Debe contestar 60 puntos. La pregunta 5 es obligatoria. 1. (5 puntos c/u) Resuelva los siguientes ejercicios:

Descargar (0)

Texto completo

(1)

Universidad Católica de Valparaíso EXAMEN de Mat 146 Instituto de Matemáticas Miércoles 14 de julio, 2010

Tiene de 10 minutos para hacer consultas y 90 para resolver la prueba. Apague los celulares

Trabaje ordenadamente y justi…que todas sus respuestas. Debe contestar 60 puntos. La pregunta 5 esobligatoria.

1. (5puntos c/u)Resuelva los siguientes ejercicios:

(a) Determine #Asi#B= 3; #P(A[B) = 64yA\B=f1;2g (b) n X k=1 cos2 2 (k+ 1) + cos (2k) 2k (c) 2 arctan 1 x 1 +x = arctan (x)

(d) Determine el vértice de la parábola que tiene por directriz a la recta y = 5 y su foco coincide con el vértice superior de la elipse 9x2+ 4y2 54x+ 45 = 0

2. (10puntos) Determine el valor de n 2 N de modo que los coe…cientes constantes, de grado 1 y de grado 3 en el desarrollo del polinomiop(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n;formen una P.G.

3. (10puntos)Dados los conjuntos: A=fz2C:kz 2ik= 2g;B= ( z2C: z z+ z z = 4 kzk2 ) ; gra…que ambos conjuntos y determine todos los valores complejos ztales

quez2(A\B)

4. (10puntos) Descomponga al máximo en fracciones parciales en C[x] la fracción polinomial: x

4+x2+ 2

x3+x

5. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, pruébelas y si son falsas, de un contraejemplo: (a) Si A B=A\B)A= (b) cos 4 + arctan 2 5 = 3 p 58

(2)

(c) Si el ángulo que forman los vectores complejosz yw es

2;entonces

z w+z w= 0

(d) Sip(x)2C[x]tal quep(1 +i) = 0entonces1 itambién es raíz de p(x)

“¡¡Hasta la victoria, siempre!!”Ernesto, "C H E" G uevara

"Difícil mimisión es, pero imposible no:"M aestro Yo da:

"Al in…nito y más allá"B uz Light Year

"Todos los que se enfrentan a situaciones dí…ciles piensan en renunciar pero no tienen opción, lo que si pueden hacer es decidir que hacer con el tiempo que les han dado:"G andalf

(3)

Desarrollo

1. (5puntos c/u)Resuelva los siguientes ejercicios:

(a) Determine #Asi#B= 3; #P(A[B) = 64yA\B=f1;2g

Sabemos que# (A[B) = #A+ #B # (A\B) y que#P(X) = 2#X;por lo que: #P(A[B) = 64 = 26 )# (A[B) = 6: Luego, #A= # (A[B) #B+ # (A\B) = 6 3 + 2 = 5 (b) n X k=1 cos2 2 (k+ 1) + cos (2k) 2k = n X k=1 sin2(k+ 1) + 1 2 sin2(k) 2k = 1 2 1 12 n 1 12 ! + sin 2(n+ 1) 2n sin 2(1) = 1 1 2 n +sin 2(n+ 1) 2n sin 2(1) (c) 2 arctan 1 x 1 +x = arctan (x) Restricciones: 1 +x6= 0)x6= 1^ 1 1 x 1 +x 1 )x2R +: Ahora 2 arctan 1 x

1 +x = arctan (x))tan 2 arctan

1 x 1 +x =x ) 2 tan arctan 1 x 1 +x 1 + tan2 arctan 1 x 1 +x =x ) 2 2x 1 +x 1 1 x 1 +x 2 =x ) 1 x2=x(2x) ) 0 = 3x2 1)x=p1 3_x= 1 p 3 Comox2R+)Sx=np1 3 o

(4)

(d) Determine el vértice de la parábola que tiene por directriz a la recta y = 5 y su foco coincide con el vértice superior de la elipse 9x2+ 4y2 54x+ 45 = 0

La ecuación principal de la elipse es (x43)2 + y92 = 1; por lo que el vértice superior de la elipse es V = (3;3): De este modo, el vértice de la elipse corresponde a V2= (3;4)

2. (10puntos) Determine el valor de n 2 N de modo que los coe…cientes constantes, de grado 1 y de grado 3 en el desarrollo del polinomiop(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n;formen una P.G.

