Multiplicity along embedded schemes and differential operators

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UNIVERSIDAD AUTONOMA

Multiplicity along embedded schemes

and differential operators

Carlos Abad Reigadas

Advisor

Orlando E. Villamayor Uriburu

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A Marta, porque hoy es su cumplea˜nos. ¡Felicidades!

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Soy una jarra llena de agua viva y agua muerta, basta que me incline un poco para que me rebosen los más bellos pensamientos, soy culto a pesar de m´ı mismo y ya no sé qué ideas son m´ıas, surgidas propia-mente de m´ı, y cuáles he adquirido leyendo, y es que durante estos treinta y cinco años me he amalgamado con el mundo que me rodea porque yo, cuando leo, de hecho no leo, sino que tomo una frase bella en el pico y la chupo como un caramelo, la sorbo como una copita de licor, la saboreo hasta que, como el alcohol, se disuelve en m´ı, la saboreo durante tanto tiempo que acaba no sólo penetrando mi cerebro y mi corazón, sino que circula por mis venas hasta las ra´ıces mismas de los vasos sangu´ıneos.

Bohumil Hrabal,Una soledad demasiado ruidosa. Traducci´on del checo: Monika Zgustova.

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Agradecimientos

Han pasado cinco años largos desde que me embarqué en esta aventura llamada doctorado, cuyo resultado son las más de cien páginas que podéis encontrar a continuación. Ahora la aventura toca a su fin y el mérito de que lo haga no es solo m´ıo. A lo largo de este camino he contado con la ayuda y la compañ´ıa de muchas personas que me han hecho crecer, no solo académica, sino también per-sonalmente. Y que no solo me han hecho crecer, sino que también me han hecho disfrutar. Las siguientes l´ıneas son solo una pequeña muestra de mi profunda gratitud hacia todas esas personas.

Quisiera empezar dándole las gracias a Orlando por toda su dedicación a lo largo de estos años. Por las horas de pizarra. Por compartir conmigo su parti-cular visión de las matemáticas. Por introducirme en el mundo de la geometr´ıa algebraica y de las singularidades. Pero también por su apoyo. Por su paciencia y su compresión. Por el afecto que me ha mostrado siempre que lo he necesitado. Por todo ello, muchas gracias, Orlando.

Gracias también a mi familia singular, que lo es en todas las acepciones de la palabra. En especial, gracias a mis treshermanasmatemáticas mayores. A Mari Luz, por su afecto, sus consejos y su compañ´ıa durante tantas horas de despacho. A Ana, por recibirme siempre con una sonrisa y palabras de aliento. Y a Angélica, que siempre ha sabido escucharme y aconsejarme con atino. Y gracias a Bea, con quien tantos congresos y seminarios he compartido, por todos los cafés y todas las conversaciones matemáticas y, sobre todo, por las no matemáticas.

Escribir una tesis no habr´ıa sido lo mismo sin ese grupo de gente del que he tenido la fortuna de estar rodeado en mi d´ıa a d´ıa. Gracias a mis compañeros de la UAM, esos a los que no les basta con comer juntos de lunes a viernes, esos que llega el fin de semana y se juntan para salir a cenar, para ir a un concierto, para ver una peli o simplemente para pasar la tarde. Gracias a mis primeros compañeros de despacho, con quienes compart´ı destierro en el 103, David, Juan, Mar´ıa y Felipe. A quienes me acompañaron después en el 513, Mari Luz, David y Sebastián. A Marta, que les tomó el relevo, y a Diego, preventivamente. A mis tertulianos favoritos, Adri, Javi y Jose. A mis músicos de confianza, Iason,

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Mart´ı y Sera. A Irina y Marcos y a su gato, Lenin. A los nuevos moradores del 103, Bea, Raquel y Dani. A Leyter, nuestro experto en ceviches. A Jaime, que se apunta a un bombardeo. A Nikita, el nuevo yo en Fuencarral. Gracias también a mis compañeros del ICMAT. A Tania, coorganizadora de seminarios. A Miguel, a quien agradezco su insistencia en sacarme de cañas a pesar de mis reiteradas negativas. A Sonja y a Álvaro, compañeros habituales en estas correr´ıas. Y gracias a todos los que me dejo, que seguro que son muchos.

Gracias a Diego, Dani, Mar´ıa y Joaqu´ın, mis compa˜neros de piso, por estos a˜nos repletos de buenos recuerdos. Gracias por las cenas, por los viajes, por los

buuuu!... Por las fugas, accidentes varios y tantas otras an´ecdotas que me llevo. Gracias a Dani por estar ah´ı cada vez que lo necesito. A los cuatro, muchas gracias.

Me gustar´ıa dedicarles unas palabras a otras tres personas que, a pesar de vivir a varios kilómetros, a veces incluso miles, también han permanecido muy cerca a lo largo de estos años. A mi amigo Pablo, que me acompaña desde aquel verano en que nos conocimos a orillas del Navia, gracias por esperarme puntualmente cada vez que vuelvo a Santander y por los largos paseos en los que nos ponemos al d´ıa. A David, el Soriano, compañero en Umbralejo, vecino en el Juan Luis Vives, compañero de nuevo en la EPS... gracias por contagiarme tu afición por la informática y, ante todo, por las infinitas horas que pasamos juntos. Y a mi Lauri, que siempre se acuerda de escribirme allá donde esté, gracias por todos esos cafés, escasos pero imprescindibles, en los que intercambiamos batallas y compartimos inquietudes.

No todas las personas importantes han estado conmigo desde el principio. A ti, Carlota, te conozco desde hace apenas unos meses y, sin embargo, aqu´ı est´as. Gracias por este tiempo. Por escuchar mis tonter´ıas y por hacerme re´ır con las tuyas. Gracias por apoyarme y gracias por ilusionarme.

Quisiera terminar agradeciendo a mis padres y a mi hermana el cari˜no y el apoyo que siempre me han brindado. Gracias por estar al otro lado del tel´efono cada vez que os llamo. Gracias por cada puente, cada navidad y cada verano. Gracias, en definitiva, por todos los buenos ratos que pasamos juntos.

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Resumen

SeaX un esquema equidimensional excelente definido por ciertas ecuaciones en un medio ambiente regular V. La multiplicidad a lo largo de los puntos de X

define una funci´on semicontinua superiormente, digamos multX : X → N, que

nos da una medida de la complejidad de las singularidades de X. Por ejemplo,

X es regular en un punto ξ si y solo si multX(ξ) = 1. La funci´on multiplicidad induce una estratificaci´on deX en conjuntos localmente cerrados. Cada uno de estos conjuntos puede ser descrito localmente como los ceros de un ideal sobre

V. A lo largo de este trabajo, buscaremos condiciones en el espacio ambiente V

bajo las cuales podamos emplear operadores diferenciales de manera efectiva en la construcci´on de dichos ideales.

Desde el punto de vista de la resoluci´on de singularidades, es importante comprender el comportamiento de la multiplicidad por explosiones. Recordemos que, siX es reducido, una secuencia de explosiones

Xoo X1 oo · · ·oo Xm

define una resolución de singularidades de X si Xm es regular. Es decir, si la multiplicidad es constante e igual a 1 en los puntos de Xm. Denotemos por máx multX al lugar de máxima multiplicidad de X. Un resultado de Dade nos dice que, siX←X1es una explosión deXa lo largo de un centro cerrado, regular

y equimúltiple, entonces máx multX ≥máx multX1. De esta forma, el problema

de resolución de singularidades se puede reducir al problema de reducción de la multiplicidad máxima de X. Para ser precisos, se trata de encontrar una secuencia de explosiones a lo largo centros cerrados, regulares y equimúltiples, digamos

X oo X1oo · · ·oo Xr, (1) tal que máx multX > máx multXr. Este problema está resuelto en el caso en

que X es una variedad sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero, pero permanece abierto en el caso de caracter´ıstica positiva.

Fijemos una inmersión de X en un medio ambiente V como anteriormente. Bajo ciertas hipótesis, podemos encontrar un álgebra de Rees G sobre V que

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describa el estrato de multiplicidad máxima deX, incluso después de considerar explosiones. En el caso de que exista un álgebra G con tal propiedad, se pue-de reformular el problema pue-de reducción de la multiplicidad máxima de X en términos de álgebras de Rees. Concretamente, en el caso de caracter´ıstica cero, podemos usarG para construir una secuencia de explosiones como la de (1) tal que máx multX >máx multXr. En principio, el resultado de este proceso podr´ıa

depender de la elección deG, ya que distintas álgebras podr´ıan inducir diferentes secuencias de explosiones sobre V. Para solventar este problema, nosotros ele-giremos un representante canónico de entre toda la familia de álgebras de Rees sobre V que describen el lugar de multiplicidad máxima deX.

