2017
Matemática 3° Año
EPET N° 9 - Plottier
Eduardo Víctor Gatti
Plottier
PROGRAMA DE MATEMATICA - 3º AÑO – EPET Nº 9 - AÑO 2017
UNIDAD Nº 1: NUMEROS REALES
Revisión de conjuntos numéricos. Irracionales. Algunos números especiales: (pi). Reales, propiedades. Representación en la recta numérica, intervalos.
Radicales, concepto, propiedades, radicales semejantes. Extracción de factores del radical. Reducción a común índice. Operaciones con radicales: suma, resta, producto, cociente. Exponente racional
UNIDAD Nº2: NUMEROS COMPLEJOS
Número complejo, definición, propiedades. Gráfica de nº complejos. Operaciones: suma algebraica, producto, cociente, potencias de “i”, operaciones combinadas.
Formas de expresión: par ordenado, binómica, polar, trigonométrica, exponencial. Operaciones con los números expresados en forma trigonométrica y polar.
UNIDAD Nº 3: FUNCION POLINOMICA DE PRIMER GRADO
Concepto de relación, conjunto de partida y conjunto de llegada, función dominio e imagen. Formas de definir una función. Casos particulares: funciones: lineal, de proporcionalidad, nula, identidad, constante.
Función Lineal: Definición, parámetros. Gráfica. Ecuación de la recta definida por su pendiente y un punto. Ecuación de la recta definida por dos puntos. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Distancia entre puntos; y entre un punto y una recta. Función Módulo.
UNIDAD Nº 4: FUNCION POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO
Función cuadrática. Definición. Forma polinómica. Raíces reales y complejas; propiedades de las raíces, forma factoreada. Eje de simetría y vértice. Gráfica. Forma canónica. Pasajes entre las tres formas. Gráfica. Problemas.
UNIDAD Nº 5: SISTEMAS DE ECUACIONES
Sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, resolución gráfica y analítica. Métodos de resolución
UNIDAD Nº 6: TRIGONOMETRIA
Ángulos. Signos. Sistemas de medición: pasaje de un sistema a otro. Las funciones dentro del círculo trigonométrico. Signo de las funciones en los cuadrantes. Relaciones entre funciones para: un mismo ángulo. Valores de funciones trigonométricas de ángulos especiales.
Funciones trigonométricas: Gráficos, determinación del dominio, imagen, período, pulsaciones, máximo, mínimo. Representación y variación por parámetros. Relaciones para ángulos complementarios, suplementarios, que difieren en 90º y en 180º.
Teoremas: del seno, del coseno y de superficie. Resolución de triángulos oblicuángulos.
UNIDAD Nº 7: LOGARITMACION
Logaritmo, concepto, propiedades. Logaritmo decimal y logaritmo natural. Cambio de base. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Función exponencial y función logarítmica, gráficas. OBJETIVOS PROMOCIONALES:
Resolver ejercicios con Nº Reales.
Aplicar números Complejos en operaciones combinadas.
Graficar Recta y Parábola por parámetros.
Resolver sistemas de ecuaciones cuadrática – lineal: analítica y gráficamente.
Graficar funciones trigonométricas por parámetros.
Aplicar propiedades de logaritmo en ejercicios y ecuaciones.
BIBLIOGRAFÍA:
Matemática Polimodal – 1 y 2 – (varios) – Ed. Puerto de Palos Matemática 4 De Simone –Turner (Ed AZ)
Matemática 1 Polimodal (Martinez-Rodriguez) Ed. Mc Graw Hill Matematica 1 Polimodal (Varios) Ed.Santillana
Matematica 1 Polimodal (Camuyrano-Net-Aragón) (Ed. Estrada)
MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017
Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje
1)
El cuaderno es un elemento fundamental para el trabajo en el aula y para el estudio de la materia, por lo tanto debe
estar al día ,completo, prolijo y ordenado siempre. El docente la revisará y controlará periódicamente. Al comenzar el año, el alumno/a deberá tener un cuaderno tamaño A4 cuadriculado de 80 a 100 hojas, preferentemente de tapa dura.2) La primera hoja se destina a carátula (según la consigna del profesor/a , incluyendo por lo menos la siguiente información: Nombre y apellido del alumno/a, Asignatura, Establecimiento, Curso , Año lectivo y Apellido y Nombre del Profesor/a ); en las siguientes hojas se pegaran estas Pautas , el Programa de cursado del año .y los Criterios de Acreditación de la materia , todos firmadas por el alumno/a, padre, madre y profesor/a.
