo realizadas (en función de la prima de alquiler de valor desconocido).
b) Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres. c) Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres.
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27.- En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 euros y el de vitaminas es de 3 euros. Se desconoce el precio al que se vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los 3 tipos de champú el mes pasado fue de 112 euros y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y el anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los demás.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas ( x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú.
b) ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema?
c) Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.
28.- Sean las matrices donde a es desconocido.
a) Sea el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es A y de términos independientes B. ¿Puede para algún valor de a no tener solución este sistema? ¿Para qué valores de ael sistema tiene solución única?
b) Si la matriz de coeficientes es A pero la de términos independientes es C, ¿es posible que para algún valor de a el sistema no tenga solución?
c) Encuentra un valor de apara el que el sistema tenga más de una solución y calcula dos de ellas.
29.- Si la matriz de coeficientes es y la de términos independientes
a) ¿Para qué valor o valores de a el sistema no tiene solución?
b) Para cierto valor de a un individuo encontró 2 soluciones del sistema. ¿Cuánto valía a? ¿tenía más soluciones el sistema?
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SOLUCIONES
1.- a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, no puede ser compatible determinado.
b)
c)
2.- sistema incompatible
3.- a)
b) sistema incompatible
4.- Hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños
5.-a) La solución es (2, 1).
Geométricamente, representa tres rectas
b)
6.- a) La solución es b) incompatible (1, 3, 1)
R
1 , y 2 2 , z , con x1
3
z x
z y x
1 3
z y x
z y x
11 0 0 0
9 1 7 0
4 1 3 1
0 1 0 0
2 5 1 0
0 3 1
1
. 0 , 2 , 2 es Lasolución
2 0 0 0 0
2 3 1 3 0
3 1 1 2 1
1 1 0
0 0 0
0 2 1
R
, 2 3 , , con
3 1 3 4
z y
x
31 31 0 0
17 2 5 0
5 1 1 1
2 0 1 0 0
1 1 0 1 0
2 0 1 0 0
