1. Carlos tiene cuatro veces la edad que Marcela ten´ıa cuando ´el ten´ıa la edad que ella tiene ahora. Si adem´as se sabe que cuando Marcela tenga la edad que Carlos tiene ahora, la suma de sus edades ser´a de 114 a˜nos, entonces el d´ıgito de las decenas del producto de las edades actuales de Carlos y Marcela corresponde a:
Soluci´on
Si C representa la edad actual de Carlos y M la edad actual de Marcela, entonces C = 4(M − t) y C − t = M de donde C = M + t. As´ı C = 4M − 4t = M + t entonces 3M = 5t(∗). Adem´as como C + t + C = 114 tenemos M + t + t + M + t = 2M + 3t = 114 (∗∗) de donde (∗) y (∗∗) se concluye t = 18, M = 30 y C = 48
As´ı tenemos que 30 · 48 = 1140 cuyo d´ıgito de las decenas es 4.
2. En un campo el pasto crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Si se sabe que 70 vacas se la comer´ıan en 24 d´ıas ¿cu´antas vacas ser´ıan necesarias para comerse todo el pasto en 60 d´ıas?
Soluci´on
Estamos ante un problema de proporciones inversas, en este caso basta ver que si todas las vacas comen a un mismo ritmo, entonces una ´unica vaca se comer´ıa el pasto en 70 · 24 = 1680 d´ıas. Entonces 1680 ÷ 60 = 28 es el n´umero de vacas necesarias para comerse el pasto en 60 d´ıas.
3. El n´umero de ceros que hay al final del n´umero 1 · 2 · 3 · · · · 100 es:
Soluci´on
Para saber cuantos ceros hay debemos saber cuantas veces es 10 factor de ×2 × 3 × · · · × 100. Como cada 10 es formado por un 2 y un 5 y entre el 1 y el 100 aparece m´as veces el 5 que el 2, basta con contar cu´antas veces aparece un 5 o sus m´ultiplos. Tomando en cuenta que en algunos n´umeros el 5 aparece m´as de una vez (como en el 25), concluimos que la cantidad de veces que aparece es 24.
4. Para la cena de clausura de la pr´oxima convenci´on de ejecutivos de una empresa se ha planeado un men´u compuesto por varios tipos de plato fuerte, de ensalada, de bebida y de postre. Se sabe que hay una opci´on m´as de plato fuerte que de postre, el doble de opciones de bebidas que de postres y una opci´on menos de ensalada que de plato fuerte.
Se sabe que si asisten 150 personas a la cena cada una podr´ıa pedir una combinaci´on diferente de men´u, pero si asisten 300 personas, eso no ser´ıa posible.
¿Cu´al es la m´axima cantidad de personas que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinaci´on diferente de men´u?
(Suponga que todos pedir´an exactamente un plato fuerte, una ensalada, una bebida y un postre).
Soluci´on
Si conoci´eramos la cantidad de opciones para cada uno de los componentes del men´u, ´unicamente tendr´ıamos que multiplicar las cantidades de opciones para saber cu´al es la m´axima cantidad de personas que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinaci´on diferente de men´u.
Haremos entonces una tabla para obtener la respuesta solicitada.
Opciones de Opciones de Opciones de Opciones de Total de Plato Fuerte Postre Bebida Ensalada combinaciones
2 1 2 1 4
3 2 4 2 48
4 3 6 3 216
5 4 8 4 640
5. Tres hamburguesas, siete refrescos y una orden de papas fritas cuestan 7150, cuatro hamburgue-sas, diez refrescos y una orden de papas fritas cuestan 9750. ¿Cu´anto cuesta una hamburguesa, un refresco y una orden de papas fritas?
Soluci´on
Como tres hamburguesas, siete refrescos y una orden de papas fritas cuestan 7150, entonces 9 hamburguesas, 21 refrescos y 3 ´ordenes de papas fritas cuestan 21450.
Por otro lado, cuatro hamburguesas, diez refrescos y una orden de papas fritas cuestan 9750; por lo que 8 hamburguesas, 20 refrescos y 2 ´ordenes de papas fritas cuestan 19500.
6. ¿Cu´al es el residuo al dividir 782 por 5?