Tenemos que el polinomio tiene la forma siguiente:p(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n= (1 + 16x) n X k=0 n k 4x 2 k= (1 + 16x) 1 +n4x2+ n 2 4x 2 2+:::+ n n 4x 2 n

por lo que los coef. constantes, de grado 1 y de grado 3 son respectiva-mente 1, 16y 64n: Si estos valores están enP:G: entonces tenemos que

64n

16 = 16

1 )n= 4

3. (10puntos)Dados los conjuntos: A=fz2C:kz 2ik= 2g;B= ( z2C: z z+ z z = 4 kzk2 ) ; gra…que ambos conjuntos y determine todos los valores complejos ztales

quez2(A\B)

Aquí se puede ver queA=fz2C:kz 2ik= 2g=nx+iy 2C:x2+ (y 2)2 = 4o cuya grá…ca es -2 2 2 4

x

y

Por otro lado,B= ( z2C: z z + z z = 4 kzk2 ) = ( z2C: z 2+z2 zz = 4 kzk2 ) = x+yi2C: 2 x2 y2 = 4 = x+yi2C:x2 y2= 2 con grá…ca -4 -2 2 4 -4 -2 2 4

x

y

(5)

Finalmente para encontrarA\Bhay que resolver el sistema. x2+ (y 2)

2 = 4

x2 y2= 2

de donde x= p3^y= 1 _ x=p3^y= 1 : Por lo que A\B =

p

3 +i; p3 +i

4. (10puntos) Descomponga al máximo en fracciones parciales en C[x] la fracción polinomial: x

4+x2+ 2

x3+x

Dividiendo se tiene que x

4+x2+ 2

x3+x = x+ 2

x3+x: Factorizando el

de-nominador, enC[x]tenemos quex3+x=x(x+i) (x i):De este modo 2 x3+x = A x+ B x+i+ C x i )2 =A x 2+ 1 +B x2 ix +C x2+ix

Evaluando se llega a que:

x = 0)A= 2 x = i)C= 1 x = i)B= 1 Por lo que x 4+x2+ 2 x3+x =x+ 2 x 1 x+i 1 x i

5. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, pruébelas y si son falsas, de un contraejemplo:

(a) Si A B=A\B)A=

Verdadero. Supongamos que x 2 A: Sin perder lageneralidad, supongamos que x 2 B ) x 2 (A\B) ) x 2 (A B) ) x 2 A^x2Bc)x =2B ! )x =2A (b) cos 4 + arctan 2 5 = 3 p 58

(6)

VERDADERO. Tenemos que

cos

4 + arctan 2

5 = cos4 cos arctan

2

5 sin4 sin arctan 2 5 = p1 2 cos arctan 2 5 sin arctan 2 5 = p1 2 0 B B @ 1 sec arctan 2 5 s 1 cos2 arctan 2 5 1 C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s sec2 arctan 2 5 v u u u t1 1 sec2 arctan 2 5 1 C C C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s tan2 arctan 2 5 + 1 v u u u t1 1 tan2 arctan 2 5 + 1 1 C C C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s 2 5 2 + 1 v u u u t1 1 2 5 2 + 1 1 C C C C A = p1 2 5 p 29 r 1 25 29 ! = p1 2 5 p 29 2 p 29 = p3 58

(c) Si el ángulo que forman los vectores complejosz yw es

2;entonces

z w+z w= 0

Verdadero. Si el ángulo que forman los vectores complejoszywes

2;entonces seanz=rcis( )yw=scis +2 ;entonces

z w+z w = rcis( ) scis

2 +rcis( ) scis + 2 = (r s) cis

2 +cis 2 = (r s) ( i+i) = (r s) 0 = 0

(7)

(d) Sip(x)2C[x]tal quep(1 +i) = 0entonces1 itambién es raíz de p(x)

Falso. Esto sería verdadero si p(x) 2 R[x]: Como contraejemplo basta tomar el polinomiop(x) =x 1 i

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :