Tema 8. Funciones vectoriales de variable real.

Tema 8. Funciones vectoriales de

variable real.

8.1 Curvas y ecuaciones paramétricas. Cálculo en

paramétricas.

8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad,

derivación e integración.

8.3 Curvas en coordenadas polares.

Anexo: cónicas.

E. U. Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad, Electrónica y Mecánica. Curso 2007-08.

8.1 Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas

.

Si ( ) e ( ) son funciones continuas de en un intervalo , el conjunto de pares ( , ), con ( ), ( ) se denomina curva plana . La variable

se llama parámetro y las ecuaciones

x t y t t I x y x x t y y t C x t = = = Definición ( ) , se denominan ecuaciones ( )

paramétricas de . Diremos que C es una curva suave si ( ) e ( ) son

continuas y no se anulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de . x t y y t C x t y t I ⎧ ⎨ = ⎩

Si es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ), entonces la pendiente de en ( , ) es:

'( ) , siendo '( ) 0. '( ) C x x t y y t C x y dy y t x t dx x t = = = ≠ Teorema (derivada) 1 2

Si C es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ) que no se corta a sí misma en [ , ] (excepto quizás en los puntos terminales), la longitud de en ese inter

x x t y y t t t

C

= =

Teorema (longitud de arco)

valo viene dada por:

1 2

1 2

Si es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ) para, , siendo una función de continua y monótona en [ , ], ( ) ( ) el área bajo la curva vi

C x x t y y t t t t y x a b a x t y b x t C = = ≤ ≤ = = Teorema (área)

ene dada por:

2 1

( ) '( )

b t a t

A

=

∫

ydx

=

∫

y t x t dt

(

) (

)

2 1 2 2

'( )

'( )

t t

s

=

∫

x t

+

y t

dt

3 1 3 x t y t t = − = − 2 2 sen 2 2 cos x t t y t = − = − t∈ −[ 4 , 4 ]π π t∈ −[ π π, ] 2 sen y=2- cos x t t t π π = − [ , ] t∈ −π π 3 3 sen cos x t y t = = _{t∈[0, 2 ]π} 5 cos cos 5 5 sen sen 5 x t t y t t = − = − t∈[0, 2 ]π cos sen sen cos x t t t y t t t = + = − t∈[0, 6 ]π cicloide cicloide prolata epicicloide involuta de un círculo astroide Curvas en paramétricas

8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad,

derivación e integración.

Podemos representar una curva en el plano o en el espacio por medio de una función vectorial.

( ) ( ) ( )

r t = f t i + g t j

r r r

tiene por gráfica una curva plana C de ecuaciones

paramétricas : ( ) ( ) x f t y g t = ⎧ ⎨ = ⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) r t = f t i + g t j+ h t k r r r r

tiene por gráfica una curva en el espacio C de de ecuaciones paramétricas : ( )_{( )} ( ) x f t y g t z h t = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ Propiedades:

1.- lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) t→a r t = t→a f t i+ t→a g t j+ t→a h t k r r r r 2.- es continua en si lim ( ) ( ). t a r t a r t r a → = = r r r

es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos de I.rr

3.-La curva C representada por se dice que es suave en un intervalo I si ', ' y ' son continuas en I y '( ) 0 para todo .

r

f g h r t ≠ t∈I

r r

4.- Si , y son derivables entonces '( )f g h rr t = f t i'( )r+ g t j'( )r +h t k'( )r 5.- Si , y son funciones continuas de en [ , ] entonces

( ) ( ) ) ( ) ( ) f g h t a b r t dt = f t dt i+ g t dt j+ h t dt k

∫

r

∫

r

∫

r

∫

r ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b a r t dt = a f t dt i+ a g t dt j+ a h t dt k

∫

r

∫

r

∫

r

∫

r

Propiedades de la derivación: 1.- ( ( )) '( ) 2.- ( ( ) ( )) '( ) '( ) 3.- ( ( ) ( )) '( ) ( ) ( ) '( ) 4.- ( ( ) ( )) '( ) ( ) ( ) '( ) 5.- ( ( ) ( )) '( ) ( ) ( ) '( ) 6.- d c r t c r t dt d r t u t r t u t dt d f t u t f t u t f t u t dt d r t u t r t u t r t u t dt d r t u t r t u t r t u t dt d r dt ⋅ = ⋅ ± = ± = + = + ∧ = ∧ + ∧ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ( ( )) '( ( )) '( ) 7.- Si ( ) ( ) , entonces ( ) '( ) 0 f t r f t f t r t r t c r t r t = = = r r r r ur

