ANILLOS DE GRUPO SIMPLES Y SEMISIMPLES

(1)

UNIVERSIDAD AUT ´

ONOMA DE SAN LUIS POTOS´I

FACULTAD DE CIENCIAS

TESIS DE LICENCIATURA

ANILLOS DE GRUPO

SIMPLES Y SEMISIMPLES

ALUMNA:

Ma. Guadalupe S´

anchez L´

opez

ASESOR DE TESIS:

´

Alvaro P´

erez Raposo

(2)

(3)

´

_{Indice general}

Resumen V

1. Introducci´on 1

2. M´odulos y anillos 5

2.1. Elementos de la teor´ıa de m´odulos . . . 5 2.2. Anillos vistos como m´odulos . . . 12

3. Anillos de grupo semisimples 19

3.1. Grupo infinito . . . 20 3.2. Grupo finito . . . 21

4. Anillos de grupo simples 25

5. Conclusiones 27

(4)

(5)

Resumen

Este trabajo es sobre anillos de grupos. Un anillo de grupo es un objeto construido a partir de un anillo y un grupo. La estructura resultante es un anillo que, en particular, contiene al anillo y al grupo con los que se construyó. Uno de los objetivos de la teor´ıa de anillos es clasificar estos objetos. Puesto que los anillos más sencillos son los simples y, después, los semisimples, deseamos buscar los anillos de grupo que sean simples y semisimples.

En este trabajo de tesis se caracterizan completamente los anillos y los grupos tales que el anillo de grupo resultante es semisimple y, en particular, simple. Para ello se utilizan elementos de la teor´ıa de anillos, de la teor´ıa de grupos, as´ı como de la teor´ıa de m´odulos.

(6)

(7)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

Uno de los objetos matem´aticos en el que tanto la teor´ıa de anillos como la teor´ıa de grupos son protagonistas es el anillo de grupo. Los anillos de grupo se definen de la siguiente manera:

Definici´on 1.1. Dados un anilloA y un grupoG, definimos el conjunto

AG=

X

g∈G

agg|ag∈A, ag= 0excepto una cantidad f inita

y definimos las operaciones: Suma: X g∈G agg+ X g∈G bgg= X g∈G (ag+bg)g. Producto: X g∈G agg X h∈G bhh = X g,h∈G (agbh)gh.

El conjunto AG con sus dos operaciones es anillo, y se le llama anillo de grupo. ´Este ser´a nuestro objeto de estudio.

Es necesario resaltar que en la definici´on anterior no necesariamenteG de-be ser un grupo, sino solamente un semigrupo S, ya que con esto se cumple totalmente lo requerido para ser anillo. La asociatividad deSimplica la asocia-tividad del producto de AS. Por otro lado si se considera un monoideM y A

anillo con identidad, el anilloAM resultante es un anillo con identidad. Pero si, finalmente Ges grupo, en el anillo resultante AGtenemos queGes subgrupo de U(AG), el grupo de unidadesAG. Esto se puede ver por el homomorfismo inyectivo

φ: G −→ AG g 7−→ 1g,

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2 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON

donde 1 es el elemento identidad de A y todo elemento de φ(G) es unidad de

AG. Por lo anterior s´olo consideraremos anillos de grupo,AG, y el anilloAcon identidad.

Por ejemplo, el anillo de grupo Z2C2, dondeZ2 ={0,1} es el anillo de los

enteros m´odulo 2 yC2={1, a}, cona2= 1, es el grupo c´ıclico de orden 2.

Sus elementos est´an dados de la siguiente manera:

Z2C2 = {m1 +na|m, n∈Z2}

= {01 + 0a,11 + 0a,01 + 1a,11 + 1a}

= {0,1, a,1 +a}.

Las operaciones de suma y producto quedan del siguiente modo:

+ 0 1 a 1 +a 0 0 1 a 1 +a 1 1 0 1 +a a a a 1 +a 0 1 1 +a 1 +a a 1 0 ∗ 0 1 a 1 +a 0 0 0 0 0 1 0 1 a 1 +a a 0 a 1 1 +a 1 +a 0 1 +a 1 +a 0

En este ejemplo se puede observar trivialmente queC2=U(Z2C2).

Por otra parte el anillo A es subanillo de AG, dado por el homomorfismo inyectivo

ψ: A −→ AG a 7−→ a1

con 1 la identidad de G. Esto tambi´en se puede ver en el ejemplo anterior. Cuando el grupo es el grupo trivial, G = {1}, ψ es biyectivo por lo que es isomorfismo de anillos yA≈AG. Por tanto no consideraremos el grupo trivial. De lo anterior se tiene que dado un anilloAy un grupoG, se puede obtener un anillo y un grupo m´as grande que los ya dados por medio del anillo de grupo

AGgenerado por ambos.

La teor´ıa de anillos de grupo consiste, esencialmente, en estudiar las rela-ciones entre las propiedades del anillo de grupo AG y las propiedades de sus componentes, el anillo y el grupo. He aqu´ı un ejemplo sencillo.

Proposici´on 1.2. La caracter´ıstica del anillo de grupoAGcoincide con la del anilloA

(9)

3

Demostraci´on. Sea nla caracter´ıstica deAG, a=P

g∈Gagg. Entonces

na= 0.

Por otro lado tambi´en se tiene que

na = a+· · ·+a | {z } nveces = X g∈G agg+· · ·+ X g∈G agg | {z } nveces = P g∈G(ag+· · ·+ag | {z } nveces )g.

Entonces se tiene que

ag+· · ·+ag

| {z }

nveces

= 0,

para cualquier ag ∈ A, por lo que carA|n. An´alogamente si carA = m se

tiene obviamente que para todo a∈ AG ma= 0, de donden|m. Por lo tanto

n=m.

Un objetivo de la teor´ıa de anillos es la clasificación de sus objetos de estudio. En particular, los anillos más sencillos son los simples y los semisimples. En el área de los anillos de grupo surge naturalmente el problema de clasificar estos objetos en las categor´ıas habituales de la teor´ıa de anillos. Hay grandes aportaciones en la investigación de la clasificación de anillos de grupo (Teorema de Rickart, Amitsur, Passman [2] y [3]). Un resultado clásico es el teorema de Maschke [1] que dice: sea Gun grupo finito de ordeno(G) y seaK un cuerpo de caracter´ıstica 0 ó pdondep_-o(G). EntoncesKGes semisimple.