Para que el procedimiento que acabamos de describir funcione, es necesario que existansuficientesoperadores diferenciales sobreV. Por ejemplo, esta condi-ción se cumple cuandoV es una variedad regular sobre un cuerpo perfecto. A lo largo de este trabajo estudiaremos condiciones sobre el espacio ambienteV que garanticen el funcionamiento efectivo del procedimiento anterior. En el caso de caracter´ıstica cero, requeriremos que la condición jacobiana débil se satisfaga en

V mientras que, en el caso de caracter´ıstica positiva, requeriremos la existencia de ciertas p-bases.

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Introducci´

on

Seaf(x) un polinomio en una variable sobreC. La multiplicidad de una ra´ız de

f(x) se puede calcular evaluando las derivadas def(x). Concretamente, una ra´ız

ade f(x) tiene multiplicidad mayor o igual quensi y solo si las primerasn−1 derivadas def(x) se anulan enx=a. Es decir, si _∂x∂ifi(a) = 0 parai= 1, . . . , n−1.

Este m´etodo funciona para cualquier polinomio definido sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero. Sin embargo, falla en caracter´ıstica positiva. Por ejemplo, consideremos un n´umero primo p > 0 y el polinomio g(x) = xp2 −xp ∈ Fp[x]. En este caso, ∂g_∂x(x) = 0 y, por tanto, las derivadas de g(x) no nos sirven para calcular la multiplicidad de sus ra´ıces.

Desde el punto de vista de la geometr´ıa algebraica, los puntos regulares de un esquema se asemejan a las ra´ıces simples de un polinomio, mientras que los puntos singulares se asemejan a ra´ıces múltiples. Además, a cada punto singular de un esquema le podemos asociar un número entero conocido como la multi-plicidad. Nuestro propósito es usar operadores diferenciales para clasificar las singularidades de un esquema y analizar la estratificación definida por la mul-tiplicidad. Dicho de otra forma, buscamos condiciones bajo las cuales podamos aplicar los métodos anal´ıticos de manera efectiva al estudio de las singularidades de un esquema.

Contexto y motivaci´

on

El caso m´as sencillo en el que nos encontramos una situaci´on como la anterior surge cuando consideramos el espacio af´ın sobre un cuerpo k. Un polinomio f

en dvariables sobre kdefine una hipersuperficie

H = Spec(k[x1, . . . , xd]/hfi)⊂Adk.

Fijemos un punto racionalζ ∈H con coordenadas (a1, . . . , ad). Consideremos el desarrollo natural de Taylor del polinomio f en ζ, digamos

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Dado queζ ∈H, el término de grado cero de ˜f será cero. Además,Hserá regular enζ si y solo si ˜f contiene un elemento no nulo de grado uno, lo cual ocurrirá si y solo si _∂x∂f

i(ζ)6= 0 para alg´un i= 1, . . . , d.

Cuando kes un cuerpo perfecto, el criterio anterior funciona para todos los puntos deH, incluyendo aquellos que no son racionales ni cerrados. As´ı,

Sing(H) =V f, ∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xd .

Sin embargo, esta descripci´on del lugar singular deH falla cuandok no es per-fecto.

Ejemplo. Consideremos el cuerpo k = Fp(t), en donde Fp representa el cuerpo primo de caracter´ıstica p > 0 y t es un elemento trascendente. Sea Y la curva plana definida por el polinomiog=xp₁+txp₂. Es decir,

Y = Spec(k[x1, x2]/hgi)⊂A2k.

La curvaY es regular en todo punto salvo en el origen y, sin embargo,

∂g ∂x1

= ∂g

∂x2

= 0.

As´ı pues, las derivadas parciales de gse anulan en todos los puntos de Y, inclu-yendo los regulares.

A pesar de todo, cuandokno es perfecto, podemos obtener m´as informaci´on utilizando las derivadas absolutas de k[x1, x2]. Estas son derivadas relativas a

Fp, en contraposici´on a las derivadas relativas ak. Por ejemplo, en el caso ante-rior, usando la derivada parcial _∂t∂ obtenemos la siguiente descripci´on del lugar singular de Y: Sing(Y) =V g, ∂g ∂x1 , ∂g ∂x2 ,∂g ∂t =V xp1, x p 2 .

El hecho de que en este caso las derivadas absolutas nos permitan obtener una descripción del lugar singular de Y no es casual, sino se debe a un criterio jaco-biano más general del que nos ocuparemos más adelante (véase el Lema 5.4.1).

Estratificaci´on de hipersuperficies

Hasta ahora hemos clasificado los puntos de una hipersuperficie en regulares y no regulares. En general, esta clasificaci´on resulta demasiado basta, por lo que ser´ıa deseable tener un refinamiento apropiado de la misma. Sea V = Spec(S) un esquema af´ın regular y consideremos una hipersuperficie H definida por un elemento f ∈S. Es decir,

H = Spec(S/hfi)⊂V.

En este caso, el orden de f en puntos de V induce un refinamiento natural del lugar singular de H.

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Contexto y motivaci´on

Fijemos un punto ξ ∈V y denotemos por Mξ al ideal maximal de OV,ξ. El orden def enξ se define como

νξ(f) = sup{n∈N|f ∈Mnξ}.

A continuaci´on, consideremos los conjuntos de la forma

{ξ ∈V |νξ(f)≥n}. (1)

Estos conjuntos poseen ciertas propiedades geom´etricas relacionadas conH. Por ejemplo, paran= 1 tenemos que

H={ξ∈V |νξ(f)≥1}

y, para n= 2,

Sing(H) ={ξ ∈V |νξ(f)≥2}.

Cuando V es excelente, el estrato (1) resulta ser cerrado enV para todon≥0. Uno de nuestros objetivos es encontrar idealesIn⊂S,n∈N, tales que

V(In) ={ξ∈V |νξ(f)≥n}.

Veremos que estos ideales se pueden construir como extensiones dehfiaplicando operadores diferenciales al elemento f.

Ejemplo. Seaf un polinomio en dvariables sobre un cuerpo k y consideremos la hipersuperficie

H = Spec(k[x1, . . . , xd]/hfi)⊂Adk. Cuando kes perfecto, el criterio jacobiano nos dice que

Sing(H) =nξ ∈_Ad k|νξ(f)≥2 o =V f, ∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xd .

Ejemplo. Supongamos que k es un cuerpo de caracter´ıstica cero y fijemos f ∈

k[x1, . . . , xd] como en el ejemplo anterior. Para cada α= (α1, . . . , αd)∈Nd, sea

|α|=α1+· · ·+αd, y ∂αf ∂xα = ∂α1+···+αd_f ∂xα1 1 · · ·∂x αd d .

Fijemos un punto racional ζ ∈ _Ad

k. Atendiendo al desarrollo de Taylor de f en

ζ, podemos ver que νζ(f) ≥ n si y solo si ∂

α_f

∂xα(ζ) = 0 para todo α ∈ Nd con

|α| < n. Adem´as, cuando k es de caracter´ıstica cero, se puede probar que este criterio funciona para todo puntoξ ∈_Ad

k y que, por tanto,

n ξ∈Adk |νξ(f)≥n o =V ∂α_f ∂xα |α∈N d_,_|_α_|_{< n} para cadan∈_N.

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En los ejemplos anteriores hemos descrito la estratificación definida por el orden de f mediante ciertos ideales. Para construir estos ideales, hemos utili-zado derivadas y composiciones de derivadas. En general, este método falla en caracter´ıstica positiva. Para sortear esta dificultad, tendremos que recurrir a ope-radores diferenciales de orden superior que, en caracter´ıstica positiva, no tienen por qué provenir de composiciones de derivadas.

Lema(cf. [17, Cap. III, Lema 1.2.7]). Seakun cuerpo arbitrario y consideremos el anillo de polinomios S =k[x1, . . . , xd]. Denotemos por Diffn−1(S) al m´odulo

de operadores diferenciales de orden a lo sumon−1 deS sobre el cuerpo primo de k (o, equivalentemente, sobre Z). Entonces, para cualquier f ∈S,

n ξ ∈Adk|νξ(f)≥n o =V D ∆(f)|∆∈Diffn−1(S)E.

Nuestro objetivo es encontrar un clase m´as amplia de anillos en la cual poda-mos utilizar operadores diferenciales para para estratificar el lugar singular de un esquema. Para ello, seguiremos dos enfoques, dependiendo de la caracter´ıstica.

