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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

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Academic year: 2021

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CÁLCULO

DIFERENCIAL

E INTEGRAL

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Coordinador General del Proyecto • Álvaro Álvarez Barragán

Dirección Técnica • Uriel Espinosa Robles Coordinación:

• Luis Antonio López Villanueva Elaboración:

• Juan Pérez Rodríguez Revisión de Contenido:

• Mario Ulises Alvarado Hernández

• Pedro Arrazola Calva

• Joel Díaz Guadarrama

• Ricardo Garnica Juárez

• Daniel González Frías

• José Carlos López Jiménez

• Miguel Ángel Marrufo Chan

• Sergio Muñoz Martínez

• Conrado Octaviano Pacheco Gasca

• José Javier Tecuapetla Díaz Asesoría Pedagógica:

• Blanca Cruz Guerrero Diseño Editorial

• Rosa Maria Cedillo Aguilar

• Julia Mary Soriano Saenz

 Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México. Colegio de Bachilleres, México

Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa,

04920, México, D.F.

La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp.

Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.

(3)

PRESENTACIÓN 4

INTRODUCCIÓN 5

I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA 6

II. TEMAS FUNDAMENTALES 7

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES 8

3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1. RAZÓN DE CAMBIO 9

3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2. LA FUNCIÓN DERIVADA 37

IV. HOJA DE COTEJO DE EVALUACIÓN 93

V. EVALUACIÓN MUESTRA 103

5.1 HOJA DE RESPUESTA 119

5.2 HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA 121

VI. SIMBOLOGÍA 122

VII. FORMULARIO 123

BIBLIOGRAFÍA 124

(4)

El presente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres.

El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes obtenidos a través del estudio del compendio fascicular.

Los elementos didácticos que lo estructuran son los siguientes:

Objetivos de evaluación sumativa que te informan acerca de lo que se pretende lograr con el estudio del compendio fascicular.

Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan en el Cuaderno.

Retroalimentación y verificación de aprendizajes, en el cual encontrarás instrucciones generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a contestar.

Hoja de cotejo, en la cual identificarás las respuestas correctas de la evaluación que respondiste.

Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar en tu evaluación final de la asignatura y que puedes verificar tus respuestas correctas al final del mismo.

Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento independientemente del compendio fascicular.

Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:

¡TE DESEAMOS SUERTE!

PRESENTACIÓN

(5)

El departamento de evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepción de evaluación que se tiene “...como un proceso integral, sistemático, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones...”1, ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación.

El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de asesoría que desarrolla en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación sumativa de la asignatura a la que está dirigida, (cabe señalar que es un documento para uso del estudiante y del asesor).

Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la asignatura.

La asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I tiene como intención, la profundización en el estudio de las funciones y sus aplicaciones con un nuevo método, el de los procesos infinitos que le permitan generar en el estudiante un nuevo lenguaje y metodología de un nivel de abstracción mayor.

Cálculo Diferencial e Integral I integra junto con Cálculo Diferencial e Integral II la materia de Cálculo Diferencial e Integral que se relaciona con las Matemáticas de I a IV como antecedentes directos y con Estadística Descriptiva e Inferencial I y II como materia optativa; además tiene relación con el laboratorio de Informática I y II.

Cálculo Diferencial e Integral I recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del Área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento.

Con base a lo anterior, este Cuaderno de Actividades de Aprendizaje, Consolidación y Retroalimentación apoyará:

Al asesor.

• Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso formativo de los estudiantes, conjuntamente con el compendio fascicular y materiales que haya desarrollado como parte de su práctica educativa.

¡ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD! Al estudiante.

• Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, proceso formativo y su evaluación sumativa.

¡ÉXITO!

(6)

1.1 Determinará la razón de cambio promedio en diversos ejercicios y problemas.

1.2 Determinará la razón de cambio instantánea en diversos ejercicios y problemas.

2.1 Determinará el incremento de la variable dependiente de una función, la ecuación de la recta tangente a su curva y su comportamiento gráfico, a partir del concepto de la derivada.

2.2 Aplicará las técnicas de derivación para la obtención de la derivada de distintas funciones algebraicas (suma, producto y cociente de funciones).

2.3 Obtendrá la derivada de la potencia de una función mediante las técnicas de derivación correspondientes y la regla de la cadena.

2.4 Resolverá diversos ejercicios y problemas, mediante la obtención de las derivadas sucesivas de funciones algebraicas, aplicando las técnicas de derivación.

2.5 Obtendrá la derivada de las funciones algebraicas implícitas.

2.6 Obtendrá la derivada de las funciones trascendentes (exponenciales y logarítmicas).

2.7 Obtendrá la derivada de las funciones trigonométricas directas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante).

2.8 Obtendrá la derivada de las funciones trigonométricas inversas (arc sen, arc cos, arc tan, arc cot, arc sec y arc csc).

2.9 Interpretará las gráficas, el dominio y el rango de las funciones, para obtener los ceros de una función, las intersecciones de la gráfica con los ejes y los intervalos donde dicha función es positiva y negativa.

2.10 Determinará los valores máximo y mínimo de la función y los intervalos donde dicha función es creciente y decreciente, aplicando el criterio de la primera derivada.

2.11 Determinará los puntos de inflexión de la función, su concavidad y su convexidad, aplicando el criterio de la segunda derivada.

2.12 Determinará las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal en un punto dado de la gráfica de una función.

