1. Los múltiplos son:
84 4;85 4;86 4; :::;219 4 luego hay 219 84 + 1 = 136 múltiplos de 4 entre 334 y 879
Respuesta es (f)
2. Dividiendo tenemos
58
79 = 0:73417:::
Es claro que 0.73401<0.73407<0.73421<0.73427<0.73429, para ello basta observar la relación de orden de las últimas cifra de los números dados. Por otro lado es claro tambien que:
0:73407<0:73417::: <0:73421 de donde concluimos que 5879 = 0:73417:::;está más cerca de 0:73421:
Respuesta es (c)
3.
N umero P adres abuelos bisabuelos
42 ! 67 76 8 ! 24 ! 8 > > < > > : 83 38 46 64 88 18 ! 8 > > < > > : 29 92 63 36 97;79 49;94;66 81 ! 99
Luego 8 tiene 6 bisabuelos Respuesta es (e)
4. Del grá…co tenemos
que hay en total 2 (10 + 4 + 1) = 30cuadrados que no se ven. Respuesta es (f)
5. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 5 luego 2010 esta en la 1ra. columna y 2012 esta en la 3ra. columna.
Respuesta es (c)
1. Los múltiplos son:
112 3;113 3;114 3; :::;319 3 luego hay 319 112 + 1 = 208múltiplos de 3 entre 334 y 959
Respuesta es (f)
2. El mayor es 984, y el menor es 128 y así la diferencia entre estos números es 856 Respuesta es (d)
3. Del grá…co tenemos
que hay en total 2 (22 + 10 + 4 + 1) = 74 cuadrados que no se ven. Respuesta es (f)
4. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 4 luego 2000 esta en la 1ra. columna y como 2012 también es múltiplo de 4 esta en la 1ra. columna.
Respuesta es (a)
5. Tenemos las siguientes observaciones:
1er. día el caracol en la mañana está a 0 cm del piso, luego sube 100cm y desciendex cm por la noche.
2do día el caracol en la mañana está a 100 x cm del piso, luego sube 100cm y desciendex cm por la noche.
3er. día el caracol en la mañana está a200 2x cm del piso, luego sube 100cm y desciendexcm por la noche.
4to. día el caracol en la mañana está a300 3xcm del piso, luego sube 100cm y desciendexcm por la noche.
y así suscesivamente, hasta que el día 15, tenemos que el caracol en la mañana esta a1400 14x
cm del piso, luego sube 100cm y alcanza los 3metros, de donde 1400 14x= 200 resolviendo se tiene que x= 60014 '85:71:
Respuesta es (f)
1. Como 182=2 7 13, 182 tiene los siguientes divisores: 1;2;7;13;2 7;2 13;7 13;2 7 13 osea
1;2;7;13;14;26;91;182 Contando tenemos que se usan los siguiente dígitos:
5 unos osea 5 6 = 30cuadraditos 3 dos osea 3 11 = 33cuadraditos 1 siete osea 7cuadraditos
1 tres osea 11cuadraditos 1 cuatro osea 9cuadraditos 1 seis osea 12cuadraditos 1 nueve osea 12cuadraditos 1 ocho osea 13cuadraditos en total usamos 127 cuadraditos
Respuesta es (d)
2. El perímetro del triángulo equilátero es9 4 y cada lado es igual a 12 y como el rectángulo tiene también perímetro 36 se sigue que el lado desconocido es igual a 36 2 12
2 = 6
Respuesta es (f)
3. Observemos que luego de 3 horas la segunda vela tiene altura 14 y la primera 25 y estudiando en lapsos de 10 minutos tenemos
Tiempo Altura de vela 1 Altura de la vela 2 Cociente entre la aturas de la velas 2 y 1
3h 25 14 14 25 = 58
3h 10m 56 + 1 = 116 56 56 116 = 115
3h 20m 46 + 1 = 106 46 46 106 = 25
3h 30m 36 + 1 = 96 36 36 96 = 13
3h 40m 26 + 1 = 86 26 26 86 = 14
Luego el apagón duró 3h 40m Respuesta es (e)
4. Observemos que(x+ 3) (x+ 1) (x 1) (x 3)+16 = (x2 9) (x2 1)+16 =x4 10x2+25 =
(x2 5)2 luego con x= 2012tenemos
2015 2013 2011 2009 + 16 = 20122 5 2
de donde p 2015 2013 2011 2009 + 16 = q (20122 5)2 = 20122 5 = 4048139 Respuesta es (d)
5. Luego de 40 cm la arana se encuentra en e punto P del siguiente grá…co
P
A
de donde la distancia buscada es p12+ 32 =p10
Respuesta es (f)
1. Seat el tiempo que duró el apagón entonces
5 t = 7 (4 t) de donde se tiene t= 236 horas, entonces
23 6 h= 3 5 6h= 3h+ 5 6h 60m 1h = 3h50m
luego el apagón duró 3h50m
Respuesta es (d)
2. Tenemos cuatro casos: Caso 1: de un dígito, hay 1 ó 2
Caso 2: de dos dígitos, hay 11,21,12,22
Caso 3: de tres dígitos, hay 111,211,121,221,112,212,122.222
Caso 4: de cuatro dígitos, aumentamos a cada número del caso anterior por la derecha 1 ó 2 y así hay entonces 16 números de cuatro dígitos simples.
