INSTITUCION UNIVERSITARIA “ANTONIO JOSÉ CAMACHO” Asignatura: PRINCIPIOS DE ESTADÍSTICA
Profesores: Rubén Darío Corrales: rudacovesx@yahoo.com; 2010-S2
Guía 3. Probabilidad
TABLA DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE DOS VARIABLES ALEATORIAS. TABLAS DE CONTINGENCIA
En algunos estudios estadísticos tomamos para cada unidad de información valores de dos variables estadísticas: La variable aleatoria X que toma los valores x1, x2,.. xn, y la variable aleatoria Y, que toma valores y1, y2, ..., yn. Se pueden
escribir los datos recogidos en forma de listado, como se indica en la (Figura a), o bien, cuando todos o algunos pares se repiten, pueden escribirse como una tabla de doble entrada (o tabla de contingencia) (Figura b), donde fij indica la frecuencia
absoluta con que aparece el par (xi, yj).
Si representamos mediante hij la frecuencia relativa del par de valores (xi, yj), se verifica la relación (1). Llamamos a esta
frecuencia relativa de cada celda respecto al total de datos frecuencia relativa doble. hij = fij/n (1)
Los valores marginales (que representan los subtotales por columna o por fila) por variable estarán dados por fi. Para la
variable X y f.j para la variable Y
De ahí se tienen las siguientes relaciones: n = Σ f.j = Σ fi. = Σ fij
Figura a Figura b
EJEMPLO
Realizar una tabla de contingencia para las variables género y cargo de los 25 funcionarios de una pequeña empresa.
CARGO GENERO CARGO GENERO
2 1 1 SUPERVISOR MASCULINO 1 2 1 2 EMPLEADO FEMENINO 2 2 1 3 DIRECTOR 2 1 4 AUXILIAR 2 1 2 1 2 1 4 1 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 2 2
2 1 3 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 4 1 2 2 2 1
La tabla de frecuencias que se halla inicialmente define las frecuencias que se cumplen para las dos variables a la vez
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1 2 3
EMPLEADO 4 15 19
SUPERVISOR 1 1 2
DIRECTOR 0 1 1
Subtotal 6 19 25
Se podría decir por ejemplo que 15 funcionarios tienen cargo de empleados y su género es masculino, que hay 19 hombres, que hay 2 supervisores, etc.
Se halla la frecuencia porcentual por fila, se halla con base como total los resultados de la columna de subtotal del cargo
GENERO Subtotal del Cargo
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/3 = 0.33 2/3 = 0.67 1.00
EMPLEADO 4/19 = 0.21 15/19 = 0.79 1.00
SUPERVISOR ½ = 0.5 ½ = 0.5 1.00
DIRECTOR 0/1 = 0 1/1 =1.0 1.00
Subtotal 6/25 = 0.24 19/25 = 0.76 1.00
Este análisis se referencia por las filas o sea el cargo, se podría decir por ejemplo que el 21% de los que son empleados son de género femenino, que el 50% de los que son supervisores son mujeres, que el 67% de los que son auxiliares son hombres, etc. Observe que el término de “los que son” corresponde al valor que divide.
Se halla la frecuencia porcentual por columna, con base como total los resultados de la fila de subtotal del género
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/6= 0.17 2/19 = 0.11 3/25 = 0.12 EMPLEADO 4/6 = 0.66 15/19 = 0.79 19/25 = 0.76 SUPERVISOR 1/6 =0.17 1/19 = 0.05 2/25 = 0.08
DIRECTOR 0/6 = 0.00 1/19 = 0.05 1/25 = 0.04
Subtotal del Género 1.00 1.00 1.00
Este análisis se referencia por las columnas o sea el género, se podría decir por ejemplo que el 66% de las que son mujeres tiene como cargo empleadas, que el 5% de los que son hombres son supervisores, que el 17% de las que son mujeres son auxiliares, etc.
Se halla la frecuencia porcentual por celda, con base en el total de la tabla
GENERO Subtotal
CARGO FEMENINO MASCULINO
AUXILIAR 1/25 = 0.04 2/25 = 0.08 3/25 = 0.12 EMPLEADO 4/25 = 0.16 15/25 = 0.60 19/25 = 0.76 SUPERVISOR 1/25 = 0.04 1/25 = 0.04 2/25 = 0.08
DIRECTOR 0/25 = 0.00 1/25 = 0.04 1/25 = 0.04
Subtotal 6/25 = 0.24 19/25 = 0.76 25
Este análisis se referencia con base al total, se podría decir por ejemplo que el 4% de los funcionarios son de género femenino y son auxiliares, que el 60% de los funcionarios son empleados y son hombres, que el 16% de los funcionarios son empleados y son mujeres, etc.