´

Este clasifica s´olo a una parte de los anillos de grupos que cumplen ser semisimples, aunque no especifica si alguno de ellos es simple ni qu´e ocurre si

p|o(G), si Ges infinito o para anillos que no sean cuerpo. De lo anterior surge la curiosidad de saber qu´e anillos de grupo son semisimples o simples, o bajo qu´e condiciones esto es posible. Nuestro objetivo es caracterizar a los anillos A

y gruposGtales queAGes semisimple y en particular simple. El trabajo est´a desarrollado de la siguiente manera.

Es importante resaltar la relación de los anillos con identidad con la teor´ıa de módulos. Dado un anillo A, éste es visto como A-módulo, por lo que todos los resultados de módulos pueden aplicarse a dicho anillo. Un anillo de grupo

AG se puede considerarA-m´odulo, lo cual permite aplicar los resultados de la teor´ıa de m´odulos a los anillos de grupo.

En el cap´ıtulo 2 se darán a conocer herramientas necesarias para este trabajo, as´ı como la relación de los anillos y los módulos. También daremos algunas dife-rencias existentes entre estos dos objetos, como la que existe entre los módulos simples y los anillos simples.

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4 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON

En el cap´ıtulo 3 se caracteriza a los anillos A y grupos Gtales queAG es semisimple. Para ello se analizan por separado dos casos:Ginfinito yGfinito. En el cap´ıtulo 4 se estudia si alguno de los anillos de grupo semisimples es, adem´as, simple.

Por ´ultimo, en el cap´ıtulo 5 se da a conocer de manera resumida las conclu-siones obtenidas en este trabajo de tesis.

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Cap´ıtulo 2

M´

odulos y anillos

En este cap´ıtulo se ve que un m´odulo es similar a un anillo en tanto que es una estructura con dos operaciones, pero con una diferencia, ya que una operaci´on no es interna; requiere de un conjunto externo el cual es anillo con identidad.

La relaci´on existente de los anillos con los m´odulos se da cuando el anilloA

tiene elemento identidad, ya que teniendo esta propiedad el anillo es visto como

A-módulo. Con esta relación podemos utilizar todos los resultados de módulos y aplicarlos, en particular, a los anillos de grupo.

Para ello se comienza por dar conceptos básicos de la teor´ıa de módulos. Después, continúa con conceptos básicos de la teor´ıa de anillos junto con pro-piedades de los anillos vistos como módulos. Todo este cap´ıtulo esta basado en la referencia [5].

2.1. Elementos de la teor´ıa de m´

odulos

En esta sección se dan algunos conceptos básicos de la teor´ıa de módulos necesarios para este trabajo. Como primera definición y parte clave para noso-tros, la de módulo. Con ella, en la siguiente sección se ve con más facilidad la relación que existe entre los anillos con identidad y los módulos.

Definición 2.1. Un conjuntoM es un módulo izquierdo sobre el anilloA con identidad, o A-módulo izquierdo, si tiene definidas dos operaciones, una opera-ción suma, +, que es binaria cerrada, y una operación producto por escalares, de la formaA×M −→M , que a cada pareja(a, m)asigna el elementoam∈M

y se verifica:

1. (M,+) es grupo abeliano, con neutro0.

2. El producto por escalares satisface:∀a, b∈A,∀m∈M

i) asociatividad:

a(bm) = (ab)m.

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6 CAP´ITULO 2. M ´ODULOS Y ANILLOS

ii) unitario: Si1∈Aes el elemento identidad de A,

1m=m.

3. Leyes distributivas:∀a, b∈A,∀m, n∈M a(m+n) =am+an,

(a+b)m=am+bm.

A partir de aqu´ı, entenderemos queA-módulo significaráA-módulo izquier-do. Cabe mencionar que un subconjuntoN ⊂M delA-móduloM es submódulo si, con las operaciones deM, esA-módulo. Sin embargo, se puede caracterizar como subconjunto no vac´ıo, cerrado bajo la suma deM y cerrado bajo el pro-ducto por escalares. Trivialmente, todoA-móduloM tiene como submódulos a s´ı mismo y el módulo trivial{0}, que denotaremos simplemente como 0. Ejemplo 2.2. Z2, pares de enteros, con suma por componentes y producto por

escalares deZ, tambi´en por componentes, es unZ-m´odulo.

DosA-módulos se pueden comparar mediante los homomorfismos que, como en cualquier estructura algebraica, son funciones que respetan las operaciones. Los resultados habituales para homomorfismos de grupos se cumplen también en módulos.

Una diferencia entre los anillos y los módulos es el cociente, ya que el cociente de un módulo con cualquier submódulo tiene estructura de módulo. En los anillos sin embargo no todo cociente con un subanillo da lugar a un anillo, sólo los cocientes con ideales.

De manera semejante, al resultado sobre la descomposici´on de un grupo en producto directo de subgrupos, tenemos la siguiente proposici´on.

Proposición 2.3. Si el móduloM es suma directa de sus submódulosN1 yN2

entonces M/N1≈N2 y M/N2≈N1.

Demostraci´on. Sean los homomorfismos

ϕ: N1⊕N2 → N1

(a1, a2) 7→ a1

ψ: N1⊕N2 → N2

(a1, a2) 7→ a2

Dado que tantoKerϕ= 0×N2≈N2eImϕ≈N1, entonces por el teorema del

isomorfismo se tiene lo deseado. Igualmente paraψ.

Otra herramienta necesaria será la de base de un módulo, que funciona igual que en los espacios vectoriales. Primero se dará a conocer qué es un conjunto linealmente independiente y qué es un conjunto generador.

Definición 2.4. Un subconjunto S de un módulo es linealmente independiente si las únicas combinaciones lineales de elementos de S que resultan en cero son las de coeficientes nulos. El subconjunto es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

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2.1. ELEMENTOS DE LA TEOR´IA DE M ´ODULOS 7

El concepto de conjunto generador existe en todas las estructuras algebrai-cas.

Definición 2.5. Un subconjunto S de un módulo M es generador si el conjunto de todas las combinaciones lineales construidas con elementos de S es todo el módulo. Si existe un conjunto generador finito se dice que M es finitamente generado.

Con las dos definiciones anteriores se define a continuaci´on el concepto de base para m´odulos.

Definici´on 2.6. Un subconjunto B de un m´odulo es base si es linealmente independiente y generador.

