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on mantenga presionado
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LFactorizaci´on de Polinomios con Coeficientes Enteros
M´
etodo de Tanteo
Mate 141: ´
Algebra y Trigonometr´ıa I
Preparado por: Departamento de Matem´
aticas
Pontificia Universidad Cat´olica de Puerto Rico Colegio de Ciencias Programa T´ıtulo V - TSI
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba
Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica Preprueba
Instrucciones para utilizar el m´odulo
1
Marque
Ctrl+lpara comenzar la presentaci´
on en formato de pantalla completa.
2
Marque
Escpara salir del formato en pantalla completa.
3
Hacer la Pre-prueba.
4
Estudiar el contenido del m´
odulo: Definiciones, f´
ormulas y hacer lo problemas de pr´
actica.
Tabla Contenido
1
Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba
Instrucciones para utilizar el m´
odulo
Tabla de Contenido
Objetivos Instruccionales
Preprueba
2
Factorizaci´
on de Trinomios M´
onicos cuadr´
aticos
Introducci´
on a la factorizaci´
on de polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
Forma
x
2+
bx
+
c
Forma
x
2+
bx
−
c
Forma
x
2−
bx
+
c
Forma
x
2−
bx
−
c
3
Factorizaci´
on de Trinomios No M´
onicos
Forma
ax
2−
bx
+
c
,
(a >
0)
4Ejercicios de pr´
actica y Post-prueba
Ejercicios de Pr´
actica (Polinomios M´
onicos)
Ejercicios de Pr´
actica (Polinomio No M´
onico)
Post-prueba
5
Soluci´
on de la Pre y Post-prueba, Soluci´
on problemas de pr´
actica
Soluci´
on de la Pre-prueba
Soluci´
on problemas de pr´
actica
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba
Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica Preprueba
Objetivos Instruccionales
Objetivo general
El objetivo de este m´
odulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren para
factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando la t´
ecnica de tanteo.
Objetivos espec´ıficos
Al finalizar el estudio de este m´
odulo las personas usuarias podr´
an:
Definir y dar ejemplos de polinomios m´
onicos y no m´
onicos.
Factorizar polinomios m´
onicos de la forma:
x
2+
bx
+
c
,
x
2+
bx
−
c
,
x
2−
bx
+
c
y
x
2−
bx
−
c
donde
b
y
c
son n´
umeros enteros positivos.
Factorizar un polinomio de la forma:
ax
2+
bx
+
c
donde
a
,
b
,
c
son n´
umeros reales con
a
6
= 0.
Pre-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios.
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1x
2+ 3x
+ 2
2x
2−
10x
+ 16
3x
2+ 9x
−
36
4x
2−
2x
−
8
5x
2+ 3x
+ 2
62y
3+ 12y
2+ 18y
710x
2+ 11x
+ 3
87w
2+ 20w
−
3
96
−
x
−
15x
2 1033x
2−
39xy
+ 6y
2 1124t
4−
246t
3−
63t
2 12(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4
Soluci´on de la Pre-pruebaEjercicios de pr´actica y Post-prueba
Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica Preprueba
Pre-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios.
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1x
2+ 3x
+ 2
2x
2−
10x
+ 16
3x
2+ 9x
−
36
4x
2−
2x
−
8
5x
2+ 3x
+ 2
62y
3+ 12y
2+ 18y
710x
2+ 11x
+ 3
87w
2+ 20w
−
3
96
−
x
−
15x
2 1033x
2−
39xy
+ 6y
2 1124t
4−
246t
3−
63t
2 12(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4
Soluci´on de la Pre-prueba− −
Factorizaci´on de polinomios de la forma
ax
2
+
bx
+
c
En este m´
odulo se presentar´
a la t´
ecnica de tanteo para factorizar polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a
,
b
y
c
son n´
umeros enteros diferentes de cero. A este trinomio se le da el
nombre de trinomio cuadr´
atico. Cuando
a
= 1, se le llama
M´
onico
y cuando
a
6= 1
se le llama
No
M´
onico.
