1. Determinar el volumen del solido que se genera al rotar la región acotada por las parabolas x = y 2 3 y x = y y 2,alrededor de la recta x = 4.

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(1)

Practica 23

1. Determinar el volumen del solido que se genera al rotar la región acotada por las parabolas x=y23 y x=yy2,alrededor de la rectax=4.

Solución:

Encontremos los puntos de interceccion de ambas curvas: y23 =yy2=>2y2y3 = 0 => y=1e y= 32

Asi el volumen generado esta dado por la integral entre -1y 3

2 a través del metodo del disco:

V =πR32 −1 £ ((yy2) + 4)2((y23) + 4))dy V =πR32 −1(8y−9y 22y3+ 15)dy V = 87532π unidades de volumen

2.Determinar el volumen del sólido obtenido al rotar en la recta y= 2 , la región entre el gráfico de y=x+ 1 ey=x22x+ 3. Solución: El gráfico es: 3 2 1 0 -1 5 3.75 2.5 1.25 0 x y x y

(2)

Trasladaremos las funciones y=x1

y=x22x+ 1 Ahora el grafico es:

3 2 1 0 -1 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 x y x y

Ahora calcularemos el volumen del solido por el metodo de los discos: Las intersecciones de las funciones son enx= 1yx= 2

Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el ejexes el siguiente: V =R12π((x1)2(x22x+ 1)2)dx

V =R12π(x4+ 4x35x2+ 2x)dx V = 152πunidades de volumen

Ahora calcularemos el volumen del solido por el metodo de capas: Las intersecciones eny sony= 0ey= 1

Despejandoxde la funciones obtenemos: x=y+ 1

x=√y+ 1

Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el ejexes el siguiente: V =R012πy((√y+ 1)(y+ 1))dy

V =R012π(y32 −y2)dy

V = 152πunidades de volumen

3. Determinar el volumen que genera el semidisco y =√1x2, y= 0 al girar al rededor de la recta que se indica:

(3)

Solución: Al visualizar un plano de corte paralelo al plano yz, se deduce que la función área esA(x) = ππ(1y)2 para 1x1

A(x) = ππ(1√1x2)2=π(21x2+x21) El volumen será entonces:

V = 1 Z −1 A(x)dx= 2 1 Z 0

A(x)dx dada la simetría del sólido de revolución.

V = 2π 1 Z 0 (2p1x2+x2 −1)dx= 4π 1 Z 0 p 1x2dx+ 2π 1 Z 0 x2dx2π 1 Z 0 dx = 4π 1 Z 0 p 1x2dx+2 3π−2π con x= sinw x= 0<−−> w= 0 dx= cosw x= 1<−−> w=π2 Reemplazando: V = 4π π 2 Z 0 (cos2w)dw+2 3π−π= 4π∗ π 4+ 2 3π−2π=π 2 −4 3π= π 3(3π−4). b) Alrededor de la recta y=1.

Solución:Se puede definir unaf2(x) = 1 +√1x2de modo que el volumen producido al girar la superficie inicial con respecto ay=1sea el mismo que al girar la superficie encerrada porf2 y la rectay= 1con respecto ay= 0. Luego, el area de la sección transversal será:

A(x) = π((1 +√1x2)21) =π(21x2x2+ 1) Y el volumen: (por simetría)

V = 2π 1 Z 0 (2p1x2x2+ 1)dx= 4π 1 Z 0 p 1x2dx 1 Z 0 x2dx+ 2π 1 Z 0 dx V = 4ππ4 23π+ 2π= π3(3π+ 4) c) Al rededor de la recta y= 2.

Solución: Al igual que en la parte b, definimos unaf3(x) = 2−

1x2y hacemos

rotar la superficie que forma con la rectay= 2entorno ay= 0. Luego, el area de la sección transversal será:

A(x) = π(22(21x2)2=π(41x2+x21) Y el volumen: (por simetría)

(4)

V = 2π 1 Z 0 (4p1x2+x2 −1) = 8π 1 Z 0 p 1x2dx+ 2π 1 Z 0 x2dx2π 1 Z 0 dx V = 8ππ4 +23π2π= 23π(3π2) d) Al rededor de la recta x= 2. Solución: Del método del anillo se tiene:

V = 2π 1 Z 0 (2x)p1x2dx= 4π 1 Z 0 p 1x2dx 1 Z 0 xp1x2dx con 1x2=v x= 0<−−> v= 1 −2xdx=dv x= 1<−−> v= 0 Así: V =π2+π 0 Z 1 √ udu=π2+2π 3 (u 3 2)0 1=π2− 2π 3 = π 3(3π−2).

