USO DEL SOFTWARE CARMETAL PARA POTENCIAR EL APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE DERIVADA AL RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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USO DEL SOFTWARE CARMETAL PARA POTENCIAR EL APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE DERIVADA AL RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

MODALIDAD PROFUNDIZACIÓN

LAURA BUSTOS GUTIÉRREZ JENNY KATHERINE VÁSQUEZ DE ALBA

DIRECTOR:

DR. MARTÍN ACOSTA G.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

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USO DEL SOFTWARE CARMETAL PARA POTENCIAR EL APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE DERIVADA AL RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Trabajo de profundización para optar al título de Magister en Educación de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Por Laura Bustos Gutiérrez y Jenny Katherine Vásquez De Alba.

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Agradecemos a Dios por darnos la vida y hacer posible la realización de este trabajo, permitiéndonos culminar esta etapa profesional.

A nuestras familias por apoyarnos en cada decisión y motivarnos constantemente para alcanzar nuestros anhelos.

A nuestro director por brindarnos su apoyo y conocimientos para la ejecución del trabajo

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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ... 9

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ... 10

1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ... 12

1.2. OBJETIVOS ... 12

1.2.1. OBJETIVOGENERAL ... 12

1.2.2. OBJETIVOSESPECÍFICOS ... 12

2. MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGICO ... 13

2.1. TEORÍADESITUACIONESDIDÁCTICAS(TSD) ... 13

2.2. INGENIERÍADIDÁCTICA ... 16

2.2.1. ANÁLISISPRELIMINARES ... 16

2.2.1.1. Análisis didáctico16 2.2.1.1.1. Libros enfocados en definiciones formales... 17

2.2.1.1.2. Libros basados en pasos o reglas para hallar máximos o mínimos ... 19

2.2.1.1.3. Libros basados en pasos para resolver problemas de optimización justificados desde definiciones formales ... 21

2.2.1.1.4. Libro con justificaciones geométricas y algebraicas para hallar máximos y mínimos 24 2.2.1.2. Análisis epistemológico28 2.2.1.2.1. Método para hallar máximos y mínimos ... 28

2.2.1.2.2. Lugares geométricos en la historia ... 30

2.2.1.2.3. La función como lugar geométrico ... 32

2.2.1.2.4. Ejemplo del uso de un Lugar Geométrico para la resolución de un problema 34 2.2.1.3. Análisis cognitivo36 2.2.1.3.1. Línea de razonamiento para encontrar el punto máximo o mínimo de una curva 36 2.2.1.3.2. Línea de razonamiento para calcular la pendiente de una recta tangente . 38 2.2.2. FASEII.DISEÑO YANÁLISISAPRIORI ... 40

2.2.2.1. Primera Actividad42

2.2.2.2. Segunda Actividad50

(5)

5

2.2.2.4. Cuarta Actividad59

2.3. PILOTAJE ... 65

2.3.1. PRIMERAACTIVIDAD ... 65

2.3.2. SEGUNDAACTIVIDAD ... 75

2.3.3. TERCERAACTIVIDAD ... 80

2.3.4. PROBLEMA2:“ELVOLUMENMÁXIMODEUNACAJASINTAPA”. .... 83

2.3.5. CUARTAACTIVIDAD ... 92

3. CONCLUSIONES ... 95

4. REFLEXIONES ... 99

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TABLA DE FIGURAS

Figura 1. Método para probar máximos y mínimos ____________________________________________ 18

Figura 2. Ejemplo para hallar puntos críticos de una función mediante la derivada __________________ 18

Figura 3. Reglas para resolver problemas de optimización ______________________________________ 19

Figura 4. Pasos para la resolución de problemas aplicados de optimización _______________________ 20

Figura 5. Definición de valores extremos desde lo geométrico ___________________________________ 21

Figura 6. Solución de un problema de optimización aplicando 4 pasos ____________________________ 22

Figura 7. Ejemplo de solución de un problema de optimización, aplicando nueve pasos _______________ 23

Figura 8. Explicación del método para hallar máximos y mínimos (p.106) __________________________ 24

Figura 9. Explicación geométrica del criterio de la segunda derivada _____________________________ 25

Figura 10. Ejemplo de cómo hallar máximos y mínimos utilizando cuatro pasos _____________________ 25

Figura 11. Análisis gráfico de un problema de optimización. ____________________________________ 26

Figura 12. Espiral de Arquímedes como lugar geométrico para resolver el problema de la trisección de un ángulo (Del Río, 1996, p. 19) _____________________________________________________________ 31

Figura 13. Problema de Pappus (Del Río, 1996, p. 38) _________________________________________ 32

Figura 14. Traza del punto O _____________________________________________________________ 34

Figura 15. Uso de un lugar geométrico para resolver un problema _______________________________ 35

Figura 16. Modelo en CaRMetal que representa la situación del hexágono, junto con los valores de

perímetro y área. _______________________________________________________________________ 42

Figura 17. Invalidación de la estrategia perceptiva utilizando zoom y precisión numérica _____________ 43

Figura 18. Traza del punto P _____________________________________________________________ 45

Figura 19. Calculo del área del hexágono dividiendo el hexágono en dos rectángulos. ________________ 46

Figura 20. Gráfica de la función que modela la relación de la longitud de un lado del hexágono con su área. _____________________________________________________________________________________ 47

Figura 21. Zoom en el punto E ____________________________________________________________ 49

Figura 22. Punto máximo V ______________________________________________________________ 49

Figura 23. Objetos físicos de la actividad ___________________________________________________ 51

Figura 24. Estrategia para medir el objeto inclinando la regla ___________________________________ 51

Figura 25. Estrategia para medir el objeto utilizando las dos reglas ______________________________ 52

Figura 26. Estrategia para medir el objeto ubicando la regla graduada en la pared __________________ 52

Figura 27. Uso del nivel para validar horizontalidad de la regla no graduada ______________________ 53

Figura 28. Uso de los dos niveles para garantizar horizontalidad y perpendicularidad de las reglas _____ 53

Figura 29. Recta paralela al eje x que pasa por el punto L ______________________________________ 54

Figura 30. Formas de verificar que la recta no es tangente ______________________________________ 55

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7

Figura 32. Traza del punto R que representa la pendiente de todas las tangentes. ____________________ 57

Figura 33. Lugar geométrico de las pendientes de todas las rectas tangentes a la curva _______________ 58

Figura 34. Recta tangente que pasa por I con pendiente igual a 0. ________________________________ 58

Figura 35. Área máxima del hexágono ______________________________________________________ 59

Figura 36. Punto J superpuesto en E _______________________________________________________ 60

Figura 37. Calculo de la pendiente de la recta secante y de la recta tangente a la curva _______________ 61

Figura 38. Traza del punto M que representa la pendiente de todas las secantes que pasan por el punto E. 62