Soluci´on
Al probar algunos casos vemos que el residuo al dividir 7 por 5 es 2, el residuo al dividir 72 por 5 es 4, el residuo al dividir 73 por 5 es 3, el residuo al dividir 74 por 5 es 1, el residuo al dividir
75 por 5 es 2.
Vemos entonces que se forma un ciclo con los residuos 2, 4, 3 y 1. Para resolver el problema basta calcular en cu´al de estos n´umeros del ciclo cae el exponente 82. Como 82 = 4 · 20 + 2 concluimos que el residuo es 4.
7. ¿Cu´antos n´umeros naturales menores que 100 cumplen que la suma de sus cifras es menor que 10?
Soluci´on
Fijando el d´ıgito de las decenas calculamos para cada uno de ellos todas las posibilidades. Empezando con 1, tenemos que el n´umero de las unidades puede ser cualquier entero entre 0 y 8. Si el d´ıgito de las decenas es 2 entonces cualquier n´umero entre 0 y 7 puede ir en las unidades, y as´ı sucesivamente. Obtenemos 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 n´umeros. A estos n´umeros hay que agregarles los n´umeros de una cifra.
8. Considere el tri´angulo ABC. Sea X el pie de la altura desde B al lado AC y sea Y el pie de la altura desde A hasta el lado BC. Sea T la intersecci´on de estas dos alturas. Si ∠ABC = 50◦ y ∠BAC = 60◦, entonces la medida del ∠BT Y es:
Soluci´on
Note que el ∠ACB = 70◦ (La suma de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦), luego el ∠Y T X = 110◦ (La suma de ´angulos internos de un cuadril´atero es 360◦). Finalmente el ∠BT Y = 180◦− 110◦= 70◦
9. ¿Cu´al es la suma de los d´ıgitos del n´umero (102010+ 1)2?
Soluci´on
10. Sea P un punto interior del cuadrado ABCD, las distancias de P a los v´ertices A, D y al lado BC son iguales a 10, entonces la medida de BC es:
Soluci´on
Consid´erese la siguiente figura
A B
C D
P Q
Entonces se tiene por el teorema de Pit´agoras que P Q2+ QD2 = P D2. Adem´as se AD = 2QD, entonces como P Q = AB − 10 = 2QD − 10 y P D = 10, as´ı tenemos que P Q2+ QD2 = P D2 ⇒ (2QD − 10)2+ QD2 = 100 , y dado que los valores deben ser enteros se tiene que QD = 8 y BC = 16.
11. Se tiene el rect´angulo ABCD dividido en tres rect´angulos iguales como se muestra en la figura, si BC = 4, entonces AB es:
A B
C D
Soluci´on Indiquese en la figura los siguientes puntos
A B C D E G F
Ahora tenemos que BC = F E = 4, y como F G = GE entonces F G = 2, pero adem´as F G = F B = 2 y AF = BC = 4. Por lo tanto como AB = AF + F B entonces AB = 6.
12. Se dibuj´o un tri´angulo equil´atero BCD y un cuadrado ABDE. Este cuadrado se dividi´o en cuatro cuadrados iguales y uno de estos se dividi´o de nuevo en cuatro cuadrados como se ve en la figura. Sabiendo que el lado de cada uno de estos cuadrados es 5, calcular el per´ımetro del pol´ıgono ABCDE es: A B C D E Soluci´on
Como el lada de cada cuadrado peque˜no es 5, el lado del cuadrado mediano es 10 y el lado del cuadrado grande es 20. Adem´as dado que el tri´angulo es equil´atero, cada lado mide 20 (ya que uno de sus lados es lado del cuadrado grande). Por lo tanto, el per´ımetro del pol´ıgono ABCDE es
II Parte
Desarrollo
1. En un tablero con 10 000 casillas, se colocan los n´umeros naturales en orden ascendente desde el 0 hasta el 9 999 (un n´umero por casilla) y se coloca una ficha en la casilla numerada con el cero. Alejandra, Bruno, Camila y David deciden jugar de la siguiente manera:
Alejandra ser´a la primera en jugar y en sus turnos mueve la ficha 13 espacios hacia adelante. Bruno ser´a el segundo y en cada una de sus jugadas mueve la ficha 11 espacios hacia atr´as. La tercera en jugar ser´a Camila y a ella le corresponde mover la ficha 7 espacios hacia el frente en cada uno de sus turnos. Por ´ultimo juega David, y en sus turnos mueve la ficha 3 espacios hacia atr´as. Despu´es de David nuevamente le corresponde jugar a Alejandra y as´ı sucesivamente. Si en alguno de los movimientos un jugador lleva la ficha a una casilla numerada con un m´ultiplo de 10, deber´a repetir su movimiento, excepto en el caso en que la casilla sea al mismo tiempo m´ultiplo de 2010, en cuyo caso el jugador ganar´a el juego. Por ejemplo si Camila lleva su ficha a la casilla 353, David deber´a retroceder la ficha 3 espacios, por lo que la llevar´a a la casilla 350 y como esta casilla est´a numerada con un m´ultiplo de 10, entonces David deber´a repetir su movimiento (retroceder la ficha 3 espacios m´as) y la dejar´a en la posici´on 347.