3) Todas las clases, el alumno/a debe:
mantener un ambiente cordial de trabajo; por lo tanto, está prohibido el uso de aparatos electrónicos (teléfono celular, mp3, etc.) en el aula;
respetar las indicaciones del profesor/a;
tener los elementos necesarios en clase: lápiz , lapicera , goma, regla y todo otro elemento necesario según los temas a estudiar;
Posibilitar el vinculo entre los padres y el profesor/a. Para ello debe hacer firmar por los padres o el tutor/a toda comunicación que se realice en el cuaderno de comunicaciones y/o de clase , como asi debe hacer firmar las evaluaciones apenas le son entregadas.
4) En el cuaderno, el alumno/a desarrollará todos los temas vistos en clase y las tareas solicitadas (Si falta, deberá copiar el trabajo desarrollado antes de la siguiente clase, y/o resolver las tareas encomendadas); así podrá estudiar para la siguiente clase, y pedir nueva explicación en caso de ser necesario. El alumno tratará de realizar las tareas encomendadas aun con errores para permitirle mejorar, a partir de la corrección de la ejercitación principal-tipo que se hará en el pizarrón, en la carpeta o en las mismas evaluaciones. De esta manera llegará a la evaluación suficientemente preparado
5) Las evaluaciones escritas serán avisadas con siete días de anticipación como mínimo al igual que las entregas de los trabajos prácticos. Dichas evaluaciones serán sobre temas y ejercicios similares a los dados en clase previéndose dentro de la misma distintos tipos de dificultad.
6) Los procesos de enseñanza aprendizaje y los objetivos propios del año son reforzados a través del armado curricular propio del año y de todo el ciclo por lo que el alumno puede tratar de superar sus dificultades retomando los contenidos en forma continua y preguntando cuando sea necesario o participando de las clases de consulta.
7) El alumno no debe faltar a las evaluaciones avisadas. En caso de faltar deberá traer certificado médico dentro de las 24 horas, pudiéndose tomar luego la evaluación en forma oral o escrita.
8) El respeto y la solidaridad por cada uno de los compañeros, por los profesores y la institución forman parte del proceso enseñanza aprendizaje y serán tenidos en cuenta.
9) El alumno debe realizar los esfuerzos necesarios para crecer en forma autónoma, responsable y creativa. Para ello deberá organizar sus tiempos tanto en la casa como en la escuela.
10) La calificación de cada trimestre será el resultado de las evaluaciones, el cumplimiento de las tareas, ,los trabajos prácticos encomendados –ya sea grupal o individualmente- la confección de la carpeta y la actitud frente a la asignatura y el respeto y solidaridad como fuera indicado anteriormente. (Ver criterios de acreditación de la materia)
11) El alumno cuenta con Clases de Consulta gratuitas, dictadas por la Jefe de Departamento en los siguientes horarios (completar con horarios que brinden los jefes de depto ):
Prof.
Prof.
( Asistir con el cuaderno de clases y la guía de ejercitación)
Agradecido por su atención y quedando a su disposición.
MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017
Criterios para Acreditación de la materia:
Aprobará la materia el alumno que tenga
todos
los objetivos promocionales (incluidos en el programa de
cursado)
aprobados
.
Para aprobar los objetivos promocionales el alumno deberá aprobar las evaluaciones de cierre de los
temas/unidades correspondientes a dicho objetivo. La forma de evaluación será propia de cada curso y tema, y
será indicada durante el año. Los objetivos que contengan más de una unidad/tema y cuyos contenidos hayan
sido diseñados en forma espiralada, serán aprobados al aprobar el último de los temas/unidades incluidas en los
objetivos promocionales. (Las Unidades 3 y 4 serán integradas en la Unidad 5 funcionando esta como cierre de
las anteriores. En caso de no llegar a darse dicha unidad se conservarán los objetivos separados de las unidades
3 y 4) . No se forzarán integraciones que dificulten los aprendizajes ni se tomará integradora final para aprobar.
Las notas utilizadas durante el trimestre serán : No contesta, Insuficiente/Mal, Regular, Bien Muy Bien y
Sobresaliente, correspondiendo solo nota numérica al cierre de los trimestres.
Las notas trimestrales son el resultado del cierre de los objetivos de cada trimestre complementadas por el
desempeño y participación en clase, las tareas extra áulicas, todo tipo de trabajo complementario , la carpeta y el
comportamiento del alumno. Se tomarán en cuenta, entre otros valores, a la responsabilidad, el esfuerzo, la
solidaridad y el respeto del alumno con sus compañeros e institución. Si los tiempos y el nivel de participación lo
permiten o ameritan se harán recuperatorios antes del cierre del trimestre. Será condición para poder rendir
dichos recuperatorios tener la carpeta completa. En caso de tener en el trimestre alguna/s unidad aprobada y
otra/s desaprobadas la nota será menor a 7 pero el alumno no deberá los temas aprobados a fin de año.(POEC)
Si el alumno no alcanza (con rendimiento regular) uno o más objetivos promocionales a fin de año , se prevee
que pueda recuperar uno de ellos, quedando (en caso de tenerlos) los demás objetivos para recuperar en el
POEC. No participan de esta instancia los alumnos que a fin de año tengan desarrollos insuficientes.