En total hay2 + 4 + 8 + 16 = 30 Respuesta es (f)
3. Sea h la hora de salida la cual la tomamos a partir de las 12:00, entonces sea d la distancia entre ambas ciudades y tenemos
d= 100 (8 t) = 300 (2 t)
de donde tenemost = 1lo cual signi…ca que una hora antes de las 12:00 es la hora de salida, esto es a las 11:00 a.m.y así la distanciad= 900:Por otro lado si se sale en avión se llega ent= 900900km=hkm = 1h
y así la hora de llegada es 12:00. Respuesta es (d) 4. Tenemos = a+pa2 4b 2 y = a pa2 4b 2 y entonces 2+ 2 = a+ p a2 4b 2 2 + a+ p a2 4b 2 2 = 1 4 a 2 2apa2 4b+a2 2b +1 4 a 2+ 2apa2 4b+a2 2b = 1 4 4a 2 8b =a2 2b Respuesta es (d) 1
5. Seax el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a 30 (8) +x10 = 10x+ 240
Si se invierten los precios ellos y ellas pagan
30 (10) +x8 = 8x+ 300 y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos
8x+ 300 + 6 = 10x+ 240 de donde se tiene x= 33.
Respuesta es (c)
1. Sear el radio de la circunferencia pequeña:
r
Entonces del grá…co, tenemos que la diagonal del cuadrado es igual al radio de la circunferencia mayor mas el de la pequeña y la diagonal del cuadrado pequeño y tenemos
1 +r+rp2 =p2 de donde se sigue r= p 2 1 p 2 + 1 = p 2 1 p 2 + 1 p 2 1 p 2 1 = p 2 1 2 = 3 2p2 Respuesta es (e)
2. Tenemos los siguientes movimientos
de donde concluimos que los cinco cuadrados tiene área 100 y así cada uno 20, y entonces el cuadrado sombreado tiene área 20:
Respuesta es (a)
3. Tenemos tres casos
Caso1: Cuando el número tiene un dos como centena, existe un número: 210 Caso2: Cuando el número tiene un dos como decena:
21 ó 20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9, entonces hay 14 números.
Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:
32; 42; 52; 62; 72; 82 y los cuadrados se pueden llenar de 6;5;4;3;2;1 posibilidades re-spectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 números
En total hay1 + 14 + 21 = 36 Respuesta es (b) 4. Consideremos el grá…co 12 5 10 12 9 x
se sigue que la longitud de la escalera es l =p52+ 122 + 10 = 23; entonces en la segunda posición
se tiene 23 =p92+ 122+x de donde x= 8
Respuesta es (d)
5. Sea n el número de miembros de la familia, sea k1; k2; ::kn las respectivas edades de la familia entonces como el promedio es 18 tenemos
k1+k2+ +kn
n = 18 (*)
Sea k1 la edad del padre entoncesk1 = 38 y como el promedio de los demás es 14 tenemos
k2+ +kn n 1 = 14 de donde k2+ +kn = 14 (n 1) reemplazando esto en (*) 38 + 14 (n 1) n = 18 de donde se obtiene n= 6. Respuesta es (c) 2
1. Descomponemos el área dada como sigue
Figura 1 Figura 2
Observemos que en la …gura 1, se tiene que cada región corresponde a la octava parte de la circun-ferencia de radio 14 y como hay ocho entonces el área en esta …gura es igual al de una circunferencia de radio 14 esto es 16:En la …gura 2 dividiendo el área en cuatro partes, una de ellas es igual a
1 4 2 1 4 1 4 2 = 1 16 1 64
Entonces el área total es 16+ 4 161 641 = 14 y como el área del cuadrado es 1 habrá que multiplicar por 14 para obtener el área sombreada
Respuesta es (b)
2. Hacemos el cambio z=sen(x)y tenemos 1 1 z +
1 1 +z = 6
simpli…cando esta ecuación tenemos:
3z2 = 2 resolviendo se tiene z1 = q 2 3 y z2 = q 2
3, como0< x < 2 se sigue que0 sen(x) 1; de manera
que solo consideramos la primera solución, de donde tenemos
sen(x) = p 2 p 3 x 2 3 1 1
y entonces
tan (x) =p2 Respuesta es (d)
3. Seax el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a 30 (8) +x10 = 10x+ 240
Si se invierten los precios ellos y ellas pagan
30 (10) +x8 = 8x+ 300 y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos
8x+ 300 + 6 = 10x+ 240 de donde se tiene x= 33.
Respuesta es (c)
4. Sea49x =z entonces tenemos
z+z 1 = 7 simpli…cando tenemos z2 7z+ 1 = 0 resolviendo se tiene z = 7 p 45 2 volviendo el cambio de variable tenemos
49x = 7 p
45 2 y se tiene las soluciones
= 1 2log7 7 +p45 2 ! y = 1 2log7 7 p45 2 ! luego (7 ) 7 = 712log7 7+ p 45 2 7 1 2log7 7 p 45 2 = 7 1 2log7 7+ p 45 2 + 1 2log7 7 p 45 2 = 712 log7 7+ p 45 2 +log7 7 p 45 2 = 7 1 2log7 7+ p 45 2 7 p45 2 = 712log7(49445) = 7 1 2log7(1) = 712(0) = 1 Respuesta es (a) 2
21 ó 20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9, entonces hay 14 números.
Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:
32; 42; 52; 62; 72; 82 y los cuadrados se pueden llenar de 6;5;4;3;2;1 posibilidades re-spectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 números
En total hay1 + 14 + 21 = 36 Respuesta es (b)