BLOQUE. Aprendizajes esperados

BLOQUE

2

Aprendizajes esperados

• Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.

• Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.

En Egipto, en la orilla occidental del río Nilo, se encuentra Guiza, ciudad célebre porque hace unos 4 600 años en sus alrededores se erigieron las tres grandes pirámides de Keops, Kefrén y Micerino.

Fuente: www.e-sm.com.mx/matcom2-080

81 recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen.

a) La pirámide de Keops es la más grande de las tres de Guiza. Su base, casi cua-drada, mide 230.34 m por lado y cuando se construyó tenía 146.61 m de altura. ¿Cuál era su volumen entonces?

b) La pirámide de Keops pesa 5 750 000 toneladas; está compuesta por bloques de piedra cuyo peso medio es 2.5 toneladas, pero los hay hasta de 60 toneladas. Si todos los bloques fueran de 2.5 toneladas, ¿cuántos se necesitarían para for-mar la pirámide? ¿Y si los bloques pesaran 2 toneladas? ¿Cuántos bloques de 4 toneladas se necesitarían? ¿Y de 25 toneladas? Si el peso de los bloques au-menta, ¿qué pasa con el número necesario de ellos? ¿Y

qué pasa con el número de bloques si el peso disminuye? c) Supón que un bloque tiene la forma y las dimensiones

que se indican.

¿Cuál es el área lateral del bloque?

¿Y el área total? x

y 50

Juegos y retos

Rompecabezas algebraico

Observa los siguientes bloques.

Dentro de cada bloque se indica el valor de su área.

Analiza cómo se obtuvo el área y el perímetro de las siguientes figuras formadas con los bloques. Perímetro = 8x Área = 3x2 Perímetro = 6x+ 6 Área = 2x2_{+ 4x+ 2} Recuerda x+x= 2x x+x+x= 3x x2_+x2_{= 2x}2 x2_+x2_+x2_{= 3x}2 Observa El cuadrado rojo no cabe un número exacto de veces en el cuadrado verde ni el verde en el azul. 1 1 1 1 x x x2 x x x x x x 1 1 1 x x x

83

ii) Multiplica por 2 el número que pensaste.

iii) Súmale el número siguiente al número que pensaste. iv) Súmale 8.

v) Divídelo entre 3.

vi) Réstale el número que pensaste al principio. vii) ¿Te quedó 3?

a) Si se representa con x el número que se piensa, ¿cómo se representa ese número multiplicado por 2?

b) ¿Y el número siguiente?

c) ¿Cómo representarías, usando x, el resultado del inciso iii)? d) ¿Y el del iv?

e) ¿Siempre es exacta la división del inciso v)? ¿Por qué?

f) ¿Siempre resulta 3 al final? ¿Por qué?

Inventen un juego como el anterior y plantéenselo a sus compañeros.

•

La primera instrucción debe ser “Piensa cualquier número”.

•

La última frase debe ser “¿Te queda 1?”.

Lean la definición y escriban en sus cuadernos lo siguiente con expresiones algebraicas. Una expresión algebraica indica operaciones entre números y letras. Las letras se de-nominan literales.

a) La suma de un número entero más el anterior.

b) La suma del triple de un número entero más su quíntuple.

Contesten lo siguiente y justifiquen sus respuestas.

c) ¿Por qué la suma de un número entero más el anterior siempre es impar? d) ¿Por qué la suma de cuatro números consecutivos siempre es par?

PISTAS Y ESTRATEGIAS 2x

x

+ 1 2x +

x

+ 1 2x +

x + 1 + 8

Sí. R. T. Porque se

divide 3x + 9 entre 3 y siempre resulta x + 3.

Sí. R. T. Porque x + 3 −

x

= 3.

z

+

z

− 1

3z + 5z

Lección 26

PREGUNTA INICIAL

Adición y sustracción de monomios

¿Con qué valores de x se cumple que x+x= 2x? ¿Y con cuáles, que x+x=x2_? 1 Escribe el área de las figuras formadas con los bloques de la página 82 y contesta.

a) b) c) d)

Área = Área = Área = Área =

e) f)

Área = Área =

g) ¿Cuánto suman las áreas de las figuras a) y b)? h) ¿Cuánto suman las áreas de las figuras b) y c)? i) ¿Cuánto suman las áreas de las figuras a) y d)?

j) ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de las figuras b) y c)?

k) Se sumó el área de la figura f) con el área de otra. Si el resultado fue una expresión algebraica en la que solamente hay operaciones de multiplicar y potencias, ¿con el

área de qué figura se sumó? ¿Por qué?

2 2x

x

3 2x2 _3x2 2x +2 3x 5

x

De la figura e). R. T. Porque en los

otros casos las figuras son de distinto tipo; por lo que la suma no se puede anotar con una expresión en la que solo hay multiplicaciones y potencias.

85

2 Resuelve con tres o cuatro compañeros lo siguiente.

a) El área de la figura es x2_+x2_{+x+x. ¿Alguna de las siguientes}

expre-siones también indica esa área?

4x3 _4x6 _2x2_{+ 2x 4x}2

b) El área de la figura es x2_{+x. ¿Alguna de las expresiones también indica esto?}

x3 _{3x 2x}3 _3x3

3 Contesta.

a) Considera los incisos g) a j) de la actividad 1. ¿En qué casos las respuestas pueden expresarse con un monomio? ¿Por qué es así?

b) Considera la actividad 2. ¿En qué caso el área puede expresarse de manera más sencilla que al principio? ¿Por qué es así?

4 Comenta en grupo las estrategias que seguiste para resolver las actividades, incluyendo la pregunta inicial. Corrijan, con ayuda del profesor, sus errores y expliquen en qué consisten.

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios

TIC En www.e-sm.com.mx/ matcom2-085 puedes efectuar adiciones y sustracciones de monomios. Identifica tus errores y anota en tu cuaderno a qué se debieron. Los términos semejantes son los que tienen las mismas literales elevadas a los

mismos exponentes. Por ejemplo, son términos semejantes:

2 ₋7 0 1₂

porque ninguno tiene literales. También:

x 3x 6x 3₄x

porque tienen la misma literal: x.

Un término o monomio es una expresión formada por el producto de números y literales elevadas a algún exponente; es decir, en un término solo hay operaciones de multiplicación o potenciación. Un número solo es un término, al igual que una literal sola. Por ejemplo, son términos los siguientes:

1 x 2x xyz 3xy 4x2 5

6 x3

h), i) y j) R. T. Porque las figuras

con las que se opera son del mismo tipo.

En a) R. T. Porque x2 +

x2 se

puede expresar como 2x2, y x + x como 2x.

No, ninguna expresión es equivalente.

Lección 27

PREGUNTA INICIAL

Problemas con polinomios I

¿En qué casos una adición o sustracción de monomios tiene como resultado otro monomio?

1 Escribe el perímetro de las figuras con la expresión más simple posible.

a) b)

Perímetro = Perímetro =

c) Contesta en tu cuaderno.

i) ¿En qué caso obtuviste como perímetro una adición de dos términos? ¿Esta ex-presión puede escribirse de manera más simple? ¿Por qué?

ii) ¿En qué caso obtuviste como perímetro una adición de tres términos? ¿Por qué esta expresión no puede escribirse como una adición de dos términos?

2 Observa el perímetro de cada figura y anota los valores que faltan.

a) b)

Perímetro = 12z+ 8 Perímetro = 18a

c) Contesta en tu cuaderno.

i) ¿Qué valor tuviste que anotar en el lado del triángulo del inciso b) para que el perímetro fuera un monomio? ¿Por qué?

3 Trabaja en equipo. Comparen sus respuestas de las actividades 1 y 2, y corríjanlas si es necesario. Comenten cuáles son las estrategias que siguieron y determinen cuáles son correctas.

y−1₂ 3z+1₉ 4y −z 4z + 6 69a − 7b 4a + 3b 1 2y − 8 8y−1₂ z + 1 3 2z + 9 5y + 2z − 7 8 y + 2 z + 1 18 1 2 1 2 1 2 8z + 2 4b − 55a

87 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

Un polinomio es la adición o sustracción de varios términos no semejantes.