Figura 39. Lugar geométrico pendiente de todas las secantes ____________________________________ 63

Figura 40. Traslado de la distancia de la pendiente sobre el punto fijo E ___________________________ 64

Figura 41. Recta tangente a la gráfica de una función cuadrática por el punto E _____________________ 64

Figura 42. Modificación en el aspecto de la traza_____________________________________________ 67

Figura 43. Construcción realizada por el estudiante para hallar el punto máximo de la traza. __________ 67

Figura 44. Punto máximo por aproximación _________________________________________________ 68

Figura 45. Estrategia de aproximación para determinar el área máxima ___________________________ 69

Figura 46. Estrategia de dividir el hexágono en dos rectángulos _________________________________ 70

Figura 47. Procedimientos algebraicos de EC2 y su verificación en CaRMetal ______________________ 71

Figura 48. Proceso algebraico inicial. ______________________________________________________ 71

Figura 49. Uso de la herramienta grafica de funciones para verificar la expresión algebraica encontrada 72

Figura 50. Gráfica de la función que modela el problema _______________________________________ 73

Figura 51. Expresión del área ____________________________________________________________ 74

Figura 52. Verificación de la estrategia aumentando los decimales y haciendo zoom _________________ 74

Figura 53. Invalidación de estrategia perceptiva- Punto fuera de la curva __________________________ 75

Figura 54. Medición del balón usando los dos niveles. _________________________________________ 75

Figura 55. Medición de la altura del balón, teniendo en cuenta que la regla graduada este de manera perpendicular con la mesa. _______________________________________________________________ 76

Figura 56. Medición del balón cumpliendo perpendicularidad y tangencia. _________________________ 76

Figura 57. Medición del balón sin hacer uso de los niveles. _____________________________________ 77

Figura 58. Medición de la altura del balón, teniendo en cuenta que el nivel se encuentre de manera

horizontal y tangente al objeto. ____________________________________________________________ 77

Figura 59. Conclusión de un estudiante de grado undécimo _____________________________________ 78

Figura 60. Medición de la sombrilla utilizando los dos criterios para calcular la altura máxima de un objeto _____________________________________________________________________________________ 78

Figura 61. Medición de la altura de la sombrilla por parte de los estudiantes de grado undécimo _______ 79

Figura 62. Medición de la altura del sombrero y conclusión de la actividad ________________________ 79

Figura 63. Estrategia de eje de simetría para calcular el punto máximo de la curva. __________________ 80

Figura 64. Calculo numérico del vértice de la parábola ________________________________________ 82

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8

Figura 66. Traza del Punto W que relaciona un lado de la caja con el volumen ______________________ 83

Figura 67. Invalidación de la estrategia del punto medio para hallar el punto máximo de la curva _______ 84

Figura 68. Estrategia de aproximación para calcular el volumen máximo de la caja __________________ 85

Figura 69. Invalidación de la expresión algebraica obtenida ____________________________________ 85

Figura 70. Validación de la expresión algebraica obtenida ______________________________________ 86

Figura 71. Invalidación de estrategia de aproximación a partir de una recta horizontal _______________ 87

Figura 72. Uso de la herramienta zoom para calcular el punto máximo de la gráfica de la función ______ 89

Figura 73. Traza del punto edd que describe una parábola ______________________________________ 90

Figura 74. Punto máximo de la gráfica de la función cúbica mediante la estrategia de generalización ____ 91

Figura 75. Estrategia de volver una recta secante como recta tangente a partir del arrastre de un punto móvil TE, hacia un punto fijo P ____________________________________________________________ 92

Figura 76. Traza del punto Ñ _____________________________________________________________ 93

(9)

9

INTRODUCCIÓN

En la enseñanza del cálculo diferencial se presentan dificultades de aprendizaje; una de las

causas radica en querer enseñar definiciones formales, olvidando las ideas geométricas que

fueron la base para llegar a la formalización. A raíz de esto, se propone un trabajo de

profundización que va enfocado al diseño de situaciones adidácticas desde la Teoría de

Situaciones de Brousseau (1986), que aporten al currículo de matemáticas mediante una

posible incorporación de la geometría para la enseñanza de la noción de derivada, que

podrá ser utilizada en la resolución de problemas de optimización sin acudir a expresiones o

definiciones formales.

Para orientar la propuesta se toma la metodología de Ingeniería Didáctica abordando

únicamente las fases de análisis preliminares y concepción y análisis a priori, puesto que no

se realizará implementación, sólo se llevará a cabo el diseño de situaciones adidácticas. Las

situaciones diseñadas serán desarrolladas en el software CaRMetal1, el cual no se toma como un tipo de motivación, sino como una herramienta que permite al estudiante resolver

problemas de matemáticas. La pregunta que orienta esta propuesta es: ¿cómo utilizar el

software CaRMetal para potenciar el aprendizaje del método de la derivada para la

resolución de problemas de optimización?

De esta manera, el objeto de profundización es diseñar un conjunto de situaciones

adidácticas que contribuyan a la construcción de sentido de las estrategias de resolución de

problemas de optimización, a partir de la interpretación geométrica de las mismas,

aprovechando el potencial de un software matemático.

1_{CaRMetal es un software libre de Geometría Dinámica, ofrece un enfoque basado en el concepto de manipulación directa.}

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10

1.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La presente propuesta se ubica en el campo de la didáctica de las matemáticas, en la

didáctica del cálculo. El cálculo diferencial e integral contiene elementos que son

necesarios para resolver problemas donde se incorporen ideas como el “cambio y la

variación, la variación instantánea, los procesos infinitos y las situaciones límite”

(Cantoral, 1993. p.4), lo cual puede ser aplicable en las ciencias y las ingenierías. Por lo

tanto, es un área importante en el currículo de matemáticas tanto en secundaria como en la

universidad.

El cálculo diferencial e integral constituye materia obligada, en el currículo de las carreras de ingeniería, ciencias e incluso en carreras del área de ciencias sociales. Sin embargo, los reportes de fallas en el aprendizaje del cálculo son frecuentes y por ende este es uno de los problemas que más preocupa a la comunidad educativa. (ANUIES, 2002, citado en Cuevas &Pluvinage, 2009, p.45).