Si , , son funciones de derivables dos veces y ( )x y z t rr t = x t i( )r+ y t j( )r + z t k( )r

Velocidad y aceleración:

( )v tr = '( )rr t = x t i'( )r+ y t j'( )r + z t k'( ) , ( )r a tr = ''( )rr t = x t i''( )r+ y t j''( )r + z t k''( )r los vectores velocidad y aceleración son:

Teorema 2 2 2

( '( ))

( '( ))

( '( ))

'( )

b b a a

s

=

∫

x t

+

y t

+

z t

dt

=

∫

r t dt

Si C es una curva suave dada por

en el intervalo [a,b,] la longitud de arco de C en ese intervalo es

( ) ( ) ( ) ( )

r t = x t i + y t j + z t k

Vectores tangente y normal

Sea C una curva suave dada por en un intervalo I, los vectores unitarios tangente y normal son:

( ) '( ) ( ) , ( ) . '( ) '( ) r t T t T t N t r t T t = = r ur ur uur r ur ( ) r t r

Parámetro longitud de arco

(

) (

2

)

2 ₂

( )

t

'( )

'( )

( '( ))

t

'( )

a a

s t

=

∫

x

τ

+

y

τ

+

z

τ

d

τ

=

∫

r

r

τ

d

τ

Si C es una curva suave dada por

en el intervalo [a,b,] la función longitud de arco viene dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) r t = x t i + y t j + z t k r r r r

( )

'( )

ds t

r t

dt

=

r

y (consecuencia del Teorema fundamental del Cálculo)

Curvatura

d T

K

ds

=

ur

'( )

'( )

T t

K

r t

=

ur

r

(s, parámetro longitud de arco) (t,parámetro arbitrario)

1

R

K

=

Radio de curvatura

Nota: el vector aceleración viene dado por:

2 2 2 ( )a t d s T K d s N d t d t ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ r ur uur t a = a Tr ur aceleración tangencial n a = a Nr uur aceleración normal

8.3 Curvas en coordenadas polares.

eje y eje x ( , )x y ( , )r θ θ r origen polo eje polar sen cos x r y r θ θ = = 2 2 2 x + y = r tg y x θ = Teorema (derivada)

Si f es una función derivable de θ, entonces la pendiente de la tangente a la gráfica de r=f(θ) en el punto (r,θ) es

( ) cos /

, supuesto que 0, siendo ,

( )sen / x f dy dy d dx y f dx dx d d θ θ θ θ θ θ θ = ⎧ = ≠ _{⎨ =} ⎩

Nota: Todo punto distinto del polo tiene dos representaciones principales 0 y 0 2

r ≠ ≤ <θ π

( , )r θ y (−r,θ π+ ) r ≠ 0 y 0≤ + <θ π 2π

Simetrías de la gráfica de r=f(θ) r=f(θ) no cambia si (r,θ) se sustituye por:

eje x eje y el origen ( ,r −θ) ( ,r π θ− ) ( ,r π θ+ )

Nota: Si dy 0,y dx 0 tangente horizontal; si dy 0 y dx 0 tangente vertical.

Curvas en polares Caracoles: cos sen r b a r b a θ θ = ± = ± Cardioides: (1 cos ) (1 sen ) r a r a θ θ = ± = ±

Rosas: r =a cosnθ o r = a sen nθ nimpar, rosa de npétalos

npar, rosa de 2npétalos

Lemniscatas: 2 2 2 2 cos 2 o sen 2 r = a θ r = a θ 1 cos r = + θ 1 2 +sen r = θ

(caracoles cona=b)

2 sen 3 r = θ r = 2 cos 2 θ 2 9 sen 2 r = θ r =θ Espiral 3cos r = θ [ ]0, θ ∈ π [0, 2 ] θ ∈ π [0, 2 ] θ ∈ π [ ]0, θ∈ π θ ∈[0, 2π] [ ] [0,2 , 32] π π θ∈ _U π

Teorema (longitud de arco)

Si f es una función cuya derivada es continua en el intervalo [α,β], la longitud de la gráfica de r=f(θ) desde θ = αhasta θ = β es

2 2

[ ( )]

