Contribución al diseño de modelos de codicación pseudo-aleatoria en sistemas OCDMA incoherentes y asíncronos

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(1)Universidad Politécnica de Madrid Departamento de Tecnologı́a Fotónica. Contribución al diseño de modelos de codificación pseudo-aleatoria en sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos Autor: Licenciado en Matemáticas Jesús Ángel Martı́n González Director: Doctor Ingeniero de Telecomunicación Francisco José López Hernández Febrero, 2009.

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(3) TRIBUNAL Nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid.. Presidente: Vocal: Vocal: Vocal: Secretario:. Realizado el Acto de Defensa y Lectura de la Tesis el dı́a . . . . . . de . . . . . . . . . . . . de 2009, en Madrid.. CALIFICACIÓN: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. El presidente. El secretario Los vocales.

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(5) A mis padres..

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(7) “Ningún camino fácil lleva a algún lugar que merezca la pena ir.” —Anónimo.

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(9) Agradecimientos Llegado el final de este trabajo, me gustarı́a acordarme de las personas que de una manera u otra me han ayudado a llegar hasta este punto del camino. En primer lugar quiero acordarme de mis padres, Jesús y Dolores. Como muchos padres de su generación han intentado darnos todo lo que ellos no pudieron tener. Es una satisfacción agradecerles todo lo que han hecho por mı́ desde que nacı́. Me acuerdo también de mi hermana Marı́a y de Carmelo. Ellos me han animado siempre a seguir estudiando y persiguiendo nuevas metas. En especial quiero acordarme con cariño de mi sobrino Jesús. Le invito a que alguna vez cuando lea estas lı́neas las tome como estı́mulo. También quiero agradecer a Elvira todo el apoyo y comprensión que me ha prestado. Por otra parte quiero agradecer a Dustin el haberme permitido llevar a cabo esta investigación, la confianza que siempre ha depositado en mı́ y el apoyo que me ha prestado para sacar este trabajo adelante. En particular quiero recordar con cariño el trato personal y profesional con el que lleva a todo su grupo. Quizá por no ser esto demasiado frecuente se convierte en más destacable aún. También en el plano cientı́fico quiero tener un especial recuerdo y agradecimiento a Rafa y a Luis, por apoyarme desde Las Palmas y Burgos respectivamente. Sus consejos y motivación en los momentos cruciales merecen mi más sincero reconocimiento. No menos importante ha sido la colaboración y apoyo de mis compañeros en el departamento, en especial Kike. Reconocer que ha sido mi guı́a en el laboratorio ayudándome a sobrevivir dı́a a dı́a. Desde luego esta tesis habrı́a sido diferente sin esa ayuda. También es un placer acordarme del incomparable ambiente generado por todos: Antonio, Guille, Morten, David Martı́n, François, Vero, Miguel, Victor, Helena, Judit, Tania, José, Xabi, Nourdeen, Bea, David... Además quiero destacar la ayuda y colaboración recibida desde los amigos canarios a los que agradezco su acogida y amabilidad: Oswaldo, José, Silver, Rufo, Paco, Crisanto... A la hora de realizar un trabajo de este tipo también es importante el ámbito personal y en este me quiero acordar de las personas más cercanas que están ahı́ para todas las cosas importantes de la vida..

(10) Los amigos de siempre, esos de los que ni te acuerdas cuando empezaron a ser tus amigos porque siempre estuvieron ahı́: Marcos, Diego, Raúl, Rodri, Sergio, Alfredo, Juanje, Cesar, Ana, Clara, Use, Alfonso, Rubén, Carlos, Félix... Los amigos con los que comparto montañas, carreteras, caminos y sobre todo buenos momentos: el club de Montañeros de Pradoluengo y la peña ciclista. Por último no quiero pasar este momento sin hacer un homenaje a todos esos profesores que a la vez han sido maestros para las cosas importantes de la vida. Sin ellos y su modelo, la educación no serı́a posible, muchas veces su labor pasa inadvertida y sin reconocimiento. En mi caso me corresponde acordarme de muchos a lo largo de todas mis etapas formativas pero en especial de las dos personas que me inculcaron el gusto por las Matemáticas y la Fı́sica: Pilar Pineda y Luis Palacios..

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(13) Resumen. En este trabajo se estudian los sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos. En particular, se desarrolla un estudio centrado en la secuencias usadas para ensanchar el espectro en esta clase de sistemas. El objetivo principal del presente trabajo es presentar dos nuevas familias de códigos ópticos. Por lo tanto, en primer lugar se revisa del estado del arte en este campo. Posteriormente sendos modelos matemáticos son definidos, analizados, optimizados y comparados. Basándose en los modelos establecidos para la trasmisión y el sincronismo del sistema usando las nuevas familias de códigos propuestas, se estima su rendimiento asumiendo un entorno ideal. Los resultados muestran que la implementación de las nuevas familias es adecuada bajo ciertas circunstancias. La gran cardinalidad, adaptación a requerimientos especı́ficos, flexibilidad de ciclo de trabajo y un rendimiento aceptable son sus principales valores. Además, la comparación con otras familias de códigos ópticos como códigos primos y códigos ópticos ortogonales generalizados arrojan un mejor rendimiento de los nuevos códigos cuando se compara la longitud o el ciclo de trabajo bajo condiciones determinadas. Por último, se presentan algunas aplicaciones como redes de sensores o una red de comunicaciones no guiadas dentro de un satélite artificial. Estos son algunos ejemplos para ilustrar el tipo de aplicaciones donde las nuevas familias de códigos pueden ser implementadas..

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(15) Abstract. In this work the asynchronous and incoherent OCDMA systems are deeply studied. It is particularly focused in the sequences to spread the spectrum in these kind of systems. The main objective of this work is to present two new families of optical codes to be used in OCDMA systems. Thus, first of all a whole revision of the state of art in this field is shown. Moreover, two mathematical models for systems using Random optical codes and Algorithmic optical codes are defined, analyzed, optimized and compared. The performance for synchronism and transmission of a system using the new families of codes is estimated assuming an ideal situation. It has been computed based on the stated models. The results show that the new families are suitable to be implemented under some circumstances. Huge cardinality, adaptability to the system requirements, flexible duty cycle and acceptable performance are their features. Moreover, the comparisons with other families of optical codes as prime codes and Generalized optical orthogonal codes present better performance when the length or the duty cycle are compared under some circumstances. Finally, some applications as sensor networks or and intra-satellite wireless network are presented. They are examples where these families of optical codes can be implemented..

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(17) Índice general Resumen. XIII. Índice general. XVII. Glosario. XXI. Índice de figuras. XXV. Índice de tablas. XXVII. 1. Introducción. 1. 1.1. Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Objetivos y lı́neas seguidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Estructura de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2. Estado del arte de los sistemas OCDMA incoherentes 2.1. Introducción. 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.2. Códigos ópticos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.2. Algoritmos de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.3. Sistemas OCDMA incoherentes vı́a OOCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1. Receptores en sistemas CDMA para fibra óptica . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2. Receptores basados en puerta óptica o lógica con GOOCs . . . . . . . . . 11 2.3.3. Arquitectura de los amplificadores ópticos en OCDMA . . . . . . . . . . . 12 2.3.4. Sincronización de sistemas OCDMA basados en OOCs . . . . . . . . . . . 12 2.4. Aplicaciones de los sistemas OCDMA en redes de datos . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.1. Redes OCDMA no guiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Modelo para un sistema OCDMA basado en códigos ópticos aleatorios 3.1. Introducción. 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. xvii.

(18) ÍNDICE GENERAL. 3.2. Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 3.3. Modelo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4. Análisis del proceso de transmisión del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.1. Desarrollo del cálculo de la probabilidad de error producido por MAI, basado en GOOCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.2. Desarrollo directo del cálculo de la probabilidad de error producida por MAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4.3. Desarrollo del cálculo de la probabilidad de error producido por MAI basado en procesos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.3.1. Cálculo de la distribución de S (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.3.2. Cálculo de PeROCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.4. Aproximación de la probabilidad de error producida por MAI . . . . . . . 36 3.4.5. Validación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5. Análisis de la sincronización del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5.1. Análisis de la multicorrelación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 3.5.1.1. Método de sincronización simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5.1.2. Método de sincronización basado en varios bits de sincronización 42 3.5.1.3. Método de sincronización basado en varios bits de sincronización y chips de silencio entre los bits de sincronismo . . . . . . . . . . 44 3.5.2. Evaluación del método de sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5.2.1. Análisis del rendimiento para un bit de sincronismo . . . . . . . 46 3.5.2.2. Análisis del rendimiento para m bits de sincronismo . . . . . . . 53 3.5.3. Cálculo de la probabilidad de falsa alarma (PF A ) . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.3.1. Cálculo de la distribución de S (N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.3.2. Esperanza de la PF A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. 3.5.3.3. Intervalo de confianza de la PF A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Modelo para un sistema OCDMA basado en códigos ópticos algorı́tmicos. 61. 4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 4.2. Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 4.3. Modelo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4. Análisis de la interferencia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5. Análisis de la probabilidad de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5.1. Desarrollo directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 4.5.2. Desarrollo basado en la interferencia mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5.3. Validación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.6. Análisis de la sincronización del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. xviii.

