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7.3 Árboles

Definición. Sea A un grafo. A recibe el nombre de árbol sí y sólo si: • A es conexo.

• A no contiene circuitos.

Ejemplos:

Definición. Sea A un árbol. Un vértice de grado 1 se llama una hoja. Un vértice de grado mayor que 1 se llama rama.

De las definiciones anteriores se desprenden las siguientes propiedades: • Existe una trayectoria única entre dos vértices cualesquiera de un

árbol.

• El número de vértices es mayor en 1 al número de aristas. • Un árbol con dos o más vértices tiene al menos dos hojas. Ejemplo

Un grupo de ajedrecistas que luchan por un campeonato. Cada ajedrecista tiene una única oportunidad para enfrentar al campeón vigente, y que el perdedor de cualquier encuentro será eliminado de la contienda.

• Sea A = (V, E) un grafo no dirigido donde los vértices de V representan los ajedrecistas y las aristas de E representan los encuentros.

• Sea V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9 }

Al inicio, v1 es el campeón vigente y que se dan los siguientes encuentros: - v1 venció a v2, v3 y v4 y pierde con v5.

- v5 venció a v6 y v7 y pierde con v8. - v8 pierde con v9.

El árbol que detalla esta situación, es el siguiente:

Definición. Sea G un grafo dirigido. Se dice que G es un árbol dirigido si se convierte en un árbol cuando se ignoran las direcciones de sus aristas.

Definición. Un árbol con raíz es un árbol dirigido que posee exactamente un vértice cuyo grado de entrada es 0 y los grados de entrada de todos los demás vértices es 1.

El vértice con grado de entrada 0 se llama raíz de árbol. Un vértice cuyo grado de salida es 0 se llama hoja. Un vértice cuyo grado de salida es diferente de 0 se llama rama.

Definición. Sea vi una rama de un árbol con raíz. Se dice que V_kes un hijo de V_i si existe una arista dirigida de V_i a V_k, además se dice que vi es padre de V_k.

En un árbol con raíz se dice que los vértices son hermanos si son hijos del mismo vértice.

Ejemplo

Un hombre que tiene dos hijos, de los cuales uno no tiene hijos y el otro tiene tres hijos.

Definición. Sea A un árbol con raíz. Se dice que A es un árbol binario si cada rama tiene exactamente dos hijos.

Ejemplo

• El árbol anterior muestra el número de encuentros en un torneo de eliminación simple con 8 competidores.

• Se juegan un total 7 encuentros a saber: • Cuatro encuentros en la primera ronda. • Dos encuentros en la segunda ronda. • El encuentro final.

• En total son 7 encuentros.

En este árbol binario, las hojas representan a los competidores en el torneo y las ramas a los ganadores de los encuentros o, equivalentemente los encuentros jugados en el torneo.

Si se llama r el número de ramas y h el número de hojas en un árbol binario, se puede demostrar que:

Si un grafo tiene un vérticeUo que solo contiene una diferente de Uo−U1 (a sí mismo) entonces es un árbol

árbol

no es árbol

este vértice tiene dos

trayectorias

En general

Altura = 3 (el nivel mas grande) raíz = que no tiene padre (inicial) padre = que tiene hijo(s)

hoja = no tiene hijo(s), tiene padre

Conjunto de árboles = Bosque.

Árbol ordenado: tiene nivel, los hijos de izquierda a derecha.

Para: sub - árboles

¿Cuántos subárboles? 6

Altura = ? 5

1 0 V

V − V₀−V₂ V₀−V₃

1

V V 2 V₃

4

V V6 V8

13

Notación polaca

La evaluación se realiza de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba

Ejemplo:

(

)

(

(

(

)

)

)

[

3

∗

1

−

x

÷

4

+

7

−

y

+

2

]

∗

[

7

+

(

y

÷

x

)

]

Primero: paréntesis interiores

Árbol etiquetado

EJEMPLO:

(

)

(

) (

(

) (

)

)

(

)

(

) (

(

) (

)

)

8 = ? 5, 6, 7, 9, 8 4 = ? 5, 2, 3, 4

Árboles de expansión

Un árbol T es un árbol de expansión de un grafo G si T es un subgrafo de G que contiene todos los vértices de G. [Johnsonbaugh, 392]

Ejemplos:

Grafo: Árbol de expansión:

Árboles enraizados

Actividades colaborativas

Hoja de trabajo

1. Para las siguientes expresiones, construye un árbol con notación polaca.

a)

(

(

(

)

)

)

(

(

)

)

b)

