Tema 14: Integrales dobles en
R2La idea es similar al caso de una variable pero más general. Para definir formalmente el concepto de función de dos (o más) variables integrable habría que hacer uso de particiones en R2 (o en R). Además, las propiedades típicas de la integral para una variable se conservan aquí. Por ejemplo:
1. La integral es lineal.
2. La integral a lo largo de una unión de conjuntos se pone como la suma de las integrales a lo largo de cada uno de los conjuntos.
3. El área de un recinto plano se puede obtener mediante la integral:
Z Z
1
Lo que sucede es que hay que explicar antes cómo se calculan las integrales dobles. Lo primero que hacemos es definir la integral doble en rectángulos de la forma
= [ ]×[ ] ={( )∈R2 :≤≤ ≤≤}
Entonces a la integral doble sobre de la función de dos variables se la denotará por
Z Z
( )
y podrá calcularse de cualquiera de las siguientes formas (Teorema de Fubini)
Z ⎛ ⎝ Z ( ) ⎞ ⎠ Z ⎛ ⎝ Z ( ) ⎞ ⎠
El método práctico para resolver la integral consiste en, si suponemos por ejemplo que lo estamos haciendo de la última forma, realizar la integral
Z
( )
que se realiza tomando como variable en el integrando (la cual varía en el intervalo [ ]), imagi-nando queno varía, como si fuera constante (si fuese necesario hay que tener en cuenta que el rango de es [ ]). Después de hacer esto tendremos que el resultado será una función que dependerá de , la cual hay ahora que integrarla en [ ].
Esta idea puede extenderse a integrales triples y múltiples en general.
Nota: Las hipótesis del Teorema de Fubini requieren que la función sea continua (al menos en todos los puntos salvo un número finito), cosa que ocurre normalmente en los casos que se nos van a presentar.
1. Dado el rectángulo
= [01]×[45]
calcular la integral Z Z
Ésta puede calcularse poniéndola en la forma
1 Z 0 ⎛ ⎝ 5 Z 4 ⎞ ⎠= 1 Z 0 ∙ 2 2 ¸=5 =4 = 1 Z 0 9 2= 9 2 ∙ 2 2 ¸1 0 = 9 2 · 1 2 = 9 4 2. Dado el rectángulo = [01]×[−10] calcular la integral Z Z (++)
Ésta puede obtenerse expresándola en la forma
0 Z −1 ⎛ ⎝ 1 Z 0 (++) ⎞ ⎠ = 0 Z −1 ∙ 2 2 + + ¸=1 =0 = 0 Z −1 (1 2+ 1+ −)=h 2 + 1+ −i 0 −1 =+1 − 3 2
3. Calcular la integral doble de la función
( ) =
a lo largo del recinto
={( )∈R2 :−1≤≤20≤≤} Esto significa Z Z = 2 Z −1 ⎛ ⎝ Z 0 ⎞ ⎠= 2 Z −1 [−cos]==0 = = 2 Z −1 [−cos−(−cos 0)]= 2 Z −1 2=£2¤−12 = 4−1 = 3 4. Dado el conjunto = [01]×[03]×[−11]
calcular la integral triple Z Z Z
Ésta puede ponerse en la forma 1 Z 0 ⎛ ⎝ 3 Z 0 ⎛ ⎝ 1 Z −1 2 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠= 1 Z 0 ⎛ ⎝ 3 Z 0 ∙ 3 3 ¸=1 =−1 ⎞ ⎠= 1 Z 0 ⎛ ⎝ 3 Z 0 2 3 ⎞ ⎠= = 1 Z 0 2 3 ∙ 2 2 ¸=3 =0 = 1 Z 0 2 3 9 2= 1 Z 0 3= ∙ 3 2 2 ¸1 0 = 3 2
Pero el recinto sobre el cual se hace la integral (incluso en el caso de dos variables) es en general más complicado que un simple rectángulo. La integral puede hacerse sobre recintos más generales, siempre y cuando su frontera esté dada por unión de curvas de la forma =()ó =(). En el caso más sencillo el recinto queda expresado de alguno de los dos siguientes modos (se dice que es unrecinto básico) ={( )∈R2 : ≤≤ ()≤≤()} 0 ={( )∈R2 : ≤≤, ()≤≤()} Entonces la integral Z Z ( ) puede calcularse, respectivamente, del siguiente modo
Z ⎛ ⎜ ⎝ ()Z () ( ) ⎞ ⎟ ⎠ Z ⎛ ⎜ ⎝ ()Z () ( ) ⎞ ⎟ ⎠
En otras situaciones el recinto será posible ponerlo como unión de recintos básicos, con lo cual la integral se transformará en una suma de integrales, una para cada uno de los susodichos subrecintos.