• Caracter´ıstica cero. Supongamos queS es un anillo regular definido sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero. Diremos queS satisface la condici´on ja-cobiana d´ebil si para cada primo p ⊂ S, tomando d= dim(Sp), podemos

encontrar elementos y1, . . . , yd ∈ p y derivadas δ1, . . . , δd ∈ Der(S) tales que la matriz δi(yj)

tenga determinante no nulo módulop. En el Cap´ıtu-lo 5 mostraremos que, bajo estas hipótesis, dado f ∈S, podemos describir los conjuntos de la forma (1) como ceros de ideales que construiremos apli-cando derivadas af (véase la Proposición 5.4.3).

• Caracter´ıstica positiva. Sea S un anillo regular sobre un cuerpo de carac-ter´ıstica p > 0 y supongamos que S admite una p-base sobre su cuerpo primo. Cuando estas condiciones se cumplan veremos que, dado f ∈ S, podemos describir los subconjuntos de la forma (1) como ceros de ciertos ideales que obtendremos aplicando operadores diferenciales a f (véase la Proposición 5.2.17 y la Proposición 5.4.7)

Las condiciones anteriores ser´an estudiadas en el Cap´ıtulo 5.

Multiplicidad en esquemas

Sea (R,M) un anillo local noetheriano de dimensión d. Para cada n > 0, el cociente R/Mn es un anillo artiniano que, por tanto, tiene longitud finita visto como R-módulo. Denotemos por `(R/Mn) a esta longitud. Es bien sabido que existe un polinomio de gradodcon coeficientes racionales, digamosP(x)∈_Q[x], tal que`(R/Mn_{) =}_P₍_n_{) para todo} _n_{suficientemente grande. Adem´}_{as, el} coefi-ciente principal de P(x) es de la forma _de_! para cierto e ∈ _N. A dicho número

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tiene multiplicidad 1. Un resultado de Nagata [27] nos dice que, si R es exce-lente y estrictamente equidimensional, entonces R es regular si y solo si tiene multiplicidad 1 (v´ease el Teorema B.0.14).

SeaX un esquema noetheriano excelente. La multiplicidad deXen un punto

ξse define como la multiplicidad del anillo localOX,ξ. De esta forma, podemos ver la multiplicidad a lo largo de los puntos deX como una funci´on multX :X →N.

En el caso de una hipersuperficie, digamos H = Spec(S/hfi), la multiplicidad de H en un punto ξ coincide con el orden de anulaci´on de f en ξ, es decir, multH(ξ) =νξ(f).

A continuaci´on, supongamos que X es un esquema equidimensional y exce-lente. El teorema de Nagata (Teorema B.0.14) nos dice que X es regular en un punto ξ si y solo si multX(ξ) = 1. Por tanto, tenemos que

Sing(X) ={ξ ∈X |multX(ξ)≥2}.

En general, la multiplicidad nos da una medida de la complejidad de las singula-ridades: cuando mayor es la multiplicidad en un punto, peor es la singularidad. Otro resultado de Nagata nos dice que, siξ y η son dos puntos de X tales que

ξ∈ {η}, entonces

multX(ξ)≥multX(η).

Dade probó que, bajo estas mismas hipótesis, la función multX : X → N es

semicontinua superiormente (v´ease [14] o [34, Observaci´on 6.13]). As´ı pues, la multiplicidad estratificaX en conjuntos cerrados de la forma

{ξ ∈X|multX(ξ)≥n}.

A lo largo del Cap´ıtulo 4 estudiaremos algunas propiedades naturales de esta estratificación. Prestaremos especial atención al estrato de máxima multiplicidad de X, al cual denotaremos por Max multX, y analizaremos su comportamiento por explosiones. Además, construiremos un objeto algebraico intr´ınsecamente asociado a Max multX que contiene información relevante sobre dicho estrato (véase el Teorema 4.4.4).

Conexi´on con el problema de resoluci´on de singularidades

Una resolución de singularidades de un esquema reducido e irreducibleXconsiste en un morfismo propio y birracional, digamos X ←X0, tal que X0 sea regular. El avance más sobresaliente en este problema se lo debemos a Hironaka, que en 1964 probó que cualquier variedad definida sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero admite una resolución de singularidades. Más concretamente, Hironaka demostró que, para cualquier variedad X definida sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero, existe una secuencia de explosiones a lo largo de centros cerrados normalmente planos, digamos

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tal que Xl es regular. La demostraci´on de Hironaka es puramente existencial y utiliza la funci´on de Hilbert-Samuel como invariante principal para encontrar los centros de las explosiones.

Retomando la funci´on multiplicidad, Dade prob´o en 1960 que, si X π1

←− X1

es una explosi´on de un esquema excelente equidimensional a lo largo de un centro regular y equim´ultiple, entonces multX1(ξ) ≤ multX(π1(ξ1)) para cada

ξ1 ∈X1 (v´ease [14]). Este resultado fue generalizado y simplificado m´as

adelan-te por Orbanz [29]. Observemos que, en particular, esadelan-te resultado implica que m´ax multX1 ≤ m´ax multX. Esto nos conduce de manera natural a la siguiente

pregunta: dado un esquema equidimensionalX, ¿existe una secuencia de explo-siones en centros regulares y equim´ultiples, digamos

Xoo X1 oo X2oo · · ·oo Xs, (2) tal que la m´axima multiplicidad deX decrezca? Es decir, tal que m´ax multXl<

máx multX. Esta cuestión fue ya planteada por Hironaka en su famoso art´ıculo de 1964 (véase [21, Cuestión D, p. 134]). En 2014, Villamayor resolvió este problema para el caso de esquemas equidimensionales de tipo finito sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero (véase [34]).

Supongamos que, dadoX en una cierta clase de esquemas, supi´esemos cons-truir una secuencia de explosiones como (2) tal que la m´axima multiplicidad de

X decreciese. Entonces, podr´ıamos obtener una resoluci´on de singularidades de

X iterando este procedimiento. En general, este proceso será diferente del pro-puesto por Hironaka, dado que solo pedimos que los centros de las explosiones sean equimúltiples, pero no requerimos que sean normalmente planos. En este trabajo nos centraremos en el proceso de simplificación de las singularidades de

Xbasado en la multiplicidad, extendiendo las t´ecnicas de [34] a un contexto m´as general.

A continuación, veamos algunas de las diferencias existentes entre el enfoque de Hironaka y el que utilizamos en esta memoria. Para empezar, la demostra-ción de Hironaka es puramente existencial. Por el contrario, nuestro enfoque es determinista: para refinar la multiplicidad, definiremos una serie de invariantes auxiliares que, en última instancia, determinarán los centros de las explosiones. Por otro lado, la demostración de Hironaka utiliza la función de Hilbert-Samuel como invariante principal. En contraposición, nosotros utilizaremos la estratificación definida por la multiplicidad. En el caso de hipersuperficies, ambas estratificaciones coinciden pero, en general, son distintas. Recordemos que la función de Hilbert-Samuel es un invariante que toma valores en el conjuntoNN,

mientras que la multiplicidad toma valores enN. En este sentido, la multiplicidad

resulta ser un invariante más geométrico e intuitivo que la función de Hilbert-Samuel.

También existen otras diferencias más profundas entre estos dos invariantes. Para refinar la estratificación definida por la función de Hilbert-Samuel, Hironaka considera inmersiones de X en un medio ambiente regular V. Por el contrario, el estudio de la multiplicidad ha estado históricamente más ligado a morfismos

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finitos de la forma X → V, en lugar de inmersiones. Por ejemplo, dada una variedad X sobre un cuerpo perfecto k, la multiplicidad en un puntoξ de X se puede expresar en términos de morfismos finitos de la formaX →V definidos en un entorno deξ (véase [10, Apéndice A, p. 185]). El empleo de morfismos finitos en el estudio de la multiplicidad se remonta incluso a los trabajos de Albanese (véase [3] o [25, Clase 1,§5]). En nuestro caso, la existencia de morfismos finitos apropiados de X en un esquema regular V va a ser clave para encontrar una buena descrpción del lugar de máxima multiplicidad deX.

´

Algebras de Rees

Sea X un esquema equidimensional y excelente inmerso como un subesquema cerrado en un medio ambiente regular V. Tal y como hemos indicado anterior-mente, la multiplicidad es una funci´on semicontinua superiormente que estratifica

X en conjuntos localmente cerrados. En particular, el estrato de máxima mul-tiplicidad es cerrado en X. Las álgebras de Rees son unos objetos algebraicos definidos sobre V que nos permiten describir el lugar de máxima multiplicidad de X como un subconjunto de V y, en última instancia, refinarlo.

Observación 1. Fijada una inmersión X ,→ V, hay más ejemplos de funciones semicontinuas en X cuyo estrato de máximo valor puede ser descrito mediante un álgebra de Rees sobre V. Por ejemplo, la función de Hilbert-Samuel define una función semicontinua superiormenteX. En la demostración de resolución de singularidades sobre cuerpos de caracter´ıstica cero de [15], dada una inmersión

X ,→V, las álgebras de Rees son utilizadas para describir el estrato máximo de la función de Hilbert-Samuel enX. Nosotros nos centraremos exclusivamente en el caso de la multiplicidad.

