Determinación del número de Repeticiones
(Región de estabilidad)
Introducción
Cuando se modela un sistema mediante un programa de computadora los resultados que se obtengan se deberán analizar de manera estadística, puesto que la simulación se basa en conjuntos de aleatorios que representan los posibles valores obtenidos en la realidad en cada variable, en consecuencia, para tener una visión clara de lo que es posible que ocurra con mayor probabilidad, es necesario utilizar diversos conjuntos de aleatorios y estudiar en el sentido estadístico los resultados de la simulación.
Para estudiar estadísticamente los resultados de la simulación es necesario, a su vez, determinar el tamaño de la muestra que se necesita para ello. Este tamaño de muestra debe ser tal, que permita suponer (razonablemente) que si se aumentan más datos, estos no cambiarán significativamente la inferencia estadística que se pueda hacer. Existen diversos criterios para determinar ese tamaño de muestra, a continuación se verá el criterio de la media acumulada para determinar el número de repeticiones necesario en un programa de simulación.
Criterio de la Media Acumulada
Suponga que está analizando los resultados del programa de simulación del torno computarizado (lección de simulación con hoja de cálculo sesión II), donde el parámetro de interés es la hora a la que desocupará el torno, después de procesar 5 lotes de piezas (en el turno matutino).
Los resultados de cada repetición son diferentes y se tienen que analizar de manera estadística para poder hacer una inferencia válida.
El criterio de la media acumulada indica que si calcula la media de las repeticiones conforme se obtienen, ésta se estabilizará (eventualmente) en alg ún valor después de muchas repeticiones, en caso de que el programa sea estable. Si el programa no lo es, entonces no se encontrará un numero de repeticiones tal que la media sea estable. Teóricamente, no existe forma de garantizar que la zona de estabilidad permanecerá sin importar el número mayor de repeticiones, así que, quien simula debe determinar con base en su experiencia (y las necesidades en la precisión de sus resultados) cuándo considera que su programa alcanzó la estabilidad.
Ejemplo:
Encuentre la región de estabilidad del siguiente programa de simulación. El programa simula el proceso de construcción de un cilindro con dos láminas roladas (curvadas) y soldadas, con el fin de determinar la distribución de la circunferencia que tendrán sus cilindros. Las láminas se cortan (de 2 m) con una máquina cuya precisión es de +/- 1 mm en el corte y la soldadura tiene un grosor de 0.5 cm +/- 0.05 cm.
El programa en hoja de cálculo sería:
A B C D E
1 +1999+C1*2 @RAND Este programa está formulado en milímetros
2 Grosor soldadura 1 +4.5+C2 @RAND . .
3 Longitud lámina 2 +1999+C3*2 @RAND . .
4 Grosor soldadura 2 +4.5+C4 @RAND . .
5 Longitud total de la
circunferencia @SUM(B1..B4) @RAND
El resultado está
expresado en milímetros. .
Considere los siguientes resultados de las primeras 30 repeticiones, la media acumulada sería :
Datos de las repeticiones y la media acumulada.
Repetición Longitud de la Circunferencia Media acumulada Repetición Longitud de la Circunferencia Media acumulada 1 4008.646 4008.646 18 4007.728 4008.998 2 4009.281 4008.963 19 4009.706 4009.035 3 4008.504 4008.81 20 4009.254 4009.046 4 4009.052 4008.871 21 4008.76 4009.032 5 4007.893 4008.675 22 4008.632 4009.014 6 4008.215 4008.599 23 4010.879 4009.095 7 4008.944 4008.648 24 4009.622 4009.117 8 4009.157 4008.711 25 4009.08 4009.116 9 4010.305 4008.888 26 4009.069 4009.114 10 4009.595 4008.959 27 4009.019 4009.11 11 4009.057 4008.968 28 4009.037 4009.108 12 4009.369 4009.001 29 4009.464 4009.12 13 4008.667 4008.976 30 4009.695 4009.139 14 4010.236 4009.066 31 4008.682 4009.124 15 4008.193 4009.008 32 4009.539 4009.137 16 4009.674 4009.049 33 4008.066 4009.105 17 4009.442 4009.072 34 4009.579 4009.119
Gráfica de la media acumulada.
