Sincronización caótica de redes de mundo pequeño.

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SINCRONIZACIÓN CAÓTICA DE REDES DE MUNDO PEQUEÑO

POR

ALLAN GIOVANNI SORIANO SÁNCHEZ

EN OPCIÓN AL GRADO DE DOCTOR EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SUBDIRECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

SINCRONIZACIÓN CAÓTICA DE REDES DE MUNDO PEQUEÑO

POR

ALLAN GIOVANNI SORIANO SÁNCHEZ

EN OPCIÓN AL GRADO DE DOCTOR EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

Al ConsejoNaional de CieniayTenología(CONACYT) a través delProyeto de

Gruposde Investigaión en Cienia Básia,Ref. 166654.

A mis revisores externos, Dr. Esteban Tlelo Cuautle y Dr. Didier López

Manilla,les agradezoporladisponibilidadpara revisar este trabajo,asíomo por

sus valiosas orreionesy omentarios.

Amisrevisoresinternos,Dr. EfraínAlortaGaríaporsusvaliosasyoportunas

orreiones; al Dr. Miguel Ángel Platas Garzaleagradezo porel tiempodediado

a las revisiones de este y otros doumentos que surgieron de esta investigaión así

omo de sus omentarios y invaluablessugerenias.

A mi asesor, Dr. Cornelio Posadas Castillole extiendo un profundo y sinero

agradeimiento por la paienia y el apoyo brindado durante el tiempo que duró la

investigaión, asíomoporsuinterés en elproyeto, sus aportaiones einumerables

sugerenias, lasuales mejoraronla alidadde este trabajo.

Sinronizaión aótia de redes de mundo pequeño

Publiaión No.

AllanGiovanniSoriano Sánhez

Universidad Autónomade Nuevo León

Faultad de IngenieríaMeánia y Elétria

Asesor: Dr. CornelioPosadas Castillo

Juliodel2016

En el presente proyeto de investigaión se lleva a abo el estudio del efeto

de la topología de mundo pequeño en la sinronizaión aótia de redes omplejas.

Se onsideran redes ompuestas por osiladores aótios (GenesioTesi 3D y Chua

generalizado),los uales son generadoresde atratores de múltiplesenrollamientos.

Se investiga el efeto de la manipulaión de la topología de una red ompleja

en elproeso desinronizarla,on elobjetivode disminuirlafuerzade aoplamiento

neesaria para alanzar y mantener el régimen de sinronía, generando así una ley

de ontrol menosinvasiva.

Se determinó que la failidad de la red para sinronizar está fuertemente

inueniada por la distania promedio nodo a nodo, la ual, disminuye a medida

que se introdue la propiedad de mundopequeño, es deir, enlaes de largo alane

oatajosentre nodosdistantes delaredompleja. Este hehomotivóeldesarrollode

un nuevoalgoritmodemundo pequeñoqueintrodueexitosamentedihapropiedad.

El efeto prinipal es la generaión de una topología que propiia la sinronizaíon

en lared ompleja,paravalores delaprobabilidad

p

menores queon losalgoritmos NewmanWatts y WattsStrogatz.

Palabraslave: Redesomplejas,mundopequeño,sinronizaión,osiladores

Lista de guras vii Lista de tablas ix 1 Introduión 1 1.1 Motivaión. . . 1 1.2 Objetivogeneral . . . 2 1.3 Objetivospartiulares . . . 2 1.4 Anteedentes . . . 3 1.4.1 Caos . . . 3 1.4.2 Redes omplejas. . . 6 1.4.3 Sinronizaión . . . 8

1.4.4 Estado delarte . . . 10

2 Osiladores aótios de múltiples enrollamientos 14 2.1 Osiladoraótiode Chuageneralizado . . . 14

2.2 Osiladoraótiode GenesioTesi3D . . . 17

3 Redes ompejas de mundo pequeño 20 3.1 Propiedad de mundopequeño . . . 20

3.2 Algoritmode mundo pequeño WattsStrogatz . . . 23

3.3 Algoritmode mundo pequeño NewmanWatts . . . 25

3.4 Algoritmode mundo pequeño propuesto . . . 28

4 Sinronizaión aótia de redes de mundo pequeño 36 4.1 Preliminares matemátios . . . 36

4.1.1 Modelo de red ompleja y susinronizaión . . . 37

4.2.2 Caso 2: sinronizaión usandoGenesioTesi3D . . . 49

4.2.2.1 Fuerza de aoplamientopara GenesioTesi3D . . . . 50

5 Conlusiones 59

5.1 Trabajos futuros . . . 61

1.1 Atrator aótiode Lorenz . . . 4

1.2 Caraterístias delaos . . . 5

1.3 Puentes de Königsberg y grafo equivalente . . . 6

1.4 Representaión gráade una red ompleja. . . 7

1.5 Clasiaiónde redes omplejas . . . 9

1.6 Dibujooriginal de Christiaan Huygens ilustrando suexperimento . . 10

1.7 Ejemplos de sinronizaión . . . 10

2.1 Atrator aótiode Chuageneralizado y suno linealidad . . . 15

2.2 Atrator aótiode 4 enr. usando

x

(

0

) = [0

.

9

,

−

0

.

8

,

−

1]

. . . 16

2.3 Atrator aótiode 5 enr. usando

x

(

0

) = [

−

0

.

1

,

0

.

1

,

0

.

1]

. . . 16

2.4 Atrator aótiode 7 enr. usando

x

(

0

) = [

−

0

.

1

,

0

.

1

,

−

0

.

2]

. . . 16

2.5 Atrator aótiode

2

×

2

×

2

enr. usando

x

(

0

) = [0

.

2

,

−

0

.

1

,

0

.

1]

. . . 19

2.6 Atrator aótiode

4

×

2

×

2

enr. usando

x

(

0

) = [

−

0

.

3

,

0

.

5

,

−

0

.

1]

. . 19

2.7 Atrator aótiode

2

×

5

×

5

enr. usando

x

(

0

) = [0

.

6

,

0

.

15

,

−

0

.

9]

. . 19

3.1 Cálulodeloeientede agrupamiento . . . 21

3.2 Cálulode longitudpromedio delamino más orto . . . 22

3.3 Evoluión delalgoritmode mundo pequeño de WattsStrogatz . . . . 23

3.4 WattsStrogatz: oef. de agrupamiento y long. de aminopromedio . 24 3.5 Evoluión delalgoritmode mundo pequeño de NewmanWatts . . . . 26

3.6 NewmanWatts: oef. de agrupamientoy long. de amino promedio . 27 3.7 Evoluión delalgoritmode mundo pequeño propuesto . . . 29

3.8 Paso 1delalgoritmopropuesto . . . 29

3.9 Paso 2delalgoritmopropuesto . . . 30

3.10 Paso 3delalgoritmopropuesto . . . 30

3.11 Paso 4delalgoritmopropuesto . . . 31

C

(

N, k, p

)

N

k

3.15 Evoluión de

L

(

N, k, p

)

en funiónde

N

y

k

. . . 35

4.1 Evidenia de sinronizaiónen red omplejaon

N, k, p

= 400

,

2

,

0

.

1

48 4.2 Evoluión temporaldelestado

x

(

t

)

de algunososiladores aótios . . 49 4.3 Rango de la fuerza de aoplamientopara GenesioTesi3D . . . 52

4.4 Evidenia de sinronizaiónen red omplejaon

N, k, p

= 500

,

2

,

0

.