4 Lee la información y haz lo que se pide.

En un juego de mesa, los jugadores compran y venden mercancías usando fichas con distintos valores. Las fichas, ordenadas de menor a mayor valor, son las siguientes.

a) Si Alberto tiene dos fichas rojas y José tiene dos fichas negras, ¿quién puede gastar más dinero? ¿Por qué?

b) Si Germán tiene tres fichas azules y Bertha dos verdes y una roja, ¿quién tiene más poder de compra?

c) Si Katia tiene más fichas que los otros jugadores, ¿significa que tiene más dinero? Jus-tifica tu respuesta.

d) Completa la tabla con las fichas que cada jugador recibió y gastó en un turno, así como el balance del turno (el dinero neto que ganó o perdió).

Jugador Ingreso Gasto Balance (ingreso – gasto)

Katia 5r+ 2v+ 3a 3r+v+n 2r+v+ 3a−n

Bertha 4r+ 4a 2r+ 2v+a

Germán 2n+ 4a n−a

Alberto r+ 2a+n 0

José 5r+ 2v+ 3n 2r+ 2v+n

e) En el balance de Katia aparece el término −n. ¿Qué significa? f) ¿Quién gastó más dinero en su turno: Bertha o José?

g) ¿Quién tuvo un ingreso mayor: Katia o José?

h) ¿Germán obtuvo más dinero del que gastó? Justifica tu respuesta.

•

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Expliquen por qué, al calcular el balance de los jugadores, se hicieron algunas operaciones y otras solo se dejaron indicadas. Después, revisen su respuesta a la pregunta inicial y corrijan lo necesario.

r v a n

José. R. T. Porque las fichas negras tienen más valor.

R. T. Germán, porque ambos tienen tres fichas, pero las de él valen más.

R. T. No, porque depende del valor de sus fichas y de las de los demás. 2r − 2v + 3a

n

+ 5a

r

+ 2a + n 3r + 2n R. T. Que Katia debe una ficha negra.

R. T. José. R. T. José.

R. T. Sí, porque

su balance es n − a, que es positivo porque n vale más que a.

Lección 28

PREGUNTA INICIAL

Figura 2

Figura 1 Figura 3

Figura 4 Figura 5 Figura 6

x 2x + 1

Problemas con polinomios II

¿La suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 3?

1 Observa la sucesión de figuras que se formó con los bloques de la página 83.

a) Anota el área de las figuras anteriores y de las cuatro que siguen. Ten en cuenta las medidas de la página 82.

Figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Área

b) Contesta con tres o cuatro compañeros las preguntas.

i) Si el área de una figura de esta sucesión es 15x+ 105, ¿el área de otra puede ser 20x+ 100? Justifiquen su respuesta.

ii) ¿Cuántos rectángulos verdes tiene una figura cuya área es 18x+ 153?

iii) El área de una figura es 29x+ 406. ¿Cuál es el área de la anterior en la secuen-cia? ¿Y la de la siguiente?

c) Contesten. Observen que la figura 3 puede transformarse en un rectángulo de la misma altura.

i) ¿La figura de área 20x+ 190 puede transformarse en un rectángulo? ¿Por qué?

3x + 3 4x + 6 5x+ 10 6x + 15 7

x

+ 21 8x+ 28 9

x

+ 36 10x+ 45

R. T. No, porque si un término con x aumenta, también lo hace el término independiente.

18

28x + 378 30x + 435

No. R. T. Porque solamente pueden transformarse en rectángulos las figuras que tienen un coeficiente impar de x.

89

2 Escribe los valores que faltan y contesta.

a) Si n es igual a 1, ¿cuál es el valor de n− 3? b) Si n+ 4 es igual a 5, ¿cuál es el valor de n?

c) Si n es un número entero y la suma de n y el número anterior es 29, ¿cuánto vale n?

d) Si n es un número entero y se suman n y el número siguiente, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.

e) Si n es un número entero y se suman n y los dos números siguientes, ¿el valor de la suma es par o impar? Justifica tu respuesta.

f) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y los dos siguientes.

g) Escribe una expresión algebraica para denotar la suma del número entero n y los tres siguientes.

3 Compara tus respuestas con las de tres o cuatro compañeros. Comenten, sobre todo, los procedimientos que siguieron en los incisos d), e), f) y g). Después resuelvan los problemas.

a) La suma de cinco números enteros consecutivos es 35. ¿Qué números son?

b) La suma de siete números enteros consecutivos es 224. ¿Qué números son?

c) ¿La suma de cinco números enteros consecutivos cualesquiera es divisible entre 3? Justifica tu respuesta en tu cuaderno.

4 Compara tus respuestas con las de otros equipos. Revisen, con el profesor, los procedimientos que siguieron.

5 Revisa en equipo tu respuesta a la pregunta inicial. Expongan sus conclusiones ante el grupo.

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

El análisis de las expresiones algebraicas puede servir para resolver problemas.

n+ 4 n

n − 4

n − 3

n − 2

n − 1

n + 1

n + 2

n + 3

n + 5

−2 1 15

R. T. Es impar, porque la suma es 2n + 1.

R. T. Depende del valor de n, ya que el resultado es 3n + 3, y ese valor es par si n es impar, y viceversa.

n

+ n + 1 + n + 2 = 3n + 3

n

+ n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 R. T. Son 5, 6, 7, 8 y 9. R. T. Son 29, 30, 31, 32, 33, 34 y 35. No. S-COM_MAT2-B2-080-089C.indd 89 3/5/13 12:00 PM

Lección 29

PREGUNTA INICIAL

Adición de polinomios

¿Cuál es el resultado de (1 − 2x) + (3x− 2)?

1 Identifica cómo cambian las figuras en cada secuencia, calcula los perímetros de las figuras 4, 5, 6 y 7, y completa la tabla como en los ejemplos.

Secuencia 1

Figura 1 Figura 2

w

Figura 3

Secuencia 2

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Secuencia 1 Secuencia 2

Figura Perímetro Figura Perímetro

1 _{2x + 2} 1 2x + 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 x x x 1 x x x 1 1 x 1 1 x 1 1 1 x de nuevoel

juego

4x + 2 2x + 4 6x + 2 2x + 6 8x + 2 2x + 8 10x + 2 2x + 10 12x + 2 2x + 12 14x + 2 2x + 14

91 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios

•

Contesta en tu cuaderno. a) En la secuencia 1:

i) ¿Cómo cambian una figura y la siguiente?

ii) ¿Cómo cambian el perímetro de una figura y la siguiente?

iii) ¿Cómo cambian la expresión algebraica que indica el perímetro de una figura y la siguiente?

iv) Si una figura tiene 18x+ 2 de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la siguiente? ¿Por qué?

v) Si una figura tiene 80x+ 2 de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la anterior? ¿Por qué?

vi) ¿Cuál es la diferencia entre el perímetro de una figura y la siguiente? b) En la secuencia 2:

i) ¿Cómo cambian una figura y la siguiente?

ii) ¿Cómo cambian el perímetro de una figura y la siguiente?

iii) ¿Cómo cambian la expresión algebraica que indica el perímetro de una figura y la siguiente?

iv) Si una figura tiene 2x+ 22 de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la siguiente? v) Si una figura tiene 2x+ 44 de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la anterior? vi) ¿Cuál es la diferencia entre el perímetro de una figura y la siguiente?

2 Efectúa las adiciones de polinomios. Observa el ejemplo y que los términos están acomodados a la altura de sus semejantes.

a) b) c)

d) e) f)

3 Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Comenten cómo se puede escribir la adición (1 – 2x) + (3x – 2) en forma vertical.

