An´
alisis Cinem´
atico de Mecanismos Mediante Adams c
y su
Comparaci´
on con Maple c
.
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica.
Divisi´
on de Ingenier´ıas. Campus Irapuato-Salamanca.
Universidad de Guanajuato
CP 36885, Salamanca, Gto., M´
exico
E-mail:
[email protected]
1
Introducci´
on y Motivaci´
on.
En este apunte se mostrar´a como realizar el an´alisis cinem´atico de mecanismos, empleando el programa Adams c y su comparaci´on con otras herramientas, como por ejemplo el programa de matem´atica simb´olica Maple c. Como un subproducto de esta comparaci´on se obtiene la conclusi´on de que es importante siempre revisar y cuestionar los resultados obtenidos mediante programas de computadora en los que el usuario no tiene control sobre la operaci´on del programa y el programa se emplea como una “caja negra” en la cual se introducen datos y se obtienen resultados.
Como ejemplo se resolver´a el problema 176, del cap´ıtulo 15, del libro “Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics. Beer, F.P., Johnston Jr. E. R., Mazurek, D. F. Cornwell, F.J. y Eisenberg, E. R., McGraw Hill. New York, 2009”. Es importante notar que este problema involucra el an´alisis de aceleraci´on Coriolis, un tema considerado “dificil” por la mayoria de los estudiantes de ingenier´ıa mec´anica y mecatr´onica.
El enunciado del problema es el siguiente: Sabiendo que en el instante mostrado la barra conectada al puntoBgira con una velocidad angular constante en sentido antihorario de 6rad/s, determine las velocidad angular y la aceleraci´on angular de la barra conectada aA.
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982
Kinematics of Rigid Bodies
15.172
The collar
P
slides outward at a constant relative speed
u
along
rod
AB,
which rotates counterclockwise with a constant angular
velocity of 20 rpm. Knowing that
r
5
250 mm when
u
5
0
and
that the collar reaches
B
when
u
5
90°, determine the magnitude
of the acceleration of the collar
P
just as it reaches
B.
A
B
P
u
w
w
q
500 mm
r
Fig. P15.172
15.173
Pin
P
slides in a circular slot cut in the plate shown at a constant
relative speed
u
5
90 mm/s. Knowing that at the instant shown
the plate rotates clockwise about
A
at the constant rate
v
5
3 rad/s,
determine the acceleration of the pin if it is located at (
a
)
point
A
,
(
b
)
point
B
,
(
c
)
point
C
.
A
B
C
P
u
100 mm
w
w
Fig. P15.173 and P15.174
15.174
Pin
P
slides in a circular slot cut in the plate shown at a constant
relative speed
u
5
90 mm/s. Knowing that at the instant shown
the angular velocity
V
of the plate is 3 rad/s clockwise and is
decreasing at the rate of 5 rad/s
2
, determine the acceleration of the
pin if it is located at (
a
) point
A,
(
b
)
point
B
,
(
c
)
point
C
.
15.175 and 15.176
Knowing that at the instant shown the rod attached
at
B
rotates with a constant counterclockwise angular velocity
V
B
of 6 rad/s, determine the angular velocity and angular acceleration
of the rod attached at
A
.
A
B
D
30
⬚
0.4 m
Fig. P15.175
A
B
D
30
⬚
0.4 m
Fig. P15.176
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2
Soluci´
on empleando Maple c
.
En esta secci´on, el problema se resolver´a empleando el programa de matem´atica simb´olica Maple c. El primer paso consiste en determinar los vectores de posici´on deD respecto deB y respecto de A, adem´as de un vector unitario en la direcci´on y sentido deB a D. ~rD/B = 0 −2/15√3 0 ~ rD/A= 2/5 −2/15√3 0 ˆ uBD = 0 −1 0
De manera semejante se definir´an las velocidades y aceleraciones angulares de las barras o eslabones 2 =BDy 4 =AD
~ ω2= 0 0 ω2 ~ ω4= 0 0 6 ~ α2= 0 0 α2 ~ α4= 0 0 0
2.1
An´
alisis de Velocidad.
La ecuaci´on vectorial que resuelve el an´alisis de velocidad del mecanismo est´a dada por
~
vDOXY Z=~vDoxyz+ω~4×~rD/B
donde OXY Z es un sistema de referencia fijo al eslab´on fijo y oxyzes un sistema de referencia m´ovil, con origen en el puntoB y sujeto a la misma rotaci´on que la barra 2 =BD. Por lo tanto
~vDOXY Z=~ω2×~rD/A y ~vDoxyz =vuˆBD
Consiguientemente, la ecuaci´on vectorial final est´a dada por
~
ω2×~rD/A=vuˆBD+~ω4×~rD/B
Sustituyendo las componentes cartesianas de estos vectores se tiene que
0 0 ω2 × 2/5 −2/15√3 0 =v 0 −1 0 + 0 0 6 × 0 −2/15√3 0
Las ecuaciones escalares, asociadas a las componentesxyyest´an dadas por 2/15ω2
√
3−4/5√3 = 0 2/5ω2+v= 0.