Indique cu´al de los jugadores ganar´a el juego, y en qu´e casilla colocar´a la ficha.
Soluci´on
Estudiemos los primeros movimientos que hacen los competidores, intentando identificar un ciclo (es decir un comportamiento que se repita) que nos permita determinar qui´en ganar´a el juego. En este caso, buscaremos un momento en el que Alejandra (la primer jugadora) inicie su movimiento a partir de una casilla numerada con un m´ultiplo de 10, tal como sucede en su primer movimiento.
Alejandra Bruno Camila David
13 2 9 6 25 14 21 18 31 20 9 16 13 26 15 22 19 32 21 28 25 38 27 34 31 44 33 40 47 44 57 46 53 50 47 60 73
Observe que cuando Alejandra lleva la ficha a la posici´on 60, debe repetir su movimiento, es decir adelanta la ficha 13 espacios m´as, empezando de nuevo un ciclo a partir de una casilla numerada con un m´ultiplo de 10.
Esto quiere decir que Alejandra llevar´a la ficha a todas las casillas que est´en numeradas con un m´ultiplo de 60, y como el mayor m´ultiplo de 60 que es menor que 2010 es 1980, entonces Alejandra llevar´a la ficha a esta casilla, empezando un nuevo ciclo. Ahora bien, como en el primer ciclo ning´un competidor lleg´o a la casilla 30, entonces, tampoco podr´an llegar a la casilla 2010 (dado que 2010 = 1980 + 30). Sin embargo, como 4020 es el siguiente m´ultiplo de 2010 y dado que es a su vez m´ultiplo de 60, es claro que Alejandra terminar´a por llevar la ficha a esta casilla, con lo que ser´a la ganadora del juego.
2. Indique cu´antos n´umeros naturales de cinco d´ıgitos tienen al mismo tiempo las siguientes pro-piedades:
a) Es divisible por 5
b) El producto de sus d´ıgitos es 420
c) El valor absoluto de la diferencia entre cualquier pareja de d´ıgitos adyacentes es diferente de 1
Soluci´on
Al factorizar encontramos que 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 por lo que los ´unicos d´ıgitos que pueden componer n´umeros que cumplan las condiciones buscadas son 1, 2, 5, 6 y 7 ´o 2, 2, 3, 5 y 7. Adem´as como los n´umeros buscados deben ser m´ultiplos de 5, es claro que su ´ultimo d´ıgito debe ser 5.
En el caso de los n´umeros formados por los d´ıgitos 1, 2, 5, 6 y 7 tenemos que el d´ıgito 1 puede colocarse en 4 posiciones distintas. Observe el esquema siguiente, donde marcamos con una x las posiciones negadas para el d´ıgito 2 y con una Y las negadas para el d´ıgito 6. Al lado de cada una de las opciones se escriben los n´umeros que cumplen las condiciones dadas
3. En la figura el ´area del trapecio ABCD es 196, si AB = BC y BC = 2AD, cu´al es el ´area del tri´angulo ABC?
B
A D
Soluci´on
(base menor + base mayor) · altura
2 =
(BC + AD) · AB 2
Como AB = BC, y BC = 2AD, entonces:
area = (2AD + AD) · 2AD 2
196cm2 = 3AD2
Resolviendo para AD, se obtiene
AD2 = 196cm 2 3 AD2 = 196 3 cm 2