Conceptos como función, límite y derivada tienen fundamentos geométricos; muchos de los

procedimientos del cálculo necesitan una interpretación geométrica, como se muestra en el

estudio de Cantoral (1993): “los problemas que dieron origen al cálculo se pueden encontrar desde la antigüedad clásica en aquellos de cuadratura, curvaturas (…) y las ya famosas paradojas sobre el infinito” (p.2). Sin embargo, la fundamentación formal de dichos conceptos y procedimientos se realizó principalmente desde la aritmética y el

álgebra. Acosta, Camargo, Castiblanco &Urquina (2004) afirman:

Durante muchos siglos la geometría se constituyó en la base de toda ciencia, pero ante la necesidad de superar los obstáculos de la percepción y de la intuición para dar un fundamento exclusivamente racional a la ciencia, perdió su papel protagónico para cederlo al análisis y al álgebra. (p.8)

La tendencia a enseñar los conceptos de cálculo desde su definición formal genera

dificultades, ya que se pierde la relación de los conceptos con su epistemología. Un claro

ejemplo de estas dificultades se ve en la noción de límite: “las dificultades en torno al

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11 Lara (1997) plantea que:

A pesar de las dificultades inherentes al concepto de límite, la enseñanza del mismo, tradicionalmente se ha realizado dentro de un sistema semiótico de representación algebraico que muy poco o nada ha contribuido a mejorar el entendimiento de la noción de límite. Este método de enseñanza basado en el manejo algebraico de límite, está profundamente enraizado en la mente de quienes tienen la tarea de enseñarlo. (p. 135)

Identificamos entonces dos causas de dificultades en el aprendizaje del cálculo diferencial:

un excesivo énfasis en la definición formal de los conceptos y una marginalización de las

ideas geométricas que dieron origen a los métodos de solución de problemas de cálculo. El

interés de este trabajo es buscar alternativas de enseñanza de algunos temas de cálculo,

basándose en las ideas geométricas que permiten construir el sentido de las estrategias de

resolución de problemas, aprovechando el potencial de un software matemático.

En efecto, diversas investigaciones han mostrado evidencias de que el software matemático

puede contribuir a mejorar los procesos de comprensión de conceptos matemáticos

complejos y el aprendizaje de los mismos. Santos (2007) ha encontrado en sus

investigaciones que: “el uso del software dinámico puede resultar una herramienta

poderosa para los estudiantes en términos de generar representaciones dinámicas del problema, que les permitan identificar relaciones matemáticas.” (p.35).

En síntesis, este trabajo de profundización se propone diseñar actividades de enseñanza

alrededor de las nociones de derivada y límite aprovechando el potencial del software

matemático. Más concretamente, se escogen los problemas de optimización ya que son un

tipo de problemas que resuelve el cálculo y además tienen aplicaciones geométricas. Se

utiliza el software CaRMetal que permite trabajar representaciones geométricas y

algebraicas, y que además tiene la ventaja de ser gratuito y funcionar en distintos sistemas

operativos. Se utiliza la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) como teoría de referencia

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1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN

¿Cómo dar sentido a las estrategias de resolución de problemas de optimización por medio

de la noción de derivada, favoreciendo la interpretación geométrica de las mismas

utilizando el potencial del software CaRMetal?

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. OBJETIVO GENERAL

Diseñar un conjunto de situaciones adidácticas que aprovechen el potencial del software

CaRMetal, para dar sentido a las estrategias de resolución de problemas de optimización

por medio de la noción de derivada, favoreciendo la interpretación geométrica de las

mismas.

1.2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Analizar el método expuesto en los libros de cálculo para la solución de problemas de

optimización identificando el rol de la geometría en su comprensión y justificación.

 Identificar las posibles dificultades epistemológicas, didácticas y cognitivas que

enfrentan los estudiantes cuando trabajan en la solución de problemas de optimización.

 Determinar las posibles acciones de los estudiantes al resolver problemas en CaRMetal

y las correspondientes retroacciones del software, para identificar si el estudiante está

en capacidad de validar o invalidar sus acciones.

 Formular tareas relacionadas con la solución de problemas de optimización que lleven a

los estudiantes a interactuar con el software CaRMetal y de esta manera construir

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13

2.

MARCO TEÓRICO Y METODOLÓGICO

En este apartado se presenta la TSD como el principal referente teórico que orienta esta

propuesta. Para dar cuenta de los objetivos es necesario activar un dispositivo

metodológico: la Ingeniería Didáctica, desde un nivel de micro ingeniería donde se abordan

las fases I (Análisis preliminares) y II (Concepción y análisis a priori).

2.1. TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS (TSD)

La TSD es el referente principal en esta propuesta por dos razones: 1) porque permite

identificar con claridad el rol del software matemático en el proceso de enseñanza

aprendizaje y 2) porque busca la construcción con sentido de los conocimientos

matemáticos, que es un interés principal de este trabajo. La TSD define el sentido de un

conocimiento como su carácter idóneo en tanto herramienta para la resolución de un

problema. La construcción con sentido de un conocimiento incluye entonces la

comprensión del problema, la posibilidad de utilizar diferentes estrategias para resolverlo y

la posibilidad de evaluar esas diferentes estrategias, su alcance y sus limitaciones, de

manera que la estrategia óptima sea el conocimiento matemático.

En referencia a la primera razón de elegir la TSD, Acosta (2010), afirma que ésta teoría

contribuye a examinar el rol de la tecnología en la enseñanza de las matemáticas, al mismo

tiempo que sirve de guía para el diseño de secuencias de enseñanza. El propósito de este

autor es plantear cómo esta teoría provee de un modelo de aprendizaje en el que el software

puede considerarse como un medio adecuado para que la interacción entre los alumnos y

dicho medio produzca aprendizaje.

En esta investigación el software CaRMetal será el medio con el cual el estudiante irá a

interactuar, validando a través de éste sus estrategias matemáticas e invalidando las no

matemáticas. Para Brousseau (1986), el medio se puede definir desde la teoría como una entidad que el profesor adapta con el propósito de obtener los objetivos de aprendizaje. Las

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14 produce conocimiento a través de la adaptación a un medio resistente con el que interactúa.

Según Acosta, Monroy & Rueda (2010) el aprendizaje por adaptación se puede interpretar

como:

El sujeto tiene una intención (una necesidad, un objetivo) y para alcanzarla realiza una acción sobre el medio. El medio reacciona a esa acción (lo cual recibe el nombre de retroacción). El sujeto interpreta esta retroacción para poder validar o invalidar su acción; es decir, para decidir si alcanzó o no lo que se proponía. Si la acción que realizó el sujeto no alcanza lo que él quería, entonces la validación es negativa, y el sujeto modifica su acción para poder alcanzar lo que se propone. Si la acción sí alcanzó lo que el sujeto quería, la validación es positiva y el sujeto refuerza dicha acción. (p.175)

Por lo anterior, el aprendizaje por adaptación es el que se produce por interacción entre un

sujeto y un medio; en dicho aprendizaje no interviene el profesor. El estudiante aprende

adaptándose a un medio que debe ser exterior, debe ser material, no debe tener ninguna

intención de enseñanza, debe reaccionar e imponer restricciones a la acción.

