¿C´
omo se observa una varilla recta que gira desde un
sistema inercial que se mueve a velocidad relativista?
Alberto T. P´erez Izquierdo
Dpto. de Electr´onica y Electromagnetismo Agosto 2009
Consideremos un sistema inercial S en el cual una varilla recta gira con velocidad angular contante en torno a su centro que permanece fijo. Las coordenadas de los puntos de la varilla ser´an:
x(t) = Rcos(ωt) (1)
y(t) = Rsin(ωt) (2)
donde el par´ametro R var´ıa entre −L/2 y L/2.
Vista desde un sistema inercial S, que se mueve a velocidad v hacia la derecha, las coordenadas de los puntos de la varilla ser´an:
x = γ(Rcos(ωt)−vt) (3)
y = Rsin(ωt) (4)
t = γ(t−vRcos(ωt)) (5)
donde he tomado c= 1 en las transformaciones de Lorentz.
Como consecuencia de la relatividad de la simultaneidad la varilla en S
aparece deformada. Esto se puede entender cualitativamente si consideramos la posici´on de los puntos de la varilla en el instante t = 0. Como es imposi-ble despejar t(t) para obtener de manera expl´ıcita las funciones x(t) y y(t) tenemos que trabajar con la variable t como variable auxiliar.
En el instante t = 0 al punto central de la varilla R = 0 le corresponde
t = 0 x = y = 0. A los puntos a la derecha R > 0 les corresponde t > 0, y tanto mayor cuanto mayor sea R, luego la varilla tiende a combarse hacia arriba. Para los puntos de la izquierdaR <0 y t <0, lo que resulta en y >0 con lo que la varilla tambi´en se comba hacia arriba. En este instante la varilla tiene una forma sim´etrica.
Todo ello es consecuencia, como he dicho, de la relatividad de la simul-taneidad. En S el paso de los dos extremos de la varilla por el eje x es simult´aneo. Sin embargo, visto desde S el paso del extremo derecho ocurre antes que el paso del extremo izquierdo, con lo cual durante cierto intervalo de tiempo ambos extremos est´an por encima del eje x.
Figura 1: Representaci´on gr´afica de la funci´on t(t). Los valores escogidos son
L= 2, v = 0,8 y w= 0,6.
Para comprender la din´amica completa de la varilla conviene estudiar con cierto detalle la funci´on t(t). Esta funci´on est´a representada en la gr´afica de la figura 1 para distintos valores de R.
Los puntos de la funci´on se agrupan alrededor de la recta t = γt que corresponde al punto R = 0 de la varilla. Entre ωt = −π/2 y ωt = π/2 la funci´on para R > 0 est´a por debajo de dicha recta y para R < 0 est´a por encima. Entreωt=π/2 yωt= 3π/2 esta relaci´on se invierte. En dicha gr´afica hemos seleccionado cuatro valores de t(t) para ilustrar el movimiento de la varilla. Las correspondientes posiciones de la varilla est´an cualitativamente dibujadas en la figura 2.
Para t(t) = 0 la varilla tiene la forma ya descrita anteriormente. En el instante marcado t(t) =t2 ya hay algunos puntos conR <0 cuyos valores de
Figura 2: Forma cualitativa que tiene la varilla vista desde S para los cuatro valores de t de la figura 1.
tson positivos y, por tanto,yresulta negativo. Sin embargo al punto extremo de la varilla R =−L/2 todav´ıa le corresponde un valor de t negativo y, por consiguiente, sigue por encima del eje. En el instante t(t) = t3 todos los
valores de t son positivos y as´ı los puntos con R > 0 est´an por encima del eje x y los que tienen R < 0 est´an por debajo. Hay que hacer notar que el centro de la varillaR = 0 se desplaza hacia la izquierda a medida que avanza el tiempo de acuerdo con la ecuaci´on:
x=−γvt=−vt (6)
Por ´ultimo, cuando t(t) = t4 todos los valores de R tienen asociados el
mismo valor de t, el que corresponde a ωt = π/2. Resulta as´ı que y = R y
x = −vt para todo R, con lo que la varilla est´a en posici´on vertical y se ve recta.
La figura 3 muestra las formas sucesivas de la varilla para un caso en que la velocidad del sistema de referencia v es menor que la velocidad lineal perif´erica de la varilla ωL/2. La figura 4 muestra el caso en que v es mayor que ωL/2. Estas figuras han sido calculadas con Matlab. La necesidad de un c´alculo num´erico la impone la imposibilidad de invertir anal´ıticamente la funci´on t(t). Matlab permite obtener de forma num´erica t(t) y emplear esta funci´on para calcular x(t) yy(t).