Participan del POEC los alumnos que:
Tengan al menos un objetivo aprobado y no tengan insuficiente en el resto de los objetivos.
Forma de evaluación del POEC:
Después de la semana de orientación, se tomarán evaluaciones de cada objetivo de manera similar a como fueron evaluados en el año.
Se reservará un tiempo para una instancia de cierre del examen en forma oral.
Participan de la instancia de evaluación de Febrero:
Aquellos alumnos que durante el año no hayan aprobado todos los objetivos promocionales o que tengan insuficiente la mayoría de ellos.
Criterios de evaluación:
Jerarquización e integración de conceptos y procedimientos relativos a cada objetivo, teniendo en cuenta los temas anteriores relacionados y a través de un ….
…. adecuado y suficiente nivel de operatoria numérica en el campo de los Q - R de acuerdo al programa de cada año y lo visto en años anteriores.
Nivel alcanzado en el desarrollo de la verificación y autocontrol de producciones y/o errores
Integración a través de la interpretación e interacción de los lenguajes numérico, algebraico y gráfico en los temas pertinentes
Uso calculadora y TIC (tecnologías de la información y comunicación):
Se buscará el mayor desarrollo en los alumnos a través de la aplicación de reglas, procedimientos y algoritmos específicos para cada tema. Para fomentar ello en las evaluaciones ( a menos que el tema lo requiera
indefectiblemente) no se usará calculadora. Sin embargo, el uso de la misma y de TIC son importantes, y muy útiles en todas las etapas del aprendizaje. Ya sea para desarrollo de contenidos, verificación de resultado o integración de lenguajes se tratará de mostrar su uso al alumno. En caso de permitirse estos instrumentos en las evaluaciones, las mismas deberán contemplar efectivamente los criterios de evaluación, sobre todo en los dos últimos.
MATEMÁTICA 3º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017
INDICE:
CONJUNTOS NUMERICOS: Lectura
(Material de Wikipedia)
:
Número: definición, Tipos
,clasificación. Historia. Descubrimiento del 0, números negativos, números complejos
1 a 4
Unidad Nº 1 : NUMEROS REALES:
o
Concepto, Representación. Intervalos en la recta numérica 5 a 6o
Conjuntos numéricos ( N , Z, Q, R y C ): representación y operaciones posibles encada caso
7 a 8
o
Propiedades de la potenciación y la radicación 9o
Simplificación y ampliación de índices. Extracción de factores fuera de un radical 10o
Radicales semejantes . Adición y sustracción de radicales 10 a 11o
Multiplicación y división de radicales: De igual índice o distinto índice. Operacionescombinadas
11 a 13
o
Racionalización de denominadores 13 a 14
UNIDAD Nº 2 : NUMEROS COMPLEJOS
o Introducción, definición 15
o Formas de expresión y representación gráfica de números complejos: Expresión cartesiana, expresión binomica, expresión polar o trigonométrica. Pasajes entre las distintas formas.
15 a18
o Complejos conjugados y opuestos 18
o Adición y sustracción de números complejos. Suma y resta de complejos conjugados 19 a 20
o Potencias de la unidad imaginaria. Cuadrado y cubo de un número complejo 20
o Multiplicación de complejos. Producto de complejos conjugados. División de complejos. Multiplicación y división de números complejos en forma trigonometrica
21 a 22
UNIDAD Nº 3 : FUNCION LINEAL
o
Repaso: Función de proporcionalidad. Ejes cartesianos 23 a 24o
Relación. Conjunto de partida, conjunto de llegada. Dominio, Imagen. Formas deexpresar una relación
24 a 25
o
Función. Función Numérica. Función polinómica. Intersecciones con los ejescartesianos : Ordenada al origen, raíz
26 a 27
o
Función lineal: formula general. Pendiente. Casos particulares de funciones lineales.Gráfica de funciones lineales sin tabla de valores.