2.13 Aplicará las técnicas de derivación en la solución de problemas de optimización de cambio (maximización de áreas y minimización de costos en ganancias y producción) y pronósticos de los resultados de cambio (velocidad y aceleración).

2.14 Establecerá la existencia del límite en la gráfica de una función f(x) cuando x tiende a un número real a.

2.15 Determinará los límites de las funciones algebraicas, mediante la aplicación de las propiedades de dichos límites y distintas técnicas algebraicas.

2.16 Obtendrá las asíntotas verticales y horizontales de las funciones que crecen o decrecen sin cota, mediante la aplicación de los límites y la continuidad de dichas funciones.

2.17 Determinará la solución de ejercicios y problemas prácticos, mediante la aplicación de los límites de algunas funciones trascendentes.

I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA

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I. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO.

II. RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA.

III. LA FUNCIÓN DERIVADA.

IV. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

V. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

VI. LÍMITES.

II. TEMAS FUNDAMENTALES

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A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Es importante señalar que se trabajará con una diversa gama de funciones y sus aplicaciones, y a medida que se vaya avanzando en la solución de ejercicios, se irán omitiendo algunos pasos para que el estudiante los vaya realizando y compruebe la solución de dichos ejercicios.

Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tu compendio fascicular; si no fue así te pedimos que consultes dicho compendio y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados que te proporcionamos en la hoja de cotejo.

Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, dicha evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus resultados en la hoja de respuestas.

Las fórmulas que se aplican a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE

APRENDIZAJES

(9)

En el compendio fascículo 1 conociste el concepto de razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea, así como también analizaste la relación entre ambas razones y aplicaste sus expresiones en la solución de diversos ejercicios y problemas.

ESTUDIO DE LAS FUNCIONES

La materia prima del Cálculo Diferencial e Integral son las funciones, es por ello que éste cuaderno empieza con un breve estudio de las funciones y sus características.

FUNCIONES

La función es una regla de correspondencia y = f(x) entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del 1er conjunto (dominio) con uno y sólo un elemento del 2do conjunto (imagen).

Los elementos del dominio D ={x/x∈R} son los valores de x (variable independiente).

Los elementos de la imagen, recorrido, codominio o contradominio I={y/y=f(x)} son los valores de

y (variable dependiente).

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Las funciones algebraicas son la función constante, la función identidad, las lineales, las cuadráticas, las cúbicas, todas la polinomiales, las racionales, las radicales y las de valor absoluto; ya que al evaluarlas en su regla de correspondencia se realizan únicamente operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y radicación.

Las funciones trascendentes son las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas directas, recíprocas e inversas, ya que al evaluarlas en su regla de correspondencia no es posible expresarlas mediante operaciones básicas.

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES Funciones algebraicas: Constante. f(x)= C, donde C∈R. Identidad. f(x) = x Lineal. f(x)= mx + b, donde m y b ∈R, y m≠0. Cuadrática. f(x)= ax2+ bx + c, donde a, b y c∈R, y a≠0. Cúbica. f(x)= ax3+ bx2+ cx + d, donde a, b, c y d∈R, y a≠0. Polinomial. f(x)= a0xn + a1xn1 + ... + an, donde a0, a1, .... an∈R, n∈R + y a0≠ 0.

3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1.

RAZÓN DE CAMBIO

(10)

Racional. f(x)= ) ( ) ( x Q x

P , donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales con Q(x)

≠ 0.

Radical. f(x)=nP(x), donde nZ +, n>1 y P(x) es una función polinomial. Valor absoluto. f(x)=P(x), donde P(x) es una función polinomial.

Funciones trascendentes:

Exponenciales. f(x)= ax y f(x)= ex, donde e = 2.71823... y a > 0. Logarítmicas. f(x)= log a x y f(x)= ln x, donde a > 0.

Trigonométricas directas: Senof(x)= sen x, cosenof(x)= cos x y tangente f(x)= tan x.

Trigonométricas recíprocas: Cosecantef(x)=cscx, secantef(x)=secx y cotangentef(x)=cotx

Trigonométricas inversas: Arco seno f(x)= arc sen x. Arco coseno f(x)= arc cos x. Arco tangente f(x)= arc tan x. Arco cosecante f(x)= arc csc x. Arco secante f(x)= arc sec x. Arco cotangente f(x)= arc cot x.

CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje “X” que intersecta al eje “Y” en la ordenada que es igual al valor de la constante.

La gráfica de la función identidad es una recta que pasa por el origen del plano y biseca al 1º y 3º cuadrante. Y Y’ X’ X f(x) c 0 Y Y’ X’ X f(x)

FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIÓN IDENTIDAD 0

(11)

La gráfica de la función lineal es una recta con pendiente “m” y ordenada al origen P(0,b). -Si m>0, la recta se inclina a la derecha del eje “X” y si m<0, se inclina a la izquierda.

-Si b>0, la recta pasa arriba del origen; si b=0, pasa en el origen y si b<0, pasa abajo del origen.

La gráfica de la función cuadrática es una parábola.

- Si a>0, la curva es cóncava hacia arriba y si a<0, es cóncava hacia abajo.

- Si c>0, la curva intersecta al eje “Y” arriba del origen; si c=0, intersecta en el origen y si c<0, intersecta abajo del eje “Y”.

