FACULTAD DE MATEM ´ATICA
Interogaci´on 2 - 03
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10
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2017
∗Curso: C´alculo I
Sigla: MAT1116 - Segundo Semestre 2017
Profesor: Giuseppe De Nittis ([email protected]) Ayudante: Manuel Concha ([email protected])
NOMBRE:
APELLIDO:
R.U.T.:
Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 N. T.†
• Tiempo: 120 minutos
• Sin consultas de libros y notas
Ejercicio 1 (Conjuntos compactos)
(1,5 puntos)Se recuerda que un conjuntoX ⊂Rescompactosi y s´olo si es cerrado y acotado.
(a) Pruebe que la uni´on finita y la intersecci´on arbitraria de conjuntos compactos es un
conjunto compacto. (0,5 punto)
(b) Pruebe que siX ,∅es compacto los siguientes conjuntos
S := {x+y|x,y∈X} y P := {x·y|x,y∈X}
tambi´en son compactos. (0,5 punto)
(c) “Un conjunto compacto puede ser discreto e infinito al mismo tiempo”. Comente,
motivando, esta afirmaci´on. (0,5 punto)
∗Soluciones y notas estar´an disponibles en la p´agina web:
https://gdenittis.wordpress.com/courses/calculo-i-mat1116/interrogaciones-y-examen/
Ejercicio 2 (Funciones continuas)
(1,5 puntos)SeanXyY subconjuntos deRy f : X→ Yuna funci´on continua.
(a) Recuerde la definici´on depunto interiory demuestre que siy0= f(x0) cony0 ∈Int(Y)
entoncesx0∈Int(X). (0,5 punto)
(b) Demuestre que siV ⊆Y es un abierto entonces
f−1(V) := {x∈X | f(x)∈V}
es tambi´en abierto. (0,5 punto)
(c) ¿SiU ⊆ X es un abierto se puede concluir que tambi´en f(U) es abierto? ¿Por qu´e?
¿Y f(U) es cerrado? ¿En qu´e relaci´on est´an f(U) y f(U)? (0,5 punto)
Ejercicio 3 (Serie con signo)
(1,5 puntos)Dadox∈R, considere la serie
S(x) :=
+∞
X
n=1
(x−2)n
3n np(x) , con p(x) := cos
π
4x
(a) Diga por cuales valores del par´ametrox∈Rla serie es absolutamente convergente.
(0,5 punto)
(b) ConsidereS :R →Rcomo una funci´on. Diga cu´al es el dominio de definici´on de la
funci´on
f(x) = S(x)
√
1+ x.
(0,5 punto)
(c) Por simplicidad, considere ahorap(x)= 1. Pruebe que f es continua inx=0.
(0,5 punto)
Ejercicio 4 (L´ımites)
(1,5 puntos)Considere la funci´on
f(x) := 1
1 + ex13
tan(x) .
(b) Diga si f tiene discontinuidades de segunda especie y justifique la respuesta.
(0,5 punto)
Soluci´on Ejercicio 1.
(a) SeaIun conjunto de ´ındices yKαconα∈Iuna familia de conjunto compactos. Para todo
α∈Iexiste una una constante realcα> 0 tal que|x|6 cα six∈Kα. SiIes finito, entonces
Ku :=
[
α
Kα
es cerrado (uni´on finita de conjuntos cerrados es cerrada). Adem´as, si cmax := maxα∈I{cα} (existe porque I es finito) para todo x∈ Ku vale que|x|6 cmax, o seaKu tambi´en es acotado.
Por lo tantoKues compacto. Sea ahoraI un conjunto arbitrario. El conjunto
Ki :=
\
α
Kα
es cerrado (intersecci´on arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada). Adem´as Ki ⊆ Kα para
para cualquierα∈I implica queKies tambi´en acotado. Por lo tanto Kues compacto.