Observación 2. El papel que juegan las álgebras de Rees en este trabajo es análogo al que juegan los exponentes ideal´ısticos de Hironaka [22]. Además, existe una transcripción directa del lenguaje de álgebras de Rees al de exponentes ideal´ısticos y viceversa (véase [15]).

Sea V = Spec(S) un esquema af´ın. Un ´algebra de Rees sobre V es una S -´

algebraN-graduada y finita generada de la forma

G =Sf1WN1, . . . , frWNr

⊂S[W]. (3)

Cuando V es regular, se define ellugar singular1 del ´algebra G como

Sing_V(G) = r

\

i=1

{ξ ∈V |νξ(fi)≥Ni}.

Si, además,V es excelente, entonces Sing_V(G) resulta ser un subconjunto cerra-do de V (véase el Corolario B.0.18). Se puede comprobar que la definición de

1

No debemos confundir el lugar singular de un ´algebra de ReesGsobre un esquema regular

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Sing_V(G) no depende de la elecci´on de los generadores de G en (3) y que, por tanto, Sing_V(G) es un conjunto intr´ınsecamente asociado a G.

Un ágebra de Rees sobre un esquema arbitrarioV será un subhaz deO_V[W] cuya restricción a cualquier abierto af´ın de V sea un álgebra de Rees en el sentido de la definición anterior. El lugar singular de un álgebra de Rees sobre un esquema no af´ın se obtiene pegando los lugares singulares de las correspondientes ´

algebras afines.

A continuación, introduciremos una noción de transformación para álgebras de Rees. Dada un álgebra G sobre un esquema regular V, una transformación

G-permisible consistir´a en un cierto morfismo de esquemas regulares, digamos

V ←−ϕ1 V1, junto con una regla de transformaci´on de G que produzca un ´algebra

de Rees sobre V1, digamos G1. Al ´algebra G1 la llamaremos el transformado de

G porϕ1. Consideraremos dos tipos de transformaciones:

• Explosiones permisibles. En este caso, V ←−ϕ1 V1 es la explosi´on de V a

lo largo de un centro cerrado y regular contenido en Sing_V(G). Cuando

Y ⊂ Sing_V(G) sea un centro cerrado y regular, diremos que Y es G -permisible. Por el momento, para no complicar las cosas, omitiremos la regla de transformaci´on deG por explosiones.

• Morfismos lisos. Este tipo de transformaciones vienen dadas por un mor-fismo liso V ←−ϕ1 V1. En este caso, el transformado de G por ϕ1 se define

como elpull-back de G a V1. Es decir,G1 =ϕ∗1(G).

Diremos que una secuencia de transformaciones sobre V, digamos

G=G0 G1 G2 Gm V =V0 V1 ϕ1 o o oo ϕ2 _V₂ · · · o o _o_o ϕm _V_m_,

es unasecuencia G-permisible si cada ϕi es una transformaci´on Gi−1-permisible

y Gi es el transformado de Gi−1 por ϕi. Si, adem´as, todas las transformaciones anteriores son explosiones permisibles y Sing_V_m(G_m) = ∅, entonces diremos que la secuencia anterior es una resoluci´on de G.

Consideremos un esquema equidimensional X provisto de una inmersi´on

X ,→ V en un medio ambiente regular. Nuestro objetivo es encontrar un ´ alge-bra de Rees G sobre V que “describa” el lugar de máxima multiplicidad de X. Más concretamente, buscamos un álgebraG cuyo lugar singular coincida con el estrato de máxima multiplicidad deX. Es decir,

Max multX = SingV(G). (4)

Observemos que, si se cumple la igualdad anterior, entonces un centro cerrado y regular Y ⊂Sing_V(G) es un centro G-permisible y viceversa. De esta forma, para cualquier centroG-permisibleY tenemos un diagrama conmutativo

V oo BlY(V) X? O O BlY(X), ? O O o o

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donde las flechas verticales representan inmersiones cerradas. SeaX1= BlY(X),

V1 = BlY(V) y denotemos por G1 al transformado de G en V1. El teorema de

Dade [14] nos dice que

m´ax multX1 ≤m´ax multX.

En el caso de que se cumpla la igualdad en la expresi´on anterior, requeriremos que

Max multX1 = SingV1(G1).

En otras palabras, pediremos que la igualdad de (4) se preserve por explosiones permisibles siempre que la m´axima multiplicidad deX no decrezca.

Algo similar ocurre si consideramos morfismos lisos. Un morfismo lisoV ←V1

induce por cambio de base otro morfismo liso X←X1 y un diagrama

conmuta-tivo V oo V1 X? O O X1. ? O O o o

Denotemos por G1 al transformado de G por V ← V1. En este caso, tambi´en

requeriremos que Max multX1 = SingV1(G1).

Definición 3. Fijemos un inmersión X ,→ V como en la discusión anterior. Diremos que un álgebra de Rees G sobre V representa el estrato de máxima multiplicidad deX si se cumplen las siguientes tres condiciones:

i) Sing_V(G) = Max multX.

ii) Cualquier secuenciaG-permisible enV, digamos

G G₁ G₂ G_m

V oo V1oo V2 oo · · ·oo Vm,

induce una secuencia de explosiones a lo largo centros regulares equim´ ulti-ples y morfismos lisos en X, digamos

X oo X1 oo X2 oo · · ·oo Xm, tal que

máx multX = máx multX1 =· · ·= máx multXm−1 ≥máx multXm,

y viceversa. Adem´as, las secuencias anteriores se relacionan naturalmente por medio de un diagrama conmutativo

G G₁ G₂ G_m V oo V1 oo V2 oo · · ·oo Vm X? O O X1 o o ? O O X2 o o ? O O · · · o o oo _X?_m_. O O

(22)

iii) Para cualesquiera secuencias como las de ii), requerimos que Sing_V_i(Gi) = Max multXi

para i= 1, . . . , m−1, y

Sing_V_m(Gm) =∅ ⇐⇒ m´ax multXm <m´ax multX.

Además, si máx multXm = máx multX, entonces pedimos que SingVm(Gm) =

Max multXm.

Observación 4. Fijada una inmersión de un esquema equidimensional X en un medio ambiente regular V, la existencia un álgebraG sobre V que represente el lugar de máxima multiplicidad deX no está garantizada.

En el caso particular en que X es una variedad definida sobre un cuerpo perfectok, existe un procedimiento para construir (localmente en topolog´ıa étale) una inmersión cerrada deXen una variedad regular, digamosX ,→V, junto con un álgebra de ReesG sobreV que representa el estrato de máxima multiplicidad de X (véase [34, §7]). Además, para el caso en que k es de caracter´ıstica cero, existe un algoritmo de resolución de álgebras de Rees (véase [15]) que nos permite construir una secuencia de explosionesG-permisibles enV, digamos

G G1 G2 Gm V V1 π1 o o oo π2 _V₂ · · · o o oo πm _V_m_,

tal que Sing_V_m(Gm) =∅. Por las condiciones impuestas aG, esta secuencia induce una secuencia de explosiones a lo largo de centros regulares equim´ultiples en X, digamos

Xoo X1 oo X2oo · · ·oo Xm, (5) tal que

m´ax multXm <m´ax multX.

Si m´ax multXm = 1, entonces (5) es una resoluci´on de singularidades deX. En

caso contrario, podemos obtener una resoluci´on deX iterando repetidamente el proceso anterior.

Observación 5. Dado un un esquema equidimensionalX, existe una noción al-ternativa de representación del lugar de máxima multiplicidad de X que utiliza morfismos finitos en lugar de inmersiones. Más concretamente, en algunos casos es posible construir un morfismo finito deX en un esquema regular V, digamos

β :X → V, junto con un ´algebra de Rees G sobre V, de tal forma que β env´ıe Max multX de manera homeomorfa a su imagen enV y

β(Max multX) = SingV(G).

Además, β se puede construir de tal forma que la igualdad anterior se preserve por explosiones y secuencias permisibles (formularemos esta propiedad de ma-nera más precisa en el Lema 7.2.1). Cuando se den las condiciones anteriores diremos que G representa el estrato de máxima multiplicidad de X a través de β : X → V. Esta noción alternativa de representación a través de morfismos finitos será tratada con más detalle en el Cap´ıtulo 7.

