Hoja 5: cortantes y momentos

C´atedra de Matem´atica Facultad de Arquitectura Universidad de la Rep´ublica

Matem´

atica

2013 – Primer semestre

Hoja 5: cortantes y momentos

Ejercicio 1 La pieza de la figura tiene una longitud de 2 m, est´a en equilibrio bajo la acci´on de una carga de 300 daN en su punto medio y las dos fuerzas de 150 daN que act´uan a 0,5 m de cada uno de sus extremos.

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Dibujar los diagramas de cortantes y momentos.

Ejercicio 2 La pieza de la figura tiene una longitud de 2 m, est´a en equilibrio bajo la acci´on de una carga distribuida constante de 100 daN/m y las dos fuerzas de 1000 daN que act´uan a 0,5 m de cada uno de sus extremos.

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Dibujar los diagramas de cortantes y momentos.

Ejercicio 3 Relaci´on entre cortante y momento. Utilizaremos las siguientes notaciones:

q(x) – valor de la distribuci´on de carga en el punto xde una viga; V(x) – valor del cortante en el punto xde una viga;

M(x) – valor del momento en el punto x de una viga;

1. En los ejercicios 1 y 2, calcular la derivadaV0(x) en los puntos en que exista. ¿Qu´e relaci´on guarda V0(x) con el valor q(x) de la distribuci´on de carga en el punto x?

2. En los ejercicios 1 y 2, calcular la derivadaM0(x) en los puntos en que exista. ¿Qu´e relaci´on guarda M0(x) con el cortante V(x)?

3. Utilizar las relaci´on de la parte 2 para calcular el momento flector M(x) a partir del cortante V(x).

Ejercicio 4 Hallar los diagramas de cortantes y momentos para la m´ensula de la figura, de 1 m de longitud, bajo las distintas cargas que se muestran. La carga distribuida tiene un valor de 500 daN/m, y las cargas concentradas son de 500 daN. En todos los casos, hallar las reacciones en el empotramiento de la m´ensula.

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Hallar las reacciones del anclaje y los diagramas de cortantes y momentos cuando sobre la pieza act´uan al mismo tiempo las tres cargas que se representan en las figuras.

Ejercicio 5

1. Mostrar que una carga vertical distribuida sobre un intervalo [a, b], constante con un valor de q unidades de fuerza por unidad de longitud, tiene la misma resultante y el mismo momento respecto a cualquier punto que una ´unica fuerza vertical q(b−a) actuando en el punto medio de [a, b].

2. Mostrar que una carga vertical distribuida sobre un intervalo [a, b], que toma en cada punto x el valor

q(x) = α(x−a)

unidades de fuerza por unidad de longitud, tiene la misma resultante y el mismo momento respecto a cualquier punto que una ´unica fuerza vertical

α 2(b−a) 2 aplicada en a+2 3(b−a).

3. Hallar qu´e fuerza aplicada en qu´e punto tiene la misma resultante y momentos que una distribuci´on de carga

q(x) =α(x−a) +β aplicada en el intervalo [a, b].

Ejercicio 6

1. Para las vigas de los ejercicios 1 y 2, calcular el momento de todas las fuerzas que act´uan respecto al punto de la viga ubicado en x = 0,5. Repetir el c´alculo respecto al punto ubicado en x= 1,5. Verificar que en ambos casos el momento es nulo.

2. Si las intensidades de las fuerzas verticales de 150 daN que act´uan en los puntosx= 0,5 y x = 1,5 fuera desconocida ¿c´omo podr´ıan determinarse a partir de la condici´on de equilibrio?

3. Hallar las reacciones verticales en los apoyos para que la viga de la figura est´e equilibrada bajo una carga distribuida constante a trozos, de 500 daN/m en el primer tramo de medio metro de longitud, y de 1500 daN/m en el segundo tramo.

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Ejercicio 7 En este ejercicio consideraremos piezas de un metro de longitud, con los tres tipos de apoyo que se muestran en las figuras.

1. Viga simplemente apoyada.

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2. M´ensula con anclaje en su extremo izquierdo.

3. M´ensula con anclaje en su extremo derecho.

Recibir´an los cuatro siguientes tipos de cargas: 1. Carga puntual de 1000 daN en el punto medio.

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2. Carga uniformemente distribuida constante de 1000 daN/m.

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3. Carga distribuida constante a trozos, de 500 daN/m en el primer tramo de medio metro de longitud, y de 1500 daN/m en el segundo tramo.

4. Carga distribuida con un valor proporcional a la distancia al extremo izquierdo de la barra, finalizando con un valor de de 2000 daN/m.

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5. Carga lineal a trozos. Considerarmos una carga proporcional a la distancia al extremo izquierdo de la barra hasta las 3/4 partes de su longitud, y constante e igual a 2000 daN/m a partir de ese punto.

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Para cada tipo de v´ınculo y tipo de cargas hallar las reacciones en los apoyos y dibujar los diagramas de cortantes y momentos. Identificar los m´aximos valores de cortante y momento, y los puntos en que se alcanzan. Estudiar adem´as, para los tres tipos de anclaje, el efecto de superponer la carga puntual de 1000 daN con cada uno de los tres perfiles de cargas distribuidas.

Ejercicio 8 La pieza de la figura tiene una longitud de 2 m. Sobre ella act´ua una fuerza distribuida constante de 1000 daN/m. Los apoyos est´an ubicados en forma sim´etrica respecto al punto medio de la viga, a una distancia entre ellos igual a 2a, donde a es un par´ametro que puede modificarse.

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Elegir el valor dea modo que el m´aximo del m´odulo del momento flector sea tan peque˜no como sea posible. Calcular cu´al es ese valor m´ınimo del momento m´aximo y en que puntos se alcanza.

Ejercicio 9 La viga de la figura, de 2 metros de longitud, est´a en equilibrio bajo la acci´on de una carga distribuida constante a trozos de 800 daN/m en el primer tramo de un metro de longitud y de 1600 daN/m en el segundo tramo de un metro, y reacciones verticales de 1000 daN en el apoyo de la izquierda y 1400 daN en el apoyo de la izquierda.

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1. Calcular el valor V(1,5) que el cortante toma en el punto medio del segundo metro de viga.

2. Calcular el incremento ∆V deV(x) entre x= 0,8 yx= 1,8. 3. Calcular el incremento ∆M deM(x) entre x= 0,8 y x= 1,8. 4. Calcular el cociente incremental ∆M

∆x para x= 1,8 y ∆x= 1. 5. CalcularM0(0,8) y M0(1,8).

La viga de la figura, de 2 metros de longitud, est´a en equilibrio bajo la acci´on de una carga distribuida constante a trozos de 800 daN/m en el primer tramo de un metro de longitud y de 1600 daN/m en el segundo tramo de un metro.

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Ejercicio 10 El valor V(1,5) que el cortante toma en el punto medio del segundo metro de viga es A. 200; B. 0; C. −200; D. −600; E. −1400; F. no est´a definido.

Ejercicio 11 El incremento ∆V deV(x) entre x= 0,5 y x= 1,1 es, expresado en daN, A. 0; B. −148; C. −400; D. −560 E. −800; F. −960;