4. SeaR la región acotada por la parábolay2= 124xy las rectas x= 0, y= 0, y= 2. Determinar el volumen del sólido de revolución generado al girarRen torno del ejeX.Utilizar dos métodos difer-entes. Solución: y2= 124x (1) x= 0 (2) y= 0 (3) y= 2 (4)

Buscamos puntos de intersección para (1): intersección con el eje x (y=0): x= 3 intersección con el eje y (x=0): y=±2√3 Intersección entre (1) y (4)

124x= 4 4x= 8 x= 2 , y= 2 Por el método del disco tenemos:

(5)

V =π 3 Z 0 [f(x)]2dx=π 2 Z 0 4dx+π 3 Z 2 124xdx= 10π

Por el método de los anillos (cascarón):

V = 2π 2 Z 0 y·f(y)dy= 2π 2 Z 0 y(3y 2 4)dy= 10π

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6. Determinar la longitud de las siguientes curvas: (1) y= lnx1 8x 2 , con3 ≤x√8. (2) y= 1ln(cosx), con 0x π 4.

Solución: "Longitud de una curvaC es": L(C) = Z b a p 1 +f0(x)2dx Para (1) f(x) = lnx1 8x 2 f0(x) = 1 x− 1 4x 1 +f0(x)2= 1 + µ 1 x− 1 4x ¶2 = 1 x2 + 1 2+ 1 16x 2= µ 1 x+ 1 4x ¶2 Luego, L(C) = Z √ 8 √ 3 p 1 +f0(x)2dx = µ lnx+1 8x 2 ¶ |√√8 3 = ln √ 8 + 1 (ln√3 +3 8)

Para (2): f(x) = 1ln(cosx),f0(x) =−sinx

cosx = tanx 1 +f0(x)2= 1 + tan2x= sec2x L(C) = Z π 4 0 p 1 +f0(x)2dx = Z π 4 0

secx = (ln|secx+ tanx|)|π4

0 = ln(

2 + 1).

7. Determinar la longitud de arco de la curva x23 +y23 = 223.

Solución: x23 +y 2 3 = 2 2 3 ⇐⇒ ³ x13 ´2 +³y13 ´2 =³213 ´2 .Una parametrización de la curva esx13(t) = 213cost, y13(t) = 213 sint, ox(t) = 2 cos3t, y(t) = 2 sin3t.

(7)

Usando simetría y la fórmula dada por la integral que da el valor de la longitud de la curva en el primer cuadrante se tiene:

L= 4Rπ2 0 q [x0(t)]2+ [y0(t)]2dt= 24Rπ2 0 q

[cos2tsint]2+£sin2(t) cost¤2dt L= 24Rπ2

0 sintcostdt= 12.

8. Determinar el area de la superficie del toro generada por la curva

x2+ (y3)2= 4 al rotar alrededor del eje X. Solución:

El area de una superficie que rota al rededor del eje x está dada por: As= 2π

Z b a

f(x)p(1 + [f0(x)]2)dx Para este caso:

f(x) =p4x2+ 3 y se tiene

[f0(x)]2= x 2 4x2 Para los limites de integración:

Al ser simetrica c/r al ejey se integra 2 veces entre0y2como sigue:

As= 22π Z 2

0

(8)

As= 2∗2π Z 2 0 (p4x2+ 3) r (1 + x 2 4x2)dx As= 2∗2∗2π ·Z 2 0 dx+ 3 Z 2 0 1 √ 4x2)dx ¸ As= 8π · [x]20+ 3 Z 2 0 1 √ 4x2)dx ¸ As= 8π · [x]20+ 3harcsin³x 2 ´i2 0 ¸ As= 8π · 2 +3π 2 ¸

9. Determinar el área de la superficie interior del espejo parabólico obtenido al rotar en el eje y la curva y=401x2.

Como la curva gira en torno aleje y siendo de la formay=f(x).El área de la superficie viene dada porA=Rab2πx

q

1 + (f´(x))2dx. La ecuación de la parábola es de la formay= 4px2.De aquí se tiene que4p= 1

40 =p= 1

160.Podemos afirmar entonces que el foco tiene coordenadas ¡

0, 1 160

¢ . Luego, para determinar los valores deaybtenemos que:

1 40x2= 1 160 = x2= 40 160 = 1 4 = |x|= 12 Por tanto A=R 1 2 0 2πx q 1 + (f´(x))2dx,dondef´(x) = 201x FinalmenteA=R 1 2 0 2πx q 1 +£201x¤2dx=R 1 2 0 2πx q 1 + 4001 x2dx Primeramente determinemos la integral indefinida R2πx

q

1 +4001 x2dx Seau= 1 +4001 x2=du= 2001 xdx

=200du=xdx =400πdu= 2πxdx

Sustituyendo y calculando respectivemente tenemos que: R 2πxq1 + 4001 x2dx= 400πR √udu= 400π2 3u 3 2 = 800π 3 √ u3+C Volviendo a la variable original

A=R12

0 2πx q

1 + (f´(x))2dx=800π3 ·q£16011600¤31 ¸

Por tanto, el área de la superficie interior del espejo parabólico obtenido al rotar en el eje y la curvay= 1

40x 2es 800π 3 ·q£1601 1600 ¤3 −1 ¸ .

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