Un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a
,
b
y
c
son n´
umeros reales diferentes de cero
factoriza como un producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales si y solo si
√
b
2−
4
ac
es un n´
umero real. De lo contrario decimos que es irreducible sobre el conjunto de los
n´
umeros reales. La factorizaci´
on tiene la forma:
ax
2+
bx
+
c
= (
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
para
m, n, t, w
n´
umeros reales
F´
ormula para factorizar un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Si
√
b
2−
4
ac
es un n´
umero real, entonces
ax
2+
bx
+
c
=
a
x
−
−
b
+
√
b
2−
4
ac
2
a
!
x
−
−
b
−
√
b
2−
4
ac
2
a
!
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Formax −bx+c
Formax2−bx−c
Factorizaci´on de polinomios de la forma
ax
2
+
bx
+
c
Ejemplo: Factorice el polinomio
15
x
2−
17
x
−
4
Note que
15
|{z}
ax
2−17
|{z}
bx
−4
|{z}
c. Al sustituir
a
= 15,
b
=
−
17
y
c
=
−
4
en la f´
ormula de la p´
agina
anterior obtenemos:
15
x
2−
17
x
−
4 =
15
x
−
−(−17) +
p
(−17)
2−
4(15)(−4)
2(15)
|
{z
}
4/3
x
−
−(−17)
−
p
(−17)
2−
4(15)(−4)
2(15)
|
{z
}
−1/5
15x
2−
17x
−
4 = 15
x
−
4
3
x
−
−1
5
= (3)(5)
x
−
4
3
x
+
1
5
= (3)
x
−
4
3
(5)
x
+
1
5
=
(3
x
−
4)(5
x
+ 1)
− −
Factorizaci´on de polinomios de la forma
ax
2
+
bx
+
c
La f´
ormula de factorizaci´
on utilizada en el ejemplo anterior se puede evitar y utilizar lo que
conocemos como el
M´
etodo de Tanteo.
¿Cu´
ando puedo utilizar el M´
etodo de Tanteo?
Un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a
,
b
y
c
son enteros factoriza utilizando el m´
etodo
de tanteo si y solo si
√
b
2−
4
ac
es un n´
umero racional. En forma general el tanteo se efectuar´ıa
de la siguiente manera:
ax
2+
bx
+
c
= (
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
donde
a
=
mn
,
c
=
tw
y
b
=
mw
+
tn
. Adem´
as,
m
,
n
,
t
y
w
tienen que ser n´
umeros enteros.
Para facilitar este tipo de factorizaci´
on dividimos el estudio en polinomios M´
onicos y No M´
onicos,
es decir, en polinomios de la forma
x
2+
bx
+
c
o
ax
2+
bx
+
c
donde
a
6
= 0,
b
y
c
n´
umeros enteros.
Antes de comenzar con los diferentes casos, veamos un ejemplo donde apliquemos la t´
ecnica de
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Formax −bx+c
Formax2−bx−c
Ejemplo: Factorice el polinomio
6
x
2
−
19
x
−
7
Soluci´
on:
Note que
p
(
−
19)
2−
4(6)(
−
7) = 23, esto implica que el polinomio factoriza tanteando como un
producto de dos factores lineales, es decir,
6
x
2−
19
x
−
7 = (
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
donde
6 =
mn
,
−
7 =
tw
y
−
19 =
mw
+
tn
.
En otras palabras necesitamos encontrar dos enteros
m
,
n
que su producto sea 6 y dos enteros
t
y
w
que su producto sea -7 de tal manera que
−19 =
mw
+
tn
. Esta es la raz´
on por la cu´
al le
llamamos el m´
etodo de tanteo, ya que se requiere probar con diferentes valores.
Utilizando
m
= 3,
t
= 1,
n
= 2
y
w
=
−
7, note que
6
|{z}
mnx
2−19
|{z}
mw+ntx
−7
|{z}
tw= ( 3
|{z}
mx
+ 1
|{z}
t)( 2
|{z}
nx
−7
|{z}
w)
Por lo tanto, la factorizaci´
on es:
6
x
2− −
Polinomio de la Forma
x
2
+
bx
+
c
¿Como factorizar un polinomio de la forma
x
2+
bx
+
c
donde
b
y
c
son enteros positivos?