(b) C´omo X es acotado existe unc > 0 tal que |x| 6 c para todo x ∈ X. Por lo tanto si
s= x+y∈S sigue que|s|6 2cy sip= x·y∈Psigue que|p|6 c2. Eso prueba queS yPson
tambi´en acotados. Si probamos queS y Pson cerrados entonces podemos concluir queS y
Pson compactos. Seasun punto adherente deS, a saber existe una sucesi´onsn = xn+yn∈S
tal que limn→∞sn = s. Las dos sucesiones {xn}y {yn}est´an contenidas en X y por lo tanto
|xn| 6 cand|yn| 6 c, o sea {xn} y{yn}son acotadas. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass
existe una subsucesi´on {xnk} convergente tal que limk→∞xnk = x0 ∈ X donde utilizamos el
hecho de queX es cerrado. De otro lado limk→∞ynk = limk→∞(snk − xnk)= s− x0 ∈ X esiste
y tambi´en pertenece a X. Entonces x0 +(s− x0) = s ∈ S y por lo tanto S es cerrado. De
misma manera sea pun punto adherente deP, a saber existe una sucesi´onpn = xn·yn∈Ptal
que limn→∞pn = p. C´omo antes las dos sucesiones{xn}y{yn}est´an acotadas y por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe subsucesiones{xnk}convergentes tal que limk→∞xnk = x0 ∈ X.
Por lo tanto p= limk→∞xnk·ynk = x0·(limk→∞ynk). Si p,0 entoncesx0 ,0 (dado queynk es acotado) y limk→∞ynk = p/x0 ∈Xdado que Xes cerrado. Entonces (p/x0)·x0 = p∈Py por
lo tanto Pes cerrado. Si p = 0 y x0 , 0 entonces limk→∞ynk = 0 ∈ X y 0 = p = x0·0 ∈ P.
Si p =0 yx0 =0 es suficiente tomar cualquiera sucesi´on constanteyn = y0 ∈Xy considerar
pn:= xn·y0∈P.
(c) La afirmaci´on es falsa. De hecho todo conjunto X infinito acotado tiene un punto de
acumulaci´ona ∈ X0 (Teorema 7, pg 58 en el libro de Lima). SiX es compacto, entonces es
Soluci´on Ejercicio 2.
(a) Un puntoy0 ∈Y es interior si existe unε >0 tal que (y0−ε,y0+ε)∈Y. Si f es continua
en x0 entonces para todoε >0 existe unδ(ε)> 0 tal que
x∈X
x0−δ < x< x0−δ
⇒ y0−ε < f(x)<y0−ε
o sea para todo x ∈ (x0 −δ,x0 +δ) vale que f(x) ∈ Y. Eso implica que (x0 −δ,x0+ δ) ⊂
f−1(Y)⊆ Xy eso demuestra quex
0 es un punto interno aX.
(b) Sea x0 ∈ f−1(V) ⊆ X y y0 = f(x0) ∈ V. Si V es abierto existe un ε > 0 tal que
(y0−ε,y0+ε)∈V. Por el punto (a) existe tambi´en unδ(ε)> 0 tal que (x0−δ,x0+δ)⊂ f−1(V).
Por lo tanto cada punto de f−1(V) es interno o sea f−1(V) es abierto.
(c) Sea f(x) := sin(x) con f : R → [−1,+1] y U := (0,4π) un abierto. Entonces f(U) =
[−1,+1] que es cerrado. Esto muestra que la imagen f(U) de un abiertoU en general no es
un abierto.
Sea f(x) := (1+x2)−1con f :
R→ (0,1]. Entonces f(R) = f(R)= (0,1], [0,1]= f(R).
Esto muestra que la imagen f(U) de un cerradono acotado(en el ejemploU = R) en general
no es un cerrado.
Sea y0 ∈ f(U). Eso implica que hay un x0 ∈ U tal que y0 = f(x0). Adem´as hay una
sucesi´on{xn} ⊂U tal que limn→∞xn = x0. Entonces, debido a la continuidad de f la sucesi´on {fn} ⊂ f(U), definida por fn := f(xn), converge: limn→∞ fn = f(limn→∞xn) = f(x0) ∈ f(U)
(las funciones continuas conmutan con los l´ımites). Entonces y0 ∈ f(U) y f(U) ⊆ f(U).