(19) ÍNDICE GENERAL. 5. Resultados. 77. 5.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. 5.2. Códigos ópticos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.1. Optimización del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.1.1. Visualización de los parámetros optimizados . . . . . . . . . . . 78 5.2.1.2. Diseño de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.2. Elección de parámetros del proceso de sincronización . . . . . . . . . . . . 84 5.2.2.1. Basado en la esperanza de la probabilidad de falsa alarma. . . . 84. 5.2.2.2. Basado en el intervalo de confianza para la probabilidad de falsa alarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.3. Comparación entre los métodos de elección de los parámetros del proceso de sincronización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2.4. Análisis de la correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.5. Comparación de ROCs con otros códigos ópticos ya existentes . . . . . . . 90 5.2.5.1. Comparación del rendimiento entre ROCs y de GOOCs . . . . . 90 5.2.5.2. Comparación entre la longitud de ROCs y de códigos primos . . 93 5.3. Códigos ópticos algorı́tmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.3.1. Optimización del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.3.1.1. Visualización de los parámetros optimizados . . . . . . . . . . . 98 5.3.1.2. Diseño de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3.2. Comparación de AOCs con otros códigos ópticos ya existentes . . . . . . . 103 5.3.2.1. Comparación entre el rendimiento de AOCs y de GOOCs . . . . 104 5.3.2.2. Comparación de la longitud entre AOCs y códigos primos . . . . 106 6. Aplicaciones 6.1. Introducción. 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. 6.2. Redes inalámbricas ópticas de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3. Red de comunicación no guiada desarrollada para OWLS . . . . . . . . . . . . . 112 7. Conclusiones y lı́neas abiertas 7.1. Introducción. 115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. 7.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.3. Lı́neas abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.1. Asignación dinámica del número de canales . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.2. Redes seguras y encriptación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3.3. Estudio del efecto de diferentes distribuciones aleatorias en la generación de ROCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Bibliografı́a. 119. xix.

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(21) Glosario A AOCs (Algorithmic Optical Codes) Códigos ópticos algorı́tmicos, pág. 61. APDs (Avalanche Photo-diode) Fotodiodos de avalancha, pág. 12.. B BER (Bit error rate) Tasa de bit erroneos, pág. 38.. C CDF (Cumulative distribution function) Función de distribución, pág. 68. CDMA (Code-division multiple-access) Acceso múltiple por división por código, pág. 1. CPCs (Cyclically permutable codes) Códigos cı́clicamente permutables, pág. 10. c.s. (casi seguro) Convergencia que se produce cuando la probabilidad del subespacio muestral donde existe convergencia es igual a uno, pág. 50.. D DS/SS (Spread spectrum direct sequence) Espectro ensanchado por secuencia directa, pág. 62.. E ESA (European Space Agency) Agencia espacial europea, pág. 2.. F FA (False alarm) Falsa alarma en la sincronización del sistema, pág. 42. FDMA (Frequency-division multiple-access) Acceso múltiple por división por frecuencia, pág. 1.. xxi.

(22) GLOSARIO. FH (Frecuency hopping) Salto de frecuencia, pág. 14. FO-CDMA (Fiber optics code-division multiple-access) Acceso múltiple por división por código en fibra óptica, pág. 10. FTH-OCDMA (Frame time hopping OCDMA) Acceso múltiple óptico por división por código basado en salto temporal, pág. 12.. G GF(q) (Galois field) Grupo de Galois de orden q, pág. 10. GOOCs (Generalized Optical Orthogonal Codes) Códigos ópticos ortogonales generalizados, pág. 3.. I IEEE (Institute of electrical and electronics engineers) Instituto de ingenieros electricos y electrónicos, pág. 14. i.i.d. (independientes e identicamente distribuidas) Caracterización del conjunto de variables aleatorias que son independientes y tienen igual distribución, pág. 62. IR-WLAN (Infrared wireless local area network) Red de área local no guiada por infrarojos, pág. 13.. L LAN (Local area network) Red de área local, pág. 13.. M MAI (Multiple access interference) Interferencia por acceso múltiple, pág. 13.. O OBC (on board computer) Ordenador de a bordo, pág. 2. OCDMA (Optical code-division multiple-access) Acceso múltiple óptico por división por código, pág. 8. OOCs (Optical Orthogonal Codes) Códigos ópticos ortogonales, pág. 8. OOK (On-off keying) Tipo de modulación basado en el concepto de todo-nada, pág. 16.. xxii.

(23) GLOSARIO. OWLS (Optical wireless intra-spacecraft communications) Proyecto ESTEC Contrato 19545 /06/NL/GLC orientado al estudio de comunicaciones ópticas no guiadas intrasatélite, pág. 2.. P PMF (Probability mass function) Función de densidad de probabilidad discreta, pág. 21. PN (Pseudo noise) Pseudo-ruido, pág. 62.. R RF-WLAN (Radio frequency wireless local area network) Red de área local no guiada por radiofrecuencia, pág. 13. ROCs (Random Optical Codes) Códigos ópticos aleatorios, pág. 16.. T TC/TM (Telecommand and Telemeasurement) Telecomando y telemetrı́a, pág. 2. TDMA (Time-division multiple-access) Acceso múltiple por división por tiempo, pág. 1.. V v.a. (variable aleatoria) Variable aleatoria, pág. 26.. W WDMA (Wavelength-division multiple-access) Acceso múltiple por división por ancho de banda, pág. 1. WLAN (Wireless local area network) Red de área local no guiada, pág. 13.. xxiii.

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(25) Índice de figuras 3.1. Sistema OCDMA system usando ROCs para múltiples usuarios.. . . . . . . . . . 18. 3.2. Estructura de la matriz P. El representado es para los valores de los parámetros L = 100 y w = 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Comparación entre la probabilidad de error teórica y simulada para un w óptimo en función del número de usuarios para diferentes longitudes del código. . . . . . 40 3.4. Multicorrelación para dos conjuntos diferentes de parámetros. . . . . . . . . . . . 43 3.5. Multicorrelación de la secuencia recibida y el código del primer usuario, con y sin chips de silencio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1. Esquema del modelo (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Esquema del modelo (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3. PMF de la interferencia mutua de dos secuencias (µ) para cuatro conjuntos diferentes de valores de los parámetros E[L], w y N + 1. . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4. PMF de la interferencia mutua relativa de dos secuencias (µ̃) para cuatro conjuntos diferentes de valores de los parámetros E[L], w y N + 1. . . . . . . . . . . 70 4.5. Optimización de la interferencia mutua relativa para E[L] = 900 y N = 49 en función de w. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6. Probabilidades de error teórica y simulada frente al número de usuarios, para diferentes longitudes de código (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.7. Probabilidades de error teórica y simulada frente al número de usuarios, para diferentes longitudes de código (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1. Resultado de la optimización de los valores de Pe y w para L y N dados. Es decir Peopt (L, N ) y wopt (L, N ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Curvas de nivel del log10 (P e) para L y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3. Curvas de nivel del L para log10 (P e) y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4. Curvas de nivel de N para log10 (P e) y L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.5. Curvas de nivel de w para L y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. xxv.

(26) ÍNDICE DE FIGURAS. 5.6. Ilustración del procedimiento de sincronización basado en el intervalo de confianza de la probabilidad de falsa alarma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 E[P. ]. Pα. FA 5.7. Comparación de los resultados de mopt F A y mopt . En ambos casos se ha tomado. α = 10−6 . En el segundo se asigna β = 10−6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.8. PMF de la correlación cruzada para dos códigos generados aleatoriamente. Los valores de los parámetros de los códigos son L = 900 y w = 20. Los resultados teóricos están representados por el trazo continuo y los resultados de las simulaciones por los puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.9. Curvas de nivel del logaritmo de la probabilidad de error cuando N = 10, para L y w dados. Las curvas continuas representan OOCs . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.10. Curvas de nivel del logaritmo de la probabilidad de error cuando N = 30, para L y w dados. Las curvas continuas representan OOCs con λ = 1 y las discontinuas ROCs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.11. L vs. N + 1, para ROCs y códigos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.12. L vs. DC, para ROCs y códigos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.13. Resultado de la optimización de los valores de Pe y w para L y N dados. Es decir Peopt (L, N ) y wopt (L, N ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.14. Curvas de nivel del log10 (P e) para L y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.15. Curvas de nivel del L para log10 (P e) y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.16. Curvas de nivel de N para log10 (P e) y L dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.17. Curvas de nivel de w para L y N dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.18. Curvas de nivel del logaritmo de la probabilidad de error cuando N = 10, para L y w dados. Las curvas continuas representan OOCs . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.19. Curvas de nivel del logaritmo de la probabilidad de error cuando N = 30, para L y w dados. Las curvas continuas representan OOCs con λ = 1 y las discontinuas ROCs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.20. L vs. N + 1, para ROCs y códigos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.21. L vs. DC, para ROCs y códigos primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.1. Valores de L en el punto (Pe , N ) = (10−7 , 49). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2. Valores de w en el punto (L, N ) = (900, 49). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. xxvi.