Si el polinomio tiene la forma
x
2+
bx
+
c
donde
b
y
c
son enteros positivos, entonces
necesitamos encontrar dos enteros positivos
m
y
n
tal que su producto sea
c
y la suma de ellos
dos sea igual a
b
. Luego la factorizaci´
on tendr´ıa la forma
x
2+
bx
+
c
= (x
+
m)(x
+
n)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios
Polinomio
m
n
mn
m
+
n
Factorizaci´
on
x
2+ 8x
+ 15
5
3
15
8
(x
+ 5)(x
+ 3)
x
2+ 13x
+ 12
12
1
12
13
(x
+ 12)(x
+ 1)
t
2+ 9t
+ 18
6
3
18
9
(t
+ 6)(t
+ 3)
y
2+ 36y
+ 288
24
12
288
36
(y
+ 24)(y
+ 12)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Formax −bx+c
Formax2−bx−c
Polinomio de la Forma
x
2
+
bx
−
c
¿Como factorizar un polinomio de la forma
x
2+
bx
−
c
donde
b
y
c
son enteros positivos?
Si el polinomio tiene la forma
x
2+
bx
−
c
donde
b
y
c
son enteros positivos, entonces
necesitamos encontrar dos enteros positivos
m
y
n
con
m > n
tal que su producto sea
c
y la
diferencia
(
m
−
n
)
de ellos dos sea igual a
b
. Luego la factorizaci´
on tendr´ıa la forma
x
2+
bx
−
c
= (
x
+
m
)(
x
−
n
)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios
Polinomio
m
n
mn
m
−
n
Factorizaci´
on
x
2+ 10x
−
24
12
2
24
10
(x
+ 12)(x
−
2)
x
2+ 17x
−
60
20
3
60
17
(x
+ 20)(x
−
3)
t
2+ 4t
−
21
7
3
21
4
(x
+ 7)(x
−
3)
y
2+ 13y
−
30
15
2
30
13
(y
+ 15)(y
−
2)
− −
Polinomio de la Forma
x
2
−
bx
+
c
¿Como factorizar un polinomio de la forma
x
2−
bx
+
c
donde
b
y
c
son enteros positivos?
Si el polinomio tiene la forma
x
2−
bx
+
c
donde
b
y
c
son enteros positivos, entonces
necesitamos encontrar dos enteros positivos
m
y
n
tal que su producto sea
c
y la suma de ellos
dos sea igual a
b
. Luego la factorizaci´
on tendr´ıa la forma
x
2−
bx
+
c
= (x
−
m)(x
−
n)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios
Polinomio
m
n
mn
m
+
n
Factorizaci´
on
x
2−
8x
+ 15
5
3
15
8
(x
−
5)(x
−
3)
x
2−
13x
+ 12
12
1
12
13
(x
−
12)(x
−
1)
t
2−
9t
+ 18
6
3
18
9
(t
−
6)(t
−
3)
y
2−
36y
+ 288
24
12
288
36
(y
−
24)(y
−
12)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Formax −bx+c
Formax2−bx−c
Polinomio de la Forma
x
2
−
bx
−
c
¿Como factorizar un polinomio de la forma
x
2−
bx
−
c
donde
b
y
c
son enteros positivos?
Si el polinomio tiene la forma
x
2−
bx
−
c
donde
b
y
c
son enteros positivos, entonces
necesitamos encontrar dos enteros positivos
m
y
n
con
m > n
tal que su producto sea
c
y la
diferencia
(
m
−
n
)
de ellos dos sea igual a
b
. Luego la factorizaci´
on tendr´ıa la forma
x
2−
bx
−
c
= (
x
−
m
)(
x
+
n
)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios
Polinomio
m
n
mn
m
−
n
Factorizaci´
on
x
2−
10x
−
24
12
2
24
10
(x
−
12)(x
+ 2)
x
2−
17x
−
60
20
3
60
17
(x
−
20)(x
+ 3)
t
2−
4t
−
21
7
3
21
4
(x
−
7)(x
+ 3)
y
2−
13y
−
30
15
2
30
13
(y
−
15)(y
+ 2)
Polinomio de la Forma
ax
2
−
bx
+
c
donde
a, b, c
son n´
umeros enteros
¿C´
omo factorizar un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a, b, c
son n´
umeros enteros?