La soluci´on de este sistema est´a dado porω2= 6rad/syv=−125 m/s. De forma vectorial, se tiene que
~
ω2= 0 0 6 ~vDoxyz =vuˆBD = 0 125 0
Debe notarse que~vDoxyz es necesaria para calcular la componente Coriolis de aceleraci´on.
2.2
An´
alisis de Aceleraci´
on.
La ecuaci´on vectorial que resuelve el an´alisis de aceleraci´on del mecanismo est´a dada por
~aDOXY Z=~aDoxyz+α~4×~rD/B+~ω4× ~ω4×~rD/B
+ 2~ω4×~vDoxyz
donde OXY Z es un sistema de referencia fijo al eslab´on fijo y oxyzes un sistema de referencia m´ovil, con origen en el punto B y sujeto a la misma rotaci´on que la barra 2 =BD. El ´ultimo t´ermino de la ecuaci´on es la componente Coriolis de aceleraci´on. Esta componente Coriolis est´a dada por
ACoriolis= 2~ω4×~vOxyz =−28.8m/s2ˆi
Este resultado es muy relevante para la discusi´on de los resultados. Por lo tanto
~aDOXY Z =α~2×~rD/A+~ω2× ~ω2×~rD/A
y ~aDoxyz=auˆBD
Usando el concepto de placa representativa, la ecuaci´on vectorial final est´a dada por
~
Donde debe notarse adem´as queα~4=~0. Sustituyendo las componentes cartesianas de estos vectores se tiene que 0 0 α2 × 2/5 −2/15√3 0 −(6)2 2/5 −2/15√3 0 = a 0 −1 0 −(6)2 0 −2/15√3 0 + 2 0 0 6 × 0 125 0 Las ecuaciones escalares, asociadas a las componentesxyy est´an dadas por
2/15α2 √
3 +72
5 = 0 2/5α2+a= 0. La soluci´on de este sistema est´a dado porα2=−36
√
3 =−62.35382909rad/s2ya=72√3 5 m/s
2= 24.94153164m/s2.
De forma vectorial, se tiene que
~ α2= 0 0 −36√3 ~aDoxyz=auˆBD= h 0 −72√3 5 0 i
Estos resultados coinciden con los reportados en el libro.
3
Simulaci´
on del Mecanismo en Adams c
.
En esta secci´on se presenta la simulaci´on del mecanismo, mediante el programa Adams c. Una mejor presentaci´on de los resultados requiere que el mecanismo se modele en un programa de modelado s´olido, como Inventor c, SolidWorks c o Catia c. El modelo s´olido se exporta en un formato que permita reconocer la geometr´ıa y ensamble de los diferentes eslabones del mecanismo.
Una vez en Adams c, es posible colocar los pares cinem´aticos y el movimiento del eslab´on motriz. Debe notarse que por default, Adams c coloca el mecanismo en el planoX−Y, de manera que las velocidades angulares siempre tendr´an la direcci´on del ejeZ.
Figure 2: Modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition. El modelo incluye varios tipos de conectores, vea la figura 2. Existe un conector con un ´ıcono en forma de candado, este conector une r´ıgidamente al piso —ground— el eslab´on o barra horizontal, parte 2, que actuar´a como eslab´on fijo o bastidor del mecanismo. Adem´as, el modelo incluye tres pares de revoluta y un par prism´atico.
1. La revoluta —o joint— 2, que conecta el eslab´on o barra horizontal, parte 2, con el eslab´on o barra inclinada, parte 5.
2. La revoluta —o joint— 3, que conecta el eslab´on o inclinada, parte 5, con el collar´ın verde, parte 4.
3. La revoluta —o joint— 4, que conecta el eslab´on o barra horizontal, parte 2, con el eslab´on o barra vertical, parte 3.
4. El par prism´atico —o joint— 5, que conecta el eslab´on o barra vertical, parte 3, con el collar´ın verde, parte 4. Es tambi´en importante notar que cada par, sea de revoluta o prism´atico, requiere dos sistemas de referencia — markers— con un origen com´un y direcciones comunes, cada uno de los dos sistemas de referencia est´a localizado en cada uno de los dos eslabones que se conectan mediante el par —o joint— correspondiente.