4x2_{− 3x+ 2} + _x2_{− 2x+ 7} 3x2_{− 4x+ 1} + 2x2_{+ 3x− 3} 6x2_{− 4x− 1} −9x2_{+ 4x} + 4x2 _{− 8} 3x + 4 −6x2_{+ 4x+ 5} + _2x2_{− 2x+ 8} 3x2_{+ 2x− 1} + _2x2_{− 3x+ 5} 5x2 _{− x + 4} 3x2_{+ 2x− 1} + 2x2_{− 3x+ 5} 5x2_{− x+ 4}

El resultado de sumar dos o más polinomios es otro polinomio formado por la suma de los términos semejantes y los no semejantes. Por ejemplo:

4x2_{+ 5x+ 2z + 2} + 5x2_{− 3x + 3y − 6} 9x2_{+ 2x+ 2z + 3y − 4} suma de los términos en x2 suma de los términos independientes suma de los

términos en x suma de los términos no semejantes

5x2− _5x + ₉ −_4x2 + _2x + ₁₃ 10x2− 2x + 8 11x2− 5x− 3 −5x2+ 7x− 4 S-COM_MAT2-B2-090-097C.indd 91 3/6/13 11:52 AM

Lección 30

PREGUNTA INICIAL

Sustracción de polinomios

¿Qué sumando falta en 3x2_{+ 2x− 1 + = 2x}2_{+ 4?}

1 Resuelve las sustracciones anotando el área de las figuras. Utiliza los bloques de la página 82

a)

b)

c)

•

Contesta.

d) ¿Qué se obtiene de sumar la diferencia y el sustraendo en la sustracción del inciso a)?

e) Si nos fijamos en el minuendo y el resultado de la sustracción del inciso b), ¿cuáles son los términos que faltan?

f) Si al resultado del inciso c) se le resta un bloque verde, ¿este nuevo resultado se pue-de expresar pue-de manera más simple? ¿Por qué?

− = − = − − = = − = − = 2x + 1

x

+ 1

x

x

2 + 2x + 1

x

+ 1

x

2 + x

x

2+ 3x + 2

x

2 3x + 2 R. T. El minuendo (2x + 1).

x y 1

Sí. R. T. Porque los

93

•

Reúnete en equipo y revisa las respuestas de la actividad 1. Si hay errores, corríjanlos. Utilicen los bloques para plantear otras sustracciones y hagan un informe explicando cómo se efectúan las sustracciones y cuál es su relación con las expresiones alge-braicas. Expongan su informe ante el grupo.

2 Escribe los sumandos que faltan y contesta en tu cuaderno.

a) b) c)

d) ¿Cómo calculaste los términos de los polinomios que faltaban?

e) ¿El valor de un término depende de otro que no es semejante a él? ¿Por qué?

3 Resuelve las sustracciones de polinomios y contesta en tu cuaderno.

a) b) c)

d) ¿Calculaste el minuendo término por término o usaste algún otro método? ¿Cuál?

4 Contesta.

a) ¿Se pueden utilizar las adiciones de la actividad 2 para resolver las sustracciones de la actividad 3? ¿Por qué?

5 Efectúa las sustracciones y adiciones de polinomios.

a) b)

c) d)

•

Corrige con tu grupo los resultados anteriores, si es necesario, y contesta.

e) Observa que cada adición está relacionada con una sustracción por medio de una flecha. ¿Cómo son los resultados de cada adición y sustracción relacionada?

¿Por qué sucede esto?

f) Recuerda la definición de inverso aditivo de un número entero. ¿Cuál podría ser la definición de inverso aditivo de un polinomio? Anótala.

6 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial y comenta tu procedimiento de solución ante el grupo.

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios 5x2 _{+ 3} + 5x2_{− 8x} 5x2_{− 8x} − _5x2 _{+ 3} −3x2_{+ x− 2} + x2_{− 4x− 1} x2_{− 4x− 1} −_−3x2_{+ x− 2} 8x2 _{+ 2} + −x + 8 − x + 8 − _8x2 _{+ 2} TIC En www.e-sm.com.mx/ matcom2-093 hay animaciones acerca de la adición y sustracción de polinomios. Consulta la página y escribe en tu cuaderno una reseña de ella. −4z2_{+ 3z+ 4} + _−3z2_{− 4z−} 2 5x2_{− 2x− 4} − _7x2_{− 2x+ 5} −4z2_{+ 3z+ 4} − _3z2_{+ 4z+ 2} 5x2_{− 2x− 4} + −7x2_{+ 2x−} 5 4x2− 5x + 1 − 8x − 3 −8x2 −

x

+ 6 4x2− _{5x + 1} − _8x − ₃ −_8x2−

_x

+ ₆

Sí. R. T. Porque el minuendo coincide con el total y el

sustraendo con el primer sumando. Entonces, la diferencia es el sumando que falta.

−2x2 − ₉ −_2x2 − ₉

−7z2 −

z + 2 −7z2−

z + 2

Iguales. R. T. Porque el segundo sumando es igual que

el sustraendo, pero cada término tiene el signo opuesto.

El inverso aditivo de un polinomio es aquel que al sumarlo con este, se obtiene 0.

Lección 31

PREGUNTA INICIAL

Expresiones algebraicas equivalentes I

¿Con qué valores de x se cumple que 2x2_{+ 2x=x(2x+ 2)?} 1 Reúnete en equipo para efectuar lo que se indica.

Observen que el área del rectángulo se expresó de dos maneras distintas: con una multiplicación y con una suma de términos, es decir, con un polinomio.

Rectángulo

Área=x(x+ 1)

Área =x2_+x

a) Analicen cómo se obtuvo cada área y anótenlo enseguida.

2 Anota el área de las figuras con un producto y con un polinomio. a) Área = Área = b) Área = Área = Recuerda Para no confundir la x con el signo de multiplicación, este puede omitirse: ab=a × b 3y= 3 ×y x + 1 x x + 1 x + 1 x + 1 x + 2

R. T. En el primer caso se multiplicó la base por la altura; en el segundo, se sumaron las áreas de cada bloque.

(x + 1)(x + 1)

x

2 + 2x + 1 (x + 2)(x + 1)

x

2 + 3x + 2

95 c) Área = Área = d) Área = Área =

•

Contesta.

e) Si el valor de x es 5, ¿el valor de las expresiones que anotaste en el inciso a) es el

mismo? ¿Por qué?

f) ¿Las parejas de expresiones que obtuviste en cada inciso anterior son equivalentes? ¿Por qué?

g) ¿Sucede lo mismo para cualquier valor de x? ¿Por qué?

3 Compara tus respuestas y procedimientos de solución con los de otros equipos. Discutan si es posible representar un producto de dos polinomios como un solo polinomio. Después expongan sus conclusiones ante el grupo.

4 Diseña un rectángulo con los bloques y escribe dos expresiones equivalentes como las anteriores.

5 Comprueba tu respuesta a la pregunta inicial usando los bloques.

Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

x + 1 2x x + 2 x + 1 2x(x + 1) 2x2 + 2x (x + 1)(x + 2)

x

2 + 3x + 2

Sí. R. T. Porque representan la misma área y al sustituir

el valor 5 en las expresiones algebraicas se tiene el mismo resultado.

Sí R. T. Porque representan la misma área.

Sí. R. T. Porque el

valor de x no altera la igualdad.

R. P.

Lección 32

PREGUNTA INICIAL

Expresiones algebraicas equivalentes II

¿Puedes expresar x(x+ 4x) como la adición de dos monomios?

1 Dibuja o pega bloques que representen cada expresión algebraica y denota los productos con un polinomio, como en el ejemplo.