El factorizar un polinomio No M´
onico de la forma
ax
2+
bx
+
c
requiere un poco m´
as de trabajo,
especialmente, cuando los valores de
a, b, c
son n´
umeros enteros grandes. Tenemos dos opciones
para factorizar un polinomio cuadr´
atico No M´
onico.
Opci´
on 1:
Utilizar la f´
ormula:
ax
2+
bx
+
c
=
a
x
−
−
b
+
√
b
2−
4
ac
2
a
!
x
−
−
b
−
√
b
2−
4
ac
2
a
!
Opci´
on 2:
M´
etodo de Tanteo: Encontrar enteros
m, n, t, w
tal que
mn
=
a
,
tw
=
c
y
mt
+
nw
=
b
. Luego la factorizaci´
on tiene la forma:
ax
2+
bx
+
c
= (
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Ejemplos
Ejemplos: Factorizaci´on de polinomios de la forma
ax
2
+
bx
+
c
Antes de presentar los ejemplos recordemos los pasos para factorizar un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a, b, c
son n´
umeros enteros.
Pasos para factorizar un polinomio de la forma
ax
2+
bx
+
c
donde
a, b, c
son n´
umeros enteros
Pasos 1:
Verificar si el polinomio tiene una constante como factor com´
un. De ser asi, se factoriza
y se le aplica el paso dos al polinomio cradr´
atico que obtenemos de la factorizaci´
on.
Pasos 2:
Verificar que
√
b
2−
4ac
sea un n´
umero racional. De no serlo se concluye que no se
puede factorizar utilizando coeficientes enteros, o sea, es irreducible sobre los n´
umeros
enteros.
Pasos 3:
Encontrar enteros
m, n, t, w
tal que
mn
=
a
,
tw
=
c
y
mw
+
nt
=
b
. Luego la
factorizaci´
on tiene la forma:
a
|{z}
mnx
2+
b
|{z}
mw+ntx
+
c
|{z}
tw= (
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios
Factorice los siguientes polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Polinomio
m
n
t
w
mn
tw
mw
+
tn
(
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
14x
2+ 23x
+ 3
2
7
3
1
14
3
23
(2x
+ 3)(7x
+ 1)
8x
2−
23x
−
36
1
8
-4
9
8
-36
-23
(x
−
4)(8x
+ 9)
48x
2−
136x
−
65
12
4
5
-13
48
-65
-136
(12x
+ 5)(4x
−
13)
−
42x
2+ 187x
−
30
-6
7
1
-30
-42
-30
187
(
−
6x
+ 1)(7x
−
30)
9x
2+ 6x
+ 1
3
3
1
1
9
1
6
(3x
+ 1)(3x
+ 1)
−
22x
2+ 37x
−
6
-11
2
2
-3
-22
-6
37
(
−
11x
+ 2)(2x
−
3)
16x
2−
72x
+ 17
4
4
-1
-17
16
17
-72
(4x
−
1)(4x
−
17)
−
5x
2+ 28x
−
15
-1
5
5
-3
-5
-15
28
(
−
x
+ 5)(5x
−
3)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Post-prueba
Ejercicios de Pr´actica
Factorice los siguientes polinomios M´
onicos
Polinomio
m
n
Factorizaci´
on
x
2+ 7x
+ 6
x
2+ 2x
−
15
t
2−
7t
+ 12
y
2−
8y
−
33
x
2+ 25x
+ 100
x
2+ 2x
−
35
t
2−
22t
+ 21
y
2−
70y
−
144
Ejercicios de Pr´actica
Factorice los siguientes polinomios M´
onicos
Polinomio
m
n
Factorizaci´
on
x
2+ 7x
+ 6
x
2+ 2x
−
15
t
2−
7t
+ 12
y
2−
8y
−
33
x
2+ 25x
+ 100
x
2+ 2x
−
35
t
2−
22t
+ 21
y
2−
70y
−
144
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Post-prueba
Ejercicios de Pr´actica (Polinomio No M´
onico)
Factorice los siguientes polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Polinomio
m
n
t
w
mn
tw
mw
+
tn
(
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
8x
2−
53x
−
21
7x
2+ 10x
−
8
3x
2−
4x
+ 2
6x
2+ 7x
−
20
12x
2−
x
−
6
12x
2−
29x
+ 15
21x
2+ 41x
+ 10
4x
2−
20x
+ 25
Ejercicios de Pr´actica (Polinomio No M´
onico)
Factorice los siguientes polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Polinomio
m
n
t
w
mn
tw
mw
+
tn
(
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
8x
2−
53x
−
21
7x
2+ 10x
−
8
3x
2−
4x
+ 2
6x
2+ 7x
−
20
12x
2−
x
−
6
12x
2−
29x
+ 15
21x
2+ 41x
+ 10
4x
2−
20x
+ 25
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Post-prueba
Post-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios.