(23)

Representantes can´onicos

SeaXun esquema equidimensional singular inmerso en un medio ambiente regu-larV. En la discusión anterior hemos introducido el concepto de representación del lugar de máxima multiplicidad deX por un álgebra de ReesG sobre V. Sin embargo, dada la inmersión X ,→ V, no hemos dicho cómo podemos construir una tal álgebraG. Además, puede ocurrir (y de hecho ocurre) que haya muchas ´

algebras sobreV con la propiedad de representar el estrato de máxima multipli-cidad de X. Esta observación nos conduce a la siguiente noción de equivalencia entre álgebras.

Definici´on 6. SeaV un esquema regular. Diremos que dos ´algebras de ReesGy

G0 _sobre _V _son_d´_{ebilmente equivalentes} _{si se cumplen las siguientes condiciones:} i) Sing_V(G) = Sing_V(G0).

ii) Cualquier secuenciaG-permisible sobreV, digamos

V oo V1oo V2 oo · · ·oo Vm, es una secuencia G0_{-permisible y viceversa.}

iii) Para cualquier secuencia sobreV como en el punto anterior y para cualquier

i= 1, . . . , mse ha de cumplir que

Sing_V_i(G_i) = Sing_V_i(G_i0),

en dondeGi yGi0 representan los transformados deG yG0 en Vi respectiva-mente.

Observemos que la equivalencia débil es una relación de equivalencia en el con-junto de álgebras de Rees sobreV. De ahora en adelante denotaremos a la clase de equivalencia de un álgebraG porCV(G).

Observaci´on7. Fijemos una inmersi´onX ,→V y supongamos queGyG0son dos

O_V-´algebras que representan el lugar de m´axima multiplicidad deX. Entonces,

Sing_V(G) = Max multX = SingV(G0).

Además, por las condiciones impuestas aGyG0, sabemos que la igualdad anterior se preserva por secuencias permisibles sobreV (en el sentido de la Definición 3, p. xxi). De esta forma, tenemos queG yG0 _{son d´}_{ebilmente equivalentes.} Rec´ıpro-camente, siG es un álgebra que representa el lugar de máxima multiplicidad de

X y G0 es débilmente equivalenteG, entoncesG0 también representa el lugar de máxima multiplicidad deX.

Consideremos una variedadXdefinida sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero provista de una inmersión en una variedad regular, digamosX ,→V. Bajo estas hipótesis, existe un método para construir un álgebra de Rees G sobre V que representa el lugar de máxima multiplicidad deX. Además, tal y como se indica

(24)

en la página xxii, existe un algoritmo de resolución de álgebras sobre cuerpos de caracter´ıstica cero que, dadaG, produce una secuencia de explosiones en centros permisibles sobreV, digamos

G G₁ G₂ G_m V V1 π1 o o oo π2 _V₂ · · · o o oo πm _V_m_,

tal que Sing_V_m(G_m) = ∅. Entonces, por las condiciones impuestas a G, esta secuencia induce una secuencia de explosiones en centros regulares equim´ultiples sobre X, digamos

Xoo X1 oo X2oo · · ·oo Xm,

tal que máx multXm <máx multX. Es decir, que induce un proceso de reducción

de la máxima multiplicidad de X. Una propiedad importante del algoritmo de resolución de álgebras que acabamos de mencionar es que, si dos álgebras G y

G0 son d´ebilmente equivalentes, entonces la secuencia de explosiones sobre V

inducida usando tantoG como G0 _{es la misma, digamos}

G0 G₁0 G₂0 G_m0 G G₁ G₂ G_m V V1 π1 o o oo π2 _V₂ · · · o o oo πm _V_m_.

En otras palabras, el resultado que produce el algoritmo de resolución de álgebras depende de la clase de equivalencia deG, digamosCV(G), pero no de la elección de ningún representante en particular de dicha clase. Esta propiedad resulta fundamental a la hora de probar que la resolución de singularidades inducida en

X es intr´ınseca e independiente incluso de la inmersi´on deX en V.

Consideremos un esquema regular noetheriano V. En el Cap´ıtulo 6 probare-mos que, bajo ciertas hipótesis adicionales, es posible encontrar un representante canónico para cada clase de equivalenciaC de álgebras de Rees sobreV, digamos

G∗, de forma queC =CV(G∗). Esta propiedad resulta de gran utilidad a la hora de globalizar argumentos locales del proceso de resoluci´on de singularidades.

Resultados principales

La multiplicidad a lo largo de los puntos de un esquema inmerso define una estratificación en conjuntos localmente cerrados. En este trabajo presentaremos condiciones bajo las cuales podamos usar de manera efectiva operadores diferen-ciales para encontrar una descripción esta estratificación.

Nuestros resultados se pueden clasificar en cuatro grandes bloques que deta-llaremos a continuaci´on:

• Estratificaci´on definida por la multiplicidad.

(25)

Resultados principales

• Representantes can´onicos.

• Simplificaci´on de puntos de multiplicidadn.

Estratificaci´on definida por la multiplicidad

Este primer bloque, correspondiente al Cap´ıtulo 4, está dedicado al estudio de la estratificación definida por la multiplicidad en esquemas excelentes y equidi-mensionales. Los resultados de este bloque están publicados en [1].

Consideremos un esquema X excelente y equidimensional. Dade [14] de-mostr´o que la multiplicidad define una funci´on semicontinua superiormente en

X, digamos multX : X → N. Al principio del Cap´ıtulo 4 damos una prueba

alternativa de este teorema para el caso en el que X es un esquema equidi-mensional de tipo finito sobre un cuerpo perfecto k (v´ease la demostraci´on del Teorema 4.2.6 y el Corolario 4.2.8).

Dado un esquemaXexcelente y equidimensional, comenzaremos discutiendo cierta compatibilidad entre la estratificaci´on definida por la multiplicidad enXy en el correspondiente esquema reducido, al cual denotamos porXred. Recordemos

X y Xred, vistos como espacios topol´ogicos, son homeomorfos. Asimismo, Xred

est´a provisto de una inmersi´on cerrada de esquemas en X, digamos Xred ,→ X.

El Lema 4.3.2 nos dice que la estratificaci´on inducida por la multiplicidad en ambos esquemas es localmente la misma. En particular, esto implica que Xred

es regular si y solo si X es una unión disjunta de componentes irreducibles con multiplicidad constante. Además, veremos que los procesos de simplificación de la multiplicidad deXyXredson equivalentes en cierto sentido: cualquier secuencia

de explosiones a lo largo de centros regulares equim´ultiples enX, digamos

Xoo X1 oo X2oo · · ·oo Xm,

induce una secuencia de explosiones a lo largo de centros regulares equim´ultiples en Xred, digamos

Xredoo X10 oo X20 oo · · ·oo Xm0 , (6) y viceversa, de manera queX_i0 '(Xi)_redpara cadai= 1, . . . , m(véase la Propo-sición 4.3.8). En particular, la secuencia (6) es una resolución de singularidades de Xred si y solo si Xm es una unión disjunta de componentes irreducibles con multiplicidad constante.

En la última parte del Cap´ıtulo 4, dada una variedad irreducible X sobre un cuerpo perfecto k, construiremos un álgebra de Rees sobre X, digamos GX, canónicamente asociada al estrato de máxima multiplicidad deX (véase la De-finición 4.4.1 y el Teorema 4.4.4). Nótese queG_X es un álgebra de Rees definida sobre un esquema singular, en contraposición a aquellas álgebras definidas sobre esquemas regulares. Aun as´ı, este álgebra contiene información importante so-bre la multiplicidad enX. En este trabajo nos limitamos a definir el álgebraG_X

y a analizar algunas propiedades relacionadas con su construcción. Sin embar-go, posteriormente hemos seguido estudiando otras propiedades de este álgebra (véase [2]).

(26)

Condiciones diferenciales y multiplicidad en hipersuperficies

En el segundo bloque, correspondiente al Cap´ıtulo 5, introduciremos condiciones en un esquema regular que nos permitan aplicar de manera efectiva operadores diferenciales al estudio de la estratificaci´on definida por la multiplicidad en una hipersuperficie.

Consideremos un anillo regular S, un elemento no nulo f ∈ S y la hiper-superficie H = Spec(S/hfi) contenida en V = Spec(S). Recordemos que, para cada ξ ∈H, la multiplicidad de H en ξ coincide con el orden def en O_V,ξ. Es decir,

multH(ξ) =νξ(f)

(véase la Proposición A.0.14). Supongamos queS está definido sobre un cuerpo

k. En funci´on de la caracter´ıstica dek, requeriremos que S satisfaga una de las siguientes condiciones:

• Cuandoksea de caracter´ıstica cero, requeriremos queS satisfaga la condi-ci´on jacobiana d´ebil. Es decir, pediremos que, para cada ideal primoq⊂S

y para cada sistema regular de parámetros deSq, digamosx1, . . . , xd, exista una colección de derivadasδ1, . . . , δd∈Der(S) tales que la matriz cuadrada (δi(xj)) tenga determinante no nulo módulo q (véase la Definición 5.1.3 y el Lema 5.1.6).