Además del aprendizaje por adaptación, se tienen en cuenta dos elementos de esta teoría

que son el proceso de devolución y el de validación. Según Brousseau (2007) La

devolución “es el acto por el cual el docente hace que el alumno acepte la responsabilidad de una situación de aprendizaje (adidáctico) o de un problema y acepte él mismo las consecuencias de esta transferencia” (p. 87). La validación se entiende como el proceso

donde “el alumno no sólo tiene que comunicar una información sino que también tiene que afirmar que lo que dice es verdadero en un sistema determinado, sostener su opinión o presentar una demostración” (p. 23).

Al implementar esta teoría es importante distinguir entre situaciones adidácticas y

didácticas. Para establecer la diferencia entre estos dos tipos de situaciones referenciamos a

Acosta et al. (2010) quienes establecen que:

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15 Para estos investigadores, al interior de la situación didáctica se encuentran las situaciones

adidácticas empleadas por el profesor para que los estudiantes construyan un conocimiento.

Partiendo de esa aclaración, Acosta et al. (2010) consideran que la función principal del

profesor es la de preparar la situación adidáctica, y su intervención durante la misma debe

encaminarse a hacerle tomar conciencia al alumno de las acciones que puede realizar y de

las retroacciones del medio, pidiéndole que sea él mismo quien decida si resolvió o no el

problema (validación).

En síntesis, la TSD de Brousseau (1986) ayuda a precisar el problema que se va a estudiar y

diseñar herramientas de intervención. Las ideas principales que van a ser tenidas en cuenta

en este trabajo son: El aprendizaje por adaptación, la relación entre situación didáctica y

situación adidáctica, el papel del medio y los procesos de validación y devolución.

Además de los conceptos teóricos de la TSD, asumimos un principio epistemológico

general de la didáctica de las matemáticas, enunciado por Bachelard (1938) y asumido por

Brousseau (1986): “todo conocimiento es respuesta a una pregunta”. Por lo tanto, es necesario presentar el conocimiento como respuesta a una necesidad sentida por el

estudiante. Esto implica no presentar el conocimiento antes del problema al que da solución

y dar a los estudiantes la posibilidad de experimentar sus propias estrategias de solución.

En resumen, la TSD busca:

1) Tratar de construir el sentido del conocimiento geométrico que se quiere enseñar,

contextualizándolo en una situación problema a la cual responde ese conocimiento.

2) El software es el medio con el cual el estudiante interactúa. Por lo tanto, debe

permitir la utilización de estrategias espontáneas (no matemáticas) y las

retroacciones que ofrece deben posibilitar la invalidación de dichas estrategias,

creando conciencia de la necesidad de una estrategia matemática. Igualmente, las

retroacciones del software deben validar las estrategias matemáticas que

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16

2.2. INGENIERÍA DIDÁCTICA

La metodología que se ajusta al diseño de situaciones adidácticas es la Ingeniería Didáctica

dado que es una metodología para el diseño y análisis de secuencias de clase. Según

Artigue (1995) esta metodología se caracteriza por las realizaciones didácticas en el aula

(concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza), por el registro

de estudio en el cual se ubica y por la validación interna de los análisis. La Ingeniería

Didáctica comprende las siguientes fases:

Análisis preliminares: Pueden ser de carácter epistemológico, de la enseñanza tradicional, de las concepciones, dificultades y obstáculos de los estudiantes, del campo de restricciones. Todo esto se realiza teniendo en cuenta los objetivos específicos de la investigación. Concepción y análisis a priori: El investigador toma la decisión de actuar sobre un determinado número de variables del sistema no fijadas por las restricciones (…) es decir, la organización de una secuencia o de una fase. Experimentación, análisis a posteriori y evaluación: Se basa en el conjunto de datos recogidos a lo largo de la fase de experimentación. (...) En la confrontación de los dos análisis, el a priori y a posteriori, se fundamenta en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la investigación. (Artigue, 1995, pp.38-48)

Cabe aclarar que en esta propuesta sólo se llevan a cabo las dos primeras fases: análisis

preliminares y concepción y análisis a priori.

2.2.1. ANÁLISIS PRELIMINARES

En este apartado se dan a conocer los análisis didáctico, epistemológico y cognitivo, que

son la base para el diseño de las actividades, pues identifican el origen de las nociones que

se van a abordar, su sentido, sus características y las dificultades que pueden tener los

estudiantes al trabajar con ellas.

2.2.1.1. Análisis didáctico

Para analizar los procesos de enseñanza relativos a la solución de problemas de

optimización que se utilizan en el sistema educativo colombiano, se revisaron diez libros de

cálculo de la biblioteca del Colegio San José de Calasanz, examinando la exposición del

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17 Se identificaron tres falencias en la manera de exponer dicho método: 1) No hay referencia

a los significados geométricos de los objetos matemáticos implicados en el método, 2)

ausencia de una intención de explicar o justificar el método y 3) una exposición del método

como una serie de pasos a seguir. De los diez textos que se revisaron, solo uno de ellos

intenta dar explicación geométrica del método, los demás se enfocan en las definiciones

formales o en exponer unos criterios a partir de pasos o reglas sin ningún intento de darle

sentido al método.

Agrupamos estos textos según sus características en común; los tres primeros libros se

enfocan en las definiciones formales, los tres siguientes presentan un método que se basa en

pasos que no son justificados, otro grupo de textos presentan unos pasos, pero en esta

ocasión se observa una intención por justificar su método y en el último fue un texto donde

se presentan justificaciones de las manipulaciones algebraicas desde lo geométrico.

2.2.1.1.1. Libros enfocados en definiciones formales

En este grupo se encuentran los textos: Matemática 2000-11 de Gordillo, Plazas & Villegas (1992), Matemáticas Aplicadas y Conexiones de Minton & Smith (2001) y

Conexiones matemáticas 11 de Restrepo (2006). En ellos se presentan apartados de aplicaciones de la derivada, donde se exponen definiciones como recta tangente, recta

normal, crecimiento y decrecimiento de una función, concavidad de una función, puntos de

inflexión, puntos críticos y se muestran ejemplos de cómo calcular estos puntos críticos.

Por ejemplo, en Matemática 2000-11, se presenta una definición de punto máximo o mínimo, basada en expresiones formales de las cuales no se explicita ningún significado:

Máximo: Es el tope más alto que puede alcanzar una curva cóncava hacia abajo. Si f’(x)= 0 y si f’’(x0) < 0, se dice que x0 es un máximo (…) Mínimo: Un mínimo es el tope más bajo que alcanza una curva cóncava hacia arriba. Si f’(x) = 0 y si f’’(x0) > 0, se dice que x0 es un mínimo (p.193)

En Matemáticas Aplicadas y Conexiones, se aclara que se estudiarán estas nociones (hallar puntos máximos y mínimos) desde el punto de vista matemático. Presentan la

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18 y las justificaciones del método se dejan como trabajo extra-clase para el estudiante como

se puede observar en la figura 1. La resolución de problemas se da a partir de unas “Guías”

que son en otras palabras pasos sobre el método algebraico para hallar puntos máximos o

mínimos.