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1x
2+ 3x
+ 2
2x
2−
10x
+ 16
3x
2+ 9x
−
36
4x
2−
2x
−
8
5x
2+ 3x
+ 2
62y
3+ 12y
2+ 18y
710x
2+ 11x
+ 3
87w
2+ 20w
−
3
96
−
x
−
15x
2 1033x
2−
39xy
+ 6y
2 1124t
4−
246t
3−
63t
2 12(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4
Soluci´on de la Post-pruebaPost-prueba
Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios.
Factorice completamente los siguientes polinomios.
1x
2+ 3x
+ 2
2x
2−
10x
+ 16
3x
2+ 9x
−
36
4x
2−
2x
−
8
5x
2+ 3x
+ 2
62y
3+ 12y
2+ 18y
710x
2+ 11x
+ 3
87w
2+ 20w
−
3
96
−
x
−
15x
2 1033x
2−
39xy
+ 6y
2 1124t
4−
246t
3−
63t
2 12(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4
Soluci´on de la Post-pruebaEjercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Soluci´on de la Pre-prueba
Factorice completamente los siguientes polinomios.
(1)
x
2+ 3x
+ 2 =
(
x
+ 2)(
x
+ 1)
(2)
x
2−
10x
+ 16 =
(
x
−
8)(
x
−
2)
(3)
x
2+ 9x
−
36 =
(
x
+ 12)(
x
−
3)
(4)
x
2−
2x
−
8 =
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(5)
x
2−
20x
+ 100 =
(
x
−
10)(
x
−
10) = (
x
−
10)
2(6)
2y
3+ 12y
2+ 18y
=
2
y
(
y
+ 3)(
y
+ 3) = 2
y
(
y
+ 3)
2(7)
10x
2+ 11x
+ 3 =
(2
x
+ 1)(5
x
+ 3)
(8)
7w
2+ 20w
−
3 =
(
w
+ 3)(7
w
−
1)
(9)
6
−
x
−
15x
2=
(3
−
5
x
)(2 + 3
x
)
(10)
33x
2−
39xy
+ 6y
2=
(11
x
−
2
y
)(3
x
−
3
y
) = 3(11
x
−
2
y
)(
x
−
y
)
(11)
24t
4−
246t
3−
63t
2=
3
t
2(4
t
+ 1)(2
t
−
21)
(12)
(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4 =
((
x
+ 3) + 4) ((
x
+ 3)
−
1) = (
x
+ 7)(
x
+ 2)
Regresar a la Pre-pruebaSoluci´on de la Pre-prueba
Factorice completamente los siguientes polinomios.