(27) Índice de tablas 3.1. Ejemplo de los cuatro primeros bits de datos trasnmitidos por cada uno de los tres usuarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Ejemplo de las secuencias utilizadas para la simulación con los parámetros L = 7, w = 2 y N = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Ejemplo de las señales simuladas, incluyendo los chips de retardo al inicio de la emisión para los parámetros. También se incluye la señal recibida por todos los receptores, obtenida como el OR de todas las señales. . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Ejemplo de las secuencias de sincronismo para los parámetros L = 10, w = 3 y N = 2 para los tres métodos de sincronización expuestos. . . . . . . . . . . . . . 44. xxvii.

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(29) Capı́tulo 1. Introducción En la actualidad, la búsqueda de soluciones para el aprovechamiento eficaz del excepcional ancho de banda del que gozan los sistemas de comunicaciones ópticas, sigue suponiendo un reto en el diseño de aplicaciones en las que el acceso multiple es necesario. Tradicionalmente, esta situación se ha resuelto compartiendo el canal en el domino de la frecuencia, como en FDMA (Frequency-division multiple-access), WDMA (Wavelength-division multiple-access) o en el dominio del tiempo, TDMA (Time-division multiple-access), CDMA (Code-division multipleaccess). Dentro de estos esquemas, el acceso múltiple por división de código OCDMA (Optical code-division multiple-access), presenta una serie de caracterı́sticas que lo convierten en especialmente adecuado para el estudio que se desarrolla en este trabajo. Alguna de ellas son, por ejemplo, permitir el acceso simultáneo y no sincronizado de diversos usuarios, no necesitar un acceso programado y presentar una alta eficiencia frente a un alto ancho de banda. Los sistemas de comunicaciones basados en la tecnologı́a OCDMA representan una parte importante de las comunicaciones ópticas tanto guiadas como no guiadas. Dicha tecnologı́a aporta soluciones efectivas para el aprovechamiento del ancho de banda. La solución propuesta en los sistemas OCDMA pasa por resolver el acceso de multiples usuarios con la división por código del canal. Esto se concreta asignando un código diferente a cada uno de los usuarios, que consiste en una secuencia de 0, 1 ó de −1, +1 según el caso. La longitud de cada código esta determinada por el periodo de bit, que a su vez se subdivide en chips, de tamaño igual o mayor que la anchura del pulso óptico. Es necesario recordar que la importancia de estos sistemas ha ido en aumento desde su introducción a finales de los años 80. En buena medida, el éxito de las técnicas OCDMA se basa principalmente en permitir un acceso ası́ncrono al canal por lo que dado su mayor versatilidad presentan gran eficiencia en escenarios con tráfico poco homogéneo y necesidades flexibles. Por lo tanto, el sistema permite un amplio número de transmisiones ası́ncronas al mismo tiempo sin la necesidad de un control por parte de la red.. 1.

(30) 1. INTRODUCCIÓN. A lo largo de estos años se han propuestos diversas arquitecturas que dan como fruto diferentes tipos de técnicas OCDMA. Es importante diferenciar entre los sistemas coherentes e incoherentes. Esta clasificación distingue entre la utilización de secuencias coherentes en fase o no coherentes. Este matiz marca la diferencia en el tipo de códigos utilizados para ensanchar el espectro: Sistemas coherentes La información suministrada por la coherencia en fase de los pulsos permite el uso de secuencias bipolares, formadas por −1 y +1. Sistemas incoherentes En este caso solamente se puede distinguir entra la presencia o ausencia de señal óptica. Limitándonos por lo tanto al uso de códigos ópticos unipolares o secuencias binarias, es decir combinaciones de 0 y 1. Es precisamente el estudio de los códigos ópticos utilizados para ensanchar el espectro en sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos el argumento principal de este trabajo.. 1.1.. Motivaciones. Encontramos las motivaciones que han llevado a realizar este estudio en las necesidades especı́ficas planteadas para el diseño de un sistema de comunicaciones ópticas no guiadas dentro de un satélite artificial. El marco en el que se desarrolla este sistema es un proyecto europeo, OWLS (Optical wireless intra-spacecraft communications), financiado por la ESA (European Space Agency) y en el que participan diversas instituciones europeas. El entorno planteado en esta aplicación presenta unas necesidades excepcionales, generando la necesidad de un sistema con propiedades diferentes a los sistemas de comunicaciones ópticas no guiados habituales. El sistema a desarrollar es una red inalámbrica óptica de telecomando y telemetrı́a TC/TM (Telecommand and Telemeasurement) en el interior de un satélite artificial. El ordenador de abordo OBC (on board computer) debe de comunicarse con 25 terminales. Estos terminales son sensores para realizar las medidas de diversas magnitudes que deben ser comunicadas al OBC y actuadores para la realización de pequeñas operaciones necesarias para el desarrollo del vuelo. En cualquiera de los casos la demanda de transmisión de bit es muy baja. En concreto 1 Kbps es el valor requerido por canal. El sistema usa un máximo de dos canales por usuario (uno de subida y otro de bajada), por lo tanto el número total de canales debe de ser 50. La necesidad de simplicidad de diseño potencia la idea de un control mı́nimo del tráfico por parte de la red. Por lo que el sistema debe permitir que los usuarios simultáneos puedan acceder al canal en cualquier momento. Todo esto se llevará a cabo manteniendo la probabilidad de error aceptada producida por MAI por debajo de 10−7 antes de introducir en el protocolo ningún tipo de código para la corrección de errores.. 2.

(31) 1.2 Objetivos y lı́neas seguidas. Además el ahorro de energı́a es crı́tico en el sistema, porque los terminales son alimentados con baterı́as. Esta cuestión se gestiona con el control del ciclo de trabajo durante la transmisión y se traduce en una limitación de este a menos de 0.05. A la vista de la necesidad del diseño de un sistema con las caracterı́sticas explicadas se puede concretar como motivación principal de este trabajo, el encontrar una o varias familias de códigos ópticos que posibiliten un funcionamiento eficaz en una red óptica inalámbrica con severas limitaciones de consumo, alta densidad de usuarios, baja demanda de tasa de transmisión de bits y sencillez en el diseño de los transmisores/receptores. La arquitectura de la aplicación descrita aconseja el uso de técnicas OCDMA incoherentes y ası́ncronas por ser la que mejor se adapta a los requisitos planteados. Además, aunque el abanico de familias de códigos ópticos propuestas hasta la actualidad es amplio, como se estudiará en profundidad en capı́tulos posteriores; las particulares restricciones del entorno hace compleja la utilización de alguna de ellas. Por ejemplo, la necesidad de ahorro de energı́a inhabilita a diversas familias de códigos como son los de máxima longitud, Gold o Kasami, en general a cualquier secuencia balanceada de 0 y 1. Del mismo modo la sencillez de diseño de los transmisores/receptores implica una cierta flexibilidad en los valores de los parámetros. Por ejemplo la familia de códigos primos u otras generadas con técnicas algebraicas o combinatorias, por lo general muy rı́gidas, exigen una adaptación del sistema al código. Esto complica la arquitectura del sistema y la hace inadecuada para esta aplicación. Para finalizar, los problemas de cardinalidad de OOCs (Optical Orthogonal Codes), incluso de GOOCs (Generalized Optical Orthogonal Codes), descartan también a estas familias candidatas para ser usadas en la aplicación plesentada. Todo esto lleva a plantear la exploración de posibilidades para paliar las limitaciones de cardinalidad y rigidez de diseño de los tradicionales códigos ópticos relajando las restricciones de correlación en los escenarios que ası́ lo permitan. Todo ello se debe de llevar a cabo conservando un ciclo de trabajo bajo y optimizando la tasa de transferencia de bit en la medida de lo posible.. 1.2.. Objetivos y lı́neas seguidas. El principal objetivo de este trabajo es presentar y evaluar el uso de dos nuevas familias de códigos ópticos en un sistema OCDMA incoherente y ası́ncrono, asumiendo un escenario ideal con ausencia de ruido. Estas dos nuevas familias de secuencias binarias son la concreción de la idea de relajar las estrictas condiciones de diseño utilizadas hasta ahora para generar códigos ópticos, en favor de una mayor flexibilidad y cardinalidad de las familias. La presentación de estos nuevos códigos ópticos implica el modelado matemático del comportamiento del sistema, con el fin de comprender, analizar y optimizar los esquemas propuestos. Por lo tanto, el desarrollo de sendos modelos matemáticos que describan el funcionamiento del sistema en función de los parámetros necesarios, ası́ como su validación se considera el pri-. 3.