FUNCIÓN LINEAL con m > 0 FUNCIÓN LINEAL con m < 0

Y Y’ X’ X b 0 f(x) con b>0 f(x) con b=0 f(x) con b<0 b Y Y’ X’ X b b 0 f(x) con b>0 f(x) con b=0 f(x) con b<0

FUNCIÓN CUADRÁTICA con a > 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA con a < 0

Y Y X X c 0 f(x) con c>0 f(x) con c=0 f(x) con c<0 c Y Y’ X’ X c c 0 f(x) con c>0 f(x) con c=0 f(x) con c<0

(12)

La gráfica de una función cúbica generalmente es una curva con dos concavidades, puesto que crece y decrece en un intervalo de valores.

La gráfica de la función polinomial generalmente es una curva no definida.

La gráfica de la función radical es una curva formada por una o dos ramificaciones que pueden ser crecientes o decrecientes.

La gráfica de la función valor absoluto son rectas quebradas con pico o cambio brusco en sus puntos máximo y mínimo.

La gráfica de la función racional es una curva con dos o más ramificaciones dependiendo el grado del numerador y el denominador.

La gráfica de la función exponencial es una curva que generalmente intersecta con el eje “Y” en el punto P(0,1). Si a>0, la curva es creciente y si 0<a<1, es decreciente.

La gráfica de la función logarítmica es una curva creciente que generalmente intersecta con el eje “X” en el punto P(1,0). Y Y’ X’ X f(x) 0 Y Y’ X’ X f(x)

FUNCIÓN CÚBICA FUNCIÓN POLINOMIAL 0

FUNCIÓN RADICAL FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO FUNCIÓN RACIONAL

Y Y’ X’ X f(x) 0 Y Y’ X’ X f(x) 0 Y Y’ X’ X f(x) 0

(13)

La función seno y coseno son curvas crecientes y decrecientes en determinados intervalos de valores. La función cosecante y secante son curvas con ramificaciones aisladas en determinados valores. La gráfica de la función tangente son curvas crecientes discontinuas en determinados valores. La gráfica de la función cotangente son curvas decrecientes discontinuas en determinados valores.

FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Y Y’ X’ X f(x) = lnx 0 f(x) = log x 1 Y Y’ X’ X f(x) con a>1 0 1 f(x) con 0<a<1 Y Y’ X’ X 0 π 2π f(x) = sen x f(x) = csc x Y Y’ 0 π 2π f(x) = cos x f(x) = sec x Y Y’ X’ X 0 π 2π f(x) = tan x f(x) = cot x X X’ 1 1 -1 -1

(14)

Las gráficas de las funciones inversas se obtienen reflejando las gráficas de las funciones trigonométricas directas y recíprocas en la recta y = x (función identidad).

* Dada la función y = sen x, obtener su función inversa con su gráfica. - Se despeja a “x” en función de “y”. x = sen–1y

- Se intercambian las variables “x” por “y” y “y” por “x”. y = sen–1x ó y = arc sen x - Se obtiene la gráfica de y = arc sen x.

EVALUACIÓN DE FUNCIONES

La evaluación de una función se da cuando a su variable independiente “x” se le asigna un valor y éste se sustituye en la expresión f(x) para obtener el valor de la variable dependiente y = f(x)”. Los pasos que se siguen en la evaluación de la función, son:

1. Se sustituye el valor de la variable independiente en la expresión de la función. 2. Se desarrollan operaciones y se simplifican términos.

3. Se obtiene el valor de la función.

* Dada la función f(x) = x3 + 42x2 + 216x, hallar: A) f(1) B) f(–6) C) f(t–1) E EJJEEMMPPLLOO E EJJEEMMPPLLOO Y Y’ X’ X 0 π 2π -1 1 f(x) = x

(15)

A) Paso 1. f(1) = (1)3 + 42(1)2 + 216(1) Paso 2. f(1) = 1 + 42 + 216 Paso 3. f(1) = 259 B) Paso 1. f(–6) = (–6)3 + 42(–6)2 + 216(–6) Paso 2. f(–6) = –216 + 42(36) – 1296 Paso 3. f(–6) = 0 C) Paso 1. f(t – 1) = (t – 1)3 + 42(t – 1)2 + 216(t – 1) Paso 2. f(t – 1) = t3 – 3t2 + 3t – 1 + 42(t2 – 2t + 1) + 216t – 216 Paso 3. f(t – 1) = t3 + 39t2 + 135t – 175

* Dada la función f(x) = 4x, hallar:

A) f(–2) B) f(x+1) – f(x) C) f(y)f(z) A) Paso 1. f(–2) = 4–2 Paso 2. f(–2) = 1/42 Paso 3. f(1) = 1/16 B) Paso 1. f(x + 1) – f(x) = 4x+1 – 4x Paso 2. f(x + 1) – f(x) = 4x⋅ 4 – 4xf(x + 1) – f(x) = 4x (4 – 1) Paso 3. f(x + 1) – f(x) = 3f(x) C) Paso 1. f(y) ⋅f(z) = 4y⋅ 4z Paso 2. f(y) f(z) = 4y + z Paso 3. f(y)f(z) = f(y + z) * Dada la función f(x) = x 1 , demostrar que f(x+1)f(x) = x x +2 1 . Paso 1. f(x + 1) – f(x) = x x 1 1 1 − + Paso 2. f(x + 1) – f(x) = ) 1 ( ) 1 ( + + − x x x x Paso 3. f(x + 1) – f(x) = x x +2 1

(16)

OBTENCIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES A PARTIR DE LAS CARACTERÍSTICAS DE SUS MODELOS

La gráfica de una función se puede bosquejar a partir del análisis de su modelo.