28 a 30
o
Rectas paralelas y perpendiculares 30 a 31o
Ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la misma 31 a 32o
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 32 a 34o
Distancia en el plano 34
UNIDAD Nº 4 : FUNCION CUADRATICA
o
Introducción: Situación: patio a embaldosar 35o
Definición. Gráficas para análisis de a , b , c 35 a 36o
Grafica general. Parámetros : Ordenada al Origen, Raíces (forma factorizada) , Vértice (forma canónica) Eje de simetría36 a 38
o
Posiciones de la función respecto del eje de abscisas (discriminante) 38
o
Maneras de expresar una función cuadrática: forma de cálculo y ventajas en cada caso38
o
Reconstrucción de la forma polinómica a través de las raíces 38
UNIDAD Nº 6 : FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
o
Introducción: Angulo, arco , sistema sexagesimal. Ejemplo : “Vuelta al mundo” : Análisis de los distintos parámetros.39 a 42
o
Funciones periódicas . Período, frecuencia. Angulos orientados en un sistema cartesiano. Sistema circular. Radián43 a 45
o
Circunferencia trigonométrica. Valores usuales de seno, coseno y tangente para los cuatro cuadrantes46 a 48
o
Análisis de las funciones trigonométricas : Seno, coseno y tangente. Estudio de las funciones seno y coseno a través de sus parámetros : Analisis de la formula general, graficas para cada caso en la función seno.49 a 54
UNIDAD Nº 7 : LOGARITMACION
o Función exponencial: Ejemplo para introducción: Deposito Bancario 55 a 56
o Función exponencial : definición, fórmula general, características 56 a 57
o Logaritmación , logaritmo : definición. Logaritmo decimal. Logaritmo natural 57 a 58
o Cambio de base , casos particulares de logaritmos 58
o Propiedades de los logaritmos 59
o Función logarítmica 60
o Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 61 a 62
o Lectura: “De los números y su historia” – Isaac Asimov – “Ese es su tamaño
aproximado” 62 a 63
Bibliografía
Matemática Polimodal – 1 y 2 – (varios) – Ed. Puerto de Palos Matemática 4 De Simone –Turner (Ed AZ)
Matemática 1 Polimodal (Martinez-Rodriguez) Ed. Mc Graw Hill Matematica 1 Polimodal (Varios) Ed.Santillana
Matematica 1 Polimodal (Camuyrano-Net-Aragón) (Ed. Estrada)
Matemática 8 y 9 EGB (Margarita Rodrigues-Miguel Martinez Ed. Mc Graw Hill) Matemática 2 ( Tapia y otros / Ed Kapeluz)
Matemática 2 (Amenedo y otros)/ Ed. Santillana)
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -
1
Número
Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar el orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico
que sirve para representarlo, dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. El que
se escribe con un solo guarismo se llama dígito.1
En matemática moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, complejos (todos ellos con correlatos físicos claros)
Tipos de números
Los números más conocidos son los números naturales, denotados mediante , son
conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente
con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del
alemán Zählen 'números'). los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten
generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.
Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros, el
conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se
definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este
conjunto de números de designa como .
Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco es racional. Igualmente la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. El conjunto de todos
los números racionales y los irracionales es el conjunto de los números reales . Durante un tiempo se
pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales
exclusivamente. Ejemplos famosos de los números reales son el número π (Pi) y el número e (este último
base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.
Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente
cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa
es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos , que son el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas
aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil
introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja
estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los
conjuntos de números fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en
conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.
Enumeración de los tipos de números
La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:
Números naturales , Número primo , Números compuestos , Números perfectos , Números enteros, Números negativos , Números pares, Números impares , Números racionales , Números reales , Números irracionales Número Irracionales algebraicos , Números trascendentes: π , e , Números complejos
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -
2
Clasificación de números
Complejos Reales Racionales Enteros Naturales Naturales primos Naturales compuestos Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios purosNúmeros naturales especiales
El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos: Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.
Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos. Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo:
2187 = 27 x 81.
Historia del concepto de número
Cognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos de entidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema de determinar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban una colección de cosas. Esos problemas podían ser resueltos simplemente contando. La habilidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan como mínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material simple, sólo disponen de términos para los números 1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usan recursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.
El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta. En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numerales de la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razón por la cual los sistemas de base decimal y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleo de otras bases numéricas además de 10 y 20.
El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -
3
numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.
Los números como expresión de cantidades aparecen en todas las culturas humanas. El advenimiento de la escritura también comportó la búsqueda de sistemas de representación gráfica para los números, estos sistemas van desde sistemas muy simples basados en rayas a sistemas elaborados que permiten expresar números elevados.
En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:
1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.
2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de
numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etíope ymaya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.
3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas,
centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico
(2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.
Descubrimiento del 0
En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden. A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no fallar.
Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que
significa oudos 'vacío', y que no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero
como concepto matemática parece haber surgido en la India mucho antes que en ningún otro lugar. La
única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío. En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C. Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).
Números negativos
Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece
sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero,
que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece:
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)
No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin
hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la
fundamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal.
Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que
transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.
Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Conjuntos Númericos -
4
Trasmisión del sistema indo-arábigo a Occidente
Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido
como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un
libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las
operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la
serie: con .
No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.
Primera formulación de los números complejos
Los números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones.
Estos números se llamaron inicialmente ficticii 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es
reminiscente de estas reticencias a considerarlos números respetables).
En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano (1501-1576) –Tartaglia (1499 – 1557), aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos.
En esta situación Bombelli (1526-1573) dice en su Álgebra que tuvo lo que llamó "una idea loca", esta era
que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de
eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. para y
m.d.m. para dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre
que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º
grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular .
Generalización de las fracciones decimales
Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se
generalizó con la obra que Simón Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice
que la Disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando
únicamente números naturales.
La interpretación geométrica de los números complejos
Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el
teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de
demostración realizados por D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran
falsas y dando una demostración correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos.
También trabajó con los números enteros complejos que adoptan la forma ,
con y enteros. Este símbolo para fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y
difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.
La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel
(1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss”
a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después.
Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los
puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.
.
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
5
El Conjunto de los Números Reales.
Hemos repasado el concepto de número y como fue necesario ampliar los tipos de números de manera de resolver todas las operaciones (Ver cuadro anexo). Así a los números naturales les
agregamos los negativos para resolver restas con sustraendo mayor que minuendo. Formamos así el conjunto de los números enteros (Z). Para poder expresar las partes de un todo incorporamos las fracciones formando los números racionales (Q) indicando la misma como el cociente entre dos números
enteros. Vimos que el conjunto Z era discreto(Entre dos números enteros cualesquiera existe un
conjunto finito de números enteros) mientras que el conjunto de Q era denso(Entre dos números
racionales cualesquiera se pueden intercalar otros de modo que la distancia entre dos de ellos sea tan pequeña como se quiera).
Los números racionales pueden expresarse de dos maneras : Como fracción (a/b) o en forma decimal. Las dos maneras designan exactamente al mismo número. Las expresiones decimales de un número racional tiene un número finito de cifras decimales (decimal exacto) o puede tener infinitas cifras decimales que se repiten en algún momento (pudiéndose clasificar en decimales periódicos puros o en decimales periódicos impuros o mixtos)
Ejemplos:
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales: Ejemplos:
Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación: Ejemplos:
Los números reales al igual que los anteriormente mencionados se representan sobre la recta numérica. El conjunto de los números irracionales es denso al igual que el de los racionales y entre los
dos conjuntos completan la recta numérica.
Representación de los números Reales.
Ya hemos visto como representar a los números enteros y los racionales. Los irracionales también
tienen asociado un punto sobre la recta real. Si el número real es de la forma
a
recurrimos al teoremade Pitágoras. Tomemos como ejemplo a
2
:
Los Números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un
cociente entre dos números enteros por tener
infinitas cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales no pueden ser expresados por lo tanto como fracciones
Decimos entonces que el conjunto de los números reales ( R ) esta formado por la
unión de los números racionales ( Q ) e irracionales (I)
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
6
Se determina un triangulo isósceles cuyos catetos midan 1 en cuyo caso el valor de la hipotenusa
es
1
2
1
2
2
valor que podemos trasladar a la recta mediante compásSi queremos representar
3
determinamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y2
y por Pitágoras obtendremos:1
2
1
2
3
2
2
Un caso distinto sería representar al número áureo : para ello partiremos del
número 1 , construiremos un triángulo cuyos catetos midan 1 y 2 de manera que la hipotenusa medirá
5
. Llevaremos ese punto sobre la recta obteniendo1 +5
. Para terminar haremos la mediatrizobteniendo a
.Intervalos sobre la recta numérica.
Se denomina intervalo a todo segmento o semirrecta de la recta real. Estos se designan por sus extremos, los cuales pueden ser paréntesis o corchetes. Para la notación de los intervalos se utiliza paréntesis si el número no pertenece al intervalo, y corchete, si los números pertenecen al intervalo.
DESIGUALDADES INTERVALO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION EN LA RECTA
a < x < b
x
a
;
b
Abierto a < x < bx
a
;
b
Cerradoa < x < b
x
a
;
b
Semiabierto a < xx
a
;
infinitoMatemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
7
N
Naturales
Z
Enteros
Q
Racionales
R
Reales
C
Complejos
Tipo de conjunto
Discreto Discreto Discreto Denso DensoRepresentación
Punto en la Recta Numérica(Incompleta) Ej: 2 , 5 , 1001, …
Punto en la Recta Numérica
(Incompleta) Ej: 0, -2 , 5 , -128 , 1001, ….