La diferencia entre espacio vectorial y módulo es que todo espacio vectorial tiene base, en cambio para módulos no es as´ı. Por ello los que s´ı tienen base reciben un nombre: módulo libre.

Definici´on 2.7. Un m´odulo se llama libre si posee una base.

Ejemplo 2.8. _Z2 _{es un}

Z-m´odulo libre, pues{(1,0),(0,1)} es una base.

Veremos que dado un conjunto cualquiera se puede construir un A-m´odulo libre que tiene como base a dicho conjunto.

SeaB un conjunto arbitrario. DefinamosLB como:

LB =

( X

b∈B

αbb|αb∈A, αb= 0 excepto una cantidad finita

)

con dos operaciones: suma: X b∈I αbb+ X b∈B βbb= X b∈B (αb+βb)b,

producto por escalares: seaγ∈A

γ X b∈B αbb ! =X b∈B (γαb)b.

Es f´acil ver que este conjuntoLB es unA-m´odulo libre con baseBy viceversa:

todoA-m´odulo libre con baseBes isomorfo aLB (bajo el isomorfismo que deja

fijo aB).

El prototipo deA-m´odulo libre es el de la formaAn =A× · · · ×A o m´as general

A(B)={f :B→A|f(b) = 0,∀b∈B, excepto una cantidad finita}.

Es f´acil ver que el conjuntoA(B)esA-m´odulo con la suma y producto por escalares puntual es libre, pues el conjunto{fb|b∈B}dondefb(b) = 1 yfb(c) =

0 si c 6=b, es base de A(B) _{(base can´}_{onica). El conjunto} _A(B) _{se llama suma}

(14)

Proposici´on 2.9. TodoA-m´odulo libre con base B es isomorfo aA(B)_.

Demostraci´on. Por lo dicho antes, basta por ver que LB es isomorfo a A(B).

Definamos elA-homomorfismo de la siguiente manera:

φ: A(B) → LB

f 7→ P

b∈Bf(b)b.

el cual es inyectivo, ya que Kerφ = 0, y sobreyectivo. Por lo tanto A(B) _≈

LB.

Con lo anterior estamos listos para probar que todoA-m´oduloM es cociente de unA-m´odulo libre.

Proposición 2.10. TodoA-módulo es cociente de unA-módulo libre.

Demostración. SeaM unA-módulo. Construiremos elA-módulo libre sobreM

y lo llamaremosLM.

LM =

( X

m∈M

αmm|αm∈A, αm= 0, excepto una cantidad finita

)

.

Obs´ervese que estas combinaciones lineales son formales, es decir, no hacemos la operaci´on. Ahora definimos elA-homomorfismo

φ: L → M

P

m∈Mαmm 7→ Pm∈Mαmm

,

donde ahora, en el conjunto imagen, s´ı efectuamos la operaci´on. Es claro queφ

es epimorfismo. Entonces, por el teorema del isomorfismo,

M ≈LM/Kerφ.

Ojo, el cociente de un A-m´odulo libreM no tiene porqu´e ser libre. Ejemplo 2.11.

Zn =Z/nZ,

no es libre como Z-m´odulo, porque cualquier elemento de Zn multiplicado por

el escalarnresulta 0 ya que la caracter´ıstica de Zn es n.

Por lo tanto Zn no es Z-m´odulo libre, ya que no tiene ning´un conjunto

linealmente independiente.

Otras herramientas de módulos que serán útiles en el estudio de anillos semisimples son el radical y el anulador.

Definición 2.12. El radical R(M) de un A-módulo M es la intersección de todos los submódulos maximales deM.

(15)

Definici´on 2.13. El anuladoran(M)de unA-m´oduloM es el subconjunto de

A formado con todos los elementosa∈A tales queam= 0para toda m∈M.

Es f´acil ver quean(M) es ideal bilateral deA.

Ejemplo 2.14. El conjunto _Zn = {0,1, . . . , n−1} con la suma m´odulo n y

producto por escalares de_Ztambién módulones un_Z-módulo y su anulador es

an(Zn) =nZ.

Por lo anterior se pueden consideran algunas clasificaciones de los m´odulos, como losA-m´odulos simples y los semisimples.

Definici´on 2.15. Un A-m´odulo se llama simple si es distinto de cero y sus ´

unicos submódulos son él mismo y el módulo 0.

Esta definici´on, como nos daremos cuenta, es muy parecida a la de anillos simples. Pero cabe destacar que no necesariamente una implica a la otra, esto lo daremos a conocer en la siguiente secci´on.

Otra propiedad de los módulos similar a la de grupos y anillos es la siguiente: Proposición 2.16. SeaM unA-módulo yNun submódulo maximal (no conte-nido propiamente en otro submódulo propio deM). EntoncesM/NesA-módulo simple.

Demostraci´on. Sea B⊂M/N subm´odulo,B6= 0.

Consideremosγ:M →M/NelA-homomorfismo can´onico, entoncesγ−1(B) es subm´odulo de M. Por lo que N ( γ−1(B), pero N es maximal entonces γ−1(B) =M. Por lo tantoB=M/N, M/N es simple.

Los módulos simples son, como su nombre indica, los más sencillos. A con-tinuación definimos los módulos semisimples, que podemos verlos como los que siguen a los simples en sencillez.

Definición 2.17. UnA-módulo M se llama semisimple si M es suma directa de submódulos simples de M.

De manera equivalente, un módulo semisimple se puede definir como suma de submódulos simples o si todo submódulo de él es sumando directo de él mismo.

Antes de enunciar la proposición, será nesesario dar a conocer dos lemas de gran utilidad para la prueba de ésta.

Lema 2.18. SiN es unA-m´odulo,N1yN2subm´odulos tales queN=N1⊕N2

yN1es maximal, entoncesN2es minimal(o simple, es decir, no tiene subm´

odu-los).

Demostraci´on. Supongamos que P es subm´odulo propio no trivial de N2.

En-toncesN1⊕P es subm´odulo propio deN y contiene aN1 propiamente, lo cual

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Lema 2.19. Si N es un A-m´odulo no trivial y finitamente generado entonces tiene un subm´odulo maximal.

Demostraci´on. Para demostrar este lema haremos uso del lema de Zorn. Cons-truyamos el conjunto de los subm´odulos propios deN,

Z ={P ≤N|P 6=N},

el cual ordenamos por inclusi´on de conjuntos. Notemos que Z 6=∅, ya que el

subm´odulo trivial se encuentra en Z. Ahora probemos que toda cadena deZ

está acotada. Sea C ⊂Z una cadena (es decir, C está formada por subm´ odu-los propios de N tales que dos cualesquiera son comparables, es decir uno es submódulo del otro o viceversa). Entonces

Q=∪P∈CP,

es una cota superior de la cadena, por lo que bastar´ıa con demostrar que Q

est´a en Z.