Las figuras 5 y 6 muestran las trayectorias que describen los dos puntos extremos de la varilla para los dos valores dev antes mencionados. Como era
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x’ y’
Figura 3: Formas sucesivas que adquiere la varilla durante su movimiento vista desde S para v = 0,4 y ω = 0,6. El movimiento se produce de derecha a izquierda.
−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x’ y’
Figura 4: Formas que adquiere la varilla durante su movimiento vista desde
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x’ y’
Figura 5: Trayectorias de los extremos de la varilla vista desdeSparav = 0,4 y ω= 0,6. La l´ınea punteada corresponde al extremo que he denotadoR = 1 y la l´ınea continua al extremo R =−1.
de esperar, cuando v < ωL/2 el extremo inferior experimenta un cambio de sentido en su velocidad durante un cierto lapso de tiempo, aquel durante el cual v < L/2|cos(ωt)|.
Momento y energ´ıa
Supongamos ahora que en cada extremo de la varilla hay una bola de masa m, la misma masa para los dos extremos. Veamos qu´e momento y que energ´ıa asignan a cada bola observadores situados en cada uno de los dos sistemas de referencia inerciales considerados.
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x’ y’
Figura 6: Trayectorias de los extremos de la varilla vista desdeSparav = 0,4 y ω = 0,6.
EnS el momento de cada bola es:
p= √mu
1−u2 (7)
dondeu=ωL/2 es la velocidad lineal de la bola. Para simplificar la notaci´on vamos a considerar a partir de ahora que L/2 = 1 y que la masa es tambi´en unidad. Tenemos pues:
p= √ ω
1−ω2 (8)
La energ´ıa de la bola ser´a:
E = √ 1
1−ω2 (9)
Las componentes del momento lineal ser´an, para el extremoR = 1
px = −psin(ωt) (10)
py = pcos(ωt) (11)
y para el extremo R=−1
px = psin(ωt) (12)
py = −pcos(ωt) (13)
Como es obvio, visto desde S el momento total lineal de las dos bolas es cero y la energ´ıa total de las dos resulta ser 2/√1−ω2. Ambos, momento y
eneg´ıa del conjunto de las dos bolas, se mantienen constantes durante todo el movimiento.
¿Qu´e ocurre cuando se ve el movimiento desde el sistema S? Usando las transformaciones de Lorentz para el cuadrivector momento-energ´ıa se tiene, para el extremo R= 1
px = γ(−psin(ωt)−vE) (14)
py = pcos(ωt) (15)
E = γ(E+vpsin(ωt)) (16)
Teniendo en cuenta que, con nuestra elecci´on dem yL se tienenp=Eω, las expresiones anteriores resultan ser:
px = γ(−ωsin(ωt)−v)E (17)
py = ωEcos(ωt) (18)
De manera an´aloga, en el extremo R =−1 se tiene.
px = γ(ωsin(ωt)−v)E (20)
py = −ωEcos(ωt) (21)
E = γ(1−vωsin(ωt))E (22)
Es importante darse cuenta de que el par´ametro t no es el mismo para los dos extremos, ya que un mismo tiemo t corresponde a valores distintos de t en cada extremo de la varilla. Llamando t+ al valor de t en el extremo
R = 1 y t− al valor de t en el extremo R =−1 para el mismo valor de t, se
tiene que:
t =γ(t±∓vcos(ωt±)) (23)
Esta ecuaci´on define, impl´ıcitamente los dos tiempos t+ y t−.
Con todo ello podemos escribir el momento total asociado a las dos bolas y su energ´ıa, que resultan ser:
pt
x = γE(ω(sin(ωt−)−sin(ωt+))−2v) (24)
pt
y = ωE(cos(ωt+)−cos(ωt−)) (25) Et = γE(2 +vω(sin(ωt+)−sin(ωt−))) (26)
El hecho de que los tiempos t+ y t− no sean iguales, una consecuencia
m´as de la relatividad de la simultaneidad, nos lleva a la aparente paradoja de que ni el momento total de las dos bolas ni su energ´ıa se conserva. La figura 7 muestra pt
x, p t y y E
t
para el caso particularω = 0,6 y v = 0,8. La forma de las funciones se entiende cualitativamente si nos fijamos en la figura 1 de nuevo. Ent= 0,t+=−t− yptx es m´ınimo y menor que−2vγE.