(

(

)

) (

(

(

)

)

) (

(

)

)

2. Para la siguiente secuencia de números, construye un árbol acomodando los mayores de lado izquierdo del nodo y los menores de lado derecho del nodo

a. 10, 14, 2, 4, 13, 1, 7, 8, 11, 16, 5, 20 b. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

3. La siguiente matriz muestra una tabla de direcciones (registros) en donde se encuentra almacenada cierta información. La columna “derecha” contiene el número de registro de la información antecesora (nodo hijo derecho). La columna “izquierda” contiene el número de registro de la información sucesora (nodo hijo izquierdo). Por medio de un árbol binario, representa la tabla de direcciones. El nodo raíz es el registro número 5.

Número de

registro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

derecha 1 2 7 3 11

información a b c d e f g h i j k l m n p

izquierda 13 6 8 14 12 4

4. El siguiente es el programa analítico del curso de Matemáticas Discretas, representa en forma de árbol este contenido.

1 Conceptos fundamentales

1.1 Breve historia de las matemáticas

1.1.1 Civilizaciones, historia y matemáticos 1.1.2 Clasificación de las matemáticas 1.2 Aritmética

1.2.1 Introducción 1.2.2 Los números

1.2.3 Definición de los números 1.2.4 Operaciones de los números

• Adición y Sustracción

• Multiplicación y División

• Operación binaria 1.2.5 Propiedades de los números

• Cerradura, inverso y neutro

• Conmutativa y Asociativa

• Distributiva

1.2.6 Propiedades de las operaciones de los números

• Para los números enteros

• Para los números racionales

2 Lógica Matemática

2.1 Lógica proposicional

2.1.1 Sintaxis de lógica proposicional 2.1.2 Semántica de lógica proposicional 2.2 Lógica de predicados de primer orden

2.2.1 Sintaxis y lógica de predicados de primer orden 2.2.2 Proposiciones con cuantificadores

2.3 Métodos de demostración 2.3.1 Método del absurdo 2.3.2 Resolución

2.3.3 Deducción natural

3 Los conjuntos

3.1 Definición

3.2 Numerabilidad de conjuntos 3.3 Tipos de conjuntos numéricos 3.4 Operaciones con conjuntos 3.5 Propiedades de los conjuntos

4 Relaciones y funciones

4.1 Relaciones

4.1.1 Definición de relación 4.1.2 Propiedades de las relaciones 4.1.3 Tipos de relaciones

4.2 Funciones

4.2.1 Definición

4.2.2 Tipos de funciones 4.2.3 Operaciones

4.2.4 Iteración y recursividad

5 Estructuras Algebraicas

5.1 Matrices

5.1.1 Definición 5.1.2 Tipos de matrices

5.1.2 Operaciones con matrices 5.2 Estructuras Algebraicas

5.2.1 Introducción

5.2.2 Matemática abstracta 5.2.2.1 Definición

5.2.2.2 Estructuras algebraicas 5.3 Álgebra Booleana

5.3.1 Conceptos

5.3.2 Operaciones booleanas 5.3.3 Leyes

5.3.4 Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva

6 Análisis combinatorio

6.1 Principio de conteo 6.2 Permutaciones 6.3 Combinaciones 6.4 Cuatro conceptos

7 Teoría de grafos

7.1 Definiciones

3. La final masculina de Wimbledon es ganada por el primer jugador que gane tres de cinco sets en un juego. Si C y M detonan a los jugadores, dibuja un diagrama de árbol que demuestre todas las formas posibles en que se puede decidir el juego.

Actividades de Árboles

Solución

1. Para las siguientes expresiones, construye un árbol con notación polaca. a)

(

(

(

)

)

)

(

(

)

)

2. Para la siguiente secuencia de números, construye un árbol acomodando los mayores de lado izquierdo del nodo y los menores de lado derecho del nodo

a) 10, 14, 2, 4, 13, 1, 7, 8, 11, 16, 5, 20

3. La siguiente matriz muestra una tabla de direcciones (registros) en donde se encuentra almacenada cierta información. La columna “derecha” contiene el número de registro de la información antecesora (nodo hijo derecho). La columna “izquierda” contiene el número de registro de la información sucesora (nodo hijo izquierdo). Por medio de un árbol binario, representa la tabla de direcciones. El nodo raíz es el registro número 5.

Número de

registro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

derecha 1 2 7 3 11

información a b c d e f g h i j k l m n p

4. El siguiente es el programa analítico del curso de Matemáticas Discretas, representa en forma de árbol este contenido.