[ '( )]

s

β

f

f

d

α

θ

θ

θ

=

∫

+

Si f es continua y no negativa en el intervalo [α,β], el área de la región limitada por la gráfica de r=f(θ) desde θ = αhasta θ = β es

2

1

2

A

β

r d

α

θ

=

∫

Teorema (área)

(

)

(

)

2 0 1 ( ) 2 1 lim ( ) 2 1 ( ) 2 n i i n A f f d β α θ θ θ θ ∆ → ₌ →∞ = ∆ =

∑

∫

2 θ 1 θ 3 θ 4 θ θ α= θ β= r=f(θ) α θ= 0 <θ1 < ⋅ ⋅ ⋅ <θn−1 <θn = β Demostración:

Parábola: Conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Anexo: Cónicas

directriz y= −p foco 2 4 x = py (0, )p

Distancia de ( , ) a (0, ) Distancia de ( , ) a directriz x y p = x y 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 0) ( ) 2 2 4 x y p y p x y py p y py p x py − + − = + + − + = + + =

Parábola de vértice (0,0) foco directriz

Eje vertical: x2 _{= 4py (0, p) y = -p}

Eje horizontal: y2 _{= 4px (p, 0) x = -p}

Parábolas de vértice (h,k) foco directriz

Eje vertical: (x-h)2 _{= 4p(y-k) (h, k+p) y = k-p}

Eje horizontal: (y-k)2 _{= 4p(x-h) (h+p,k) x = h-p}

Propiedad reflectora

La tangente a una parábola en un punto P forma ángulos iguales con: 1.- La recta que pasa por P y el foco.

2.- La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.

foco

P

α α

Elipse: Conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

1 2 ( , ) ( , ) 2 d P F +d P F = a 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x+c + y + x−c + y = a Propiedad reflectora

La tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que unen P con los dos focos.

2 2 2 + 2 2 1 x y a a −c = 2 2 2 b =a −c 1 F F₂

P

( , ) P x y Focos: F1 (−c, 0), F2 ( , 0)c 2 2 2 + 2 1 x y a b =

Elipse de centro (0,0) focos vértices eje mayor

2 2 2 + 2 1 x y a b = (−c, 0), ( , 0)c horizontal 2 2 2 + 2 1 x y b a = (0,−c), (0, )c vertical (0,−a), (0, )a (−a, 0), ( , 0)a

Elipse de centro (h,k) focos vértices eje mayor

2 2 2 2 ( ) ( ) + 1 x h y k a b − − _{= (h±c k, )} horizontal 2 2 2 2 ( ) ( ) + 1 x h y k b a − − _{= ( ,h k ±c) ( ,h k ±a) vertical} (h±a k, ) 1 F F₂ b c a 1 F F2 P excentricidad: e c a =

Hipérbola: Conjunto de todos los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

1 2 ( , ) ( , ) 2 d P F −d P F = a ( )2 2 ( )2 2 2 x+c + y − x−c + y = a 2 2 2 2 2 1 x y a −c −a = 2 2 2 b =c −a ( , ) P x y Focos: (F₁ −c, 0), F₂ ( , 0)c 2 2 2 2 1 x y a − b =

Hipérbola de centro (0,0) focos vértices eje transversal

2 2 2 2 1 x y a − b = (±c, 0) horizontal 2 2 2 2 1 y x a − b = (0,±c) vertical (0,±a) (±a, 0)

Hipérbola de centro (h,k) focos vértices eje transversal

2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b − ₋ − _{= (h±c k, ) horizontal} 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b − − − = ( ,h k ±c) ( ,h k ±a) _vertical (h±a k, ) excentricidad: e c a =

Asíntotas eje transversal

( ) b y k x h a = − − _horizontal vertical ( ) a y k x h b = + − ( ) b y k x h a = + − ( ) a y k x h b = − − c b a

Nota: clasificación de la cónicas: Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+ F =0

a) Elipse o círculo: b) Parábola: c) Hipérbola:2

4 0

Cónicas en polares o 1 cos 1 sen ed ed r r e θ e θ = = ± ±

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (foco) guarda una relación constante e con su distancia a una recta fija (directriz). Si consideramos que uno de los focos está situado en el polo, su ecuación es:

donde e es la excentricidad y d es distancia del polo a la directriz.

1) 0 < e <1 , elipse. 2) e = 1 , parábola. 3) e > 1, hipérbola 3 2 3 1 cos r θ = + 1.8 1 0.9 cos r θ = − 2 1 sen r θ = +