• Si k tiene caracter´ıstica p > 0, entonces pediremos que S admita una p -base absoluta, es decir, una p-base sobre Fp (el cuerpo primo de k). El problema de existencia dep-bases absolutas será tratado en la Sección 5.2. Mostraremos que una k-álgebra reducida que admite una p-base absoluta es diferencialmente lisa sobre Fp (véase la Proposición 5.2.17 y el Coro-lario 5.2.19). También analizaremos la estabilidad de esta propiedad por extensiones de S (véase el Lema 5.2.8 y el Lema 5.3.10). Además, pro-baremos que toda variedad regular definida sobre un cuerpo arbitrario k

de caracter´ıstica p > 0 puede ser recubierta por cartas afines de la forma Spec(S), en donde S admite una p-base absoluta (Proposici´on 5.3.12). En la Secci´on 5.4 mostraremos que, siS satisface cualquiera de las dos condicio-nes anteriores, entonces, para cualquier elemento no nulof ∈S y para cualquier ideal primoq⊂S,

νq(f)≥n ⇐⇒ q⊂Diffn−1(S)(f),

en donde Diffn−1(S)(f) denota el ideal generado por todos los elementos de la forma ∆(f) con ∆ ∈ Diffn−1(S). El caso de caracter´ıstica cero se trata en la Proposici´on 5.4.3 y el Corolario 5.4.4, mientras que el de caracter´ıstica positiva se aborda en la Proposici´on 5.4.7.

Los resultados anteriores tienen dos consecuencias inmediatas. Por un lado, nos permiten describir los estratos definidos por la multiplicidad en una hiper-superficie contenida enV = Spec(S). Para ser precisos, dadof ∈S conf 6= 0 y

(27)

Resultados principales

tomandoH = Spec(S/hfi), tenemos que

{ξ ∈H |multH(ξ)≥n}=V Diffn−1(S)(f)

(v´ease el Corolario 5.4.5 y el Corolario 5.4.8). En segundo lugar, podemos des-cribir el lugar singular de un ´algebra de Rees G sobre S como un subconjunto cerrado deV: si G=Sf1WN1, . . . , frWNr , entonces Sing_V(G) = r \ i=1 V DiffNi−1(S)(fi) ⊂V

(v´ease el Corolario 5.4.6 y el Corolario 5.4.9).

Representantes can´onicos

Este bloque corresponde al Cap´ıtulo 6. SeaV un esquema regular noetheriano. Bajo ciertas condiciones en V, probaremos la existencia de un representante canónico para cada clase de álgebras de Rees débilmente equivalentes sobre V. Aqu´ı, por representante canónico de una clase de equivalencia C entendemos un álgebra de Rees sobre V, digamos G∗, tal que C = CV(G∗) y G ⊂ G∗ para todo G ∈C. En otras palabras, G∗ es el álgebra más grande de su clase. Para garantizar la existencia de un representante canónico para cada clase de álgebras sobreV, necesitaremos queV satisfaga ciertas condiciones adicionales: cuandoV

esté definido sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero, requeriremos queV satisfaga la condición jacobiana débil; siV está definido sobre un cuerpo de caracter´ıstica

p >0, entonces requeriremos la existencia de ciertasp-bases absolutas.

La existencia de representantes canónicos ya fue probada en [9, Teorema 3.11] para el caso en queV es una variedad regular sobre un cuerpo perfecto k. Noso-tros extendemos este resultado a una clase más amplia de esquemas. Merece la pena destacar que hay importantes diferencias entre la prueba que presentamos en este trabajo y la de [9], muchos de cuyos argumentos se basan en la estructura relativa deV sobre k. Este enfoque, que funciona bien en la clase de variedades regulares definidas sobre un cuerpo perfecto, se queda corto cuando tratamos con esquemas más generales. Otra diferencia es que, mientras en [9] los casos de caracter´ıstica cero y caracter´ıstica positiva se tratan simultáneamente, nosotros los trataremos por separado.

Sea C una clase de álgebras de Rees débilmente equivalentes sobreV. Para construir el representante canónico de C, digamos G∗ ∈ C, partiremos de un representante arbitrario G ∈C. Entonces, G∗ _{se obtendr´}_{a mediante un proceso} de saturación de G en dos pasos: primero saturamos G utilizando operadores diferenciales sobre V (aclararemos este paso más adelante) y luego tomamos la clausura entera del álgebra resultante (véase la Sección 3.5). Es importante men-cionar que el resultado de este procedimiento es independiente de la elección de

G. Esta propiedad se demuestra en el Teorema 6.4.3 para el caso de caracter´ıstica cero y en el Teorema 6.6.7 para el de caracter´ıstica positiva.

(28)

Una aplicaci´on: simplificaci´on de puntos de multiplicidad n

Este bloque está dedicado a la simplificación del lugar de máxima multiplicidad de un esquema equidimensional por medio de explosiones a lo largo de centros regulares y equimúltiples. Para ser precisos, sea X un esquema excelente equi-dimensional sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero con multiplicidad máxima n. Supongamos que X está provisto de un cierto morfismo finito en un esquema regular, digamos β : X → V. En el Cap´ıtulo 7 veremos que, bajo ciertas con-diciones adicionales en β, podemos encontrar una secuencia de explosiones a lo largo de centros cerrados, regulares y equimúltiples sobreX, digamos

Xoo X1 oo X2 oo · · ·oo Xl,

tal que la m´axima multiplicidad deXdecrezca. Es decir, tal que m´ax multXl< n.

Este resultado se conoc´ıa ya para el caso en que X es un esquema equidimen-sional de tipo finito sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero (v´ease [34]). Nosotros extendemos dicho resultado a una clase m´as general de esquemas (siempre defi-nidos sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero).

El resultado principal de este bloque es el Teorema 7.1.1. La demostración de este teorema, que presentamos a lo largo de las Secciones 7.2 y 7.3, sigue el guión de la prueba de [34] y [15]. Sin embargo, para adaptar los argumentos a nues-tras condiciones de partida (más generales que las de [34] y [15]), necesitaremos recurrir a las técnicas desarrolladas en los cap´ıtulos anteriores.

En la Sección 7.2 construiremos un álgebra de ReesGsobreV que represente el estrato de máxima multiplicidad de X a través del morfismo finito β (véase la Observación 5 en la p. xxii y el Lema 7.2.2). Este álgebra se puede construir localmente utilizando el procedimiento de [34] (véase el Lema 7.2.2). Para garan-tizar que todas estas construcciones locales son compatibles, requeriremos queV

satisfaga la condición jacobiana débil. Entonces, en virtud del Teorema 6.4.6, de-ducimos que existe un álgebra de Rees (globalmente definida) sobreV, digamos

G, que representa el lugar de máxima multiplicidad deX (véase el Lema 7.2.1). La segunda parte de la demostración del Teorema 7.1.1 consiste en probar que el algoritmo de resolución de álgebras de Rees puede ser aplicado en las con-diciones que nosotros planteamos. Recordemos que una resolución de un álgebra

G sobre un esquema regular V es una secuencia de explosiones G-permisibles, digamos G G₁ G₂ G_m V V1 π1 o o oo π2 _V₂ · · · o o oo πm _V_m_,

tal que Sing_V_m(G_m) = ∅. El algoritmo de [15] está formulado para el caso en que V es una variedad regular sobre un cuerpo k de caracter´ıstica cero. En la Sección 7.3 nosotros extendemos este procedimiento al caso en que V es un esquema regular arbitrario sobre un cuerpo de caracter´ıstica cero que satisface la condición jacobiana débil. La principal dificultad con al que nos encontramos al tratar de generalizar el algoritmo es la existencia de hipersuperficies de contacto maximal (veáse la Definición 7.3.3). Esta cuestión se resuelve en el Lema 7.3.5.

(29)

Summary

Let X be an equidimensional excellent scheme given by some equations in a regular ambient space V. The multiplicity along points ofX defines a function with values on the integers, say multX :X→N, which measures the complexity

of the singularities of X. For instance, X is regular at a point ξ if and only if multX(ξ) = 1. This function defines a stratification of X into locally closed sets. Each of these sets can be locally described as the zeros of an ideal over the ambient spaceV. In this work we give conditions onV that ensure that one can effectively use differential operators in the construction of such ideals.

