Métodos Numéricos
para Ingenieros Químicos
CONTENIDO
Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (3)
Sistemas de ecuaciones
Se entiende por sistema de ecuaciones
trascendentes a todo sistema de ecuaciones formado por ecuaciones no lineales.
Consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecuaciones de manera simultánea.
La solución integra el o los puntos comunes a todas las ecuaciones que constituyen el sistema. Esto es, la o las intersecciones de todas las curvas
ECUACIONES TRASCENDENTES
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
0 ,... ,
,
0 ,... ,
,
0 ,... ,
,
z y x h
z y x g
La mayoría de los métodos para determinar tales soluciones son extensiones de los métodos
abiertos para resolver ecuaciones trascendentes simples.
Métodos:
Iterativo
Newton - Raphson
ECUACIONES TRASCENDENTES
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
Dado un sistema de m ecuaciones con n variables:
Se rearregla cada función de forma tal que se pueda despejar una variable distinta:
ALGORITMO
0 ,...
, ,
0 ,...
, ,
0 ,...
, ,
0 ,...,
, ,
n z y x m
n z
y x h
n z y x g
n z
y x f
Donde el número de m ecuaciones debe ser igual al
número de n
variables.
n z y x M n
n z
y x H z
n z y x G y
n z
y x F x
,... ,
,
,... ,
,
,... ,
,
,..., ,
,
Se asume un grupo de valores iniciales para cada una de las variables:
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
Con el grupo de valores iniciales, se evalúa el criterio de convergencia del conjunto de
funciones, de la siguiente manera: ALGORITMO
1 1 1 1
n M n
H n
G n
F
z M z
H z
G z
F
y M y
H y
G y
F
x M x
H x
G x
F
De no cumplirse el criterio de convergencia, se selecciona otro grupo de valores iniciales y/o se
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
Estos criterios son tan restringidos que el método de
punto fijo (iterativo) tiene
una utilidad limitada para resolver sistemas
ECUACIONES TRASCENDENTES
Se aplica de forma iterativa: ALGORITMO
n z y x M n
n z
y x H z
n z y x G y
n z
y x F x
i i i i
,... ,
,
,... ,
,
,... ,
,
,..., ,
,
1 1 1 1
Donde las variables serán sustituídas por los
últimos valores disponibles.
i i
i i
i
i i
i i
i
i i
i i i
n z
y x
H z
n z
y x
G y
n z
y x F x
,... ,
,
,... ,
,
,..., ,
,
1 1
1
1 1
1
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
ALGORITMO1 1
1
1, , , ,
i i i
i y z n
x
Se repiten las iteraciones hasta que se cumpla el criterio de tolerancia:
i i
i i
i i
i i
n n
z z
y y
x x
n z
y x m
n z y x h
n z
y x g
n z
y x f
1 1 1 1
y/o
,... ,
,
,... ,
,
,... ,
,
,..., ,
,
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
Con un sistema rearreglado se halla un solo conjunto de solución (o de intersección).
Para los restantes conjuntos de soluciones, de existir, se necesita cambiar de despejes y de valores iniciales.
CONSIDERACIONES
La convergencia de este método es lineal.
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
4218 ,
0 10
9841 ,
0 10
2 2 2 2
xy x y
F
y x x x
F
50 , 31 6
75 , 36
3 2
xy y
G
y x
G
5 , 3
5 , 1
0 0
y x
1 92
, 31 50
, 31 4218
, 0
1 73
, 37 75
, 36 9841
, 0 y
x
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
5 , 3
5 , 1
0 0
y x
3441 ,
0 10
2
8030 ,
0 10
2
xy x y
F
xy y x
F
0322 ,
0 57
3 6
1
3831 ,
0 3
57 6
1
x y y
G
x y x
x G
1 4153 ,
0 0322 ,
0 3441 ,
0
147 , 1 3831 ,
0 8030 ,
0 y
x ?
ECUACIONES TRASCENDENTES
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
i xi yi
0 1,500 3,500
1 2,179 2,861
2 1,941 3,050
3 2,020 2,983
4 1,993 3,006
5 2,002 2,998
6 1,999 3,001
7 2,000 3,000
EJEMPLO NUMÉRICO
ECUACIONES TRASCENDENTES
El método de Newton-Raphson consiste en transformar el sistema no lineal en un sistema lineal, a través de la serie de Taylor.