(32) 1. INTRODUCCIÓN. mer paso para cumplir el objetivo principal. Estos modelos deberán dar cabida a las dos fases principales de este tipo de sistemas: la transmisión de datos y la sincronización. En concreto la búsqueda de relaciones funcionales entre los parámetros del sistema y la interferencia provocada por los otros usuarios en ausencia de otros tipo de ruidos, se convertirá en el punto clave de este trabajo. Un vez validados los modelos desarrollados se buscarán herramientas generales que permitan optimizar los valores de los parámetros del sistema. Ası́ como facilitar estrategias que faciliten el diseño eficaz de aplicaciones a partir de los resultados obtenidos en las optimizaciones. También, al tratarse de dos propuestas novedosas, la evaluación y comparación con otras soluciones ya existentes, es decir otras familias de códigos, son de gran importancia en los objetivos de este trabajo. Por otra parte, y aunque este sea un trabajo con vocación teórica, se prestará especial atención a la búsqueda y descripción de aplicaciones donde estas familias de códigos pueden ser implementadas. A su vez se intentarán definir los escenarios donde las caracterı́sticas propias de este tipo de secuencias pueden sacar ventaja de sus exclusivas particularidades.. 1.3.. Estructura de trabajo. El presente trabajo se organiza del siguiente modo: Tras esta introducción, el capı́tulo 2 presenta una revisión del estado del arte en el campo de los sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos. Ası́ como una retrospectiva de los diferentes códigos ópticos desde su introducción a finales de los años 80. Este capı́tulo revisa diversos aspectos de las técnicas OCDMA como los diferentes tipos de receptores y el proceso de sincronización; ası́ como su aplicación a redes de datos, en particular a sistemas no guiados. Sin embargo es el diseño y propiedades de las diferentes familias de códigos ópticos donde la revisión aporta mayor detalle. En el capı́tulo 3 se presenta y analiza la primera contribución de este trabajo, los ROCs (Random Optical Codes). Esta presentación viene acompañada del desarrollo del modelo, definición de parámetros e introducción de la notación necesaria para su posterior análisis. Un vez planteado el modelo se evalúa su rendimiento calculando por tres vı́as diferentes la probabilidad de error debido a la interferencia de otros usuarios. Los cálculos son validados mediante simulaciones. Del mismo modo se plantea y evalúa un modelo para la sincronización del sistema. En el capı́tulo 4 se presenta y analiza la segunda de las familias propuestas en este trabajo, los AOCs (Algorithmic Optical Codes). El desarrollo del modelo con esta familia es más sofisticado que en el caso de ROCs. Sin embargo su posterior análisis necesita de. 4.

(33) 1.3 Estructura de trabajo. herramientas analı́ticas menos complejas. En cualquier caso el esquema seguido es similar al presentado en el capı́tulo anterior. En el capı́tulo 5 se muestran los resultados del análisis de los códigos propuestos. Estos resultados engloban la optimización y elección de los parámetros del sistema tanto en el proceso de transmisión como de sincronización, el análisis de correlación y la comparación con otras familias de secuencias ya existentes como son los códigos primos y los GOOCs. En el capı́tulo 6 se proponen entornos apropiados para la implementación de las secuencias introducidas en capı́tulos anteriores. Concretamente se describen algunas aplicaciones como redes inalámbricas ópticas de sensores o la propia red desarrollada en OWLS. Finalmente, en el capı́tulo 7 se enumeran las conclusiones de este trabajo, ası́ como se evalúa la consecución de los objetivos propuestos. Además se presentan las lı́neas abiertas por estas investigaciones que se están llevado o se esperan llevar a cabo en el futuro.. 5.

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(35) Capı́tulo 2. Estado del arte de los sistemas OCDMA incoherentes 2.1.. Introducción. En este capı́tulo, se expone una revisión de la evolución sufrida por los sistemas OCDMA incoherentes desde sus comienzos hasta la actualidad. Se prestará especial atención a los aspectos más relevantes para alcanzar los objetivos marcados en este trabajo y resolver el diseño del sistema planteado en el capı́tulo anterior. Esto lleva a dedicar buena parte de este capı́tulo al estudio de la situación actual de los códigos ópticos, tanto en el aspecto de su construcción como su aplicación en los OCDMA incoherentes. Por otra lado la aplicación de estos sistemas a las redes de datos también será objeto de estudio en la parte final del capı́tulo. El resultado de la revisión presentada en este capı́tulo justifica en gran medida el planteamiento de este estudio. Como se ha adelantado en la sección 1.1 del capı́tulo anterior, la ausencia de una alternativa dentro de los diseños contemplados hasta la actualidad para el problema planteado por el sistema de comunicaciones ópticas no guiadas dentro de un satélite artificial; justifica el desarrollo de las propuestas expuestas en este trabajo. En particular, la ausencia en la literatura de familias de códigos ópticos eficaces en una red óptica inalámbrica con severas limitaciones de consumo, alta densidad de usuarios, baja demanda de tasa de transmisión de bits y sencillez en el diseño de los transmisores/receptores es el motivo por el que se ha desarrollado este trabajo. El estudio de los sistemas OCDMA comienza observando que el excepcional ancho de banda del que se dispone en los sistemas ópticos es un factor determinante a la hora de diseñar dichos sistemas. De hecho la correcta utilización de este abundante ancho de banda óptico para reducir la complejidad del sistema red y por tanto el coste de acceso se considera el objetivo primordial de las técnicas OCDMA (Rat02).. 7.

(36) 2. ESTADO DEL ARTE DE LOS SISTEMAS OCDMA INCOHERENTES. Se puede considerar que la técnica de acceso multiple por división de código OCDMA (Optical code-division multiple-access), sienta sus bases en 1989 con la publicación de (Sal89b). Aunque, existen una serie de artı́culos anteriores necesarios para comprender esta técnica. El primero y más importante en los comienzos fue el escrito por un grupo de investigadores de Stanford University encabezados por Moslehi (MGTS84). En él se estudia a fondo la teorı́a e implementación del procesado de señal en fibra óptica y se introduce la idea de sistemas unipolares frente a los bipolares que se habı́an usado tradicionalmente en otros dominios no ópticos. En segundo lugar, Davies et al. (DS83) subrayan la naturaleza aditiva del canal óptico (canal OR) en los entornos OCDMA. Por último, el éxito en la implementación del reconocimiento de secuencias con buenas propiedades de autocorrelación en el dominio óptico (Mar78), marcó el camino para que Salehi et al. introdujeran una nueva clase de códigos, los códigos ópticos ortogonales OOCs (Optical Orthogonal Codes) (Sal89a; SB89). En estos dos artı́culos se definen formalmente y se analizan por primera vez una de las familias fundamentales de códigos ópticos como son los OOCs. También otros autores en esta misma época siguieron una linea de investigación sobre técnicas OCDMA como Foschini y Vannucci (FV88). Otros investigadores siguieron lı́neas semejantes, todos en el marco de las técnicas OCDMA. Por ejemplo Hui propuso OCDMA multifibra (Hui85). Prucnal consiguió codificar y decodificar secuencias primas en sistemas OCDMA con procesado óptico (PS86a). La evolución de dichos sistemas llevo a implementar pulsos ultracortos, consiguiendo codificar y decodificar secuencias en el contexto de sistemas OCDMA con pulsos de longitud de femtosegundos (WHS88; SWH90). Sin embargo la linea de investigación que nos interesa en esta perspectiva histórica es sobre todo la introducida por Chung et al. (CSW89) donde se describen diversos algoritmos de generación de OOCs.. 2.2.. Códigos ópticos ortogonales. Como ya hemos subrayado en la sección anterior, OOCs son la familia de códigos ópticos más importantes en las técnicas OCDMA. Su influencia en las dos nuevas familias propuestas en este trabajo es evidente por lo que vamos a dedicar buena parte de este capı́tulo a repasar la evolución y estado actual de esta familia de códigos. Consideramos pues a OOCs antecedentes directos de ROCs y AOCs en el contexto de códigos ópticos unipolares en sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos.. 8.