Observe que en esta última tabla se cumplen las dos condiciones a la vez (intersección), mientras que en las dos anteriores se condiciona según la variable, en la segunda tabla, la que condiciona es el cargo y en la tercera tabla, la variable que condiciona es el género.
Conceptos básicos de probabilidad
Experimento aleatorio: Antes de su realización, conocemos de antemano todos sus posibles resultados, pero no el resultado concreto que vamos a obtener, aunque se observan regularidades al repetir varias veces el experimento.
Espacio muestral (S): El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, normalmente se representa por S. Por ejemplo, si lanzamos una moneda nuestro espacio muestral tiene 2 elementos y coincide con S= {c, s} donde c=cara y s= sello.
Evento: Es un subconjunto del espacio muestral S. Esto implica que S también es un evento así como lo es el conjunto vacío. Cualquier resultado individual también puede considerarse como un evento.
Se dice que dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir juntos; es decir, la intersección de A y B es el conjunto vacío.
Enfoques de probabilidad
Clásica: La probabilidad clásica es aquella que se toma de manera objetiva, puesto que se conoce el número exacto de opciones a ocurrir y presenta un resultado exacto y que puede considerarse a priori.
- Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A, P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra. En este caso los resultados del experimento son igualmente probables. Este método fue desarrollado por Laplace.
# de maneras que A puede ocurrir P(A) = ---
# total de resultados posibles Ejemplo.
Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean cara (C)? S = {CC, CS, SC, SS} A = {CC}
P (CC) = ¼
Frecuencista o Probabilidad a posteriori. En el caso que los eventos no poseen igual posibilidad de ocurrencia, el problema de asignar las probabilidades ocurre a posteriori. El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y se conoce también como de frecuencia relativa y es apropiado cuando se tienen los datos para estimar la proporción del tiempo que ocurrirá el evento en el experimento si el experimento se repite un número grande de veces y cuyos resultados no son exactos.
Frecuencia relativa: Supongamos que repetimos n veces un experimento, y sean A y B dos eventos asociados con el experimento. Sean nA y nB el número de veces que el evento A y el B (respectivamente) ocurrieron en las n repeticiones.
Entonces, definimos fA = nA / n como la frecuencia relativa del evento A en las n repeticiones del experimento.
La frecuencia relativa fA tiene las siguientes propiedades:
- 0 ≤ fA ≤ 1.
- fA = 1 si y sólo si A ocurre cada vez en las n repeticiones.
- fA = 0 si y sólo si A nunca ocurre en las n repeticiones.
- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (o sea con frecuencia 0), y si f(A U B) es la frecuencia relativa asociada al evento A U B, entonces f(A U B) = fA + fB.
- fA, basada en la n repeticiones del experimento y considerada para una función de n, "converge" en cierto sentido
probabilístico a P(A) cuando n-->+∞. (Esto no es lo mismo que el concepto corriente de convergencia que se encuentra en otra parte en matemáticas. En realidad, ésta no es una conclusión matemática, sino simplemente un hecho empírico.) Lo importante de esta propiedad es que si un experimento se realiza un gran número de veces, la frecuencia relativa con que ocurre un evento A tiende a variar cada vez menos a medida que el número de repeticiones aumenta.
Subjetiva, esta probabilidad ocurre cuando no existe frecuencias ni sabemos el número de opciones a ocurrir, por lo tanto es asignada de forma subjetiva por expertos en el área específica.
Axiomas de probabilidad: Sea E un experimento y S un espacio muestral asociado con E. Con cada evento A asociamos un número real, designado con P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes propiedades:
- 0 ≤ P(A) ≤1 - P(S) = 1
- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, P(A U B) = P(A) + P(B) - Si AC es el evento complementario de A, entonces P(A) = 1 - P(AC)
- Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) - Si S = Ai entonces P(S) = P(Ai) A : Partición
Ejemplos
1. Una empresa necesita aportes de sus socios para dos proyectos. La probabilidad de que los socios aporten al proyecto A es del 30%, de que aporten al proyecto B es del 60% y de que aporten en ambos es del 8% ¿Qué probabilidad hay de que aporten al menos en un proyecto?