Figura 1. Método para probar máximos y mínimos

Así mismo, en Conexiones matemáticas 11 se presenta una unidad sobre aplicaciones de la derivada, iniciando con el tema de máximos y mínimos donde se mencionan definiciones

de valor máximo y valor mínimo de una función. Se dan ejemplos de cómo calcular un

máximo o mínimo local de una función a partir de “la prueba de la primera derivada para

clasificar puntos críticos”. Un ejemplo para hallar los puntos críticos de una función se puede ver en la figura 2.

Figura 2. Ejemplo para hallar puntos críticos de una función mediante la derivada

En el anterior ejemplo se parte de la ecuación de una función cúbica y se solicita hallar los

puntos críticos, los intervalos de crecimientos y decrecimiento, los intervalos de concavidad

y los valores máximos y mínimos. Aunque hay una representación geométrica de la

definición de máximo y mínimo a partir de una curva de una función cúbica, no se presenta

la explicación de por qué la derivada de la función se debe igualar a cero; es decir, no hay

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19 En los tres textos mencionados, se presentan ejercicios para hallar los puntos críticos de una

función a partir de la derivada, se sugiere hacer uso de los criterios de la primera y segunda

derivada para determinar si se está hallando un punto máximo o un punto mínimo. Estos

libros se enfocan en las definiciones formales para hallar puntos máximos o mínimos de

funciones.

2.2.1.1.2. Libros basados en pasos o reglas para hallar máximos o mínimos

En el segundo grupo de libros se encuentran Introducción al cálculo de Chávez, Romero, Salgado & Torres (2004), Cálculo I de una variable de Larson y Edwards (2010) y

Cálculo de una variable de Thomas (2010). En estos libros se describen unos pasos o reglas para resolver un problema de optimización.

Por ejemplo, en Introducción al cálculo se muestra que para resolver un problema de optimización es necesario “traducir los enunciados al lenguaje matemático, introduciendo

fórmulas, funciones y ecuaciones”, mencionan además, unas reglas para resolver problemas de optimización como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Reglas para resolver problemas de optimización

Las anteriores reglas describen los pasos sugeridos para resolver un problema de

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20 variable y hallar los puntos máximos o mínimos. Estos son pasos procedimentales

enfocados en lo algebraico, pero no se muestran relaciones geométricas de este método.

De igual forma en los libros Cálculo I de una variable y Cálculo de una variable, se presentan cinco pasos para la resolución de problemas aplicados a la optimización como se

muestra en la figura 4.

Figura 4. Pasos para la resolución de problemas aplicados de optimización

Con los anteriores pasos se observa un método procedimental que conduce a introducir una

ecuación para derivarla, graficarla y ubicar los puntos máximos o mínimos, pero no se

proporciona una justificación de por qué en este método se emplea la primera y segunda

derivada para resolver problemas de optimización y no se hace referencia a conceptos

geométricos para justificar el método.

En este grupo de textos se observa una característica común que se ve reflejada en las

reglas o pasos que se deben aplicar para resolver problemas de optimización. Esto

proporciona un método procedimental donde el estudiante debe realizar manipulaciones

(21)

21

2.2.1.1.3. Libros basados en pasos para resolver problemas de optimización justificados desde definiciones formales

En el siguiente grupo de libros se encuentra Matemática Progresiva de Bedoya y Londoño (1992), SUPERMAT Matemáticas 11 de Ortiz (2000) y Cálculo diferencial e integral de Gardner & Thompson (2013). En estos textos también se presenta unos pasos para resolver

problemas de optimización, pero a diferencia de los anteriores, se intenta dar una

justificación desde las definiciones formales.

Por ejemplo, en Matemática Progresiva, los autores inician el capítulo de optimización con la definición matemática de máximo relativo y mínimo relativo. En el momento de

abordar el concepto de valores extremos o valores críticos se hace una relación entre el

concepto formal de valor crítico de una función y su representación geométrica (figura 5);

no obstante, esta relación se menciona solamente en este apartado y no se vuelve a abordar

en la solución de problemas de optimización.

Figura 5. Definición de valores extremos desde lo geométrico

En la resolución de problemas de optimización, se presentan cuatro pasos que se deben

seguir para resolver las situaciones que más adelante se proponen en el libro como se

(22)

22 Figura 6. Solución de un problema de optimización aplicando 4 pasos

En este ejemplo se puede observar la aplicación de un método para resolver problemas de

optimización basado en cuatro pasos que no son justificados desde lo geométrico y no se

explica un por qué y un para qué se usa la derivada al calcular un punto máximo o mínimo.

De igual manera en SUPERMAT Matemáticas 11, se presenta una unidad de aplicaciones de la derivada donde se manejan “cuatro ideas claves”:

1) El trazado de gráficas: “la primera y la segunda derivada de una función permiten encontrar los puntos críticos de la función”. 2) Máximos y mínimos: “se les llama valores extremos de una función y se

encuentran cuando la derivada de la función es cero”.3) Crecimiento y decrecimiento: “estos intervalos

se obtienen igualando la primera derivada a cero y realizando una tabla de signos”.4)Puntos de inflexión: “si la función es continua se obtienen igualando la segunda derivada a cero. Si la segunda

derivada es positiva, la gráfica es cóncava hacia arriba y en un punto determinado hay un mínimo; si la

segunda derivada es negativa, la gráfica es cóncava hacia abajo y en un punto hay un máximo”.(p.80)

En la figura 7 se muestra como por medio del trazado de gráficas se puede tomar

información para resolver el problema usando nueve pasos en los cuales se aplican los

(23)

23 Figura 7. Ejemplo de solución de un problema de optimización, aplicando nueve pasos

Del texto se puede observar que hay un método que se basa en el trazado de gráficas a

partir de nueve pasos; sin embargo, no se explican las relaciones entre las manipulaciones

algebraicas y sus significados geométricos; además se resuelve el problema en el primer y

segundo paso.

Por su parte; en el Cálculo diferencial e integral, se presenta un capítulo de máximos y mínimos, con cuestionamientos de por qué hay que igualar la derivada a cero y despejar x;

no obstante, aunque se da un capitulo anterior sobre significado geométrico de la derivada

con el uso del software GeoGebra, se terminan resolviendo problemas de optimización

desde un método basado en pasos como tomar la ecuación, derivarla e igualarla a cero. Lo

anterior se ve en el siguiente apartado del texto sobre resolución de problemas de máximos

(24)

24

Cuando se te presente una ecuación y desees calcular el valor de x que hará de y su valor mínimo (o máximo), primero obtén la derivada; después de haberlo hecho escribe su dy/dx como igual a cero y luego obtén el valor de x. Inserta este valor de x en la ecuación original y entonces obtendrás el valor requerido de y. Este proceso recibe comúnmente el nombre de igualar a cero. (p.101)

Figura 8. Explicación del método para hallar máximos y mínimos (p.106)

En la figura 8, se ve una intención por justificar un método para resolver problemas de

optimización; sin embargo, esta explicación no es coherente ni desde las manipulaciones

algebraicas ni desde las representaciones geométricas.