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson La finalidad es aplicar cualquiera de los métodos
ECUACIONES TRASCENDENTES
Dado un sistema de m ecuaciones con n variables:
Se linealiza aplicando la serie de Taylor para varias variables, considerando solo hasta el
primer término que contiene la primera derivada: ALGORITMO
0 ,... , 0 ,... , 0 ,..., , n y x m n y x g n y x f Donde el número de m ecuaciones debe ser igual al
número de n
ECUACIONES TRASCENDENTES
ECUACIONES TRASCENDENTES
Las derivadas parciales se evalúan con el conjunto de valores:
ALGORITMO
i i
i n
y x
i i
i n
y x
i i
i n
y x
n y
x m n
n m y
y m x
x m
n y
x g n
n g y
y g x
x g
n y
x f n
n f y
y f x
x f
i i
i
i i
i
i i
i
,..., ,
,..., ,
,..., ,
Sistemas de
ecuaciones Iterativo
Newton-Raphson
Finalmente queda un sistema de ecuaciones de la
i i
i y n
ECUACIONES TRASCENDENTES
Donde:
ALGORITMO
i i
i
i i
i
n y
x
n y
x
n y
x
n y
x g
n y
x f B
n y x X
n m y
m x
m
n g y
g x
g
n f y
f x
f
A
i i
i
i i
i
i i
i
,..., ,
,..., ,
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
ALGORITMO1 1
1
1, , , ,
i i i
i y z n
x
Se repiten las iteraciones hasta que se cumpla el criterio de tolerancia:
i i
i i
n n
y y
x x
n y
x m
n y
x g
n y
x f
1 1
y/o
,... ,
,... ,
,..., ,
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson Para iniciar las iteraciones (i = 0) se debe partir
del conjunto de valores iniciales:
0 0
0, y , ,n
ECUACIONES TRASCENDENTES
Para que exista solución, la matriz A debe ser no singular.
Para los restantes conjuntos de soluciones, de existir, se necesita cambiar de valores iniciales. CONSIDERACIONES
La convergencia de este método es cuadrática.
0det
i i
i
i i
i
i i
i
n y
x
n y
x
n y
x
n m y
m x
m
n g y
g x
g
n f y
f x
f
A
El método diverge si el conjunto de valores
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
16 ,
4 4
4 ,
2 2
2 2
y x
y x g
y x
y x f
y y
g
x x
g
y x g
y y
f
x x
f
y x f
2 2 ,
4 2
4 2
,
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
2 2
2 2
16
4 4
4 2
2
4 2
4 2
i i
i i
i i
i i
y x
y x
y x
y x
y x
00 , 2
50 , 3
1 1
y x
25 , 0
25 , 0
4 7
4 1
y x
08 , 2
42 , 3
2 2
y x
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
2 2
2 2
16
4 4
4 2
2
4 2
4 2
i i
i i
i i
i i
y x
y x
y x
y x
y x
08 , 2
42 , 3
2 2
y x
01 , 0
01 , 0
17 , 4 83
, 6
83 , 3 17
, 1
y x
09 , 2
41 , 3
3 3
y x
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson Consiste en aplicar el método iterativo, pero
definiendo funciones de despeje como las dadas por Newton-Raphson para una sola ecuación.
i i i
i i i
i i
i i
i
n y x
i i
i i
i
n y x
i i
i i
i
m
n y
x m n
n
y g
n y
x g y
y
x f
n y
x f x
x
1 1
1
,..., ,
1 1
,..., ,
1
1
, ,
,
, ,
,
, ,
,
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
16 ,
4 4
4 ,
2 2
2 2
y x
y x g
y x
y x f
y y
g
x x
f
2
4 2
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
i i i
i i
i i i
i i
y y x
y y
x y x
x x
2
16 4 2
4 4
4
2 2
1 1
2 2
1
Sistemas de ecuaciones
Iterativo
Newton-Raphson
i xi yi f(xi ,yi ) f'x (xi ,yi ) g(xi +1 ,yi ) g'y(xi +1 ,yi )
0 2,00 3,00 1,00 -4,00 -1,94 6,00
1 2,25 3,32 -0,48 -3,50 -0,49 6,65
2 2,11 3,40 -0,08 -3,77 -0,08 6,79
3 2,09 3,41 -0,01 -3,81 -0,01 6,82
AGENDA
HOY HEMOS VISTO:
LA PRÓXIMA CLASE VEREMOS: Raíces de polinomios:
» Método de Bairstow.
Sistema de ecuaciones trascendentes: » Método iterativo (o de punto fijo). » Método de Newton-Raphson.
Sistemas de ecuaciones
Iterativo