Universidad de Valladolid, Valladolid, España 2 Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Computación

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27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8—11 de abril de 2003

THE

EOQ/ω

o

+

ωt/π

o

+

πt/ρ

INVENTORY SYSTEM

L.A. San José1, J. Sicilia2, J.G. Laguna3

1Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica Universidad de Valladolid, 47011 Valladolid, España

E-mail: augusto@mat.uva.es

2Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Computación Universidad de La Laguna, 38071 Tenerife, España

E-mail: jsicilia@ull.es

3Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Valladolid, 47005 Valladolid, España

E-mail: laguna@eio.uva.es

ABSTRACT

We present a general mathematical model which generalizes several EOQ inventory systems with partial backlogging. Backorder cost and lost sale cost are both considered depending on the shortage time. The optimal policy is obtained through a sequential optimization procedure in two stages, that relies on the objective function of the classical EOQ model (first stage) and on an univariate function which depends on the reorder level (second stage). Key Words: inventory systems, EOQ models, shortage, partial backordering, lost sale, reorder level.

AMS subject classification: 90B05.

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Introducción

Según Silver (1998), una de las cuestiones más importantes en el contexto del control de inventarios tiene lugar cuando un cliente solicita un artículo no disponible en el almacén. Dos han sido los casos más considerados en la literatura sobre el tema: (i) toda la demanda pendiente es servida cuando llega al almacén un nuevo lote (caso denominado de demanda acumulable, de demanda pendiente o de demanda retropedida); (ii) toda la demanda se pierde porque, al no encontrar lo que necesita o desea, el cliente se va a otro lugar a satisfacer su petición (caso de pérdida de ventas). El comportamiento del nivel neto de inventario en el almacén (stock a mano - repropedidos) es radicalmente distinto en una situación que en otra. Si,

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cuando hay escasez, toda la demanda es retropedida el nivel neto del inventario será negativo hasta la siguiente llegada de un pedido; en cambio, si toda la demanda se pierde, el nivel neto de inventario se mantiene nulo hasta la llegada del siguiente pedido.

Sin embargo, en muchas situaciones prácticas se da una combinación de estos casos extremos. Es decir, debido a los deseos o las necesidades de los clientes, parte de la demanda durante cada intervalo de escasez se pierde y el resto está constituida por clientes dispuestos a esperar hasta la llegada al almacén de un nuevo lote. Aunque a veces se ha considerado que esta situación de mixtura podía ser aproximada por alguno de los casos extremos (Silver (1998 p. 234)) otros autores han opinado todo lo contrario. En esta última linea se encuentran Montgomery (1973), Rosenberg (1979) y Park (1982). Más concretamente, estos autores consideran que solamente una fracción fija β, con 0 < β < 1, de la demanda durante el periodo sin existencias es servida tarde. Más adelante, Mak (1987) modifica el modelo para incorporar una tasa uniforme de reabastecimiento.

En este trabajo se estudia un modelo que generaliza diversos sistemas EOQ de inventario. En tales trabajos se considera que el coste unitario por demanda pen-diente de servir depende del tiempo que resta hasta la llegada del siguiente pedido, pero que el coste unitario por cada unidad cuya demanda se pierde es constante. Aquí consideraremos que ambos costes dependen del tiempo que resta hasta la llega-da del siguiente pedido, es decir, se considera que son cuatro y no tres los parámetros que determinan los costes de escasez. Por tanto, al suponer nulos algunos de tales parámetros, pero no todos, se obtienen diferentes modelos, algunos de los cuales se encuentran en la literatura sobre el tema, pero otros no.

Este trabajo está estructurado de la siguiente forma. En la Sección 2 se dan las hipótesis y la notación que se utilizará a lo largo del trabajo. En la Sección 3 se formula el modelo matemático, cuya solución se presenta en la Sección 4. El trabajo

finaliza con las conclusiones que se dan en la Sección 5.

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Hipótesis y notación

Consideraremos las siguientes hipótesis:

(1) El inventario es de un solo producto con demanda independiente. (2) El horizonte de planificación es infinito.

(3) La tasa de demanda es conocida, constante y continua. (4) El reabastecimiento es instantáneo.

(5) El coste de pedir es fijo y no depende del tamaño del lote. El coste de almacenamiento es una función lineal del inventario medio.

(6) Se permite escasez. Una parte de la demanda durante cada intervalo de escasez se pierde y el resto constituye la demanda pendiente de servir o demanda retropedida. La fracción de demanda retropedida es constante.

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al tiempo que se espera hasta que se recibe el artículo.

(8) El coste de una venta perdida incluye un coste fijo y un coste proporcional al tiempo que falta hasta la llegada de un nuevo pedido. El costefijo incluye a su vez la pérdida de beneficios y el coste de la pérdida de confianza.