Solución
Al menos a 1 sería al proyecto A o al proyecto B o a ambos, esto se define como la unión de dos conjuntos P(A U B) = P(A) + P (B) – P(A B) = 0.3 + 0.6 - 0.08 = 0.82
PROBABILIDAD MARGINAL Y CONJUNTA
Una manera, muy usada en la práctica, para denominar la probabilidad de un evento simple en un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Ejemplo
Si en un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla.
Satisfecho en la carrera Satisfecho en su progreso Si No Total Si 362 350 712 No 18 70 88 Total 380 420 800
La probabilidad de que un alumno se encuentre satisfecho con la carrera, es decir, la probabilidad de que ocurra el evento A = “satisfecho con la carrera elegida” será igual al número de alumnos que están satisfechos (712) divido por el número de total de alumnos encuestados (800), es decir, P(A) = 712/800 = 0.89. Esta es una probabilidad marginal.
La denominación de probabilidad conjunta se utiliza para referirse a la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos simples simultáneamente. Por ejemplo, si se usa los datos del ejemplo, la probabilidad de que ocurran simultáneamente los siguientes eventos simples A = “el alumno está satisfecho con su carrera” y B = “el alumno está satisfecho con su avance en la carrera” se calcula como el número de alumnos que se encuentran satisfechos tanto con la carrera como con sus avances en la misma (362, que es donde se cruzan las dos opciones requeridas) divido por el número total de alumnos encuestados (800), y se denota con P(A y B) o con P( A ∩ B ) puesto que es una intersección y en esta caso es igual a 362/800 = 0.4525. Observaciones:
1. Las definiciones dadas hasta ahora, son aplicables a situaciones donde el espacio muestral S se considera formado por n puntos. Por ejemplo, en la encuesta de alumnos n= 800. Cada uno de estos puntos (empleados) tiene probabilidad 1/n= 1/800 de ser elegido al azar.
2. Si el espacio muestral es particionado en r eventos, A1, A2,…, Ar, que definen una característica como por ejemplo
“Satisfacción con la carrera”; y si en este mismo espacio se considera otra partición generada por s eventos B1, B2,…, Bs,
que definen otra característica como ser “Satisfacción con su progreso en la carrera”, entonces el espacio muestral S queda particionado en rs subconjuntos. En el ejemplo de la encuesta, r = s = 2, y donde A1 = “Si está satisfecho con la carrera”, A2=
“No está satisfecho con la carrera”, B1= “Si está satisfecho con su progreso” y B2= “No está satisfecho con su progreso”,
luego el espacio muestral queda dividido en 4 subconjuntos a saber A1∩B1, A2∩B1, A1∩B2, A2∩B2, y sus respectivas
probabilidades P[Ai∩Bj] = P[Ai y Bj], son las ya definidas probabilidades conjuntas, mientras que las probabilidades de los
eventos determinados por cada partición, es decir, P[Ai] y P[Bj] son las probabilidades marginales correspondientes a la
primera y segunda partición respectivamente.
3. Si dos eventos no tienen puntos comunes, es decir, ellos no pueden ocurrir simultáneamente (no se cruzan), entonces, se dice que son mutuamente excluyentes. Por otra parte, un conjunto de eventos se dice que son colectivamente exhaustivos, si uno de ellos debe ocurrir necesariamente. Por ejemplo, A1 y A2 son mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos, ¿Por qué? Porque son complementos ¿Lo son también A1 y B2?
4. A partir de la definición de probabilidad conjunta, y considerando que el número de alumnos que presentan la característica A1= “están satisfechos con la carrera” se obtiene sumando el número de alumnos que pertenecen al evento
5. En general si B1, B2,…, Bk son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y A es cualquier evento
definido en el mismo espacio muestral, se verifica que: P(A) = P[A∩B1] + P[A∩B2] + … + P[A∩Bk]
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
El concepto de Probabilidad Condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento A, y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento B relacionado al primero y se denota con P[A|B] la cual se lee como “probabilidad de A dado B”, o también como “la ocurrencia de A de los que son de B”. Una pregunta que podría hacerse el lector es sobre la necesidad de introducir este concepto. Para obtener una respuesta a este interrogante, al menos intuitivamente, supongamos se quiere conocer la probabilidad del evento A = “lloverá” y se sabe que se presentó el evento B = “está nublado”. Intuitivamente se percibe que la P[A] aumentará si se sabe que ocurrió B ya que ambos eventos están relacionados.
