Universidad Nacional Aut´
onoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de F´ısica
Ondas estacionarias en una cuerda tensa
Objetivos1. Producir los modos normales de vibraci´on de una cuerda fija en los extremos.
2. Calcular la frecuencia de un oscilador mec´anico que produce las ondas estacionarias en la cuerda fija en los extremos.
3. Establecer y demostrar la relaci´on entre la tensi´on en una cuerda y su longitud, con la cantidad de nodos y antinodos de una onda estacionaria que se forma en la cuerda
Materiales y equipo 1. Montaje especial con
cuerda (hilo de ‘nylon’), vibrador, prensas y polea 2. Balanza granataria
3. Vaso de pl´astico 4. Recipiente con agua 5. Cinta m´etrica
6. Soporte de mesa, nuez y varilla roscada
7. Transportadores
Figura 1: Modos diferentes de ondas estacionarias en una cuerda a frecuencia de oscilaci´on constante y tensi´on en la cuerda variable.
Marco te´orico
Se llaman ondas estacionarias, por contraposici´on de ondas viajeras, a aquellas mediante las cuales no se puede transmitir energ´ıa. Es sencillo producirlas generando ondas mec´anicas en una cuerda fija en ambos extremos o utilizando ondas sonoras en un tubo cerrado o abierto en un extremo, en el primer caso las ondas estacionarias son transversales y en el segundo caso son longitudinales. La manera habitual de crear este tipo de ondas consiste en permitir la interferencia entre ondas incidentes y reflejadas. Si una onda incidente, inicialmente viajera, es de la formayinc=Asen(kx−
ωt) y una reflejada necesariamente habr´a de representarse como yref = Asen(kx+ωt) de forma
que la onda resultante de la interferencia de estas dos:
1. Tiene direcci´on opuesta a la incidente, de ah´ı el cambio de signo en el argumento del coseno 2. Debido a que el extremo en donde la onda incidente choca est´a fijo, la onda reflejada cambia de fase en π . Entonces, cuando interfiere una incidente con una reflejada la onda resultante presenta la forma:
y(x, t) =yinc(x, t) +yref(x, t) = 2Asen(kx)cos(ωt) (1)
De este tipo de onda resultante vale la pena hacer notar las siguientes cosas: 1. Ya no es una onda viajera, pues no tiene el argumento caracter´ıstico:kx±ωt
2. Para un determinado punto de la cuerda en x = x0, la ecuaci´on para y(x0, t) representa
la ecuaci´on del movimiento arm´onico simple de ese elemento del medio en x = x0, para
cualquier tiempo t. Es decir:
y(x0, t) = 2Asen(kx)cos(ωt)
Donde la amplitud de oscilaci´on de ese punto es evidentemente
A(x0) = 2Asen(kx)
3. Este valor de amplitud muestra que un punto o elemento de la cuerda en x = x0 oscila
con amplitud igual a 2Asen(kx0), mientras que hay elementos del medio que oscilan con
amplitud 2A (cuando sen(kx0) = 1), en esa posici´on se dice que se genera un antinodo de
la onda estacionaria, y que hay puntos o elementos del medio que no oscilan nunca o que tienen amplitud de oscilaci´on igual a cero (cuandosen(kx0) = 0), en esa posici´on se dice que
se genera un nodo de la onda estacionaria.
4. Si tomamos un cierto valor fijo para el tiempo,t=t0,y(x, t0) representa la forma senoidal que
adopta la cuerda en ese momento: y(x, t0) =α(t0)sen(kx), donde ahora α(t0) = 2Acos(ωt0).
5. En este caso el valor para la amplitud nos permite entender que habr´a momentos en que la cuerda est´e completamente horizontal, cuando cos(ωt) = 0, y otros momentos en que la sinusoide tendr´a amplitud m´axima, 2A, cuando cos(ωt) = 1.