Para que Qest´e enZ,Qdebe ser subm´odulo deN y ser propio.

Para esto basta con ver que es cerrado bajo suma y producto. Seanq1, q2∈Q.

Entoncesq1∈P1 yq2∈P2 para algunosP1 yP2 de la cadenaC. Pero por ser

cadena, P1 ⊂P2 (o viceversa). En tal caso,q1, q2 ∈P2 y, por tanto, q1+q2 ∈

P2⊂Q. LuegoQes cerrado bajo suma. Seaa∈A entoncesaq1∈P1⊂Q. Por

lo tantoQes subm´odulo.

Q es propio. Supongamos que no, entonces Q = N. Sea {n1, . . . , nk} un

conjunto generador de N. Entonces, por un argumento similar al de antes,

n1, . . . , nk ∈ P para alg´un P de la cadena C. Pero, en tal caso P ser´ıa todo

N, en contradicci´on con que P es subm´odulo propio. Entonces por el lema de ZornZ tiene un elemento maximal.

Ahora ya estamos listos para enunciar y demostrar la siguiente proposición. Proposición 2.20. Sea M un A-módulo. Las tres condiciones siguientes son equivalentes:

1. M es semisimple.

2. M es suma de subm´odulos simples.

3. Todo subm´odulo deM es sumando directo deM.

Demostración. Por la definición 2.17 se sigue que (1) implica (2). También es fácil ver que (2) implica (1) ya que, siM es suma de submódulos simples, basta fijarse con las intersecciones de éstos; puesto que son simples, las intersecciones deben ser todas 0, luego la suma es directa.

Supongamos ahora que (2) es v´alida y sea

M =X

α∈S

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Supongamos M0 un subm´odulo de M. Demostraremos que M0 es sumando directo deM, lo que implica que (3) se cumple.

Construyamos

ζ={L⊂S|M0+X

α∈L

Mα es suma directa}.

La familia ζ ordenada por inclusi´on satisface las hip´otesis del lema de Zorn. Primeroζ6=∅, dado que∅∈ζ. SeaD⊂ζuna cadena. EntoncesQ=∪P∈DP

es una cota superior de la cadena por lo que D es acotada, ahora s´olo faltar´ıa por ver que Qest´e en ζ, es decir, que M0+P

α∈QMα es suma directa. Por lo

dicho anteriormente, es claro queP

α∈QMαes suma directa. Entonces s´olo hay

que comprobar que M0∩P

α∈QMα= 0.

Ahora bien, cada elemento m ∈ M0 ∩P

α∈QMα pertenece a Pα∈QMα.

Por ser suma directa, est´a enP

α∈RMα, conR⊂QyR finito. Entonces existe

P ∈Dque contiene aRluegom∈P

α∈PMαy, puesto queM0∩Pα∈PMα= 0

(puesP ∈ζ) tenemosm= 0.Luego por el lema de Zorn contiene un elemento maximal. SeaL0 dicho maximal enζ y

M00=M0⊕ M α∈L0 Mα=M 0 + X α∈L0 Mα. Siβ /∈L0, Mβ∩M 00 6

= 0, pues, de lo contrario,L0 no ser´ıa maximal. Entonces,

por ser Mβ simple,Mβ∩M

00

=Mβ, es decir,Mβ⊂M

00

. Por tanto,Mα⊂M

00

para todaα∈S, de dondeM ⊂M00 yM =M00, o sea,M es una suma directa deM0 y otro subm´odulo deM.

Demostremos que (3) implica (1). Supongamos que todo subm´odulo de M

es sumando directo y veamos queM es semisimple.

Sea{Mα}α∈Ila familia de subm´odulos simples deM. Por hip´otesis,Pα∈IMα

es sumando directo de M, luego

M =M0⊕X

α∈I

Mα.

Ahora veamos queM0= 0.

Supongamos que M0 es no trivial, entonces contiene un elemento m6= 0 y con él generamos un submódulo deM0, llamémosloN. Por ser sobmódulo deM0

tambi´en lo es deM y, por lo tanto es sumando directo. EntoncesM0₌_N_⊕_N0_,

dondeN0 es otro sobm´odulo deM0.

Ahora, dado que N es finitamente generado por lema 2.19, contiene un submódulo maximal, llamémoslo N1, el cual también es submódulo de M y,

por tanto sumando directo. Entonces, N =N1⊕N2. Por el lema 2.18, N2 es

simple. Por tantoM0 contiene un subm´odulo simple. Esto, contradice el hecho de que todos los subm´odulos simples estaban en la familia{Mα}. Por tantoM0

debe ser trivial, por lo queM es suma de subm´odulos simples.

Como resultados inmediatos a la proposición anterior se tiene que la suma directa de módulos semisimples es semisimple. Todo submódulo y todo módulo cociente de un módulo semisimple es semisimple.

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Corolario 2.21. Suma directa de m´odulos semisimples es semisimple.

Demostración. SeanM yNdosA-módulos semisimples, entonces por definición 2.17 se tiene que

M =⊕α∈IMα, Mαsimple

N =⊕β∈PNβ, Nβ simple.

EntoncesM⊕N =⊕α∈IMαL⊕β∈PNβ. Por lo tantoM⊕N es semisimple.

Corolario 2.22. Sea M un m´odulo semisimple y N un subm´odulo, entonces

N y M/N son tambi´en semisimples.

Demostración. De la prueba de la proposición anterior, siN es un submódulo deM conM semisimple, entonces todo submódulo deN es un sumando directo, luegoN es semisimple.

Por otro lado, comoNes sumando directo deM, entoncesM/Nes isomorfo a un sumando directo deM, luego es semisimple.

Por ´ultimo veremos que, efectivamente, los semisimples suponen una am-pliaci´on de los simples.

Corolario 2.23. Todo m´odulo simple es semisimple.

Y adem´as 0 es semisimple mientras que no es simple.

Ejemplo 2.24. El Z-m´odulo Z2 no es simple, pues Z×0 es un subm´odulo

propio no trivial. Tampoco es semisimple como se deriva del ejemplo posterior 2.40

En la definición 2.17 se tiene que un módulo semisimple se puede descom-poner en suma directa de submódulos simples. En la siguiente proposición se demostrará que esa suma directa es finita, en el caso de que el módulo sea finitamente generado.