Ejemplo
Antes de dar la definición de probabilidad condicional considérese los datos de la encuesta a los 800 estudiantes y siguiendo la notación dada, se quiere calcular P[está satisfecho con la carrera / está satisfecho con su progreso en la misma] = P[A/B]. El número de estudiantes satisfechos con la carrera dentro de los 380 estudiantes no satisfechos con su progreso es 362, entonces se verifica que P[A/B] = 362/380 = 0.9526, o sea, que de los que están satisfechos con el progreso de la carrera, qué porcentaje o cuál es la probabilidad de que estén satisfechos con la carrera.
Tres cosas debe observarse en esta igualdad:
(a) Si no se dispone de la información sobre B’, entonces P[A]= 712/800 = 0.89 es decir, la probabilidad de A sin el conocimiento de que ocurrió B es menor que P[A/B].
(b) El numerador (362) es el número de estudiantes que están satisfechos con la carrera y están satisfechos con su progreso en la misma, es decir pertenecen al evento conjunto “A y B” (la intersección).
(c) El denominador (380) es el número de empleados que pertenecen al evento “B”, esto equivale a considerar un nuevo espacio muestral donde el número de puntos se redujo de 800 a 480, el total de los que están satisfechos con el progreso. (d) Si se divide numerador y denominador de la igualdad por 800, es decir, el número total de estudiantes, se tiene que
0.9526
380/800
362/800
P[A/B]
y entonces se debe observar que el numerador es la P[A y B]= P[A∩B] y el denominador es P[B].
A partir de esta última observación surge naturalmente la definición formal del concepto de Probabilidad Condicional para dos eventos cualesquiera A y B, como:
P[B]
B)
P[A
P[B]
B]
y
P[A
P[A/B]
La comparación de los valores obtenidos de P[A/B] con P[A] en el ejemplo revela cierta información importante: el conocimiento del progreso en la carrera afecta la predicción de la satisfacción con la carrera elegida. Por lo tanto, desde una perspectiva estadística se puede establecer que estos eventos están asociados de alguna manera. Esto lleva a definir uno de los conceptos más importantes de la estadística y que es el concepto de Independencia Estadística de la siguiente manera:
Dos eventos A y B se dice que son independientes estadísticamente si P[A/B]=P[A] o P[B/A]=P[B] o P[A∩B]=P[A]P[B] Es decir que el conocimiento de la ocurrencia de B no afecta a la P[A].
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Usando la definición de la probabilidad condicional y con algún manejo algebraico se llega a otra regla básica de la teoría de probabilidad denominada Regla de la multiplicación y la cual permite el cálculo de la P[A y B] conociendo la P[A/B] y la P[B], en efecto, P[A y B] = P[A∩B] = P[A/B] P[B]
EJEMPLOS:
1. Una firma de consultoría de computadores ha licitado en tres proyectos. Sea Ai: Proyecto i otorgado, para i:1, 2, 3 Supongamos: P(A1)=0.22, P(A2)=0.25, P(A3)=0.28
, , ,
Exprese verbalmente el significado de cada uno de los siguientes eventos y calcule su probabilidad. a. b. c. d. e.
2. Cooper Realty es una empresa pequeña de bienes raíces que se especializa en inmuebles habitacionales. Recientemente les ha interesado determinar la posibilidad de que una de sus propiedades se venda dentro de cierto tiempo. Un análisis de las ventas de 800 casas, efectuada por esa empresa en años pasados, arrojó los datos siguientes:
Días hasta la venta
Menos de 30 De 31 a 90 Mas de 90 Total
Oferta inicial Menos de 50 millones 50 40 10 100 De 50 a 100 millones 20 150 80 250 De 100 a 150 millones 20 280 100 400 Más de 150 millones 10 30 10 50 Total 100 500 200 800
a) Estime la probabilidad de que una casa se vende en más de 90 días.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una casa se venda en menos de 30 días o en más de 150 millones? c) Determine la probabilidad de que una casa se venda en más de 90 días y cueste más de 150 millones.
d) Suponiendo que se acaba de firmar un contrato para anunciar una casa cuyo precio inicial es menor de 50 millones, ¿Cuál es la probabilidad de que Cooper Realty tarde más de 90 días en venderla?
e) Suponiendo que Cooper Realty tardó de 31 a 90 días en vender una casa, ¿Cuál es la probabilidad de que cuyo precio inicial sea entre 100 y 150 millones?
f) Sea A el evento en que una casa se vende en más de 90 días, y sea B el evento en que el precio inicial es menor de 50 millones. ¿Son independientes los eventos A y B? Justifique su respuesta.