1

57 4.5 Evoluión temporaldelestado

x

(

t

)

de algunososiladores aótios . . 58

1.1 Osiladoraótiode Lorenz y suatrator orrespondiente . . . 4

2.1 Chua generalizado: modalidadesdel atratoraótio. . . 16

2.2 GenesioTesi 3D: modalidades delatrator aótio. . . 19

4.1 Resultados de sinronizaión de red

N

= 100

y

k

= 1

,

2

,

5

. . . 45

4.2 Resultados de sinronizaión de red

N

= 400

y

k

= 1

,

2

,

5

. . . 46

4.3 Resultados de sinronizaión donde

N

= 300

para

k

= 1

,

2

,

5

. . . 54

Introduión

En el presente apítulo se desribe la motivaión que llevó a la realizaión de este

trabajo. Sedan aonoerlosobjetivosgeneralypartiularesquesebusaron lograr

durante la investigaión, para así rearle al letor una visión general del ontenido

deldoumento. Deigual manera,seproporionanomoanteedentes lainformaión

y oneptos básios neesarios para la totalomprensión delesrito.

1.1 Motivaión

El estudiode redes omplejases uno de los ampos de investigaión más ativo que

se pueden enontrar en la literatura. Esto se debe en gran medida a su apaidad

para modelar una amplia variedad de sistemas, según han demostrado diferentes

investigadores.

En la atualidad, el reiente interés por organizar sistemas no lineales en

redes hagenerado que una buena antidad de onoimiento en este ampo se haya

estableido,dondedestaanpropiedadesomorobustez,apaidadde propagaióny

apaidad para sinronizar; siendo esta última de importaniaonsiderable por sus

poteniales apliaiones, las uales van, pero no se limitan a las omuniaiones

aótias seguras [15℄, ontrol de la formaión de robots [68℄ y desripión

de proesos biológios omo osilaiones de élulas ardiaas o el metabolismo

mitoondrial[911℄, pormenionar algunas.

En la última déada, el auge de las omuniaiones, resultado de la

globalizaión, ha signiado un área de gran impato para las redes omplejas, en

araterístiasmás investigadas.

Por tal motivo, estudiaremos el efeto de la propiedad de mundo pequeño en

el proeso de sinronizar una red ompleja esasamente onetada, la ual estará

formada por los osiladores aótiosde múltiples enrollamientosChua generalizado

y GenesioTesi 3D. Se pretende optimizar el uso de su apaidad de propagaión,

produida por las onexiones de largo alane, on la intenión de propiiar el

fenómeno de sinronía.

1.2 Objetivo general

Contribuir a la generaión de onoimientoen el ampo de las redes omplejas que

exhiben lapropiedadde mundopequeño,araterizando supropiedadde sinronizar

en régimenaótio, haiendo uso de su topología,reduiendo la distania promedio

nodoa nodoy generandouna leyde ontrolpoo invasiva.

1.3 Objetivos partiulares

ˆ Propiiarelestadodesinroníaenunaredompleja,onstituidaporosiladores

aótios, a través de la modiaión de su topología, on miras a reduir la

magnitud delesfuerzo de ontrol.

ˆ Sinronizar redes omplejas de mundo pequeño onstituidas por osiladores

aótios de múltiples enrollamientos, generadas on los algoritmos existentes

(WattsStrogatz [12℄ y NewmanWatts [13,14℄).

ˆ Determinar sila rápida propagaión de lasdinámias aótias,produida por

la propiedad de mundo pequeño, propiia el fenómenode sinronizaiónen la

red ompleja.

ˆ Proponer un algoritmo que introduza la propiedad de mundo pequeño a

una red ompleja, de manera que su oeiente de agrupamiento no sufra un

deremento exesivo, mientras se busa la reduión eiente de su longitud

promedio delamino más orto.

ˆ Determinarsieldesempeñodelalgoritmopropuestoen elproesodellevaruna

1.4 Anteedentes

En elpresente trabajo de tesis, se reúnen tres importantes disiplinas, ampliamente

exploradas por los investigadores en los últimos años, que han demostrado gran

apliaión en la vida del hombre. A ontinuaión, proporionamos al letor un

breve resumen on la informaión básia neesaria para omprender los siguientes

oneptos: empezaremospordesribirelfenómenodeaos,queeselomportamiento

propio de los sistemas nolineales que usaremos en este trabajo; seguido de esto, se

desribe el onepto de red ompleja, que resulta ser nuestro entro de interés y

donde reae la prinipal aportaión de este trabajo. Posteriormente, denimos el

onepto de sinronizaión, que es una de las propiedades más estudiadas de las

redes omplejas.

Para onluir el apítulo, se proporiona una síntesis de los trabajos más

reientes y destaados sobre el tema, on el objetivo de estableer el panorama del

que parte esta investigaión.

1.4.1 Caos

El fenómeno llamadoaos ha sido estudiado ampliamenteen la segunda mitad del

sigloXX.Demanerageneral,elaos,esunfenómenoqueexhibeunomportamiento

temporal de formas muy irregulares y en aparienia aleatoria, sin embargo, es de

naturaleza determinista. La palabra aos proviene del griego

χ

αoς

´

que signia impredeible [15℄. La primer evidenia físia de aos aeptada fué la realizada por

Edward Lorenz en 1963 [16℄. Intentando predeir el omportamiento del lima,

simulóel onjuntode euaiones difereniales que se muestran en la Tabla 1.1, más

tarde onoidas mundialmente omo las euaiones de Lorenz. El resultado de la

simulaión fue un atrator queatualmente seonoe omo elatrator de Lorenz y

que semuestraen laFig. 1.1.

Deentre lasdeniionesde aosquehansurgidoenlaliteratura[17,18℄,unade

lasmásaeptadaseslaquepropusoRobertL.Devaney en 1989[1820℄. Deauerdo

on Devaney, las araterístiasque debe umplir un sistema dinámiopara que se

onsidere aótio son lassiguientes [18,19℄:

Deniión 1.1 Sea

X

un espaio métrio. Un mapa ontinuo

f

:

X

→

X

se die que es aótio si:

Modelodel osilador Atratoraótio















˙

x

=

a

(

y

₋

x

)

,

˙

y

=

x

(

b

₋

z

)

₋

y,

˙

z

=

xy

−

cz.

−20

5

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x(t)

z(t)

Fig. 1.1: Atrator aótio de Lorenz

obtenido on

a

= 10

,

b

= 28

,

c

= 8

/

3

para

[

x

(0)

, y

(0)

, z

(0)] = [

₋

0

.

1

,

₋

0

.

1

,

₋

0

.

1]

. Tabla 1.1: Primera evidenia del aos realizada por Edward Lorenz, euaiones

difereniales que desriben el osiladory atrator aótioorrespondiente [16℄.

2. El onjunto de puntos periódios de

f

son densos en

X

. 3.

f

tiene dependeniasensiblea las ondiiones iniiales.

La transitividad de una funión asegura que en dos zonas ualesquiera del

espaio en donde está denida, existe un punto de la primer zona, uya órbita

periódia visita en algún momentola segunda [20℄.

Ladensidadde

f

en

X

garantiza queladistaniaentre dos puntos

d

(

x, y

)

< ε

,

ε >

0

[20℄.

La sensibilidad a ondiiones iniiales es posiblemente la araterístia más

onoidadelfenómenoaótio,laualsereere aladivergenia de dostrayetorias,

provoada por una pequeña diferenia en el valor de dos estados que parten

iniialmente muy eranos uno del otro. Además de estas ondiiones, otras

araaterístias, que en onjuntoindian lapresenia de aos son:

ˆ Exponentes de Lyapunov positivos(almenos uno) [21℄.

ˆ Atratores extraños [22,23℄.

ˆ Dimensión fratalen los atratores [23,24℄.

atratoresextraños sonun indiadordeunomportamientoompliado,enesteaso

enpartiularde omportamientoaótio,losualesposeendimensiónfratal[22,23℄.

