Universidad Católica de Valparaíso EXAMEN de Mat 146 Instituto de Matemáticas Miércoles 14 de julio, 2010
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Trabaje ordenadamente y justi…que todas sus respuestas. Debe contestar 60 puntos. La pregunta 5 esobligatoria.
1. (5puntos c/u)Resuelva los siguientes ejercicios:
(a) Determine #Asi#B= 3; #P(A[B) = 64yA\B=f1;2g (b) n X k=1 cos2 2 (k+ 1) + cos (2k) 2k (c) 2 arctan 1 x 1 +x = arctan (x)
(d) Determine el vértice de la parábola que tiene por directriz a la recta y = 5 y su foco coincide con el vértice superior de la elipse 9x2+ 4y2 54x+ 45 = 0
2. (10puntos) Determine el valor de n 2 N de modo que los coe…cientes constantes, de grado 1 y de grado 3 en el desarrollo del polinomiop(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n;formen una P.G.
3. (10puntos)Dados los conjuntos: A=fz2C:kz 2ik= 2g;B= ( z2C: z z+ z z = 4 kzk2 ) ; gra…que ambos conjuntos y determine todos los valores complejos ztales
quez2(A\B)
4. (10puntos) Descomponga al máximo en fracciones parciales en C[x] la fracción polinomial: x
4+x2+ 2
x3+x
5. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, pruébelas y si son falsas, de un contraejemplo: (a) Si A B=A\B)A= (b) cos 4 + arctan 2 5 = 3 p 58
(c) Si el ángulo que forman los vectores complejosz yw es
2;entonces
z w+z w= 0
(d) Sip(x)2C[x]tal quep(1 +i) = 0entonces1 itambién es raíz de p(x)
“¡¡Hasta la victoria, siempre!!”Ernesto, "C H E" G uevara
"Difícil mimisión es, pero imposible no:"M aestro Yo da:
"Al in…nito y más allá"B uz Light Year
"Todos los que se enfrentan a situaciones dí…ciles piensan en renunciar pero no tienen opción, lo que si pueden hacer es decidir que hacer con el tiempo que les han dado:"G andalf
Desarrollo
1. (5puntos c/u)Resuelva los siguientes ejercicios:
(a) Determine #Asi#B= 3; #P(A[B) = 64yA\B=f1;2g
Sabemos que# (A[B) = #A+ #B # (A\B) y que#P(X) = 2#X;por lo que: #P(A[B) = 64 = 26 )# (A[B) = 6: Luego, #A= # (A[B) #B+ # (A\B) = 6 3 + 2 = 5 (b) n X k=1 cos2 2 (k+ 1) + cos (2k) 2k = n X k=1 sin2(k+ 1) + 1 2 sin2(k) 2k = 1 2 1 12 n 1 12 ! + sin 2(n+ 1) 2n sin 2(1) = 1 1 2 n +sin 2(n+ 1) 2n sin 2(1) (c) 2 arctan 1 x 1 +x = arctan (x) Restricciones: 1 +x6= 0)x6= 1^ 1 1 x 1 +x 1 )x2R +: Ahora 2 arctan 1 x
1 +x = arctan (x))tan 2 arctan
1 x 1 +x =x ) 2 tan arctan 1 x 1 +x 1 + tan2 arctan 1 x 1 +x =x ) 2 2x 1 +x 1 1 x 1 +x 2 =x ) 1 x2=x(2x) ) 0 = 3x2 1)x=p1 3_x= 1 p 3 Comox2R+)Sx=np1 3 o
(d) Determine el vértice de la parábola que tiene por directriz a la recta y = 5 y su foco coincide con el vértice superior de la elipse 9x2+ 4y2 54x+ 45 = 0
La ecuación principal de la elipse es (x43)2 + y92 = 1; por lo que el vértice superior de la elipse es V = (3;3): De este modo, el vértice de la elipse corresponde a V2= (3;4)
2. (10puntos) Determine el valor de n 2 N de modo que los coe…cientes constantes, de grado 1 y de grado 3 en el desarrollo del polinomiop(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n;formen una P.G.