(37) 2.2 Códigos ópticos ortogonales. 2.2.1.. Definición. OOCs fueron definidos por Chung et al. (CSW89) y Salehi (Sal89a) como un familia de secuencias de {0,1} con propiedades de autocorrelación y correlación cruzada predeterminadas. Ası́ definidos estos códigos proporcionan a los sistemas de comunicaciones de acceso múltiple una fácil sincronización y un buen rendimiento en redes de comunicación OCDMA (Sal89a; SB89). Formalmente, se considera un OOC, con parámetros (L, w, λa , λc ) al conjunto C de secuencias de longitud L formadas por valores {0,1} con un peso o número de unos igual a w y satisfaciendo las siguientes propiedades: 1. Propiedad de Autocorrelación. La función de autocorrelación según se define en (SB89) es menor o igual que un número dado (λa ). 2. Propiedad de correlación cruzada. La función de autocorrelación según se define en (SB89) es menor o igual que un número dado (λc ). Por simplicidad, denotamos (L, w, λ) al OOC que cumple λa = λc = λ. Hay que destacar que se considera código al conjunto de secuencias. Conviene no confundir con la secuencia o patrón utilizada por cada usuario para diferenciarse del resto. Considerado esto definimos el tamaño o cardinalidad del OOC como el número de secuencias disponibles para unos parámetros concretos. Una familia de secuencias o código OOC necesita una cardinal suficientemente grande desde un punto de vista práctico (SB89). Para encontrar los mejores códigos, necesitamos encontrar una cota superior a la cardinalidad ofrecida por un OOC para unos parámetros determinados. Sea Φ(L, w, λa , λc ) el mayor número de secuencias posibles para un código OOC (L, w, λa , λc ). Llamamos óptimo a un OOC que alcance este tamaño. En (CK90) se establecen las relaciones interesantes entre (L, w, λa , λc ) y Φ. Sin embargo es en (CSW89) donde se deducen una cota significativa de Φ basada en la cota de Johnson para el peso en la corrección de errores (Joh62).. 2.2.2.. Algoritmos de construcción. A lo largo de los años transcurridos desde la introducción de los OOCs se han propuesto multiples métodos de construcción que se pueden clasificar en dos categorı́as (CSW89). La primera categorı́a incluye métodos de diseño directos que usan estructuras matemáticas como geometrı́a proyectiva (CSW89; MMS04), teorı́a de grupos finitos (CK90; WW01) y otras teorı́as diseñadas especı́ficamente para este tipo de diseños (CK90; YF95; Yan95; CC04). La segunda categorı́a engloba a todos los métodos de búsqueda que usan por ejemplo algoritmos de tipo greedy o greedy acelerado (CSW89) o el algoritmo del producto exterior de matrices (CS06). En la literatura referente a los algoritmos de construcción de OOCs se puede ver una evolución alrededor del hecho de que un OOC con λ = 1 proporciona un número de secuencias limitado. En muchas ocasiones dicho número de secuencias es inferior al mı́nimo necesario para. 9.

(38) 2. ESTADO DEL ARTE DE LOS SISTEMAS OCDMA INCOHERENTES. acomodar la cantidad de usuarios requeridos en la mayorı́a de las aplicaciones. En el camino para solventar este inconveniente los OOCs con λa , λc > 1 conocidos como Generalized OOCs (GOOCs) (MS06) han jugado el papel fundamental. Este protagonismo comenzó a partir del hecho constatado en (ASL92a) donde se demuestra que para 50 usuarios el OOC (1000, 12, 2) tiene mejor rendimiento que el OOC (100, 5, 1). Este hito ha sido corroborado recientemente con otros resultados en (MS06). Además se demuestra analı́ticamente que OOCs con λ = 3 pueden tener mejor rendimiento que OOCs con λ = 1 en determinados casos. Otra aportación importante en los métodos para generar OOCs es la identificación de la fuerte relación que existe entre OOCs y los CPCs (Cyclically permutable codes) (BE95). En este trabajo no solo se analiza esta interpretación sino que se examinan otros métodos para construir OOCs, en particular con λ = 1. Hay varios métodos de construcción recursivos (CSW89; FHM00); aunque se puede considerar uno de los mejores el propuesto por Chu y Golomb (CG03). Este método usa matrices r-simples sobre grupos cı́clicos para obtener de una forma recursiva un OOCs de mayor cardinalidad. Otras estructuras matemáticas que pueden ser usadas para construir OOCs son los números y clases ciclotómicas con respecto a GF(q) (Galois field). Usando este método Ding y Xing presentaron varias clases de OOCs (2m − 1, w, 2) (DX03). También con este método se han construido cinco clases diferentes de OOCs (q − 1, w, 2), donde q es una potencia de un número primo(DX04). Finalmente cabe destacar un método absolutamente diferente a los anteriores. Usa álgebra matricial y fue presentado por Charmchi y Salehi (CS06). Este método basado en el producto exterior de matrices a dado lugar recientemente a una definición completa de OOCs desde esta perspectiva (Ale06).. 2.3.. Sistemas OCDMA incoherentes vı́a OOCs. En los sistemas OCDMA intervienen muchos factores a tener en cuenta en su diseño. En esta sección se hace una retrospectiva en la literatura para describir la situación de algunos de los más destacados. En particular se revisan las estructuras de recepción, los amplificadores ópticos y el sistema de sincronización.. 2.3.1.. Receptores en sistemas CDMA para fibra óptica. Los sistemas de comunicación CDMA en fibra óptica FO-CDMA (Fiber optics code-division multiple-access) están formados principalmente por tantos pares de transmisores y receptores como número de usuarios tenga el sistema ası́ como por el canal común que los comunica. El primer tipo de receptor propuesto y analizado (SB89) está basado en retardos lineales,. 10.

(39) 2.3 Sistemas OCDMA incoherentes vı́a OOCs. del mismo modo que el codificador del transmisor. El receptor recombina la señal óptica mediante lı́neas de retardo complementarias a las usadas al codificar y un circuito electrónico es el encargado de decidir la salida final del receptor. Este tipo de receptor puede verse afectado fácilmente por la interferencia de otros usuarios. Por este motivo los mismos autores (SB89) proponen la colocación de un limitador óptico antes del correlador convencional. Sin embargo la mejora producida por este tipo de receptor (limitador óptico + correlador) se advirtió escasa (Kwo94a). Por lo tanto, persiguiendo el objetivo deseado de reducir el efecto de la interferencia múltiple a través del diseño del receptor, Ohtsuki et al. (OSSM96) y Ohtsuki (Oht97a) propusieron una nueva mejora. Esta consistı́a en la colocación de un nuevo limitador óptico con un umbral adecuado tras el correlador. Shalaby (Sha98) introdujo un nuevo concepto de detección en sistemas OCDMA llamado detección a nivel de chip que está basado en la potencia recibida en cada chip en vez de combinar las potencias de los diferentes chips en un único correlador. Los resultados corroboraron una significativa mejora en el rendimiento de este sistema frente a un correlador simple. La obtención de la mejor estructura de recepción ha empleado el esfuerzo de muchos investigadores. Nelson et al. (NP95a; NP95b) desarrollaron modelos en esta lı́nea. Sin embargo la complejidad computacional hacı́a dificil su aplicación práctica. La asunción de respuesta Gaussiana en la señal de salida del fotodiodo (Kwo94a) abrió la puerta a nuevos avances en este proceso de optimización del receptor. Mediante esta aproximación, la influencia del ruido térmico en los sistemas OCDMA fue conjuntamente estudiada con la interferencia multiusuario por Zahedi et al. (ZS00), presentando por primera vez un modelo conjunto de las principales clases de interferencias de la que adolecen los sistemas OCDMA. Este trabajo realiza también una compleja modelización matemática de los diferentes tipos de receptores. Basado en todo ello, compara el rendimiento de las diferentes estructuras de recepción. El resultado es un mejor rendimiento para valores bajos de energı́a transmitida de los receptores formados por correlador + doble limitador óptico que de los de detección a nivel de chip. Sin embargo esta ventaja se desvanece para los valores altos de energı́a, convergiendo el rendimiento de ambos tipos de receptores. Finalmente en (Sha02), Shalaby defiende que la pequeña ventaja de rendimiento observada en los receptores formados por correlador + doble limitador óptico frente a la detección a nivel de chip no corresponde con la alta complejidad de hardware que requieren. Por lo tanto, en general, no son adecuados para las aplicaciones.. 2.3.2.. Receptores basados en puerta óptica o lógica con GOOCs. El uso de GOOCs en vez de OCCs es casi obligado en la mayorı́a de las aplicaciones debido a la escasa cardinalidad de estos últimos. Por ejemplo en (Sha02) se vio como el rendimiento del sistema mejoraba notablemente usando GOOCs con λ = 2 tanto para receptores con correlador. 11.

(40) 2. ESTADO DEL ARTE DE LOS SISTEMAS OCDMA INCOHERENTES. como para detección a nivel de chip. Otro estudio en la misma lı́nea realizado por Chen y Yang (CY01) obtiene la probabilidad de error usando un receptor con limitador óptico para secuencias primas de λ superior a 1. Este trabajo aporta además muchas herramientas estocásticas para el análisis del rendimiento de códigos ópticos, ya que su estudio está basado en la aplicación de cadenas de Markov al análisis de la probabilidad de error. Sin embargo el trabajo más destacado en esta lı́nea tanto por su repercusión como actualidad es (MS06). En él Mashhadi et al. calculan analı́ticamente la expresión para la probabilidad de error de cualquier código OOCs con un λ arbitrario. No conviene olvidar otro precedente en la idea de relajar la ortogonalidad de los códigos para conseguir aumentar la cardinalidad de la familia. Esta propuesta llamada FTH-OCDMA (Frame time hopping OCDMA), introducida por Forouzan et al. (FSNK02) es una extensión de la técnica para ultrawide-bandwidth introducida en (Sch93). La correlación cruzada de cada pareja de códigos no está acotada por ningún valor en estos sistemas por lo que aun ofreciendo un menor rendimiento que los GOOCs, tienen amplias ventajas por ofrecer una alta cardinalidad. Aunque con un diseño y caracterización muy diferentes, las dos familias propuestas en este trabajo, ROCs y AOCs siguen también esta filosofı́a. Ambas ofrecen alta cardinalidad y sencillez, minimizando la diferencia de rendimiento frente a OOCs.. 2.3.3.. Arquitectura de los amplificadores ópticos en OCDMA. Las redes OCDMA usando dispositivos pasivos ópticos con lı́neas de retardo de fibra óptica en los codificadores y decodificadores y presentando la tı́pica topologı́a en estrella, presentan una atenuación de la señal óptica. En la literatura se encuentran dos vı́as para intentar paliar este efecto. La primera propone el uso de APDs (Avalanche Photo-diode) (Kwo94a; LH92; TL98; Kwo94b). La segunda aboga por el uso de preamplificadores ópticos en el receptor (RS02a; ZCK+ 99; OM99; JM00; RS02b).. 2.3.4.. Sincronización de sistemas OCDMA basados en OOCs. Los sistemas OCDMA al igual que ocurre en general a los CDMA necesitan tener una referencia en el tiempo para conocer cuando comienza la secuencia para cada bit concreto (Pol82; PW84; SOSL85). El proceso necesario para determinar dicha referencia se denomina sincronización. Este proceso consta de dos partes: adquisición y seguimiento. El primer estudio en profundidad de la sincronización de un sistema OCDMA no coherente es expuesto por Yang en (Yan94). En este trabajo no solo se propone un solución simple para dicho problema sino que se subraya la importancia del proceso de sincronización al mostrar la degradación que sufre el rendimiento del sistema cuando la sincronización entre emisor y receptor no es ideal. Más adelante, Mustapha y Ormondroyd (MO99) introdujeron el sincronizador de búsqueda. 12.

(41) 2.4 Aplicaciones de los sistemas OCDMA en redes de datos. en serie y el método secuencial con doble umbral (MO00a) para la sincronización de sistemas OCDMA basados en OOCs. Estos autores también investigaron la influencia del efecto MAI (Multiple access interference) en el rendimiento de la sincronización secuencial (MO00b). El estudio de la sincronización de búsqueda en serie se llevó a cabo usando modelos de cadenas de Markov para simplificar el análisis (KS02). Encontrando estos estudios, que el tiempo medio requerido mediante este tipo de técnica es del orden de la mitad de la longitud del código. Este parámetro utilizado para cotejar la bondad del método fue reducido al orden de la raı́z √ cuadrada de la longitud del código, L, con el algoritmo de desplazamiento múltiple propuesto en (KS05). Por último, el importante papel que juega en la sincronización la fase de seguimiento tras la adquisición es puesta de manifiesto por Ghaffari et al. en (GMS).. 2.4.. Aplicaciones de los sistemas OCDMA en redes de datos. Tradicionalmente, se puede distinguir dos grandes lı́neas de investigación en la aplicación de los sistemas OCDMA a redes de datos. La primera tratarı́a del diseño y análisis de los componentes ópticos con los que implementar las redes. Además, también se ha investigado mucho la eficiencia de las aplicaciones OCDMA en las redes de area local LAN (Local area network). Ambas lı́neas están ampliamente documentadas en la literatura, diversos autores han tratado en (SK00; KM01; WK99; KM03; JSL+ 05; Cin04b; Cin04a; FIS) el primer tipo de aplicaciones. No menos numeroso es el número de autores que investigan sobre las aplicaciones en redes de area local en (HL97a; HL97b; SS02; DG95; KP00; Sha03; Sha04; MSB04; MSB03; Koo06; PDW+ 98; EGK+ 98; PKE+ 00; SWD+ 01; KWS05; KWW06; ANKS01). Aunque estas dos lı́neas han tenido la máxima significación en la aplicación de OCDMA a redes de datos, las motivaciones y el escenario donde se desarrolla este estudio nos lleva a enfocar nuestra revisión a una nueva lı́nea emergente de aplicaciones: el empleo de OCDMA en redes ópticas no guiadas.. 2.4.1.. Redes OCDMA no guiadas. El uso de sistemas OCDMA en redes ópticas de datos sin el empleo de fibra óptica, es decir no guiadas, se centra en las redes locales no guiadas WLAN (Wireless local area network) usadas en interiores (oficinas, plantas industriales, etc). En general las WLAN en el campo de la transmisión de datos en interiores emplean dos tipos de tecnologı́as: enlaces vı́a radiofrecuencia dando lugar a redes de área local no guiadas por radiofrecuencia RF-WLAN (Radio frequency wireless local area network) y enlaces vı́a infrarrojo en cuyo caso se tienen redes de área local no guiadas por IR IR-WLAN (Infrared wireless local. 13.

(42) 2. ESTADO DEL ARTE DE LOS SISTEMAS OCDMA INCOHERENTES. area network). El uso de estas dos tecnologı́as ha sido definido por el estandar 802.11 del IEEE (Institute of electrical and electronics engineers). Diversas causas han fomentado el interés por el tipo de tecnologı́a IR-WLAN y por lo tanto el auge de los sistemas OCDMA, como por ejemplo la importancia de la seguridad en redes inalámbricas. También razones económicas o los efectos nocivos del uso de radiofrecuencia han estimulado su estudio (GB79; KB97; PK95; EC95; MK97; ZSNK00; ZSNK01; GMS; AGP06a; AGP06b). En esta lı́nea de investigación sobre las comunicaciones IR-WLAN, son especialmente destacables las aplicaciones en sistemas ópticos no guiados propuestas por varios grupos españoles: los grupos de la Universidad de La Laguna y la Universidad de La Palmas de Gran Canaria dirigidos por el Prof. Pérez Jiménez y el de la Universidad Politécnica de Madrid dirigidos por el Prof. López Hernández, dentro del cual se ha llevado a cabo las investigaciones que han propiciado el presente trabajo. La colaboración entre estos grupos ha dado lugar a diversas publicaciones concernientes a sistemas de salto en frecuencia FH (Frecuency hopping) (DPJRLH00; DJPG06) y a otros de secuencia directa (VRPJ+ 99; RBD+ 04). No se debe olvidar tampoco el papel relevante que desempeña la caracterización del canal en las redes IR-WLAN. En particular, la implementación del método de Montecarlo y sus modificaciones para dicha caracterización (LHPJS98b; LHPJS98a; LHPJS99; LHPJS00), ası́ como posteriores trabajos complementarios (PJH+ 02; PJH+ 03) avalan el dominio de la materia por parte de los grupos anteriormente mencionados. También cabe destacar un tipo de comunicaciones basadas en sistemas OCDMA, realizadas en entornos abiertos (comunicaciones atmosféricas). Este tipo de aplicaciones aprovechan las bondades de los sistemas OCDMA en distancias medias, normalmente mayores que las habituales en WLAN, por ejemplo para conectar varios edificios del mismo entorno. Son especialmente adecuadas cuando la instalación de fibra óptica es imposible o prohibitivamente costosa. Los recientes estudios publicados (Oht03; HK04; JS06) se centran en analizar las caracterı́sticas particulares que tienen este tipo de comunicaciones.. 14.

(43) Capı́tulo 3. Modelo para un sistema OCDMA basado en códigos ópticos aleatorios 3.1.. Introducción. En este capı́tulo se presenta la familia de códigos ópticos aleatorios. Dicha familia se define formalmente y se muestra el diseño de un sistema OCDMA usando estos códigos. Además se evalúa el rendimiento de dicho sistema en un entorno ideal, teniendo en cuenta solamente la interferencia producida por MAI. Este cálculo se desarrolla por tres métodos diferentes aportando diferentes perspectivas y contribuyendo junto a las comparación con las simulaciones realizadas a su validación. El método basado en planteamiento, estudio y validación del modelo, es repetido para el proceso de sincronización de un sistema que usa ROCs.. 3.2.. Presentación. Como ha quedado constancia en el capı́tulo 2, existen en la literatura gran cantidad de familias de códigos ópticos disponibles en sistemas OCDMA incoherentes y ası́ncronos. Aunque estas familias han sido diseñadas con unas muy buenas propiedades de autocorrelación y correlación cruzada, presentan en su mayorı́a fuertes carencias en cuanto a su cardinalidad. Además, algunas por la propia construcción sufren otras importantes limitaciones, que pueden ser crı́ticas dependiendo en qué aplicaciones quieran ser usadas. Pongamos como ejemplo la familia de códigos primos (SD83; PS86b; YK95b; YK95a; KY95;. 15.