En t = γπ/2ω t+ = t− = π/2ω y ptx alcanza su m´aximo valor −2vγE. La
funci´on oscila entre estos dos valores m´aximo y m´ınimo con un periodo igual a γπ/2ω Este periodo es la mitad del de una vuelta completa de la varilla, lo que es l´ogico, ya que, al ser la varilla sim´etrica la situaci´on din´amica es equivalente durante los dos semiperiodos.
Respecto apt
y esta funci´on no s´olo se anula ent =γπ/2ω y t =γ3π/2ω,
sino tambi´en ent = 0 yt =γ2πω, debido a que el coseno es una funci´on par por lo que cos(ωt+) = cos(ωt−) en esos puntos.
La energ´ıa, por su parte, se comporta de manera an´aloga a la componente
x del momento lineal, ya que la dependencia funcional de ambas funciones es similar.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 −6 −4 −2 0 2 4 6 t’ momento energia
Figura 7: Evoluci´on del momento lineal y la energ´ıa del conjunto de las dos bolas observados desde S para v = 0,8 y ω = 0,6. De arriba hacia abajo corresponden a: energ´ıa, momento en direcci´on x y momento en direcci´ony. Se representa un periodo completo de giro de la varilla.
Figura 8: Esquema cualitativo de las fuerzas que la varilla ejerce sobre las bo-las de los extremos. Las bobo-las, a su vez, ejercer´an fuerzas en sentido contrario que act´uan sobre la varilla, comprimi´endola o estir´andola.
Discusi´
on
En un principio todo parece llevar a la conclusi´on de que ni el momento ni la energ´ıa se conservan vistos desde S. Pero en realidad la clave est´a en que las dos bolas no est´an solas: est´an unidas por la varilla. En t = 0 la varilla est´a doblada y es sim´etrica. La fuerza neta en direcci´on xes cero, pero s´ı hay fuerza neta en sentido y negativo, por lo que el momento en esa direcci´on est´a aumentando.
Si nos fijamos en la forma de pt
x vemos que entre t = 0 y t = γπ/2ω
el momento lineal aumenta. Esto quiere decir que se est´a ejerciendo una fuerza neta en direcci´on x sobre el conjunto de las dos bolas. Esta fuerza neta proviene de la varilla que se est´a estirando como est´a esquematizado en la figura 8. Hay que recordar que vista desde S la varilla est´a recta y las fuerzas de tensi´on que ejerce sobre cada bola est´an alineadas. Vistas desde S
estas fuerzas no est´an alineadas, y conducen a la deformaci´on de la varilla. Al no compensarse estas fuerzas y estar la varilla en movimiento neto hacia la izquierda se realiza un trabajo sobre ella. Este trabajo contribuye a aumentar o disminuir la energ´ıa el´astica almacenada en la varilla, con lo cual cambia su masa en reposo.
Podemos calcular c´omo var´ıa la masa en reposo de la varilla si exigimos que tanto el momento como la energ´ıa del sistema completo, la varilla junto con las bolas, se conserve. Las expresiones (26) hay que cambiarlas por:
pt
x = p v
x+γE(ω(sin(ωt−)−sin(ωt+))−2v) (27)
pt
y = p v
y +ωE(cos(ωt+)−cos(ωt−)) (28)
Et = Ev+γE(2 +vω(sin(ωt+)−sin(ωt−))) (29)
donde pv x, p
v y y E
v
son los momentos y la energ´ıa asociados a la varilla vistos desde S.
La masa de la varilla la podemos calcular de (Ev)2 = (mv)2 + (pv x) 2 + (pv y) 2 (30) para lo que es necesario asignar un valor al momento y la energ´ıa totales en (29).
Como, en el momento en que la varilla est´a vertical, s´olo hay cantidad de movimiento en la direcci´on x, una elecci´on razonable de las constantespt
x,p t y
Et en ese instante es:
pt
x = −2vγE−γm0 (31)
pt
y = 0 (32)
Et = 2γE+γm0 (33)
Con todo ello se calcula la masa en reposo de la varilla, que est´a represen-tada en la figura 9. Se ha tomado como 1 la masa de la varilla en el instante en que est´a vertical.
Como conclusi´on podemos decir que la relatividad nos obliga no s´olo a abandonar el concepto de s´olido r´ıgido, la varilla necesariamente se deforma vista desde S, sino a asignar necesariamente un momento, una energ´ıa y una masa en reposo a la varilla. Resumi´endolo en una frase: un problema relativista no puede empezar diciendo “consideremos una varilla r´ıgida y de masa despreciable”.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 t m
