PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 2015
Apellidos_________________________________________________Nombre________ DNI / NIE _____________________ Centro de examen__________________________
Instrucciones Generales
- Duración del ejercicio: Hora y media.
- Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba.
- Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba.
- Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados.
- Cuide la presentación y la ortografía. - Revise la prueba antes de entregarla.
Criterios de calificación
Esta materia de la prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios:
- El aspirante debe realizar cuatro ejercicios de los seis propuestos.
- Si un aspirante realiza más de cuatro ejercicios, sólo se calificarán los cuatro primeros realizados.
- Trabajar con dos decimales, redondeando en los ejercicios donde sea necesario. - Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2´5 puntos, distribuidos de la siguiente manera:
- Ejercicio 1 ….. a) 1 punto. b) 1´5 puntos - Ejercicio 2 ….. 2´5 puntos.
- Ejercicio 3 ….. 2´5 puntos.
- Ejercicio 4 ….. a) 0,5 puntos. b) 1 punto c) 1 punto - Ejercicio 5 ….. Cada apartado 0,5 puntos.
- Ejercicio 6 ….. a) 1,5 puntos b) 1 punto
- Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático.
- Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales.
- Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora científica no programable.
La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.
EJERCICIOS
Ejercicio 1
En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas, medianas y bajas que hay en la reunión.
b) Resolver el sistema
Ejercicio 2
Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres hermanos que tienen 15, 20 y 25 años respectivamente, le correspondió al mediano 650 € más que al pequeño. ¿Cuánto le correspondió a cada hermano?
Ejercicio 3
La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la temperatura t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión,
) 0 (sup
) 32 ·( ) 1 ( )
(t t 2 t oner t P
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
b) ¿A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción máxima.
c) ¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
Ejercicio 5
Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un universitario. Calcular las siguientes probabilidades:
a) Que sea mujer.
b) Que tenga una actitud conservadora. c) Que sea varón y progresista.
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer. e) Construir la tabla de contingencia.
Ejercicio 6
Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por partidos según la distribución siguiente:
Encestes\ Partido 1 2 3 4 5
Jugador A 1 3 13 2 1
Jugador B 8 1 0 1 10
SOLUCIONES
Ejercicio 1
En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que entre las bajas y las medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas.
a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de personas altas, medianas y bajas que hay en la reunión.
z y x x y z z y x bajas z medianas y altas x 2 2 2 60
1º ecuación: ”En una reunión hay 60 personas entre altas, medianas y bajas”. 60
y z x
2º ecuación: ”Entre las bajas y las medianas duplican el número de altas”.
x y z 2
3º ecuación: ”las altas y el doble de las medianas son el doble de las bajas”.
z y x2 2
b) Resolver el sistema
Opción A. z y x x y z z y x bajas z medianas y altas x 2 2 2 60 altas personas x x x x 20 3 60 60 3 60
2
z y y z z y 2 2 20 20 · 2 60 20 z y y z z y 2 2 20 40 40 z y z y 2 2 20 40 z y z y 10 40 medianas personas y y y y 15 2 30 30 2 40
10
bajas personas z z z y
x 602015 60 603525 Opción B.
Resolvemos por el método de Gauss.
z y x x y z z y x bajas z medianas y altas x 2 2 2 60 0 2 2 0 2 60 z y x z y x z y x 60 12 0 120 3 3 0 60 2 1 3 3 1 2 2 z y x z y x z y x F F F F F
F
300 12 0 0 120 3 3 0 60
3 3 2 3 z y x z y x z y x F F F 25 12 300 300 12 0 0 120 3 3 0 60 z z y x z y x z y x
3 120
3y z 3y3·25120
15 3 45 45
3y y
20 25 15 60 60 25 15
60
y z x x
x
Por tanto, habrá x= 20 personas altas, y= 15 personas medianas y z= 25 personas bajas.
Ejercicio 2
Al repartir cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a la edades de los tres hermanos que tienen 15, 20 y 25 años respectivamente, le correspondió al mediano 650 € más que al pequeño. ¿Cuánto le correspondió a cada hermano?
hermano de años
x x
DINERO AÑOS
15 €
1950 5
15 · 650
15
€ 650
5
hermano de años
x x
DINERO AÑOS
20 €
2600 5
20 · 650
20
€ 650
5
hermano de años
x x
DINERO AÑOS
25 €
3250 5
25 · 650
25
€ 650
5
Ejercicio 3
Un barco B pide socorro y se reciben las señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre si 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: A = 46º y C = 53º. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
La situación descrita se puede representar mediante el siguiente dibujo.
El ángulo que forman las estaciones C y A con el barco mide, 180º – 53º – 46º = 78º
km sen
sen x
x sen sen
77 , 36 º 78
º 46 · 50 º
46 50
ª
78
Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio A es 36´77 km.
Para calcular la distancia “y” entre el barco B y la estación de radio C volvemos a aplicar el teorema del seno
km sen
sen y
y sen sen
82 , 40 º 78
º 53 · 50 º
53 50
ª
78
Por lo tanto, la distancia entre el barco B y la estación de radio C es 40´82 km
Ejercicio 4
La producción en kilogramos de calabacín en un invernadero depende de la temperatura t, en grados centígrados de éste, y viene dada por la expresión,
) 0 (sup
) 32 ·( ) 1 ( )
(t t 2 t oner t P
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
b) ¿A qué temperatura se produce la máxima producción? Determinar la producción máxima.
c) ¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
SOLUCION
a) ¿Qué producción se obtiene si la temperatura es de 18º?