(x+ 1)(x+ 2) = a) (3x)(x+ 3) = b) (2x+ 1)(x) = x2 _{+ 3x + 2} x + 2 x + 1 3x2+ 9x 2x2 + x

97

•

Contesta.

c) ¿Cuáles de estos polinomios son equivalentes a los que anotaste en el inciso a)? Subráyalos.

x2 _{+ 2x}2_{+ 9x x}6_{+ 3x 3x}2_{+ 5x+ 4x 3x}2_{+ 3x}3

d) ¿Por qué son iguales las expresiones que subrayaste?

e) Anota el polinomio que anotaste en el inciso b) de una manera distinta.

•

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Corrijan sus errores, si es necesario. Después, expliquen en grupo qué procedimiento emplearon para hallar el polinomio del inciso e).

2 Explica por qué las expresiones son equivalentes.

3 Dibuja o pega bloques que representen las igualdades de las expresiones algebraicas, como en la actividad 2.

3x(x+ 2) = 3x2_{+ 6x= (x}2_{+ 2x) + (x}2_{+ 2x) + (x}2_{+ 2x)}

•

Reúnete con un compañero. Comparen sus respuestas y corrijan sus errores, si es necesario. Después, inventen otra expresión algebraica y represéntenla con bloques.

4 Compara tu respuesta a la pregunta inicial con las de tus compañeros. Determinen cuáles son correctas. Revisen sus respuestas del inciso c) de la página 81.

Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

x(x+ 2) = x2_{+ 2x = x(x+ 1) +x}

R. P.

R. P.

R. T. Porque representan las mismas áreas.

Juegos y retos

Rompecabezas tridimensionales

En equipo, copia los siguientes desarrollos en cartulina. Armen dos cuerpos iguales con el desarrollo 3 y un cuerpo con cada uno de los restantes.

Desarrollo 1

99 Construyan lo siguiente.

1. Un cuerpo igual que el del desarrollo 2 con los dos cuerpos que armaron con el desarrollo 3

2. Un cuerpo igual que el del desarrollo 1 con el cuerpo del desarrollo 2 y los dos que armaron con el desarrollo 3

3. Tres prismas triangulares con los que puedan armar el cuerpo del desarrollo 4 Contesta.

¿Qué cuerpo o cuerpos tienen un volumen igual a la mitad del cuerpo 1? ¿Y que la cuarta parte del cuerpo 1?

¿Cómo debe ser la suma de los volúmenes de los prismas triangulares que armaste en el punto 3 anterior?

RETO

Lección 33

PREGUNTA INICIAL

Volumen de cubos y prismas rectangulares

¿Qué pasa con el volumen de un prisma rectangular si la altura aumenta al doble?

1 Escribe m3_{, dm}3 _{y cm}3 _{donde corresponda.}

2 Completa la tabla y contesta.

Arista (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Volumen 1 8

a) ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, de un cubo de 1 dm por lado? b) ¿Qué parte de un decímetro cúbico es un centímetro cúbico?

c) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide n centímetros?

3 Contesta en tu cuaderno.

El cubo de la derecha mide 1.4 dm de arista. a) ¿Cuál es su volumen en centímetros cúbicos? b) ¿Y en decímetros cúbicos?

•

Reúnete en equipo y explica tus respuestas. Después expongan sus conclusiones ante el grupo.

Un cubo de un centímetro de arista es un centímetro cúbico; se abrevia cm3_.

Un cubo de un decímetro de arista es un decímetro cúbico; y se abrevia dm3_.

Un cubo de un metro de arista es un metro cúbico; se abrevia m3_.

El volumen de un cuerpo es el número de unidades cúbicas que puede contener.

El volumen de un cubo de 2 cm de arista es 8 cm3_. 2 cm 1 cm 1 dm 4 cm 1.4 dm dm3 m3 cm3 27 64 125 216 343 512 729 1 000 1 000 cm3 R. T. Es un milésimo.

n

3 cm3 a) 2 744 cm3 b) 2.744 dm3

101 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos

4 Contesta en tu cuaderno de acuerdo con el prisma rectangular.

a) ¿Cómo se calcula el área de su base?

b) ¿Cuántos cubos de un decímetro de arista caben en su base?

c) Si cubrieras su base con cubos, formarías un piso de cubos. ¿Cuántos pisos caben en el prisma?

d) ¿Cuántos cubos caben en total en el prisma? e) ¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Por qué?

f) ¿Cómo calcularías el volumen del prisma a partir de las medidas del mismo?

5 Observa las figuras y contesta en tu cuaderno.

a) El área de la base del prisma azul mide 12 cm2_{. ¿Qué dato}

necesitas para calcular su volumen? ¿Por qué?

b) El prisma verde está formado con dos prismas como el azul. ¿Cómo es su altura con respecto a la del azul? ¿Cómo es su base con respecto a la del azul? ¿Cómo es su volumen con respecto al del azul?

•

Reúnete con un compañero. Comparen sus respuestas y corríjanlas, si es necesario. Comenten cómo pueden cal-cular el volumen de un prisma rectangular si conocen el área de su base y su altura. Expongan sus conclusiones en plenaria.

6 Contesta en tu cuaderno.

a) Un prisma rectangular de 3 dm de altura tiene un volumen de 72 dm3_{. ¿Cuál es el}

área de su base? ¿Cómo lo sabes?

b) ¿Cuál podría ser el ancho y el largo de su base? Anota tres posibilidades.

7 Contesta las preguntas. Justifica tus respuestas.

a) Si el volumen de un prisma rectangular es 35 dm3_{, ¿cuál es el volumen de otro con la}

misma altura, pero cuya área de la base mide la mitad?

b) El volumen de un prisma rectangular es 27 cm3_{. ¿Cuál es el volumen de otro prisma}

con la misma base pero cuya altura mide el triple?

8 Comenta en equipo la pregunta inicial. Respóndanla y justifiquen su respuesta. El volumen (V) de un prisma rectangular se calcula multiplicando el área de la base (A) por la altura del prisma (H).

V=AH 6 dm 5 dm 3 dm R. T. El volumen es 17.5 cm3

porque la base mide la mitad; y el volumen es la mitad de 35 cm3

.

R. T. 81 cm3

, el triple de 27 cm3 .

Lección 34

PREGUNTA INICIAL

Volumen de prismas

Hay un prisma cuadrangular y uno hexagonal de la misma altura. Si el área de sus bases también es igual, ¿cómo son entre sí los volúmenes de ambos?

1 Analiza las figuras y contesta en tu cuaderno.

El prisma I y el II son iguales. El II ha sido dividido en dos partes. Con el prisma I y el II se forma el prisma III.

I II III

a) ¿Cuál es el área de la base del prisma I? b) ¿Y la del III?

c) ¿Cómo es el volumen del prisma III con respecto al del I? d) ¿Cómo es la altura del prisma III con respecto a la del I?

e) ¿Cómo es el área de la base del prisma III con respecto a la del II?

f) Denota el área de la base del prisma I con A₁, la del amarillo con A₂, y la del azul con A₃; y escribe la fórmula del volumen del prisma III.

g) ¿Por qué A₁ es la mitad de (A₁+A₂+A₃)? h) ¿Por qué V=A₁×H es el volumen del prisma I?

2 Observa la figura y explica en tu cuaderno por qué el volumen de un prisma hexagonal puede calcularse multiplicando el área de su base por su altura.

El volumen (V) de un prisma triangular se calcula multiplicando el área de la base (A) por la altura del prisma (H).

V=AH h h b b H H de nuevoel

reto

103

3 Estima el volumen de los prismas.

a) b) c)

volumen: dm3 _{volumen: m}3 _{volumen: cm}3

•

Compara tus estimaciones con las de tus compañeros. Comenten las estrategias que emplearon para obtenerlas y determinen cuáles son correctas.

•

Contesten lo siguiente en sus cuadernos.

d) Expliquen cómo podrían calcular exactamente el volumen de cada prisma.

e) ¿Es posible calcular el volumen de cada prisma con la fórmula V= AH, donde A es el valor del área de la base y H es el valor de la altura del prisma? Justifiquen su respuesta.

f) Escriban una fórmula equivalente para calcular el volumen. Observen los elementos que se indican en las figuras.