2.2.1.1.4. Libro con justificaciones geométricas y algebraicas para hallar máximos y mínimos

Dentro del grupo de textos revisados, solamente Los caminos del saber Matemáticas 11de Joya (2013), presenta un método para hallar máximos y mínimos donde se justifican las manipulaciones algebraicas desde lo geométrico. Al presentar el criterio de la segunda

derivada, el autor menciona que cuando se está hallando un máximo o mínimo relativo de

una función por medio de la derivada, ésta se debe igualar a cero.

Esto relacionándolo con la representación geométrica es equivalente a decir que cuando se

muestra que la recta tangente a la gráfica es horizontal en ese punto se está determinando

(25)

25 Figura 9. Explicación geométrica del criterio de la segunda derivada

Aunque se menciona esta relación de lo algebraico con lo geométrico, se propone un

procedimiento basado en cuatro pasos para resolver problemas de optimización. Por

ejemplo, en el momento en que se está hallando un punto máximo o mínimo de una función

se le pide al estudiante igualar la derivada a cero y factorizar el denominador, pero no se

explica por qué se debe hacer este último paso como se muestra en la figura 10.

(26)

26 A su vez, se muestra un apartado denominado “análisis gráfico” en el cual se afirma que el método utilizado hasta el momento para trazar la gráfica de una función consistía en

localizar algunos puntos en el plano cartesiano y luego trazar la curva. Según el autor, este

proceso produce algunas imprecisiones al momento de realizar las curvas, por lo que, en

esta unidad, hacen uso de la derivada para realizar el trazo más preciso de algunas gráficas,

para ello muestran cómo hallar máximos y mínimos, cómo determinar en qué intervalos la

función es creciente o decreciente y en qué intervalos la función es cóncava hacia arriba o

cóncava hacia abajo. En la figura 11 se presenta el análisis de la gráfica de un problema de

optimización.

Figura 11. Análisis gráfico de un problema de optimización.

En el anterior problema de optimización se puede observar que a partir de un análisis

gráfico se llega a la solución del problema, sin necesidad de hallar la derivada de la función

(27)

27 En este libro, se indica que “no existe un procedimiento general para la solución de

problemas de optimización”; sin embargo, proponen uno que puede ser de utilidad. Este procedimiento consiste en:

Primero, trazar un esquema y se rotulan o escriben las cantidades proporcionales o requeridas; segundo, se escribe una expresión algebraica para la función, luego, utilizando relaciones entre las variables del problema, se expresa dicha función en términos de una sola variable; después, se hallan los números críticos de la función obtenida y se determinan los máximos y los mínimos mediante el uso de la primera y la segunda derivada; finalmente, se verifican los resultados y se escribe la respuesta según las preguntas planteadas. (p.94)

En síntesis, nueve de los textos escolares consultados presentan una exposición sistemática

del método para hallar máximos y mínimos con ejemplos de su aplicación y con pasos a

seguir, pero no se explica cuál es el sentido de ese método, un por qué y para qué de cada

paso; por el contrario, se hace referencia a definiciones formales de la derivada presentando

una estructura que gira en torno a las manipulaciones algebraicas, más que a la

construcción de significado de las nociones geométricas usadas para resolver un problema

de optimización; tan sólo uno de los diez textos presenta justificaciones del método para

hallar máximos y mínimos haciendo un contraste de lo algebraico con lo geométrico.

A diferencia de lo encontrado en los libros de texto, nuestras actividades buscan construir

un sentido del método de maximización, para lo cual es necesario basarnos en las ideas

geométricas que están a la base en la resolución de los problemas de optimización. Por

ejemplo igualar la derivada a cero equivale a encontrar los puntos de la función en los que

la tangente es horizontal. Por otra parte, pensamos que es necesario plantear el problema

antes de dar la solución y dejar que el alumno experimente sus propias estrategias para

(28)

28 2.2.1.2. Análisis epistemológico

Al realizar un recorrido histórico para encontrar la historia de la derivación, se encuentra

que la idea de derivación surgió por el trabajo con tres problemas: el primero consistía en

calcular el ángulo entre dos curvas, el segundo en encontrar máximos y mínimos de una

curva y el tercero que tenía que ver con el cálculo de la velocidad y aceleración. En este

análisis epistemológico nos centraremos en el segundo problema: hallar máximos y

mínimos de una curva, cuya solución resulta de trazar una recta tangente a la curva que sea

paralela al eje de las abscisas.

2.2.1.2.1. Método para hallar máximos y mínimos

Buscando el origen del método de máximos y mínimos, encontramos que los primeros

trabajos son desarrollados por Fermat y Kepler; no obstante, Fermat inicia su análisis a

partir de los trabajos realizados por Apolonio sobre lugares geométricos.

Según Boyer (1986), “Los teoremas de Apolonio sobre máximos y mínimos son en realidad teoremas sobre tangentes y normales en las secciones cónicas” (p.203) es así como Apolonio estudia las distancias mínimas o máximas con el trazado de rectas normales.

Por su parte, Kepler al resolver este tipo de problemas (máximos y mínimos) demostró

calculando volúmenes para dimensiones específicas, que el cubo es el más grande de los

paralelepípedos rectos inscritos en una esfera.

Kepler tuvo que diseñar cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, además encontró que el paralelepípedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una esfera es el cubo (…) Al acercarse al valor máximo para un cambio fijo en las dimensiones, el volumen crece cada vez más lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada se anula en un máximo relativo. Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que él denomina “pseudo-igualdades”. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento infinitesimal de la variable la función no varía. (Muños & Román, 1999, p.5)

Es a Fermat a quien se le atribuye el primer método para hallar máximos y mínimos y

(29)

29 paralelo al que podemos ver hoy en los libros de cálculo, reconoce que la única diferencia

es que hoy se emplea el símbolo de h o Δx en vez de la E que empleaba Fermat en el incremento de la variable. De acuerdo con Boyer (1986):

Fermat comparaba el valor de f(x) en un cierto punto con el valor de f(x+E) en un punto próximo; en general estos dos valores serán claramente distintos, pero en una “cumbre” o en el fondo de un “valle” de una curva “lisa”, la diferencia será casi imperceptible, por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de la función, Fermat iguala f(x) a f(x+E), teniendo en cuenta que estos valores, aunque no son exactamente iguales, son “casi iguales”. Cuanto más pequeño sea el intervalo E entre los dos puntos, más cerca estará dicha pseudo-igualdad de ser una verdadera ecuación; (…) divide todo por E, hace E=0. El resultado le permite calcular las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la función polinómica. (p.440)

Por lo anterior se menciona a Fermat como el precursor de un método general para la

determinación de máximos y mínimos. Bessot, D. et al. (1999), hacen la siguiente

interpretación del método de Fermat: “El fundamento del método de Fermat – más allá de

su apariencia algorítmica- consiste en esto: cuando la ordenada llega a un extremo, hay, de cada lado de esta, otras dos ordenadas cercanas que son iguales entre ellas”. (p.123)

En términos geométricos, toda recta paralela al eje de las abscisas corta la curva en dos

puntos; cuando estos dos puntos están infinitamente cercanos su ordenada es el extremo de

la curva (y la recta será tangente a la curva). Por lo tanto, podemos afirmar que el método

de Fermat es equivalente a calcular la abscisa del punto de la curva cuya tangente es

paralela al eje de las abscisas.