Modos normales de vibraci´on en una cuerda tensa
Debido a que la cuerda est´a inicialmente sujeta fijamente en sus extremos, en ellos no puede haber oscilaci´on; entonces si llamamos L a la longitud de la cuerda, obligatoriamente ha de cumplirse que: en el primer extremo en x = 0;y(0, t) = 0 0 y en el segundo extremo en x = L;y(L, t) = 0. La primera condici´on impuesta se cumple inmediatamente en la ecuaci´on 1; el imponer la segunda lleva a que:sen(kL) = 0. De ah´ı que los distintos valores que puede presentar k para que sea posible la anulaci´on en el extremo x = L nos dan las distintas longitudes de onda que puede presentar la cuerda de modo que sean acordes con el hecho obligado de no oscilaci´on en los extremos fijos. Estos valores corresponden a kL=π,2π,3π, ..., nπo de forma equivalente:
λn = 2L, 2L 2 , 2L 3 , ..., 2L n (2)
Este resultado nos dice que la cuerda fija en esos extremos solo puede vibrar con esas longitudes de onda, y por lo tanto baj o unas frecuencias igualmente bien definidas. A cada uno de esos modos de vibraci´on se les denomina MODOS NORMALES DE VIBRACI ´ON, o tambi´en ARM ´ONICOS, y cada uno de ellos aparece visualmente con la forma caracter´ıstica de un cierto n´umero de bucles: Cada bucle mide una media longitud de onda. Si la cuerda forma un bucle, ello indica que la cuerda est´a en el primer arm´onico; si hay presentes dos bucles, la cuerda vibra en el segundo arm´onico, y si hay tres bucles, vibre en el tercer arm´onico, y as´ı sucesivamente. La relaci´on frecuencia-longitud de onda-velocidad nos permite decir tambi´en:
fn= v λn =n v 2L = n 2L s T µ (3) Donde:
f, frecuencia en Hz; v, velocidad de la onda en m/s; λ, longitud de onda en m; L, longitud de la cuerda en m
T, tensi´on a que la cuerda est´e sometida en N; µ, densidad lineal de masa de la cuerda en kg/m
Montaje experimental para la formaci´on de ondas estacionarias en una cuerda tensa
Para observar en el laboratorio los antes llamados bucles, la t´ecnica habitual es hacer que uno de los extremos de la cuerda quede unido a un vibrador de frecuencia constante y que el otro permita regular la tensi´on a la que se somete la cuerda.
(a) (b) (c)
Figura 2: Fotograf´ıas del montaje a utilizar en el laboratorio. (a) Vibrador, (b) Polea y soporte, (c) Vaso con agua para aumentar o reducir la tensi´on en la cuerda.
Cuando una onda incidente y otra reflejada con las mismas caracter´ısticas se interfieren en la cuerda, se forma un patr´on de onda estacionaria que se caracteriza por la formaci´on de bucles vibrantes, la formaci´on de estas ondas estacionarias en la cuerda se da bajo ciertas condiciones espec´ıficas, para nuestro caso en el laboratorio tenemos la facilidad de cambiar:
1. La velocidad de propagaci´on de la onda.
2. La longitud de la cuerda en donde se forman las ondas estacionarias.
Para entender mejor c´omo desarrollar esta experiencia, y teniendo en cuenta que T = mg, reescribimos la ecuaci´on (3) de modo que podamos examinarla desde el punto de vista de nuestro laboratorio:
n2 = 4f
2µ
g m (4)
Donde se ha sustituido la tensi´on en la cuerda T por mg donde m corresponde a la masa del vaso con agua, analizando un poco esta ecuaci´on podemos apreciar que al aumentar la masa colgante aumenta la tensi´on en la cuerda y esto tiene como resultado una reducci´on en el valor entero n 2 , es decir que se observar´an menos bucles de onda estacionaria a medida que la tensi´on en la cuerda aumenta, y se observar´an mas bucles a medida que la tensi´on en la cuerda disminuye.
Obs: Note que en esta experiencia el extremo en que est´a el vibrador no est´a fijo. Pero ello no altera esencialmente los resultados ya que solo se toman en cuenta las mediciones desde el primer nodo.
Figura 4: Secci´on de cuerda en la balanza.
Procedimiento experimental
1. Antes de conectar el vibrador: Aseg´urese de que en el montaje, la polea y el vibrador est´a bien firmes sobre la mesa. 2. Proceda a medir la masa (Figura 4), y la longitud de una secci´on de cuerda que servir´a para determinar la densidad lineal de masa de la cuerda a utilizar, anote su valor.
µ= kg/m (5)
Tambi´en anote estos valores en el Cuadro 1.
3. Encienda el vibrador y coloque lentamente cierta cantidad de agua en el vaso hasta que se forme una onda estacionaria. Tenga muy en cuenta que una onda estacionaria v´alida ser´a
aquella que no forma un ´ovalo tridimensional como bucle, sino aquella que forma bucles “planos”.
4. Una vez que haya obtenido su primera forma de onda estacionaria no coloque m´as agua en el vaso y procesa a medir la longitud desde el primer nodo hasta la polea (es decir de nodo a nodo en los extremos de la onda estacionaria), anote esta cantidad, as´ı como el n´umero de nodos y antinodos en el Cuadro 1.