4 Recuerda el reto de la página 99. Efectúa en el cuaderno lo siguiente en equipo. a) Calculen por separado los volúmenes de los prismas triangulares que usaron para

formar cada cuerpo y súmenlos.

b) Usen la fórmula V= AH para obtener el volumen de cada cuerpo.

c) Expliquen la relación que hay entre los dos procedimientos y comenten si ambos funcionan.

•

Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten las estrategias que emplearon para obtener el volumen de los diferentes cuerpos geométricos.

5 Reúnete con algunos compañeros. Revisen la pregunta inicial y justifiquen sus respuestas.

Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

El volumen (V) de un prisma se calcula multiplicando el área de su base (A) por su al-tura del prisma (H).

V=AH 9 dm 7 dm 5 dm _{10 m} 5 m 3 m 17 cm 4.1 cm 6 cm 157.5 150 1 045.5

R. T. Sí, porque todos se pueden descomponer en prismas triangulares, por lo que la suma de sus volúmenes sería el volumen del prisma que necesitamos.

R. P.

R. P.

Lección 35

PREGUNTA INICIAL

Volumen de pirámides

Se tiene un prisma y una pirámide hexagonales. Si ambos tienen la misma altura y sus bases son iguales, ¿cómo son entre sí sus volúmenes?

1 Copia los siguientes desarrollos al mismo tamaño en cartulina, recórtalos y ármalos. Obtendrás una pirámide y un prisma sin tapa. Después, contesta las preguntas.

a) ¿Cómo son entre sí las alturas de ambos cuerpos? b) ¿Cómo son entre sí las bases de ambos cuerpos?

c) ¿Cuál tiene mayor volumen? Estima cuántas veces es

mayor el volumen de uno que de otro.

Son iguales. Son iguales.

El prisma. R. P.

105

2 Llena la pirámide que armaste con harina, azúcar o algo semejante, y observa cuántas veces se puede vaciar el contenido en el prisma. Contesta en tu cuaderno. a) ¿Cuántas veces pudiste vaciar el contenido de la pirámide?

b) Expresa la fórmula para calcular el volumen del prisma cuadrangular. c) Expresa una fórmula para calcular el volumen de la pirámide cuadrangular. d) Si se denota con A el área de la base de la pirámide y su altura, con H, ¿qué fórmula

sirve para calcular el volumen?

V=AH V= 3AH V=AH₃

e) ¿La fórmula que elegiste es válida para hallar el volumen de cualquier pirámide? Argumenta tu respuesta.

f) Si un prisma y una pirámide tienen la misma base y el mismo volumen, ¿qué relación guardan sus alturas?

g) ¿Cómo es el volumen de un prisma octagonal, con respecto al volumen de una pi-rámide de igual base pero cuya altura es el triple que el del prisma? Comenta tu respuesta con un compañero.

3 Estima el volumen de las pirámides.

a) b) c)

volumen: cm3 _{volumen: dm}3 _{volumen: cm}3

•

Compara tus estimaciones con las de tus compañeros. Comenten las estrategias que emplearon para obtenerlas y determinen cuáles son correctas.

4 Traza en tu cuaderno tres prismas que tengan igual volumen que las pirámides del ejercicio anterior. Indica sus medidas donde corresponda.

•

Compara tus prismas y sus medidas con los de tus compañeros. Comenten las estrategias que emplearon para hacerlos y determinen cuáles son correctos.

5 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Justifíquenlas.

Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

El volumen (V) de una pirámide se calcula multiplicando el área de la base (A) por la altura de la pirámide y se divide entre tres.

V=AH₃ 5 dm 3 dm 2 dm 4.8 cm 7 cm 15 cm 12 cm 8 cm 7 cm 112 10 420 S-COM_MAT2-B2-098-107C.indd 105 3/6/13 11:56 AM

Lección 36

PREGUNTA INICIAL

Problemas de volumen

¿Qué pasa con el volumen de una pirámide si la base se mantiene pero la altura aumenta cuatro veces?

1 Resuelve los problemas. Efectúa estimaciones con las tablas que se dan.

a) Se quiere hacer un cubo de madera cuyo volumen sea 4 913 cm3_{. ¿Cuánto debe medir}

cada lado del cubo?

Lado (cm) 12 13

Volumen (cm3₎

Debe medir cm.

b) Una pirámide de cristal queda empacada en una caja cúbica cuyo volumen es 0.729 dm3_{. ¿Cuál es la altura de la pirámide?}

Lado (cm) Volumen (cm3₎

La altura es dm.

2 Contesta y compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) ¿Cuál es la altura de un prisma cuya área de la base es 34 cm2 _{y su volumen 289 cm}3_?

¿Cómo lo calculaste?

b) El volumen de un prisma (V) se calcula con la fórmula V= AH, donde A es el área de su base y H, su altura.

i) Escribe una expresión para calcular la altura del prisma conociendo su volumen y el área de su base.

ii) Escribe una expresión para calcular el área de la base de un prisma conociendo su volumen y su altura.

c) ¿Cuál es el área de la base de una pirámide que mide 3 dm de altura y cuyo volumen

es 6.42 dm3_{? ¿Cómo lo calculaste?}

d) El volumen de una pirámide (V) se calcula con la formula V=AH_{3 , donde} A es el área de su base y H, su altura.

i) Escribe una expresión para calcular la altura de la pirámide conociendo su volumen y el área de su base.

ii) Escribe una expresión para calcular el área de la base de una pirámide cono-ciendo su volumen y su altura.

14 15 16 17 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 17 1 0.9 1 0.729 0.9

8.5 cm R. T. Dividiendo el volumen entre el

área de la base.

H

= V A

A

= V_H

6.42 dm2 _{R. T. Dividiendo 6.42}

entre 3 y multiplicando el resultado por 3.

H

₌

A =

3V

107 Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las

fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides

3 Completa las tablas y contesta en tu cuaderno.

a) Arturo trazó un pentágono regular de 45 cm2 _{de área y quiere usarlo como base para}

construir un prisma. ¿Cuál puede ser el volumen del prisma? Calcula el volumen del prisma con cada altura de la tabla.

Altura (cm) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Volumen (cm3₎

i) ¿Qué sucede con el volumen si la altura aumenta el doble? ii) ¿Y si disminuye la tercera parte?

iii) ¿Cómo cambiarían los volúmenes de la tabla si en lugar de construir un prisma, Arturo construyera una pirámide?

b) Una profesora de secundaria pidió a sus alumnos que construyeran un prisma de 96 cm3 _{y una pirámide de 96 cm}3_{. ¿Cuánto puede medir el área de la base y la altura}

de los cuerpos? prisma

i) ¿Qué pasa con la altura si el área de la base aumenta el doble? ii) ¿Cómo varía la altura si la base disminuye la mitad?

iii) Si la profesora pide que el prisma tenga 10 cm de altura, ¿cuánto debe medir el área de la base?

iv) Si la profesora pide que el prisma tenga 20 cm de altura, ¿cuánto debe medir el área de la base?

v) Si dos prismas tienen la misma altura, pero el volumen de uno es cuatro veces el del otro, ¿cómo son las áreas de sus bases entre sí?

pirámide

i) ¿Qué pasa con la altura si el área de la base aumenta el doble? ii) ¿Qué pasa si disminuye la mitad?

iii) Si la profesora pide que la pirámide tenga 15 cm de altura, ¿cuánto debe medir el área de la base?

iv) Si la profesora pide que la pirámide tenga 7.5 cm de altura, ¿cuánto debe medir el área de la base?

v) Si dos pirámides tienen la misma altura, pero el volumen de una es la tercera parte que el de la otra, ¿cómo son las áreas de sus bases entre sí?

•

Reúnete en equipo. Comenten sus respuestas y justifíquenlas. Examinen las tablas y determinen en cuáles se presenta variación proporcional directa.

