Universidad Carlos III de Madrid

Universidad Carlos III de Madrid

2.1 El mundo físico: representación con

señales y sistemas

zSeñales: Funciones con las que representamos variaciones de una magnitud física

…Voltaje, intensidad, fuerza, temperatura, posición

( )

r t

( )

zSistemas: Transforman señales

…Pueden modelar el comportamiento de

¾... Una planta química, un sistema hidráulico, un circuito eléctrico, un canal de comunicaciones, ...

2.1 El mundo físico: representación con

señales y sistemas

Generalización Sistema

{ }

x(t) y(t) T = ) (t x ( ) i V t V to( )=T V t

{

i( )

}

zSistemas: Transforman señales

…Ejemplo: canal atmosférico

2.1 El mundo físico: representación con

señales y sistemas

Generalización Sistema 0 ( ) ( ) y t =αx t−t ) (t x

{ }

( ) T x t α ≤1 c f λ= 10 m ≤λ_HF ≤100 m

2.2 Clasificación de señales

zPor la naturaleza de la variable independiente

…Definidas en tiempo continuo

¾Notación: x(t)

¾Ejemplos:

„Temperatura en función de la altura „Voltaje senoidal

:

( )

x

t x t

→

→

R C

x(t)es una función de variable real x(t) t ) 46 ( x ) 9834232 , 64 ( x

2.2 Clasificación de señales

zPor la naturaleza de la variable independiente

…Definidas en tiempo discreto

¾Notación: x[n] x[n] n ] [ : n x n x → →_C Z

x[n]es una función de variable discreta

] 0 [ x ] 1 [ x ] 2 [ x

[ ]

1₂ existe No x

2.2 Clasificación de señales

zPor la naturaleza de la variable independiente

…Definidas en tiempo discreto

¾Indicadores económicos: IBEX 35

„Predicción:

[

1

]

(

[ ] [ ] [

, 1, 2

]

,"

)

ˆn+ =F xn xn− xn− x n 8021 8113 8032 n-1 7857 n+1 _día

2.2 Clasificación de señales

zPor la naturaleza de la función

…Reales 0 ), 10 sin( ) (_t =_e−0.99 _{t t}≥ x t [ ] n x n =α 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 α α2 ] [n x 0≤ ≤α 1 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 α α2 ] [n x 1 α 0 − ≤ ≤ ( ) r t

2.2 Clasificación de señales

zPor la naturaleza de la función

…Complejas ¾Conjugado

{ }

{ }

[ ] Re [ ] Im [ ] x n = x n + j x n

{ }

1

(

*

)

Re [ ] [ ] [ ] 2 x n = x n +x n

{ }

1

(

*

)

Im [ ] [ ] [ ] 2 x n x n x n j = −

{ }

(

)

2

(

{ }

)

2 [ ] Re [ ] Im [ ] x n = x n + x n

{ }

{ }

1 Im [ ] arg( [ ]) tan Re [ ] x n x n x n − ⎛ ⎞ = _{⎜⎜ ⎟⎟} ⎝ ⎠ { }• Re { }• Im ] [n x n 0 ω ) 1 ( 0 n+ ω ] 1 [n+ x

{ }

{ }

* [ ] Re [ ] Im [ ] x n = x n − j x n

{ }

Im

•

2 2

z

=

x

+

y

: argz z arctan y x

θ

= = = ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (

Módulo

:

También llamado “valor absoluto”

(el módulo de un real es su valor absoluto)

Fase

:

z

x

y

θ

z

{ }

Re

•

Eje real Eje imaginario

θ

r

13

)

2

(

)

3

(

2 2

=

−

+

−

=

=

z

r

} , 7 . 213 , 7 . 33 , 3 . 146 { 3 2 arctan 3 2 arctan arg " "− ° ° ° = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = z θ

3

−

2

−

rad

73

.

3

3 2

j

− −

La calculadora no distingue

{ }

Im

•

{ }

Re

•

Representación de números complejos

zDibujar el número complejo z = -3-2j

en el plano complejo y evaluar módulo y fase zMódulo zFase

1

z

2

z

2 1

z

z

+

1 2

z

z

−

En la suma (y la resta)

los números complejos

se comportan como vectores

Suma y resta de números complejos

en el plano complejo

{ }

Im

•

{ }

Desigualdad triangular

|

|

z

₁

+

z

₂ 1

z

2

z

2 1

z

z

+

|

|

z

₁

|

|

z

₂

|

|

|

|

|

|

z

₁

+

z

₂

≤

z

₁

+

z

₂

{ }

Im

•

{ }

Re

•

2.3 Propiedades de las señales

zSimetría …Par

…Impar

zParte (im)par de una señal ) ( ) (t x t x = − 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 ] [ ] [n x n x = − 0 ) 0 ( ) ( ) (t =−x −t ⇒x = x ] [ ] [n x n x =− −

(

( ) ( )

)

2 1 ) (t x t x t x_par = + −

(

( ) ( )

)

2 1 ) (t x t x t x_impar = − − ) ( ) ( ) (t x t x t x = _par + _impar 0 t ) (t x α α2

2.3 Propiedades de las señales

zSimetría

…Calcular la parte par e impar de...

0 t ) (t x 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.3 Propiedades de las señales

zPeriodicidad t T t x t x T> = + ∀ ∃ 0, ( ) ( ),

{

}

xn xn N n N N > ∈ = + ∀ ∃ + ], [ ] [ , ,... 3 , 2 , 1 : , 0 N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = t t x π 3 2 cos ) ( 2 2 ( ) ( ) cos cos ( ) 3 3 2 2 cos 2 cos 2 3 3 3 3 x t x t T t t T T t t k T π π π π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⇒ _{⎜ ⎟}= _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⇒ _⎜ + _⎟= _⎜ + _⎟⇒ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ¿∃ >T 0, ( )x t =x t T( + ),∀t? t

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2.3 Propiedades de las señales

zPeriodicidad

…Si x(t)es periódica de periodo T, también lo es de periodo 2T, 3T,

…Periodo fundamental:

¾Menor valor de T(óN) para el que se cumple que x(t)=x(t+T)(óx[n]=x[n+N]).

t T t x t x T> = + ∀ ∃ 0, ( ) ( ),

{

}

xn xn N n N N > ∈ = + ∀ ∃ + ], [ ] [ , ,... 3 , 2 , 1 : , 0 N t T 2T T − " = + = + = ( ) ( 2 ) ) (t x t T x t T x zValor medio …Media parcial

2.4 Caracterización de señales

∫

+ − = 2 2 , 0 0 0 ) ( 1 ) ( T t T t T t _T x t dt t x [ ] ₂ 1 ₁ [ ] 0 0 0,2 1 _N xn n x N n N n n N n

∑

+ − = + = ₊ 0 t

)

(

t

x

0 t 2 0 T t + 2 0 T t − Intervalo de integración

zValor medio

…Media total

…Señales periódicas: se considerará la media parcial restringida a un periodo.

¾Ejemplo: x[n]=x[n+N]

2.4 Caracterización de señales

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ → =

∫

+ − 2 2 0 0 ) ( 1 lim ) ( T t T t dt t x T T t x ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ → =

∑

+ − = ] [ 1 2 1 lim ] [ 0 0 n x N N n x N n N n n ] [ 1 ] [ 1 , 0 0 0 _N x n n x N n n n N n

∑

− + = = 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 α α2

"

"

3 4 5 α 1 ] 5 [ ] [n =xn+ x Intervalo de suma

zPotencia media de una señal

…Señales aperiódicas

…Señales periódicas de periodo T(óN)

zEnergía media de una señal

2.4 Caracterización de señales

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞ → =

∫

+ − 2 2 2 0 0 ) ( 1 lim t T T t X x t dt T T P ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ → =

∑

+ − = 2 ] [ 1 2 1 lim 0 0 n x N N P N n N n n X

∫

+ − = 2 2 2 0 0 ) ( 1 T t T t X x t dt T P 2 1 ] [ 1 0 0 n x N P N n n n X

∑

− + = = 2 ( ) X E ∞ x t dt −∞ =

∫

_X [ ]2 n E x n ∞ =−∞ =

∑

zSeñales definidas en energía:

…Son aquellas para las que

zSeñales definidas en potencia

…Son aquellas para las que

¾Señales periódicas

2.4 Caracterización de señales

0 0 2 2 2 lim 1 ( ) T t T X _t P x t dt T T + − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬< ∞ → ∞ ⎩

∫

⎭ 2 ( ) X E ∞ x t dt −∞ =

_∫

< ∞ _X [ ]2 n E x n ∞ =−∞ ⎛ _{= < ∞}⎞ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ 0 0 2 2 2 1 ( ) T t T X t P x t dt T + − =

_∫

< ∞ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

zValor eficaz (valor cuadrático medio)

…Señales sinusoidales

2.4 Caracterización de señales

0 0 2 2 2 1 ( ) T t T EFF RMS t x x x t dt T + − = =

_∫

0 0 1 2 1 [ ] n N EFF n n x x n N + − = =

∑

2 ( ) _pcos( ) _pcos x t V t V t T π ω ⎛ ⎞ = = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

[ ]

2 _{2 2} 2

(

)

( ) cos ( ) 1 cos(2 ) 2 p p V x t =V ωt = + ωt 2 0 0 1 1 4 ( ) 1 cos 2 2 T _p T _p EFF V V x x t dt t dt T T T π ⎛ ⎛ ⎞⎞ = = _⎜ + _{⎜ ⎟⎟} = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

∫

( ) x t [ ]2 ( ) x t EFF x

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 ( ) p t

2.4 Caracterización de señales

zPotencia media en circuitos

R + − ( ) v t ( ) i t 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 ( ) i t ( ) v t 2_{( )} ( ) ( ) ( ) v t [W] p t v t i t R = = 2 2 2 2 2 2 ( ) cos ( ) (1 cos(2 )) 2 2 P R T T P P EFF T V v t P dt t dt R R V V V t dt R R R ω ω = = = + = =

∫

∫

∫

R P ( ) _pcos( ) [V] v t =V ωt

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente

…Reflexión (abatimiento) en t = 0

…Escalado

¾Operación reversible en tiempo continuo

2.5 Operaciones básicas con señales

0 T₁ T₂ ) (t x

t

-T₂ 0 -T₁ ) ( t x −

t

0 T₁ T₂ ) (t x

t

0 ) (at x t a T₂ a T1 1 compresión a > ⇒ 0 ) (at x t a T₂ a T₁ 1 expansión a< ⇒

2.5 Operaciones básicas con señales

Transformaciones (lineales) de la variable independiente … Ejemplo:

… Reflexión (abatimiento) en t = 0

2.5 Operaciones básicas con señales

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente ¾Escalado temporal

2.5 Operaciones básicas con señales

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente ¾Escalado temporal

„Ejemplo: Dado x(t), encuentra z(t) =x(t/2).

2.5 Operaciones básicas con señales

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente ¾Escalado temporal: Dada y(t),encuentra w(t) =y(3t);v(t) =y(t/3).

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente

…Escalado (tiempo discreto)

¾Importante:

„¡Operación no reversible!

2.5 Operaciones básicas con señales

0 ] [n x n 0 ] 2 [ ] [n x n y = n 1 compresión a> ⇒ 1 expansión a< ⇒ 2 ] 4 [ ] 2 [ x y = 0 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = caso otro en , 0 k de múltiplo , ] [ _k n n x n y n 2 2 ] 1 [ ] 2 [ x y = 1 1 -1

zTransformaciones de la variable independiente

…Escalado (tiempo discreto)

¾Diezmado

¾Interpolación

2.5 Operaciones básicas con señales

0 ] 2 [ ] [n x n y = n compresión 1⇒ > a 2 ] 4 [ ] 2 [ x y = expansión 1⇒ < a 0 2 n ] 1 [ ] 2 [ x y = 1 0 ] [n x n 2 1 -1 0 ] [n x n 2 1 -1 ↓2 ↑2 >> y = x(1:2:length(x)); Matlab >> y=zeros(2*length(x),1); >> y(1:2:2*length(x)) = x; Matlab

Diezmado de señales

Diezmado por un factor 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 n 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 n α3

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente

…Desplazamiento

2.5 Operaciones básicas con señales

0 T₁ T₂ ) (t x t ₀ ) (t t₀ x − t 2 0 T t + 0 t 1 0 T t + 0 0> t 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 α α2 ] [n x 0 1 2 n -1 -2 1 α α2 α α2 ] 3 [n+ x -3 -4 -5 0 0< t

2.5 Operaciones básicas con señales

zTransformaciones (lineales) de la variable independiente ¾Desplazamiento: Dada x(t), encuentra

‹x(t-t

0)

‹x(t+t

0)

„Regla: Haz t - t₀=0 ⇒desplazar el origen de x(t)hasta t₀. „Regla: Haz t + t₀=0⇒desplazar el origen de x(t)hasta -t₀.

2.5 Operaciones básicas con señales

zCombinaciones de escalado y desplazamiento:

…Ejemplo: Encuentra x(2t+1)donde x(t)es:

¾Método I: x(at+b)

„Desplazamiento: v(t)=x(t+b) „Escalado: y(t) =v(at)=x(at+b).

2.5 Operaciones básicas con señales

zCombinaciones de escalado y desplazamiento:

…Ejemplo: Encuentra x(2t+1)donde x(t)es:

¾Método II:

„Escalado: w(t) =x(a t)

„Desplazamiento: y(t)=w(t+b/a) =x(a (t + b/a)) =x(at + b):

2.5 Operaciones básicas con señales

zEjercicios …Encontrar ¾ ¾ ¾ 0 1 2 _t ) (t x ) 1 (t+ x ) 1 ( t x − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − t x 2 3 1 1