Punto en la Recta Numérica
(Incompleta) Ej: 0, ½, - 5 , -3/4, ….
Punto en la Recta Numérica
(Completa)
Ej: 0, -7/2, 5, 3, -100, 2 2…
Punto en el Plano (eje x parte R, eje y parte Im)
(Completo) Se estipula i² = -1 Ej: 0, -3, 2i +4 , 120i, 2i,…
Suma
a + b
Siempre 7 + 8 = 15 Siempre - 3 – 8 = - 11 Siempre 4 5 4 3 2 1 Siempre 2 2 2 2 Siempre 3i – 4 + 2i – 1 = 5i - 5Resta
a - b
Solo si a ≥ b 10 – 6 = 4 N 7 3 Siempre 8 - 14 = - 6 Siempre 2 5 2 7 1 Siempre 3 5 3 8 3 3 Siempre 4i – 7i -2 = - 3i - 2Multiplicación
a . b
Siempre 12 . 4 = 48 Siempre -3 . 6 = - 18 Siempre 6 1 9 4 . 8 3 Siempre 20 10 . 2 Siempre 2 27 9 . 3i i i = -27División
a : b
Solo si a es múltiplo de b Y solo si b ≠ 0 8 : 4 = 2 Solo si a es múltiplo de b Y solo si b ≠ 0 - 16 : 2 = - 8Z
3
:
4
Siempre si b ≠ 0 6 1 3 10 : 9 5 Siempre si b ≠ 06
5
:
30
Siempre si b ≠ 0 3 4 :2 3 6i i i = - 3iMatemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
8
La potencia y la radicación son distributivas respecto de la multiplicación y división y no lo son respecto de la suma y de la resta
N
Naturales
Z
Enteros
Q
Racionales
R
Reales
C
Complejos
Potenciación
b
a
nb
a
a
a
.
.
....
SiempreN
n
a
Con
,
Excepto0
081
3
4
SiempreN
n
Con
Z
a
Con
Excepto0
0
2
3 8
3
2 Z SiempreZ
n
Con
Q
a
Con
Excepto0
0 25 4 5 2 2 8 27 3 2 3
Q
2 12
2
SiempreQ
n
Con
R
a
Con
Excepto0
0 3 2 3 22
2
3 2 3 2 3 2 2 2 1 SiempreQ
n
Con
C
a
Con
Excepto0
0
3i3 27i3 27i
2
i
2
i i i 3 4 4 4 2 Radicación
b
a
na
b
n
Siempre
N
n
a
Con
,
3
27
3
2
16
4
N
2
Siempre
N n Con Z a Con 2
16
4
2
8
3
Z 9Siempre
Z n Con Q a Con 2 5 8 125 3 Q
3 32
52
4
Q 9 4Siempre
Q
n
Con
R
a
Con
4 3 4 3 427 3 3 R 8Siempre
Q n Con R a Con i
2
4
Propiedades de la potenciación y la radicación
n p np p n p n p n p na
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
.
:
.r r
a
b
b
a
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
9
n
m
n
m
a
a
Propiedades de la potenciación:
Potencia de exponente cero :
Potencia de exponente negativo:
Producto de potencias de igual base
Cociente de potencias de igual base
Potencia de otra potencia Propiedad distributiva respecto a la multiplicación
Propiedad distributiva respecto a la división
Propiedades de la radicación:
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario:
Recordemos que se denomina Radical a la raíz indicada de un número o expresión.
Ejemplos:
De esta manera podemos plantear las propiedades en forma análoga con las de la potenciación:
Propiedad distributiva respecto a la multiplicación:
Propiedad distributiva respecto a la división:
Raíz de raíz:
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
10
12 17x
332
x
8
5 6243
128
a
z
y
x
6 375
Simplificación de Índices: Amplificación de Índices:Extracción de factores fuera de un radical:
Usando las propiedades de la potenciación y radicación existen factores dentro del radical que pueden ser extraídos siempre que el exponente de los mismos sea mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz.
Veamos algunos ejemplos:
Radicales semejantes:
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
Ejemplos de términos con radicales semejantes:
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
11
7
8
5
2
4
36
4
27
24
3
3
4
4
3
.
12
1
2
5
2
6
3
.
6
3
Adición y sustracción de radicales:
Solo es posible la adición o sustracción de términos que contienen radicales semejantes. Debemos llevar siempre los radicales a su mínima expresión descomponiendo los mismos y extrayendo factores fuera del radical en caso de ser posible, pudiendo operar entonces con los radicales que sean semejantes.
Ejemplos:
Multiplicación y división de radicales:
Radicales de igual índice:Para realizar la operatoria entre radicales aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación y la división respecto de la suma y de la resta.
