Practica 23
1. Determinar el volumen del solido que se genera al rotar la región acotada por las parabolas x=y2−3 y x=y−y2,alrededor de la rectax=−4.
Solución:
Encontremos los puntos de interceccion de ambas curvas: y2−3 =y−y2=>2y2−y−3 = 0 => y=−1e y= 32
Asi el volumen generado esta dado por la integral entre -−1y 3
2 a través del metodo del disco:
V =πR32 −1 £ ((y−y2) + 4)2−((y2−3) + 4))2¤dy V =πR32 −1(8y−9y 2−2y3+ 15)dy V = 87532π unidades de volumen
2.Determinar el volumen del sólido obtenido al rotar en la recta y= 2 , la región entre el gráfico de y=x+ 1 ey=x2−2x+ 3. Solución: El gráfico es: 3 2 1 0 -1 5 3.75 2.5 1.25 0 x y x y
Trasladaremos las funciones y=x−1
y=x2−2x+ 1 Ahora el grafico es:
3 2 1 0 -1 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 x y x y
Ahora calcularemos el volumen del solido por el metodo de los discos: Las intersecciones de las funciones son enx= 1yx= 2
Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el ejexes el siguiente: V =R12π((x−1)2−(x2−2x+ 1)2)dx
V =R12π(−x4+ 4x3−5x2+ 2x)dx V = 152πunidades de volumen
Ahora calcularemos el volumen del solido por el metodo de capas: Las intersecciones eny sony= 0ey= 1
Despejandoxde la funciones obtenemos: x=y+ 1
x=√y+ 1
Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el ejexes el siguiente: V =R012πy((√y+ 1)−(y+ 1))dy
V =R012π(y32 −y2)dy
V = 152πunidades de volumen
3. Determinar el volumen que genera el semidisco y =√1−x2, y= 0 al girar al rededor de la recta que se indica:
Solución: Al visualizar un plano de corte paralelo al plano yz, se deduce que la función área esA(x) = π−π(1−y)2 para −1≤x≤1
A(x) = π−π(1−√1−x2)2=π(2√1−x2+x2−1) El volumen será entonces:
V = 1 Z −1 A(x)dx= 2 1 Z 0
A(x)dx dada la simetría del sólido de revolución.
V = 2π 1 Z 0 (2p1−x2+x2 −1)dx= 4π 1 Z 0 p 1−x2dx+ 2π 1 Z 0 x2dx−2π 1 Z 0 dx = 4π 1 Z 0 p 1−x2dx+2 3π−2π con x= sinw x= 0<−−> w= 0 dx= cosw x= 1<−−> w=π2 Reemplazando: V = 4π π 2 Z 0 (cos2w)dw+2 3π−π= 4π∗ π 4+ 2 3π−2π=π 2 −4 3π= π 3(3π−4). b) Alrededor de la recta y=−1.
Solución:Se puede definir unaf2(x) = 1 +√1−x2de modo que el volumen producido al girar la superficie inicial con respecto ay=−1sea el mismo que al girar la superficie encerrada porf2 y la rectay= 1con respecto ay= 0. Luego, el area de la sección transversal será:
A(x) = π((1 +√1−x2)2−1) =π(2√1−x2−x2+ 1) Y el volumen: (por simetría)
V = 2π 1 Z 0 (2p1−x2−x2+ 1)dx= 4π 1 Z 0 p 1−x2dx−2π 1 Z 0 x2dx+ 2π 1 Z 0 dx V = 4π∗π4 −23π+ 2π= π3(3π+ 4) c) Al rededor de la recta y= 2.
Solución: Al igual que en la parte b, definimos unaf3(x) = 2−
√
1−x2y hacemos
rotar la superficie que forma con la rectay= 2entorno ay= 0. Luego, el area de la sección transversal será:
A(x) = π(22−(2−√1−x2)2=π(4√1−x2+x2−1) Y el volumen: (por simetría)
V = 2π 1 Z 0 (4p1−x2+x2 −1) = 8π 1 Z 0 p 1−x2dx+ 2π 1 Z 0 x2dx−2π 1 Z 0 dx V = 8π∗π4 +23π−2π= 23π(3π−2) d) Al rededor de la recta x= 2. Solución: Del método del anillo se tiene:
V = 2π 1 Z 0 (2−x)p1−x2dx= 4π 1 Z 0 p 1−x2dx−2π 1 Z 0 xp1−x2dx con 1−x2=v x= 0<−−> v= 1 −2xdx=dv x= 1<−−> v= 0 Así: V =π2+π 0 Z 1 √ udu=π2+2π 3 (u 3 2)0 1=π2− 2π 3 = π 3(3π−2).
4. SeaR la región acotada por la parábolay2= 12−4xy las rectas x= 0, y= 0, y= 2. Determinar el volumen del sólido de revolución generado al girarRen torno del ejeX.Utilizar dos métodos difer-entes. Solución: y2= 12−4x (1) x= 0 (2) y= 0 (3) y= 2 (4)
Buscamos puntos de intersección para (1): intersección con el eje x (y=0): x= 3 intersección con el eje y (x=0): y=±2√3 Intersección entre (1) y (4)
12−4x= 4 → 4x= 8→ x= 2 , y= 2 Por el método del disco tenemos:
V =π 3 Z 0 [f(x)]2dx=π 2 Z 0 4dx+π 3 Z 2 12−4xdx= 10π
Por el método de los anillos (cascarón):
V = 2π 2 Z 0 y·f(y)dy= 2π 2 Z 0 y(3−y 2 4)dy= 10π
6. Determinar la longitud de las siguientes curvas: (1) y= lnx−1 8x 2 , con √3 ≤x≤√8. (2) y= 1−ln(cosx), con 0≤x≤ π 4.
Solución: "Longitud de una curvaC es": L(C) = Z b a p 1 +f0(x)2dx Para (1) f(x) = lnx−1 8x 2 f0(x) = 1 x− 1 4x 1 +f0(x)2= 1 + µ 1 x− 1 4x ¶2 = 1 x2 + 1 2+ 1 16x 2= µ 1 x+ 1 4x ¶2 Luego, L(C) = Z √ 8 √ 3 p 1 +f0(x)2dx = µ lnx+1 8x 2 ¶ |√√8 3 = ln √ 8 + 1− (ln√3 +3 8)
Para (2): f(x) = 1−ln(cosx),f0(x) =−−sinx
cosx = tanx 1 +f0(x)2= 1 + tan2x= sec2x L(C) = Z π 4 0 p 1 +f0(x)2dx = Z π 4 0
secx = (ln|secx+ tanx|)|π4
0 = ln(
√
2 + 1).
7. Determinar la longitud de arco de la curva x23 +y23 = 223.
Solución: x23 +y 2 3 = 2 2 3 ⇐⇒ ³ x13 ´2 +³y13 ´2 =³213 ´2 .Una parametrización de la curva esx13(t) = 213cost, y13(t) = 213 sint, ox(t) = 2 cos3t, y(t) = 2 sin3t.
Usando simetría y la fórmula dada por la integral que da el valor de la longitud de la curva en el primer cuadrante se tiene:
L= 4Rπ2 0 q [x0(t)]2+ [y0(t)]2dt= 24Rπ2 0 q
[cos2tsint]2+£sin2(t) cost¤2dt L= 24Rπ2
0 sintcostdt= 12.
8. Determinar el area de la superficie del toro generada por la curva
x2+ (y−3)2= 4 al rotar alrededor del eje X. Solución:
El area de una superficie que rota al rededor del eje x está dada por: As= 2π
Z b a
f(x)p(1 + [f0(x)]2)dx Para este caso:
f(x) =p4−x2+ 3 y se tiene
[f0(x)]2= x 2 4−x2 Para los limites de integración:
Al ser simetrica c/r al ejey se integra 2 veces entre0y2como sigue:
As= 2∗2π Z 2
0
As= 2∗2π Z 2 0 (p4−x2+ 3) r (1 + x 2 4−x2)dx As= 2∗2∗2π ·Z 2 0 dx+ 3 Z 2 0 1 √ 4−x2)dx ¸ As= 8π · [x]20+ 3 Z 2 0 1 √ 4−x2)dx ¸ As= 8π · [x]20+ 3harcsin³x 2 ´i2 0 ¸ As= 8π · 2 +3π 2 ¸
9. Determinar el área de la superficie interior del espejo parabólico obtenido al rotar en el eje y la curva y=401x2.
Como la curva gira en torno aleje y siendo de la formay=f(x).El área de la superficie viene dada porA=Rab2πx
q
1 + (f´(x))2dx. La ecuación de la parábola es de la formay= 4px2.De aquí se tiene que4p= 1
40 =⇒p= 1
160.Podemos afirmar entonces que el foco tiene coordenadas ¡
0, 1 160
¢ . Luego, para determinar los valores deaybtenemos que:
1 40x2= 1 160 =⇒ x2= 40 160 = 1 4 =⇒ |x|= 12 Por tanto A=R 1 2 0 2πx q 1 + (f´(x))2dx,dondef´(x) = 201x FinalmenteA=R 1 2 0 2πx q 1 +£201x¤2dx=R 1 2 0 2πx q 1 + 4001 x2dx Primeramente determinemos la integral indefinida R2πx
q
1 +4001 x2dx Seau= 1 +4001 x2=⇒du= 2001 xdx
=⇒200du=xdx =⇒400πdu= 2πxdx
Sustituyendo y calculando respectivemente tenemos que: R 2πxq1 + 4001 x2dx= 400πR √udu= 400π2 3u 3 2 = 800π 3 √ u3+C Volviendo a la variable original
A=R12
0 2πx q
1 + (f´(x))2dx=800π3 ·q£16011600¤3−1 ¸
Por tanto, el área de la superficie interior del espejo parabólico obtenido al rotar en el eje y la curvay= 1
40x 2es 800π 3 ·q£1601 1600 ¤3 −1 ¸ .