* Obtener la gráfica de las siguientes funciones. A) f(x) = –3x + 6 B) f(x) = x2 – 2x – 3 C) f(x) = x3 – 3x D) f(x) = x2 1 E) f(x) = 1 4x

A) Del modelo se establece que la función es lineal, por lo tanto es una recta que:

Se inclina hacia la izquierda del eje “X”, ya que a<0, puesto que a=–3.

Intersecta con el eje “Y” en P(0,6), ya que b=6. La intersección de la recta con el eje “X” se

obtiene igualando a cero la función y despejando la variable “x”:

–3x + 6 = 0 ∴ x = 2

Por lo que la recta intersecta en P(2,0).

B) Del modelo se establece que la función es cuadrática, por lo tanto es una parábola que: Es cóncava hacia arriba, ya que a>0, puesto

que a=1.

Intersecta con el eje “Y” en P(0,–3), ya que c=–3. La intersección de la parábola con el eje “X” se

obtiene igualando a cero la función y resolviendo la ecuación cuadrática:

x2 – 2x – 3 = 0 ∴ x1 = 3 y x2 = –1

La solución de la ecuación indica que la curva intersecta en P1(3,0) y P2(–1,0).

El vértice de la curva se obtiene convirtiendo la función a la forma f(x) = a(xh)2+k con V(h,k). f(x) = (x–1)2 – 4 ∴ V(1,–4)

E

EJJEEMMPPLLOO

Con las características de la función, se representa su gráfica: Y Y’ X’ X f(x) = –3x + 6 0 2 6 Y Y’ X’ X f(x) = x2 – 2x – 3 0 -3 -1 1 2 3 -4

Con las características de la función, se representa su gráfica:

(17)

C) Del modelo se establece que la función es cúbica, por lo tanto es una curva que intersecta con el eje “Y” en P(0,0), ya que c=0. La intersección de la curva con el eje “X” se

obtiene igualando a cero la función y resolviendolaecuacióncúbicaporfactorización: x3 – 3x = 0 ⇒ (x) (x + √3) (x – √3) = 0 Por lo que la curva intersecta en P1(–3,0),

P2(0,0) y P3(3,0).

Se evalúa la función con valores de “x” que contemplen las intersecciones de la curva: (–2,–2), (–1,2), (0,0), (1,–2) y (2,2).

D) Del modelo se establece que la función es radical y su curva se obtiene asignándole valores a la variable “x” que al evaluar la función de como resultado un radicando real

≥ 0, ya que no existen raíces cuadradas negativas; para ello, se establece y se resuelve la desigualdad del radicando:

x2 – 1 ≥ 0 ∴ x1 1 y x2 –1

Con el resultado se establece una serie de valores que se encuentren dentro del intervalo y se evalúa la función, obteniéndose los siguientes puntos: (–3,8), (–2,3), (–1,0), (1,0), (2,√3) y (3,√8).

E) Del modelo se establece que la función es racional y su curva se obtiene asignándole valores a la variable “x” que al evaluar la función no de como resultado el cero en su denominador, ya que esto es una indeterminación; para ello, el denominador se iguala a cero y se establece que valores puede adoptar “x”:

x – 1 = 0 ∴ x = 1

Con el resultado se establece que a “x” se le puede asignar cualquier valor diferente de 1 (x 1). Con esta condición se evalúa la función y se obtienen los siguientes puntos:

(–2,–4/3), (–1,–2), (0,–4), (2,4), (3,2) y (4,4/3). Y Y’ X’ X f(x) = x21 0 2 1 1 -1 -3 -2 3 2 3

Se ubican los puntos en el plano y se construye la gráfica de la función:

Se ubican los puntos en el plano y se construye la gráfica de la función:

Y X’ X 1 4 ) ( − = x x f 0 4 -2 1 4 -4 Y’

Con las características de la función, se representa su gráfica: Y Y’ X’ X f(x) = x3 – 3x 0 -1 -2 -2 2 1 2 3 3

(18)

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dos o más funciones se pueden transformar en una función general por medio de la aplicación de las operaciones aritméticas.

* Dadas las funciones g(x) = x – 1 y h(x) = 5, obtener: A) g(x) + h(x) B) [g(x) – h(x)]2 C) [h(x)][g(x)] D) h(x)g(x) E) ) ( ) ( x g x h

Se sustituyen los términos de las funciones en la condición de la operación, se desarrollan operaciones, se simplifican términos y se obtiene la función general f(x) en cada inciso.

A) g(x) + h(x) = (x – 1) + 5 f(x) = x + 4

Se obtiene una función lineal considerada como una suma de funciones. B) [g(x) – h(x)]2 = [(x – 1) – 5]2

f(x) = x2 – 12x + 36

Se obtiene una función cuadrática considerada como una suma de funciones. C) [h(x)] [g(x)] = 5(x – 1) f(x) = 5(x – 1) ó f(x) = 5x – 5

Se obtiene una función lineal considerada como un producto de una constante por una diferencia de funciones. También es considerada como una diferencia de funciones.