De la gráfica se aprecia que el programa alcanzó su estabilidad después de 20 repeticiones (aprox.) ya que la media acumulada presenta una tendencia horizontal en su comportamiento (es decir tiende a oscilar alrededor de un valor fijo).
Con base en una estimación de punto (como la anterior) para la media es todo lo que puede hacer, además de esperar que el programa se comporte "bien" y permanezca estable alrededor de un valor aproximadamente.
Sin embargo, en este momento, no tiene una medida estadística que le indique la probabilidad de que su media acumulada se mantenga dentro de ciertos límites de variación, que le pueda indicar si espera grandes (o pequeñas) variaciones en la media acumulada, para saber si considera el programa como estable ó no.
Para esto será necesario hacer una estimación de intervalo para la media. Como se presenta a continuación.
Estimación de intervalo para la media
La estimación de intervalo para la media requiere de un método para estimar la varianza de la media con base en un conjunto de datos. Sea:
el estimador puntual de la media, y sea:
el estimador para la varianza de la media. Entonces el estimador:
Sigue una distribución t de Student con n-1 grados de libertad. Donde n es el numero de datos (en este caso de repeticiones) que se toman en cuenta para calcular los estimadores de la media y la varianza; theta es la media verdadera de la población, la cual no se conocerá, pero se acotará dentro de dos límites de variación con un nivel de confianza alfa ( a ).
Para lograrlo, se pide como condición que la probabilidad de que el estimador t se encuentre dentro de dos límites sea 1- a como se muestra a continuación:
Por tanto el intervalo donde se localiza la media verdadera de la muestra es:
Con el 1- a % de confianza.
Ahora, para evaluar numéricamente el intervalo, es necesario contar con la expresión del estimador para la varianza de la media, lo cual puede hacer de la siguiente manera:
Estimación de la varianza de la media
Se pueden utilizar alguno s resultados teóricos para estimar la varianza de la media, por ejemplo:
Si {y1, y2, y3, ..., yn } son observaciones estadísticamente independientes, donde yi es una medida de los resultados de salida de la réplica i, obtenidas mediante condiciones iniciales independientes y con diferentes corrientes aleatorias (listas de aleatorios diferentes), entonces:
Si {y1, y2, y3, ..., yn} no son estadísticamente independientes. entonces como:
J. Banks,"Discrete events system simulation"
Así que ahora está en posibilidad de calcular el intervalo de variación de su media verdadera con base en un conjunto de datos producto de sus repeticiones:
Una vez que cuente con el intervalo donde se localizará su media, decida con base en él si está suficientemente estable o si necesita una mayor certeza (un intervalo más estrecho) en sus valores como para que los pueda considerar como estables (útiles para sus propósitos).
Verifique que pueda responder las siguientes preguntas antes de continuar.
1.- Calcule el intervalo donde se encontrará su media con el 95% de confianza tomando en cuenta los siguientes datos, producto de las repeticiones de un programa. Considere los datos estadísticamente independientes.
422 432 421 432 422423424 418 423424 422 421 420 419 423 422 424 418425421 422 423418 422 423
2.- Suponga que cuenta con un programa cuyas repeticiones tienen un a media y una desviación estándar estables (aprox.), después de 35 repeticiones. Sin embargo usted desea una certeza de +/- 0.005 en el valor de su media (con el 95% de confianza), para ello hará más repeticiones. Cuántas repeticiones necesitará para llegar a conocer su media con la precisión deseada?. Tome un valor para la media (estable aprox.) de 10261.0 y una desviación estándar de los datos (estable aprox.) de 5.48.
Bibliografía :
• Referencia(s): J. Banks,"Discrete events system simulation" • Azarang, García, "Simulación y análisis de modelos estocásticos" • Law & Kelton, "Simulation Modeling & Analysis"
• F.S. Hillier, G.J. Lieberman, "Introducción a la Investigación de Operaciones"