4 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial y las de los incisos a) y b) de la página 81. Área de la base (cm2_{) 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48} Altura (cm) Área de la base (cm2_{) 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30} Altura (cm) 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 96 48 32 24 16 12 8 6 4 3 2 288 144 96 72 57.6 48 28.8 24 19.2 14.4 9.6 S-COM_MAT2-B2-098-107C.indd 107 3/6/13 11:56 AM

Lección 37

PREGUNTA INICIAL

Proporcionalidad inversa I

En una construcción trabajan diez albañiles y terminan en dos semanas. Para la próxima construcción se sumarán cinco albañiles más. Si la construcción es idéntica a la anterior, ¿el tiempo para terminar la obra aumentará o disminuirá?

1 Efectúa lo que se indica.

a) Completa la tabla con respecto a la duración de un viaje de 480 km en automóvil.

Distancia (km) Velocidad promedio (km/h) Tiempo (horas)

480 60 8 480 30 480 15 480 5 480 10 480 20 480 40 480 80 480 120 480 90 480 45 b) Contesta en tu cuaderno.

i) Si un automóvil tardó seis horas en recorrer 480 km, ¿cuál era su velocidad promedio? ¿Cómo lo sabes?

ii) Si la velocidad promedio de un automóvil es 90 km/h, ¿cuánto tarda en recorrer los 480 km? ¿Cómo lo sabes?

iii) ¿Es cierto que a 160 km/h de velocidad promedio se tarda más de cuatro horas y media en recorrer la distancia? ¿Cómo lo sabes?

iv) Si la velocidad promedio aumenta, ¿qué pasa con el tiempo?

v) Un automóvil recorrió los 480 km en cierto tiempo. Si de regreso tardó la mitad de tiempo, ¿cómo fue la velocidad promedio en el trayecto de ida con respecto al de regreso?

vi) Un automóvil recorrió los 480 km en cierto tiempo. Si de regreso tardó el doble de tiempo, ¿cómo fue la velocidad promedio en el trayecto de ida con respecto al de regreso?

vii) ¿Qué pasa con el tiempo necesario para recorrer la distancia si la velocidad pro-medio aumenta al triple?

viii) ¿Qué pasa con el tiempo necesario para recorrer la distancia si la velocidad pro-medio disminuye a la tercera parte?

ix) Representa el tiempo con t y la velocidad con v, y escribe una expresión algebrai-ca que relacione ambas variables.

•

Comenta tu expresión del inciso ix) con tus compañeros. Identifiquen las correctas.

16 32 96 48 24 12 6 4 5.33 10.66 80 km/h 5h 20 min No Disminuye El doble La mitad

Disminuye a la tercera parte Aumenta al triple

109 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos

2 Efectúa lo que se indica. Los rectángulos tienen la misma medida de área.

a) Considera que a y b son las dimensiones de rectángulos de 36 cm2 _{de área. Completa}

la tabla; anota las alturas que faltan.

Base (a) 1 2 3 4 5 9 12 18 36

Altura (b) 4 3

b) Contesta en tu cuaderno. Justifica tus respuestas.

i) Si en un rectángulo la medida de un lado aumenta al doble, ¿cómo debe cambiar el otro lado para que el área no cambie?

ii) Si en un rectángulo la medida de un lado disminuye a una tercera parte, ¿cómo debe cambiar el otro lado para que el área no cambie?

iii) Dos rectángulos tienen la misma área. Si la altura de uno es el doble que la del otro, ¿cómo se relacionan sus bases?

iv) Dos rectángulos tienen la misma área. Si la base de uno es la cuarta parte que la del otro, ¿cómo se relacionan sus alturas?

v) ¿Qué dato se mantiene constante en la tabla: el resultado de dividir la base entre la altura, el resultado de multiplicar esos valores o ninguno?

c) Escribe una expresión algebraica que relacione la base (a) y la altura (b) de rectán-gulos de 36 cm2_?

d) Escribe una expresión algebraica que relacione la base (a) y la altura (b) de rectán-gulos cuya área sea igual a n?

•

Compara tus respuestas con las de dos compañeros. Comenten las similitudes entre la situaciones de las actividades 1 y 2.

3 Responde en tu cuaderno. En una tienda se hacen diez paquetes de dulces, con 60 dulces en cada paquete.

a) Si el número de paquetes se reduce a la mitad, ¿qué le ocurre al número de dulces por paquete?

b) Si el número de dulces por paquete se multiplica por cinco, ¿qué le ocurre al número de bolsas con respecto al número que se considera originalmente?

c) Lee la información y analiza cuáles son los conjuntos en las actividades 1 y 2 y cómo se relacionan sus cantidades. Escribe tus conclusiones en tu cuaderno.

4 En equipo, considera tu respuesta a la pregunta inicial. Expliquen si hay una relación de proporcionalidad inversa y anoten una fórmula que relacione el número de albañiles y el tiempo necesario para terminar la obra.

Dos conjuntos de cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar una cantidad al do-ble la correspondiente en el otro conjunto disminuye a la mitad, si al aumentarla al triple la otra disminuye a la tercera parte, y así sucesivamente.

En las situaciones de proporcionalidad inversa, al multiplicar dos cantidades correspondientes, el resultado que se obtiene siempre es el mismo. Esa cantidad constante se llama constante de proporcionalidad.

36 18 12 9 7.2 2 1

ab = 36

ab = n

Lección 38

PREGUNTA INICIAL

Proporcionalidad inversa II

¿Para que una relación entre dos cantidades sea de proporcionalidad inversa es suficien-te que una aumensuficien-te y la otra disminuya?

1 Resuelve las siguientes situaciones.

a) Un alambre de 190 m de largo se cortará en trozos de la misma longitud. Completa la tabla.

Trozos 1 2 3 4 5 10 19 20 30 50

Longitud de cada trozo (m)

b) El engrane A, de 32 dientes, mueve el B, de 24. Completa la tabla.

Vueltas de A 1 2 3 6 9 12 15 20 25 30

Vueltas de B

c) Un engrane da 25 vueltas en un minuto. i) ¿Cuánto tiempo tarda en dar 1 500 vueltas?

ii) Si la velocidad del engrane aumenta a 60 vueltas por minuto, ¿cuánto tiempo tarda en dar 1 500 vueltas?

iii) Si se quiere que el engrane tarde 10 minutos para dar 1 500 vueltas, ¿a cuántas vueltas por minuto debe girar?

d) En un centro comercial, dos cajas pueden atender a cinco personas en cinco minu-tos. ¿Cuántas son necesarias para atender a quince personas en el mismo tiempo?

e) Una llave llena un depósito de agua de 50 L en razón de 5 L por minuto. Si han trans-currido cinco minutos desde que el depósito empezó a llenarse, ¿cuánto tiempo falta para llenarlo?

f) En la tabla se registran las áreas de algunos cuadrados.

Lado (cm) 1 2 3 7 8 9 13 14 15

Área (cm2₎

•

Reúnete en equipo y explica cómo resolviste las situaciones anteriores. Corrijan sus errores si es necesario. A B 190 95 63.33 47.5 38 19 10 9.5 6.33 3.8 1.33 2.66 4 8 12 16 20 26.66 33.33 40 R. T. Tarda 60 minutos. R. T. Tarda 25 minutos.

R. T. A 150 vueltas por minuto.

R. T. Son necesarias seis cajas.

R. T. Faltan cinco minutos.

111 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos

2 Considera las situaciones de la actividad 1 y anota en tu cuaderno si las siguientes relaciones son de proporcionalidad directa, inversa o de otro tipo. Justifica tus respuestas.

La relación entre…

a) la cantidad de trozos y su longitud b) las vueltas del engrane A y el B

c) las vueltas por minuto que da el engrane y el tiempo necesario para dar 1 500 vueltas d) el número de cajas y las personas atendidas en cinco minutos

e) el tiempo transcurrido y el faltante para llenar el depósito f) el lado de un cuadrado y su área

•

En grupo discute las respuestas anteriores. Determinen cómo saber si una relación presenta variación proporcional inversa.