D) h(x)⋅g(x) = 5(x−1) ∴ f(x) = 5x1 ó f(x) =(5 1)1/2

x

Se obtiene una función radical considerada también como una potencia de funciones. E) ) ( ) ( x g x h = 1 5 − xf(x) = 1 5x

Se obtiene una función racional considerada como un cociente de funciones.

* Dadas las funciones g(x) = x – 2, h(x) = 2 y j(x) = x + 2, obtener: A) g(x) + h(x) B) [g(x)][j(x)] C) 3 ) ( ) (       x g x j E EJJEEMMPPLLOO

(19)

Se sustituyen los términos de las funciones en la condición de la operación, se desarrollan operaciones, se simplifican términos y se obtiene la función general f(x) en cada inciso.

A) g(x) + h(x) = (x – 2) + 2 ∴ f(x) = x. Se obtiene una función identidad. B) [j(x)] [g(x)] = (x + 2) (x – 2) f(x) = (x + 2)(x – 2) ó f(x) = x2 – 4

Se obtiene una función cuadrática considerada como una diferencia de funciones. También es considerada como un producto de funciones.

C) 3 ) ( ) (       x g x j = 3 2 2       − + x xf(x) = 3 2 2       − + x x

. Se obtiene una potencia de funciones.

* Dadas las funciones g(x) = lnx y h(x) = sen x, obtener: A) g(x) + h(x) B) [g(x)][h(x)] D) ) ( ) ( x g x h

Se sustituyen los términos de las funciones en la condición de la operación, se desarrollan operaciones, se simplifican términos y se obtiene la función general f(x) en cada inciso.

A) g(x) + h(x) = ln x + sen x f(x) = ln x + sen x. Se obtiene una suma de funciones. B) [g(x)] [h(x)] = ln xsen xf(x) = ln xsen x. Se obtiene un producto de funciones. C) ) x ( g ) x ( h = x ln x sen ∴ f(x) = x ln x sen

. Se obtiene un cociente de funciones.

FUNCIONES COMPUESTAS

Una función compuesta es una función de una función. Si f(x) y g(x) son funciones, entonces la función compuesta es fog = f[g(x)] o también gof = g[f(x)].

* Obtener la función compuesta fog en cada uno de los siguientes incisos. A) f(x) = 3x – 1 y g(x) = 2x + 2 B) f(x) = x + 2 y g(x) = 5x C) f(x) = x2 y g(x) = x – 1 D) f(x) = 3x2 – 1 y g(x) = x + 2 E EJJEEMMPPLLOO

(20)

Se aplica la condición fog = f[g(x)], se desarrollan las operaciones correspondientes y se obtiene la función compuesta en cada inciso.

A) fog = 3(2x + 2) – 1 ∴ fog = 6x + 5. B) fog = 5x + 2 fog = 5x + 2. C) fog = (x – 1)2

fog = x2 – 2x + 1.

D) fog = 3(x + 2)2 – 1 ∴ fog = 3x2 + 12x + 11.

* Obtener la función compuesta gof en cada uno de los siguientes incisos. A) g(x) = x +1 y f(x) = x2 B) g(x) = 2x y f(x) = x – 2 C) g(x) = 1 2x x y f(x) = x2 + 1 D) g(x) = senx y f(x) = 2x + 1

Se aplica la condición gof = g[f(x)], se desarrollan las operaciones correspondientes y se obtiene la función compuesta en cada inciso.

A) gof = x+1 gof = (x2 + 1)1/2. Se obtiene una potencia de funciones. B) gof = 2(x – 2) ∴ gof = 2(x – 2). Se obtiene una función exponencial. C) gof = 1 x 1 x 2 2 − + gof = 1 1 2 2 − + x

x . Se obtiene un cociente de funciones.

D) gof = sen(2x + 1) ∴ gof = sen(2x + 1). Se obtiene la función trigonométrica seno.

FUNCIONES ESPECIALES Y SUS REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Una función especial es aquella que su modelo está especificado por reglas diferentes sobre diferentes subconjuntos como condición. Las gráficas de este tipo de funciones pueden ser discontinuas, con ruptura en sus vértices y escalonadas.

* Representar la gráfica de la función

     + = 2 3 ) ( x x x f si si si 2 2 2 > = < x x x

Las funciones compuestas obtenidas, son consideradas como una suma de funciones en cada inciso.

E

(21)

Se grafica cada regla de la función en el plano cartesiano: x es una recta que biseca al 3° cuadrante y va

desde –∞ hasta un valor menor que 2. 3 es un punto ubicado en la abscisa 2.

x + 2 es una recta con pendiente 1 que se inclina hacia la derecha y va desde un valor mayor que 2 hasta ∞.

* Representar la gráfica de la función

   = 1 ) ( 2 x x f si si 2 2 = ≠ x x

Se grafica cada regla de la función en el plano cartesiano: x2 es una parábola que abre hacia arriba con

vértice en el origen y va desde – hasta con un valor abierto en 2.

1 es un punto ubicado en la abscisa 2.

* Representar la gráfica de la función

  − + = 3 4 ) ( 2 x x f si si 1 1 > < x x

Se grafica cada regla de la función en el plano cartesiano: –x2 + 4 es una parábola que abre hacia abajo con vértice en V(0,4), con intersección en P(–2,0) y va desde – hasta un valor menor que 1.

3 es una recta paralela al eje “X” que va desde un valor mayor que 1 hasta .