(44) 3. MODELO PARA UN SISTEMA OCDMA BASADO EN CÓDIGOS ÓPTICOS ALEATORIOS. KYZ96; YK02). Aunque eficaz en cuanto a comportamiento; deja muy limitada la capacidad de ajuste de los parámetros del sistema. Es decir la relación entre la longitud, el peso del código y el número de usuarios disponibles no es susceptible de ser variada. Otro ejemplo de limitación en el diseño de códigos, se puede encontrar en cualquier familia generada por algoritmos de búsqueda como por ejemplo GOOCs. Estos algoritmos pueden requerir ingentes recursos de cómputo en función de los parámetros de la familia. En esos casos los códigos deben ser generados previamente a la implementación de la aplicación y por lo tanto no serán adecuados para aplicaciones que necesiten una rápida disponibilidad de códigos. La aparición de una serie de aplicaciones en el ámbito de los sistemas OCDMA con caracterı́sticas muy singulares, como severas limitaciones de consumo y capacidad de proceso de los usuarios, además de una muy alta cardinalidad, donde la aplicación de los códigos existentes es inviable; llevó a la introducción de los códigos ópticos aleatorios, ROCs (Random Optical Codes) (MGPLH07a; MGPLH07b; PMGLH07; MGPLH08c; MGPLH09). La construcción de estos códigos se hace de forma pseudo-aleatoria. Las posiciones donde los pulsos son emplazados se eligen aleatoriamente de entre todos los chips que conforman la secuencia óptica. Dicho proceso de elección es conocido tanto por el emisor y el receptor. Esta propuesta hace posible la construcción de una familia de códigos con una longitud y peso arbitrarios. Por lo tanto podemos controlar en todo momento el ciclo de trabajo y en consecuencia el consumo. Además se consigue una sencilla implementación puesto que los códigos pueden ser generados con poco gasto de recursos.. 3.3.. Modelo del sistema. El modelado se realiza sobre un sistema OCDMA incoherente y ası́ncrono con modulación OOK (On-off keying). Asumimos un sincronismo perfecto de chip. El conjunto de actuación del sistema presenta dos etapas claramente diferenciadas y estudiadas en secciones diferentes en el análisis posterior del modelo: la sincronización y la transmisión. En este capı́tulo se analiza en primer lugar la transmisión entre emisor y receptor asumiendo una sincronización perfecta de fase. Sin embargo los otros usuarios pueden estar aleatoriamente desfasados. Por lo tanto estamos estudiando un sistema incoherente y ası́ncrono en el caso ideal de ausencia de ruido. Las secuencias ópticas utilizadas son una familia de códigos ROCs con parámetros fijos y conocidos, longitud (L), peso (w). El número de interferentes lo denotamos como (N ), por lo que el total de usuarios es (N + 1). La estructura del receptor AND utilizado es representada siguiendo la siguiente notación introducida en (MS06): 1. Cada pareja de transmisor y receptor está perfectamente sincronizada, por lo tanto cada receptor puede determinar las posiciones de los pulsos en el código.. 16.

(45) 3.3 Modelo del sistema. 2. La decisión en el receptor (R) toma los siguientes valores:  1, N1 · N2 · . . . · Nw > 0 R= 0, N · N · . . . · N = 0 1. 2. (3.1). w. donde Nl , l = 1, . . . , w son variables aleatorias que toman valores en 0, . . . , N + 1. Representan los valores de energı́a en el l-ésimo chip del código. El modelo presenta una diferencia esencial respecto a los sistemas OCDMA convencionales. El múltiple acceso al canal se sigue solventando mediante división por código. Sin embargo este es modificado pseudo-aleatoriamente en cada bit. Por lo tanto emisor y receptor conocen el código utilizado en cada momento pero no siempre es el mismo. Este cambio de código en cada bit enviado persigue dos objetivos claros: Aleatorizar el efecto de la interferencia por acceso múltiple (MAI, Multiple Access Interference) sobre todos los usuarios por igual. Evitando ası́ comportamientos no homogéneos en el rendimiento de los diferentes usuarios, que podı́an venir provocados ante la ausencia de las propiedades de correlación en la generación de ROCs. Introducir un elemento de seguridad a la comunicación a nivel fı́sico. Este tipo de actuación es posible siempre que se disponga de una cardinalidad extremadamente superior al número de usuarios. Esto es ası́ en sistemas que usan ROCs. El modelo puede ser definido formalmente del siguiente modo. (n). Sea bj. (n). ∈ {0, 1} el j-ésimo bit transmitido por el usuario n, es decir {bj }∞ j=−∞ , n = (n). 1, 2, . . . , N +1. Sea también la sucesión {cj }∞ j=−∞ , n = 1, 2, . . . , N +1 que denota a la secuencia óptica usada para transmitir el j-ésimo bit por el usuario n, es decir. (n). cj. (n). (n). (n). = {cj (0), cj (1), . . . , cj (L − 1)}, n = 1, 2, . . . , N + 1, j ∈ Z. (3.2). (n). donde cj (k) ∈ {0, 1}. Además se cumple la siguiente restricción: L−1 X. (n). cj (k) = w, n = 1, 2, . . . , N + 1, j ∈ Z. (3.3). k=0. Podemos con esta notación modelar la secuencia óptica usada para ensanchar el espectro de la siguiente forma,. c(n) (t) =. ∞ L−1 X X. (n). cj (k)PTc (t − (k + jL)Tc ), n = 1, 2, . . . , N + 1, j ∈ Z. j=−∞ k=0. 17. (3.4).

(46) 3. MODELO PARA UN SISTEMA OCDMA BASADO EN CÓDIGOS ÓPTICOS ALEATORIOS. donde PTc (t) es un pulso rectangular de duración Tc . Recordemos que este modelo usa una (n). secuencia diferente para cada bit, por lo tanto c(n) (t) no es periódica y cj , j ∈ Z son diferentes. Tenemos por lo tanto modelada la señal transmitida por el usuario n-ésimo como,. s(n) (t) =. ∞ X. (n). c(n) (t) bj PT (t − jT ), n = 1, 2, . . . , N + 1, j ∈ Z. (3.5). j=−∞. Finalmente la señal recibida por el i-ésimo usuario se denota como,. (i). r (t) =. N +1 X. s(n) (t), i = 1, 2, . . . , N + 1. (3.6). n=1. El modelo del sistema se resume en sendos diagramas mostrados en la Figura 3.1. En ellos se explica la estructura del transmisor y del receptor.. Tc 0. (). Muestreo a t=kTc. !. Bits de datos recibidos. (a) Transmisor. (b) Receptor. Figura 3.1: Sistema OCDMA system usando ROCs para múltiples usuarios.. 18.

(47) 3.4 Análisis del proceso de transmisión del sistema. 3.4.. Análisis del proceso de transmisión del sistema. Una vez descrito el modelo, la cuestión clave para evaluar el rendimiento de esta familia de códigos es analizar la probabilidad de error producido por MAI (Pe ). Este tipo de error es inevitable en sistemas OCDMA de este tipo pero puede ser previsto y controlado si se conoce (Pe ) en función de los parámetros del sistema. Para efectuar este análisis primero se calcula dicha probabilidad. Esto se realiza mediante tres enfoques independientes basados, en perspectivas diferentes. Cada uno de estos desarrollos es interesante por sı́ mismo para el estudio de las caracterı́sticas de ROCs; aportando luz a distintos aspectos de la familia. Además los tres se complementan corroborando el mismo resultado. Todos estos análisis calculan la probabilidad de error producido durante la transmisión de datos por los otros usuarios, no durante el periodo de sincronización. La asunción de sincronismo de fase entre el emisor y el receptor es una premisa en esta parte del análisis.. 3.4.1.. Desarrollo del cálculo de la probabilidad de error producido por MAI, basado en GOOCs. El cálculo de la probabilidad de error para ROCs (MGPLH09) se lleva a cabo a partir de la expresión para la probabilidad de error introducida en (MS06) para GOOCs en el mismo tipo de sistemas OCDMA:. PeOOCs. " w λ X wp0n 1 1X k w (−1) 1− = + k 2 2 n n=1 k=1 N (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) × 1− w(w − 1) . . . (w − k + 1) (3.7). En este desarrollo interpretamos ROCs como un conjunto de códigos elegidos aleatoriamente de todos los posibles GOOCs con autocorrelación y correlación cruzada (λ) igual a w. Por lo tanto λ = w. Por otra parte el vector. p0 = (p01 , . . . , p0w ) almacena en cada elemento p0n la probabilidad, corregida al multiplicarla por el coeficiente n , de que uno de los otros usuarios interfiera exactamente el número de veces igual al ı́ndice w de ese elemento. Por lo tanto debido a la elección aleatoria de los códigos, en este caso toma los siguientes valores:. 19.