Proposición 2.25. SiM es unA-módulo semisimple y finitamente generado, entonces M es suma directa de un número finito deA-módulos simples. Demostración. Sea M = P

α∈LMα, Mα simples y {u1, . . . , un} una familia

de generadores de M. Entonces existe un subconjunto finito L0 ⊂ L tal que

ui∈Pα∈L0Mα (1≤i≤n). Por consiguienteM =Pα∈L0Mα.

2.2. Anillos vistos como m´

odulos

Esta secci´on relaciona a los anillos con los m´odulos, lo cual es clave para el desarrollo de toda nuestra tesis.

Podemos observar que dado cualquier anilloAcon identidad, cumple ser un

(19)

2.2. ANILLOS VISTOS COMO M ´ODULOS 13

Ejemplo 2.26. Si consideramos el anilloAcon identidad comoA-módulo, sus submódulos son sus ideales izquierdos. Además A es un A-módulo libre, una base es, por ejemplo, {1}.

Teniendo lo anterior, se podrán aplicar todos los resultados de la teor´ıa de módulos a los anillos, en especial a los anillos de grupo. Es por ello que a continuación se darán definiciones de la teor´ıa de anillos necesarias para el desarrollo de nuestro trabajo. Del mismo modo veremos algunas diferencias existentes en los anillos, as´ı como también propiedades.

Los conceptos de m´as inter´es son anillo semisimple y anillo simple, ya que nuestro trabajo radica en caracterizar los anillosAy los gruposGtales queAG

es semisimple y, en particular, simple.

Definici´on 2.27. Un anillo A es semisimple si considerado como A-m´odulo izquierdo lo es.

Sin embargo la definición de anillo simple no es la de aquél que, consider´ ando-lo como módulo, es simple.

Definici´on 2.28. Un anillo es simple si no tiene ideales propios no triviales.

Observemos que si el anilloA, considerado como A-m´odulo, es simple, en-tonces es simple como anillo, pero al contrario no se cumple.

Ejemplo 2.29. Sea el anillo A = Mn(R), A es anillo simple. Tomemos un

subanillo deA I=               a1 0 · · · 0 a2 0 · · · 0 .. . ... . .. ... an 0 · · · 0      aj ∈R         

I es un ideal izquierdo de A. Entonces A no es A-m´odulo simple ya que existe un subm´odulo propio no trivial deA.

Anteriormente se dijo en la definición 2.17 que los módulos semisimples se pueden descomponer en suma directa de submódulos simples (es decir, ideales izquierdos m´ınimos). Pero además, en el caso de un anillo, se puede asegurar que la suma es finita.

Proposici´on 2.30. Los anillos semisimples son suma directa de un n´umero finito de ideales m´ınimos izquierdos.

Demostración. Dado que un anillo semisimple,A, es suma directa de subm´ odu-los simples y además es finitamente generado, en este caso por 1, se concluye, por la proposición 2.25, que A es una suma directa finita de ideales m´ınimos izquierdos.

(20)

Por otro lado se tiene que un anilloAes semisimple si y sólo si todoA-módulo es semisimple, la parte trivial de esta demostración es el “sólo si” y la segunda parte utilizará herramientas anteriores. La prueba se dará a continuación. Proposición 2.31. Un anillo A es semisimple si y sólo si todo A-módulo es semisimple.

Demostración. Si todoA-módulo es semisimple,A, en particular, es semisimple. Supongamos ahora queA es un anillo semisimple. Ya que la suma directa y el cociente de módulos semisimples es semisimple, basta observar que cualquier

A-móduloM es el cociente de un A-módulo libre (proposición 2.10).

Si se tienen elementos que conmutan con todos los elementos del anillo, a ese conjunto se le llama centro. La definici´on formal es como sigue:

Definici´on 2.32. Z(A) ={a∈A|ax=xa ∀x∈A} es el centro deA.

Hay también elementos que cumplen caracter´ısticas muy especiales, como los elementos idempotentes: aquéllos que al multiplicarlo por s´ı mismo resulta el mismo elemento. Todo anillo tiene dos elementos idempotentes triviales, 0 y 1. También los idempotentes tienen propiedades interesantes.

En particular nos interesan los idempotentes centrales y ortogonales. Definici´on 2.33. Un elementoa de un anilloA se llama nilpotente si an _{= 0}

para alg´un natural ny se llaman idempotente sia2₌_a_.

Dos idempotentes ay b son ortogonales siab= 0. Un idempotente aes central siax=xa ∀x∈A.

Dada la definición anterior es fácil probar que un anillo se descompone en una suma directa de anillos con identidad si, y sólo si, existen dos elementos no triviales que cumplan ser idempotentes, centrales y ortogonales y que la suma de estos dos elementos sea igual a 1.

Proposici´on 2.34. Un anillo A se descompone en una suma directa de la forma A = A1 ⊕A2 donde A1 y A2 son anillos con identidad, si y s´olo si

existen a1, a2 ∈A idempotentes, no triviales, centrales y ortogonales tales que

a1+a2= 1.

Demostraci´on. ⇒)A1⊕A2≈A1×A2, el isomorfismo viene dado por

a+b7→(a, b) cona∈A1 yb∈A2.

Por lo anterior, podemos considerar a los elementos (1,0),(0,1)∈A1×A2.

Estos cumplen ser: idempotentes

(1,0)(1,0) = (1,0),

(21)

2.2. ANILLOS VISTOS COMO M ´ODULOS 15 ortogonales (1,0)(0,1) = (0,0), centrales: sea (a, b)∈A1×A2 (a, b)(1,0) = (a,0) = (1,0)(a, b), (a, b)(0,1) = (0, b) = (0,1)(a, b).

Luego (1,0), (0,1) son elementos idempotentes centrales ortogonales y adem´as (1,0) + (0,1) = (1,1).

⇐) Existena1, a2∈A, con a1, a26= 0, idempotentes centrales y ortogonales

tales que

a1+a2= 1.

Consideremos al ideal A1 = a1A, ya que ∀b ∈ A, ba1A ⊂ a1A y dado que

a1∈Z(A), el idealA1 es bilateral. De la misma manera, consideremos el ideal

A2=a2A, que tambi´en es bilateral, porquea2∈Z(A).

