Teorema de la Mínima Energía Potencial Total

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Teorema de la Mínima Energía Potencial Total

Introducción:

El teorema de la mínima energía potencial total es otra poderosa herramienta que permite resolver una serie de problemas en forma simple.

Energía de deformación:

En un sólido de forma arbitraria, se define la energía de deformación por unidad de volumen como:

{ }

{ }

{ }

ε

σ

ε

d

dVol

dU

f

=

0

'

Donde:

{ }





=

zx yz xy z y x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

{ }





=

zx yz xy z y x

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ε

Vector tensión Vector deformación

Se particulariza esta expresión para el caso de una barra prismática de eje recto. Se adopta una terna cartesiana ortogonal, tal que el eje x coincide con el eje de la barra, y los ejes y, z con los ejes principales de inercia de la sección transversal.

Por las hipótesis habituales en la teoría de barras resulta:

0 = = z y

σ

σ

σ

x

=

E

.

ε

x

τ

yz =0 0 = = zx xy

γ

γ

(Hipótesis de Bernoulli-Navier)

=

xf x x

d

dVol

dU

ε

σ

ε

0

.

De la ley de Hooke: x x

E

ε

σ

=

.

De donde:

(2)

E

E

d

E

dVol

dU

x x x x x

2

2

.

2 2 0

σ

ε

ε

ε

ε

=

=

=

O sea:

∫∫

=

=

L F x Vol x

dFdx

E

dVol

U

0 2 2

2

1

E

2

1

σ

σ

De la teoría de barras: y J M z J M F N z z y y x = + −

σ

∫∫

=

+

+

+

=

L F y z z y z z y y z z y y

dxdF

yz

J

J

M

M

y

FJ

NM

z

FJ

NM

y

J

M

z

J

M

F

N

E

U

0 2 2 2 2 2 2 2 2

.

2

2

2

2

1

+

+

+

=

L F L F L F L F y y z y y

dF

z

dx

NM

EFJ

dF

y

dx

M

dF

z

dx

M

EJ

dF

dx

N

EF

0 0 0 0 2 2 2 2 z 2 2 2 2 2

1

EJ

2

1

2

1

2

1

L F L F z y z y z z

zydF

dx

M

M

J

EJ

ydF

dx

NM

EFJ

0 0

1

1

=

F

dF

F

F

z

dF

=

J

y 2

F

y

dF

=

J

z 2

=

=

F

zdF

S

y

0

F

ydF

=

S

z

=

0

(Por ser ejes baricéntricos)

=

=

F

zydF

J

yz

0

(Por ser ejes principales de inercia)

+

+

=

L z z L L y y

dx

M

EJ

dx

M

EJ

dx

N

EF

U

0 2 0 0 2 2

2

1

2

1

2

1

Recordando que: dx du EF N = 2 2

dx

w

d

EJ

M

y

=

y 2 2

dx

v

d

EJ

M

z

=

z

Se puede escribir una expresión alternativa de la energía de deformación:

  +

  +

  = EF L du EJy L d w EJ L d v 2 2 2 2 2

(3)

Donde u, v, w son las componentes del vector desplazamiento del baricentro de la sección transversal de la barra según los ejes x, y, z respectivamente.

Energía potencial de las cargas exteriores:

Si se considera una carga concentrada P cuyo punto de aplicación está ubicado a una distancia h de un plano arbitrario, el trabajo que potencialmente puede realizar esta carga hasta alcanzar el plano es igual a P.h.

Fig. 1

P

v

h - v

h

Si el punto de aplicación de la fuerza P sufre un desplazamiento v, la capacidad potencial de realizar trabajo pasa a ser P.(h – v), es decir, hay una disminución P.v de la energía potencial de la carga. Si se hace coincidir el plano arbitrario de referencia con la posición original del punto de aplicación de la carga, la disminución de energía potencial coincide con la energía potencial en la configuración deformada:

v P T =− .

Generalizando para un sólido de forma arbitraria con cargas y pares concentrados, distribuidas por unidad de longitud, de superficie y de volumen, resulta:

{ } { }

{ } { }

∑∫

{ } { }

∑∫

{ } { }

∑ ∫

{ } { }

Θ

=

S F Vol

dVol

u

X

dF

u

p

dx

u

q

M

u

P

V

'.

'.

'.

'.

'.

{ }

=

z y x

P

P

P

P

Vector cargas concentradas

{ }

=

z y x

M

M

M

M

Vector pares

(4)

{ }

=

z y x

q

q

q

q

Vector carga distribuida por unidad de longitud

{ }

=

z y x

p

p

p

p

Vector carga distribuida por unidad de superficie

{ }

=

Z

Y

X

X

Vector carga distribuida por unidad de volumen

{ }

=

w

v

u

u

Vector desplazamiento

{ }

Θ

Θ

Θ

=

Θ

z y x Vector rotación

En el caso particular de la barra, considerando sólo las acciones concentradas y distribuidas por unidad de longitud:

Θ

Θ

Θ

=

P

x

u

P

y

v

P

z

w

M

x x

M

y y

M

z z

V

.

.

.

.

.

.

∑∫

∑∫

∑∫

L

q

x

udx

L

q

y

vdx

L

q

z

wdx

0 0

.

0

.

.

Energía potencial total:

Se define la energía potencial total de un sistema formado por una estructura y un conjunto de cargas como la suma de la energía de deformación de la estructura más la energía potencial de las cargas:

V U T = +

(5)

En las configuraciones de equilibrio la energía potencial total del sistema para por un extremo, correspondiendo valores mínimos a las configuraciones de equilibrio estable y máximos a las configuraciones de equilibrio inestable.

Ejemplo: Ver archivo “TP1”

Figure

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