From the point of view of resolution of singularities, it is important to analyze the behavior of the multiplicity under blow-ups. Recall that, if X is reduced, then a sequence of blow-ups

Xoo X1 oo · · ·oo Xm

defines a resolution of singularities of X ifXm is regular. That is, if the multi-plicity is constantly equal to 1 along points ofXm. Let us denote by max multX the maximum multiplicity ofX. A result of Dade says that, ifY ⊂X is a closed regular equimultiple center and X ← X1 represents the blow-up of X along Y,

then max multX ≥max multX1. Thus the problem of resolution of singularities

can be reduced to that of lowering the maximum multiplicity ofX. Namely, the aim is to find a sequence of blow-ups along closed regular equimultiple centers, say

X oo X1oo · · ·oo Xr, (1) so that max multX >max multXr. This problem has been solved for the case in

which X is a variety over a field of characteristic zero, but it remains open in the case of positive characteristic.

Fix an embedding of X in V as above. Under suitable conditions, it is possible to find a Rees algebraGoverV that describes the stratum of maximum multiplicity of X, even after blowing up. When such a G exists, the problem of lowering of the maximum multiplicity of X can be reformulated in terms of Rees algebras. More precisely, in the case of characteristic zero, the algebra G

(30)

can be used to construct a sequence like (1) where max multX >max multXr. In

principle, the outcome of this process depends on the choice of G, and different algebras could define different sequences of blow-ups on X. We will overcome this difficulty by constructing a canonical representative among the family of Rees algebras that describe the highest multiplicity locus ofX.

The methods discussed above rely on the existence of enough differential operators over the ambient space V. For instance, this requirement is known to be met when V is a regular variety over a perfect field. In this work we will also explore conditions on the regular ambient space V so as to ensure that the previous methods can be applied. In the case of characteristic zero we will show that the previous conditions hold whenV satisfies the weak Jacobian condition, whereas in positive characteristic we will impose on V the existence of suitable

(31)

Chapter 1

Introduction

Let f(x) be a polynomial in one variable over C. One can compute the

multi-plicity of a root off(x) by evaluating the derivatives off(x). Namely, a roota

has multiplicity greater than or equal tonif and only if the firstn−1 derivatives of f(x) vanish at x = a. That is, _∂x∂ifi(a) = 0 for i = 1, . . . , n−1. Moreover,

this method works for any polynomial defined over a field of characteristic zero. However, it fails in positive characteristic. For instance, let p > 0 be a prime number, and consider the polynomial g(x) =xp2 −xp ∈_Fp[x]. Here _∂x∂g(x) = 0, so the derivatives ofg(x) do not help to compute the multiplicity of its roots.

From the point of view of algebraic geometry, the regular points of a scheme resemble the simple roots of a polynomial, while singular points resemble multiple roots. In addition, one can attach an integer to each singular point of a scheme, called the multiplicity. Our aim is to use differential methods to classify the singularities of a scheme and the stratification induced by the multiplicity. In other words, we look for conditions under which one can effectively apply analytic methods to the study of singularities.

1.1 Context and motivation

The simplest case in which the previous discussion applies arises when we con-sider the affine space over a field k. Letf be a polynomial indvariables overk, which defines a hypersurface, say

H = Spec(k[x1, . . . , xd]/hfi)⊂Adk.

Fix a rational point ζ ∈ H. Assume that ζ has coordinates (a1, . . . , ad), and consider the natural Taylor expansion off atζ, say

(32)

Since ζ ∈ H, the term of degree zero of ˜f is zero. Moreover, H is regular at ζ

if and only if ˜f contains a non-zero term of degree one. An easy computation shows that the latter occurs if and only if _∂x∂f

i(ζ)6= 0 for some i= 1, . . . , d.

When kis a perfect field, the previous criterion works for all points ξ ∈H, including those points which are not rational, or closed. Thus

Sing(H) =V f, ∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xd .

However, this description of the singular locus fails whenk is non-perfect.

Example 1.1.1. Consider the field k = Fp(t), where Fp denotes the prime field of characteristicp >0, and trepresents a transcendental element. LetY be the plane curve defined by the polynomialg=xp₁+txp₂. That is,

Y = Spec(k[x1, x2]/hgi)⊂A2k.

It turns out thatY is regular everywhere, except at the origin. However,

∂g ∂x1

= ∂g

∂x2

= 0,

so the partial derivatives ofgvanish along all points ofY, including those which are regular.

Nevertheless, when dealing with a non-perfect field, more information can be obtained by using absolute derivatives onk[x1, x2]. These are derivatives relative

toFp, as opposed to those which are relative tok. For instance, using the partial derivative _∂t∂, we obtain a description of the singular locus ofY as follows:

Sing(Y) =V g, ∂g ∂x1 , ∂g ∂x2 ,∂g ∂t =V xp1, x p 2 .

The fact that absolute derivatives enable us to describe the singular locus of Y

is a consequence of a more general Jacobian criterion that we shall discuss in the following lines.

Stratification of hypersurfaces

So far we have classified the points of a hypersurface into regular, and singular. However, this classification is too coarse, and one would like to have further refinements. Assume again that H is a hypersurface embedded in a regular affine scheme V = Spec(S), defined by an element f ∈S. That is,

H = Spec(S/hfi)⊂V.

A natural refinement of the singular locus of H is that given by the order of f

at points of V.

Fix a point ξ ∈V, and let M_ξ denote the maximal ideal of O_V,ξ. The order of f atξ is defined by

(33)

1.1. Context and motivation

This notion enables us to consider subsets inV of the form

{ξ ∈V |νξ(f)≥n}, (1.1)

which have interesting geometric properties. For instance, observe that forn= 1 we have that

H ={ξ ∈V |νξ(f)≥1}, and for n= 2,

Sing(H) ={ξ ∈V |νξ(f)≥2}.

When V is excellent, the stratum (1.1) turns out to be closed for each n (see Corollary B.0.18). One of our objectives is to find ideals In⊂S so that

V(In) ={ξ∈V |νξ(f)≥n},

These ideals will be constructed as extensions of hfi by applying differential operators onf.

Example 1.1.2. Letf be a polynomial in dvariables over a fieldk, and consider the hypersurface

H = Spec(k[x1, . . . , xd]/hfi)⊂Adk. Ifk is a perfect field, then the Jacobian criterion applies, and

Sing(H) = n ξ ∈_Ad_k|νξ(f)≥2 o =V f, ∂f ∂x1 , . . . , ∂f ∂xd .

Example 1.1.3. Assume that k is a field of characteristic zero, and fix f ∈

k[x1, . . . , xd] as in the previous example. For α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd, set

|α|=α1+· · ·+αd, and ∂αf ∂xα = ∂α1+···+αd_f ∂xα1 1 · · ·∂x αd d .

Fix a rational point ζ ∈ Ad_k. Attending to the Taylor expansion of f atζ, one

readily checks that νζ(f) ≥ n if and only if ∂

α_f

∂xα(ζ) = 0 for all α ∈ Nd with

|α| < n. It can be proved that, when k is of characteristic zero, this criterion works for all pointsξ ∈_Ad

k, and hence n ξ∈_Ad k |νξ(f)≥n o =V ∂αf ∂xα |α∈N d_,_|_α_|_{< n} for all n∈_N.

In the previous examples, the stratification of the singular locus induced by the order off is described by certain ideals, which make use of derivatives, and composition of derivatives. This procedure fails in positive characteristic. In this case, it is necessary to use differential operators of higher order, which might not be composition of derivatives.

(34)

Lemma 1.1.4 (cf. [17, Ch. III, Lemma 1.2.7]). Let k be an arbitrary field, and consider the polynomial ring S = k[x1, . . . , xd]. Denote by Diffn−1(S) the

module of differential operators of order at most n−1 of S over the prime field

(or equivalently over Z). Then, for any f ∈S, we have that

n ξ ∈_Ad k|νξ(f)≥n o =V D ∆(f)|∆∈Diffn−1(S)E.

Our aim is to study a wider class of rings in which differential operators can be used to stratify the singularities of a scheme. We will follow two different approaches, depending on the characteristic.

• Characteristic zero. Assume that S is a regular ring defined over a field of characteristic zero. We will say that S satisfies the Weak Jacobian condition if for each prime idealp⊂S, settingd= dim(Sp), one can find

elements y1, . . . , yd ∈ p, and derivatives δ1, . . . , δd ∈ Der(S), so that the matrix δi(yj)

has non-zero determinant modulo p. We will show that, under such conditions, and given f ∈S, the closed subsets of (1.1) can be described by ideals obtained by applying derivatives, and compositions of derivatives tof (see Proposition 5.4.3).

• Positive characteristic. LetS be a regular ring over a field kof character-isticp >0, and assume thatSadmits ap-basis over the prime field. When these conditions hold we will show that, given f ∈ S, the closed subsets defined in (1.1) can be described by ideals obtained by applying differential operators onf (see Proposition 5.2.17, and Proposition 5.4.7).

Both conditions will be studied in Chapter 5.