Probaremos queA1∩A2={0}. Seab∈A1∩A2. Luegob∈A1 yb∈A2, lo

que implica que

b=a1c, c∈A, y b=a2d, d∈A.

Entonces

a1c = a2d,

a1a1c = a1a2d,

a1c = 0,

Dado que a1c= 0, entoncesb= 0. Por lo tanto A1∩A2={0}.

Ahora probemos que todo elementobdel anillo se escribe como suma de ele-mentos deA1yA2. Seab∈A, teniendo en cuenta quea1+a2= 1, multiplicamos

b pora1+a2= 1 y obtenemos que

(a1+a2)b = b,

a1b+a2b = b,

a1b∈A1 ya2b∈A2. Entonces∀b∈A,b=b1+b2 con b1 ∈A1 yb2 ∈A2. Lo

que implica queA=A1⊕A2.

Dada la proposici´on anterior nos daremos cuenta que basta con tener un idempotente central no trivial para queA=A1⊕A2.

Proposici´on 2.35. Sia∈Aes idempotente y central,a6= 0,1, entonces existen idealesA1,A2 no triviales tales que

(22)

Demostraci´on. Consideremos 1−a∈A, el cual satisface que (1−a)2= 1−ay (1−a)a= 0.

Por lo tanto ay 1−a son idempotentes, centrales y ortogonales. Adem´as (1−a) +a= 1 entonces, por el teorema anterior, A1 =aA yA2 = (1−a)A

cumplen lo requerido.

Un concepto importante en anillos, de nuevo heredado de m´odulos, es el de radical, definido en anillos de la siguiente manera.

Definici´on 2.36. El radical de un anillo,R(A), es su radical considerado como

A-m´odulo.

De esto se sigue que si el anillo es simple entonces su radical es 0.

Por tanto el radical de A es la intersecci´on de sus ideales izquierdos maxi-males. Sin embargo es notable el resultado de queR(A) es un ideal bilateral de

A.

Proposici´on 2.37. El radical de un anillo es un ideal bilateral.

Demostraci´on. Sea a ∈R(A). Demostraremos primero quea ∈ an(A/I) para todo ideal m´aximo I de A. Sea u ∈ A/I. Consideremos el A-homomorfismo

A→ A/I dado por b7→ bu(b ∈A). El núcleo J de este homomorfismo es un ideal máximoJ. Comoa∈R(A),a∈J, de dondeau= 0, es decir,a∈an(A/I). Supongamos ahora que c es un elemento arbitrario deA. Sea ¯c∈A/I la clase decmóduloI. Por lo anteriorac¯= 0, es decirac∈I, de dondeac∈R(A) con lo que queda probada la proposición.

Una propiedad de los anillos es que dados dos ideales del anilloA la suma de ellos cumple ser un ideal deA, lo cual se utiliza en la prueba de la siguiente proposici´on.

Proposici´on 2.38. Todo ideal izquierdo de un anilloA que no est´e contenido en el radical de Atiene elementos no nilpotentes.

Demostraci´on. Sea I un ideal izquiero de A tal queI⊂/R(A). Existe entonces un ideal izquierdo m´aximo J tal que I⊂/J. Entonces I+J =A y 1 = a+b,

a∈I,b∈J. Se tiene que

ab=a(1−a) = (1−a)a=ba, aybconmutan de donde, para todan

1 = (a+b)n= n X r=0 n r arbn−r.

(23)

2.2. ANILLOS VISTOS COMO M ´ODULOS 17

Si afuera nilpotente, para algunan,an _{= 0 entonces}

an ₌ ₍₁₋_b₎n_, = Pn r=0 n r (−b)n−r_, = a0(−b)n+a1(−b)n−1+a2(−b)n−2+· · · −an−1b+ 1, con ar= n r

,r= 0,1,2, . . . , n. Al despejar 1 se tendr´ıa que

1 = −a0(−b)n−a1(−b)n−1−a2(−b)n−2− · · ·+an−1b∈J,

lo que implica que 1 ∈ J lo cual contradice la hip´otesis de que J es ideal maximal.

Una propiedad de los anillos semisimples es que su radical, al igual que en los simples, es el trivial.

Proposici´on 2.39. Si un anillo es semisimple entonces su radical es cero. Demostraci´on. Consideremos un elemento a6= 0 deA. ComoA es semisimple se tiene

A=A1⊕ · · · ⊕An,

suma directa de ideales m´ınimos. Entonces

a=a1+a2+· · ·+an (ai∈Ai)

y podemos suponera16= 0. Por tanto,a /∈A2⊕· · ·⊕Anque es un ideal m´aximo,

de dondeano pertenece al radical deA.

Hemos visto que el radical nulo es condici´on necesaria de los anillos semi-simples. En el siguiente ejemplo vemos que, sin embargo, no es suficiente. Ejemplo 2.40. _Z no es semisimple. Efectivamente, los subm´odulos de _Z son los mZ, con m∈ Z; son ideales izquierdos de Z. Como Z es conmutativo los

ideales son bilaterales. Pero ningún ideal es simple, ya que todo ideal contiene submódulos propios. Por ejemplo:nZ⊂mZ, con n∈Zalgún múltiplo dem.

Sin embargo su radical es cero, ya que los ideales izquierdos m´aximos de Z

son los pZ, con pprimo, y la intersecci´on de ellos es{0}.

Definici´on 2.41. Un ideal izquierdo N de A se llama nilpotente si existe un entero positivo rtal queNr= 0.

Aunque en un ideal izquierdo nilpotente todos los elementos son nilpotentes, esto no se tiene inversamente. Por ejemplo las matrices.

Definici´on 2.42. Un ideal izquierdo en el que todos los elementos son nilpo-tentes se llama nilideal.

(24)

Proposici´on 2.43. Todo nilideal izquierdo deAest´a contenido en el radical de

A.

Demostraci´on. Es consecuencia de la proposici´on 2.38.

De esto se sigue que un anillo semisimple no tiene ideales nilpotentes no triviales, porque de lo contrario su radical ser´ıa diferente de cero en contradicci´on con la proposici´on 2.39.

(25)

Cap´ıtulo 3

Anillos de grupo

semisimples

En este cap´ıtulo se darán a conocer qué anillos de grupo son semisimples y cuáles son no semisimples.

Una herramienta que ser´a de gran utilidad en este cap´ıtulo es el homomor-fismo de aumento, por lo que se comenzar´a por verlo.