La inclusi´on opuesta no es cierta en general. Considere la funci´on f : N → R definida por
f(n) = (1+n)−1. La funci´on es continua dado queNes discreto. Adem´as N= Nes cerrado
y por lo tanto f(N)= f(N). De otro lado f(N) = f(N)∪ {0}, f(N) dado que 0< f(N). Eso
prueba que en general s´olo vale que f(U)⊂ f(U).
Soluci´on Ejercicio 3.
(a) Se observa que la serie
+∞
X
n=1
q(x)n
np(x)
es absolutamente convergente si:
(i) |q(x)| < 1 y para todo p(x) ∈ R por el criterio de cociente (ver el libro de Lima, Ejemplo 9, pg. 46);
La serieS(x) se puede escribir en la forma
S(x) =
+∞
X
n=1
q(x)n
np(x)
con
q(x) := x−2
3 , y p(x) := cos
π
4x
.
Observando que |q(x)| < 1 si−1 < x < 5, and p(x) 6 1 para todo x ∈ Rsigue que S(x) es absolutamente convergente si−1< x< 5.
(b) La serieS(x) diverge siq(x)> 1 dado que p(x)6 1 por todo x ∈Ry la condici´on (ii) no se puede cumplir. Adem´as, se observa que la serie
+∞
X
n=1
q(x)n
np(x)
es condicionalmente convergente si:
(iii) q(x)= −1 y 0< p(x)6 1 por el teorema de Leibniz.
En el caso especifico tenemos que q(−1) = −1 y p(−1) = √1
2 < 1. Por lo tanto S(x) es
condicionalmente convergente enx= −1.
En resumen, el conjunto [−1,5) es contenido en el dominio de S y [5,+∞) no est´a en el
dominio. De otro lado el dominio de √1+x es [−1,+∞). Por lo tanto el dominio de f es
exactamente [−1,5).
(c) Sabemos que √1+x es continua en x = 0 y por lo tanto s´olo tenemos que probar la
continuidad deS. Dado 0< δ <1, se observa que
|S(2±δ)−S(2)| = |S(2±δ)| 6
+∞
X
n=1
δn
3n n 6 δC
conC :=P+∞
n=1 1
3nn. Por lo tanto, para todoε >0, si se eligeδ(ε)<min{1,
ε
C}, sigue que
|x−2| 6 δ(ε) ⇒ |S(x)| < ε
o seaS es continua enx= 0.
Soluci´on Ejercicio 4.
(a) La funci´on 1x est´a la definida enR\ {0}. La funci´on tanxest´a la definida enR\ {nπ+π2 |n∈
Z}. Por lo tanto
Dom(f) :=
nπ+ π
2
n∈Z
(b) Todos los puntos xn := nπ + π2 con n ∈ Z son discontinuidades de tercera especie. De hecho lim x→x± n
1 + ex13
−tan(x)
=
1 + e
1
(nπ+π2)3
| {z } =:Cn>0
−limx→x±ntan(x)
y
lim x→x±
n
tan(x) = ∓∞.
Por lo tanto
lim x→x+n
1 + ex13
−tan(x)
= “Cn+∞ ” = +∞
lim x→x−
n
1 + ex13
−tan(x)
= “Cn−∞” = 0.
(c) Calculamos los lmites laterales en cero:
lim x→0+
1 + ex13
−tan(x)
= e−limx→0+
"
log1+e
1
x3 !
tan(x)
#
y dado que
log
1 + ex13
= 1
x3 log(e) + log
1 + e−x13
se sigue que
lim x→0+
log
1 + ex13
tan(x)
= log(e) lim
x→0+
1 cos(x) x3
!
| {z } +∞
lim x→0+
sin(x) x
!
| {z } =1
+ lim x→0+
log
1 + e−x13
tan(x)
| {z } =0
= +∞.
Por lo tanto
lim x→0+
1 + ex13
−tan(x)
= “ e−∞ ” = 0. De otro lado, con la sustituci´on x=−t, se consigue
lim x→0−
1 + ex13
−tan(x)
= lim t→0+
1 + e−t13
tan(t)
= “ 10” = 1.
Por lo tantox= 0 es una discontinuidad de primera especie con un salto dado por
S(0) := lim
x→0+ f(x) − x→lim0− f(x) = −1.