Multiplicity on schemes

Let (R,M) be a noetherian local ring of dimension d. For each n > 0, the quotient ring R/Mn is artinian, and hence it has finite length when regarded as an R-module. Let `(R/Mn) denote this length. It is well known that there exists a polynomial with rational coefficients of degree d, say P(x) ∈ _Q[x], so that`(R/Mn) =P(n) for nlarge enough. Moreover, the principal coefficient of

P(x) is of the form _de_!, for some e∈_N. The number eis called the multiplicity

of R. If R is a regular local ring, then its multiplicity is 1. A theorem due to Nagata [27] asserts that, if R is a strictly equidimensional excellent local ring, thenR is regular if and only it has multiplicity 1 (see Theorem B.0.14).

Let X be a noetherian scheme. The multiplicity ofX at a point ξ is defined as that of the local ring OX,ξ. The multiplicity can be regarded as a function multX : X → N. In the case of a hypersurface, say H = Spec(S/hfi), the

multiplicity of H at a point ξ coincides with the order of vanishing of f at ξ, i.e., multH(ξ) =νξ(f).

Next assume that X is equidimensional and excellent. Then it follows from Nagata’s theorem (see Theorem B.0.14) that X is regular at ξ if and only if

(35)

multX(ξ) = 1, i.e.,

Sing(X) ={ξ ∈X |multX(ξ)≥2}.

In general, the multiplicity serves as a measure of the complexity of a singularity: the higher is the multiplicity ofXat a point, the worse is the singularity. Another result, also due to Nagata, asserts that ifξ, ηare two points ofXso thatξ ∈ {η}, then

multX(ξ)≥multX(η).

Furthermore, Dade proved that, under these hypotheses, multX : X → N is

upper semi-continuous (see [14], or [34, Remark 6.13]). Thus the multiplicity stratifies X into closed sets of the form

{ξ ∈X|multX(ξ)≥n}.

Along Chapter 4 we will study some natural properties of this stratification. We will draw particular attention to the stratum of maximum multiplicity of

X, which we shall denote by Max multX, and its behavior under blow-ups. Moreover, we will construct an intrinsic algebraic object attached to Max multX, that encodes important information about this stratum (see Theorem 4.4.4).

Connection with the problem of resolution of singularities

Given a reduced and irreducible scheme X, a resolution of singularities ofX is a proper and birational mapX ←X0 so thatX0 is regular. The most notorious result on this problem is due to Hironaka [21], who proved in 1964 that any variety over a field of characteristic zero admits a resolution of singularities. Namely he showed that for any variety X defined over a field of characteristic zero, there exists a sequence of blow-ups along closed normally flat centers, say

Xoo X1 oo X2 oo · · ·oo Xl,

so that Xl is regular. This proof was purely existential, and used the Hilbert-Samuel function as main invariant to find the centers of the blow-ups.

Going back to the multiplicity, Dade proved in 1960 that if X←−π1 X1 is the

blow-up of an equidimensional excellent scheme along a closed regular equimul-tiple center, then multX1(ξ)≤ multX(π1(ξ1)) for each ξ1 ∈X1 (see [14]). This

result was later generalized and simplified by Orbanz [29]. In particular, it en-sures that max multX1 ≤max multX. Attending to this property, the following

question arises naturally: given an equidimensional scheme X, can we find a sequence of blow-ups along closed regular equimultiple centers, say

Xoo X1 oo X2oo · · ·oo Xs, (1.2) so that the maximum multiplicity of X drops? That is, so that max multXl <

max multX. This question was already posed by Hironaka in his celebrated article [21, Question D, p. 134]. In 2014, Villamayor solved this problem for the

(36)

case of equidimensional schemes of finite type over a field of characteristic zero (see [34]).

Suppose that, for X in a certain class of schemes, one can find a sequence of blow-ups like (1.2), so that the maximum multiplicity ofX drops. In this case, a resolution of X can be achieved by iterating this process. In general, such method will differ from Hironaka’s approach, as the centers of the blow-ups are required to be equimultiple, but non-necessarily normally flat. In this work we will draw attention to the process of simplification of singularities based on the multiplicity, extending the techniques of [34] to a wider class of schemes.

Let us discuss some differences between Hironaka’s approach, and that sidered in this work. First, Hironaka’s proof is purely existential. On the con-trary, our method is deterministic: we will refine the stratification defined by the multiplicity with other invariants which ultimately enable us to determine the centers of the blow-ups.

On the other hand, Hironaka’s proof uses the Hilbert-Samuel function as main invariant. By contrast, we will use the stratification given by the multi-plicity. In the case of hypersurfaces, the stratifications defined by the multiplicity and the Hilbert-Samuel function coincide, but they differ in general. Recall that the Hilbert-Samuel function is an invariant that takes values in NN. An

advan-tage of the multiplicity is that it is more intuitive and geometrical.

There are also deeper differences between these invariants. In order to refine the stratification defined by the Hilbert-Samuel function on a varietyX, Hiron-aka considers embeddings of X into a regular ambient space, say X ,→ V. On the contrary, the study of the multiplicity is linked to finite morphismsX→V, rather than embeddings. For instance, for a varietyXdefined over a perfect field

k, the multiplicity at a point ξ can be expressed in terms of finite morphisms

X → V defined on a neighborhood of ξ (see [10, Appendix A, p. 185]). The use of finite morphisms to study the multiplicity also appears in the works of Albanese (see [3], or [25, Lect. 1,§5]). In our case, the existence of suitable finite morphism of X onto a regular schemeV will be essential to find a description of the maximum multiplicity stratum of X.

Rees algebras

LetX be an equidimensional excellent scheme embedded as a closed subscheme in a regular ambient spaceV. As we have indicated, the multiplicity is an upper semi-continuous function which therefore stratifiesX into locally closed sets. In particular, the stratum of maximum multiplicity is closed in X. Rees algebras are algebraic objects over V that enable to describe the stratum of maximum multiplicity ofX as a subset ofV, and ultimately to refine it.

Remark 1.1.5. Given an immersion X ,→ V, there are other examples of up-per semi-continuous functions on X whose stratum of maximum value can be described by a Rees algebra over V. For instance, the Hilbert-Samuel func-tion along points of X defines an upper semi-continuous function on X. In the proof of resolution of singularities over fields of characteristic zero of [15], given

(37)

a variety X ,→ V, Rees algebras are used to describe the maximum Hilbert-Samuel stratum of X. Here we shall just focus on the case in which the upper semi-continuous function is the multiplicity.

Remark 1.1.6. In this work, the role of Rees algebras parallels that of the idealis-tic exponents introduced by Hironaka [22]. Moreover, there is a direct translation from the language of Rees algebras to that of idealistic exponents, and vice-versa (see [15]).

Let V = Spec(S) be an affine scheme. A Rees algebra overV, or simply an

O_V-Rees algebra, is a finitely generated N-gradedS-algebra

G =Sf1WN1, . . . , frWNr

⊂S[W]. (1.3)

When V is regular, we define thesingular locus1 ofG by Sing_V(G) =

r

\

i=1

{ξ ∈V |νξ(fi)≥Ni}.

IfV is excellent, then Sing_V(G) turns out to be a closed subset ofV (see Corol-lary B.0.18). It can be checked that the definition of Sing_V(G) does not depend on the choice of the generators in (1.3), and hence it is intrinsically attached to

G.

A Rees algebra over an arbitrary scheme V will be a subsheaf of O_V[W] which restricts to a Rees algebra as in the previous setting over any open affine subset of V. The singular locus of a Rees algebra over a non-affine scheme is obtained by patching the singular loci of the corresponding affine Rees algebras. We now define a notion of transformation of Rees algebras. Given a Rees algebraGover a regular schemeV, aG-permissible transformationwill consist of a certain map of regular schemesV ←−ϕ1 V1, together with a rule of transformation

of G, which produces an OV1-Rees algebra G1. The latter will be called the

transform of G via ϕ1. There are two types of transformations:

• Permissible blow-ups. In this case, V ←−ϕ1 V1 is the blow-up of V along

a closed regular center contained in Sing_V(G). A closed regular center

Y ⊂ Sing_V(G) is called a G-permissible center. For clarity, we omit the rule of transformation of G under permissible blow-ups for the moment.

• Smooth morphisms. This type of transformations are given by a smooth morphism V ←−ϕ1 V1, and the transform ofG is defined as the pull-back of

G toV1. That is,G1 =ϕ∗1(G).

A sequence of transformations, say

G=G0 G1 G2 Gm V =V0 V1 ϕ1 o o oo ϕ2 _V₂ · · · o o oo ϕm _V_m_, 1

The singular locus of a Rees algebra G over a regular schemeV should not be confused with the singular locus of a general schemeX, which consists of the non-regular points ofX.

Multiplicity along embedded schemes and differential operators

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