Utilizaremos la siguiente notación:

D:demanda por unidad de tiempo (>0).

K :costo de reposición (>0).

p: coste unitario de compra (>0).

s: precio unitario de venta(s > p).

h:coste unitario de almacenamiento por unidad de tiempo (>0).

ωo:costefijo de retropedido por unidad servida tarde, independiente del tiempo (0).

ω: coste unitario de retropedido por unidad de tiempo(0).

Es decir,ωo+ωt es el coste unitario de retropedido cuando el tiempo de escasez es

t.

πo : coste fijo de pérdida de confianza por cada venta perdida sin incluir la

pérdida de beneficios(0).

π : coste unitario de pérdida de confianza de una venta perdida por unidad de tiempo (0).

Por tanto, πo+πt es el coste unitario de pérdida de confianza cuando el tiempo de

escasez est y se pierde una venta.

ρ:fracción de demanda retropedida (0ρ1).

ξo : coste mediofijo por escasez de una unidad, incluyendo el coste fijo de

retro-pedido, la pérdida de beneficios y de confianza; luego,ξo =ρωo+ (1−ρ)(πo+s−p),

con0ρ1.

ξ: coste medio de escasez dependiente del tiempo, de dondeξ =ρω+ (1ρ)π, con0ρ1.

La cantidad ξo+ξt es el coste medio por escasez de una unidad cuando el tiempo

de escasez es t. Consideraremos que ξo+ξ > 0, es decir, supondremos que ambos

costes medios no pueden ser simultáneamente nulos.

EOQ: cantidad económica de pedido; es decir, EOQ=p2KD/h.

q: tamaño del lote(0).

b: nivel de reabastecimiento(0).

u:demanda durante un ciclo, incluyendo la demanda que se satisface a tiempo, la demanda retropedida y la demanda perdida; es decir,u=q+ (1ρ)b (>0).

M : nivel máximo de inventario; es decir,M =ub(0).

Como en gran parte de la literatura, supondremos que las variablesq, b, u yM son continuas. En este trabajo se consideran como variables de decisiónu yb.

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El modelo

Consideraremos un modelo de inventario de revisión continua con demanda deter-minista y escasez parcialmente retropedida, pero constante. Por tanto, los ingresos y los costes en cada ciclo son:

Ingresos: sq. Coste de compra: pq. Coste de reposición: K. Coste de almacenamiento: hM2 2D =h (u−b)2 2D .

Costefijo por demanda retropedida: ωoρb.

Coste por demanda retropedida dependiente del tiempo: ωρb2/2D. Costefijo de pérdida de confianza: πo(1ρ)b.

Coste de pérdida de confianza dependiente del tiempo: π(1ρ)b2/2D.

Por tanto, el beneficio durante un ciclo es

F(u, b) = (sp)qKh(u−b) 2 2D −ωoρb−ωρb2/2D−πo(1−ρ)b−π(1−ρ)b2/2D = (sp)uKh(u−b) 2 2D −ξob−ξ b2 2D

dondeξob+ξb2/2Des el coste de escasez por ciclo incluyendo la pérdida de beneficios.

Luego, el beneficio medio por unidad de tiempo es

B(u, b) =F(u, b)D u = (s−p)D−C(q, b) (1) siendo C(u, b) =KD u +h (ub)2 2u +ξo bD u +ξ b2 2u (2)

Obviamente, maximizar B(u, b) es equivalente a minimizar C(u, b). En conse-cuencia, el problema es determinar las variables u yb, con u >0 y 0 bu, que minimizan (2).

Este modelo generaliza varios sistemas de inventario con retropedidos parciales.

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Resolución del problema

En primer lugar consideraremos el modelo anterior cuando ξ > 0 y a continuación el casoξ = 0. Teorema 1. Sea ξ >0. 1. Si (ξoD)2−2KDh≥0,entonces el mínimo de C(u, b)es √ 2KDhy se alcanza en u∗ = q 2KD h y b∗ = 0. Luego, q∗ =M∗ = q 2KD h .

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2. Si (ξoD)2−2KDh <0, entonces C(u, b)alcanza su mínimo en u∗ = s 2KD h − (ξoD)2 h(h+ξ) s h+ξ ξ , b ∗ = s 2KD ξ − (ξoD)2 ξ(h+ξ) s h h+ξ − ξoD h+ξ (3) con valor C(u∗, b∗) = s 2KDh h(ξoD) 2 h+ξ s ξ h+ξ + hξoD h+ξ. (4) Además, q∗ = ρh+ξ h+ξ s 2KD h − (ξoD)2 h(h+ξ) s h+ξ ξ + (1ρ)ξoD h+ξ y M∗ = s 2KD h − (ξoD) 2 h(h+ξ) s ξ h+ξ + ξoD h+ξ.