Debemos recordar también como desarrollar ciertos productos especiales:
Cuadrado de un binomio: Diferencia de cuadrados
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
12
33
.
3
4 2 3 2.
y
y
6 3 3 28
.
2
a
a
6 52
2
p
p
5 4 Radicales de distinto índice:
Hasta ahora hemos operado con radicales de índice igual. En el caso de que los índices sean diferentes para poder operar debemos calcular el Mínimo común Múltiplo de los índices de los
radicales dados , obteniendo de esta manera el mínimo común índice
Ejemplos:
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice , primero se debe sacar el mínimo común índice de todos los radicales y los radicandos con el nuevo índice. Posteriormente se puede operar como hacíamos antes teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación y radicación. Ejemplos:
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas con radicales operamos con todas las reglas , procedimientos y propiedades que hemos usado anteriormente .
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
13
3 3 2.
.
x
x
x
5
1
25
.
5
3
3
1
34
2
4 2 32
b
a
a
a
3 b) c)Racionalización de denominadores_
Racionalizar el denominador de una fracción es transformar dicho denominador en un número racional. Por lo tanto si en el denominador de una expresión aparecen radicales irracionales se procede para hallar una fracción equivalente a la dada pero con denominador racional.
Pueden presentarse los siguientes casos:
En el denominador hay un solo radical:
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números REALES
14
6
2
1
2
2
3
2
3
5 3 5 15 En el denominador hay una suma o resta de uno o dos radicales de índice dos:
En este caso aprovechando que tenemos una suma o resta de dos términos multiplicamos por el binomio conjugado , de tal manera que en el denominador nos queda el producto de binomios conjugados que es a su vez la diferencia de cuadrados de los términos de los binomios, pudiendo así racionalizar el denominador.
Ejemplos:
b)
c)
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
15
Introducción:Si buscamos la resolución de distintas ecuaciones con mayor grado de dificultad podemos ver como eso nos lleva a la creación de los distintos conjuntos numéricos.
Así: x86 Justifica el paso de N a Z
2 5x Justifica el paso de Z a Q 0 2 2 x Justifica el paso de Q a R 0 4 2 x Justifica el paso de R a C
Podemos ver que la solución de raíces de radicando negativo e índice par no tienen solución en el conjunto de los números reales.
2 4 4 24 2
y también 42
2 2 44Definición:
Definimos entonces un número
i
tal que:Llamamos entonces i a la unidad imaginaria en el conjunto de los número complejos.
Ahora podemos hacer: 4 4.
1 4. 12i
2i 2 22.i2 4
2 2 2 2.2 4 i i
De esta manera con los Números Reales mas los Números Imaginarios formamos los Números Complejos
Forma de expresión y representación gráfica de números complejos:
Usando coordenadas cartesianas representamos a cada número complejo con un punto en el plano.
Expresión cartesiana de un número complejo – Representación gráfica en el plano.
x= parte real y= parte imaginaria
Por lo tanto todo z= (x ; 0 ) es un número real
Todo z= (0 ; y) es un número imaginario puro i = (0; 1)
1
1
2
i
i
x
y
z
;
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
16
3
;
4
4
3
1
i
z
0
;
8
8
2
i
z
Expresión binómica de un número complejo
Ejemplos de pasaje entre forma binómica y cartesiana:
Expresión polar o trigonométrica de un número complejo
Coordenadas polares : Para indicar un punto en el plano podemos usar en vez de las
coordenadas cartesianas a las coordenadas polares. Se asocia en este caso a cada número complejo con un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y el extremo esta en el número complejo. De esta manera identificaremos al número complejo con el modulo del vector y el angulo que forma con el eje de los números reales al cual denominamos argumento
Expresión polar de un número complejo:
umento
ulo
r
arg
mod
Entonces el módulo del complejo ( modulo de vector) es : r =
r
z
r
z
;
iy
x
z
2
;
0
2
3
z
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
17
Ej:
z
1
3
4
i
3
;
4
el modulo es
r
3
2
4
2
25
5
Expresión trigonométrica de un número complejo:
Teniendo en cuenta que
Podemos despejar a ambas componentes del número complejo obteniendo:
Y así reemplazando en la expresión binomica a x e y obtenemos la expresión trigonométrica
Ejemplos de pasaje entre forma polar a trigonométrica y de trigonométrica a binomica:
isen
i
i
z
1
8
30º
8
cos
30
º
30
º
8
0
,
866
0
.