Y X’ X 0 1 2 Y’ 4 Y X’ X 0 -2 1 3 Y’ 4 Y X’ X 0 2 2 3 Y’ 4 f(x) f(x) f(x)

(22)

* Representar la gráfica de la función   − = 11 ) (x f si si 0 0 < ≥ x x

Se grafica cada regla de la función en el plano cartesiano:

1 es una recta paralela al eje “X” que va desde –∞ hasta un valor menor que cero.

–1 es una recta paralela al eje “X” que va desde un valor mayor o igual que cero hasta ∞.

RAZÓN DE CAMBIO

Generalmente una función describe un fenómeno en movimiento en cualquier rama de la ciencia y cuando se da este movimiento el valor de una función varía al variar su variable independiente, todo esto mediante una razón de cambio, la cual es la rapidez de cambio que sufre un valor con respecto a otro por medio de incrementos (∆+) o decrementos (

∆–) de la variable independiente y

dependiente.

La razón de cambio de una función f(x) se expresa como el cociente

x y

, el cual puede darse en

promedio (cuando ∆x ≠ 0) y en forma instantánea (cuando ∆x→ 0).

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

Es la rapidez de cambio que en promedio sufre una función cuando ∆x≠ 0 y se obtiene con la expresión 1 2 1 2 x x y y x y − − = ∆ ∆ .

Los pasos que se siguen para obtener la razón de cambio promedio de una función, son: 1. Se evalúa la función en f(x1) y f(x2) para obtener el valor de y1 y y2.

2. Se sustituyen los valores de x1, x2, y1 y y2 en la expresión de la razón de cambio promedio y se

desarrollan operaciones para obtener el valor real de ésta.

* Determinar la razón de cambio promedio de la función 1 4 1 ) (x = x2+ f de x = 2 a x = 4. Paso 1. (2) 1 4 1 ) 2 ( f ) x ( f 2 1 = = + ∴ y1 = 2 y 4(4) 1 1 ) 4 ( f ) x ( f 2 2 = = + ∴ y2 = 5 Paso 2. 2 4 2 5 x x y y x y 2 1 − − = − − = ∆ ∆ 2 3 = ∆ ∆ x y Y X’ X 0 -1 1 Y’ E EJJEEMMPPLLOO f(x)

(23)

Geométricamente la razón de cambio promedio de la función se representa en el siguiente plano:

A partir del resultado del ejemplo anterior, se establece la siguiente condición:

Si la razón de cambio promedio >0

∆ ∆

x

y , entonces la recta secante se inclina hacia la derecha del

eje “X” con un ángulo de inclinación menor de 90° con respecto a dicho eje.

Si la razón de cambio promedio =0

∆ ∆

x

y , entonces la recta secante es paralela al eje “X” con 0° de

inclinación con respecto a dicho eje.

Si la razón de cambio promedio <0

∆ ∆

x

y , entonces la recta secante se inclina hacia la izquierda del

eje “X” con un ángulo de inclinación mayor de 90° con respecto a dicho eje.

* Hallar la razón de cambio promedio de la función f(x) = x2 – 6x + 10 de x = 1 a x = 3.

Paso 1. f(x1) = f(1) = (1)2 – 6(1) + 10 ∴ y1 = 5 y f(x2) = f(3) = (3)2 – 6(3) + 10 ∴ y2 = 1 Paso 2. 2 4 1 3 5 1 x x y y x y 1 2 1 2 = − − − = − − = ∆ ∆ x y ∆ ∆ = –2

Como la razón de cambio promedio (pendiente de la recta secante) es negativa (menor que cero), entonces la recta secante se inclina hacia la izquierda del eje “X” y en ese intervalo de valores, la función es decreciente.

* Obtener la razón de cambio promedio de la función f(x) = –x2 + 6x en el intervalo [1,5].

Paso 1. f(x1) = f(1) = –(1)2 + 6(1) ∴ y1 = 5 y f(x2) = f(5) = –(5)2 + 6(5) ∴ y2 = 5 Paso 2. 4 0 1 5 5 5 x x y y x y 1 2 1 2 = − − = − − = ∆ ∆ x y ∆ ∆ = 0

Como la razón de cambio promedio (pendiente de la recta secante) es igual a cero, entonces la recta secante es paralela al eje “X” y en ese intervalo de valores, la función decrece y crece, puesto que tiene la misma ordenada (y1=y2).

De la gráfica se establece que la razón de cambio promedio de una función, geométricamente es la pendiente de la recta secante para un par de puntos.

Como la pendiente de la recta secante es positiva (mayor que cero), entonces en ese intervalo de valores, la función es creciente. yx =msec Y X’ X 0 Y’ y2 y1 x1 x2 f(x) y=3 x=2 E EJJEEMMPPLLOO

(24)

* Dada la función f(x) = x3 – 4x + 2, obtener la razón de cambio promedio en los siguientes intervalos de valores: A) De x = –2 a x = –1. B) En [0,2]. C) De P1(½,1/8) a P2(1,–1) A) Paso 1. f(x1) = f(–2) = (–2)3 – 4(–2) + 2 ∴ y1 = 2 f(x2) = f(–1) = (–1)3 – 4(–1) + 2 ∴ y2 = 5 Paso 2. 1 3 ) 2 ( 1 2 5 x x y y x y 1 2 1 2 = − − − − = − − = ∆ ∆ x y

= 3 y la recta secante es:

B) Paso 1. f(x1) = f(0) = (0)3 – 4(0) + 2 ∴ y1 = 2 y f(x2) = f(2) = (2)3 – 4(2) + 2 ∴ y2 = 2 Paso 2. 2 0 0 2 2 2 x x y y x y 1 2 1 2 = − − = − − = ∆ ∆ x y

= 0 y la recta secante es:

C) Se sustituyen los valores de x1, x2, y1 y y2 en la expresión de la razón de cambio promedio:

2 / 1 8 / 9 2 / 1 1 8 / 1 1 x x y y x y 1 2 1 2 = − − − − = − − = ∆ ∆ 4 9 − = ∆ ∆ x y

y la recta secante es:

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR MEDIO DE LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

Para resolver problemas por medio de la razón de cambio promedio se aplica la expresión correspondiente a dicha razón.