Sustituimos el valor t = 18º en la expresión analítica de la función y obtenemos la producción a 18º.
kg t
P( 18)(181)2·(3218)192·145054
Calculamos el máximo de la producción acudiendo a la primera derivada de la función.
0 ) (
/
t
P P/(t)2·(t1)·(32t)(t1)2·(1)(t1)·
2·(32t)(1)·(t1)
00 1 2
64
0 1
t t t
0 3 63
1
t t
21 1
t t
,
Igualamos a cero la primera derivada para calcular los extremos relativos de la función. La solución negativa no es valida, ya que en el enunciado del problema nos imponen la siguiente condición t>0
Calculamos la segunda derivada para saber cuál de los dos valores es el máximo relativo pedido,
2·( 1)·(32 ) ( 1) ·( 1) )
( 2
/
t t t
t
P 3t2 60t63P//(t)6t60
Sustituimos los valores de extremo relativo en la segunda derivada y decidimos cuál es el
máximo relativo, ( ) 6 60
//
t t P
MINIMO t
P//( 1)6·(1)60660
MAXIMO t
P//( 21)6·2160660
Por tanto para determinar la producción máxima, sustituyo para t=21ºC, ya que es el máximo de la función (sustituimos en la función original no en la 1º derivada):
kg t
P( 21)(211)2·(3221)222·115324
c) ¿Hasta qué temperatura la producción aumenta?, ¿cuánto disminuye?
Tendremos dos intervalos en la función; 1º intervalo: [0,21] y [21,infinito]
Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Si P'(t) > 0, entonces f es creciente en todos los puntos del intervalo.
Si P'(t) < 0, entonces f es decreciente en todos los puntos del intervalo.
) (
/
t
P 3 2 60 63
t t
1) (
/
t
22) (
/
t P
nto decrecimie de
Intervalo
3·222 60·22 63 1452 1320 63 69 0
Por tanto:
0º,21º
o crecimient de
Intervalo y Intervalo de decrecimiento
21º,
Tendremos que la producción aumenta hasta la temperatura 21º y a partir de esa temperatura disminuye.
Ejercicio 5
Se ha realizado una encuesta sociológica acerca de la actitud política progresista o conservadora a 334 universitarios de los que 196 son varones. Un total de 187 han manifestado ser progresistas, de los cuales 42 son mujeres. Se elige al azar un universitario. Calcular las siguientes probabilidades:
a) Que sea mujer.
b) Que tenga una actitud conservadora. c) Que sea varón y progresista.
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer. e) Construir la tabla de contingencia.
SOLUCIÓN
Construimos un diagrama de árbol
Puesto que hay 334 universitarios de los cuales 196 son varones, entonces hay 138 mujeres: 334 – 196 = 138
0,4132334
138
mujer P
b) Que tenga una actitud conservadora.
actitud conservadora
Pmujer conservadora
P
a) P
varónconservador
4401 , 0 334 147 334
51 334
96 196
51 · 334 196 138
96 · 334
138
c) Que sea varón y progresista.
ónprogresista
P var 0,4341 334
145 196 145 · 334
196
d) Que sea conservadora sabiendo que ha sido mujer.
6956 . 0 138
96
334 138 334 96
334 138
196 96 · 334 196
)
mujer P
mujer ra
conservado actitud
P mujer ra conservado actitud
P b
Ejercicio 6
Dos jugadores de baloncesto A y B consiguen encestar tiros de tres puntos por partidos según la distribución siguiente:
a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores. b) Comparar ambos, interpretando el resultado.
Solución.
a) Calcular el coeficiente de variación de cada uno de los jugadores.
El coeficiente de variación viene determinado por el cociente de la desviación típica de la muestra entre la media muestral,
X V C. .
Muestra Jugador A.
triples n
f X X
media i i 4
5 20 5 1 · 1 1 · 2 1 · 13 1 · 3 1 · 1 ·
Desviación típica:
56 , 4 8 , 20 5 104 5 9 4 81 1 9 5 ) 3 ( ) 2 ( 9 ) 1 ( ) 3 ( 1 · ) 4 1 ( 1 · ) 4 2 ( 5 1 · ) 4 13 ( 1 · ) 4 3 ( 1 · ) 4 1 ( · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n X Xi i
El Coeficiente de Variación del Jugador A es: 1,14 4 56 , 4 . . X V C
Muestra Jugador B.
triples n
f X X
media i i 4
15 , 4 2 , 17 5
86 5
36 9 16 9 16 5
6 ) 3 ( ) 4 ( ) 3 ( 4
1 · ) 4 10 ( 1 · ) 4 1 ( 5
1 · ) 4 0 ( 1 · ) 4 1 ( 1 · ) 4 8 ( ·
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
n n X Xi i
El Coeficiente de Variación del Jugador A es: 1,04 4
15 , 4 .
.
X V C
b)Comparar ambos, interpretando el resultado.
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