(48) 3. MODELO PARA UN SISTEMA OCDMA BASADO EN CÓDIGOS ÓPTICOS ALEATORIOS. p0n =. w−1 L−w n−1 w−n ; 1≤ n≤w L 2 w. (3.8). Una vez fijados los valores caracterı́sticos de ROCs para estos dos parámetros, vamos a establecer el siguiente resultado que será imprescindible durante el desarrollo posterior. Lema 1. w (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) w−k = n w(w − 1) . . . (w − k + 1) n. (3.9). Demostración. w (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) n w(w − 1) . . . (w − k + 1) w(w − 1) . . . (w − n + 1) · (w − n) . . . (w − n − k + 1) = n! · w(w − 1) . . . (w − k + 1) (w − k)(w − k − 1) . . . ((w − k) − n + 1) = n! w−k = n. (3.10) Q.E.D.. Pasemos a simplificar la expresión general para la probabilidad de error de GOOCs, (3.7). Sea α el último factor de dicha expresión.. α=1−. λ X (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) wp0n × 1− n w(w − 1) . . . (w − k + 1) n=1. (3.11). Al sustituir los valores que toman λ y p0n para ROCs en el factor que hemos denominado α, (3.11), queda: . w−1 L−w n−1 w−n α=1− L n=1 2n w (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) × 1− w(w − 1) . . . (w − k + 1) w L−w w X n w−n =1− L n=1 2 w (w − n)(w − n − 1) . . . (w − n − k + 1) × 1− w(w − 1) . . . (w − k + 1) w X. w. 20. (3.12).

(49) 3.4 Análisis del proceso de transmisión del sistema. De aquı́ se deduce por el Lema 1 la siguiente expresión para α:.  w L−w w−k L−w w w X 1 X n w−n n w−n   − α=1− ×  L L 2 n=1 n=1 w w . (3.13). Los términos de la primera serie son todos los valores de la PMF (Probability mass function) de una variable aleatoria hipergeométrica excepto el término n = 0, por lo tanto conocemos su suma:.  w−k L−w L−w w X 1 n w w−n   α=1−  − 1 −   L L 2 n=1 w w   w−k L−w w X 1 n w−n   =1−  1−   L 2 n=0 w . . (3.14). Agrupando todos los términos negativos de la suma que se encuentra entre corchetes nos encontramos de nuevo con una PMF de una variable aleatoria hipergeométrica. Por lo tanto conocemos su suma.. .  L−k  1 w α=1−  1−    L 2 w   L−k  1 w =  1+    L 2 . (3.15). w. Podemos concluir combinando (3.7) y (3.15) que la probabilidad de error producida por MAI para ROCs (PeROCs ) es:. 21.

(50) 3. MODELO PARA UN SISTEMA OCDMA BASADO EN CÓDIGOS ÓPTICOS ALEATORIOS. PeROCs. N  L−k  1 1 w   1 + w  = + N +1 (−1)k   L 2 2 k k=1 w N  L−k w   1 X w 1 + w  = N +1 (−1)k  L 2 k  k=0 w w X. (3.16) Ahora bien esta probabilidad puede ser expresada del siguiente modo aplicando el Teorema del Binomio:. PeROCs =. 3.4.2.. 1 2N +1. i  L−k N X w X  N w   w  (−1)k   L i k i=0 k=0 w. (3.17). Desarrollo directo del cálculo de la probabilidad de error producida por MAI. En esta sección hacemos un cálculo directo de la probabilidad de error basado en la probabilidad condicionada y en la probabilidad de la unión de sucesos no disjuntos. Sin perdida de generalidad hacemos el desarrollo para el primer usuario. Al ser el sistema incoherente y aditivo tenemos una probabilidad de error igual a cero cuando enviamos un dato-1 (SB89), por lo tanto:. PeROCs =. 1 P (R = 1|0). 2. (3.18). Después de esta consideración y apoyándonos en la probabilidad condicionada podemos escribir PeROCs como 2N sumandos. Cada uno de ellos representa las diferentes combinaciones de datos enviados que se pueden dar. Asumiendo equiprobables los sucesos de enviar un dato-0 ó un dato-1 por parte de cada uno de los restantes N usuarios.. PeROCs =. 1 2N +1. P (R = 1|0, 0, . . . , 0) + . . . +. 1 2N +1. P (R = 1|0, 1, . . . , 1). (3.19). Los sumandos de la expresión (3.19) pueden ser agrupados mediante el criterio de tener el mismo número de 1’s. El ı́ndice i representa el número de usuarios que están transmitiendo dato-1 en ese momento. Tenemos una expresión de la forma:. 22.

(51) 3.4 Análisis del proceso de transmisión del sistema. PeROCs. =. 1. N X N. 2N +1. i. i=0. P (R = 1|0, i 10 s). (3.20). De aquı́, usando la probabilidad del suceso complementario se concluye:. PeROCs =. 1 2N +1. N X N i=0. i. 1 − P (R = 0|0, i 10 s). (3.21). El siguiente paso es calcular el término P (R = 0|0, i 10 s). Esto se aborda apoyándose en el resultado de la probabilidad de la unión de sucesos no disjuntos. Quedando el desarrollo de la siguiente manera:. P (R = 0|0, i 10 s) = P (N1 · N2 · . . . · Nw = 0|0, i 10 s) = P ((N1 = 0) ∪ (N2 = 0) ∪ . . . ∪ (Nw = 0)|0, i 10 s) =. w X. P (Nk = 0|0, i 10 s) −. X. P (Ni = 0, Nj = 0|0, i 10 s)+. i<j. k=1 w+1. . . . + (−1) P (N1 = 0, . . . , Nw = 0) w P (Nr1 = 0|0, i 10 s)+ = 1 w . . . + (−1)w+1 P (Nr1 = 0, . . . , Nrk = 0|0, i 10 s) w w X k+1 w = (−1) P (Nr1 = 0, . . . , Nrk = 0|0, i 10 s) k. (3.22). k=1. donde k representa el número de Nl tomadas en cada sumando. Por otra parte Nrj ∈ N1 , . . . , Nw , 1 ≤ j ≤ k. El significado de. P (Nr1 = 0, . . . , Nrk = 0|0, i 10 s). (3.23). se puede interpretar como la probabilidad de la no presencia de pulsos en las k posiciones especı́ficas de los pulsos en el código del primer usuario, cuando exactamente i usuarios están transmitiendo un dato igual a 1. Cabe recordar como ya se ha advertido anteriormente la asunción de que el primer usuario siempre transmite un dato-0. Con el fin de seguir con el razonamiento destacamos que cada usuario que transmite un dato-1 divide los L slots del receptor del primer usuario en dos clases:. 23.

(52) 3. MODELO PARA UN SISTEMA OCDMA BASADO EN CÓDIGOS ÓPTICOS ALEATORIOS. slots donde se reciben pulsos. Por supuesto esta clase tiene un tamaño w. el resto, en los cuales no se reciben pulsos. Esta tiene un tamaño (L − w). La probabilidad expresada en (3.23) cuando i vale uno puede ser calculada como la probabilidad de tomar k elementos (los slots del primer usuario que están siendo observados) pertenecientes a un subconjunto de tamaño L − w (la clase de los slots sin pulsos) dentro de un total de tamaño L, formado por las dos clases descritas anteriormente. Esto es equivalente a la probabilidad de que una variable aleatoria hipergeométrica de parámetros L, w y k tome valor cero. Esta idea se expresa de la siguiente forma:. P (Nr1 = 0, . . . , Nrk = 0|0, un 10 s) =. L−w w k−0 0 L k. (3.24). El caso para i usuarios se generaliza al advertir que el suceso descrito en (3.24) debe repetirse para todos los usuarios (i veces) y además el dato transmitido por cada uno de los usuarios es independiente. Se tiene. i L−w w  k−0 0   = 0|0, i 10 s) =    L k . P (Nr1 = 0, . . . , Nrk. (3.25). Por lo tanto a partir de las expresiones (3.22) y (3.25), podemos escribir la ecuación (3.21) del siguiente modo:. PeROCs =. 1 2N +1.  i   L−w N w X  N  w  X  k    (−1)k  L i  k   i=0 k=0 k. (3.26). Se establece el siguiente resultado que será usado para finalizar el presente desarrollo. Lema 2.. L−w k L k. . =. L−k w L w. . 24.