Proposici´on 3.1. (Homomorfismo de aumento) Dado el anillo de grupo AG

la funci´on ξ: AG → A P g∈Gagg 7→ P g∈Gag, es epimorfismo de anillos.

Demostraci´on. S´olo hay que demostrar

ξ(a+b) =ξ(a) +ξ(b), ξ(ab) =ξ(a)ξ(b), y la suprayectividad. Seana, b∈ AG,a =P g∈Gagg y b = P g∈Gbgg. Aplicamosξ a la suma

de ambos y obtenemos que

ξ(a+b) = ξ P g∈Gagg+Pb∈Gbgg , = ξ P g∈G(ag+bg)g

, por definici´on de suma enAG,

= P

g∈G(ag+bg), por definici´on deξ,

= P

g∈Gag+Pg∈Gbg, por la asociatividad y

conmutativi-dad de la suma enA, = ξ(a) +ξ(b).

(26)

20 CAP´ITULO 3. ANILLOS DE GRUPO SEMISIMPLES

Seana, b∈AG,a=P

g∈Gagg yb=Ph∈Gbhh. Aplicamosξal producto

de ambos y obtenemos que

ξ(ab) = ξ P g∈Gagg P h∈Gbhh = ξ P g,h∈Gagbhgh = P

g,h∈Gagbh, por definici´on de producto enAGy

defini-ci´on deξ.

ξ(a)ξ(b) = P

g∈GagPh∈Gbh,

= P

g,h∈Gagbhpor la ley distributiva en A.

Lo que implica queξ(ab) =ξ(a)ξ(b), por lo tantoξes homomorfismo de anillos. S´olo falta demostrar la suprayectividad.

Sea a∈A, entonces a1∈AGyξ(a1) =a. Por lo tantoξ es suprayectivo.

Utilizando todas las herramientas anteriores, se podrá mostrar cuando un anillo de grupo es semisimple o no semisimple. Para esto se dividirá el cap´ıtulo en dos casos. El primero dondeGes infinito, dado que es la manera más sencilla en la que se demuestra que el anillo de grupo no es semisimple. El segundo es cuandoGes finito, en el cual existen dos casos particulares: uno es cuandocarA

no divide al orden del grupo y la otra en la que s´ı lo hace.

3.1. Grupo infinito

En esta secci´on se demostrar´a que en el casoGinfinito,AGno es semisimple.

Proposici´on 3.2. Sea un anillo A 6= 0, y G un grupo infinito. Entonces el anilloAGno es semisimple.

Demostraci´on. Siξ:AG−→Aes el homomorfismo de aumento entoncesKerξ

es ideal deAGy adem´as Ker(ξ)6= 0. SiAGes semisimple tenemos queKerξ

es sumando directo, es decir,AG=Kerξ⊕I, conIotro ideal (proposici´on 2.34). Luego por proposici´on 2.20, existena, b∈AGidempotentes centrales orto-gonales tales queKerξ=AGaeI=AGb, entonces

(Kerξ)b = (AGa)b y Ia = (AGb)a

= AG(ab) = AG(ba)

= 0 = 0.

Seag∈G, entonces 1−g∈Kerξ, y seahun elemento deGque aparece en

b=P

k∈Gbkk, es decir bh6= 0.

De lo anterior tenemos que (1−g)b= 0, es decir,b=gb, ∀g∈G. Se tiene que b = P

(27)

3.2. GRUPO FINITO 21

cuando g lo hace, todos los coeficientes deb son no nulos. Esto contradice la definici´on de anillo de grupo 1.1, luegoAGno es semisimple.

3.2. Grupo finito

En esta sección se demostrará que para el caso en el que el grupo es finito el anillo de grupo puede o no ser semisimple, si la caracter´ıstica divide o no divide al orden del grupo. Por lo que la caracter´ıstica del anillo es de gran importacia en esta sección.

Proposici´on 3.3. Sea G un grupo finito de orden o(G) y sea A un anillo de caracter´ıstica ndonden|o(G). EntoncesAG no es semisimple.

Demostraci´on. Sea el elementoadeAGdefinido pora=P

g∈Gg. Tenemos que

a 6= 0 y para todo x∈G, ax=a =xa, por lo que a pertenence al centro de

AG. Entonces el ideal AGaes bilateral y satisface

(AGa)2 ₌ _AGaAGa,

= (AG)2_a2_,

= 0,

dado quea2 ₌_aP

g∈Gg =o(G)a= 0, ya quen|o(G) ynes la caracter´ıstica

deAG. EntoncesAGaes un ideal nilpotente enAG. Ahora, por proposici´on 1.1 se tiene queR(AG)6= 0 y por proposici´on 2.39AGno es semisimple.

Ejemplo 3.4. El anillo de grupo Z2C2 no es semisimple seg´un la proposici´on

anterior. Otra manera de verlo es dado que su radical no es nulo; R(Z2C2) =

{0,1 +a}.

Una condici´on necesaria pero no suficiente para la semisimplicidad en los anillos es la siguiente:

Proposici´on 3.5. Si AGes semisimple entoncesA es semisimple.

Demostraci´on. AGes semisimple. Conocemos que A≈AG/Ker(ξ). Entonces, por el corolario 2.22, se sigue queAes semisimple.

Por otro lado, si la caracter´ıstica del anillo no divide el orden del grupo se obtiene que el anillo de grupo generado por ambos es semisimple. La prueba de esto se dar´a a continuaci´on.

Proposici´on 3.6. Sea G un grupo finito y A un anillo semisimple tales que

(28)

22 CAP´ITULO 3. ANILLOS DE GRUPO SEMISIMPLES

Demostración. SeaM unAG-submódulo deAG. Dado queAes semisimple, de esto se sige que AGes semisimple como unA-módulo. Por lo tanto, existe un

A-subm´oduloN deAGtal que

AG=M⊕N.

Seaπ:AG−→M la proyecci´on can´onica asociada a la suma directa. Definimos

π∗:AG−→M por un proceso promediado

π∗(x) = 1

o(G)

X

g∈G

g−1π(gx), ∀x∈AG,

donde _o₍1_G₎ tiene sentido porquecarA-o(G).

Si probamos que π∗ es unAG-homomorfismo tal que (π∗)2 ₌_π∗ _{(es decir,}

es un proyector) conIm(π∗) =M, entoncesker(π∗) será unAG-submódulo tal queAG=M⊕ker(π∗) y el teorema estará probado.