5
6
,
93
4
cos
0
º
0
º
5
1
0
5
5
5
0º 2
isen
i
z
isen
i
i
z
3
3
90º
3
cos
90
º
90
º
3
0
1
3
isen
i
i
z
1
4
45º
4
cos
45
º
45
º
4
0
,
707
0
,
707
2
,
83
2
,
83
iy
x
z
i
z
sen
z
z
cos
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
18
Ejemplos de pasaje entre forma binomica a trigonométrica y de trigonométrica a polar:
31º 1 2 2 183
,
5
º
31
º
31
cos
83
,
5
3
5
83
,
5
34
9
25
3
5
º
31
º
96
,
30
6
,
0
5
3
3
5
isen
i
z
Entonces
r
arctg
arctg
i
z
Complejos Conjugados y opuestos:
Hemos definido al complejo como de la forma :
Definimos entonces a su conjugado como :
Es decir que tiene igual parte real , siendo su parte imaginaria opuesta al complejo original
Y definimos como opuesto a :
Es decir que tanto su parte real como imaginaria son opuestas al complejo original.
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
19
i
i
i i
i z z z z z z i z i z 3 7 4 2 5 4 2 5 3 ; 7 4 1 ; 2 5 4 ; 2 1 ; 5 4 2 4 ; 2 5 1 ; 5 2 1 2 1 2 1
i
i
i i
i z z z z z z i z i z 6 5 4 2 2 3 4 2 2 3 6 ; 5 4 2 ; 2 3 4 ; 2 2 ; 3 4 2 4 ; 2 2 3 2 ; 3 2 1 2 1 2 1 Adición y sustracción de números complejos:
Para sumar o restar números complejos en forma binomica o cartesiana sumamos o restamos las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí obteniendo con dichas sumas o restas el resultado.
Ejemplos:
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
20
i
i
i
i
i
i
3 2 1 01
1
Suma y resta de Complejos Conjugados:
SUMA:
4
2
4
2
4
4
2
2
8
2
i
i
i
i
a
bi
bi
a
a
bi
a
bi
a
La suma de dos complejos conjugados es igual al doble de su parte real.
RESTA:
i
i
i
i
i
bi
bi
bi
a
a
bi
a
bi
a
6
3
3
6
6
3
6
3
6
2
La resta de dos complejos conjugados es igual al doble de su parte imaginaria.
Potencias de la unidad imaginaria:
Para averiguar el valor de las potencias de unidad imaginaria aplicamos propiedades de la potenciación:
1
1
.
.
1
4 3 2 0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
5
2.
3
1
.
1
.
.
1
6 3 3 2 2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
3
2.
1
.
7
4.
3
1
.
Como podemos observar se repiten los resultados cada cuatro potencias ( 1; i ; -1 ; -i )
Por lo tanto para saber el resultado de cualquier potencia de i dividimos dicha potencia por cuatro y el resto de la división (un número que valdrá 0; 1 ; 2 o 3) es el exponente que corresponde , y teniendo en cuenta la primera columna vista resolvemos dicha potencia.
Ejemplo
i
78
i
2
1
78
:
4
tiene
resto
2
23
:
4
3
3 23resto
tiene
i
i
i
Cuadrado y Cubo de un numero complejo:
Desarrollamos según el caso obteniendo el Trinomio cuadrado Perfecto (TCP) o el Cuatrinomio Cubo Perfecto (CCP)
i
i
i
i
i
i
i
z
2
3
22
22
.
2
.
3
3
24
12
9
24
12
9
5
12
1
i
i
i
i
i
i
i
z
2
3
2
3
2
2
.
3
.
2
9
6
2
9
6
1
8
6
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
16
16
8
24
24
8
8
4
.
6
2
.
4
.
3
8
2
2
.
2
.
3
2
.
2
.
3
2
2
2
3 2 3 2 2 3 3 3
Matemática 3º Año – Epet Nº 9 – Números COMPLEJOS
21
Multiplicación de complejos:Para la multiplicación de complejos aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta.
i
i
i
i
i
i
i
11
16
10
11
6
10
15
4
6
2
3
.
5
2
2
Producto de complejos conjugados:
2 2 2 2 2 2 2.
.
b
a
i
b
a
bi
abi
abi
a
bi
a
bi
a
z
z
2
5
i
.
2
5
i
4
25
29
División de complejos:Para dividir dos números complejos en forma binómica se multiplica al dividendo y divisor por el conjugado del divisor, y se resuelven las operaciones planteadas.
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
5
2
1
2
5
1
1
1
3
5
2
1
3
3
2
2
1
1
.
1
3
2
1
3
2
2 2 2
1
2
4
4
2
4
2
.
4
2
4
2
2 2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Multiplicación de complejos en forma trigonométrica:
Sean :
El producto de ambos complejos en forma trigonométrica es igual a :
El producto de dos complejos en forma trigonométrica es otro complejo cuyo modulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos de los complejos dados.
Ejemplo: