EL PROMEDIO Y LA DESVIACIÓN TÍPICA

E

Cuando se realizan muchas medidas de una variable bajo las mismas condiciones, los resultados serán, casi siempre, distintos. Esto se debe a la naturaleza aleatoria del proceso de medir.

Sin embargo, es conveniente expresar de algún modo las características de un conjunto de mediciones (de una misma variable) de tal modo que sea posible efectuar operaciones, es decir, es necesario que se disponga de uno o más valores que hagan referencia a las características del conjunto de medidas para manejarlos cuantitativamente.

PROCEDIMIENTO

En la Tabla I se muestra un conjunto de medidas de los diámetros exteriores de un lote de rondanas. La unidad de medida es el centímetro.

Tabla I. Medidas de diámetros exteriores de un lote de rondanas

6.00 3.24 3.22 2.80 4.68 4.60 3.92 4.25 4.92 5.26 3.60 5.53 2.36 4.66 3.81 5.58 3.12 1.03 3.58 2.23 3.83 3.98 4.38 4.79 4.36 3.26 2.68 3.92 3.17 2.66 3.28 3.92 3.80 2.98 4.43 3.10 4.24 4.30 5.04 4.64 3.81 5.93 4.69 4.97 4.16 4.18 2.82 6.54 4.42 4.09 1.32 4.44 3.24 4.79 3.67 3.72 6.33 2.17 4.67 3.99 3.84 4.52 3.58 3.75 2.38 3.75 3.85 2.13 6.50 4.19 2.40 3.72 4.34 2.14 6.54 5.89 2.09 1.23 4.33 1.74 4.19 4.82 3.60 5.22 5.92 4.05 3.60 5.41 2.67 3.69 6.20 3.54 3.53 2.53 2.80 3.82 5.15 6.85 4.58 2.87

Con estos datos construya un histograma de la siguiente manera: encuentre los valores máximo y mínimo del conjunto para establecer los límites superior e inferior y luego escriba el resultado de la diferencia entre dichos valores dividido por 10, para establecer diez intervalos de clase. A continuación, construya una es-cala como en la figura 1-1.

En los extremos de la escala es-criba los valores mínimo y máximo como en la figura 2.

Luego cuente los valores que quedan dentro de cada intervalo trace su acumulación en forma de barra, como en la figura 1-2.

Una vez que ha construido el

Figura 1-0-1. Escala para trazar el histograma

histograma, se puede observar la forma en la que se encuentran distribuidos los valores de las medidas (como puede verse se trata de una distribución discreta). De aquí, el valor más conveniente que se busca, para los propósitos de este curso, es el promedio o media aritmética, que se expresa como

1 2

( n) /

x = x + + +x L x n (1.1)

que considera a n medidas (en este caso n=100).

Sin embargo, aun falta definir la dispersión de esta distribución de datos, que es una medida que indica cuán dispersas se encuentran las medidas alrededor de la media. A dicha dispersión se le conoce como desviación típica o desviación están-dar y se expresa como:

(

)

(

)

∑

A las distribuciones como la que se ha presentado (que tienen forma de cam-pana, aproximadamente) se les conoce como distribución normal y es una de las distribuciones que se encuentran con más frecuencia en la física.

Cuando el conjunto de medidas es muy grande, se puede considerar que se tiene una distribución continua la cual puede expresarse como:

2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 x x s f x e s π − − = (1.3)

donde s es la desviación típica que ya se definió en (1.2) y xestá definida en (1.1). Ahora, con los valores de la media y la desviación típica que ha calculado a partir del conjunto de medidas, trace una gráfica como si se tratara de una distribu-ción continua, usando la ecuadistribu-ción (1.3).

La desviación típica que se ha obtenido de este modo representa la incerti-dumbre estadística del conjunto de datos y, a menos que se haga otra indicación, se puede utilizar como la incertidumbre de la media.

D

Muchas de las medidas que se efectúan en el laboratorio son indirectas, es decir, provienen de otras medidas que se hacen directamente o de valores que se tienen convencionalmente.

Sabemos que toda medición tiene una incertidumbre asociada, debido a fac-tores que escapan a las habilidades de quien efectúa la medición. Esto hace que, al efectuar operaciones con valores que tienen una incertidumbre asociada, se propa-guen en los resultados, es decir que el resultado o resultados finales también ten-drán una incertidumbre asociada que proviene de las operaciones que se hacen con las incertidumbres de las medidas directas.

Existe un procedimiento general que nos permite efectuar la propagación de las incertidumbres al efectuar operaciones con ellas.

Supongamos que, de alguna manera, conocemos la función que nos determi-na un resultado que se obtiene de las mediciones directas que se hacen durante al-gún experimento.

Consideremos un ejemplo sencillo. Supongamos que se nos pide que deter-minemos el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas tienen longitudes diferen-tes: x, y y z, cada una con su incertidumbre (δx, δy y δz, respectivamente). En este caso, la función que determina el volumen del paralelepípedo es

( , , )

f x y z =xyz (2.1)

Como puede observarse, la función no incluye las incertidumbres. Sin embargo, el hecho de que las medidas de las aristas tengan una incertidumbre nos hace supo-ner, correctamente, que el volumen o más bien la función también debe tener una incertidumbre asociada, a saber δf.

Para efectuar la propagación de la incertidumbre en funciones conocidas, basta con determinar las derivadas parciales de la función, con respecto a cada una de las variables de las que depende y, luego, aplicar la siguiente fórmula general

( )

∑

donde n es el número de variables de las que depende la función. En el caso que ahora nos interesa se tiene n=3, de modo que la incertidumbre en el volumen del paralelepípedo se puede escribir como

( )

( )

( )

donde se ha escrito, explícitamente, la incertidumbre en la función o volumen, en este caso.

PROCEDIMIENTO

Utilizando un calibrador vernier y un tornillo micrométrico, determine el volumen de una rondana, como en la figura 2-1.

Debe notarse que a las variables se les puede asignar cualquier nombre. En este caso, la función volumen se expresa como f(d, D, s).

El volumen de la rondana puede determinarse si se multiplica la diferencia de las áreas circulares,

2 2

4 4

D d

π −π , por el espesor, s, de modo que la función que se tiene es

(

)

( , , ) 4

f d D s =π D −d s (2.4)

así que la incertidumbre en el vloumen de la rondana se puede determinar si se calculan primero sus derivadas parciales respecto de cada una de las variables de las que depende.

2 f Ds D π ∂ = ∂ (2.5) 2 f ds d π ∂ = − ∂ (2.6)

(

)

por lo que la incertidumbre en el volumen se expresa como

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

Con estos resultados ya es posible informar la medida —indirecta— del vo-lumen dela rondana, incluyendo su incertidumbre: f ± δf.

Figura 2-1. Rondana cuyas dimensiones incluyen la incertidumbre.

R

En muchas ocasiones es más conveniente utilizar cantidades que indiquen alguna propiedad de un material o sustancia.

En el ejercicio que se describe a continuación se pretende determinar la rela-ción funcional, a primera aproximarela-ción, entre la masa y el volumen de un líquido. El ejercicio consiste en determinar, gráficamente, la pendiente y la ordenada al origen de una recta, e interpretar físicamente los resutlados de las mediciones.

PROCEDIMIENTO

Utilizando una balanza granataria mida la masa de diferentes cantidades de agua, aceite, vinagre o vino y luego mida el volumen, utilizando un vaso de precipitados graduado y una probeta graduada.

En todas la medidas que efectúe, considere la incertidumbre asociada a cada una de ellas, pues será utilizada en la gráfica de dispersión que se trazará en papel milimétrico.

Construya una tabla de valores, a los que llamaremos datos experimentales, de modo que la primera columna corresponda al volumen medido, la segunda a su incertidumbre, la tercera a la masa medida y la cuarta a su incertidumbre asociada.

Tabla II. Medidas de volumen y masa de un líquido

Volumen V (mm3) incertidumbreδV (mm3) Masa M (g) incertidumbreδM (g) V1 δV1 M1 δM1 V2 δV2 M2 δM2 ... ... ... ... Vn δVn Mn δMn

En una hoja de papel milimétrico, trace dos ejes perpendiculares, en cuya intersección se asigna el valor de cero, 0. El eje horizontal corresponde a la varia-ble volumen del líquido y el vertical a de la masa.

También es importante trazar las incertidumbres correspondientes. Para tra-zarlas, es conveniente hacerlo mediante segmentos de recta, cuya longitud, en la escala, corresponda al doble de la magnitud de la incertidumbre de la variable. Di-chos segmentos de recta se trazan de modo que su punto medio coincida, en este caso, con el punto correspondiente a la medida.

Como puede verse en la figura 3-1, la gráfica que se obtiene a partir de las medidas contiene más información de la que se esperaría comúnmente, a saber, las incertidumbres.

Utilice una regla y trace una recta que “pase” por la mayor parte de los pun-tos de la gráfica que corresponden a los dapun-tos experimentales. Luego, utilizando dos puntos cualesquiera de la recta, sin que correspondan a los datos experimen-tales, determine la pendiente utilizando la relación

2 1 2 1 y y m x x − = − (3.1)

donde los valores del numerador corresponden a las ordenadas y las del denomi-nador a las abscisas. Es importante incluir las unidades correspondientes, ya que con ellas se determinan las unidades de la pendiente.

Figura 3-0-1. Gráfica de dispersión donde se ven los valores experimentales y sus incertidumbres

A continuación se prolonga la recta que se ha trazado de modo que se inter-secte con el eje vertical, o de las ordenadas; dicha intersección da como resultado el valor de la ordenada al origen, M0, de la recta trazada, incluyendo las unidades

de medida.

Así, la recta resultante tiene la forma

0

( )

M V =mV +M (3.2)

A los valores de m y M0 que se han obtenido se les conoce como parámetros

de la recta. Esta “fórmula” es la relación funcional entre el volumen y la masa de un líquido. Como puede observarse, se ha obtenido una función en la que la masa es una función lineal del volumen. Esta relación permite hacer predicciones, es de-cir, dado un volumen del mismo líquido con el que se hizo el experimento, es po-sible predecir el valor de la masa que le corresponde, sin tener que realizar la me-dida directa de la masa.

Una vez que se ha obtenido la pendiente, ¿a qué cantidad física conocida co-rresponde?

¿A qué se debe que la ordenada al origen sea distinta de cero, 0?

Con la experiencia que se ha adquirido hasta el momento, ¿cuáles serían las modificaciones más adecuadas para realizar el experimento de modo que los pa-rámetros de la recta se parezcan más a los valores que se encuentran en los libros de texto?

R

La elongación de un resorte cambia cuando se aplica una fuerza. Dicha elongación es finita, ya que es posible que el resorte se rompa debido a la aplicación de una fuerza muy intensa.

En esta práctica se determinará la relación entre la elongación de un resorte y la fuerza que se aplica.

PROCEDIMIENTO

Suspenda un resorte por uno de sus extremos de modo que cuelgue verticalmente, como se muestra en la figura 4-1.

L

Figura 4-0-1. La masa suspendida en el extremo inferior produce una elongación en el resorte.

Mida la masa de cada uno de los objetos que se suspenderán en el extremo inferior del resorte.

A continuación, añada los objetos uno a uno y mida la longitud del resorte paulatinamente. Observe cuidadosamente cómo, a medida que se añade peso al sorte, éste gira en torno al eje vertical que pasa por el punto de suspensión del re-sorte y el punto en el que se han suspendido los objetos.

Asigne las incertidumbres correspondientes a todas las medidas efectuadas. Construya una gráfica a cuyo eje horizontal se asigne la elongación del re-sorte y al eje vertical la fuerza aplicada al suspender los objetos colocados en el extremo inferior del resorte.

Mediante el método de los mínimos cuadrados haga un ajuste y haga una interpretación física de los parámetros obtenidos.

Como podrá darse cuenta, la relación funcional hallada es semejante a la Ley de Hooke, pero con una diferencia: ¡aquí se tiene una ordenada al origen que en la ley de Hooke no aparece!, ¿por qué? ¿Cuál es el significado físico de esta diferen-cia? Explique.

M

Uno de los primeros movimientos que se estudian en la física es el de un objeto que se mueve en línea recta y recorre intervalos iguales de longitud en intervalos iguales de tiempo.

En esta práctica se estudia el movimiento de un balín que rueda sobre un riel horizontal. Se omitirán los efectos por rodamiento y fricción del balín con el riel.

PROCEDIMIENTO

En la figura 5-1 se muestra el arreglo experimental con el que se llevará a cabo esta práctica. en este intervalo el movimiento es a velocidad constante ram pa

Figura 5-1. Se requiere que el balín se mueva siempre a la misma velocidad al llegar al riel horizontal.

En la figura puede verse que el balín inicia su recorrido en la parte superior de la rampa. Esto se hace para que al llegar a la sección horizontal de su recorrido, el balín siempre viaje a la misma velocidad, con el fín de efectuar varias veces las mismas medidas de desplazamiento y tiempo.

Es importante considerar el hecho de que el tiempo se mide con un cronó-metro que se activa justo en el momento en el que el balín entra a la sección hori-zontal de su recorrido, desactivándolo a una distancia especificada de antemano. Por ejemplo, se desea determinar el tiempo que emplea el balín al recorrer 40 cm sobre el riel; el balín se suelta desde la parte superior de la rampa y el cronómetro se activa en el momento en el que el balín llega a la parte horizontal del riel, des-activándolo justo cuando alcanza los 40 cm especificados. Luego, se repite varias veces la medida del tiempo para el mismo recorrido y se determina el tiempo pro-medio que empleó el balín en hacer el recorrido; así, este tiempo propro-medio y la distancia recorrida serán las coordenadas de un punto en una gráfica distancia vs. tiempo.

El ejercicio se repite considerando recorridos de diferentes longitudes. Lue-go, se construye una gráfica en la que la variable independiente es el tiempo pro-medio en cada recorrido y la variable independiente es la distancia recorrida.

Debe considerarse cuidadosamente la incertidumbre en la posición del balín durante las medidas de tiempo, ya que se encuentra en movimiento y el ojo no al-canzará a detectar una posición precisa del balín sobre el riel.

Por otro lado, la incertidumbre en el tiempo tendrá dos componentes, a sa-ber, una estadística (debida al número de veces que se repiten las medidas) y otra que involucra el factor humano; debe notarse que la persona que mide el tiempo activará o desactivará el cronómetro de manera diferente de una medida a otra.

Mediante el método de los mínimos cuadrados haga un ajuste y haga una interpretación física de la ecuación y los parámetros así determinados.