Dado queπ∗ es un A-homomorfismo, para mostrar que tambi´en es un AG -homomorfismo ser´a suficiente mostrar que

π∗(hx) =hπ∗(x), ∀h∈G.

Tenemos

π∗(hx) = _o₍1_G₎P

g∈Gg−1π(ghx)

escribimosg−1=hh−1g−1, y obtenemos que:

1 o(G) P g∈Gg −1_π₍_ghx₎ ₌ h o(G) P g∈G(gh) −1_π₍₍_gh₎_x₎_,

donde, comog recorre todos los elementos enG, entonces el productogh tam-bi´en recorre todos los elementos en G. As´ı

π∗(hx) =h 1 o(G)

X

t∈G

t−1π(tx) =hπ∗(x).

Dado que π es una proyecci´on sobre M sabemos que π(m) = m, para toda

m∈M.Tambi´en, puesto queM es unAG-m´odulo, tenemos quegm∈M, para todag∈G. As´ı π∗(m) = 1 o(G) X g∈G g−1π(gm) = 1 o(G) X g∈G g−1gm=m.

Dado un elemento arbitrario x ∈ AG, tenemos que π(gx) ∈ M, por lo tanto

(29)

3.2. GRUPO FINITO 23

π∗(x) para todax∈AGy, por lo tanto, (π∗)2₌_π∗_.

Finalmente, el hecho de queπ∗(m) =m, para todam∈M tambi´en muestra queM ⊂Im(π∗).

Ejemplo 3.7. _Z2C3, el cual es semisimple.

Todos los resultados del cap´ıtulo se resumen en el siguiente teorema, el cual caracteriza a los anillos, A, y grupos,G, tales queAGes semisimple.

Teorema 3.8. Dados un anillo A y un grupo G, el anillo de grupo AG es semisimple si, y s´olo si,

i) A semisimple.

ii) Gfinito.

iii) carA_-o(G).

Con este resultado se tiene parcialmente cubierto nuestro objetivo. Ahora s´olo falta por ver la caracterizacion de los anillosAy gruposGtales queAGes simple.

(30)

(31)

Cap´ıtulo 4

Anillos de grupo simples

En el cap´ıtulo anterior se dieron proposiciones y definiciones que tambi´en se aplican para anillos de grupo simples. Tal es el caso del teorema 3.2, con G

infinito y A6= 0 o el teorema 3.3, con Gfinito ycarA|o(G); en ambos casos se tiene que el anillo AGno es semisimple, lo que implica trivialmente que AG

no es simple. Por lo anterior nos restringiremos al caso en que G es finito y

carA-o(G).

El desarrollo de este cap´ıtulo comenzará dando una condición necesaria, pero no suficiente, para los anillos de grupo simples y continuará por dar a conocer el caso en particular en el quecarA_-o(G).

Proposici´on 4.1. Si AGes simple entonces Aes simple.

Demostraci´on. AGsimple, entonces los ´unicos ideales son el trivial y el impro-pio. Sea I⊂A un ideal deA, entonces el anilloIGes subanillo deAG. Sea a∈AG yb∈IG, a=P g∈Gagg conag ∈Ayb =Ph∈Gbhhconbh∈I, el producto de ellos es   X g∈G agg   X h∈G bhh ! = X g,h∈G agbhgh∈IG, X h∈G bhh !  X g∈G agg  = X h,g∈G bhaghg∈IG.

Por lo cualIG es ideal deAG, entoncesIG =AG´o IG = 0 dado queAG

es simple.

Si IG= AGentonces I = A, de la misma manera si IG = 0 entoncesI = 0. Por lo tantoA es simple.

Si consideramos el grupo trivial,G={1}, se obtiene queA≈AG. Éste ser´ıa el caso trivial, ya que si A es simple entonces AG es simple, e inversamente. Como veremos a continuación, éste es el único caso.

(32)

26 CAP´ITULO 4. ANILLOS DE GRUPO SIMPLES

Teorema 4.2. SeaA un anillo yG6={1}entonces AGno es simple.

Demostraci´on. Como ya se ha comentado, consideraremos G finito y carA -o(G). Dado un elemento g 6= 1 del grupo, definamos ˆg = _n1Pn−1

k=0g

k_{, donde}

n = o(G) y _n1 significa que sumado n veces es 1. Este elemento cumple ser idempotente. Además,∀x∈ AG, ˆgx=xˆg, entonces ˆg también es central. Por proposición 2.35,

A1= ˆgAG y A2= (1−ˆg)AG,

cumplen AG= A1⊕A2. Adem´as, dado queg 6= 1, entonces ni A1 ni A2 son

triviales. Por tantoAGno es simple. Otra prueba del mismo teorema es:

Demostraci´on. Seaξel homomorfismo de aumento,

ξ:AG−→A,

ElKer(ξ) cumple: no es el trivial

Ker(ξ)6={0},

pues 1−g∈AG, dondeg6= 1, cumple queξ(1−g) = 0.

Ker(ξ)6=AG, puesξ(1) = 1.

Por tanto Ker(ξ) es un ideal no trivial de AG. Lo que implica que AGno es simple.

(33)

Cap´ıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo se mostró cuándo se cumple que un anillo de grupo es se-misimple cuándo no semisimple y cuándo, en particular, es simple. Para ello se tuvo que caracterizar a los anillos y a los grupos.

Dado que todo anillo con identidad es un módulo, fue posible aplicar todos los resultados de módulos a dicho anillo. En una primera parte estudiamos los anillos de grupo semisimples. Se consideraron dos casos: cuando el grupo es infinito y cuando es finito y se alcanzó la siguiente clasificación completa:AG

es semisimple si, y s´olo si, Aes semisimple,Ges finito ycarA_-o(G).

Algunos resultados del cap´ıtulo 3 son para el cap´ıtulo 4 inmediatos, ya que un anillo simple es semisimple. Ahora bien, dado que en el cap´ıtulo 3 para el caso G infinito AGno es semisimple, entonces en particular AG no es simple. Para el caso en el que Ges finito, no trivial, ycarA|o(G) entonces AGno es semisimple. EntoncesAGno es simple.

En la segunda parte de anillos simples, situado en el cap´ıtulo 4, se con-cluy´o que si Aes un anillo yGes un grupo no trivial:AGnunca es simple.

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Bibliograf´ıa

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[2] T. Y. Lam;A first Course in Noncommutative Rings, 2nd Ed., Springer, New York, 2001.

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