Tenemos que el polinomio tiene la forma siguiente:p(x) = (1 + 16x) 1 + 4x2 n= (1 + 16x) n X k=0 n k 4x 2 k= (1 + 16x) 1 +n4x2+ n 2 4x 2 2+:::+ n n 4x 2 n
por lo que los coef. constantes, de grado 1 y de grado 3 son respectiva-mente 1, 16y 64n: Si estos valores están enP:G: entonces tenemos que
64n
16 = 16
1 )n= 4
3. (10puntos)Dados los conjuntos: A=fz2C:kz 2ik= 2g;B= ( z2C: z z+ z z = 4 kzk2 ) ; gra…que ambos conjuntos y determine todos los valores complejos ztales
quez2(A\B)
Aquí se puede ver queA=fz2C:kz 2ik= 2g=nx+iy 2C:x2+ (y 2)2 = 4o cuya grá…ca es -2 2 2 4
x
y
Por otro lado,B= ( z2C: z z + z z = 4 kzk2 ) = ( z2C: z 2+z2 zz = 4 kzk2 ) = x+yi2C: 2 x2 y2 = 4 = x+yi2C:x2 y2= 2 con grá…ca -4 -2 2 4 -4 -2 2 4
x
y
Finalmente para encontrarA\Bhay que resolver el sistema. x2+ (y 2)
2 = 4
x2 y2= 2
de donde x= p3^y= 1 _ x=p3^y= 1 : Por lo que A\B =
p
3 +i; p3 +i
4. (10puntos) Descomponga al máximo en fracciones parciales en C[x] la fracción polinomial: x
4+x2+ 2
x3+x
Dividiendo se tiene que x
4+x2+ 2
x3+x = x+ 2
x3+x: Factorizando el
de-nominador, enC[x]tenemos quex3+x=x(x+i) (x i):De este modo 2 x3+x = A x+ B x+i+ C x i )2 =A x 2+ 1 +B x2 ix +C x2+ix
Evaluando se llega a que:
x = 0)A= 2 x = i)C= 1 x = i)B= 1 Por lo que x 4+x2+ 2 x3+x =x+ 2 x 1 x+i 1 x i
5. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, pruébelas y si son falsas, de un contraejemplo:
(a) Si A B=A\B)A=
Verdadero. Supongamos que x 2 A: Sin perder lageneralidad, supongamos que x 2 B ) x 2 (A\B) ) x 2 (A B) ) x 2 A^x2Bc)x =2B ! )x =2A (b) cos 4 + arctan 2 5 = 3 p 58
VERDADERO. Tenemos que
cos
4 + arctan 2
5 = cos4 cos arctan
2
5 sin4 sin arctan 2 5 = p1 2 cos arctan 2 5 sin arctan 2 5 = p1 2 0 B B @ 1 sec arctan 2 5 s 1 cos2 arctan 2 5 1 C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s sec2 arctan 2 5 v u u u t1 1 sec2 arctan 2 5 1 C C C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s tan2 arctan 2 5 + 1 v u u u t1 1 tan2 arctan 2 5 + 1 1 C C C C A = p1 2 0 B B B B @ 1 s 2 5 2 + 1 v u u u t1 1 2 5 2 + 1 1 C C C C A = p1 2 5 p 29 r 1 25 29 ! = p1 2 5 p 29 2 p 29 = p3 58
(c) Si el ángulo que forman los vectores complejosz yw es
2;entonces
z w+z w= 0
Verdadero. Si el ángulo que forman los vectores complejoszywes
2;entonces seanz=rcis( )yw=scis +2 ;entonces
z w+z w = rcis( ) scis
2 +rcis( ) scis + 2 = (r s) cis
2 +cis 2 = (r s) ( i+i) = (r s) 0 = 0
(d) Sip(x)2C[x]tal quep(1 +i) = 0entonces1 itambién es raíz de p(x)
Falso. Esto sería verdadero si p(x) 2 R[x]: Como contraejemplo basta tomar el polinomiop(x) =x 1 i