Figure 3: Datos del movimiento del modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
La figura 3 muestra las caracter´ısticas del movimiento asociado a la revoluta —o joint— 4, que conecta el eslab´on o barra horizontal, parte 2, con el eslab´on o barra vertical, parte 3. Como muestra la figura 3 el movimiento es rotacional, como debe ser para un par de revoluta con una velocidad angular de 6rad/s. Debe notarse que esta velocidad tiene un signo negativo, por una raz´on que no encuentro explicaci´on, Adams c considera positivas, exclusivamente para la tarea de modelado, las velocidades y aceleraciones angulares en la direcci´on horaria. Como se indic´o al inicio del apunte, la velocidad angular del eslab´on o barra vertical, parte 3, es de 6rad/s en sentido antihorario, por lo que es necesario el signo negativo.
Se desea programar una revoluci´on del mecanismo, el tiempo necesario est´a dado pot ∆t= 2π rad
6rad/s = 1.04719seg.
Un n´umero razonable de pasos —steps— para la simulaci´on ser´a de 1047 pasos, de manera que cada paso representa una mil´esima de segundo. Estas selecciones se pueden observar en la figura 4. Una vez realizada la simulaci´on es posible grabar un video de la simulaci´on del mecanismo. Esta grabaci´on confirma que el movimiento asociado a la
Figure 4: Datos de la simulaci´on del modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
revoluta —o joint— 4, que conecta el eslab´on o barra horizontal, parte 2, con el eslab´on o barra vertical, parte 3, es efectivamente en sentido antihorario.
A continuaci´on se mostrar´a como comparar los resultados obtenidos por Adams c con los resultados obtenidos mediante Maple c. Para tal fin, se usar´a el postprocesador del programa Adams c, que se accesa oprimiendo el ´ıcono que muestra una gr´afica justo en la parte inferior derecha del dialogo de simulaci´on. Es importante se˜nalar que el programa Adams c proporciona las velocidades y aceleraciones del mecanismo durante el tiempo de simulaci´on, en este caso ∆t= 1.04719seg.Mientras que los resultados obtenidos en el programa Maple cunicamente corresponden al tiempo inicialt= 0seg.
3.1
Verificaci´
on de los resultados del an´
alisis de velocidad del mecanismo.
En esta secci´on se comparar´an los resultados del an´alisis de velocidad del mecanismo obtenidos mediante el programa Adams c con aquellos obtenidos con el programa Maple c. La figura 5 presenta las gr´aficas de las velocidades angulares de los dos eslabones o barras. Para la parte 3, la barra vertical que es el eslab´on motriz, la gr´afica se denomina —PARTE3.CM Angular Velocity.Z—. Esta gr´afica confirma que, efectivamente, la velocidad angular de este eslab´on es constante de 6rad/sy en sentido antihorario. Para la parte 4, la barra inclinada la gr´afica se denomina —PARTE4.CM Angular Velocity.Z—. Est´a gr´afica muestra una variaci´on de la velocidad angular de este eslab´on, pero muestra que para el tiempot= 0seg, la velocidad angular de este eslab´on es igual a 6rad/s y en sentido antihorario. Este resultado verifica el resultado obtenido mediante el programa Maple c, donde esta velocidad angular se denomina
~
ω2. Note que Adams c asocia estas velocidades angulares con el marker asociado al centro de masas del eslab´on, CM,
esta decisi´on va en contra del hecho que las velocidades angulares de los eslabones son independientes del —marker— que se emplee para calcular la velocidad angular.
La figura 6 presenta las gr´aficas de la velocidad relativa del collar´ın, parte 4, respecto a la barra vertical, parte 5. Como era de esperarse la gr´afica de la velocidad relativa en la direcci´on del ejeZ, denominada
—JOINT5. Translational Velocity.Z— muestra que no hay velocidad perpendicular al plano del movimiento del mecan-ismo. La gr´afica de la velocidad relativa en la direcci´on del ejeX, denominada —JOINT5. Translational Velocity.X—
Figure 5: Velocidades angulares del modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
muestra que para el tiempot= 0segla velocidad en la direcci´on horizontalX es inexistente; es decir, igual a 0. Final-mente, la gr´afica de la velocidad relativa en la direcci´on del ejeY, denominada —JOINT5. Translational Velocity.Y— muestra que para el tiempo t = 0seg la velocidad en la direcci´on vertical Y est´a dada por 2.4m/s. Este resultado verifica el resultado obtenido mediante el programa Maple c, donde esta velocidad relativa se denomina~vDoxyz.
3.2
Verificaci´
on de los resultados del an´
alisis de aceleraci´
on del mecanismo.
En esta secci´on se comparar´an los resultados del an´alisis de aceleraci´on del mecanismo obtenidos mediante el pro-grama Adams c con aquellos obtenidos con el programa Maple c. La figura 7 presenta las gr´aficas de las acele-raciones angulares de los dos eslabones o barras. Para la parte 3, la barra vertical que es el eslab´on motriz, la gr´afica se denomina —PARTE3.CM Angular Acceleration.Z—. Esta gr´afica confirma que, efectivamente, la acele-raci´on angular de este eslab´on es cero, 0rad/s2. Para la parte 4, la barra inclinada la gr´afica se denomina —
PARTE4.CM Angular Acceleration.Z—. Est´a gr´afica muestra una variaci´on de la aceleraci´on angular de este eslab´on, pero muestra que para el tiempo t = 0seg, la aceleraci´on angular de este eslab´on es igual a −62.3538rad/s2 y en
sentido horario. Este resultado verifica el resultado obtenido mediante el programa Maple c, donde esta velocidad angular se denomina ~α2. Note que Adams c asocia estas aceleraciones angulares con el marker asociado al centro
de masas del eslab´on, CM, esta decisi´on va en contra del hecho que las aceleraciones angulares de los eslabones son independientes del —marker— que se emplee para calcular la aceleraci´on angular.
La figura 8 presenta las gr´aficas de la aceleraci´on relativa del collar´ın, parte 4, respecto a la barra vertical, parte 5. Como era de esperarse la gr´afica de la aceleraci´on relativa en la direcci´on del ejeZ, denominada
—JOINT5. Translational Acceleration.Z— muestra que no hay aceleraci´on perpendicular al plano del movimiento del mecanismo. La gr´afica de la aceleraci´on relativa en la direcci´on del ejeX, denominada
—JOINT5. Translational Acceleration.X— muestra que para el tiempo t = 0seg la aceleraci´on en la direcci´on hori-zontalX es igual a−28.8m/s2. Finalmente, la gr´afica de la aceleraci´on relativa en la direcci´on del ejeY, denominada
—JOINT5. Translational Acceleration.Y— muestra que para el tiempot= 0segla aceleraci´on en la direcci´on vertical
Figure 6: Velocidades relativas del collar´ın respecto a la barra vertical del modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
correspondiente del resultado obtenido mediante el programa Maple c, donde esta aceleraci´on relativa se denomina
~aDoxyz.
Sin embargo, para el tiempot= 0seg, donde el collar´ın se desliza respecto a una barra vertical, esimposibleque la aceleraci´on relativa tenga una componente horizontal. ¿Cu´al es la raz´on u origen de esta componente horizontal?
La respuesta es muy sencilla, la componente horizontal que aparece es la componente Coriolis de aceleraci´on, dada por
ACoriolis= 2~ω4×~vOxyz =−28.8m/s2ˆi
Donde ~ω4 es la velocidad angular del eslab´on motriz y~vOxyz es la velocidad del collar´ın respecto a un sistema de
Figure 7: Aceleraciones angulares del modelo en Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
Figure 8: Aceleraciones relativas del collar´ın respecto a la barra vertical del modelo en Adams cdel problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
En un intento de extraer estos resultados del programa Adams c, se solicit´o al programa la obtenci´on de resultados que no son estandar para Adams c. Esta solicitud se lleva a cabo mediante una “Request”, la figura 9, muestra esa solicitud.
Figure 9: Solicitud de informaci´on adicional al programa Adams c del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
Como puede observarse se solicita la aceleraci´on del sistema de referencia asociado al Marker 10, que forma parte del collar´ın, respecto al sistema de referencia asociado al Marker 9, que forma parte de la barra motriz con respecto a la cual se desplaza el collar´ın.
La figura 10 muestra las direcciones del sistema de referencia asociado al Marker 9, que forma parte de la barra motriz con respecto a la cual se desplaza el collar´ın. Es importante notar que esas direcciones no coinciden con las direcciones del sistema de referencia global. Finalmente la figura 11, muestra los resultados de la solicitud.
Excepto por las diferencias en la orientaci´on de los ejes, los resultados son los mismos. Esta conclusi´on es un cuanto decepcionante porque esperaba que el programa Adams c fuera capaz de proporcionar el resultado correcto.
Figure 10: Direcciones del sistema de referencia asociado al Marker 9 del modelo del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.
Figure 11: Resultados de la Peticion “Request” del modelo del problema n´umero 176, cap´ıtulo 15, Beer y Johnston, Ninth Edition.