3. Considere elegir al azar un alumno de cierta universidad, y sea A el evento de que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 y P(A∩B) = 0.25.
a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo elegido no tenga ninguna de esas tarjetas?
c) Describa, en términos de A y B, el evento de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta Visa, pero no una MasterCard, y luego calcule la probabilidad de ese evento.
4. Dada la siguiente información del almacén de importación y venta de computadores COMPUTO LTDA.
PROCEDENCIA CALIDAD
ASIA EUROPA EEUU TOTAL BUENOS 900 1.350 3.000
REGULARES 550 250
MALOS 50 150 500
a. Cuál es la probabibilidad que el artículo escogido proceda de Europa b. Cuál es la probabibilidad que el artículo escogido sea de mala calidad.
c. Cuál es la probabibilidad que el artículo escogido proceda de EEUU y es de regular calidad d. Cuál es la probabibilidad que el artículo dado que proceda de EEUU o es de buena calidad e. Cuál es la probabibilidad que el artículo escogido proceda de ASIA dado que es de regular calidad f. Cuál es la probabibilidad que el artículo dado que proceda de Europa, es de mala calidad
g. Cuál es la probabibilidad que el artículo dado que proceda de EEUU o Europa, sea como mínimo de regular calidad 5. En una empresa de producción se tiene la siguiente muestra que da información sobre el tiempo en minutos de producir piezas de tres tipos.
Si los estándares del tiempo de duración en producir una pieza de cada tipo son de máximo 10 minutos, si no se co nsiderará como una pieza producida con tiempo de proceso en problema.
Xi (Minutos) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Total
0-2.00 5 5 10 20 2.01-4.00 10 20 45 4.01-6.00 15 20 65 6.01-8.00 30 25 80 8.01-10.00 15 15 10 40 10.01-12.00 10 5 5 Total 80 90 100 270
Se desea hacer algunos análisis probabilísticos de interés para la empresa. a. ¿Cuál será la probabilidad de que la pieza sea de tipo 3?
b. ¿Cuál será la probabilidad de que su producción dure menos de 4 minutos?
c. ¿Cuál será la probabilidad de que dado que es una pieza de tipo 1, su tiempo de proceso sea considerado en problema? d. ¿Cuál será la probabilidad de que la pieza sea de tipo 3 y sea producida entre 4.01 y 10 minutos?
e. ¿Cuál será la probabilidad de que la pieza es de tipo 2 o su producción dure menos de 6 minutos?
f. ¿Cuál será la probabilidad de que dado que es una pieza de tipo 3, su tiempo de proceso no sea considerado en problema?
6. Una Empresa produce artículos, en sus cuatro plantas, los cuales son referenciados según el nivel de la calidad, en muy baja, baja, aceptable y alta. Se toma una muestra de 200 días y se obtienen los siguientes resultados:
Tabla 1. Distribución de la calidad de los artículos producidos en 200 días, según la planta que lo produce. NIVEL
CALIDAD
PLANTAS SUBTOTAL
PLANTA 1 PLANTA 2 PLANTA 3 PLANTA 4
Muy Bajo 10 10 40 20 80
Bajo 5 15 30 10 60
Aceptable 3 7 10 15 35
Alto 2 3 10 10 25
SUBTOTAL 20 35 90 55 200
Con base en la información anterior:
Para hacer una planeación adecuada del plan de trabajo, los administradores requieren conocer información de Los productos que fabrican en sus plantas, para lo cual necesitan hacer las siguientes averiguaciones:
a. Saber que es más probable de encontrar en la información, artículos que presenten un nivel muy bajo o bajo de calidad, dado que son producidos en la planta 3 o 4, ó encontrar artículos que presenten un nivel muy bajo o bajo de calidad, sean producidos en la planta 1 o 2.
b. Saber que es menos probable de encontrar en la producción, artículos que presenten un nivel de calidad alto o aceptable, dado que son producidos por la planta 4 ó la planta 1, que encontrar artículos que dado que tiene un nivel de calidad alto o aceptable, sean producidos por la planta 2 o la planta 3.
c. Saber que es más probable de encontrar en la producción, artículos que sean producidos en la planta 3 o en la planta 4, ó artículos que sean producidos en la planta 1 o en la planta 2.