1. Hallar el área del recinto
={( )∈R2 : 1≤≤32≤≤4} Ésta vale 3 Z 1 ⎛ ⎝ 4 Z 2 1 ⎞ ⎠= 3 Z 1 [] =4 =2 = 3 Z 1 (4−2) = 3 Z 1 2= [2]31 = 9−1 = 8
2. Calcular la integral doble de la función
( ) = (2−4)
a lo largo del recinto
Esto significa Z Z (2−4)= 1 Z 0 ⎛ ⎝ 2+3 Z (2−4) ⎞ ⎠= 1 Z 0 ∙ (2−4) 2 2 ¸=2+3 = = 1 Z 0 (−2)£2¤==2+3= = 1 Z 0 (−2)£(2+ 3)2−2¤ = 1 Z 0 (−2)£4+ 62+ 9−2¤= 1 Z 0 (−2)£4+ 52+ 9¤= = 1 Z 0 (5−24+ 53−102+ 9−18)= ∙ 6 6 −2 5 5 + 5 4 4 −10 3 3 + 9 2 2 −18 ¸1 0 = = 1 6− 2 5 + 5 4 − 10 3 + 9 2 −18 = 10−24 + 75−200 + 270−1080 60 =− 941 60 3. Dado el recinto ={( )∈R2 :2+2 ≤1 ≥0} calcular la integral Z Z Como el recinto puede ponerse en la forma
={( )∈R2 :−1≤≤10≤≤√1−2}
la integral puede ponerse en la forma
1 Z −1 ⎛ ⎜ ⎝ √ 1−2 Z 0 ⎞ ⎟ ⎠= 1 Z −1 ∙ 2 2 ¸=√ 1−2 =0 = 1 Z −1 1 2(1− 2)= 1 2 ∙ − 3 3 ¸ 1 −1 = 1 2· 4 3 = 2 3 4. Hallar la integral Z Z (2−2) donde es el recinto encerrado por las curvas
=2 =3
Los puntos de intersección de las dos curvas resultan de resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, con lo que obtenemos(00)y(11). De este modo (y con una representación gráfica se vería mejor aún) el recinto puede ponerse así
={( )∈R2 : 0≤≤1 3 ≤≤2} Así la integral queda
1 Z 0 ⎛ ⎝ 2 Z 3 (2 −2) ⎞ ⎠= 1 Z 0 £ (2−2)¤ =2 =3 = 1 Z 0 £ (4−4)−(5−6)¤= 1 Z 0 (6−5)
= ∙ 7 7 − 6 6 ¸1 0 = (1 7− 1 6)−0 =− 1 42
5. Calcular la integral doble de la función
( ) = 4−2 a lo largo del recinto
0 ={( )∈R2 :−1≤≤0 ≤≤3+ 2} Esto significa Z Z 0 (4−2) = 0 Z −1 ⎛ ⎝ 3+2Z (4−2) ⎞ ⎠ = 0 Z −1 £ 22−2¤=3+2= = = 0 Z −1 [2(3+ 2)2−2(3+ 2)−(22 −22)] = 0 Z −1 (182 + 24+ 8−62−4)= = 0 Z −1 (122+ 20+ 8)=£43+ 102+ 8¤ 0 −1 = = 0−(−4 + 10−8) = 2
6. Hallar la integral doble de la función
( ) =− a lo largo del triángulo de vértices(01) (10) y(−10).
No estamos ante un recinto básico, poniendoen función de. Podríamos ponerlo como unión de dos recintos básicos (en cada uno en función de ) y poner la integral como suma de las 2 integrales correspondientes a cada uno de dichos recintos. No obstante sí que podemos verlo como un recinto básico poniendo en función de del siguiente modo:
0 ={( )∈R2 : 0≤ ≤1 −1≤≤1−} Entonces la integral podría calcularse así:
Z Z 0 (2−) = 1 Z 0 ⎛ ⎝ 1Z− −1 (2−) ⎞ ⎠= 1 Z 0 £ 2−¤=1=−−1 = 1 Z 0 [(−)]=1=−−1= = 1 Z 0 [(1−)(1−2)−(−1)]= 1 Z 0 [(1−3+ 22)−(−1)]= = 1 Z 0 (22−4+ 2)= [2 3 3 −22+ 2]10 = 2 3 −2 + 2−0 = 2 3
Cambios de variable en la integral doble
Al igual que hacíamos en el caso de funciones de integrales en dimensión uno es posible realizar cambios de variable. Para hacer más simple la cuestión comentaremos aquí sólo el cambio a coorde-nadas polares:
= cos =
De modo análogo a las integrales de una variable lo que hay que hacer es sustituir las coordenadas iniciales (denominadas coordenadas cartesianas) por las coordenadas polares mediante la expresión anterior. También hay que cambiar el recinto original sobre el que se hace la integral por el recinto
final0 que depende de las coordenadas polares. Finalmente, para hacer el cambio de los diferenciales por los nuevos (en analagía con el cambio en una variable donde se cambiaban los diferenciales y mediante la expresión correspondiente) hay que multiplicar por una expresión denominada el jacobiano. En el caso concreto del cambio a coordenadas polares esta expresión vale .
Ejemplo: Se pretende calcular la integral
Z Z
−2−2
donde
={( )∈R2 :2+2 ≤1 ≥0}
El recinto puede ponerse en la forma
={( )∈R2 :−1≤≤10≤≤√1−2}
Realizaremos el cambio a coordenadas polares
= cos =
Tendremos en primer lugar que el recinto en coordenadas polares es 0 ={( ) : 0≤≤10≤ ≤}
Entonces la integral queda
Z Z 0 −2= Z 0 ⎛ ⎝ 1 Z 0 −2 ⎞ ⎠ = Z 0 ∙ −12−2 ¸=1 =0 =−1 2 Z 0 (1 −1) =− 1 2( 1 −1) [] 0 = 2(1− 1 )