Por último, la dimensión fratal es el número raional que se obtiene de apliar el

estudiodedimensiónaunatratoraótio[23,24℄. EnlaFig. 1.2seilustranalgunas

de estas araterístias.

Paraestainvestigaión,lososiladoresaótiosqueseempleansongeneradores

de atratores de múltiples enrollamientos, que son estruturas en forma de espiral

on rotaiones innitas [25℄, los uales se desriben a detalle en el Capítulo 2. A

ontinuaión,damos paso a loonernientea redes omplejas.

0

2

4

6

8

10

0

10

20

30

40

50

60

t (seg)

z(t)

z(0) = 0.2

z(0) = 0.201

(a)

0

20

40

60

80

100

−15

−10

−5

0

5

10

15

t (seg)

λ

1, 2, 3

λ

1

λ

2

λ

3

(b)

−30

−20

−10

0

10

20

30

−20

0

20

0

10

20

30

40

50

60

y(t)

x(t)

z(t)

()

Fig. 1.2: Caraterístias del aos: (a) Sensibilidad aondiiones iniiales delestado

z

(

t

)

del osilador aótio de Chen. (b) Exponentes de Lyapunov

[

λ

1

, λ

2

, λ

3

] =

[1

.

9

,

0

,

₋

11

.

7]

orrespondientes al osilador aótio de Chen. () Atrator aótio delosilador de Chen.

1.4.2 Redes omplejas

Elestudiode lasredes estáa argode laramade lasmatemátiasdisretas llamada

Teoría de grafos. El naimiento de la teoría de grafosdata delaño 1736, uando el

matemátiosuizoLeonhardEulerhizopúblialasoluióndelproblemadelospuentes

de Königsberg, usando un grafo equivalente omo semuestra en la Fig. 1.3[2628℄.

Este hehodesenadenó un onsiderableinterésen elampo,queposteriormentedio

respuesta a uestionamientosque hasta ese momento estabaninonlusos.

(a) (b)

Fig.1.3: (a)Dibujooriginaldelospuentesde Königsberg[26℄. (b)Grafoequivalente

delproblema de lospuentes de Königsberg.

Desdeentones,elgrafohasidoobjetodeestudiosexhaustivosquehanderivado

en su apliaión en diferentes disiplinas ientías, entre las que se enuentran

la biología [29,30℄, neurología [31,32℄, soiología [33,34℄ y eonomía [35,36℄, por

menionar algunosejemplos y uya deniión es lasiguiente[28℄:

Deniión 1.2 Ungrafo dirigido(nodirigido)

G

= (

N

,

L

)

onstadedos onjuntos

N

,

_L

tal que

N 6

=

∅

y

L

es un onjunto de pares de elementos ordenados (no ordenados) de

N

. Los elementos de

N ≡ {

n

1

, n

2

, . . . , n

N

}

son los nodos (vérties o puntos),mientrasqueloselementosde

L ≡ {

l

1

, l

2

, . . . , l

k

}

sonlasonexiones(aristas o líneas). Dos nodos unidos por una onexión son llamados nodos adyaentes o

veinos. Elgrado

k

i

deun nodo

i

eselnúmerototalde susonexiones. Enun grafo dirigido elorden es importante:

l

ij

representa una onexión delnodo i alj,

l

ij

6

=

l

ji

. En un grafo no dirigido se die que la onexión es inidenteen ambos nodos.

genétia [29, 32℄, redes de proteínas [30,37℄, redes neuronales [31,32℄ y redes

metabólias [3739℄; hasta lo marosópio: las redes soiales [33,34℄, el Internet

[32,37℄, el World Wide Web [32,37℄, las redes de omuniaiones [32,37,40℄y redes

de olabolaiónientía [32,37℄.

Conbaseenloanterior,unared ompleja sedeneomounonjuntodenodos

interonetados queinteratúan entre sí,dondeadanodoeslaunidadfundamental

que ontiene informaión detallada de la red [41℄. El término omplejo se reere

a su topología y a las araterístias de los nodos. En la Fig. 1.4 se muestra la

representaión gráa de una red ompleja, donde se apreian dos esenarios: ujo

de la informaión en ambos sentidos de la onexión (red ompleja no dirigida Fig.

1.4 a) y ujo en un solosentido de laonexión (red ompleja dirigidaFig. 1.4b).

Lasredes omplejas selasian de lasiguientemanera:

1. Redesomplejasestruturales: inluyenlastopologíasregulares,lasuales

se araterizan por poseer un patrón de onexión (global, estrella y anillo) e

irregulares on onexiones arbitrarias [28,32,42℄ Fig. 1.5(a).

2. Redes omplejas ponderadas: se araterizan por poseer pesos en los

enlaes,lo que lesintrodue jerarquía [28,32,41℄Fig. 1.5(b).

3. Redes omplejas aleatorias: searaterizanportenertodassus onexiones

realizadasaleatoriamenteentre paresde nodos. ErdösRényieselmodelomás

empleado [32,43℄ Fig. 1.5().

(a) Rednodirigida (b) Reddirigida

Fig. 1.4: (a) Red ompleja regular para

N

= 8

. (b) Red ompleja irregular para

4. Redes omplejas de libre esala: sus araterístias prinipales son que

la distribuión del grado

P

(

k

)

obedee una ley de potenia del tipo

P

(

k

)

∼

2

m

1

/β

_k

−

γ

,debidoalaexisteniadenodos quetienepreferenia paraonexión,

donde

γ

=

1

β

+ 1 = 3

,

k

es el grado del nodo y

m

es el número de nodos existentes en laiteraión

i

[28,32,41℄ Fig. 1.5 (d).

5. Redes omplejasde mundopequeño: searaterizanporposeerun grado

altodeonetividadyunadistaniapromedioentrenodopequeña,resultadode

lapreseniade onexiones delargoalaneentre nodosdistantes. Losmodelos

más usados son WattsStrogatz[12℄ y NewmanWatts [13,14℄ Fig. 1.5 (e).

En la Fig. 1.5 se ilustra la lasiaión de redes omplejas que se aaba de

presentar. En este trabajo de tesis, estudiaremos las redes omplejas de mundo

pequeño, las uales son desritas a detalle en elCapítulo 3. A ontinuaión, damos

paso a ladesripión delonepto de sinronizaión.

1.4.3 Sinronizaión

Toa ahora desribir uno de los fenómenos más interesantes que pueden llegar a

presentarse en lasredes omplejas,elualha resultadode utilidadpara elhombrey

al quese lehan dadodiferentes apliaiones [14,611℄.

El onepto de sinronía puede denirse omo la irunstania donde dos

o más suesos o fenómenos ourren al mismo tiempo [44℄. Se onsidera omo

el padre de la sinronía a Christiaan Huygens, puesto que los registros histórios

muestran que fué el primero en doumentar este fenómeno ourrido en dos

péndulos [45℄. Se die que el matemátio holandés observó que dos relojes de

péndulo, que iniialmente osilaban a freuenias diferentes, sinronizaban sus

movimientos después de permaneer aoplados a través de una viga; además, si

algunainterferenia interrumpíalasinronía, esta sereuperaba en un orto tiempo

[45℄. En la Fig. 1.6 se muestra el dibujo original de Christiaan Huygens ilustrando

su experimento on losrelojesde péndulo.

Numerosos ejemplos de sinronía involuntaria han sido registrados en los

últimos años, los uales onrman el rol ruial que desempeña en el desarrollo de

proesos omo: generaión de lamemoria[46℄,presenia de atenión seletiva [47℄y

(a) (b) ()

(d) (e)

Fig. 1.5: Ejemplos de la lasiaión de redes omplejas: (a) Red ompleja

estrutural: topología estrella. (b) Red ompleja ponderada. () Red ompleja

aleatoria. (d) Red ompleja de libre esala. (e) Red ompleja de mundo pequeño,

dondelalíneaenguióndenotalosenlaesdelargoalaneagregadosaleatoriamente.

elhombre hadesarrollado avoluntad proesos en los quelasinroníaes elelemento

medular,talesel asode losdeportes de altorendimiento,y sehavistobeneiado

enormementeenlaingenieríaalintroduirestefenómenoenlosproesosindustriales.

En la naturaleza puede observarse sinronizaión en el anto de los grillos [45℄, la

bioluminiseniadelasluiérnagas[45℄,latomadedeisionesenunamanada[45,52℄

y ladisposiiónde lashojas de algunasplantason eldíayla nohe [45℄. EnlaFig.

1.7 se muestran algunos ejemplos donde se presenta el fenómeno de sinronía para

diferentes esenarios, donde sin duda, aquellos que inuyen en la vida del hombre

Fig. 1.6: Dibujo original de C. Huygens ilustrando su experimento de sinronía en

la artadirigida asu padre on feha 26de Febrerode 1665 [45℄.

(a) (b) ()

(d) (e)

Fig. 1.7: Ejemplos de sinronizaión en diferentes esenarios: (a) Sinronía en el

vuelo de las aves. (b) y (d) Sinronía presente en disiplinas de alto rendimiento.

() y (e)Sinronía presenteen laindustria.

Unavez desritos lostres amposque integran esta investigaión, damospaso

a la última seión de este apítulo, en donde se desribe brevemente el estado del

arte del tema de interés.

1.4.4 Estado del arte

ausante del surgimiento de una importante antidad de informaión. Una vez

determinada la importania de la interaión entre individuos ditada por la

topología, las redes omplejas han sido ompuestas por sistemas dinámios, on

la intenión de onoer las propiedades, omportamientos y fenómenos que puedan

surgir de esta ombinaión.

Estofueposibledespuésdelsurgimientodeltrabajorealizadoen 1990porL.M.

Peora y T.L. Carroll,quienesdemostraron porprimeravez queera posible quedos

osiladores aótios, que partían de ondiiones iniialesdiferentes, se omportaran

de manera sinronizada [53℄. Como resultado, en los últimos 25 años, las redes

omplejas han sido objeto de numerosos estudios, en donde el objetivo prinipal es

araterizar el fenómeno de sinronía, usando sistemas dinámios no lineales que

exhiben omportamientos irregulares, prinipalmenteaótio ehiperaótio.

Las bases de la sinronizaión de aos y sus apliaiones fueron estableidas

algunos años después omo se desribe enseguida. En 1994, C.W. Wu y L.O. Chua

denieron los oneptos de sinronizaión asintótia y parial, así omo la relaión

entre la sinronizaión asintótia y la estabilidad asintótia [54℄. En 1995, J.F.

Heagy y olaboradores investigaron el rol de las órbitas periódias inestables en el

omportamiento aótio sinronizado [55℄. Probaron también ómo se iniiaba el

omportamiento que deriva en la desinronizaión, y sugirieron tomarlo en uenta

para alanzarsinronizaión aótiade mayor alidad.

En1996,N.F. Rulkov disutióelomportamientoooperativorelaionadoon

los regímenes del aos sinronizado, y bosquejó algunos ejemplos que ilustraran

diferentes tipos de osilaiones aótias idéntias [56℄. En 1997, L.M. Peora y

olaboradoresrevisaron algunosoneptosbásios de lasinronizaiónaótia, tales

omo riterios de estabilidad y sinronizaión generalizada; también examinaron

onguraiones de aoplamientoasíomo esquemas de omuniaionesseguras [57℄.

Ese mismo año, G. Kulumbán y olaboradores proporionaron una aproximaión

uniada para el análisis y omparaión de sistemas de omuniaión aótia,

lariandoelroldelasinronizaiónparalasomuniaionesaótiasydesribiendo

algunos esquemas para sinronizar [58℄. En 2001, S. Yanhuk y olaboradores

analizaron el meanismo de la desinronizaión para un sistema de dos osiladores

idéntios aoplados, y reportaron propiedades de estabilidad transversal para el

puntode equilibrioen sistemasaoplados [59℄.

entre osiladores aótios, los uales pueden ser lasiados en dos modalidades:

la primera modalidad está ompuesta por los esquemas de ontrol onvenionales

que llevan a abo la sinronizaión entre pares de osiladores, regularmente en

onguraión maestroeslavo. Entre los métodos más destaados se enuentran,

por ejemplo, sinronizaión por modos deslizantes [60℄, sinronizaión a través

de observadores no lineales [61,62℄, sinronizaión usando ontrol adaptativo y

adaptativoimpulsivo [63℄ o ontrol de orden superior [64℄. La segunda modalidad

omprende las ténias que onsideran no solo al osilador aótio sino también la

topología, la ual tiene un papel ruial en el proeso que se desarrolla, y entre las

que se enuentran la téniaWangChen que emplea la matriz de aoplamiento,la

funión maestra de estabilidad y el método de la red on onexiones generalizadas

[6568℄, pormenionar lasmás relevantes.

Numerosos estudios han mostrado la efetividad de estas últimas ténias

para sinronizar redes omplejas, las uales han sido ompuestas por diferentes

tipos de sistemas dinámios, entre los que se enuentran el osilador de fase de

Kuramoto [69,70℄, elosilador de Van der Pol [71,72℄, diferentes modelos de Redes

NeuronalesCelulares(CellularNeuralNetwork-CNN)[5,73℄yunagranvariedadde

osiladores que exhiben omportamiento aótio [7476℄. Los resultados de interés

son aquellos obtenidos sobre redes omplejas de mundo pequeño, la mayoríade los

uales entra su atenión en el modelo del sistema que ompone la red ompleja.

Tal es el aso de la Funión Maestra de Estabilidad [66℄, por ejemplo, la ual fue

originalmentedesarrolladapara determinarla estabilidaddelestado sinronizado,a

través de la diagonalizaión de la euaión variaional, on el objetivo de obtener

el exponente de Lyapunov más grande en funión de los valores propios omplejos

de la matrizde aoplamiento,permitiendo asísepararlos efetos de ladinámiadel

sistema para ser estudiados bajo ualquiertopología [66,77,78℄.

Por otra parte, en el modelo propuesto por X.F. Wang y G. Chen [65℄ para

sinronizar una red ompleja, se sugiere alanzar la sinronía haiendo uso de la

fuerza de aoplamiento,uyo valordepende del tipode sistema queompone lared

omplejay de sutopología,la uales expresada atravésde losvalores propiosde la

matriz de aoplamiento. A pesar de que se hademostrado su eaia en el proeso

de sinronizarredes omplejas de diferentes tipos,uandola topología esde mundo

pequeño, para ondiiones donde se modia una pequeña fraión de los enlaes,

una ondiión que produe una fuerza de aoplamiento en oasiones exesivamente

grande. Además de esto, la diultad y el tiempo requerido para el álulo del

segundo valor propio de la matriz de aoplamiento, neesario para la obtenión del

aoplamiento,esproporionalal tamañode lared ompleja. Estas son sinduda las

prinipales desventajas de esta ténia. Sin embargo, su efetividad es indisutible

uando se emplean redes omplejas del tipo estrutural (Seión 1.4.2, Fig. 1.5

a) [7981℄.

A.PogromskyyH.Nijmeijerpropusieronunesquemaparasinronizarsistemas

dinámios, losuales deben umplirun enfoquede pasividady fase mínima[68,82℄,

para garantizar que la soluión de los sistemas aoplados esté aotada, lo que

garantiza que el estado sinronizado de la red puede alanzarse una vez exedido

el umbral delmínimoaoplamiento[68℄.

Finalmente, el método de la red on onexiones generalizadas, propuesto

por I. Belykh y olaboradores [67℄ para estudiar sinronizaión global ompleta

de una red ompleja dirigida, sugiere transformar las onexiones unidireionales

en bidireionales y ponderar ada una de estas on la mitad de la fuerza de

aoplamiento original, para generar una red equivalente no dirigida. Aunque el

método ha mostrado efetividad, está limitado a redes dirigidas pequeñas que

presenta una topología uniforme en árbol; para redes omplejas de gran tamaño,

el métodopresenta diultades en enontrar los aminosmás ortos a través de los

enlaes unidireionales a ser reemplazados [67℄. Con esto se onluye el apítulo

introdutoriode este trabajo.

Elresto delesrito está organizado omo sigue: Enel Capítulo2 se desriben

los modelos dinámios de los sistemas no lineales que serán usados para omponer

las redes omplejas, los uales son osiladores aótios generadores de atratores

de múltiples enrollamientos. En el Capítulo3 se desriben las redes omplejas on

topologíademundopequeño,asíomolosdosalgoritmosexistentesmásimportantes.

En este apítulo también se presenta la propuesta alternativa para generar redes

omplejas de mundo pequeño, la ual es una de las aportaiones más importantes

de este trabajo. Los resultados de sinronizaión de las redes omplejas de mundo

pequeño, generadas on los tres algoritmosque se desriben, se proporionan en el

Osiladores aótios de múltiples

enrollamientos

Enelpresente apítulosedesriben adetallelossistemasdinámiosnolineales,que

para este aso en partiular, son osiladores aótios generadores de atratores on

múltiples enrollamientos,los uales seusarán para onstituir las redes omplejasde

mundo pequeño desritas en el Capítulo3.

Enlaliteraturaientíasedisponedeunavariedadsigniativade osiladores

aótiosreportados. En estainvestigaión, nuestro interés reaeen aquellos apaes

de generar atratores aótiosde mútiples enrollamientos, uyo ejemplo más básio

es el ampliamente onoido y estudiado osilador aótio de Chua [83℄, del ual se

han realizado múltiples generalizaiones on base en dos ategorías: aquellas en las

quesemodia suaraterístianolineal yaquellasen lasqueseaumentaelnúmero

de variablesde estadodel sistema[84℄.

A ontinuaión, se desriben los modelos dinámios que se emplearon en esta

investigaión omo generadores de atratores de múltiplesenrollamientos.

2.1 Osilador aótio de Chua generalizado

ElosiladordeChuaesunmodelonolinealde dinámiaaótiaquesehaonvertido

en un paradigma para el estudio del aos. El osilador de Chua se ha estudiado

extensamentedesdesuapariiónalrededorde1983,omoresultadodeesto,diferentes

generalizaiones han sido propuestas. De las dos vertientes que se han seguido

−4

−2

0

2

4

−0.5

0

0.5

−6

−4

−2

0

2

4

6

y(t)

x(t)

z(t)

(a)

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

h(x)

(b)

Fig. 2.1: (a) Atrator aótio del osilador de Chua generalizado para

α

= 9

,

β

= 100

/

7

,

q

= 2

,

m

= [0

.

9

/

7

,

−

3

/

7

,

3

.

5

/

7

,

−

2

.

4

/

7]

y

b

= [1

,

2

.

15

,

4]

. (b) Funión nolineal de la euaión (2.2) para

q

= 2

.

estudiadas se relaionada on la introduión de puntos de quiebre adiionales en

la nolinealidad[83,85℄.

Elmodelomatemátio,quedesribeelosiladoraótiode Chuageneralizado,

está dado por elsiguienteonjuntode euaiones difereniales:















˙

x

=

α

[

y

₋

h

(

x

)]

,

˙

y

=

x

−

y

+

z,

˙

z

=

−

βy,

(2.1)

on una araterístia lineal atrozos dada por:

h

(

x

) =

m

2

q

−

1

x

+

1

2

2

_q

−

1

X

i

=1

(

m

i

−

1

−

m

i

)(

|

x

+

b

i

| − |

x

−

b

i

|

)

.

(2.2) El osilador (2.1) exhibe una dinámia aótia para valores de parámetros

α

= 9

y

β

= 100

/

7

[83,85℄. Se puede ver que la euaión

(2

.

2)

está ompuesta

por múltiples puntos de quiebre, donde

q

denota un número natural. El osilador aótiode Chua generalizado

(2

.

1)

está desrito portres esalares y dos vetores de parámetros

{

α, β, q, m, b

}

, donde

m

= [

m

0

m

1

. . . m

2

q

−

1

]

,

b

= [

b

1

b

2

. . . b

2

q

−

1

]

.

En la Fig. 2.1 (a) se muestra un ejemplo del atrator aótio generado on

las euaiones (2.1), al que orresponde lafunión no lineal de la Fig. 2.1 (b) para

q

= 2

, en la quepueden apreiarse diferentes puntos de quiebre.

En la Tabla 2.1 se proporionan tres ejemplos de parámetros para generar

Parámetros Atratoraótio















































α

= 9

,

β

= 100

/

7

,

q

= 2

,

b

= [1

,

2

.

15

,

4]

,

m

= [0

.

9

/

7

,

₋

3

/

7

,

3

.

5

/

7

,

−

2

.

4

/

7]

.

−5

0

5

10

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−15

−10

−5

0

5

10

15

y(t)

x(t)

z(t)

Fig.2.2: Atratoraótiode4enr. usando

x

(

0

) = [0

.

9

,

₋

0

.

8

,

₋

1]

.















































α

= 9

,

β

= 100

/

7

,

q

= 3

,

b

= [1

,

2

.

15

,

3

.

6

,

6

.

2

,

9]

,

m

= [0

.

9

/

7

,

₋

3

/

7

,

3

.

5

/

7

,

−

2

.

7

/

7

,

4

/

7

,

₋

2

.

4

/

7]

.

−5

0

5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−15

−10

−5

0

5

10

15

y(t)

x(t)

z(t)

Fig.2.3: Atratoraótiode5enr. usando

x

(

0

) = [

₋

0

.

1

,

0

.

1

,

0

.

1]

.



































































α

= 11

.

6047522

,

β

= 15

,

q

= 4

,

b

= [1

,

2

.

15

,

3

.

6

,

6

.

2

,

9

,

14

,

25]

,

m

= [0

.

9

/

7

,

₋

3

/

7

,

3

.

5

,

−

2

.

4

/

7

,

0

.

36

,

₋

0

.

24

,

2

.

52

/

7

,

−

0

.

24]

.

−15

₋₁₀

−5

0

5

10

₁₅

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−40

−20

0

20

40

y(t)

x(t)

z(t)

Fig.2.4: Atratoraótiode7enr. usando

x

(

0

) = [

−

0

.

1

,

0

.

1

,

−

0

.

2]

.

Tabla 2.1: Parámetros ysumodalidaddelatratoraótiogenerado onelonjunto

de euaiones(2.1) para valoresreportados en [83,85℄.

En lo que resta del apítulo se desribe otra familia de osiladores aótios,

2.2 Osilador aótio de GenesioTesi 3D

El osiladoraótio que estamos por desribir, pertenee a la familiade osiladores

que generaenrollamientosen reja, reportadaoriginalmenteomo una nueva familia

de atratores on n-enrollamientos [83,84℄. De los diferentes modelos disponibles

de esta familia, entraremos nuestra atenión en aquel apaz de generar múltiples

enrollamientosalolargodetodassusvariablesdeestado,elualesunageneralizaión

del modelo original, propuesto por R. Genesio y A. Tesi en 1992, para examinar

el método del balane armónio y determinar la existenia y loalizaión del

omportamientoaótio[83,84,86℄,yalquellamaremososiladoraótiodeGenesio

Tesi 3D.

La generalizaión del osilador aótio de GenesioTesi onsiste en la

introduióndefunionesnolinealesenadaunade susvariablesdeestado,reando

asíun modeloapaz de generar múltiplesenrollamientosalo largo de ualquierade

ellas. El osilador de GenesioTesi 3D está desrito por las siguientes euaiones

difereniales [83,84℄:































˙

x

=

y

₋

f

1

(

y

)

,

f

1

(

y

) =

M

y

P

i

=1

g

(

−

2

i

+1)

2

(

y

) +

N

y

P

i

=1

g

(2

i

−

1)

2

(

y

)

,

˙

y

=

z

₋

f

2

(

z

)

,

f

2

(

z

) =

M

z

P

i

=1

g

(

−

2

i

+1)

2

(

z

) +

N

z

P

i

=1

g

(2

i

−

1)

2

(

z

)

,

˙

z

=

−

a

(

x

+

y

+

z

−

f

3

(

x

))

,

f

3

(

x

) =

k

−

1

P

l

=1

γg

n

l

(

x

)

.

(2.3)

Donde

a

= 0

.

8

,

g

θ

(

•

)

es lafunión núleo y está denida omo sigue:

g

θ

(

•

) =























1

,

_{• ≥}

θ, θ >

0

,

0

,

_•

< θ, θ >

0

,

0

,

• ≥

θ, θ <

0

,

−

1

,

•

< θ, θ <

0

.

(2.4)

Para

f

3

(

x

)

setiene que























n

l

=

ρ

+ 0

.

5 + (

l

−

1)(

ρ

+

ς

+ 1)

,

γ

=

ρ

+

ς

+ 1

,

ρ

=

|

min

i,j

{

u

eq,y

i

+

u

eq,z

j

} |

,

ς

=

|

max

i,j

{

u

eq,y

i

+

u

eq,z

j

} |

.

(2.5)

Delonjuntodeeuaiones(2.5),

u

eq,y

i

y

u

eq,z

j

sonlosvetoresparalasvariables

(2.3) se obtienen apartir de















x

+

y

+

z

=

f

3

(

x

)

,

y

=

f

1

(

y

)

,

z

=

f

1

(

z

)

,

(2.6)

y están dados por [83℄:

(

u

eq,y

₌

_{−

_M

y

, . . . ,

−

1

,

0

,

1

, . . . , N

y

}

,

u

eq,z

₌

_{−

_M

z

, . . . ,

−

1

,

0

,

1

, . . . , N

z

}

.

(2.7)

Finalmente, los puntos de equilibrio delsistema (2.3) resultanser

υ

eq

=

{

[(

l

−

1)(

ς

+ 1 +

ρ

)

−

u

eq,y

−

u

eq,z

u

eq,y

u

eq,z

]

T

|

i

= 1

,

2

, . . . ,

M

y

+

N

y

+ 1;

j

= 1

,

2

, . . . M

z

+

N

z

+ 1;

l

= 1

,

2

, . . . , k

}

.

(2.8)

En la Tabla 2.2 se muestran algunas modalidades de atratores aótios

generados on el osiladorGenesioTesi3D desrito porlas euaiones (2.3).

Paraonluirelapítulo,remararemosalletorquelosmodelosqueaabamos

de desribir, los uales son osiladores aótios generadores de atratores on

múltiplesenrollamientos,seránusadosparaonformarlasredesomplejasde mundo

pequeño que se sinronizan en el Capítulo 4. A ontinuaión, damos paso a la

desripión de las redes omplejas de mundo pequeño, que es donde se desribe la

Parámetros Atratoraótio















































a

= 0

.

8

,

M

y

= 0

,

N

y

= 1

,

M

z

= 0

,

N

z

= 1

,

k

= 2

.

−2

−1

0

1

2

3

−1

0

1

2

−0.5

0

0.5

1

1.5

x(t)

y(t)

z(t)

Fig.2.5: Atratoraótiode

2

×

2

×

2

enr. usando

x

(

0

) = [0

.

2

,

−

0

.

1

,

0

.

1]

.















































a

= 0

.

8

,

M

y

= 0

,

N

y

= 1

,

M

z

= 0

,

N

z

= 1

,

k

= 4

.

−2

0

2

4

6

8

10

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x(t)

y(t)

z(t)

Fig.2.6: Atratoraótiode

4

×

2

×

2

enr. usando

x

(

0

) = [

−

0

.

3

,

0

.

5

,

−

0

.

1]

.















































a

= 0

.

8

,

M

y

= 2

,

N

y

= 2

,

M

z

= 2

,

N

z

= 2

,

k

= 2

.

0

5

10

15

−2

−1

0

1

2

3

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x(t)

y(t)

z(t)

Fig.2.7: Atratoraótiode

2

×

5

×

5

enr. usando

x

(

0

) = [0

.

6

,

0

.

15

,

−

0

.

9]

.

Tabla 2.2: Parámetros ysumodalidaddelatratoraótiogenerado onelonjunto

Redes ompejas de mundo pequeño

Las redes omplejas de mundo pequeño tienen sus iniios en los años 1960, uando

Stanley Milgram llevó a abo un experimento soial que derivó en el ampliamente

difundido onepto de los seis grados de separaión [87℄. De auerdo on [12,88℄, el

experimentode Milgramonsistióen la repartiiónaleatoriade artas,uyodestino

era Boston, a personas en Nebraska que pudieran onoer al destinatario. Milgram

desubrió queletomabaun promedio de seis pasos alasartas llegarde Nebraskaa

Boston. Con este resultado, S.Milgram onluyó queseis esel númeropromedio de

onoidos quesepara a lagentede todomundo.

Lasredes de mundo pequeño se volvieron muy populares después de que D.J.

WattsyS.H.Strogatz publiaranelprimeralgoritmoqueintrodueestapropiedada

latopología de una red omplejaregular. Watts y Strogatzmostraron exitosamente

quelaredomplejaresultanteumplíaondosaraterístiasprinipales: oeiente

de agrupamiento altoy longitud promedio delamino más orto baja [12℄. Muhos

investigadores entraron su atenión en este tipo de redes durante los años

posteriores, lo que resultó en un aumento de una buena antidad de onoimiento

sobre el tema.

3.1 Propiedad de mundo pequeño

Apesardequeeloneptodemundopequeñofuederivadode unexperimentosoial,

numerosas son las apliaiones en ampos tan diversos omo la ingeniería [89℄, la

mediina[90℄ y la biología[91,92℄, pormenionar algunos, loque haprovoado que

La propiedad de mundo pequeño se reere a la existenia de enlaes de largo

alane o atajos que onetan pares de nodos distantes en la red, en donde está

implíitoel onepto de losseis gradosde separaión,ya quese requiereun número

bajo de pasos para alanzarualquier nodode lared.

Las araterístias de las redes omplejas que se ven afetadas por esta

propiedad sonlassiguientes: en primerlugar,el oeiente de agrupamiento,elual

sereerealafraiónpromediodeparesde veinosdeunnodo,quesonveinosentre

sí.

c

i

es eloeientede agrupamientodel nodo

i

y se dene omoel oienteentre elnúmero

E

i

de enlaesreales existentes entre los

k

i

nodos veinos de

i

y el número total

k

i

(

k

i

−

1)

/

2

de enlaesposibles, porlotanto,el oeientede agrupamiento

C

de lared es elpromedio de los

c

i

sobre todos losnodos

i

C

=

1

N

N

X

i

=1

2

E

i

k

i

(

k

i

−

1)

,

(3.1)

donde

N

es el tamaño de la red. La Fig. 3.1 ejemplia el álulo del oeiente de agrupamiento de una red ompleja de

N

= 8

para un mejor entendimiento. El oeiente de agrupamientode lared, desrito porlaeuaión (3.1), es

C

= 0

.

4167

. Por otro lado, la longitud promedio del amino más orto

L

se dene omo la distania más orta promedio entre ualquier par de nodos de la red [28,41,93℄,

Fig. 3.1: Parámetros de ada nodo neesarios para el álulo del oeiente de

agrupamiento,donde

k

i

eselnúmerodeveinosdelnodo

i

,

E

i

eselnúmerodeenlaes reales existentes entre sus

k

i

veinos y

c

i

esel oeiente de agrupamiento delnodo

denida omo sigue

L

=

1

N

(

N

₋

1)

N

X

∀

i,j,i

6

=

j

ℓ

ij

,

(3.2)

donde

ℓ

ij

esladistaniamásortaentrelosnodos

i

y

j

. Considerandoquepararedes omplejasnodireionasladistaniamás ortadelnodo

i

alnodo

j

eslamismaque del

j

al

i

, y on nes de programaión, la euaión (3.2) puede simpliarse de la siguiente manera

L

=

2

N

(

N

₋

1)

N

−

1

X

i

=1

N

X

j

=

i

+1

ℓ

ij

,

(3.3)

dondesereduede

N

(

N

−

1)

aminosaobtener on laeuaión(3.2)a

N

(

N

−

1)

/

2

onlaeuaión (3.3). EnlaFig. 3.2seejempliaelálulodelalongitudpromedio

delaminomás orto de una red omplejaempleando laeuaión (3.3) para

N

= 6

. Debido a la existenia de los enlaes de largo alane, las redes omplejas de

mundo pequeño tienen oeiente de agrupamiento

C

(

N, k, p

)

alto y una longitud promedio delamino más orto

L

(

N, k, p

)

baja.

La longitud promedio del amino más orto es sin duda la araterístia

más investigada de este tipo de redes. Diferentes estudios han demostrado la

inueniaquetienesudisminuiónenelproesodellevaraabounatareaespeía.

Algunas de las apliaiones que han probado exitosamente sus beneios inluyen

la generaión de memoria asoiativa [94℄, aumento de apaidad de la memoria en

redes neuronales [89℄, diseminaiónde informaióny epidemias [9597℄.

A ontinuaión, desribiremos brevemente los dos algoritmos de mundo

pequeño más importantes,para posteriormentedar paso aladesripiónde nuestra

Fig. 3.2: Cálulode la longitud promedio delamino más orto usando laeuaión

aportaión,la ualresulta ser una manera alternativade introduir lapropiedad de

mundo pequeño.

3.2 Algoritmo de mundo pequeño WattsStrogatz

En 1998 D.J. Watts y S.H. Strogatz propusieron un algoritmo para introduir la

propiedad de mundo pequeño en una red regular [12℄. La topología de diha red

omplejaeslaqueseonoeomode veinomás erano, queonsisteenun arreglo

en anillo on ondiiones de onexiónperiódias [14℄.

El modelo de mundo pequeño WattsStrogatz se rea al reablear uno de los

extremos de ierta antidad de los enlaesexistentes a posiionesnuevas, las uales

son elegidasaleatoriamente. Lasrestriiones quedeben umplirsepara ajustarse al

modelo son las siguientes:

1. El tamañode la red permanee onstante.

2. La antidad de enlaespermanee onstante.

3. Ningún nododebe tener múltiplesenlaes on otro.

4. Ningún nododebe tener enlaesonsigo mismo.

5. Cumplirla relaión

N

≫

k

≫

ln(

N

)

≫

1

para evitar grupos aislados[12℄,

Fig. 3.3: Evoluióndel algoritmode mundo pequeño de WattsStrogatz. Las líneas

sólidas son los enlaes en su posiión original. Las líneas punteadas son los enlaes

donde

N

es el tamaño de la red ompleja,

k

es la ondiión de onexión periódia, i.e., el nodo

i

está onetado on sus

i

±

1

, i

±

2

, . . . , i

±

k

nodos veinos;

p

es la probabilidad parareablear un enlae, porlo tanto,

Nkp,

(3.4)

son losenlaes de largo alane que se pueden introduir a la topología. En la Fig.

3.3 se muestra la evoluión del algoritmo de mundo pequeño de WattsStrogatz,

donde puedeapreiarse queeste tipo de redesomplejas, son elintermedioentre las

redes regulares y las aleatorias.

Cuando

p

= 0

,latopologíapermaneesinambioylaredomplejaseonsidera regular. Cuando

0

< p <

1

se obtiene una red ompleja de mundo pequeño. En el punto en el que

p

= 1

, todos los enlaes han sido reableados y la red ompleja se ha onvertido en una aleatoria. Un aspeto importantea onsiderar es el heho de

que este algoritmopuede llevara lareaión de grupos aislados.

Enla Fig. 3.4semuestrala evoluión deloeiente de agrupamiento,elual

presenta un pequeño deremento para

p

≈

0

y ontinúadesendiendo en funión de la probabilidad, hasta alanzar un mínimo para

p

= 1

. Por otro lado, la longitud promedio delamino más orto sufre un abrupto deremento para

p

≈

0

y alanza rápidamenteun mínimo queonserva hasta alanzar

p

= 1

.

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

C(p)/C(0), L(p)/L(0)

N=500 k=10

C(p)/C(0)

L(p)/L(0)

Fig. 3.4: Evoluióndel oeientede agrupamiento

C

(

p

)

y la longitudpromedio del aminomás orto

L

(

p

)

normalizadosreableandoonexiones, para unared

N

= 500

on ondiión de onexión

k

= 10

.

Por último, se desriben brevemente las ventajas y desventajas que pueden

observarse en elalgoritmoWattsStrogatz,para proederposteriormenteadesribir

el algoritmode NewmanWatts.

ˆ Ventajas :

C

(

p

)

permaneeasi sinambiopara valoresde

p

≈

0

,queimpliaquela onetividad iniialentre nodos permanee.

ˆ Desventajas:

Dependiendode laondiiónde onexióniniial

k

,sepierdealrededordel 90%de

C

(

p

)

para

p

≈

1

(Fig. 3.4),queimpliaesasaonetividadentre losnodos.

Disminuión de la longitud promedio del amino más orto en una

proporión quepuede superarse.

Lareonexión de enlaespuede llevara lageneraión de gruposaislados.

3.3 Algoritmo de mundo pequeño NewmanWatts

Después de que Watts y Strogatz publiaron su algoritmo para generar redes

omplejasdemundopequeño,unanuevaversiónsurgióalañosiguientealaapariión

de este trabajo pionero. En 1999, M.E.J. Newman y D.J. Watts propusieron su

versión modiadadelalgoritmode mundo pequeño original[13,14℄.

El algoritmo de NewmanWatts, de igual manera que el algoritmo anterior,

parte de la topología de veino más erano. La propiedad de mundo pequeño se

introduealagregarenlaesnuevosaparesde nodoselegidosaleatoriamente[13,14℄.

Las restriiones de este algoritmo permaneen asi sin ambio, a exepión de la

segunda, la ual es eliminada ya que el número de enlaes varia en funión de la

probabilidad. Aunqueeste algoritmonogeneragruposaislados,laquintarestriión

se mantiene on el objetivo de partir de una red esasamente onetada.

Para determinar laantidad de enlaes quese agregana lared se onsidera lo

siguiente:

ii

)

.

Lauartarestriiónnopermitequeelnodo

i

tengaonexionesonsigomismo,

por lo tanto,

i

solo puede onetar a los

N

−

(2

k

+ 1)

nodos restantes. Esto implia que para toda la red ompleja tenemos

N

(

N

−

(2

k

+ 1))

onexiones restantes.

iii

)

.