El método que aparece en los libros de texto, que consiste en calcular la función derivada e

igualarla a cero es precisamente una solución del problema de calcular la abscisa de un

punto de la curva cuya tangente sea paralela al eje de las abscisas. Al calcular la función

derivada se obtienen las pendientes de las rectas tangentes en todos los puntos de la curva,

y al igualar la derivada a cero se encuentran los puntos cuyas tangentes son paralelas al eje

(30)

30 Para comprender geométricamente el método de la maximización utilizando la derivada es

necesario comprender qué es una curva, qué es una función y que para calcular la altura de

una curva hay que encontrar una recta tangente que sea paralela al eje de las abscisas.

Epistemológicamente hay varias dificultades para comprender y aplicar el método de

maximización; una de ellas es comprender las definiciones de límite y de derivada. En esta

investigación proponemos unas alternativas geométricas al uso de la derivada y el límite,

para ello utilizaremos el concepto de lugar geométrico para no utilizar la definición formal

de derivada ni la de límite. De esta forma, llegamos a identificar que vamos a trabajar en

dos problemas diferentes:

I. Identificar que para calcular la altura de una curva es necesario encontrar los puntos

donde la tangente es horizontal o paralela al eje de las abscisas.

II. Tomar conciencia de que no es posible calcular directamente la pendiente de una

recta tangente a una curva en un punto, y comprender el uso de funciones como

lugares geométricos para hacer ese cálculo (sin utilizar el concepto de límite).

2.2.1.2.2. Lugares geométricos en la historia

En su libro Lugares Geométricos, Del Rio (1996), realiza un breve tratado de los lugares

geométricos siguiendo el desarrollo histórico de la matemática. Para ello menciona los tres

problemas griegos clásicos (la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección

del ángulo) como punto de partida en el descubrimiento de las secciones cónicas como

lugares geométricos que permiten resolver esos problemas.

Entre los matemáticos que estudiaron estos problemas, se encuentra Arquímedes. En su

libro Sobre las espirales, descubre la espiral como lugar geométrico para resolver el problema de la trisección del ángulo:

(31)

31 Figura 12. Espiral de Arquímedes como lugar geométrico para resolver el problema de la

trisección de un ángulo (Del Río, 1996, p. 19)

Para trisecar el ángulo AOB (figura 12) dibujamos la espiral con el origen en O y semirrecta OA. Sea P el punto donde la espiral corta por vez primera al lado OB del ángulo. Dividimos el segmento OP en tres partes iguales por medio de los puntos O y R. Trazamos las circunferencias con centro en O y radios OR y OQ respectivamente. Cortan a la espiral en los puntos U y V. Las semirrectas OU y OV dividen al ángulo AOB en tres ángulos iguales. (Del Río, 1996, p. 19)

El anterior es un claro ejemplo de la utilización de un lugar geométrico para resolver un

problema: Se construye el lugar geométrico y se busca la intersección con otros objetos.

Paralelamente, Apolonio estudia en su obra Lugares planos, lugares geométricos rectilíneos o circulares. En el libro II aparecen dos importantes lugares geométricos:

1) Lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia entre los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante(es una recta perpendicular a la que determinan los dos puntos).

2) Lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijos es una constante distinta de la unidad (es una circunferencia). (Del Rio, 1996, p.21)

Otro matemático que utilizó los lugares geométricos para resolver problemas, fue Descartes

(1596-1650) quien encontró métodos geométricos en la resolución del famoso problema de

Pappus sobre la determinación del lugar de las cuatro rectas:

(32)

32 Figura 13. Problema de Pappus (Del Río, 1996, p. 38)

Fermat por su parte, al intentar reconstruir los Lugares planos de Apolonio, descubre el

principio fundamental de la geometría analítica: “Siempre que en una ecuación final aparezcan dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de una de ellas una línea, recta o curva” (Boyer; 1986, 437).

En todos estos ejemplos históricos vemos como los matemáticos usaban lugares

geométricos intersectándolos con otros objetos para resolver problemas. Igualmente, los

matemáticos se dedicaron a estudiar los lugares geométricos en sí mismos.

2.2.1.2.3. La función como lugar geométrico

Una función es un tipo particular de lugar geométrico, ya que es la trayectoria de un punto

en el que al variar la abscisa, varía la ordenada. Una función es un lugar geométrico que

expresa la variación de una cantidad, por lo tanto es la relación entre la abscisa y la

ordenada (del punto que describe el lugar geométrico) como cantidades.

Para la comprensión del concepto de función y de gráfica de una función es necesario

mencionar la concepción de gráfica de función como lugar geométrico en el que hay una

dependencia numérica (como se aborda en esta investigación). Se retoman las siguientes

definiciones de lugar geométrico del libro Geometría analítica, del profesor Lehmann, C.

(1989):

(33)

33 Definición 2. Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas.

Definición 3. Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma (x, y) =0 Cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x y y son todas las coordenadas de aquellos puntos, y

solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico. (pp. 33- 51)

Dentro del recorrido histórico que se realizó a los lugares geométricos, encontramos que se

asociaron las ecuaciones y los lugares geométricos representados por ellas con el concepto de función. Para Descartes una ecuación era una representación algebraica de un lugar

geométrico y de esta manera desarrolló la geometría analítica como uso de las expresiones

algebraicas para resolver problemas de geometría. Así mismo, Fermat dejó clara su idea de

que “la ecuación es la expresión algebraica de las propiedades que caracterizan el lugar

geométrico” (Del Rio, 1996 p.40).