3 Resuelve los siguientes problemas.

a) Juan compra una bolsa de alimento para sus dos gatos y le dura doce días. ¿Para cuántos días el alcanzaría la bolsa si alimentara a ocho gatos?

Le alcanzaría para días.

b) Dos triángulos tienen la misma área. Las medidas de sus bases son 12 cm y 16 cm. Si la altura del primero mide 19 cm, ¿cuál es la altura del segundo?

La altura del segundo es cm.

c) En una oficina, catorce empleados decidieron cooperar con $80.00 para comprar una cafetera. Si antes de compararla dos empleados cambiaron de trabajo. ¿Con cuánto deben cooperar los doce empleados restantes para comprar la misma cafetera?

Deben cooperar con $

•

Trabaja en grupo. Comparen sus respuestas y sus procedimientos de solución, y de-terminen cuáles son correctos. Digan si en los problemas anteriores hay relaciones de proporcionalidad inversa y por qué.

•

Determinen con ayuda del profesor cuáles son correctas.

4 Contesta en tu cuaderno.

Algunas calculadoras tiene la tecla 1/x . Esta divide 1 entre el número que se encuen-tre en la pantalla. Así, podemos encontrar parejas de valores de la expresión y= 1_x. En este caso, ¿x y y guardan una relación de proporcionalidad?

5 Comenta en grupo la pregunta inicial. Anoten en sus cuadernos qué

características debe cumplir la relación entre dos cantidades para que sea de proporcionalidad inversa.

tres

14.25

93.33

Juegos y retos

Dos dados

a) Para este juego necesitas un par de dados. Participan dos jugadores. Cada uno lanza los dados por turnos y se resta el número menor al mayor.

•

Jugador 1: gana si la resta de los puntos es 0, 1 o 2.

•

Jugador 2: gana si la resta de los puntos es 3, 4 o 5. b) Contesta en tu cuaderno.

•

¿Qué jugador prefieres ser? ¿Por qué? Carrera de monedas

a) Necesitas tres monedas y un tablero como el de la izquierda.

b) Pueden jugar cuatro personas.

•

Jugador 1: tres soles

•

Jugador 2: sol y dos águilas

•

Jugador 3: águila y dos soles

•

Jugador 4: tres águilas

c) Se tiran las monedas y, según lo que salga, el jugador correspondiente avanza una casilla.

d) Gana el jugador que llegue antes a la meta. e) Contesta.

¿Es un juego justo?

M E T A Tres soles Sol y dos águilas Águila y dos soles Tres águilas

113

con cartulina.

Ruleta 1

Si la ruleta cae en rojo, el jugador 1 obtiene tres puntos; si cae en el otro color, el jugador 2 consigue un punto. Gana quien llegue primero a quince puntos.

b) Contesta lo siguiente.

•

¿El juego es justo?

•

¿Qué valor darías a cada región de ruletas como estas para que fueran justas?

Ruleta 2 Ruleta 3

Para contestar las preguntas planteadas, es conveniente efectuar un juego de estas páginas y registrar los resultados.

PISTAS Y ESTRATEGIAS

3

1

Lección 39

PREGUNTA INICIAL

Probabilidad clásica y frecuencial I

¿La probabilidad de obtener águila depende del número de resultados posibles al lanzar una moneda?

1 Expresa las frecuencias relativas con un número decimal.

En una población se preguntó a 1 000 usuarios de celulares sobre la empresa con la que tienen activado su teléfono.

Compañía Celular Supercel Rapicel Comunica Celmark

Frecuencia absoluta 180 230 200 250 140

Frecuencia relativa

•

Representa las frecuencias relativas en la siguiente recta numérica y contesta en tu cuaderno. Justifica tu respuesta.

Si se escoge un usuario de teléfono al azar, ¿de qué empresa es más probable que sea?

•

Comenta en grupo la respuesta a la pregunta anterior. Redacten juntos una explica-ción acerca de la relaexplica-ción de la frecuencia relativa de los datos y la probabilidad.

2 Anota el porcentaje de acierto de cada jugadora.

a) Patricia, Elizabeth, Tziltzil, Verónica y Liliana juegan en un equipo de basquetbol. En la tabla están sus resultados en tiros libres.

Patricia Elizabeth Tziltzil Verónica Liliana

Tiros 50 30 70 40 75

Canastas 35 12 42 14 30

Porcentaje

•

Contesta en tu cuaderno. En un tiro libre...

b) ¿quién de las jugadoras tiene más probabilidad de acertar? ¿Por qué? c) ¿quiénes tienen la misma probabilidad de acertar? ¿Por qué?

d) ¿quiénes tienen menos probabilidad de acertar que Tziltzil?

Para determinar la probabilidad frecuencial o empírica de un resultado, es necesario saber cuántas veces ocurre dicho resultado en un número grande de observaciones. La probabilidad frecuencial de un resultado es la frecuencia relativa del resultado.

0.18 0.23 0.2 0.25 0.14

70 40 60 35 40

115 Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica

3 Considera el experimento de lanzar un dado. a) Anota los posibles resultados que pueden obtenerse. b) Completa las tablas como en el ejemplo.

Evento

Cae un número… Resultados favorables Cae un número…Evento Resultados favorables

par 2, 4 o 6 par o 5

mayor que 2 menor que 4

impar mayor que 5

c) Divide el número de los resultados favorables de cada evento entre el total de resultados posibles.

Evento

Cae un número… Resultados favorables ∙ total de resultados

par mayor que 2 impar par o 5 menor que 4 mayor que 5

d) Representa en la recta los números de la segunda columna de la tabla anterior, y contesta en tu cuaderno.

i) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad de ocurrir? ¿Por qué? ii) ¿Qué eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir? ¿Por qué?

4 Discute tu respuesta a la pregunta inicial con tus compañeros. Comenten de qué otra manera se puede determinar la probabilidad de obtener águila al lanzar una moneda. Expongan sus conclusiones ante el grupo.

La probabilidad clásica de un evento es el cociente de los resultados favorables y el total de resultados posibles.

1, 2, 3, 4, 5 y 6. 2, 4, 5 o 6 3, 4, 5 o 6 1, 2 o 3 1, 3 o 5 6 0.5 0.66 0.5 0.66 0.5 0.16 0 0.16 0.5 0.66 S-COM_MAT2-B2-108-121C.indd 115 3/8/13 10:22 AM

Lección 40

PREGUNTA INICIAL

Probabilidad clásica y frecuencial II

Si lanzas 100 veces una moneda, ¿cuántas veces caerá águila? ¿Por qué?

1 Junto con un compañero, efectúa 20 veces el juego Dos dados, de la página 112. Anoten cuántas veces gana el jugador 1 y el 2.

Probabilidad frecuencial Gana el jugador 1: Gana el jugador 2:

c) Con base en la tabla que elaboraron en el inciso b) completen la siguiente.

Probabilidad clásica Número de formas en que se tiene 0, 1 o 2

Número de formas en que se tiene 3, 4 o 5

d) ¿Las probabilidades frecuenciales del inciso a) y las clásicas, del inciso c), tienen valores similares? Discutan por qué.

g) ¿Las probabilidades frecuenciales de la tabla del inciso e) se parecen a las probabi-lidades frecuenciales clásicas de la tabla del inciso c)?

h) ¿Las probabilidades frecuenciales de la tabla del inciso f) se parecen a las probabi-lidades frecuenciales clásicas de la tabla del inciso c)?

i) ¿En qué caso las probabilidades frecuenciales se asemejan más a las probabilidades clásicas?

a) Registren sus resultados en la tabla. b) Completen la tabla siguiente con los resultados de la resta de dos dados.

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

e) Reúnanse con cuatro o cinco parejas y registren los resultados de todas las parejas en la siguiente tabla.