Cuandoξ= 0 el coste unitario de escasez es una constante independiente del tiempo y, teniendo en cuenta la hipótesisξo+ξ >0, son posibles tres escenarios:

(i)ρ= 1 yξo =ωo >0 (toda la demanda en tiempo de escasez es acumulable).

(ii)ρ= 0 yξo =πo+s−p >0 (todo son ventas perdidas).

(iii) 0 < ρ < 1, ξo = ρωo + (1 −ρ)(πo +s− p) > 0 (demanda parcialmente

retropedida).

La solución en este caso nos la proporciona el siguiente

Teorema 2. Si ξ= 0, se tiene: 1. Si (ξoD)2−2KDh≥0,entonces el mínimo de C(u, b)es √ 2KDhy se alcanza en u∗ =q2KD h y b∗ = 0.

2. Si (ξoD)2−2KDh <0,entonces la función C(u, b)no alcanza su valor mínimo en R = {(u, b) : u > 0,0 b u}, pero inf(u,b)∈RC(u, b) = ξoD. El ínfimo se obtiene cuando u∗ = b∗ → ∞. En este escenario no existe inventario en sentido propio.

Observaciones

Si consideramos todas las combinaciones posibles, que se obtienen al admitir que cada uno de los cuatro parámetros que intervienen en el coste de escasez, es decir,

ωo,ω,πo yπ, pueden ser o bien nulos o bien positivos se obtienen 16 casos diferentes.

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1. Siρ>0yπ= 0, retornamos al modeloEOQcon demanda parcialmente retro-pedida considerado en Montgomery (1973), Rosenberg (1979) y Park (1982).

(a) Siρ = 1, se obtiene el modelo de demanda acumulable (ver Hadley (1963, p. 42) o Johnson (1974, p. 26)). Si además consideramos que ω = 0, retornamos al modelo de demanda acumulable con coste de escasez independiente del tiempo (ver Laguna (2002)).

(b) Siωo= 0,ρ= 1yω → ∞, retornamos al modeloEOQde Harris-Wilson.

2. Siρ=π= 0, retornamos al modeloEOQde pérdida de ventas (Hadley (1963, p. 47)).

3. Si ξ= 0, retornamos al modelo de retropedidos parciales con coste de escasez independiente del tiempo (ver Laguna (2002)). Si añadimos la condiciónρ= 1, retornamos al modelo con demanda acumulable y coste de escasez constante (ver Laguna (2002)).

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Conclusiones

En este trabajo se estudia un modelo que generaliza diversos sistemas EOQ de inventario. Se considera que el coste unitario por demanda pendiente de servir y el coste unitario por cada unidad cuya demanda se pierde dependen ambos del tiempo que resta hasta la llegada del siguiente pedido. La política óptima se obtiene por medio de un procedimiento de optimización secuencial en dos etapas que se fundamenta en la función objetivo del modelo de Harris-Wilson (primera etapa) y en una función univariante dependiente del nivel de reabastecimiento (segunda etapa). Al considerar nulos algunos de los cuatro parámetros que determinan los costes de escasez (pero no todos) se obtienen diferentes modelos, algunos de los cuales se encuentran en la literatura sobre el tema, pero otros no.

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Agradecimientos

El autor Joaquín Sicilia agradece a la Dirección Gral. de Universidades e Investi-gación del Gobierno de Canarias la concesión de una Beca de estancia en la Univer-sidad de Valladolid, la cual permitió financiar la elaboración del presente trabajo. Así mismo, los otros dos autores agradecen a la Dirección Gral. de Universidades e Investigación de la Consejería de Ecucación y Cultura de la Junta de Catilla y León la concesión del proyecto UV34/02 que ha servido para facilitar la realización de este trabajo.

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Referencias

Hadley, G. and Whitin, T.M. (1963). Analysis of Inventory Systems. Prentice-Hall. Johnson, L.A. and Montgomery, D.C. (1974). Operations Research in Producction Planning, Scheduling and Inventory Control. John Wiley.

Laguna, J.G. y San José, L.A. (2002): Modelos EOQ determinísticos. Working paper. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Val-ladolid.

Mak, K.L. (1987): Determining optimal production-inventory control policies for an inventory system with partial backlogging. Computers and Operations Research 14, 299-304.

Montgomery, D.C., Bazaraa, M.S. and Keswani, A.K. (1973): Inventory models with a mixture of backorders and lost sales. Naval Research Logistics Quaterly 20, 255-263.

Park, K.S. (1982): Inventory model with partial backorders. International Journal of Systems Sciences 13, 1313-1317.

Rosenberg, D. (1979): A new analysis of a lot size model with partial backlogging.

Naval Research Logistics Quaterly 26, 346-353.

Siver, E.A., Pyke, D.F. and Peterson, R. (1998). Inventory Management and Pro-duction Planning and Scheduling. Wiley.

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