(1)
x
2+ 3x
+ 2 =
(
x
+ 2)(
x
+ 1)
(2)
x
2−
10x
+ 16 =
(
x
−
8)(
x
−
2)
(3)
x
2+ 9x
−
36 =
(
x
+ 12)(
x
−
3)
(4)
x
2−
2x
−
8 =
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(5)
x
2−
20x
+ 100 =
(
x
−
10)(
x
−
10) = (
x
−
10)
2(6)
2y
3+ 12y
2+ 18y
=
2
y
(
y
+ 3)(
y
+ 3) = 2
y
(
y
+ 3)
2(7)
10x
2+ 11x
+ 3 =
(2
x
+ 1)(5
x
+ 3)
(8)
7w
2+ 20w
−
3 =
(
w
+ 3)(7
w
−
1)
(9)
6
−
x
−
15x
2=
(3
−
5
x
)(2 + 3
x
)
(10)
33x
2−
39xy
+ 6y
2=
(11
x
−
2
y
)(3
x
−
3
y
) = 3(11
x
−
2
y
)(
x
−
y
)
(11)
24t
4−
246t
3−
63t
2=
3
t
2(4
t
+ 1)(2
t
−
21)
(12)
(x
+ 3)
2+ 3(x
+ 3)
−
4 =
((
x
+ 3) + 4) ((
x
+ 3)
−
1) = (
x
+ 7)(
x
+ 2)
Regresar a la Pre-pruebaEjercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Soluci´on Ejercicios de Pr´actica
Factorice los siguientes polinomios M´
onicos
Polinomio
m
n
Factorizaci´
on
x
2+ 7x
+ 6
6
1
(x
+ 6)(x
+ 1)
x
2+ 2x
−
15
5
3
(x
+ 5)(x
−
3)
t
2−
7t
+ 12
4
3
(t
−
4)(t
−
3)
y
2−
8y
−
33
11
3
(y
−
11)(y
+ 3)
x
2+ 25x
+ 100
20
5
(x
+ 20)(x
+ 5)
x
2+ 2x
−
35
7
5
(x
+ 7)(x
−
5)
t
2−
22t
+ 21
21
1
(t
−
21)(t
−
1)
y
2−
70y
−
144
72
2
(y
−
72)(y
+ 2)
Soluci´on Ejercicios de Pr´actica
Factorice los siguientes polinomios M´
onicos
Polinomio
m
n
Factorizaci´
on
x
2+ 7x
+ 6
6
1
(x
+ 6)(x
+ 1)
x
2+ 2x
−
15
5
3
(x
+ 5)(x
−
3)
t
2−
7t
+ 12
4
3
(t
−
4)(t
−
3)
y
2−
8y
−
33
11
3
(y
−
11)(y
+ 3)
x
2+ 25x
+ 100
20
5
(x
+ 20)(x
+ 5)
x
2+ 2x
−
35
7
5
(x
+ 7)(x
−
5)
t
2−
22t
+ 21
21
1
(t
−
21)(t
−
1)
y
2−
70y
−
144
72
2
(y
−
72)(y
+ 2)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
Soluci´on de los ejercicios de pr´actica
Factorice los siguientes polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Polinomio
m
n
t
w
mn
tw
mt
+
nw
(
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
8x
2−
53x
−
21
8
1
3
-7
8
-21
-53
(8x
+ 3)(x
−
7)
7x
2+ 10x
−
8
7
1
-4
2
7
-8
10
(7x
−
4)(x
+ 2)
3x
2−
4x
+ 2
Irreducible
6x
2+ 7x
−
20
3
2
-4
5
6
-20
7
(3x
−
4)(2x
+ 5)
12x
2−
x
−
6
3
4
2
-3
12
-6
-1
(3x
+ 2)(4x
−
3)
12x
2−
29x
+ 15
3
4
-5
-3
12
15
-29
(3x
−
5)(4x
−
3)
21x
2+ 41x
+ 10
3
7
5
2
21
10
41
(3x
+ 5)(7x
+ 2)
4x
2−
20x
+ 25
2
2
-5
-5
4
25
-20
(2x
−
5)(2x
−
5)
Soluci´on de los ejercicios de pr´actica
Factorice los siguientes polinomios de la forma
ax
2+
bx
+
c
(
a
6
= 0)
Polinomio
m
n
t
w
mn
tw
mt
+
nw
(
mx
+
t
)(
nx
+
w
)
8x
2−
53x
−
21
8
1
3
-7
8
-21
-53
(8x
+ 3)(x
−
7)
7x
2+ 10x
−
8
7
1
-4
2
7
-8
10
(7x
−
4)(x
+ 2)
3x
2−
4x
+ 2
Irreducible
6x
2+ 7x
−
20
3
2
-4
5
6
-20
7
(3x
−
4)(2x
+ 5)
12x
2−
x
−
6
3
4
2
-3
12
-6
-1
(3x
+ 2)(4x
−
3)
12x
2−
29x
+ 15
3
4
-5
-3
12
15
-29
(3x
−
5)(4x
−
3)
21x
2+ 41x
+ 10
3
7
5
2
21
10
41
(3x
+ 5)(7x
+ 2)
4x
2−
20x
+ 25
2
2
-5
-5
4
25
-20
(2x
−
5)(2x
−
5)
Ejercicios de pr´actica y Post-prueba Soluci´on de la Pre y Post-prueba, Soluci´on problemas de pr´actica