* Resolver el siguiente problema.

Una avioneta que vuela a 300 m de altura se le apaga el motor y cae libremente por medio de la ley S = 4.9t 2, donde “S” está descrito en metros y “t” en segundos. De acuerdo con esto, ¿cuál es la velocidad promedio que lleva la caída de la avioneta entre los 3 y 5 segundos transcurridos?

- Se evalúa la función para t1 = 3 y t2 = 5 y se obtiene el valor de S1 y S2.

S1 = 4.9(3)2 = 44.1 y S2 = 4.9(5)2 = 122.5

- Se obtiene la velocidad promedio aplicando la expresión de la razón de cambio promedio.

3 5 5 . 44 5 . 122 t t S S t S 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ Vel. prom = 39 m/s.

El resultado indica que la avioneta va cayendo a una velocidad promedio de 39 m/s cuando han transcurrido de 3 a 5 segundos.

E

(25)

* Resolver el siguiente problema.

El costo total por la fabricación de “x” juguetes está dado por la función C(x)=0.02x2+4x+110

donde C(x) está descrito en pesos ($). Si en un lote se planea producir de 25 a 35 juguetes, entonces ¿cuál es la variación del costo promedio por juguete en la producción de dicho lote? - Se evalúa la función para x1 = 25 y x2 = 35 y se obtiene el valor de C(x1) y C(x2).

C(x1) = −0.02(25)2 + 4(25) + 110 = 197.5 y C(x2) = −0.02(35)2 + 4(35) + 110 = 225.5

- Se obtiene la variación del costo promedio aplicando la expresión de la razón de cambio promedio: 25 35 5 . 197 5 . 225 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ x x x C x C x x C

Costo = $2.8 por juguete.

El resultado indica que al producir de 25 a 35 juguetes, la variación de su costo promedio de fabricación de cada uno de ellos será $2.8.

* Resolver el siguiente problema.

La siguiente tabla muestra la población de los Estados Unidos por década durante los años de 1850 a 1900.

Años (x)

1850 1860 1870 1880 1890 1900

Millones de habitantes (y)

23.2 31.4 39.8 50.2 62.9 76

De acuerdo con la tabla anterior, calcular:

A) La razón de cambio promedio del número de habitantes entre 1850 y 1870. B) ¿Cuál década fue la que tuvo un promedio mayor de habitantes?

C) La razón de cambio promedio del número de habitantes entre 1882 y 1895

A) Se sustituyen los valores de los años 1850 y 1870 en la expresión de la razón de cambio promedio y se obtiene el promedio de crecimiento de habitantes que hubo por año en ese periodo de años. 1850 1870 2 . 23 8 . 39 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ habit. prom = 0.83 millones.

El resultado indica que de 1850 a 1870 hubo un crecimiento promedio de 0.83 millones de habitantes por año.

B) Para conocer la década donde hubo un crecimiento promedio mayor de habitantes, se calcula el promedio por cada década consecutiva.

De 1850 a 1860: 1850 1860 2 . 23 4 . 31 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ = 0.82 ∆ ∆ x y De 1860 a 1870: 1860 1870 4 . 31 8 . 39 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ = 0.84 ∆ ∆ x y De 1870 a 1880: 1870 1880 8 . 39 2 . 50 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ = 1.04 ∆ ∆ x y

(26)

De 1880 a 1890: 1880 1890 2 . 50 9 . 62 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ = 1.27 ∆ ∆ x y De 1890 a 1900: 1890 1900 9 . 62 76 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ = 1.31 ∆ ∆ x y

De los resultados obtenidos se establece que la década que tuvo un crecimiento promedio de habitantes mayor fue de 1890 a 1900.

C) Para saber el número de habitantes que hubo en 1882, se hace lo siguiente:

27 . 1 10 2 . 50 9 . 62 = −

(1.27) (2) = 2.54 + 50.2 = 52.74 Se multiplica por 2 años y la cantidad se suma a la que había en 1880.

- Para saber el número de habitantes que hubo en 1995, se hace lo siguiente: 31 . 1 10 9 . 62 76 = −

(1.31) (5) = 6.55 + 62.9 = 69.45 Se multiplica por 5 años y la cantidad se suma a la que había en 1900.

- Con los datos anteriores se calcula el crecimiento promedio de habitantes entre 1882 y 1895:

1882 1895 74 . 52 45 . 69 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ habit. prom = 1.285 millones.

El resultado indica que de 1882 a 1895 hubo un crecimiento promedio de 1.285 millones de habitantes aproximadamente.

* Resolver el siguiente problema.