Al ser una red no direionada y al estar prohibidas las onexiones múltiples

entre paresde nodos, tenemos que

N

(

N

−

(2

k

+ 1))

/

2

son losenlaesrestantes posibles.

ConformeseapliaelalgoritmodeNewmanWatts ylaprobabilidadaumenta,

se introduenen lared ompleja

N

(

N

−

(2

k

+ 1))

p

2

,

(3.5)

enlaes de largo alane. En la Fig. 3.5 se muestra la evoluión del algoritmo de

mundo pequeño de NewmanWatts. Cuando

p

= 0

, aligual que en el aso anterior, la topologíapermanee sinambio y lared se onsidera regular. Cuando

0

< p <

1

se obtiene una red ompleja de mundo pequeño a través del agregado de enlaes a

paresdenodos aleatoriamenteelegidos. Enelpuntoenelque

p

= 1

todoslosenlaes posibles han sido agregados y lared ompleja está aopladaen sutotalidad.

En la Fig. 3.6 se muestra la evoluión del oeiente de agrupamiento, el

ual muestra poo ambio para

p

≈

0

y alanza el máximo valor posible para probabilidades eranas a uno. Por otro lado, la longitud promedio del amino

Fig. 3.5: Evoluión delalgoritmode mundo pequeño de NewmanWatts. Las líneas

sólidas son los enlaes en su posiión original. Las líneas punteadas son los enlaes

más orto desiende onsiderablemente para

p

≈

0

hasta alanzar un mínimo que onserva hasta que

p

= 1

.

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

p

C(p)/C(0), L(p)/L(0)

N=500 k=10

C(p)/C(0)

L(p)/L(0)

Fig. 3.6: Evoluióndel oeientede agrupamiento

C

(

p

)

y la longitudpromedio del amino más orto

L

(

p

)

normalizados agregando onexiones, para una red

N

= 500

on ondiión de onexión

k

= 10

.

Por último, se enlistan las ventajas y desventajas que pueden observarse en

el algoritmo de NewmanWatts, para dar paso a la desripión del proedimiento

propuesto para introduir la propiedadde mundo pequeño.

ˆ Ventajas :

Para

p

≈

1

sealanzaelmáximo

C

(

p

)

posibleparaunared ompleja(Fig. 3.6).

Lalongituddeaminomásortopromediodisminuyeenmayorproporión

queusando WattsStrogatz.

Nogenera gruposaislados.

ˆ Desventajas:

Para

p

≈

0

sepierde alrededor del50 %de

C

(

p

)

(Fig. 3.6).

Para alanzar el máximo valor de

C

(

p

)

, es neesario modiar la red en gran medida,esdeir, se requiere

p

≈

1

.

3.4 Algoritmo de mundo pequeño propuesto

Enlapresenteseiónsedesribeelalgoritmoquesepropone omoalternativapara

introduirlapropiedaddemundopequeñoaunaredompleja. Seempiezaonbreve

omparaióndelosalgoritmosdesritos,on lainteniónde generarunaperspetiva

de lasaraterístiasque hereda lametodologíapropuesta.

Laventaja másdestaabledelalgoritmodeWattsStrogatzeslainvariabilidad

queausaen eloeiente deagrupamientopara

p

≈

0

, ontrarrestada porlaesasa onetividad que genera para

p

≈

1

. Aunque la longitudpromedio del aminomás orto sufre una disminuión onsiderable para

p >

0

, se busa superar la magnitud de ladisminuión.

Por otro lado, el algoritmo de NewmanWatts presenta una disminuión del

oeiente de agrupamiento, alrededor del 50 %, para valores intermedios de la

probabilidad, justo antes de iniiar su asenso haia el máximo valor posible. Su

longitud promedio del amino más orto presenta un deremento superior al del

algoritmode WattsStrogatz.

En este punto, se onsidera pertinente reordarle al letor que propiiar el

fenómeno de sinronizaión en la red, optimizando su apaidad de propagaión a

travésde lareduión de ladistaniapromedionodo anodo, esuno de losobjetivos

del trabajo. Para este n, se propone un algoritmo de mundo pequeño on las

siguientes restriiones:

1. El tamañode la red debe permaneer onstante.

2. La red debepoder modelarse omoun grafosimple.

3. Cumplirla relaión

N

≫

k

≫

ln(

N

)

≫

1

.

4. Restringirla ondiión de onexión a

k

≤

16%

N

.

La primera restriión permite onoer ómo varía la topología de la red en

funión de la probabilidad. La segunda restriión evita la existenia de enlaes

múltiples entre pares de nodos y enlaes onsigo mismo. La terera restriión

previenelaexistenia de gruposaislados. Porúltimo,lauartarestriión garantiza

que lasonexiones de largo alaneintroduidasseajuste ala euaión (3.6).

La propiedad de mundo pequeño se introdue a la topología llevando a abo

Fig. 3.7: Evoluióndelalgoritmode mundo pequeño propuestoque introdue

2

Nkp

triángulos, paraamortiguarlapérdidade oeientedeagrupamiento,generada por

elreableo oagregado aleatoriode enlaes. Enamarilloy verdelosveinosdelnodo

queenvíay delquereibelaonexión,respetivamente. Lalíneasólida en azulesel

enlae reableado y su posiión originales la línea azul en guiones. Las líneas rojas

son los enlaesagregados para generar dos triángulospor ada triada.

Algoritmo 1. Algoritmo para introduir la propiedad de mundo

pequeño en una red ompleja

1. Se iniia on una red en topología delveino más erano, donde se onoe el

tamaño

N

y la ondiión de onexión

k

,Fig. 3.8.

Fig. 3.8: Paso 1: Red omplejaregular de

N

= 16

on ondiión de onexión

k

= 2

.

2. Para un valor de probabilidad

p

determinado, reablear uno de los extremos de

Nkp

de losenlaesexistentes aposiionesaleatoriamenteelegidas,Fig. 3.9.

Fig.3.9: Paso 2: Redomplejaon tres onexiones reableadasen azul,verdey afé

(líneas sólidas)y suposiión originalen líneaspunteadas.

3. Almaenar y disriminar el índie de los veinos de los nodos que onetó el

enlae reableado,Fig. 3.10.

Fig. 3.10: Paso 3: Se identian los veinos de los nodos que oneta el enlae

reableado.

4. Agregar 2onexiones por adauna reableadaomo sigue, Fig. 3.11:

(a) Conetar el nodo que reibió laonexión on uno de los veinos, elegido

aleatoriamente, delnodo que la envía. Si todos losveinos del nodo que

enviólaonexiónyasonveinosdelnodoquelareibe,omitirelagregado.

(b) Conetar el nodo que envió la onexión on uno de los veinos,

nodoquereibió laonexiónya son veinos delnodo quelaenvía, omitir

elagregado.

Fig. 3.11: Paso 4: Se agregan

2

onexiones (líneas en guíonpunto) en el patrón desritopara introduirdos triángulosporada enlae reableado.

5. Agregaraleatoriamentelas

N

(

N

−

(2

k

+1))

p/

2

−

2

Nkp

+

φ

onexionesrestantes, donde

φ

son el total de las onexiones omitidas,Fig. 3.12.

Fig. 3.12: Paso 5: Se agregan las

N

(

N

−

(2

k

+ 1))

p/

2

−

2

Nkp

+

φ

= 3

onexiones restantes (líneas naranja)para ompletar el número iniialmentealulado.

Nota: Es altamente probable que

φ

= 0

debido a las restriiones 3 y 4, sin embargo, al estar sujetos a la probabilidad, no se desarta que llegue a

presentarse el sueso.

Conesta manerade generarredes omplejasde mundopequeño, seintroduen

a latopología

Nkp

+

N

(

N

−

(2

k

+ 1))

p

2

=

N

(

N

−

1)

p