Respecto al término “función” Sastre, Rey & Boubée (2008) mencionan que fue Leibniz el

primer matemático en emplearla, refiriéndose a ésta como: “Cualquier cantidad que varía

de un punto a otro de una curva tal como la longitud de la tangente, de la normal, de la subtangente y de la ordenada”. (p. 147)

Para Newton “las “funciones eran magnitudes geométricas asociadas a curvas o al

movimiento de un cuerpo material (de ahí las funciones del tiempo)” (Muñoz y Román, 1999, p.14) de esta forma las funciones se empiezan a concebir como magnitudes que están estrechamente relacionadas con las curvas. Así mismo, en Farfán & García (2005)

encontramos que Jakob y Bernoulli estudian el cálculo de Leibniz mostrando el poder de

las gráficas de las funciones como una herramienta para la resolución de problemas físicos.

En síntesis, las funciones como lugares geométricos fueron trabajadas por diferentes

matemáticos quienes las concebían como ecuaciones o expresiones analíticas las cuales

(34)

34

2.2.1.2.4. Ejemplo del uso de un Lugar Geométrico para la resolución de un problema

En esta investigación, se ve el lugar geométrico como la congelación de un movimiento. El

poder de los lugares geométricos radica en que brindan información sobre muchos puntos.

El lugar geométrico surge del movimiento de un punto, es decir su trayectoria; pero cuando

se ve ese lugar geométrico como una curva quieta, se obtiene información sobre todos los

momentos del movimiento.

A continuación se ejemplifica el uso del

Lugar Geométrico para resolver el problema:

“Dadas tres rectas paralelas, construir un triángulo equilátero que tenga sus vértices en esas tres rectas”.

I. Se determina un punto A en la recta roja y un punto M sobre la recta azul

como se muestra en la figura 14. Figura 14. Traza del punto O

II. A partir de esos dos puntos se construye un triángulo equilátero utilizando dos circunferencias y su intersección O.

III. Como en el problema se pide construir un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentren en cada una de las rectas paralelas, se debe buscar que el punto O quede

sobre la paralela verde. Si se activa la herramienta traza de ese punto O, se observa

la huella que va dejando el punto O cuando se mueve el punto M, como se muestra

en la figura 14.

IV. El punto buscado es la intersección de esa huella con la recta verde. En la pantalla puede identificarse que el Lugar Geométrico de O cuando se mueve M, tiene la

(35)

35

V. Si se construye la recta que corresponde al lugar geométrico de O y su intersección (C) con la recta verde, se puede utilizar ese punto C para construir el triángulo

equilátero ABC, que tendrá sus tres vértices sobre las rectas paralelas. Se traza la

recta CA y con la herramienta compás se traslada la distancia CA hasta la paralela

azul obteniendo AC=AB=CB como se muestra en la figura 15.

Podemos verificar que se cumple una

primera condición y es que el punto C está

ubicado en la recta paralela color verde y

que todos los puntos que forman la recta que

pasa por OC cumplen la condición de

describir el movimiento del punto O. Por lo

tanto, se ha construido el triángulo

equilátero ABC cuyos vértices se encuentran

en cada una de las rectas paralelas y esto fue

posible gracias al lugar geométrico del punto

O cuando se movía el punto M.

Figura 15. Uso de un lugar geométrico para resolver un problema

Este análisis epistemológico nos aporta en el diseño de las actividades, al permitirnos

identificar la interpretación geométrica del método de la derivada para hallar puntos

máximos y mínimos, así como las relaciones entre la noción de curva o gráfica de una

función y el concepto de lugar geométrico. Por una parte se hace necesario introducir la

curva de una función que modela el problema a optimizar, para utilizarla en la

determinación del máximo. Determinar el máximo de una función equivale a medir la

altura de su gráfica. Por otra parte, es necesario plantear actividades que relacionen la tarea

de medir la altura de una curva con la tarea de encontrar los puntos de la curva en los que la

(36)

36 Además, es posible representar la derivada como un lugar geométrico, sin necesidad de

trabajar una definición formal o una representación algebraica. Si se construye el lugar de

los puntos cuyas coordenadas representan la relación que existe entre la abscisa de un punto

de la función y la pendiente de la tangente en ese punto, puede encontrarse la intersección

de este lugar con el eje de las abscisas, lo cual equivale a encontrar los ceros de la función

derivada.

2.2.1.3. Análisis cognitivo

En este apartado buscamos identificar las dificultades cognitivas que pueden enfrentar los

estudiantes al trabajar en la solución de problemas de optimización utilizando las nociones

geométricas que están a la base del método de la derivada y proponer estrategias para

superar esas dificultades.

Desde la revisión histórico-epistemológica consideramos que el método de la derivada para

hallar máximos y mínimos consiste en encontrar los puntos de la gráfica de la función en

los cuales la recta tangente es horizontal. El método de Fermat busca precisamente

garantizar la tangencia de una recta horizontal a la curva de una función y es un artilugio

numérico para garantizar esa tangencia.

Para trabajar sobre el sentido del método basándonos en los significados geométricos, es

necesario seguir dos líneas de razonamiento: una para calcular la pendiente de una recta

tangente a una curva en un punto y otra para encontrar el punto máximo o mínimo de una

curva conociendo las pendientes de las rectas tangentes.

2.2.1.3.1. Línea de razonamiento para encontrar el punto máximo o mínimo de una curva

La estrategia de calcular la derivada de la función e igualarla a cero para encontrar los

puntos máximos o mínimos de una función equivale a encontrar todas las pendientes de las

(37)

37 horizontales. Por lo tanto, la estrategia geométrica necesita partir de la curva de una

función; comprender que para medir la altura de esa curva es necesario encontrar una recta

tangente a la curva que sea horizontal y para determinar esa recta es necesario considerar

todas las rectas tangentes a esa curva y concebir una manera de identificar los puntos de la

curva en los que esas tangentes son horizontales.

Para seguir esta línea de razonamiento se necesita calcular la ecuación de una función y

trazar su gráfica; después de obtener la gráfica (curva) de la función que modela el

problema, es necesario poder trazar la recta tangente a la curva que sea paralela al eje de las

abscisas y de esta manera calcular la altura de la curva.

Como ya lo mencionamos, una estrategia que permite determinar esa recta tangente

horizontal, consiste en considerar todas las rectas tangentes y determinar aquellas que son

horizontales. Podemos entonces utilizar el lugar geométrico que representa todas las

pendientes de todas las rectas tangentes y determinar el punto de corte de ese lugar

geométrico con el eje de las abscisas, puesto que en esos puntos la pendiente de la recta

tangente es cero.

Para poder utilizar este procedimiento se necesita construir una recta tangente a una curva

en un punto y calcular su pendiente; cuando se tienen ambas, se debe construir la gráfica de

la función que a cada abscisa le asigna la pendiente de la recta tangente; esa gráfica es un

lugar geométrico. En este orden de ideas, el problema será buscar el lugar geométrico que

muestre todas las pendientes de todas las rectas tangentes, construirlo y encontrar el corte

con el eje de las abscisas.

Al desarrollar esta línea de razonamiento identificamos tres grandes dificultades: la primera

al momento de calcular la ecuación que modela el problema y las otras dos al construir una