La temperatura de una persona que adquiere una enfermedad de 5 días de duración, está dada por la función f(t) = –0.24t2 + 1.2t + 53, donde f(t) se mide en °C y “t” en días. Si una persona adquiere la enfermedad, entonces:

A) ¿En qué intervalo de días consecutivos la variación promedio de temperatura fue mayor? B) ¿En qué intervalo de días consecutivos la variación promedio de temperatura fue menor? Como la enfermedad tiene una duración de 10 días, entonces se evalúa la función de f(0) a f(10). f(0) = –0.24(0)2 + 1.2(0) + 53 = 53 f(1) = –0.24(1)2 + 1.2(1) + 53 = 53.96 f(2) = –0.24(2)2 + 1.2(2) + 53 = 54.44 f(3) = –0.24(3)2 + 1.2(3) + 53 = 54.44 f(4) = –0.24(4)2 + 1.2(4) + 53 = 53.96 f(5) = –0.24(5)2 + 1.2(5) + 53 = 53

se realiza la diferencia de habitantes de 1890 menos los de 1880 y se divide entre 10 para saber el crecimiento aproximado de habitante por año en esa década.

se realiza la diferencia de habitantes de 1900 menos los de 1890 y se divide entre 10 para saber el crecimiento aproximado de habitante por año en esa década.

(27)

A) y B) Para conocer la variación promedio de temperatura mayor y menor por cada día consecutivo, se calcula la variación promedio de temperatura por cada día.

De 0 a 1 día: 0 1 53 96 . 53 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ 0.96 x y = ∆ ∆ De 1 a 2 días: 1 2 96 . 53 44 . 54 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ 0.48 x y = ∆ ∆ De 2 a 3 días: 2 3 44 . 54 44 . 54 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ 0 x y = ∆ ∆ De 3 a 4 días: 3 4 44 . 54 96 . 53 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ 0.48 x y − = ∆ ∆ De 4 a 5 días: 3 5 96 . 53 53 x x y y x y 1 2 1 2 − − = − − = ∆ ∆ 0.96 x y − = ∆ ∆

De los resultados obtenidos se establece que la variación promedio de temperatura mayor por día es de 0.96 °C y se da en dos intervalos de días consecutivos:

• De 0 a 1 día, donde la temperatura de la persona va en aumento, y

• De 4 a 5 días, donde la temperatura de la persona va disminuyendo.

La variación promedio de temperatura menor por día se da en el intervalo que va de 2 a 3 días. Como en este intervalo la variación promedio es 0, se infiere que al principio del día la temperatura de la persona aumenta y al final del día disminuye, por tal motivo la variación se equilibra dando como resultado un promedio de 0.

RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

Es la rapidez de cambio que sufre una función en un cierto instante cuando ∆x → 0 y se obtiene con la expresión x ) x ( f ) x x ( f lim x y lim 0 x 0 x ∆ − ∆ + = ∆ ∆ → ∆ → ∆ .

Los pasos que se siguen para obtener la razón de cambio instantánea de una función, son: 1. Se sustituye en la función a “x” por (x + ∆x).

2. Se resta la función original en la expresión de la razón de cambio instantánea. 3. Se desarrollan operaciones y se simplifica el numerador de la razón.

4. Se factoriza y se simplifica el incremento x en el cociente de la razón. 5. Se sustituye ∆x por cero en la expresión de la razón.

(28)

* Determinar la razón de cambio instantánea de la función f(x) = x2 en x = ½. Paso 1. f(x+∆x) = (x+∆x)2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 Paso 2. x x ) x ( x x 2 x x ) x ( f ) x x ( f lim 2 2 2 0 x ∆ − ∆ + ∆ + = ∆ − ∆ + → ∆ Paso 3. x ) x ( x x 2 lim 2 0 x ∆ ∆ + ∆ → ∆ Paso 4. lim 2x x x ) x x 2 ( x lim 0 x 0 x ∆ = +∆ ∆ + ∆ → ∆ → ∆ Paso 5. 2x 0 2x x y = + = ∆ ∆ Paso 6.      = = ∆ ∆ 2 1 2 x 2 x y ∴ x y ∆ ∆ = 1

Geométricamente la razón de cambio instantánea de la función se representa en el siguiente plano:

De la gráfica se establece que la razón de cambio instantánea de una función, geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto de dicha función.

Como la pendiente de la recta tangente es mayor que cero (positiva), entonces en ese punto, la función es creciente.

A partir del resultado del ejemplo anterior, se establece la siguiente condición:

Si la razón de cambio instantánea 0

x y

> ∆

, entonces la recta tangente se inclina hacia la derecha del

eje “X” con un ángulo de inclinación menor de 90° con respecto a dicho eje.

Si la razón de cambio instantánea 0

x y

= ∆

, entonces la recta tangente es paralela al eje “X” con 0° de

inclinación con respecto a dicho eje y esto sucede en un punto máximo o mínimo de la curva.

Si la razón de cambio instantánea 0

x y

< ∆

, entonces la recta tangente se inclina hacia la izquierda

del eje “X” con un ángulo de inclinación mayor de 90° con respecto a dicho eje.

yx=mtan= 1 Y X’ X 0 Y’ x=½ f(x) y=¼ yx Y X’ X 0 Y’ x x1=x+x f(x) P xy=f(x+x)-f(x) f(x) f(x1)=f(x+x) Q P Cuando Q se acerca a P,

∆x0 y la recta secante pasa a ser una recta tangente.

E

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