Probabilidad frecuencial Gana el jugador 1: Gana el jugador 2:

f) Con ayuda del profesor, registren los resultados de todo el grupo en esta tabla. Probabilidad frecuencial Gana el jugador 1: Gana el jugador 2: de nuevoel

juego

R. P. 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 4 3 2 1 0 1 5 4 3 2 1 0 24 0.66 12 0.33 Sí. R. P. R. P. R. P. R. P. R. P.

117 Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de esta con la probabilidad teórica

2 Junto con tres compañeros juega 20 veces Carrera de monedas, de la página 112. Anoten cuántas veces gana cada jugador y efectúen lo mismo que en la actividad 1 de esta lección.

•

Comenten en grupo los resultados de las actividades 1 y 2, y discutan sobre la rela-ción entre las probabilidades frecuenciales y las clásicas. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

3 En equipo elabora una ruleta como la de la página 113. Pueden usar un clip como flecha.

a) Calculen la fracción del área total de la ruleta que corres-ponde a cada color y anótenla con un número decimal.

rojo: amarillo:

b) Discutan por qué las fracciones anteriores corresponden a la probabilidad clásica de obtener cada color, anoten sus conclusiones en sus cuadernos y compárenlas con las del resto del grupo.

c) Jueguen 20 veces con la ruleta. Hagan una tabla con los resultados de los cinco primeros juegos; después, de los 10 primeros; después, de los 15 primeros; y final-mente, de los 20 juegos. En cada caso, calculen las probabilidades frecuenciales y exprésenlas con un número decimal.

d) Registren los resultados de todo el grupo en una tabla.

e) Discutan en qué caso las probabilidades frecuenciales se aproximan más a las pro-babilidades clásicas que obtuvieron en el inciso a) y anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

4 Recuerda las ruletas de la página 113 y contesta.

Se jugó varias veces con cada ruleta y se obtuvieron los siguientes resultados. Anota en la línea a qué ruleta pertenece cada tabla.

Región amarilla 20 Región amarilla 24 Región amarilla 46

Región roja 30 Región roja 8 Región roja 23

•

Comenta con tus compañeros cómo determinaste a qué ruleta pertenece cada tabla. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

5 Comenten en grupo la pregunta inicial y respóndanla. Justifiquen sus respuestas empleando los términos probabilidad frecuencial y clásica.

La probabilidad frecuencial se aproxima a la probabilidad clásica a medida que el nú-mero de experimentos aumenta.

3

1

0.25 0.75

Ruleta 3 Ruleta 1 Ruleta 2

TIC

Proporcionalidad inversa en la hoja de cálculo

Una hoja de cálculo puede servir para elaborar tablas de variación proporcional inversa. Juan tiene diez peces y alimento suficiente para ellos durante 30 días. ¿Cuántos días le duraría la misma cantidad de alimento si tuviera 15, 20, 25, 30, 40 o 50 peces?

a) Abre tu hoja de cálculo y escribe los títulos Número de peces y Días que durará el alimento en las celdas A1 y A2, respectivamente. Anota el número de peces (10, 15,

20, 25, 30, 40 y 50) de la celda B1 a la H1. Escribe en la celda B2 el número de días que corresponde a 10 peces (30).

b) En la celda B2 anota = $B$1*$B$2/C1 y presiona Enter.

c) Elige la celda C2 y arrastra el marco hasta la celda H2.

Así se obtiene el número de días que corresponde a cada cantidad de peces.

•

Comenta con tus compañeros y tu profesor cómo se obtuvo la fórmula del paso b).

•

Observa los valores que obtuviste y comprueba qué pasa cuando el número de peces

aumenta al doble, disminuye a la mitad, etcétera. Explora con valores de peces en la hoja de cálculo para ver qué sucede cuando la población de peces aumenta o dismi-nuye. Por ejemplo, si la población de peces aumenta dos tercios, ¿qué pasa con los días que durará el alimento?










119 Junto con un compañero resuelve lo siguiente.

1. En una encuesta se preguntó a 2 000 personas sobre la marca de pasta de dientes que utilizan. Los resultados fueron los siguientes.

Marca A B C

Usuarios 500 300 1 200

a) Calculen la frecuencia relativa de cada dato y úsenla para calcular el porcentaje de la muestra que usa cada marca.

b) Consideren que la población total consta de 130 500 habitantes y estimen, con los datos de la encuesta, cuántas personas utilizan cada marca de pasta de dientes.

2. Durante un año, se efectuó una encuesta mensual con respecto a la opinión sobre la seguridad en la población. Los encuestados debían asignar una calificación de 1 a 10. Los promedios men-suales fueron los siguientes.

Mes E F M A M J J A S O N D

Calificación 6.8 7.1 8.2 7.9 7.5 8.1 7.8 8.2 7.5 7.1 7 6.5

En el mismo año el número de delitos denunciados en la población fue el siguiente.

Mes E F M A M J J A S O N D

Delitos denunciados 80 75 70 71 72 70 69 66 66 75 75 88

¿Existe una relación inversamente proporcional entre la calificación asignada y el número de delitos? Las encuestas son

herramien-tas útiles para conocer infor-mación en una población. Un cuestionario se aplica a una parte de la población, llamada muestra representativa, para conocer características, opinio-nes y hechos de la población. Por ejemplo, una encuesta pue-de ser útil para saber qué pro-ducto se utiliza más o cuál es la opinión sobre un programa de televisión, o predecir los resul-tados en elecciones próximas. Para que los resultados de una encuesta sean confiables, es necesario elegir bien la mues-tra y las preguntas, así como la forma en que se plantearán.

Las encuestas

Evaluación

Subraya la respuesta correcta.

1 ¿Qué expresión indica el perímetro de la figura?

a) 33x b) 2x c) 3x+ 1 d) 3x+x

2 ¿Qué expresión indica el perímetro de la figura? a) 4z2_{+z+ 2}

b) 4z+ 2 c) 4z2 _{+ 2z+ 4}

d) 4z2_{+ 2} 3 ¿Qué expresión indica el área de la figura?

a) 6x2_{+ 9x+ 3}

b) 9x2_{+ 6x + 3}

c) 3x2_{+ 9x+ 6}

d) 9x2_{+ 3x+ 6}

4 ¿Cuál es el volumen del cuerpo?

a) 17.5 cm2 b) 70 cm2 c) 140 cm2 d) 420 cm2 x 1 3x 2 3x 2z 2 2z2_{− z} 2x + 1 3x +3 4 cm 10cm 3.5cm

121

a) 5 cm b) 15 cm c) 25 cm d) 125 cm

6 El volumen de la pirámide es 45 cm3_{. ¿Cuál es el área de su base?}

a) 45 cm2

b) 7.5 cm2

c) 9 cm2

d) 15 cm2

7 Un automóvil viaja, con rapidez constante, durante dos horas a 60 km por hora de una ciudad a otra. ¿A qué velocidad debe viajar para cubrir la misma distancia en 80 minutos?

a) A 96 km/h b) A 100 km/h c) A 40 km/h d) A 90 km/h

8 Si dos albañiles tardan 15 días para construir una barda, ¿cuánto tiempo tardarían tres albañiles para hacer la misma barda?

a) 10 días b) 9 días c) 20 días d) 8 días

9 Se jugó con esta ruleta 25 veces. ¿Cuál es el resultado más probable? a) 12 veces azul y 13 veces amarillo

b) 10 veces azul y 15 veces amarillo c) 15 veces azul y 10 veces amarillo d) 5 veces azul y 20 veces amarillo

10 Juan y Antonio juegan a lanzar dos dados. Juan gana si la suma de los puntos es 7 u 11 y Antonio si es 3 o 5. En cualquier otro caso, se vuelve a tirar. ¿Quién tiene más probabilidad de ganar?

a) Juan b) Antonio

c) Los dos tienen la misma probabilidad

d) Es necesario hacer varios experimentos para contestar 3 cm