5. Obtenido el modo normal, mida las longitudes de cada uno de los bucles, cuente el n´umero de nodos y el n´umero de antinodos. Del mejor modo que le sea posible, mida tambi´en la
6. Despu´es de haber obtenido ese arm´onico, vaya aumentando la tensi´on en la cuerda colocando lentamente m´as agua en el vaso, det´engase hasta observar el siguiente modo de onda estacionaria. Cada vez que obtenga uno repita el paso anterior.
7. Trate en la medida de lo posible realizar como m´ınimotresmediciones de la misma cantidad, esto permitir´a obtener un error estad´ıstico agregando a los resultados una incertidumbre por observaci´on, haga una vez todas las mediciones en secuencia y luego vuelva a empezar todas las mediciones de nuevo.
Registro de datos
1. Registre los datos correspondientes a:
a) Longitud de la parte horizontal de la cuerda en donde se forma una onda estacionaria completa con nodos en los extremos.
b) Masa y longitud de cuerda usada para obtener la densidad lineal. 2. Registre igualmente los datos obtenidos para cada arm´onico:
a) Longitud de un bucle formado por cada arm´onico en la cuerda. b) Masa colgante (agua mas vaso).
c) Ubique en cada caso la posici´on de los nodos y de los antinodos (hubo de medir lo mejor posible la longitud entre un nodo y el antinodo inmediatamente posterior).
Tratamiento de datos experimentales
1. Densidad lineal de masa de la cuerda a utilizar, con su incertidumbre. 2. Tensi´on de la cuerda en cada arm´onico con su incertidumbre.
3. Velocidad de la cuerda en cada arm´onico con su incertidumbre.
4. Valor que se obtiene para la frecuencia en cada arm´onico con su incertidumbre. Resultados
1. Tabla completa con la informaci´on de cada arm´onico (Cuadro 1)
2. Gr´afica de cuadrado den(n2) vrs. el inverso de masa colgante (m1) (utilice regresi´on lineal) 3. Frecuencia de vibraci´on del vibrador:
a) Como resultado de la pendiente en la gr´afica anterior.
b) Utilizando el promedio de las frecuencias calculadas con la ecuaci´on (3), en la ´ultima fila del Cuadro 1.
Mediciones para las Columna Columna Columna Columna Ondas Estacionarias Correspondiente Correspondiente Correspondiente Correspondiente
Formadas en la al al al al
Cuerda Tensa arm´onico arm´onico arm´onico arm´onico Longitud horizontal
de la cuerda (de nodo a nodo extremo)
(L±∆L) Cantidad de bucles observados Cantidad de nodos observados Cantidad de antinodos observados Orden del modo normal correspondiente (n) Longitud de nodo a antinodo (medido) Cuarto de longitud de onda (Calculada a partir deL) Longitud de nodo a nodo (medido) Media longitud de onda (Calculada a partir deL) Masa del vaso con agua
(Kg) Tensi´on
(N)
Densidad lineal de masa (kg/m)
Velocidad de propagaci´on (m/s)
Frecuencia del vibrador (Hz)
Cuadro 1: Informaci´on sobre las ondas estacionarias formadas en la cuerda tensa
Obs: Utilice las unidades e incertidumbres correspondientes, para el c´alculo de la tensi´on T, la densidad lineal de masaµ, la velocidad de propagaci´onv, y la frecuencia de oscilaci´on del
Cuestionario
1. Explique por qu´e se dice que las ondas que viajan por esta cuerda son transversales.
2. ¿Por qu´e los nodos no vibran? Ilustre qu´e podr´ıa hacerse en esta experiencia para mostrar claramente que efectivamente los nodos no vibran. Explique entonces por qu´e este tipo de ondas no permiten transmitir energ´ıa.
3. Explique por qu´e el extremo en donde est´a el vibrador nunca puede llegar a ser ni un nodo ni un antinodo. ¿Qu´e representar´ıa entonces ese extremo?
4. Actuando con su mano en el extremo vertical de la cuerda, ¿c´omo podr´ıa cambiar el modo normal; es decir aumentar o disminuir el n´umero de bucles?
Bibliograf´ıa
F´ısica Para Ciencias E Ingenier´ıa Vols. I y II Serway, Jewett, 7a. Ed.
F´ısica. Vols. I y II, Resnick, Halliday, Krane. 4a. ed.
F´ısica Universitaria, Vols. I y II Sears, Zemansky, Young, Friedman. 11a. ed. F´ısica Para Ciencias E Ingenier´ıa, Vols. I y II. Giancoli. 4a. ed.